人教版初二数学上册完全平方公式2
人教版八年级数学上册14.2.2：完全平方公式
思考：
1. 若 a b 5, ab 6,
求 a2 b2 ,a2 ab b2.
2.已知 x 1 3 .求： x
(1) x2 1 x2
(2) ( x 1)2 x
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
更上一层
(1) (3a+(_-_4))2=9a2－2_4_a_2+16
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它 们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
则a2+b2的值是 37。
变式三：(a-b)2=(a+b)2- 4ab 。 变式四：(a+b)2=(a-b)2+ 4ab 。
已知：(a+b)2=8 ab=1
则(a-b)2= 4 .
完全平方公式的变化形式
变式一： a2+b2=(a+b)2-2ab 变式二： a2+b2=(a-b)2+2ab 变式三：(a+b)2=(a-b)2+4ab 变式四：(a-b)2=(a+b)2-4ab 变式五：(a+b)2-(a-b)2=4ab
=a2−( b-c)2
=a2 -（b2-2bc+c2) =a2 -b2+2bc-c2
温馨提示：
人教版数学八年级上册14.2.2完全平方公-添括号法则教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际计算几个完全平方公式的例子，让学生直观感受公式的作用。
突破方法：引导学生观察表达式中的常数项，是否为某数的平方，然后尝试将中间项分解为两倍的乘积。
(3)难点：在解决实际问题如(2x-3)(2x+3)=4x²-9时，学生可能难以将右侧转换为完全平方形式；
突破方法：通过示例展示如何将4x²-9视为(2x)²-3²，进而应用平方差公式(a²-b²)=(a+b)(a-b)，引导学生理解。
此外，课堂总结环节，学生们对于完全平方公式的掌握程度有了明显的提升，但仍有个别学生在应用时出现错误。针对这一问题，我计划在下一节课中，通过更多的实际例题和练习，帮助他们巩固知识，提高解题能力。
总体来说，今天的课堂氛围较好，学生们对完全平方公式的学习兴趣浓厚。但我也意识到，在今后的教学中，需要更加关注学生的个体差异，采取有针对性的教学方法，帮助他们突破难点，提高学习效果。同时，要加强课堂互动，鼓励学生提问和表达自己的观点，使他们在课堂中真正成为主体，从而提高数学素养和解决问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“完全平方公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
八年级-人教版-数学-上册-第2课时-完全平方公式
完全平方和公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2． 两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍．
观察下列动图，体会完全平方和公式的几何意义．
观察下列动图，体会完全平方和公式的几何意义．
观察下列动图，体会完全平方和公式的几何意义．
(a－b)2等于什么？你是怎样计算的？
解法一：
解法二：
运用完全平方公式进行简便计算， 要熟记完全平方公式的特征，将原式 转化为能利用完全平方公式的形式．
例3 已知x－y＝6，xy＝－8．求：
（1）x2＋y2的值；
（2）(x＋y)2的值．
解：（1）因为x－y＝6，xy＝－8， (x－y)2＝x2＋y2－2xy， 所以x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
＝36－16 ＝20；
(m＋3)2＝_(_m_＋__3_)_×_(_m_＋__3_)_ ＝__m_2_＋_3_m__＋_3_m__＋__9__ ＝__m_2_＋__2__×_3_m__＋__9__ ＝__m_2_＋_6_m__＋__9__．
填写并观察下列算式及其运算结果，你发现了什么规律？
(2＋3x)2＝_(_2_＋__3_x_)×_(_2_＋__3_x_) ＝__2_2_＋__2__×__3_x_＋__2__×__3_x_＋__9_x2_ ＝__4__＋__2__×__2__×__3_x_＋__9_x2_ ＝__4__＋_1_2_x_＋__9_x2_．
思考 (a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？
(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？
(－a－b)2＝(－1)2(a＋b)2＝(a＋b)2； (a－b)2＝(b－a)2； (a－b)2－(a2－b2)＝2b2－2ab． 若两式相等，则有2b2－2ab＝0，b2＝ab． 因此，只有在a＝b或b＝0的情况下，两式才相等．
人教版八年级数学上册第十四章 14.2.2完全平方公式2
知识点三：完全平方公式和平方差公式的综合运用 计算：(x＋y)2－(x＋y)(x－y)． 解：原式＝x2＋2xy＋y2－x2＋y2＝2y2＋2xy.
5.计算：4(x＋1)2－(2x＋5)(2x－5)． 解：原式＝4x2＋8x＋4－4x2＋25＝8x＋29.
根据图(2)所示图形的面积可以写出的一个等式是 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 .
2．如果 x2＋mx＋1 是一个完全平方式，那么 m 的是 2或－2 .
知识点二：完全平方公式的常用变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； (2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； (3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab； (4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)； (5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
解：∵a＋b＝5，ab＝2， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×2＝21.
精典范例
6.【例 1】如图，利用面积的等量关系验证的公式是( D ) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 小结：此题是有背景的选择题，运用数 与形的结合来判断正确选项.
变式练习
(6)ab＝21a＋b2－a2＋b2； (7)ab＝a＋2 b2－a－2 b2.
3.下列计算正确的是( C ) A．(x＋y)2＝x2＋y2 C．(x＋1)(x－1)＝x2－1
B.(x－y)2＝x2－2xy－y2 D.(x－1)2＝x2－1
4．运用完全平方公式计算： (1)(2a＋5b)2; (2)(100－2)2； 解：(1)原式＝4a2＋20ab＋25b2. (2)原式＝1002－400＋4＝9604.
人教版数学八年级上册14.2《完全平方公式(2)》名师教案
第十四章整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式第3课时〔陈丽〕一、教学目标〔一〕学习目标1.知道添括号法那么，并能熟练地给一些代数式添括号.2.进一步熟悉平方差公式和完全平方公式，能灵活运用公式进展计算.〔二〕学习重点理解添括号法那么，进一步熟悉乘法公式的合理运用．〔三〕学习难点在多项式与多项式的乘法中适当添括号到达运用公式的目的．二、教学设计〔一〕课前设计〔1〕阅读类任务：阅读课本完成以下问题添括号法那么：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变为相反数．〔2〕模仿类任务：①a+(b c-+)=a-b+c ②a-( b-c ) = a-b+c③-( a-b )-c= -a+b-c④-( -a-b )+c=a+b+c【设计意图】稳固去括号法那么，为新知铺垫.〔3〕探索归纳类任务：计算以下各式.①a b c a-+=-( )++=+〔〕②a b c a③a b c---=-〔〕-c④a b c--+=-( )+c【设计意图】通过简单的添括号运算，同时稳固去括号法那么.〔1〕在括号内填上适当的项①x y z x+-=-〔〕②a b c d-+-=-〔〕-d【知识点】添括号法那么【思路点拨】添括号时，括号前面是正号，括到括号里面的各项都不变号，括号前面是负号，括到里面的每一项都要都要变成相反的符号，用去括号的逆运算验证.【解题过程】【答案】①y z -+ ②()a b c --+-〔2〕以下去括号和添括号的变形中，错误的选项是〔 〕A.()a b c a b c --=-+B.()a b c a b c --=-+C. ()()11a b c b c a +--+=-+-+D. ()a b c d a b d c -+-=-+-【知识点】添括号、去括号法那么【思路点拨】添〔去〕括号时，括号前面是正号，括号里〔外〕的各项都不变号，括号前面是负号，括号里〔外〕面的每一项都要都要变成相反的符号.【解题过程】()()11a b c b c a +--+=+-+【答案】C〔3〕将()1a b -+- ()1a b ++ 化为()()m n m n +- 的形式为( )A.()()11b a b a ++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦B. ()()11b a b a ++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦C.()()11b a b a ++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦D. ()()11b a b a ++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【知识点】添括号法那么在公式中的运用【思路点拨】识别一样项和相反项，通过添括号把一样项和相反项分别结合即可【解题过程】()1a b -+- ()1a b ++=()()11b a b a ++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【答案】 B(二)课堂设计〔1〕多项式与多项式相乘，就是用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；〔2〕两数和乘以两数差等于两数的平方差；〔3〕两数和〔差〕的平方等于两数的平方和再加上〔减去〕两数乘积的2倍探究一 添括号法那么●活动1 回忆旧知问题1 前面我们学习了整式的运算，其中整式的运算中去括号的法那么是什么呢？请同学们完成以下运算并回忆去括号法那么．〔1〕4+〔5+2〕〔2〕4-〔5+2〕〔3〕a+〔b+c〕〔4〕a-〔b-c〕解：〔1〕4+〔5+2〕=4+5+2=11〔2〕4-〔5+2〕=4-5-2=-3或：4-〔5+2〕=4-7=-3〔3〕a+〔b+c〕=a+b+c〔4〕a-〔b-c〕=a-b+c去括号法那么：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符号．也就是说，遇“加〞不变，遇“减〞都变．师生活动：学生计算，师生共同分析结果【设计意图】承前启后，为本节内容的引入作铺垫；让学生在计算过程中进一步稳固去括号法那么，体会去括号与添括号的互逆关系，从一般到特殊；四个算式从数到式，可以为抽象概括出一般的结论奠定根底.●活动2 整合旧知追问1：上述问题中恒等的两个多项式左右两边可以交换位置吗？4+5+2=4+〔5+2〕，a+b+c= a+〔b+c〕追问2：从左到右就从无括号变成了有括号，那添括号的法那么又是什么呢？追问3：你能对发现的规律用语言表述出来吗？师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进展概括，发现添上括号时，括号前面是正号，括号里的各项都不变号，括号前面是负号，括号里面的每一项都要变成相反的符号.【设计意图】让学生经历具体---抽象的过程，体会研究数学问题从具体到抽象的思想方法，体会从特殊到一般的数学思想.探究二添括号法那么在乘法公式中的应用●活动1 添括号法那么在平方差公式中的应用〔1〕〔x+2y-3〕〔x-2y+3〕(2) (2x+y+z) (2x-y-z)问题2 你能把上面的式子表示成()()a b a b +-吗？【设计意图】让学生将式子转化平方差公式，开展学生观察，比拟，归纳的能力；学生转化的过程中，可以加深对公式构造特征的理解，也加深了理解一样项组合和相反项组合的组合原理. ●活动2 理解平方差公式的构造特征上面的式子变形为〔1〕()23x y +-⎡⎤⎣⎦ ()23x y --⎡⎤⎣⎦(2)()2x y z ++⎡⎤⎣⎦ ()2x y z -+⎡⎤⎣⎦问题3 你能说出谁代表公式里的a 和b 吗？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，师引导学生答复分解问题. 追问：你能运用平方差公式进展计算吗？【设计意图】重视公式的构造特征，可以帮助学生识别公式中的一样项和相反项● 活动3 添括号法那么在完全平方公式的应用你能把()21x y --变形成()2a b + 或者()2a b -吗？【设计意图】让学生将式子转化成完全平方公式，开展学生观察，比拟，归纳的能力；学生转化的过程中，可以加深对公式构造特征的理解，也加深了理解a b + 或a b - 不同的组合原理. ● 活动4 深刻理解完全平方公式的构造特征你能说出谁代表公式里的a 和b 吗？探究三 利用乘法和添括号技巧进展计算例1 ()()+a b c c a b +--【知识点】平方差公式，添括号法那么 【解题过程】 ()()+a b c c a b +--= ()b a c +-⎡⎤⎣⎦ ()b a c --⎡⎤⎣⎦=()222222b a c b a ac c --=-+- 【思路点拨】平方差公式的特征：组合成两数和与两数差．【答案】2222b a c ac --+针对练习 把代数式()()22222+5-25a ab b a ab b -++-+写成()()5+5M M - 的形式，求M ．【知识点】平方差公式构造特征，添括号法那么．【解题过程】 ()()22222+5-25a ab b a ab b -++-+=()225+2a ab b ⎡⎤-+⎣⎦ ()2252a ab b ⎡⎤--+⎣⎦【思路点拨】平方差公式的特征：辨析一样项和相反项，组合成两数和与两数差【答案】222a ab b -+例2 计算：()22a b c +-【知识点】完全平方公式，添括号法那么．【解题过程】 ()22a b c +- =()22a b c +-⎡⎤⎣⎦ 或()22a c b -+⎡⎤⎣⎦ 或()22a b c +-⎡⎤⎣⎦ 等，答案为2224442a b c ab ac bc +++--． 【思路点拨】完全平方公式特征：两数和或两数差的平方．【答案】见解题过程针对练习 计算：()223x y --【知识点】完全平方公式，添括号法那么．【解题过程】()223x y -- =()223x y --⎡⎤⎣⎦ 或()223x y --⎡⎤⎣⎦ 或()223x y -+⎡⎤⎣⎦ 等，答案为22496412x y y xy x +++-- 【思路点拨】完全平方公式特征：两数和或两数差的平方【答案】见解题过程3. 课堂总结知识梳理（1）添括号法那么，并能熟练地给一些代数式添括号.添括号法那么：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号〔2〕进一步熟悉平方差公式和完全平方公式，能灵活运用公式进展计算.重难点归纳〔1〕理解添括号法那么，总体原那么，添括号后不改变原式大小.〔2〕在多项式与多项式的乘法中适当添括号到达运用公式的目的．〔3〕三项式的完全平方，等于各项的平方和加上两两相乘的积的2倍，即()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++〔三〕课后作业根底型 自主突破1. 在以下式子中，变形正确的选项是〔 〕A.()2121x y x y --=+-B.21x y --= ()21x y --C.21x y --=()21x y ++D. 21x y --= ()21x y -+【知识点】添括号法那么【思路点拨】运用法那么括号前面是“+〞，括号里面的每一项都不变号，括号前面是“-〞 ，写在括号里面的每一项都要变成相反的符号.【解题过程】A.()2121x y x y --=+-- B.21x y --= ()2+1x y -C. 21x y --=()21x y -+【答案】D2. 以下运算正确的选项是〔 〕A ．〔x +2〕(x －2)=x 2－2 B.(x +3y )(x －3y)=x 2－3y 2C ．()22212221x y x y yx x y +-=++--+ D.(-3a －2)(3a －2)=4－9a 2【知识点】平方差、完全平方公式，添括号法那么【解题过程】A 符合平方差公式的构造特征，但是积应该是两数的平方差，2没有平方 B 同A ，D 添括号后符号没变正确，因此选C ．【思路点拨】ABD 都能运用平方差公式计算，C 运用完全平方公式计算．【答案】C3. 〔－x －y 〕( )=x 2－y 2【知识点】平方差公式【解题过程】〔－x －y 〕(－x +y )=x 2－y 2【思路点拨】多项式的乘法积要得到两项式，不能直接用平方差公式，对式子进展变形，逆用平方差公式【答案】〔－x +y 〕 ()()2211a a +- 的结果是【知识点】平方差公式，积的乘方【解题过程】()()211a a +-⎡⎤⎣⎦ = ()221a - =4212a a +-【思路点拨】积的乘方的逆运算，平方差公式的运用【答案】4212a a +-5.如下图，从边长为a 的大正方形中挖去一个边长是b 的小正方形，小明将图a 中的阴影局部拼成了一个如图b 所示的矩形，这一过程可以验证〔 〕A.a 2+b 2-2ab =〔a -b 〕2B.a 2+b 2+2ab =〔a +b 〕2a 2-3ab +b 2=〔2a -b 〕〔a -b 〕 D.a 2-b 2=〔a +b 〕〔a -b 〕【知识点】完全平方公式【解答过程】D.a 2-b 2=〔a +b 〕〔a -b 〕【思路点拨】等积法【答案】D20a b -= 23c d -= 那么a c b d --+ 的值是〔 〕A ．1 B. 2C ． -3 D. -1【知识点】添括号法那么【解题过程】 a c b d --+=()()20233a b c d ---=-=-【思路点拨】把式子变成的形式，整体代入即可【答案】-3能力型 师生共研7.()2a b c +- 需要变形成〔 〕或〔 〕或〔 〕才能利用完全平方公式计算.【知识点】添括号法那么【解题过程】()2a b c +-=()2a b c +-⎡⎤⎣⎦ =()2a c b -+⎡⎤⎣⎦ =()2a b c +-⎡⎤⎣⎦【思路点拨】添括号有两种要么添“+〞要么添“-〞，再依据法那么进展变形【答案】()2a b c +-⎡⎤⎣⎦ ()2a c b -+⎡⎤⎣⎦ ()2a b c +-⎡⎤⎣⎦ ()2a b c --+⎡⎤⎣⎦ 等 8. 假设()212x -= ，那么代数式215-2x x + 的值为〔 〕 【知识点】完全平方公式，添括号法那么【解题过程】∵()212x -=∴22212,21x x x x -+=-= ∴215-2x x +=()2119525222x x --=-= 【思路点拨】由所得，由问题变形为和的形式，然后整体代入即可. 【答案】92探究型 多维突破9.〔m -n 〕2=144，〔m +n 〕2=400，那么m 2+n 2的值为〔 〕【知识点】完全平方公式【数学思想】方程思想【解题过程】∵〔m +n 〕2=222m mn n ++ ∴〔m -n 〕2=222m mn n -+∵〔m -n 〕2=144，〔m +n 〕2=400∴()222m n + =544，∴m 2+n 2=272．【思路点拨】完全平方和与完全平方差的转换【答案】27210. 假设x 2+y 2=12，且x +y =6，求xy 的值．【知识点】完全平方公式【数学思想】方程思想【解题过程】∵ x +y =6,()236x y +=∴()2x y +=222x y xy ++ =36∴xy =12【思路点拨】完全平方的构造特征【答案】12自助餐1.不改变代数式的值，把25x x xy y -+- 的二次项放在前面带有“+〞的括号里，把一次项放在带有“-〞的括号里，正确的选项是〔 〕A ．()()2+5x xy x y +-- B.()()2+5x xy x y ---- C.()()2+5x xy y x ----D.()()2+5x xy y x -+--【知识点】添括号法那么【思路点拨】在不改变原式大小的前提下运用添括号法那么【答案】 D2. 23212mn n mn -+=- 〔 〕，括号内所填的代数式是〔 〕A.221n -B.221n mn -+C.221n mn -- D 221mn n -+【知识点】添括号法那么【解题过程】AD 改变了原式的大小；B 括号前面是“-〞每一项都要要改变符号；因此选C.【思路点拨】不改变原式大小的前提下，用添括号法那么做，用去括号法那么验证【答案】C()()a b c a b c +--- 以下变形正确的( )A. []2()a b c -+B. ()()a c b a c b -+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦C. ()2a b c ++⎡⎤⎣⎦D.()()b a c b a c +---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【知识点】平方差公式的构造特征，添括号法那么【解题过程】AC 两个式子并不是完全一样；B 添括号法那么正确：括号前是正号，括号里面每一项都不变号，D 项符号错误.因此选B ．【思路点拨】先从平方差公式的构造特征辨析，然后用添括号法那么进展变形．【答案】B4. 如果多项式22=2242018P a b a b ++++ ，那么P 的最小值是B. 2021C.2021D. 2021【知识点】完全平方公式，平方的非负性【解题过程】222242018a b a b ++++=222112(211)2018a a b b ++-+++-+=()()221212015a b ++++∵21）（+a ≥0，2)1(2+b ≥0， ∴()()221212015a b ++++的最小值为2021 ．【思路点拨】观察式子的特征，平方的非负性，灵活运用完全平方公式．【答案】C5. 实数a ,b 满足(a +b )2=1，(a -b )2=25,求a 2+b 2+ab 的值【知识点】完全平方差公式【数学思想】方程思想【解题过程】∵()2a b +22=2a b ab ++，()2222a b a b ab -=+-∴ ()2a b +-()2a b - =4ab ∵(a +b )2=1，(a -b )2=25∴6ab =- a 2+b 2+ab 2+(ab a b =+） ∴a 2+b 2+ab=(a +b )2-ab =7【思路点拨】运用完全平方公式展开找到条件与问题的联系【答案】720142015a x =+ ，20142016b x =+ ，20142017c x =+ ，求多项式222+a b c ab bc ac +--- 的值【知识点】 添括号法那么【解题过程】解：∵ 20142015a x =+，20142016b x =+，20142017c x =+∴a b -= 20142015(20142016)1x x +-+=-()20142016201420171b c x x -=+-+=- ()2014201520142017=-2a c x x -=+-+ ∴222+a b c ab bc ac +--- =2221(22+2222)2a b c ab bc ac ⨯+--- =()()()2221[]2a b a c b c -+-+- =3．【思路点拨】先求出()()()a b b c a c --- 的值，再把式子整理成这种形式代入即可．【答案】3。
人教版数学八年级上册14.2.2完全平方公式(二)-课件
a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a–b–c = a–(b+c).
添括号时,如果括号前面 是正号,括到括号里的各项都 不变号;如果括号前面是负号, 括到括号里的各项都改变符号.
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
细实
；；
博会
物谈
使使
人人
深敏
沉捷
；；
You made my day!
伦 理 使 人 庄 重 ； 逻 辑 与 修 辞 使 人 善 辩 。
写 作 与 笔 记 使 人 精 确 ； 史 鉴 使 人 明 智 ； 诗
歌
使
人
巧
慧
；
我们，还在路上……
(1) a + b - c = a + ( b-c );
(2) a – b – c = a – ( b+c ) ;
(3) a - b + c = a – ( b-c ); 能否用去括
号法则检查
(4) a + b + c = a - (-b-c ). 添括号是否
正确?
例5 运用乘法公式计算:
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
14.2.2 完全平方公式
复习： 一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 = a2-2ab +b2.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平 方和,加(或减)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公 式.
八年级上数学人教版《 平方差公式、完全平方公式》笔记
《平方差公式、完全平方公式》笔记
一、平方差公式
1.公式描述：两数和乘两数差，等于两数平方差。
2.公式结构：(a+b)(a−b)=a2−b2
3.公式说明：此公式是整式乘法中的重要公式之一，它适用于任何具有此结
构的式子，可以简化计算。
4.公式应用：在解决数学问题时，此公式可以用于计算两数之和与两数之差
的积，也可以用于分解因式和求值。
二、完全平方公式
1.公式描述：首平方又末平方，二倍首末在中央；和的平方加再加，先减后
加差平方。
2.公式结构：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2
3.公式说明：此公式是整式乘法中的另一个重要公式，它适用于任何具有此
结构的式子，可以简化计算。
4.公式应用：在解决数学问题时，此公式可以用于计算一个数的平方加上或
减去两倍的此数与另一数的积再加上或减去两倍的此数的平方，也可以用于分解因式和求值。
三、注意事项
1.在使用公式时要注意公式的结构以及字母的含义，避免出现错误。
2.在进行计算时要注意运算顺序和符号，确保计算结果的准确性。
3.在解决实际问题时要注意公式的应用范围和限制条件，避免出现错误的应
用。
初二数学人教版完全平方公式第二课时
(−x)2=x2.
两数差的完全平方公式： (a−b)2 = a2−2ab+b2.
= (2x−5)2
= (2x) 2−2·(2x) ·5+52
ab
= 4 x 2− 20x + 25;
初中数学
例题讲解
初中数学
例 运用完全平方公式计算： 方法一：
解：(2) (−2x−5)2
两数差的完全平方公式：
ab
(a−b)2 = a2−2ab+b2.
= a2−4ab−2a+4b2+4b+1．
例题讲解
例 运用完全平方公式计算：
解： (2) (a−2b−1)2
=[+(a−2b)−1]2
添括号法则： 括号前面是正号，到括号 里的各项都不变符号．
初中数学
=[a−(2b+1)]2
添括号法则： 括号前面是负号，括到括 号里的各项都改变符号．
课堂总结
1.底数首项为负：
= (−2x)2−2·(−2x)·5+52
= 4x2+20x+25;
例题讲解
例 运用完全平方公式计算：
方法二：
解：(2) (−2x−5)2
(−x)2=x2.
= [−(2x+5)]2
两数和的完全平方公式： (a+b)2 = a2+2ab+b2.
= (2x+5) 2 =(2x)2+2·(2x)·5+52
= a2−4ab+4b2−2a+4b+1 ．
例题讲解
初中数学
例 运用完全平方公式计算： 方法二：
解： (2) (a−2b−1)2； =[a−(2b+1)]2
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15.2乘法公式
§ 15. 2 .2完全平方公式（第2课时）教案教学任务分析
教学流程安排
教学过程设计
问题与情景师生行为设计意图
[活动1]
问题
(1)平方差公式：
2 2
(a+b)(a-b)=a -b 公式的结构特点？
(2)完全平方公式：
2 2 2
(a+b)2=a2+2ab+b2
2 2 2
(a-b) =a -2ab+b 公式的结构
特点？
(3)利用平方差公式来解决这个式子吗？
(a+b+3)(a+b- 3);
学生观察、分析平方差公式结
构特征：第一项相等，第二项
仅符号相反•
学生观察:认识完全平方公式
特征：
(1)公式左边是两个数的和
(或差)的平方；
(2)公式右边是两个数的平方
和，再加上(或减去)两数积的2
倍.
学生尝试化简(a+b+3)(a+b-
3)，老师深入小组，倾听学生
的交流，引导学生用添括号把
二项变成两项，变形成平方差
公式的特点•
通过复习乘法公式，发现公
式的结构特点，这样为下一
活动中学习乘法公式的灵活
应用作准备•
通过情景问题，引导学生尝
试用平方差公式化简项数为
二项的整式乘法，发现要添
加括号，这样就大大激发了
学生的求知欲和好奇心.从而
引出添括号•
[活动2] 引入：
(1)填空：
① a- (-b-c)
②a+ (b-c)
③a- ( b-c)
学生独立思考，自主完成练
习，教师给予评讲，得出去括
号法则•
(3)从左往右看
a+ ( b-c)= a+b-c
a-( b-c)=a-b+c
从右往左看：
a +
b -
c = a +( b + c)
a +
b -
c = a--b +c )
思考：左边没括号，右边有括
号，也就是添了括号，同学们
可不可以总结出添括号法则来
呢？
(学生分组讨论，最后总结)
添括号其实就是把去括号反过
来，所以添括号法则是：
通过去括号法则，学生掌握
添括号法则•
掌握法则的关键是要把添括
号(或去括号)与括号前面的
符号看成统一体，不能拆
开，理解“各项”的含义。
例如a+b-c，要对+b-c项添
括号，可以让a先休息，括
号前添加号，括号里的每项
都不改变符号，也就是+
(+b-c)，括号里的第一项若
系数为正数可省略正号即
+ (b-c)，于是得：a+b-c=a+
(b-c);若括号前添减号，
括号里的每一项都改变符
号，+b改为-b, -c改为+c.也
就是-(-b+c)，于是得a+b-
c=a- (-b+c).添加括号后，无
论括号前是正还是
板书设计
§ 15. 2 .2完全平方公式(2)
•复习平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 特征：第一项相等，第二项仅符号相反
完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2
、去括号法则： 添括号法则：遇“加”不变，遇“减”都变.
三、乘法公式的深化应用. 例 5 计算:(1) (a+3+b) (a+3-b); (2) (x+2y-3)(x-2y+3)
解题小结：对每个多项式先按相同的项及仅有符号不同的项分别归类
2
例 6. (m+ n+p) 2 2 2
=m + n+p +2m n+2mp+2 np
四•课堂小结：
本节课你学到了什么？你有何收获和体会？ 五•当堂训练• 六•课外作业：预习15.3.1同底数幕的除法
[ 来 源:21 世纪 教育 网]。