随机信号通过线性系统的分析
第3章 平稳随机信号通过线性系统
2013-7-25
24
(3) 输出平均功率
N 0b Q RY 0 h 0 hu RX u du
0
N0 N h , 0 hu 0 u du 2 2 0, 其它
若任意常数a, b, 输入信号 x1(t), x2(t), 有 L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
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3.1 线性系统的基本理论
• 什么是线性系统？
x(t) h(t) y(t) = x(t)*h(t)
连续时不变线性系统
y(t ) x(t )h( )d x( )h(t )d x(t ) h(t )
L[]
称作算子
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3.1 线性系统的基本理论
• 什么是线性系统？
时不变线性系统
连续时不变线性系统
离散时不变线性系统
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3.1 线性系统的基本理论
• 什么是线性系统？
x(t)
L[.]
y(t) = L[x(t)]
时不变线性系统
若输入信号x(t)时移C, 输出y(t)也只引时移C，即 y(t-C) = L[x(t-C)]
0
0
0
hv hu RX u v dudv 0
0
hv hu
N0 u v dudv 2
N0 N0 hu hv u v dvdu 0 hu h u du 0 0 2 2 N 0 bu b u N 0b 2 b 2bu N 0 b b be be du e e du e 0 2 0 0 2 4
随机信号分析实验报告
实验一 随机噪声的产生与性能测试一、实验内容1．产生满足均匀分布、高斯分布、指数分布、瑞利分布的随机数,长度为N=1024，并计算这些数的均值、方差、自相关函数、概率密度函数、概率分布函数、功率谱密度，画出时域、频域特性曲线; 2．编程分别确定当五个均匀分布过程和5个指数分布分别叠加时,结果是否是高斯分布; 3．采用幅度为2, 频率为25Hz 的正弦信号为原信号,在其中加入均值为2 ， 方差为0.04 的高斯噪声得到混合随机信号()X t ，编程求 0()()tY t X d ττ=⎰的均值、相关函数、协方差函数和方差，并与计算结果进行比较分析。
二、实验步骤 1.程序N=1024； fs=1000； n=0:N —1;signal=chi2rnd （2，1，N); ％rand(1,N)均匀分布 ,randn(1,N ）高斯分布，exprnd(2,1，N ）指数分布,raylrnd （2，1,N)瑞利分布，chi2rnd(2，1，N ）卡方分布 signal_mean=mean(signal ）； signal_var=var （signal ）；signal_corr=xcorr(signal,signal ，'unbiased ’)； signal_density=unifpdf(signal ，0，1); signal_power=fft(signal_corr); ％[s,w]=periodogram （signal); [k1,n1］=ksdensity(signal)；[k2,n2］=ksdensity （signal,’function ’，'cdf ’）; figure ；hist(signal)；title （’频数直方图’）; figure ；plot （signal)；title(’均匀分布随机信号曲线’）; f=n ＊fs/N ； ％频率序列 figure;plot(abs （signal_power)）; title('功率幅频’); figure;plot(angle （signal_power)）； title （'功率相频'); figure;plot （1:2047,signal_corr)； title （'自相关函数’）; figure;plot(n1，k1）；title('概率密度’）；figure；plot(n2,k2);title（'分布函数’)；结果（1）均匀分布(2）高斯分布（3）指数分布（4)瑞利分布（5）卡方分布2.程序N=1024；signal_1=rand(1,N);signal_2=rand(1，N）；signal_3=rand(1,N);signal_4=rand（1，N）;signal_5=rand(1,N)；signal=signal_1+signal_2+signal_3+signal_4+signal_5; [k1,n1］=ksdensity(signal）；figure(1）subplot(1，2，1）;hist(signal);title（'叠加均匀分布随机数直方图');subplot(1,2，2);plot（n1,k1）；title(’叠加均匀分布的概率密度'）；结果指数分布叠加均匀分布叠加结果：五个均匀分布过程和五个指数分布分别叠加时，结果是高斯分布。
随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
带通白噪声
显然当过程的每一个样本函数通过时不变系 统时，可表示为
y1(t) h ( )x1(t ) d
yn (t) h ( ) xn (t ) d
此时系统的输出可表示为 Y (t) {y1(t),}, yn (t), 即系统的输入与输出可表示为
RY (t,t ) E [Y (t )]
E
h(1)
h(
2
)Байду номын сангаас
X
(t
1)X
(t
2
)
d1d
2
E
h(1)
h(
2
)
X
(t
1)
X
(t
1)d1d
2
) e d j(21)
h(1)
e
j1
d1
h( 2 )
e
d j2 2
RX
()
e
jd
H ()H ()GX () GX ()H ()H ()
GX () H 2
5. 系统的输入输出的互谱密度
通过对（6.15）式求付氏变换，并利用
GY () GX () H() 2，可以得到系统输出的功率 谱密度为
这里假设输入信 号为有界平稳过程
E [Y (t] h( ) E [X (t )] d
h( )M X d M X
h ( ) d
实验三 随机信号通过线性时不变系统
实验三 随机信号通过线性系统的分析一、实验目的1 模拟产生特定相关函数的连续随机序列或者离散的随机序列，考察其特性。
2 模拟高斯白噪声环境下信号通过系统的问题，实现低通滤波。
3 掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解。
二、实验设备1计算机2 Matlab 软件三、实验原理随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和 自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。
如下图所示，H 为线性变换，信号X (t )为系统输入， Y (t )为系统的输出，它也是随机信号。
图3.1 随机信号通过系统的示意图并且满足： H [X (t )] = Y (t )在时域：若X(t)时域平稳，系统冲激响应为h(t),则系统输入和输出的关系为：()()*()()()()()Y t X t h t X h t d h X t d ττττττ∞∞-∞-∞==-=-⎰⎰ 输出期望：∑∞===0m XY )m (h m )]t (Y [E m 输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-在频域：输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω四、实验内容与步骤1已知平稳随机过程X(n)的相关函数为：5),()(22==σδσm m R ； 线性系统的单位冲击响应为111,0,)(+-=≥=实验者学号后两位r k r k h k 。
编写程序求：1）输入信号的功率谱密度、期望、方差、平均功率；2）利用时域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；3）利用频域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；4）利用频域分析法或时域分析法求解输入输出的互相关函数、互功率谱密度。
随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析
实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
随机信号分析基础第五章习题王永德答案
详细描述
这道题目考察了学生对随机信号应用领域 的了解，包括通信、雷达、声呐、图像处 理等领域的应用。
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随机信号分析基础 第五章习题王永德 答案
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01
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习题一答案
题目一答案
总结词：周期性
详细描述：题目一考察了周期性随机信号的特点，包括周期信号的波形、频谱和 功率谱等。通过分析，可以理解周期信号的规律性和稳定性，以及在通信、雷达 、声呐等领域的应用。
掌握随机信号的模拟生成方 法
详细描述
这道题目要求学生掌握随机 信号的模拟生成方法，包括 基于概率密度函数的生成方 法和基于概率质量函数的生
成方法。
总结词
理解随机信号的数字生成方法
详细描述
这道题目考察了学生对随机信号数字生成 方法的理解，包括基于离散概率分布的生 成方法和基于连续概率分布的生成方法。
总结词
04
详细描述
这道题目要求学生掌握随机信号的表 示方法，包括概率密度函数、概率质 量函数、特征函数等。
06
详细描述
这道题目考察了学生对随机信号线性变换的理 解，包括线性变换的基本原理和计算方法。
题目二答案
总结词
掌握随机信号的谱分析方法
详细描述
这道题目要求学生掌握随机信号的谱分析方法，包括谱 估计的基本原理和计算方法，以及谱估计的评价指标。
详细描述
这道题目要求学生掌握随机信号的模拟生成方法，包括基于 概率分布的随机抽样和基于确定性函数的随机调制。学生需 要理解这些方法的原理，掌握其实现过程，并能够根据实际 需求选择合适的方法生成随机信号。
北京理工大学随机信号分析实验报告
北京理工大学随机信号分析实验报告本科实验报告实验名称：随机信号分析实验实验一随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。
实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：)(m od ,110N ky y y n n -=Ny x n n /=序列{}nx 为产生的(0，1)均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数： 1、10N 10,k 7==，周期7510≈⨯；2、（IBM 随机数发生器）3116N 2,k 23,==+周期8510≈⨯；3、（ran0）315N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有)(1R F X x -=由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2、MATLAB 中产生随机序列的函数（1）(0，1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
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之间还是联合平稳的。
若输入过程 X (t)是遍历的，则LTI系统的输出过程 Y (t) 也是遍历的，且输出过程 Y (t) 与输入过程 X (t) 之间还是联合遍历的。
RXY ( ) X (t )Y (t ) RYX ( ) Y (t ) X (t )
例1 （h(t) 的估计）
当输入过程 X (t) 为自相关平稳时，
RY ( ) RX ( u v)h(u )h(v)dudv RX ( ) h( ) h( ) , ( t1 t2 )
输出过程 Y (t) 也是 自相关平稳的。
输出与输入的互相关函数
RYX (t1 , t 2 ) E[Y (t1 ) X (t 2 )] E[ X (t1 u )h(u ) X (t 2 )du ] RX (t1 u , t 2 )h(u )du RX (t1 , t 2 ) h(t1 ) RXY (t1 , t 2 ) RX (t1 , t 2 ) h(t 2 )
设线性系统输入一个白噪声过程 X (t)，其自相关函 数为 RX ( ) = N0 ( ) ，则
RYX ( ) N 0 ( u)h(u) d u N 0 h( )
1 h( ) RYX ( ) N0
假定过程 X (t) 和 Y (t) 是各态历经的，
1 h( ) Y (t ) X (t ) N0
RYX ( ) RX ( ) h( )
RXY ( ) RX ( ) h( )
RX ( )
h( )
RYX ( )
h( )
RY ( )
输出信号的平稳性与遍历性
若输入过程 X (t)是平稳的，则LTI系统的输出过程 Y (t) 也是平稳的，且输出过程 Y (t) 与输入过程 X (t)
[解 ]
互不相关 协方差为零
X (t)
H1()
Y1(t)
Y2(t)
Y (t ) X (t ) h(t ) X (t )h( )d
H2()
mY1 mX h1 ( )d 0
mY2 mX h2 ( )d 0
当GY1Y2 () 0 时,
m X (t u )h(u )du m X (t ) h(t )
当输入过程 X (t) 为均值平稳时，
mY mX h(u )du 常数
输出过程 Y (t) 也是均值平稳的。
输出信号的自相关函数
设输入过程 X (t) 的自相关函数为 RX(t1,t2) ，则输出过程 Y (t) 的自相关函数为
GXY ( z ) H ( z ) GYX ( z ) H (1 / z )
因果系统：
h(t ) 0, 当 t 0
稳定系统：
h(t ) dt
系统函数H(s)的所有极点位于s析： y (n)
m
x(n m)h(m) x(n) h(n)
频域分析： Y (e j ) X (e j ) H (e j )
2
GY () GXY () H () GYX () H ()
[例2] 如图有两个LTI系统H1()和H2()，若输入同一个
均值为零的平稳过程 X(t) ，它们的输出分别为 Y1(t) 和Y2(t)。如何设计H1()和H2()才能使Y1(t) 和Y2(t)互不相关？
当输入过程 X (t) 为自相关平稳时，
RYX ( ) RX ( u)h(u)du RX ( ) h( )
RXY ( ) RX ( ) h( )
输出过程与输入过程还是联合平稳的。
输出信号的相关函数
RY ( ) R X ( ) h( ) h( ) RYX ( ) h( ) RXY ( ) h( )
2
2
P RY (0)
N 0
2
常用线性电路的传递函数和冲激响应
电路
R C
H()
1 1 jRC jRC 1 jRC R R j L j L R j L
h(t)
1 t / RC e u(t ) RC
1 t / RC (t ) e u(t ) RC R tR / L e u(t ) L R tR / L (t ) e u(t ) L
mY mX h( )d mX H ( ) 0 mX H (0)
GY ( ) H ( ) G X ( )
RY ( ) R X ( ) h( ) h( ) GY ( ) G X ( ) H ( ) H ( ) 2 H ( ) G X ( )
C
R
L
R
R
L
线性系统输出过程的概率分布
若线性系统输入为高斯过程，则输出也是高斯过程。 若线性系统输入为非高斯过程，其等效噪声带宽远大 于系统带宽，则输出近似为高斯过程。
白噪声通过有限带宽的线性系统，输出为高斯过程。
宽带噪声通过窄带系统，输出近似为高斯过程。
3 随机序列通过离散时间LTI系统
通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。
2.2 频域分析法
设LTI系统的频率响应为H()，当输入平稳过程 X(t) 具有 谱密度 GX() 时，则输出平稳过程 Y(t) 具有 均值： 谱密度： 互谱密度：
GYX ( ) GX ( ) H ( ) GXY ( ) GX ( ) H ( )
当输入 X (n) 为平稳序列时，
mY m X
k
h( k )
RY (m) RX (m) h(m) h(m) RYX (m) h(m) RXY (m) h(m)
RYX (m) RX (m) h(m)
RXY (m) RX (m) h(m)
RY1Y2 ( ) 0
RY1Y2 ( ) E[Y1 (t )Y2 (t )]
RX ( u v)h1 (u )h2 (v)dudv
CY1Y2 ( ) 0
当两个LTI系统的幅频特性 互不重叠时，则它们的输出 Y1(t) 和Y2(t) 互不相关。
Y ( z) X ( z) H ( z) ( z e j )
因果系统： h(n) 0, 当 n 0
稳定系统：
n
h( n)
系统函数H(z)的所有极点位于z平面的单位圆内。
2 随机信号通过连续时间LTI系统
2.1 时域分析法
LTI系统 X (t) h (t)
(1) 白噪声通过理想低通系统
设LTI系统的频率响应为H()，当输入白噪声 X(t) 具有谱 密度 GX() = N0 时，则输出过程 Y(t) 具有 谱密度：
GY ( ) H ( ) G X ( ) N 0 H ( )
RY ( ) N0 H ( ) e j d
G XY ( ) G X ( ) H (e j )
Z变换分析法
mY mX
GY ( z )
k
h(k ) mX H ( z ) z 1 mX H (1)
m
m R ( m ) z G ( z ) H ( z ) H ( 1 / z ) Y X
RX ( ) h1 ( ) h2 ( )
GY1Y2 ( ) GX ( ) H1 ( ) H 2 ( )
2.3 白噪声通过线性系统的分析
设LTI系统的频率响应为H()，当输入白噪声 X(t) 具有谱 密度 GX() = N0 时，则输出过程 Y(t) 具有 谱密度：
随机信号通过线性系统 的分析
第五章
1 线性系统基本理论
线性时不变(LTI)系统：
系统： 线性系统：
y(t ) T [ x(t )]
T [a1 x1 (t ) a2 x2 (t )] a1T [ x1 (t )] a2T [ x2 (t )] a1 y1 (t ) a2 y2 (t )
时不变系统：
y(t ) T [ x(t )]
连续时间LTI系统
时域分析：
y (t ) x(t )h( ) d x(t ) h(t )
Y ( s) X ( s) H ( s) ( s j )
频域分析： Y ( ) X ( ) H ( )
Y (t)
Y (t ) X (t ) h(t ) X (t )h( )d
~ ~ Y ( ) X ( ) H ( )
输出信号的均值函数
设输入过程 X (t) 的均值函数为 mX(t) ，则输出过程 Y (t) 的 均值函数为
mY (t ) E[Y (t )] E X (t u )h(u )du E[ X (t u )]h(u )du
2
2
自相关函数：
平均功率：
P E[Y (t )] RY (0) N0
2
H ( ) d
当白噪声输入LTI系统时，输出随机信号的功率谱密度主要由 系统的幅频特性H ()决定，不再保持为常数。
[例3] 如图RC电路，若输入白噪声电压 X (t) ，其相关
函数为 RX ( ) = N0 ( ) ，求输出电压 Y (t) 的相 关函数和平均功率。
3.2 频域分析法
均值： 谱密度：
mY mX
k