(完整版)两角和与差的正弦公式
两角和和差的正弦公式
两角和和差的正弦公式正弦公式是三角函数中的基本公式之一，用于求解两角和和差的正弦值。
我们先来看一下两角和的正弦公式，然后再来推导两角差的正弦公式。
1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)其中A和B是任意两个角。
推导：根据向量的加法：设向量A的模为a，向量B的模为b，A与y轴的夹角为α，B与y轴的夹角为β，A与B的夹角为θ。
则向量A可以表示为：A = a(sinα, cosα)向量B可以表示为：B = b(sinβ, cosβ)向量A+B可以表示为：A+B = a(sinα, cosα) + b(sinβ, cosβ)= (asinα + bsinβ, acosα + bcosβ)设向量A+B与y轴的夹角为γ，则：tanγ = (asinα + bsinβ) / (acosα + bcosβ)根据三角函数的定义：sinγ = (asinα + bsinβ) / √[(asinα + bsinβ)² + (acosα + bcosβ)²]cosγ = (acosα + bcosβ) / √[(asinα +bsinβ)² + (acosα + bcosβ)²]根据正弦函数的定义：sin(A + B) = sinγ所以：sin(A + B) = (asinα + bsinβ) / √[(asinα + bsinβ)² + (acosα + bcosβ)²]= [(sinα + (b/a)sinβ) / √(1 + (b/a)cos(β - α))²]= (sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α)) / √(1 +(b/a)cos(β - α))²= sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / √(1 +2(b/a)cos(β - α) + (b/a)²cos²(β - α))= sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / √(1 - sin²(β - α) + (b/a)²(cos(β - α))²)= sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / √(cos²(β - α) - sin²(β - α) + (b/a)²(cos(β - α))²)由于sin²θ + cos²θ = 1，所以：sin(A + B) = sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) /√(cos²(β - α) - sin²(β - α) + (b/a)²(cos(β - α))²) = sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / √cos²(β - α)(1 + (b/a)²cos²(β - α))= sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / cos(β - α)√(1 + (b/a)²cos²(β - α))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)²cos²(β - α))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)²(1 - sin²(θ)))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)² - (b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + sin²(α)/cos²(α) -(b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(cos²(α)/cos²(α) +sin²(α)/cos²(α) - (b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √((cos²(α) + sin²(α))/cos²(α) - (b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1/cos²(α) - (b/a)²sin²(θ))由于1/cos²θ = sec²θ，所以：sin(A + B) = sinα + (sinα/b)sinβ / √(sec²(α) -(b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + tan²(α) - (b/a)²sin²(θ)) = sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)²sin²(θ)/cos²(α))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)²tan²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + sin²(β)tan²(α))根据正弦函数的定义：sin(A + B) = sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 +sin²(β)tan²(α))= sinα + sinβ(1/b) / √(1 + sin²(β)tan²(α))所以：sin(A + B) = sinα + sinβ(1/b) / √(1 + sin²(β)tan²(α))这就是两角和的正弦公式。
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值． 解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235， 即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组 能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
思维升华
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用 α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的 三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一 角和角与角转换的目的.
跟踪训练 1 (1)函数 y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4的最小值为
A. 2
B.－2
√C.－ 2
教师备选
(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知 α，β 为锐角，tan α＝43， cos(α＋β)＝－ 55. (1)求 cos 2α 的值；
因为 tan α＝43， tan α＝csoins αα，
所以 sin α＝43cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1， 所以 cos2α＝295， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－275.
教师备选
1.若α＋β＝－34π，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ 2 .
tan－34π＝tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1， 所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β， 所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2， 即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
思维升华
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而 且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开 拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.
跟踪训练2 (1)设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝
－cos 56°)，c＝ 11－ ＋ttaann223399°°，则a，b，c的大小关系是
延伸探究 若将本例(2)的条件改为tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于
√A.45°
两角和与差的正弦、余弦正切公式
两角和与差的正弦、余弦正切公式两角和与差公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb =21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] 熟记并理解各公式，并能熟练的运用各公式在具体题型中的运用。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式首先，让我们从两角和的正弦公式开始推导。
假设有两个角A和B，那么它们的和角可以表示为A+B。
根据三角函数的定义，正弦函数的定义式为：sin(x) = 对边 / 斜边我们可以将角A和B的对边和斜边代入这个公式中，得到：sin(A + B) = (sin(A) * 斜边A + sin(B) * 斜边B) / 总斜边这个公式告诉我们，两个角的正弦之和等于各自正弦的乘积与对应斜边的和再除以总斜边。
另外，如果我们将斜边A和斜边B相等，那么这个公式可以进一步简化为：sin(A + B) = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)接下来，让我们推导两角和的余弦公式。
余弦函数的定义式为：cos(x) = 临边 / 斜边同样地，根据这个定义式，我们可以得出两角和的余弦公式：cos(A + B) = (cos(A) * 斜边A + cos(B) * 斜边B) / 总斜边这个公式告诉我们，两个角的余弦之和等于各自余弦的乘积与对应斜边的和再除以总斜边。
同样地，如果我们将斜边A和斜边B相等，那么这个公式可以进一步简化为：cos(A + B) = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)最后，让我们推导两角和的正切公式。
正切函数的定义式为：tan(x) = 对边 / 临边我们可以将角A和B的对边和临边代入这个公式中，得到：tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))这个公式告诉我们，两个角的正切之和等于各自正切的和再除以1减去各自正切的乘积。
总结一下，两角和与差的正弦、余弦、正切公式如下：sin(A + B) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B)cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))这些公式在解决三角函数运算、证明恒等式和简化复杂的三角函数表达式等方面都非常有用。
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
3．5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式[知识梳理]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(3)T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝2sin αcos α.(2)C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z .3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. (3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. (4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b2，tan φ＝ba(a≠0)．特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：①可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；②注意倍角的相对性；③注意拆角、拼角技巧，例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎪⎫π4－α等．(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x cos2x＝1－12sin22x.[诊断自测] 1．概念思辨(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．教材衍化(1)(必修A4P 131T 5)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12 答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D. (2)(必修A4P 146A 组T 3)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝13，则tan(α＋β)＝________.答案 1解析 ∵α＋β＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6， ∴tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π61－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝12＋131－16＝1. 3．小题热身(1)sin7°＋cos15°sin8°cos7－sin15°sin8°的值为( ) A ．2＋ 3 B ．2－ 3 C ．2 D.12 答案 B解析 原式＝sin (15°－8°)＋cos15°sin8°cos (15°－8°)－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30° ＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3.故选B.(2)若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．7B ．－7 C.17 D ．－17 答案 C解析 ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45， ∴cos α＝－45.又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－34. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－341＋34＝17.故选C.题型1 求值问题典例 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，若17π12<x <7π4，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值． 本题采用“函数转化法”．解 由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，所以cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin π4＝35×22－45×22＝－210，从而sin x ＝－7210，tan x ＝7. 则sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210·⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－721021－7＝－2875.方法技巧三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路1．角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化．2．名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．冲关针对训练已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4C.π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z )答案 C解析 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.故选C.题型2 三角恒等变换的综合应用角度1 研究三角函数的性质典例 (2017·临沂一模)已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．本题采用转化法、数形结合思想．解 函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋3，化简可得f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋ 3＝sin2x －23⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos2x ＋ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)函数的最小正周期T ＝2π2＝π， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2时单调递增， 解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，转化为函数f (x )与函数y ＝m 有两个交点．令u ＝2x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3可得f (x )＝2sin u 的图象(如图)．由图可知：m 在[3，2)，函数f (x )与函数y ＝m 有两个交点，其横坐标分别为x 1，x 2.故得实数m 的取值范围是m ∈[3，2)， 由题意可知x 1，x 2是关于对称轴是对称的： 那么函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的对称轴为x ＝5π12，∴x 1＋x 2＝5π12×2＝5π6.那么tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－33. 方法技巧三角函数综合性试题涉及三角函数的性质研究．首先将三角函数化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，在转化过程中需要三角恒等变换．如典例．这是高考的重点题型．冲关针对训练(2017·河北区二模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α是第一象限角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＝32sin x －12cos x ＋cos x ＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π1＝2π. (2)由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝45，由于α是第一象限角， 所以sin α＝35， 则tan α＝34，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17.角度2 三角恒等变换与向量的综合典例 (2017·南京三模)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，t 为实数．(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值； (2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．本题采用向量法、平方法．解 (1)向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，t 为实数．若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，则(2cos α－2sin α，sin 2α－t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0， 可得cos α－sin α＝15，平方可得sin 2α＋cos 2α－2cos αsin α＝125，即为2cos αsin α＝1－125＝2425(cos α>0，sin α>0)， 由sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＋sin α＝(cos α－sin α)2＋4sin αcos α ＝125＋4825＝75，即有sin α＝35，cos α＝45，则t ＝sin 2α＝925.(2)若t ＝1，且a ·b ＝1，即有4cos αsin α＋sin 2α＝1， 即有4cos αsin α＝1－sin 2α＝cos 2α，由α为锐角，可得cos α∈(0,1)，即有tan α＝sin αcos α＝14， 则tan2α＝2tan α1－tan 2α＝121－116＝815， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋11－tan2α＝1＋8151－815＝237. 方法技巧三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算进行化简．冲关针对训练(2017·南通模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3cos x 2，函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝23，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值． 解 (1)f (x )＝sin x 2＋3cos x2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝2sin α2＝23，∴sin α2＝13，∴cos α＝1－2sin 2α2＝79，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝149.1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725 答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35⇒cos α＋sin α＝325⇒1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.2．(2014·全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2 B ．3α＋β＝π2 C ．2α－β＝π2 D ．2α＋β＝π2答案 C解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，所以sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选C.3．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ－φ) ＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cos x－34⎝⎛⎭⎪⎫x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析f(x)＝1－cos2x＋3cos x－34＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x－322＋1.∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x∈[0,1]，∴当cos x＝32时，f(x)取得最大值，最大值为1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.故选A. 2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C.3．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73 B.73 C.57 D ．1 答案 D解析 由题意知tan α＝2，tan β＝－13. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1.故选D.4．(2017·云南一检)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116 C.116 D.18答案 A解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80° ＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20° ＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.故选A.5．(2017·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin (10°－30°)12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4.故选D. 6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛ π4－⎭⎪⎫β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2，由0<α<π2，得π4<α＋π4<3π4，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.由－π2<β<0，得π4<π4－β2<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，代入上式，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝539，故选C.7．(2018·长春模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 答案 A解析 sin2αsin2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)sin (α＋β)cos (α－β)－cos (α＋β)sin (α－β) ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)tan (α＋β)－tan (α－β)＝13.故选A. 8．(2017·山西八校联考)若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( ) A ．－12 B ．－32 C.22 D.12 答案 D解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin (2x ＋φ＋π3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z .∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D.9．(2018·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案 A解析 由题意知，－2cos B cos C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.故选A.10．(2018·河北模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23B.43C.34D.32 答案 D解析 由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74， ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.故选D. 二、填空题11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________. 答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13， ∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________． 答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， 又α∈(0，π)，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.13．(2017·江苏模拟)已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.答案 π3解析 因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12， 又0<β<π，所以β＝π3.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 答案 －142解析 ∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝ 1＋34＝72，∴cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α) ＝－2(sin α＋cos α)＝－142.B 级三、解答题15．(2017·合肥质检)已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解 (1)f (x )＝a ·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )， 即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由条件知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝13>0，设x 1<x 2，则0<x 1<5π12<x 2<2π3，易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于直线x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝13.16．(2017·黄冈质检)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6 ＝(1＋cos2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2x cos 7π6－cos2x sin 7π6＝1＋32sin2x ＋12cos2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到． ∴函数f (x )的最大值为2时x 的取值集合为x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3. 在△ABC 中，根据余弦定理， 得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1. ∴当且仅当b ＝c ＝1时，取等号．又由b ＋c >a 得a <2.所以a 的取值范围是[1,2)．17．(2017·青岛诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋3a cos B ＝3c .(1)求角A 的大小；(2)已知函数f (x )＝λcos 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋A 2－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将y ＝f (x )的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )的最小正周期为π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． 解 (1)∵a sin B ＋3a cos B ＝3c ， ∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin C . ∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin(A ＋B ) ＝3(sin A cos B ＋cos A sin B )． 即sin A sin B ＝3cos A sin B .∵sin B ≠0，∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)由A ＝π3，得f (x )＝λcos 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝λ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π32－3＝λ2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋λ2－3，∴λ－3＝2，λ＝5.∴f (x )＝5cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3－12，从而g (x )＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43ωx ＋π3－12，∴2π43ω＝π，得ω＝32， ∴f (x )＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－12. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，π3≤3x ＋π3≤11π6，∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3≤32， 从而－3≤f (x )≤53－24，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，53－24. 18．(2017·江西南昌三校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值．解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，专业文档珍贵文档 ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 ＝－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2， ∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1. ①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾． 综上所述，λ＝12.。
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
2
(sin
2
A.a>b>c
C.c>a>b
(2)已知
56°-cos 56°),c=
1-ta n 2 39°
,则 a,b,c 的大小关系是(
1+ta n 2 39°
B.b>a>c
D.a>c>b
π
cos(α-6 )+sin
4 3
α= 5 ,则
π
si(nα+6 )=
.
)
答案 (1)D
4
(2)
5
解析 (1)a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°
1
D.
2
.
答案 (1)B (2)D (3) 3
解析 (1)根据两角和的正弦公式展开得 sin
3
θ= sin
2
3
θ+ cos
2
θ=1,即
π
3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π
3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2
(完整版)两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．（重点)2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．（难点）3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)［基础·初探］教材整理1 两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究"以上内容,完成下列问题。
cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos（75°＋15°)＝cos 90°＝0.【答案】0教材整理2 两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究"以下内容，完成下列问题．1．公式2.重要结论－辅助角公式y＝a sin x＋b cos x＝错误!sin（x＋θ)(a，b不同时为0）,其中cos θ＝错误!，sin θ＝错误!．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（）（2）存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ）(3）对于任意α,β∈R，sin（α＋β）＝sin α＋sin β都不成立．（）(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°。
( ）解：(1）√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°,β＝0°时，sin（α－β）＝sin α－sin β.（3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立．(4）√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．【答案】(1)√(2)√（3）×(4)√教材整理3两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×")（1)存在α,β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ）（2）对任意α，β∈R，tan（α＋β）＝错误!都成立．( )（3）tan(α＋β）＝错误!等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )解:（1)√。
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• 例2：已知 sin 3 , ( , 3 ), 求 sin( )
5
2
3
•
sin( )
4
的值
• 例3：已知
sin
3 4
, cos
1, 3
且α为第二象限
• 角，β为第三象限角，求
sin( ),sin( ), cos( ), cos( )
• 的值
• 例4：已知α，β均为锐角，且 cos 2 5 ,cos 3 10 ,
5
10
• 求α+β的值
五。应用
• 例5：工业用三相交流电的电压u是时间t的函数。 现已知三相电流的电压分别为 u1 220 2 sin100t,u2 220 2 sin(100t 120 ), u3 220 2 sin(100t 120 )
• 例8：已知 sin( ) 3 , ( , 2 )
则求 cos 3
5 63
四、例题
• 例1：不用计算器，求下列各式的值
• （1）sin15 （2） sin105 （3） sin 75
• （4） sin 70 cos 25 cos 70 sin 25 • （5）cos80 sin 40 sin 80 cos 40 • （6）sin 25 sin 20 cos 25 sin 70
• 零的线电的压u电=压0，u这是u为1 什么u2？ u3 根据常识，零线
• 例6：如图，保持点P（3,3）与原点的距离不变，
并绕原点旋转 60到 P'位置，设点P' 的坐标为
• (x', y')
• (1)点P与原点之间的距离是多少？
• （2）向量 OP与' x轴正方向的夹角是多少？
• （3）求点 P' 的坐标
sin(
)
cos2
Байду номын сангаас(
)
cos(2
)
三、公式
• 两角和的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
• 两角差的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
＋－相同，SCSC
• 例7：化简
• （1） sin( 30 ) cos cos( 30) sin
• （2）sin( ) sin( ) cos( ) cos( )
6
3
6
3
• （3） sin( )cos cos( )sin
15.1
两角和与差的正弦公式
第二课时
一、引入
• 1.用两角和与差的余弦公式证明：
cos(
) sin
2
sin( ) cos
2
2.这两个式子说明正弦函数与余弦函数之间有什么 关系？
互余
二、公式推导
将
cos( ) sin
结果？ 2
中的α换成α+β，能得什么