高一数学复习 必修Ⅳ 基础练习题2
人教新课标版数学高一-人教B版必修4练习 第一章 基本初等函数(Ⅱ) 章末复习课
第一章 章末复习课 课时目标 1．复习三角函数的基本概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式．2．复习三角函数的图象及三角函数性质的运用． 知识结构一、选择题1．cos 330°等于( )A ．12B ．－12C ．32D ．－322．已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x 等于( ) A ．－34 B ．－43 C ．34 D ．433．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π2，k ∈Z }．则( ) A ．M ＝N B ．M NC ．N MD ．M ∩N ＝∅4．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移5π12个单位长度 B ．向右平移5π12个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度 D ．向右平移5π6个单位长度 5．若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是( )A ．{x |2k π－3π4<x <2k π＋π4，k ∈Z } B ．{x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z } C ．{x |k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z } D ．{x |k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z } 6．如图所示，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos π6t ＋10B ．h ＝－8cos π3t ＋10 C ．h ＝－8sin π6t ＋10 D ．h ＝－8cos π6t ＋10二、填空题7．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________． 8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．9．函数f (x )＝|sin x |的单调递增区间是__________．10．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ， ①图象C 关于直线x ＝1112π对称； ②函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 以上三个论断中，正确论断的序号是________．三、解答题11．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α．12．已知函数f (x )＝－sin 2x －a sin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a >0，求a 、b 的值．能力提升13．若0<x <π2，则2x 与πsin x 的大小关系是( ) A ．2x >πsin x B ．2x <πsin xC ．2x ＝πsin xD ．与x 的取值有关14．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x .给出下列四个命题： ①该函数的图象关于x ＝2k π＋π4(k ∈Z )对称； ②当且仅当x ＝k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值1； ③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2 (k ∈Z )时，－22≤f (x )<0． 其中正确的是________．三角函数的性质是本板块复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．第一章 章末复习课 答案作业设计1．C2．D3．B4．A5．D6．D7．－35解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×15－1＝－35．8．32解析 由图象可知三角函数的周期为T ＝4×π3＝2πω，∴ω＝32． 9．⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z 解析 f (x )＝|sin x |的周期T ＝π，且f (x )在区间上单调递增，∴f (x )的单调增区间为，k ∈Z ．10．①②解析 ①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫116π－π3＝3sin 32π＝－3， ∴x ＝1112π为对称轴； ②由－π12<x <5π12⇒－π2<2x －π3<π2，由于函数y ＝3sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内单调递增，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内单调递增； ③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，得不到图象C ．11．解 (1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611． (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330． 12．解 令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2－at ＋b ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋a 22＋a 24＋b ＋1， 且t ∈．下面根据对称轴t 0＝－a 2与区间的位置关系进行分类讨论． (1)当－a 2≤－1，即a ≥2时， ⎩⎪⎨⎪⎧ y max ＝g (－1)＝a ＋b ＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4.解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2.(2)当－1<－a 2<0，即0<a <2时， ⎩⎪⎨⎪⎧ y max ＝g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24＋b ＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－10.(舍) 综上所述，a ＝2，b ＝－2．13．B14．①解析f(x)＝max{sin x，cos x}，在同一坐标系中画出y＝sin x与y＝cos x的图象易知f(x)的图象为实线所表示的曲线．由曲线关于x＝2kπ＋π4(k∈Z)对称，故①对；当x＝2kπ (k∈Z)或x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)max＝1，故②错；该函数以2π为最小正周期，故③错；观察曲线易知，当2kπ＋π<x<2kπ＋3π2(k∈Z)时，－22≤f(x)<0，反之不成立，故④错．。
备课参考高一数学北师大必修四同步练习：第2章 平面向量 含答案
11.已知a+b=2i－8j,a－b=－8i+16j,那么a·b=___________（其中i,j为两个互相垂直的单位向量）.
12.设点A（3,－4）,B（1,2）,P是直线 上的一点,且| |=2| |,则点P坐标是___________.
∴ 与 共线,又 与 有公共点A，
∴A、B、D三点共线.
（2）【解】ka+b与a+kb垂直,
即（ka+b）·（a+kb）=0
ka2+（k2+1）a·b+kb2=0
ka2+（k2+1）|a||b|coபைடு நூலகம்60°+kb2=0
3k2+13k+3=0,
解得k= .
∴（a2+b2－c2）2=2a2b2
∴ ,
∴
又a2+b2－c2＞0,a＞0,b＞0,
∴ ,
∴cosC= ,
∴∠C= .
17.【解】将二次函数y=px2+qx+r的图象按向量a=（3,－4）平移后得到的图象的解析式为:y+4=p（x－3）2+q（x－3）+r,
即y=px2+（q－6p）x+9p－3q+r－4,
【答案】 或2
三.解答题
15.【解】设 =（x,y）,
则 = + =（x+3,y+1）
= － =（x+4,y－1）
由 ⊥ ,得－（x+3）+2（y+1）=0
即x－2y+1=0①
人教版数学高一-人教A版必修4习题 第2章 平面向量 复习提升
章末复习提升课平面向量的线性运算向量的线性运算包括向量及其坐标运算的加法、减法、数乘，向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向量满足分配律．利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．(2)(2015·高考北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．[解析] (1)因为 λa ＋b 与a ＋2b 平行， 所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.(2)因为 AM →＝2MC →，所以AM →＝23AC →.因为 BN →＝NC →， 所以AN →＝12(AB →＋AC →)，所以MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.[答案] (1)12 (2)12 －16向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.向量的夹角及垂直问题(1)两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，利用这两个结论，可以判断两个向量的位置关系．(2)两个向量的夹角公式： cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(1)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1(2)已知a 、b 都是非零向量，若－3a ＋b 与5a ＋7b 垂直，16a ＋11b 与2a －7b 垂直，试求a 与b 的夹角．[解] (1)选B ．因为m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.(2)因为－3a ＋b 与5a ＋7b 垂直， 所以(－3a ＋b )·(5a ＋7b )＝0， 所以－15a 2－16a ·b ＋7b 2＝0.①同样由16a＋11b与2a－7b垂直，得32a2－90a·b－77b2＝0.②由11×①＋②，得－133a2－266a·b＝0.所以a·b＝－12a2.③将③代入①，得a2＝b2，所以|a|＝|b|.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝a·b|a|2＝a·ba2＝－12.又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系)，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单.向量的长度(模)与距离的问题求向量的模主要有以下两种方法：①利用公式|a|2＝a2将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和性质进行展开、合并，使问题得以解决；②利用公式|a|＝x21＋y21将其转化为实数运算，使问题得以解决．(1)设向量a＝(0，－1)，向量b＝(cos x，sin x)，则|a＋b|的取值范围为________．(2)设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，则|3a＋b|的值为________．[解析](1)a＝(0，－1)，b＝(cos x，sin x)，所以a＋b＝(cos x，sin x－1)．所以|a＋b|＝cos2x＋（sin x－1）2＝2－2sin x＝2（1－sin x）.因为－1≤sin x≤1，所以0≤|a＋b|≤2.(2)法一：因为|3a－2b|＝3，所以9a2－12a·b＋4b2＝9.又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝13.所以|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2 ＝9a 2＋6a ·b ＋b 2 ＝9＋6×13＋1＝12.所以|3a ＋b |＝23.法二：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． 因为|a |＝|b |＝1，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝1.因为3a －2b ＝(3x 1－2x 2，3y 1－2y 2)， 所以|3a －2b |＝（3x 1－2x 2）2＋（3y 1－2y 2）2＝3.所以x 1x 2＋y 1y 2＝13.所以|3a ＋b |＝（3x 1＋x 2）2＋（3y 1＋y 2）2＝9＋1＋6×13＝23.[答案] (1)[0，2] (2)2 3数形结合思想已知向量OB →＝(2，0)，向量OC →＝(2，2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围为( )A .⎣⎡⎦⎤0，π4B ．⎣⎡⎦⎤π4，5π12 C .⎣⎡⎦⎤5π12，π2D .⎣⎡⎦⎤π12，5π12[解析] 如图，向量CA →的终点A 在以点C (2，2)为圆心、半径为2的圆上，OA 1，OA 2是圆的两条切线，切点分别为A 1，A 2.在Rt △OCA 1中，|OC →|＝22，|CA 1→|＝2， 所以∠COA 1＝π6.所以∠COA 2＝∠COA 1＝π6.因为∠COB ＝π4，所以∠A 1OB ＝π4－π6＝π12，∠A 2OB ＝π4＋π6＝5π12，所以向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π12，5π12. [答案] D向量本身既有大小，又有方向，可以用几何法表示，而向量又有良好的运算性质——坐标运算，可把向量与数联系起来，这样向量具备了“数”与“形”的两方面特征．两条直线平行、垂直，三点共线等几何问题，可通过向量的坐标运算这种代数手段实现证明，还可利用向量的数量积处理线段的长度、角度等问题.1．(2015·高考福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k B ．若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32解析：选A .c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.2．(2016·吉林实验中学质检)已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定解析：选A .因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B ＞π2，所以A＞π2－B ，且A ，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 所以p·q ＝sin A －cos B ＞0，故p ，q 的夹角为锐角．3．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________． 解析：AB →＝(3，－4)，与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：⎝⎛⎭⎫35，－45 4．(2015·高考浙江卷)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ， 因为 e 1·e 2＝12，所以|e 1||e 2|cos θ＝12，所以θ＝60°.又因为 b ·e 1＝b ·e 2＝1>0，所以b 与e 1的夹角等于b 与e 2的夹角等于30°. 由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1， 所以|b |＝132＝233.答案：2335．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，点F 在BC 上，且BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →. 解：(1)由已知得AM →＝AD →＋DM →＝12a ＋B ．HF →＝HD →＋DC →＋CF →＝12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－23b ＝a －16B ． (2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×⎝⎛⎭⎫－12＝－6， 从而AM →·HF →＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113.。
2019学年高一数学人教A版必修4同步练习：2.2.1～2.2.2 向量加法、减法运算及其几何意义(含解析)
第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算2．2.1～2.2.2 向量加法、减法运算及其几何意义1．理解向量的和，掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法的运算律及向量减法的三角形法则．2．理解向量模的性质．基础梳理一、向量加法运算1．向量加法的定义：我们把求两个向量a ，b 和的运算，叫做向量的加法，记作：a ＋b .(1)两个向量的和仍然是一个向量； (2)零向量与任一向量a 有a ＋0＝0＋a ＝a .2．向量加法的三角形法则：向量AB→与BC →相加时，AB →的终点作为BC →的起点，这时起点A 到终点C 的向量AC →就是这两个向量的和向量，即AB→＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法叫三角形法则． 向量加法的三角形法则：“首尾相接，首尾相连” . 3．向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适用)： 以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC→就是向量的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图：特殊情况：4．运算律．(1)向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．练习：三角形法则、平行四边形法则是否对所有向量a ，b 求和都适用？答案：三角形法则适合所有向量，平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．思考应用1．由物理上学习的位移的合成，你能否把三角形法则推广到n 多边形的情况？解析：三角形法则能够推广到n 个向量相加的情况：AB →＋BC →＋CD →＋DE→＝AE →(注意字母必须首尾顺次连接首尾)，位移的合成能够看成是向量加法三角形法则的物理模型．二、向量减法运算1．减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA→＝a －b . 即a －b 能够表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． 向量减法的三角形法则：“起点相同，指向被减向量”．2．|a ＋b |、|a －b |、|a |＋|b |、|a |－|b |之间的关系．对于任意的两个向量a 与b ，有||||a －||b ≤||a ±b ≤||a ＋||b ． 注意：当a ，b 共线时(包括同向和反向)上式等号成立．思考应用2．前面讨论的是向量运算，我们还学过那些运算？体会它们的异同．解析：我们学过实数间的运算、集合间的运算、函数间的运算，今天又学到了向量间的运算．对于两个向量，通过三角形法则或平行四边形法则，有唯一的和向量与之对应．一般的，对于两个对象，通过一个法则都有唯一确定的对象与之对应，这就是运算．运算能够协助我们解决很多的问题．自测自评1．下列等式准确的个数是(C )①a ＋0＝a ； ②b ＋a ＝a ＋b ； ③－(－a )＝a ； ④a ＋(－a )＝0； ⑤a ＋(－b )＝a －b .A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如右图，在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是(C )A.AB→＝DC → B.AD→＋AB →＝AC → C.BA→＋BC →＝AC → D.AD→＋CB →＝0 解析：∵BA→＋BC →＝BD →， ∴C 中的结论错误．故选C .3．化简OP→－QP →＋PS →＋SP →的结果等于(B ) A .QP→ B .OQ → C .SP → D .SQ → 4．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则(A ) A ．a 与b 方向相同 B ．a ＝b C ．a ＝－b D ．a 与b 方向相反基础提升1．化简PM→－PN →＋MN →所得结果是(C ) A.MP→ B.NP → C ．0 D .MN → 2．已知MA →＝(－2，4)，MB →＝(2，6)，则12AB →的坐标是(D )A ．(0，5)B ．(0，1)C ．(2，5)D ．(2，1)解析：AB→＝MB →－MA →＝(2，6)－(－2，4)＝(4，2)， ∴12AB →＝(2，1)．故选D . 3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向(A ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反4．若O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0.则O 是△ABC 的(B )A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心解析：OA→＋OB →＋OC →＝0，∵OA →＋OB →是以OA →，OB →为邻边作平行四边形的对角线且过AB 的中点，设点D ，则OA→＋OB →＝2OD →，∴2OD→＋OC →＝0.∵D 为AB 的中点，同理E ，F 为AC ，BC 中点，∴满足条件的点O 为△ABC 三边中线交点，故为重心．5．向量(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于(C ) A .BC→ B .AB → C .AC → D .AM → 解析：(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(MB →＋BO →)＋OM→＝AC →＋MO →＋OM →＝AC →.故选C . 巩固提高6．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝120°，则|a ＋b |＝________．答案：37．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，求OD →.解析：∵BA→＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →， ∴OD→－OC →＝OA →－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →， ∴OD→＝a －b ＋c . 8．若在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则FA→＋AB →＋2BO →＋ED→等于(B ) A.FE→ B.AC → C.DC → D.FC → 解析：FA→＋AB →＋2BO →＋ED →＝FE →＋ED →＝FD →＝AC →. 9．已知：△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．求证：DE 綊12BC .证明：因为D 、E 分别为AB 、AC 的中点，故AD →＝12AB →，AE→＝12AC →.DE →＝AE→－AD →＝12(AC →－AB →)＝12BC →.所以DE 綊12BC .掌握两个向量的减法运算能够转化为加法来实行．1．记住常用关系、常用数据：如△ABC 中AB→＋BC →＋CA →＝0；以向量a ，b 为邻边的平行四边形中，a ±b 表示的是两条对角线所在的向量．2．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．。
高一数学总复习卷--必修4第二章：平面向量(基础性练习)
花都区实验中学高一数学总复习卷《必修4》第二章：平面向量【基础性练习】一、选择题： 1．化简AC - BD + CD - AB 得（ ） A ． AB B ． C ． BC D ． 0 2．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A ． 00a b =B ． 001a b ⋅= C ． 00||||2a b += D ． 00||2a b += 3．已知下列命题中： （1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b = ， （2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅ 其中真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 34． 下列命题中正确的是（ ）A ． 若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ． 若a ⋅b ＝0，则a ∥bC ． 若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D ． 若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)25． 已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且a b ⊥ ，则x =（ ）A ． 3-B ． 1-C ． 1D ． 3 6． 已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值， 最小值分别是（ ）A ． 0,24B ． 24,4C ． 16,0D ． 4,0二、填空题：1． 若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________2． 平面向量,a b 中，若(4,3)a =- =1，且5a b ⋅= ，则向量b =____．3． 若3a = ,2b = ，且与的夹角为060，则a b -= ． 4． 把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是___________． 5． 已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________．三、解答题 1． 如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示、BF 、CG ．2． 已知向量 a 与b 的夹角为60 ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,求向量a 的模．3． 已知点(2,1)B -，且原点O 分→AB 的比为3-，又(1,3)b →=，求→b 在→AB 上的投影．4． 已知(1,2)a = ,)2,3(-=,当k 为何值时，（1）ka b + 与3a b - 垂直？（2）ka + 与3a - 平行？平行时它们是同向还是反向？。
高一数学 必修4同步练习题：必考部分 第2章 2.2 2.2.2 学业分层测评13
学业分层测评(十三)一、选择题1．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →的相反向量是( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b【解析】 ∵BD →＝AD →－AB →＝b －a ， ∴BD →的相反向量为－(b －a )＝a －b . 【答案】 A2．若a ，b 为非零向量，则下列命题错误的是( ) A ．若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同 B ．若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反 C ．若|a |＋|b |＝|a －b |，则|a |＝|b |D ．若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同【解析】 当a ，b 方向相同时，有|a |＋|b |＝|a ＋b |，||a |－|b ||＝|a －b |；当a ，b 方向相反时，有|a |＋|b |＝|a －b |，||a |－|b ||＝|a ＋b |，故A ，B ，D 均正确．【答案】 C3．在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( ) A ．AB →＋BC →＝CA → B ．BC →＋CD →＝BD → C ．AB →＋AD →＝AC →D ．AB →－AD →＝BD → 【解析】 由向量加减法法则知AB →＋BC →＝AC →，BC →＋CD →＝BD →，AB →－AD →＝DB →.C 项只有四边形ABCD 是平行四边形时才成立，故选B ．【答案】 B 4．给出下列各式：①AB →＋CA →＋BC →；②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →＋OA →；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 ①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →＋OA →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 【答案】 A5．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )【导学号：00680041】图2-2-15A ．AD →＋BE →＋CF →＝0 B ．BD →－CF →＋DF →＝0 C ．AD →＋CE →－CF →＝0D ．BD →－BE →－FC →＝0【解析】 因为D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点， 所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →， 所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立．BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立． AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立． BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立． 【答案】 A 二、填空题6．如图2-2-16所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)图2-2-16【解析】 由题意，在平行四边形ABCD 中，因为OA →＝a ，OB →＝b ，所以BA →＝OA →－OB →＝a －b ，所以CD →＝BA →＝a －b ， 所以OD →＝OC →＋CD →＝a －b ＋c . 【答案】 a －b ＋c7．设|a |＝|b |＝6，且a 与b 的夹角为2π3，则|a －b |＝________.【解析】 作OA →＝a ，OB →＝b (如图)，则|a －b |＝|BA →|，在Rt △BCO 中，∠BOC ＝π3，|BO →|＝|b |＝6，∴|BC →|＝33，∴|a －b |＝|BA →|＝2|BC →|＝6 3. 【答案】 6 3 三、解答题8.如图2-2-17，解答下列各题：图2-2-17(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解】 因为AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ， 所以(1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .9．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b ，求证：(1)|a －b |＝|a |；(2)|a ＋(a －b )|＝|b |. 【导学号：70512027】【证明】 如图，在等腰Rt △ABC 中，由M 是斜边AB 的中点，得|CM →|＝|AM →|，|CA →|＝|CB →|.(1)在△ACM 中，AM →＝CM →－CA →＝a －b . 于是由|AM →|＝|CM →|， 得|a －b |＝|a |.(2)在△MCB 中，MB →＝AM →＝a －b ， 所以CB →＝MB →－MC →＝a －b ＋a ＝a ＋(a －b )． 从而由|CB →|＝|CA →|， 得|a ＋(a －b )|＝|b |.[能力提升]1．平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若|m |＝|n |，则有( ) A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形【解析】 如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.∵|m |＝|n |，∴|AC →|＝|DB →|. ∴四边形ABCD 是矩形，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°. 【答案】 C2．已知△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，满足|a|＝|b|＝|a －b|＝2，求|a ＋b|与△OAB 的面积．【解】 由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形， 且OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a|＝|b|＝|a －b|，则OA ＝OB ＝BA ， ∴△OAB 为正三角形， ∴|a ＋b|＝|OC →|＝2×3＝23， S △OAB ＝12×2×3＝ 3.。
人教B版高中数学必修四高一同步训练：2.1.2向量的加法.docx
2.1.2 向量的加法一、基础过关1． 已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( )A ．向东南航行 2 kmB ．向东南航行2 kmC ．向东北航行 2 kmD ．向东北航行2 km2． 如图在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →3． a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可4． 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A.BD →B.DB →C.BC →D.CB →5． 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 36． 在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.7． 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形．8． 如图：平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．求证：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 二、能力提升9． 已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是________． 10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证：四边形AECF 是平行四边形．三、探究与拓展13．在日本3·11大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．答案1．A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.07．证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形． 8． 证明 ∵P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD → ＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →) ＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →) ＝4PO →＋0＋0＝4PO →. ∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 9． 8 10.011．解 如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5. ∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →， 所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等， 所以四边形AECF 是平行四边形．13．此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处。
高一数学必修四一二章练习题
学校 班级 姓名 考场___________考试号_______________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 江南实验学校2015-2016学年度七年级英语周练 本试卷共印两个班七二/七三 命题人：高喜朵 时间10月28日 Unit 2 Topic 1 (满分100分 时间90分钟)第一部分 听力(20分) Ⅰ.听句子，选择正确图片，有一幅多余。
每个句子读两遍。
(5分) 1. ____ 2. ____ 3. ____ 4. ____ 5. ____Ⅱ.听句子，选择正确答语。
每个句子读两遍。
(5分) ( )6. A. He is short. B. He is Jack. C. He is twelve. ( )7. A. Yes, I do. B. Yes, I am. C. Yes, it isn ’t. ( )8. A. Yes, he does. B. No, he doesn ’t. C. Yes, he is. ( )9. A. No, she isn ’t. B. No, she doesn ’t. C. No, she has a sister. ( )10. A. They’re students. B. They’re in Class One. C. They come from England. Ⅲ.听对话及问题，选择正确答案。
每组对话和问题读两遍。
(5分) ( )11. A. Michael. B. Jim. C. Alice. ( )12. A. Yes, I do. B. No, she doesn ’t. C. Yes, she does. ( )13. A. No, he doesn ’t. B. Yes, he does. C. Yes, he is. ( )14. A. The UK. B. Canada. C. The USA. ( )15. A. Yes, she does. B. No, she doesn ’t. C. No, she has long legs. Ⅳ.听短文，选择正确答案。
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高一数学必修Ⅳ《三角函数&平面向量》基础练习题二
（考试时间120分钟 ，满分150分）
★祝考试顺利★
一．选择题（每小题5分，共60分）
1．已知平面向量(1,1),(1,1)==-a b ，则向量13
22
-=a b （ ）
A ．(2,1)--
B ．(2,1)-
C ．(1,0)-
D ．(1,2)-
2．化简0
sin 600的值是（ ）
A ．0.5
B ．0.5- C
．
2 D ．2
- 3．已知向量(1
)(1)n n ==-，，，a b ，n >0,若2-a b 与b 垂直，则=n
（ ） A ．1
B
C ．2
D ．4
4．下列各组的两个向量，垂直的是( )
A ．(2,3)a =-，(4,6)b =
B ．(1,2)a =-，(7,14)b =
C ．(2,3)a =， (3,2)b =-
D ．(3,2)a =-，(6,4)b =-
5．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛
⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）
A ．向右平移π
6个单位
B ．向右平移π
3个单位
C ．向左平移π
3
个单位
D ．向左平移π
6
个单位
6．函数x x y tan sin +=的奇偶性是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数 7．若角α的终边过点（sin30o ,－cos30o ）,则sin α等于（ ） A ．
21 B ．－21 C ．－23 D ．－3
3 8．已知角α的终边经过点()
3,1-P ，则=+ααcos sin （ ）
A
21
3+ B 213- C 213+- D 2
1
3+- 9．向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -垂直，则m 等于（ ）
A ．2-
B ．2
C ．65
D ．1
2
- 10．有下列四种变换方式:
①向左平移
4π,再将横坐标变为原来的21; ②横坐标变为原来的21,再向左平移8
π
;
③横坐标变为原来的21,再向左平移4π; ④向左平移8
π,再将横坐标变为原来的21
;
其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为)4
2sin(π
+=x y 的图像的是（ ）
A ．①和②
B ．①和③
C ．②和③
D ．②和④ 11．函数 2sin(2)3
y x π
=-
的单调递增区间是（ ）
A. [1252,122ππππ--k k ] （k ∈Z ）
B. [12,127ππππ--k k ] （k ∈Z ） C . [122,1272ππππ--k k ] （k ∈Z ） D. [12
5,12ππππ+-k k ] （k ∈Z ） 12．已知函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示.则函数()f x 的
解析式为( )
A ．)621sin(2)(π
+=x x f
B ．)6
21sin(2)(π
-=x x f
C ．)6
2sin(2)(π
-=x x f
D ．()2sin(2)6
f x x π
=+
二．填空题（每小题3分，共15分） 1． 0
2016的终边落在第_____ 象限。
2．已知点)2,1(),1,0(),1,2(),0,1(--D C B A ，则与的夹角大小为
3．函数2sin(4)6
y x π
π=-+
的周期为______.
4．已知b a b a k b a 3)2,3(),2,1(-+-==与且平行，则k 的值为_________； 5．已知4
sin()2
5
x π
+
=
，且sin cos 0x x <，则tan x =______ 三. 解答题（本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1. （满分12分）已知tan 2x =，求 （1）sin cos cos x x x
+ （2）2
sin sin cos x x x +
2．（满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ---- （Ⅰ）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； （Ⅱ）设实数t 满足()0AB tOC OC -=，求t 的值.
3．（满分12分） 证明：
tan sin tan sin tan sin tan sin αααα
αααα
⋅+=⋅-⋅
4. （满分12分）已知向量(cos ,sin ),[0,]a θθθπ=∈
，向量1)b =- （1）当//a b ，求θ. （2）当a b ⊥时，求θ.
5. （满分13分）已知2tan 1,(,)12tan 32
απ
απα=∈+
(Ⅰ)求tan α的值； (Ⅱ)求
sin 2cos 5cos sin αα
αα
+-的值.
6. （满分14分）已知函数3()2sin(2)4
f x x π=-
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； （2）指出)(x f 的周期、振幅、初相、对称轴； （3）求函数)(x f 的单调减区间。
（4）说明此函数图象可由][0,2sin π在x y =上的图象经怎样的变换得到.。