数学答案(含附加题答案)

数学试卷参考答案 2018.5.181.{－1} ；2. －4；3.89；4.100；5. 1011； 6. y ＝±3x ； 7. 1；8. 56πϕ=； 9.1； 10. 20；11. 1+；12. ； 13. 7,24⎛⎫⎪⎝⎭； 14. 2[,4]314.解：因为,0x y ≥，所以2222()()2x y x y x y +≤+≤+ ，令t x y =+，则01t ≤≤ ．22222244(1)4(1)5214x y x y t t t t ++--≤+-=-+≤．当0xy=且1t =，即0,1x y ==或1,0x y ==时取等号；另一方面，222222244(1)2(1)3213x y x y t t t t ++--≥+-=-+≥ 当16xy ==时取等号．所以222244(1)[,4]3x y x y ++--∈．15.解：(1)由题意得222cos22cos 2cos 1cos 12cos cos 2Am n A A A A A ⋅=+=-++=+又因为1m n ⋅=，所以22cos cos 1A A +=，解得1cos 2A =或cos 1A =- 0,3A A ππ<<∴= ……7分 (2)在ABC ∆中，由余弦定理得22222122b c bc b c bc =+-⋅=+- ①又b c +=b c =，代入①整理得230c -+=，解得c =，∴b =于是a b c == 即ABC △为等边三角形，B 3π∴=πππ-∴-=-==6sin()sin()4344B ……14分16．证明：（Ⅰ）连结PE ，因为G.、F 为EC 和PC 的中点，∴⊂⊄∴，平面，平面PBD PE PBD ,//FG PE FG //FG PE ， ……3分又FG ⊄平面PBD ，PE ⊂平面PBD ，所以FG 平面PBD ……7分（II ）因为菱形ABCD ，所以BD AC ⊥，又PA ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥， 因为PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA AC A ⋂=，BD ∴⊥平面PAC ， FG ⊂平面PAC ，BD ⊥FG ……14分17. 解（1）22142x y += （过程略） ……6分 （2）方法1：“点参”设00()P x y ，，则直线MP 的方程为00(2)+2y y x x =+，所以006(4,)+2y Q x 所以22000000062(+2)6(+2)(2)+2+2y x y MP NQ x y x x +==，， ……8分 由00()P x y ，在椭圆上得2200122y x =-，所以2000820+2x x MP NQ x -++= ……10分所以20008209+2x x x -++=，解得01x =或02x =-（舍），所以P ……14分 方法2：“k 参”设直线MP 的方程为(2),(0)y k x k =+>，由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(12)8840k x k x k +++-= 因为2M x =-，所以222412P k x k-=+，所以222244(,),1212k k P k k -++ ……10分 又(4,6)Q k ，所以2244(,),(2,6)1212kMP NQ k k k ==++，所以22248912k MP NQ k +==+，解得216k =，故6k =，所以(1,2P ……14分 18.解：（1）水平方向每根支条长为302152x m x -==-cm ，竖直方向每根支条长为261322yy n -==-cm，2=cm ．所以L 2(15)4(13)822yx =-+-+=822()x y ++cm ． ……6分（2）由题意得11302xy =，即260y x =，由152,132,2x y--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥得1301311x≤≤． ……8分 所以260822()L x x=++．令260t x x=+，其导函数2260()10t x x'=-<，（1301311x ≤≤）， 故260t x x=+在130[,13]11上单调递减，故372[33,]11t ∈．……10分 所以822L t =+，其中定义域372[33,]11t ∈……12分求导得()1)0L t '=->，所以822L t =+在372[33,]11t ∈上为增函数，故当33t=，即13,20x y ==时L有最小值16+答：做这样一个窗芯至少需要16+长的条形木料． ……16分19.解：（1）222(2)()⋅-⋅-'==x x x xx e x e x x f x ，所以单调增区间0,2，单调减区间为,0-∞、2,+∞ ………4分（2）函数2(),(0)x x g x m x e=-≥有2个零点。

证明如下： ………5分因为240m e <<时，所以24(2)0g m e=->，由(2)0g >，(0)0g m =-<，且()g x 在()0,2上单调递增且连续得()g x 在()0,2上仅有一个零点， ………7分由上面可得0x ≥时，()()2f x f ≤，即2241x x e e ≤<，故0x ≥时，2x e x >，所以2444161616m m m g m --=-==， 由2x e x >得4m >，平方得216m>，所以0g < 由(2)0g >，0g <，且()g x 在()0,2上单调递增且连续得()g x在⎛ ⎝上仅有一个零点， 综上得：函数2(),(0)xx g x m x e=-≥有2个零点 ………10分 （3）记函数211()()(),0x x F x f x x x x x e x=--=-+>，下面考察()F x 的符号．求导得2(2)1()1,0x x x F x x e x -'=-->．当2x ≥时()0F x '<恒成立．当02x <<时，2(2)(2)[]12x x x x +--≤=，从而2222(2x)11111(x)11110x x x F e x e x x x -'=--≤--<--=-<．∴()0F x '<在(0,)+∞上恒成立，故()F x 在(0,)+∞上单调递减．∵2143(1)0,(2)02F F e e =>=-<，∴(1)(2)0F F ⋅<，又因为()F x 在[1,2]上连续，所以由函数的零点存在性定理得∃惟一的0(1,2)x ∈，使0()0F x = ………12分 ∴00(0,),()0;(,),()0x x F x x x F x ∈>∈+∞<．∴202201-0(),xx cx x x xh x x cx x x e ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩， ∴0201120()(2)2,x cx x x x h x x x cx x xe ⎧+-<≤⎪⎪'=⎨-⎪->⎪⎩， 因为()h x 在(0,)+∞上增且连续，所以()0h x '≥在0(0,)x ，0(,)x +∞上恒成立．①当0x x >时，(2)20x x x cx e --≥在0(,)x +∞上恒成立，即22xxc e-≤在0(,)x +∞上恒成立． 记02(),x x u x x x e -=>，则03(),x x u x x x e-'=>，当x 变化时，()u x '，()u x 变化情况如下表：∴min 3()()(3)u x u x u e===-极小．故min 312()c u x e ≤=-，即312c e ≤-． ②当00x x <<时，21()12h x cx x'=+-，当0c ≤时，()0h x '>在0(0,)x 上恒成立．综合（1）（2）知， 实数c 的取值范围是312c e≤-． ………16分20. （1）因为数列{}n a 为“(1)H 数列”，所以11n n S a +=-，故11(n 2)n n S a -=-≥ 两式相减得12,(n 2)n n a a +=≥在11n n S a +=-中令1n =，则可得22a =，故212a a =所以*12,(,1)n na n N n a +=∈≥，所以数列{}n a 为等比数列， 所以12n n a -=，所以21n n S =- ………6分（2）由题意得22n n S a +=-，故112(n 2)n n S a -+=-≥，两式相减得21,(n 2)n n n a a a ++=+≥ ………8分所以，当n 2≥时，222121111()()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++-=-+=--又因为11,(n 3)n n n a a a +--=≥所以222121111()n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++--=--=-所以221211,(n 3)n n n n n n a a a a a a +++--=-≥所以当n 3≥时，数列{}211n n n a a a +--是常数列， ………11分 所以2211324,(n 3)n n n a a a a a a +--=-≥ ………12分 所以2211324,(n 3)n n n a a a a a a +--=-≥ 因为432a a a =+所以222113232,(n 3)n n n a a a a a a a +--=--≥ 在22n n S a +=-中令1n =，则可得33a =， 所以2229340a a --≤又2n =时222132340a a a a -=-≤ 且2a 为整数所以可解得20,1,2,3,4,5,6a =±±±±±- ………16分附加题答案2018.5.1821.A ．选修4-1：几何证明选讲证明：∵AE=AC ，∠CDE=∠AOC ，又∠CDE=∠P+∠PDF ，∠AOC=∠P+∠OCP ，从而∠PDF=∠OCP ．在△PDF 与△POC 中，∠P=∠P ，∠PDF=∠OCP ，故△PDF ∽△POC ． B ．选修4-2：矩阵与变换解：矩阵M的特征多项式为，令f （λ）=0，解得λ1=1，λ2=2， ………4分 将λ1=1代入二元一次方程组解得x=0，所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为；同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为 ………10分C ．选修4-4：坐标系与参数方程 解：因为直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，所以直线l 的普通方程为3y x =，又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，联立解方程组得00x y =⎧⎨=⎩或236x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．根据x 的范围应舍去236x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,故P 点的直角坐标为(0,0) ………10分注：多一解扣2分D ．选修4-5：不等式选讲 证明：∵（a 2+b 2）（c 2+d 2）﹣（ac+bd ）2=（ a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2）﹣（a 2c 2+2abcd+b 2d 2） =（ad ﹣bc ）2≥0，∴（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac+bd ）2成立，又a ，b ，c ，d 都是正数，∴•≥ac+bd＞0，①同理•≥ad+bc＞0，∴xy≥．22. 解：（1）22222116(A)()()333332243P =⨯⨯⨯⨯⨯= ………4分 （2）随机变量X 的取值为0，10，20，30.所以期望()20E X ==L ………10分 23. 解：（1）()()()()10sin cos '==+ax ax f x f x ae bx be bx()()222222sin cos ⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦ax a b a b e bx bx a b a b ()22sin ϕ=++ax a b e bx()()1222sin ϕ=++ax a b e bx ，其中22sin b a b ϕ=+，22cos a a bϕ=+ ………1分 ()()()()2221sin cos ϕϕ'⎡⎤==++++⎣⎦ax axf x f x a b ae bx be bx()()22sin cos ϕϕ=++++⎡⎤⎣⎦ax a b e a bx b bx ()()22sin 2ϕ=++axa b e bx ，其中22sin a b ϕ=+，22cos a b ϕ=+………3分（2*n N ∈ ………4分①当1n =当1n k =+时，()()1k k f x f x +'=*n N ∈成立 ………10分。