2016高三数学复习(人教A版)_第三章_第3讲_两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案)

第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式2016高考导航知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β； cos(α∓β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．(α±β，α，β均不为k π＋π2，k Z ∈)2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin_αcos__α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(α，2α均不为k π＋π2，k Z ∈) 3．三角公式关系[做一做]1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．232．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，tan β＝13，则tan(α＋β)等于( )A ．－34B ．34C ．－43D ．43要点整合1．辨明两个易误点（1）在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． （2）在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 2．熟悉公式的逆用及变形用 （1）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； （2）cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；（3）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 3．角的变换技巧α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α. [做一做]3．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22 B ．22 C ．32D ．1 4．已知tan ⎝⎛⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A ．2941 B ．129 C ．141D ．1典例剖析考点一__三角函数公式的直接应用__________(2014·高考广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x R ∈，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32. （1）求A 的值；（2）若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ. [规律方法] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．1．已知α∈ (0，π2)，tan α＝12，求tan 2α和sin(2α＋π3)的值．考点二__三角函数公式的活用(高频考点)________三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，在解答题中考查三角函数的性质和解三角形时也应用三角公式．高考对三角公式的考查主要有以下三个命题角度：（1）应用正切公式的变形； （2）降幂公式的应用；（3）二倍角公式的逆用．求值：（1）3tan 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）； （2）tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.[规律方法] 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．2．（1）(2015·洛阳市高三年级统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13 B ．－23 C ．13 D ．23（2）若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．（3）cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎫－23π9＝( ) A ．－18 B ．－116 C ．116D ．18考点三__角的变换______________________________（1）设tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．1318 B ．1322 C ．322 D ．16（2）(2015·贵州六盘水二模)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( ) A ．－12 B ．12C ．－13D ．2327本例(2)条件不变，求cos 2β的值．[规律方法] （1）当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. （1）求cos α的值；（2）若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．名师讲坛考题溯源——二倍角公式的应用(2013·高考四川卷)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． [考题溯源] 本考题源于教材人教A 版必修4 P 135练习T 3“已知sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求tan α的值．”的变式而成．1．(2015·东北三校联考)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A ．118 B ．1718 C ．89 D ．292．(2015·唐山市第一次模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝( ) A ．－79 B ．79 C ．－29 D ．29知能训练1．(2014·郑州模拟)计算cos42°cos18°－cos48sin18°的结果等于( ) A ．12B ．33 C ．22 D ．322．(2014·湖州模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，则cos(π＋2α)的值为( ) A ．－79B ．79C ．29D ．－233．(2015·山东实验中学诊断)已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝( ) A ．1825 B ．725 C ．－725 D ．－16254．(2014·成都模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．7 B ．17 C ．－17D ．－75．(2015·金华十校模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，则sin2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A ．255 B ．－3510 C ．－255 D ．－310106．(2015·娄底模拟)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝( ) A ．π3 B ．π3或－23π C ．－π3或23πD ．－23π7．(2015·大连市第一次模拟)若角α的终边过点(－1，2)，则cos(π－2α)的值为( ) A ．35 B ．－35 C ．55 D ．－558．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233 B ．±233C ．－1D ．±19．(2015·衡水中学高三第二学期二调)3cos 10°－1sin 170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 10．(2015·山西晋中名校高三联合测试)对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．与a 0有关的一个值11．已知：α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( ) A ．14 B ．34 C ．342 D ．3212．[2015·重庆模拟]设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A. －3 B. －1 C. 1 D. 313．[2015·长春月考]已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π614．(2014年郑州模拟)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A ．33 B ．－33 C ．539D ．－6915．化简sin15°cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°的结果是( )A ．tan9°B ．－tan9°C ．tan15°D ．－tan15° 16．(2015·河南洛南联考)已知f (x )＝sin x －cos x ，则f (π12)的值是( )A ．－62 B.12 C ．－22 D.2217．(2014·湖北重点中学联考)若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg(1a )，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )A ．1B ．110C ．1或110D ．1或1018． (2014·河北衡水中学五调)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C ．45D ．3519．命题：∀x ∈ [0，π3]，使3cos 2x 2＋3sin x 2cos x 2<a ＋32成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(32，＋∞) C ．(32，＋∞) D ．(3，＋∞) 20．C B A 、、是∆ABC 的三个内角，且B A tan ,tan 是方程01532=+-x x 的两个实数根，则∆ABC是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形二、填空题1．计算：3－tan15°1＋3tan15°＝________.2．(2014·宜昌模拟) 计算：sin50°(1＋3tan10°)－cos20°cos80°1－cos20°＝__________.3．(2015·南京模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，则cos2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝__________. 4．(2015·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α、β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________．5．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 6．已知sin(α－45°)＝－210，0°＜α＜90°，则cos α＝________． 7．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.8．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________． 三、解答题1．(2014·江苏卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. （1）求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； （2）求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 2．(2014·济南模拟)已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.（1）求sin α的值． （2）求β的值．3．(2015·浙大附中模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x . （1）求函数f (x )的最小正周期；（2）若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，求f (2α)的值．4．(选做题)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. （1）求sin 2α和tan 2α的值；（2）求cos(α＋2β)的值．5．(2014·惠州模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x R ∈. （1）求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；（2）若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24. 6．[2014·广东高考]已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x R ∈，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. （1）求A 的值；（2）若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 7．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1. （1）求角A ；（2）若1＋sin 2Bcos 2B －sin 2B ＝2＋3，求角B .两角和与差的正弦、余弦和正切公式参考答案1． C 2． C 3． B4． D 考点一_[解] (1)∵f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3. (2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π4＝32， ∴3⎣⎡⎦⎤22（sin θ＋cos θ）＋22（cos θ－sin θ）＝32，∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 1.解：tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－（12）2＝43. ∵α∈(0，π2)，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0，∴2α∈(0，π2)，∴sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴sin(2α＋π3)＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.考点二[解] (1)原式＝3×sin 12°cos 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°（2cos 212°－1）＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝23sin （12°－60°）12sin 48°＝－4 3.(2)∵tan 60°＝3＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan(20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＝3(1－tan 20°tan 40°)．∴tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝ 3.答案：(1)D(2)2 (3)A考点三_[答案] (1)C (2)D解：∵cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝223，sin(α＋β)＝223， cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－13×13＋223×223＝79.∴cos 2β＝2cos 2β－1＝2×⎝⎛⎭⎫792－1＝1781. 3. 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π.所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.名师讲坛[答案] 31.选B.2．A.知能训练参考答案ABCBC D ACDA BA CCB CCCD二、填空题1．1 2． 2 3．24134．3＋82155．172506．457．1 8．2－156三、解答题1．解析：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.故sin⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310.2．解析：(1)因为tanα2＝12，所以sinα＝sin⎝⎛⎭⎫2·α2＝2sinα2cosα2＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2×121＋⎝⎛⎭⎫122＝45.(2)因为0＜α＜π2，sinα＝45，所以cosα＝35.又0＜α＜π2＜β＜π，所以0＜β－α＜π.由cos(β－α)＝210，得0＜β－α＜π2.所以sin(β－α)＝9810＝7210，所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2＜β＜π，得β＝34π.⎝⎛⎭⎫或求cosβ＝－22，得β＝34π.3．解析：(1)f(x)＝12cos x＋32sin x－cos x＝32sin x－12cos x＝sin⎝⎛⎭⎫x－π6.∴f(x)的最小正周期为2π.(2)由(1)知f(x)＝sin⎝⎛⎭⎫x－π6.所以f⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝sinα＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin2α＝2sinαcosα＝2×35×45＝2425，cos2α＝2cos2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725，∴f(2α)＝sin⎝⎛⎭⎫2α－π6＝32sin2α－12cos2α＝32×2425－12×725＝243－750.4．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴cos 2α＝1－sin22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，∴cos⎝⎛⎭⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin⎝⎛⎭⎫β－π4·cos⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425.又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425，又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725，又cos2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.5．解(1)f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos2π6＋sinπ6cosπ6＝⎝⎛⎭⎫322＋12×32＝3＋34.(2)因为f(x)＝cos2x＋sin x cos x＝1＋cos 2x2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x＋cos 2x)＝12＋22sin⎝⎛⎭⎫2x＋π4.所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22sin⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12＋22⎝⎛⎭⎫12sin α＋32cos α.又因为sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45， 所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22⎝⎛⎭⎫12×35－32×45＝10＋32－4620. 6．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322， 得A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒22A ＝322⇒A ＝3. (2)由f (θ)－f (－θ)＝3，得3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3＝3， 即3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋3sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3， 化简整理得6sin θcos π3＝3，∴3sin θ＝3，∴sin θ＝33.∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝63，∴f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6. 7．解析：(1)∵m ·n ＝(－1，3)·(cos A ，sin A )＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.(2)∵1＋sin 2B cos 2B －sin 2B ＝2＋3，∴(sin B ＋cos B )2(cos B －sin B )(cos B ＋sin B )＝2＋3，∴cos B ＋sin B cos B －sin B ＝2＋3，∴tan B ＋11－tan B＝2＋3，∴tan B ＝33.又0<B <π，∴B ＝π6.。