课时提升作业_六_1.3--(人教A版)数学选修1 课时作业本(有答案)-(高二)
综合质量评估--(人教A版)数学选修1 课时作业本(有答案)-(高二)
综合质量评估--(人教A 版)数学选修1 课时作业本（有答案)-(高二)综合质量评估 第一至第三章 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x>3”是“不等式x 2-2x>0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x 2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x 2-2x>0”的充分不必要条件.2.命题:“∀x ∈R,都有x 2-x+1>0”的否定是 ( ) A.∀x ∈R,都有x 2-x+1≤0B.∃x 0∈R,使-x 0+1>0C.∃x 0∈R,使-x 0+1≤0D.∃x 0∈R,使x 2-x 0+1<0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f ′(x)的图象可能是 ( )【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f ′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f ′(x)<0.4.南南阳高二期末)若函数f(x)=x 3+ax 2+3x-9在x=-1时取得极值,则a 等于 ( ) A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f ′(x)=3x 2+2ax+3.由题意知f ′(-1)=0,解得a=3.5.设曲线y=ax 2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a 的值为 ( )A.1B.C.-D.-1【解析】选A.y ′=2ax,于是曲线y=ax 2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.6.已知点P 是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=3,则|PF 2|等于 ( ) A.7B.6C.5D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF 2|. 【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x ±ay=0,则a=2,双曲线中c=,b=3,由|PF 1|=3知P 为双曲线左支上一点, 则|PF 2|=|PF 1|+4=7.7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率 为 ( )A.B.C.D.【解析】选B.由题意知=,得a 2=4b 2,又a>b>0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e===.【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( )A.B.5C.D.【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x 2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.8.设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),令f′(x)≤0得0<x≤3.所以f(x)在(0,3]上单调递减,所以解得1<a≤2.9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.10.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,又因为圆心在OF 的垂直平分线上,|OF|=,所以+=6,p=8.11.南二模)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 在x 1处取得极大值,在x 2处取得极小值,满足x 1∈(-1,0),x 2∈(0,1),则的取值范围是 ( ) A.(0,2) B.(1,3) C.[0,3]D.[1,3]【解析】选B.因为f(x)=x 3+ax 2+bx+c, 所以f ′(x)=x 2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值, 所以f ′(x)=x 2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根, f ′(0)<0,f ′(-1)>0,f ′(1)>0,即在aOb 坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2×,令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得0<<1,则1<<3,所以的取值范围是(1,3).12.门模拟)若点O 和点F(-2,0)分别是双曲线-y 2=1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为 ( )A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)C.D.【解析】选B.因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a 2+1=4,即a 2=3,所以双曲线方程为-y 2=1,设点P(x 0,y 0)(x 0≥),则有-=1(x 0≥),解得=-1(x 0≥),因为=(x 0+2,y 0),=(x 0,y 0),所以·=x 0(x 0+2)+=x 0(x 0+2)+-1=+2x 0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=-,因为x 0≥,所以当x 0=时,·取得最小值×3+2-1=3+2,故·的取值范围是[3+2,+∞).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.函数f(x)=lnx 的图象在点(e,f(e))处的切线方程是 .【解析】因为f ′(x)=,所以f ′(e)=,又f(e)=1,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x.答案:y=x14.若命题“∃x 0∈R,a+x 0+1<0”是假命题,则a 的取值范围是 .【解析】因为∃x0∈R,a+x0+1<0是假命题,所以∀x∈R,ax2+x+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0,命题成立.当a≠0时,即所以a≥,所以a的取值范围为a≥或a=0.答案:a≥或a=015.若直线y=kx是y=f(x)=lnx的一条切线,则k= . 【解析】设切点坐标为(x0,y0).因为y=lnx,所以y′=.所以f′(x0)==k.因为点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=lnx上,所以把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.所以k==.答案:16.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ,b= .【解题指南】焦点在x 轴的双曲线的渐近线为y=±x,焦点(±c,0).【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2①.焦点(,0),所以c=.所以a 2+b 2=c 2=5②.由①②联立解得a=1,b=2. 答案:1 2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)命题p:关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x 是增函数,若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围. 【解析】设g(x)=x 2+2ax+4,若p 真,由于关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立, 所以函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点, 故Δ=4a 2-16<0, 所以-2<a<2.若q 真,即函数f(x)=(3-2a)x 是增函数, 则3-2a>1,所以a<1.又由于p 或q 为真,p 且q 为假,所以p 和q 一真一假,(1)若p 真q 假,则所以1≤a<2. (2)若p 假q 真,则所以a≤-2.综上可知,所求实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).【补偿训练】已知p:f(x)=x+在区间 [1,+∞)上是增函数;q:f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值.若“p∨q”为真,求实数a的取值范围.【解析】若p真,f′(x)=1-.因为f(x)=x+在区间[1,+∞)上是增函数,则f′(x)=1-≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x2在[1,+∞)上恒成立,所以a≤(x2)min,所以a≤1.p:A={a|a≤1}.若q真,f′(x)=3x2+2ax+3.要使得f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值,则f′(x)=3x2+2ax+3=0有两个不相等的实数解,Δ=4a2-4×3×3>0,解得a<-3或a>3.q:B={a|a<-3或a>3}.因为“p∨q”为真,所以A∪B={a|a≤1或a>3}.所以所求实数a的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞).18.(12分)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.【解析】(1)f ′(x)=3x 2-x+b,f(x)的图象上有与x 轴平行的切线,则f ′(x)=0有实数解. 即方程3x 2-x+b=0有实数解. 所以Δ=1-12b ≥0,解得b ≤.(2)由题意,得x=1是方程3x 2-x+b=0的一个根,设另一个根为x 0,则解得所以f(x)=x 3-x 2-2x+c, f ′(x)=3x 2-x-2.当x ∈时,f ′(x)<0;当x ∈(1,2]∪时,f ′(x)>0.所以当x=-时,f(x)有极大值+c,又f(-1)=+c,f(2)=2+c,所以当x ∈[-1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c. 因为当x ∈[-1,2]时,f(x)<c 2恒成立. 所以c 2>2+c,解得c<-1或c>2, 所以c 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F 1(-,0),F 2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=,=,所以a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|===2.解得m2=,满足(*),所以m=±.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a),令f′(x)≥0,得a≤x≤3a,令f′(x)≤0,得x≥3a或x≤a,所以f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以f(x)在x=a处取得极小值,在x=3a处取得极大值.由已知有即解得所以函数f(x)的解析式为f(x)=-x3+2x2-3x-1.(2)由(1)知f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以要使f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上是减函数,则必须有解得实数a的取值范围为.21.(12分)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.(1)若·=1,求直线l的斜率.(2)求∠ATF的最大值.【解析】(1)由题意得F(1,0),T(-1,0),当直线l与x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),此时·=(2,2)·(2,-2)=0,这与·=1矛盾. 故直线l与x轴不垂直.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-1).①将①代入y2=4x整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=,x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4,所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1++1-4==1.解得k=±2.(2)因为y1>0,所以tan∠ATF===≤1.当且仅当y1=即y1=2时取等号.故∠ATF的最大值为.22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1<x<2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f′(x)max=f′(1)=a-3,由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a≤2.②当>1即a>2时,f′(x)在上单调减增,在上单调递减,所以f′(x)max=f′=-2,由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8,综上可得,实数a的取值范围为(-1,8).关闭Word文档返回原板块。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业 二十五 3.4 生活中的优化问题举例 精讲优练课型 Word版含答案
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课时提升作业二十五生活中的优化问题举例一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A.8B.C.-1D.-8【解析】选C.原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.2.(2016·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为( )A.cmB.cmC.cmD.cm【解析】选D.设圆锥的高为xcm,则底面半径为cm,其体积为V=πx(202-x2)(0<x<20),V′=π(400-3x2),令V′=0,解得x1=,x2=-舍去.当0<x<时,V′>0;当<x<20时,V′<0.所以当x=时,V取得最大值.【补偿训练】内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )A.RB.2RC.RD.R【解析】选C.设圆锥的高为h,底面半径为r,则R2=(h-R)2+r2,所以r2=2Rh-h2,所以V=πr2h=h(2Rh-h2)=πRh2-h3,V′=πRh-πh2,令V′=0,得h=R.当0<h<R时,V′>0;当<h<2R时,V′<0.因此当h=R时,圆锥体积最大.3.(2016·泰安高二检测)把长为12cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )A.cm2B.4cm2C.3cm2D.2cm2【解析】选D.设两段长分别为xcm,(12-x)cm,这两个正三角形的边长分别为cm,cm,面积之和为S(x)==(x2-+16).令S′(x)==0,解得x=6.则x=6是S(x)的极小值点,也是最小值点,所以S(x)min=S(6)=2cm2.4.(2016·临沂高二检测)某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与产量x的关系式为R(x)=则总利润最大时,每年生产的产品是( )A.100单位B.150单位C.200单位D.300单位【解析】选D.设总成本为C元,总利润为P元,则C=20000+100x,P=R-C=所以P′=令P′=0,得x=300.当0<x<300时,P′>0;当x>300时,P′<0.所以当x=300时,P取得最大值.5.某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边要砌新墙,当砌新墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为( )A.32米,16米B.30米,15米C.40米,20米D.36米,18米【解析】选A.设需建的矩形堆料场与原墙平行的一边边长为x米,其他两边边长均为y米,则xy=512,所砌新墙的长l=x+2y=+2y(y>0),令l′=-+2=0,解得y=16(另一负根舍去),当0<y<16时, l′<0;当y>16时, l′>0,所以当y=16时,函数取得极小值,也就是最小值,此时x==32.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·大连高二检测)某商品一件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,则当每件商品的定价为元时,利润最大.【解析】利润s(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6000,s′(x)=-2x+230.由s′(x)=0,得x=115,这时利润最大.答案:1157.(2016·洛阳高二检测)某公司一年购买某种货物400吨,每次购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费为4x万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x为吨. 【解析】设该公司一年内总共购买n次货物,则n=,所以总运费与总存储费之和f(x)=4n+4x=+4x,令f′(x)=4-=0,解得x=20(-20舍去),当0<x<20时,f′(x)<0,当20<x≤400时,f′(x)>0,所以x=20是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,故当x=20时,运费与总存储费之和最小.答案:208.某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1200+x3,产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为.【解析】设产品单价为a元,产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x=250000,a=.总利润y=500-x3-1200(x>0),y′=-x2,由y′=0得x=25.当x∈(0,25)时,y′>0,当x∈(25,+∞)时,y′<0,所以当x=25时,y取最大值.答案:25件三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·石家庄高二检测)一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?【解析】设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设知p=kv3,因为v=10,p=6,所以k==0.006.于是有p=0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为小时,所以行驶1千米的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+.q′=0.012v-=(v3-8000),令q′=0,解得v=20.当v<20时,q′<0;当v>20时,q′>0,所以当v=20时,q取得最小值.即当速度为20千米/小时时,航行1千米所需费用总和最少.10.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加,年销售量y关于x 的函数为y=3240,则当x为何值时,本年度的年利润最大?最大利润为多少?(年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量)【解析】由题意得,本年度每辆车的投入成本为10(1+x),每辆车的出厂价为13(1+0.7x),年利润为:f(x)=·y=(3-0.9x)×3240×=3240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),则f′(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),由f′(x)=0,解得x=或x=3(舍去),当x∈时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当x∈时,f′(x)<0,f(x)是减函数.所以当x=时,f(x)取极大值,f=20000,因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值,所以它是最大值.所以当x=时,本年度的年利润最大,最大利润为20000万元.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·长沙高二检测)若球的半径为R,作内接于球的圆柱,则其侧面积的最大值为( )A.2πR2B.πR2C.4πR2D.πR2【解析】选A.设内接圆柱的高为h,底面半径为x,则x=,所以S侧=2πxh=2πh=2π,令t=R2h2-,则t′=2R2h-h3,令t′=0,得h=R(舍去负值)或h=0(舍去),当0<h<R时,t′>0,当R<h<2R时,t′<0,所以当h=R时,圆柱的侧面积最大.所以侧面积的最大值为2π=2πR2.2.(2016·威海高二检测)一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积为S,为使窗户周长最小,用料最省,圆的半径应为( )A. B.C. D.2【解析】选C.如图,设半圆的半径为x,矩形的高为h,则S=x2+2hx.解关于h的方程得h=-x.所以窗户周长L(x)=πx+2x+2h=πx+2x+-x=x+2x+.令L′(x)=+2-=0,解得x=,(负值舍去)因为L(x)只有一个极小值,因此x=也为最小值点.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·沈阳高二检测)某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为.【解析】依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(0<x<0.048),故y′=0.096kx-3kx2.令y′=0,解得x=0.032或x=0(舍去).当0<x<0.032时,y′>0;当0.032<x<0.048时,y′<0.因此,当x=0.032时,y取得极大值,也是最大值,即当存款利率为3.2%时,银行可获得最大收益.答案:3.2%4.(2016·东营高二检测)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元).【解析】设底面的相邻两边长分别为xm,ym,总造价为T元,则V=xy·1=4,所以y=,T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)=80+20,令f(x)=x+(x>0),则f′(x)=1-,由f′(x)=0得x=2.当0<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0,所以f(x)在x=2处取得极小值4,也是最小值.所以T min=80+20×4=160.答案:160【补偿训练】(2016·亳州高二检测)某超市中秋前30天,月饼销售总量f(t)与时间t(0<t ≤30,t∈Z)的关系大致满足f(t)=t2+10t+12,则该超市前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最少为.【解析】记g(t)==t++10(0<t≤30,t∈Z),g′(t)=1-=,令g′(t)>0,得t>2,令g′(t)<0,得0<t<2,所以函数g(t)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,10)上单调递增,又t∈Z,且g(3)=g(4)=17,所以g(t)的最小值为17,即该超市前t天平均售出的月饼最少为17个.答案:17个三、解答题(每小题10分,共20分)5.某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数.(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?【解析】(1)若商品降低x元,则一个星期多卖的商品为kx2件.由已知条件,得k·22=24,解得k=6.若记一个星期的商品销售利润为f(x),则有f(x)=(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈.(2)对(1)中函数f(x)求导得f′(x)的变化情况如下表:x 0 (0,2) 2 (2,12) 12 (12,21) 21 f′(x) - 0 + 0 -f(x) 9 072 ↘极小值↗极大值↘0所以当x=12时,f(x)取得极大值.因为f(0)=9072,f(12)=11664,f(21)=0,所以定价为30-12=18(元),能使一个星期的商品销售利润最大.6.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?【解析】(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(小时),此时的耗油量为×2.5=17.5(升).因此当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地需要耗油17.5升.(2)当速度为x千米/小时的时候,汽车从甲地到乙地行驶了小时.设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)==x2+-⇒h′(x)=-=.令h′(x)=0,得x=80.考虑到0<x≤120,当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(80,120]时,h′(x)>0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25(升).因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以11.25是最小值.答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.关闭Word文档返回原板块。
人教A版数学选修1课时作业本、单元试卷-课时提升作业_九_2.1.1
课时提升作业九椭圆及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7【解析】选 D.设该椭圆的两个焦点分别为F1,F2,利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令|PF1|=3,则|PF2|=7.2.(2016·日照高二检测)已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是( )A.2B.4C.8D.【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,则|MF|+|ME|=10,所以|ME|=8.又ON为△MEF的中位线,所以|ON|=|ME|=4.3.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是( )A.5B.3或8C.3或5D.20【解析】选C.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.4.(2016·淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1或+=1D.以上都不对【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2,因为△PF1F2为正三角形,所以|OP|=|F1F2|,可得b=c,即= c.①又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为,所以a-c=,②联立①②,可得a=2,c=,b==3.因此a2=12且b2=9,可得椭圆的标准方程为+=1或+=1.5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x 轴的距离为( )A. B. C. D.【解题指南】由·=0知△MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离.【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,可设|=m,|=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,所以=·mn=1,设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,又|F1F2|=2,故h=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.【解析】由题意可得所以故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.答案:+=17.设P是椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是.【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”,故|PF1|·|PF2|的最大值是16.答案:168.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2= .【解析】由题意=c2=,所以c=2,所以a2=b2+4.由题意得点P坐标为(1,),把x=1,y=代入椭圆方程+=1中得+=1,解得b2=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1.当焦点在y轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为+=1.故椭圆的标准方程为+=1或+y2=1.10.(2016·郑州高二检测)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(x P,y P),因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以x P=x,且y P=y. 因为P在圆x2+y2=25上,所以x2+=25,整理得+=1,即点M的轨迹C的方程是+=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·郑州高二检测)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )A.m<2B.1<m<2C.m<-1或1<m<2D.m<-1或1<m<【解析】选D.由题意得即所以1<m<或m<-1.2.(2016·临沂高二检测)设椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2与椭圆交于M,N两点,若|MN|=16,则椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选 B.因为点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以=2c,整理得2+-1=0,所以=.所以a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y=(x-c),代入椭圆方程,消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x=0或c,得M(0,-c),N,所以|MN|=c=16,所以c=5,所以椭圆方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·温州高二检测)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是.【解析】由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以得|PF1|=3,|PF2|=1,因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以△PF1F2是直角三角形,所以=·|F 1F2|·|PF2|=.答案:4.(2016·唐山高二检测)已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则||=【解题指南】设出A点的坐标,利用=3求出A点坐标,即可求出||的大小. 【解析】设A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0),=(x1-1,y1),由=3,得(1,y0)=3(x1-1,y1),所以又点B在椭圆C上,所以+=1,解得y0=±1,所以A点坐标为(2,±1),所以||==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·烟台高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程.(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.【解析】(1)由题意得椭圆焦点在y轴上,且c=1.又因为3a2=4b2,所以a2-b2=a2=c2=1,所以a2=4,b2=3,所以椭圆标准方程为+=1.(2)如图所示,|PF1|-|PF2|=1.又由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|=,|PF2|=,|F1F2|=2,cos∠F1PF2==.6.(2016·连云港高二检测)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|·|PF2|≤==4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),由=λ得x0=,y0=-.又+=1,所以有λ2+6λ-7=0,解得λ=-7或λ=1,C异于B点,故λ=1舍去.所以λ=-7.(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8,所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1周长最大,最大值为8.。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(二十五) 3.4 生活中的优化问题举例 探究导学课型 Word版含答案
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课时提升作业(二十五)生活中的优化问题举例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( )A.10B.15C.25D.50【解析】选C.设内接矩形的长为x(0<x<10),则宽为,所以S2=x2·=y,所以y′=50x-x3.令y′=0得x2=50,x=0(舍去),易知当x=5时,S2最大,=625,即S=25.2.某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽各为( )A.16 m,16 mB.32 m,16 mC.32 m,8 mD.16 m,8 m【解析】选B.如图所示,设场地一边长为xm,则另一边长为m.因此新墙总长度L=2x+(x>0),L′=2-.令L′=0,得x=16或x=-16(舍去).因为L在(0,+∞)上只有一个极值点,所以它必是最小值点.因为x=16,所以=32.故当堆料场的宽为16m,长为32m时,可使砌墙所用的材料最省.【拓展延伸】求几何体面积或体积的最值问题的关键:1.分析几何体的几何特征,根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数,2.再用导数求最值.元)是产量x(千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,则应生产( )A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台【解析】选A.设利润为y(万元),则y=y1-y2=17x2-2x3+x2=18x2-2x3(x>0),y′=36x-6x2,令y′=0,则x=0或x=6.故当0<x<6时,y′>0,函数为增函数,当x>6时,函数为减函数.故当x=6时,y取最大值,故为使利润最大,则应生产6千台.4.(2015·北京高二检测)某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x∈(0,0.0486),若使银行获得最大效益,则x的取值为 ( )A.0.016 2B.0.032 4C.0.024 3D.0.0486【解题指南】先求出存款量、利息以及贷款收益,得出银行收益,求导依据函数的单调性即可求出最值. 【解析】选B.依题意,存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,贷款的收益是0.0486kx2,其中x∈(0,0.0486).所以银行的收益是y=0.0486kx2-kx3(0<x<0.0486),则y′=0.0972kx-3kx2.令y′=0,得x=0.0324或x=0(舍去).当0<x<0.0324时,y′>0;当0.0324<x<0.0486时,y′<0.所以当x=0.0324时,y取得最大值,即当存款利率为0.0324时,银行获得最大收益.5.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则其高应为( )A.cmB.100cmC.20cmD.cm【解析】选A.设高为xcm,则底面半径为cm,所以圆锥体积V=π·(400-x2)·x=(cm3),V′=,令V′=0,得x=或x=(舍去),经判断可得x=(cm)时,V最大.二、填空题(每小题5分,共15分)6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能与下列________相对应.【解析】加速过程、路程对时间的导数逐渐变大,图象下凸,减速过程,路程对时间的导数逐渐变小,图象上凸,与①相吻合.答案:①7.(2015·长春高二检测)轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处,以每小时12海里的速度向西行驶,而轮船乙则以每小时6海里的速度向北行驶,如果两船同时起航,那么经过________小时两船相距最近.【解析】设经过x小时两船相距y海里,y2=36x2+(75-12x)2,(y2)′=72x-24(75-12x),令(y2)′=0,得x=5,易知当x=5时,y2取得最小值.答案:58.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为________.【解析】设底面边长为x,则底面积S=x2,所以h==,S表=x·×3+x2×2=+x2,S表′=x-,令S′表=0,则x=.因为S表只有一个极值,故x=为最小值点.答案:【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是表面积计算错误(漏掉某个平面或面积计算出错),二是求导计三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·枣庄高二检测)用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的底面的长比宽多0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.【解析】设容器底面宽为xm,则长为(x+0.5)m,高为×14.8-x-x-0.5=(3.2-2x)m.由解得0<x<1.6,设容器的容积为ym3,则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,所以y′=-6x2+4.4x+1.6,令y′=0,得:-6x2+4.4x+1.6=0,解得x=1,或x=-(舍去).又当x∈(0,1)时,y′>0,该函数在(0,1)上为增函数,当x∈(1,1.6)时,y′<0,该函数在(1,1.6)上为减函数.所以当x=1时,y取得最大值为-2×13+2.2×12+1.6×1=1.8(m3).此时容器的高为3.2-2×1=1.2(m).答:容器高为1.2 m时,容器的容积最大,最大容积为1.8 m3.【补偿训练】(2015·贵阳高二检测)将一段长为100cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,问如何截可使正方形与圆面积之和最小?【解析】设弯成圆的一段长为xcm,另一段长为(100-x)cm,记正方形与圆的面积之和为S,则S=π+(0<x<100),则S′=-(100-x).令S′=0,则x=.由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点,问题中面积之和最小值显然存在,故当x=时,面积之故当截得弯成圆的一段长为cm时,两种图形面积之和最小.10.有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?【解题指南】设CD的长为x,进而求出AC,BC,然后将总费用表示为变量x的函数,转化为求函数的最值问题.【解析】如图所示,依题意,点C在直线AD上,设C点距D点xkm.因为BD=40,AD=50,所以AC=50-x.所以BC==.又设总的水管费用为y元,则y=3a(50-x)+5a(0<x<50).所以y′=-3a+.令y′=0,解得x1=30,x2=-30(舍去).当x<30时,y′<0;当x>30时,y′>0.所以当x=30时,取得最小值,此时AC=50-x=20(km),即供水站C建在A,D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为( )A.1∶2B.1∶πC.2∶1D.2∶π【解析】选C.设圆柱高为x,底面半径为r,则r=,圆柱体积V=π·x=(x3-12x2+36x)(0<x<6),V′=(x-2)(x-6),当x=2时,V最大.此时底面周长为4,底面周长∶高=4∶2=2∶1.2.(2015·昆明高二检测)某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是( ) A.150 B.200 C.250 D.300【解析】选D.因为总利润p(x)=当0≤x≤390时,p′(x)=-x2+300,令p′(x)=0,得x=±300,当x∈(0,300)时,p′(x)>0,p(x)递增,当x∈(300,390)时,p′(x)<0,p(x)递减,所以当x=300时,p(x)有最大值40000元,当x>390时,p(x)=90090-100x-20000<90090-100×390-20000=31090<40000,所以当x=300时,总利润最大.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·渭南高二检测)某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形场地.如果铁丝网长40m,那么围成的场地面积最大为________.【解析】设靠墙的一面长xm,围成的场地面积为ym2,此时矩形的宽为>0.所以y=x·=-x2+20x(0<x<40),y′=-x+20,令y′=0得x=20,当0<x<20时,y′>0.当20<x<40时,y′<0.所以当x=20时,y最大=20×10=200.答案:200m24.(2015·潍坊高二检测)某公司租地建仓库,每月土地占用费y(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处.【解析】设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1=,每月库存货物的运费y2=k2x,其中x 是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数,于是由2=得k1=20;由8=10k2得k2=.所以两项费用之和为y=+(x>0),y′=-+,令y′=0,得x=5或x=-5(舍去).当0<x<5时,y′<0;当x>5时,y′>0.所以当x=5时,y取得极小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)5.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2.其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值.(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【解析】(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)=(x-3)从而,f′(x)=10=30(x-4)(x-6).于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.6.(2015·成都高二检测)请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?最大体积是多少?【解题指南】帐篷可看做一个正六棱锥与一个正六棱柱的组合体.【解析】设OO1为xm,则1<x<4.由题设可得正六棱锥底面边长为=.于是底面正六边形的面积为6··()2=(8+2x-x2).帐篷的体积为V(x)=(8+2x-x2)=(16+12x-x3).求导数,得V′(x)=(12-3x2).令V′(x)=0,解得x=-2(不合题意,舍去),x=2.当2<x<4时,V′(x)<0,V(x)为减函数,所以当x=2时,V(x)最大.所以当OO1为2m时,帐篷的体积最大,最大体积为16m3.【补偿训练】经济学上规定,对于某经济函数y=f(x),称为该经济函数的弹性,它表示经济变量x变动1%时,经济变量y相应变动的百分比.现有一个企业生产一种商品,年产x件的总成本为c+dx,年需求量g(p)是价格p的函数,即g(p)=a-bp(a,b,c,d>0).求:(1)利润最大时的产量及最大利润(设生产件数x与年需求量相等).(2)需求量对价格的弹性的绝对值为1时的价格.(3)若企业将价格定为p=,求此时需求量对价格的弹性,并说明它的实际意义.【解析】(1)由于生产件数与年需求量x相等,所以x=a-bp,p=.由题意可知此时年利润l=h(x)=px-(c+dx)=x-(c+dx).h′(x)=-x+-d,令h′(x)=0,得x=(a-bd).当x<(a-bd)时,h′(x)>0;当x>(a-bd)时,h′(x)<0,所以x=(a-bd)为极大值点,即最大值点.故x=(a-bd)时,l取得最大值(a-bd)2-c.(2)g(p)=a-bp,则需求量对价格的弹性为==-.令=1,得p=.(3)若p=,则需求量对价格的弹性为=-=-=-=-.它表示价格定为p=时,价格上升1%时,需求量相应会减少33.3%.关闭Word 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人教A版数学选修1课时作业本、单元试卷-课时提升作业_二_1.1.2
课时提升作业二四种命题一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2016·泉州高二检测)已知命题p:垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α,q是p的否命题,下面结论正确的是( )A.p真,q真B.p假,q假C.p真,q假D.p假,q真【解析】选D.当平面α内的直线相互平行时,l不一定垂直于平面α.故p为假命题.易知p的否命题q:若直线l不垂直于平面α内无数条直线,则l不垂直于平面α.易知q为真命题.2.命题“若A∩B=A,则A⊆B”的逆否命题是( )A.若A∪B≠A,则A⊇BB.若A∩B≠A,则A⊆BC.若A⊄B,则A∩B≠AD.若A⊇B,则A∩B≠A【解析】选C.命题:“若A∩B=A,则A⊆B”的逆否命题是:若A⊄B,则A∩B≠A.故C正确.3.(2016·宝鸡高二检测)有下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题;其中真命题为( )A.①②B.②③C.①③D.③④【解析】选C.①逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”是真命题;②的否命题为“不全等的三角形面积不等”为假命题;③当q≤1时,Δ=4-4q≥0,方程有实根,为真命题,故逆否命题为真命题;④逆命题为“若三角形三内角相等,则三角形是不等边三角形”为假命题.【补偿训练】下列有关命题的说法正确的是( )A.“若x>1,则2x>1”的否命题为真命题B.“若cosβ=1,则sinβ=0”的逆命题是真命题C.“若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题为假命题D.命题“若x>1,则x>a”的逆命题为真命题,则a>0【解析】选C.A中,2x≤1时,x≤0,从而否命题“若x≤1,则2x≤1”为假命题,故A不正确;B中,sinβ=0时,cosβ=±1,则逆命题为假命题,故B不正确;D中,由已知条件得a的取值范围为[1,+∞),故D不正确.二、填空题(每小题4分,共8分)4.“已知a∈U(U为全集),若a∉ðA,则a∈A”的逆命题是,它是U(填“真”或“假”)命题.【解析】“已知a∈U(U为全集)”是大前提,条件是“a∉ðA”,结论是“a∈A”,U所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集),若a∈A,则a∉ðA”.它为真命题.U答案:已知a∈U(U为全集),若a∈A,则a∉ðA真U【误区警示】改写逆命题时,易漏大前提5.命题p:“若=b,则a,b,c成等比数列”,则命题p的否命题是(填“真”或“假”)命题.【解析】命题p的否命题是“若≠b,则a,b,c不成等比数列”,是假命题,如a=c=1,b=-1满足≠b,但a,b,c成等比数列.答案:假三、解答题6.(10分)(教材P6练习1改编)写出命题“末位数字是偶数的整数能被2整除”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假.【解析】因为原命题是:“若一个整数的末位数字是偶数,则它能被2整除”. 所以逆命题:若一个整数能被2整除,则它的末位数字是偶数,真命题.否命题:若一个整数的末位数字不是偶数,则它不能被2整除,真命题.逆否命题:若一个整数不能被2整除,则它的末位数字不是偶数,真命题.【补偿训练】已知命题p:“若ac≥0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”.(1)写出命题p的否命题.(2)判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论.【解题指南】(1)根据命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”即可写出命题p的否命题.(2)根据二次方程有实根的条件,即可判断命题的真假.【解析】(1)命题p的否命题为:“若ac<0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根”.(2)命题p的否命题是真命题.证明:因为ac<0⇒-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根,所以该命题是真命题.一、选择题(每小题5分,共10分)1.命题“若x≠3且x≠2,则x2-5x+6≠0”的否命题是( )A.若x=3且x=2,则x2-5x+6=0B.若x≠3且x≠2,则x2-5x+6=0C.若x=3或x=2,则x2-5x+6=0D.若x=3或x=2,则x2-5x+6≠0【解题指南】“若x≠3且x≠2”是同时不成立的意思,否定时要改成不同时不成立,即至少一个成立.【解析】选C.命题的否命题需将条件和结论分别否定,x≠3且x≠2的否定是x=3或x=2,因此该命题的否命题为“若x=3或x=2,则x2-5x+6=0”.【补偿训练】命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是( )A.若a>b,则a-1≤b-1B.若a≥b,则a-1<b-1C.若a≤b,则a-1≤b-1D.若a<b,a-1<b-1【解析】选C.命题的否命题是将条件和结论分别否定,对a>b的否定为a≤b,对a-1>b-1的否定为a-1≤b-1,所以命题的否命题为“若a≤b,则a-1≤b-1”.2.(2016·郴州高二检测)“若x2-3x+2=0,则x=2”为原命题,则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.0【解析】选B.逆命题是“若x=2,则x2-3x+2=0”,为真命题;否命题是“若x2-3x+2≠0,则x≠2”为真命题;逆否命题是“若x≠2,则x2-3x+2≠0”,因为x=1时,x2-3x+2=0,所以为假命题;所以真命题的个数为2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.“若a>b,则2a>2b”的逆否命题为.【解析】原命题:“若p,则q”的逆否命题为:“若q,则p”.所以“若a>b,则2a>2b”的逆否命题为“若2a≤2b,则a≤b”.答案:若2a≤2b,则a≤b4.命题“若实数a满足a≤3,则a2<9”的否命题是(填“真”或“假”)命题.【解析】命题“若实数a满足a≤3,则a2<9”的否命题是“若实数a满足a>3,则a2≥9”,命题是真命题.答案:真三、解答题5.(10分)(2016·合肥高二检测)设M是一个命题,它的结论是q:x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根,M的逆否命题的结论是p:x 1+x2≠-2或x1x2≠-3.(1)写出M.(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题.【解题指南】把逆否命题的结论否定即可得到原命题的条件.【解析】(1)设命题M表述为:若p,则q,那么由题意知其中的结论q为:x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根.而条件p的否定形式p为:x 1+x2≠-2或x1x2≠-3,故p的否定形式即p为:x1+x2=-2且x1x2=-3.所以命题M为:若x1+x2=-2且x1x2=-3,则x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根.(2)M的逆命题为:若x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根,则x1+x2=-2且x1x2=-3.逆否命题为:若x1,x2不是方程x2+2x-3=0的两个根,则x1+x2≠-2或x1x2≠-3.否命题为:若x1+x2≠-2或x1x2≠-3,则x1,x2不是方程x2+2x-3=0的两个根.。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(一) 1.1.1 命题 探究导学课型 Word版含答案
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课时提升作业(一)命题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·太原高二检测)下列语句不是命题的是( )A.5>8B.若a是正数，则是正数C.x∈{-1，0，1，2}D.正弦函数是奇函数【解析】选C.A，B，D中语句是陈述句且能判断真假，是命题.而C中，x∈{-1，0，1，2}不能判断真假，故不是命题.2.下列命题是真命题的是( )A.若=，则x=yB.若x2=1，则x=1C.若x=y，则=D.若x<y，则x2<y2【解析】选A.由=，得x=y，故A真.而由x2=1得x=±1，故B假；由于x=y，，不一定有意义，故C假；而由x<y，不一定得到x2<y2，故D假.3.(2015·杭州高二检测)命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线【解析】选D.可把命题改写成“若p，则q”的形式.若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行.【补偿训练】下列说法正确的是( )A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B.语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时，方程x2-4x+a=0有实根”是假命题【解析】选D.对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句不是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.4.(2015·衡水高二检测)给出下列命题：①函数f(x)=是奇函数；②函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数；③函数y=与y=-log3x的图象关于直线y=x对称；④若y=f(x)是定义在R上的函数，则y=f(1+x)与y=f(1-x)的图象关于y轴对称.其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①函数f(x)=的定义域为，图象不关于原点对称，不是奇函数，①错误；②函数f(x)=1是偶函数不是奇函数，②错误；③函数y=与y=-log3x互为反函数，图象关于直线y=x对称，③正确；④若y=f(x)是定义在R上的函数，函数y=f(1+x)是把y=f(x)的图象向左平移1个单位得到的，y=f(1-x)是由y=f(x)先得到y=f(-x)，再把y=f(-x)右移1个单位得到y=f(-(x-1))，所以y=f(1+x)与y=f(1-x)的图象关于y轴对称，④正确.所以正确的命题是③④.5.(2015·北京高二检测)对于△ABC，有如下命题：①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形③若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是钝角三角形④若==，则△ABC是等边三角形其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.对于①，2A=2B或2A+2B=π，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①为假命题，对于②，如B=120°，A=30°满足sinB=cosA，但△ABC为钝角三角形，故②为假命题，对于③，仅能说明C为锐角，故③为假命题，对于④，由正弦定理及已知可得sin=sin=sin，即A=B=C，△ABC为等边三角形，故④为真命题.二、填空题(每小题5分，共15分)6.把命题“已知a，b为正数，当a>b时，有log2a>log2b”写成“若p，则q”的形式：________. 【解析】已知a，b为正数，若a>b，则log2a>log2b.答案：已知a，b为正数，若a>b，则log2a>log2b7.(2015·广州高二检测)判断下列语句是命题的有________；其中是真命题的有__________.(只填序号)①等边三角形是等腰三角形吗？②作三角形的一个内角平分线.③在三角形中，大边对大角，小边对小角.④若x+y为有理数，则x，y也都是有理数.⑤x>8.【解题指南】先根据命题的概念，判断所给语句是否为命题，若是，再判断真假.【解析】①是疑问句.②是祈使句，不是命题.③是真命题.④是假命题.⑤不能判断真假，不是命题.答案：③④③【拓展延伸】判断语句是否为命题的方法要判断一个语句是不是命题就要看它是否符合“可以判断真假”这个条件.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.数学中的定义、公理、定理等都是命题.猜想类的，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和(哥德巴赫猜想)”虽然目前不能确定真假，但随着科技发展总能确定其真假.这一类猜想可以作为命题.8.(2015·烟台高二检测)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内一条直线垂直于l，则α和β垂直.上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知，①②正确；当两平面斜交时，在α内的直线可以与交线垂直，故③不对.答案：①②三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·天津高二检测)指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若a，b，c成等差数列，则2b=a+c.(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形.【解题指南】数学中的一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式.一般而言，“若”“如果”“只要”后面是条件，“则”“那么”“就有”后面是结论.【解析】(1)条件p：a，b，c成等差数列，结论q：2b=a+c.(2)条件p：一个函数是偶函数，结论q：这个函数的图象关于y轴成轴对称图形.【补偿训练】指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若a，b都是无理数，则ab是无理数.(2)如果一个数是奇数，那么它不能被2整除.(3)函数y=sinωx(ω≠0)的最小正周期是.【解析】(1)条件p：a，b都是无理数，结论q：ab是无理数.(2)条件p：一个数是奇数，结论q：它不能被2整除.(3)条件p：函数y=sinωx(ω≠0)，结论q：它的最小正周期是.10.将下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等.(2)末位数字是0或5的整数，能被5整除.(3)方程x2-x+1=0有两个实数根.【解析】(1)若n(n≥3)边形是正多边形，则它的n个内角全相等.真命题.(2)若一个整数的末位数是0或5，则它能被5整数.真命题.(3)若一个方程是x2-x+1=0，则它有两个实数根.假命题.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·威海高二检测)已知a，b∈R，下列命题正确的是( )A.若a>b，则|a|>|b|B.若a>b，则<C.若|a|>b，则a2>b2D.若a>|b|，则a2>b2【解析】选D.A错误，比如3>-4，得不到|3|>|-4|；B错误，比如3>-4，得不到<；C错误，比如|3|>-4，得不到32>(-4)2；D正确，a>|b|，则a>0，根据不等式的性质即可得到a2>b2.【补偿训练】下列命题正确的是( )A.经过三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.不共面的四点可以确定4个平面【解析】选D.因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定4个平面.2.(2015·武汉高二检测)给出下列命题①若a≥b>-1，则≥；②若正整数m和n满足m≤n，则≤；③设P1(x1，y1)为圆O1：x2+y2=9上任一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1，当(a-x1)2+(b-y1)2=1时，圆O1与圆O2相切.其中假命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①因为a≥b>-1，所以a+1≥b+1>0.所以-=≥0，所以≥.故①为真命题.②因为正整数m，n满足m≤n，所以有m>0，n-m≥0，≤=，故②为真命题.③实质是点P1(x1，y1)在☉O1上，又P1(x1，y1)也在☉O2上，但两圆相交于点P1并不能保证两圆相切.故③为假命题.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·西安高二检测)给出以下命题：①y=ln(x+2)在区间(0，+∞)上单调递增；②y=3x+3-x是奇函数，y=3x-3-x是偶函数；③y=的值域为；④命题“若cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，则其中正确命题的序号为________.【解析】对于①，因为函数y=ln(x+2)的单调递增区间为(-2，+∞)，故在区间(0，+∞)上单调递增，故①正确；对于②，y=3x+3-x是偶函数，y=3x-3-x是奇函数，故②错误；对于③，y=的值域为，故③错误；对于④，命题“cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，故④正确；故正确命题的序号是①④.答案：①④4.设y=f(x)是定义在R上的函数，给定下列条件：(1)y=f(x)为偶函数.(2)y=f(x)的图象关于直线x=1对称.(3)T=2为y=f(x)的一个周期.如果将上面的(1)(2)(3)中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中，真命题有________个.【解题指南】先写出相应的命题，然后判断真命题的个数.【解析】①(1)(2)⇒(3)，由(2)知f(x)=f(2-x)，又f(x)=f(-x)，所以f(-x)=f(2-x)，所以T=2为y=f(x)的一个周期.②(1)(3)⇒(2)，由(3)知f(x)=f(2+x)，又f(x)=f(-x)，所以f(-x)=f(2+x)，所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称.③(2)(3)⇒(1)，由(2)知f(x)=f(2-x)，所以f(-x)=f(2+x)，由(3)知f(x)=f(2+x)，所以f(x)=f(-x)，即y=f(x)为偶函数.答案：3【延伸探究】若把条件中的“偶函数”改为“奇函数”，“关于直线x=1对称”改为“关于点(1，0)对称”，结论如何？【解析】①(1)(2)⇒(3)，由(2)知f(x)=-f(2-x)，又f(x)=-f(-x)，所以f(-x)=f(2-x)，所以T=2为y=f(x)的一个周期.②(1)(3)⇒(2)，由(3)知f(x)=f(2+x)，又f(x)=-f(-x)，所以f(-x)=-f(2+x)，所以y=f(x)的图象关于点(1，0)对称.③(2)(3)⇒(1)，由(2)知f(x)=-f(2-x)，所以f(-x)=-f(2+x)，由(3)知f(x)=f(2+x)，所以f(x)=-f(-x)，即y=f(x)为奇函数.故真命题仍有3个.三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·兰州高二检测)把下列命题改写成“若p，则q”的形式.(1)末位是0的整数，可以被10整除.(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.(3)等式两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式.【解析】(1)若一个整数的末位数是0，则它可以被10整除.(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等.(3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式.6.(2015·杭州高二检测)已知命题p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若p，q一真一假，求m的取值范围.【解析】方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，设为x1，x2，则有若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根，则有16(m-2)2-4×4×1<0，解得1<m<3.若p真，q假，则得m∈.综上所述，m的取值范围是(1，2]∪[3，+∞).关闭Word文档返回原板块。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业一1.1.1命题精讲优练课型Word版含答案
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业一 1.1.1 命题精讲优练课型 Word版含答案课时提升作业一命题一、选择题(每小题5分,共25分)1. 下列语句中命题的个数是( )①2<1;②x<1;③若x<2,则x<1;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.A.0B.1C.2D.3【解析】选 D.①③④是命题;②不能判断真假,不是命题.2. (2019·石家庄高二检测)下列语句中是命题的是( )A.周期函数的和是周期函数吗B.sin 45°=1C.x2+2x-1>0D.梯形是不是平面图形呢【解析】选 B.A不是,因为它是一个疑问句,不能判断其真假,故不构成命题;B是,因为能够判断真假,故是命题;C不是,因为不能判断其真假,故不构成命题;D不是,不能判定真假且不是陈述句,故不构成命题.3.(2019·湛江高二检测)下列命题中是假命题的是( )A.若a·b=0(a≠0,b≠0),则a⊥bB.若|a|=|b|,则a=bC.若ac2>bc2,则a>bD.5>3【解析】选 B.|a|=|b|只能说明a与b长度一样.a=b不一定成立.【误区警示】选项A易忽视括号中条件的作用,错认为是假命题,而选项B易忽视向量的方向,错认为是真命题.4.下列说法正确的是( )A.命题“正项等差数列的公差大于零”是真命题B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C.“四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题【解析】选 D.当a>4时,方程x2-4x+a=0的判别式Δ<0,方程无实根.5.(2019·安阳高二检测)下列命题是真命题的是( )A.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0)C.已知点A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,则直线x0x+y0y-1=0与圆C相交D.圆柱的俯视图可能为矩形【解析】选 D.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱,不满足棱柱的定义,所以A不正确;过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0),直线的斜率不存在时,无法表示出来,所以B不正确;因为A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,所以+<1,所以圆心(0,0)到直线x0x+y0y=1的距离:d=>1,所以直线x0x+y0y=1与圆相离.所以C 不正确.圆柱的俯视图可能为矩形,当圆柱放倒时,满足题意,所以D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.给出下列命题:①若ac=bc,则a=b;②方程x2-x+1=0有两个实根;③对于实数x,若x-2=0,则x-2≤0;④若p>0,则p2>p;⑤正方形不是菱形.其中真命题是,假命题是.【解析】①c=0时,a不一定等于b,假命题.②此方程无实根,假命题.③结论成立,真命题.④0<p≤1时结论不成立,假命题.⑤不成立,假命题.答案:③①②④⑤7.把“正弦函数是周期函数”写成“若p,则q”的形式是.【解析】该命题的条件是函数为正弦函数,结论是这个函数是周期函数,故“若p,则q”的形式为“若函数为正弦函数,则此函数是周期函数”.答案:若函数为正弦函数,则此函数是周期函数【延伸探究】判断本题中命题的真假.【解析】因为正弦函数是周期函数,所以该命题为真命题.8.给出下列命题:①在△ABC中,若∠A>∠B,则sinA>sinB;②函数y=x3在R上既是奇函数又是增函数;③函数y=f(x)的图象与直线x=a至多有一个交点;④若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,则得到函数y=sin的图象.其中真命题的序号是.【解析】①∠A>∠B?a>b?sinA>sinB,①为真命题,②③易知正确.④将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)9.(教材P4练习T3改编)把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假:(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角.(2)二次函数的图象关于y轴对称.【解析】(1)若一个三角形是等腰三角形,则其底边上的中线垂直于底边且平分顶角.或:若一条线段是一个等腰三角形的底边上的中线,则这条线段垂直于底边且平分顶角,真命题.(2)若一个函数是二次函数,则它的图象关于y轴对称,假命题.10.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.(1)ac>bc?a>b.(2)已知x,y∈N*,当y=x+1时,y=3,x=2.(3)当m>时,mx2-x+1=0无实根.(4)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1.【解析】(1)若ac>bc,则a>b,是假命题.(2)已知x,y∈N*,若y=x+1,则y=3,x=2,是假命题.(3)若m>,则mx2-x+1=0无实根,是真命题.(4)若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1,是真命题.一、选择题(每小题5分,共10分)1.下列命题正确的是( )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【解题指南】利用空间中线面位置关系的有关定理逐一判断.【解析】选 C.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交,选项A错;如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项B不正确;如图,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,过直线a作平面ε∩α=c,过直线a作平面γ∩β=d,因为a∥α,所以a∥c,因为a∥β,所以a∥d,所以d∥c,因为c?α,d?α,所以d∥α,又因为d?β,所以d∥b,所以a∥b,选项C正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D不正确.2.(2019·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中,所有正确命题的个数为( )①函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称;②若实数x,y满足x2+y2=1,则的最大值为;③若△ABC为锐角三角形,则sinA<cosB.A.1个B.2个C.3个D.0个【解题指南】由f(x)+f(-x)=2判断①;数形结合判断③;利用三角函数的单调性判断④. 【解析】选 B.对于①,f(x)+f(-x)=2x3-3x+1-2x3+3x+1=2,则函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称,即①正确;对于②,若实数x,y满足x2+y2=1,如图,可看作过点(-2,0)与圆x2+y2=1上点的直线的斜率,相切时取得最值,则的最大值为,②正确;对于③,若△ABC为锐角三角形,则A+B>,-B<A<,所以sinA>sin=cosB,③错误.所以正确命题的个数是2个.【补偿训练】已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是( )A.a≥-3B.a>-3C.a≤-3D.a<-3【解析】选 D.因为x+3≥0,x≥-3,所以A={x|x≥-3}.又因为a∈A是假命题,即a?A,所以a<-3.二、填空题(每小题5分,共10分)3.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)”条件p: ,结论q: .它是(填“真”或“假”)命题.【解析】a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得-1≥0不成立,所以x+y-1≥0表示直线的右上方区域,所以命题为真命题.答案:a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界) 真4.下列4个命题:①?a∈R,a2>0;②?α∈R,sin2α+cos2α=;③?x1,x2∈R,若x1<x2则<;④?α∈R,sinα=cosα.其中真命题为.【解析】①a=0时,命题错误;②不存在α∈R,sin2α+cos2α=;③因为y=2x是增函数,所以?x1,x2∈R,若x1<x2则<正确.④?α∈R,sinα=cosα,正确.例如α=时.答案:③④三、解答题(每小题10分,共20分)5.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.(1)乘积为1的两个实数互为倒数.(2)奇函数的图象关于原点对称.(3)与同一直线平行的两个平面平行.【解析】(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.p:两个实数乘积为1;q:两个实数互为倒数.(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.p:一个函数为奇函数;q:函数的图象关于原点对称.(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.p:两个平面与同一条直线平行;q:两个平面平行.6.判断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题?说明理由.【解析】这是一个可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.函数f(x)= 2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.关闭Word文档返回原板块。
人教A版18年高二数学选修1-1全册-课时提升作业三
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课时提升作业三四种命题间的相互关系一、选择题(每小题4分,共12分)1.命题“若p,则q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是( )A.若p,则qB.若q,则pC.若q,则pD.若q,则p【解题指南】利用命题的等价关系判断.【解析】选C.“若p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,又因为互为逆否命题所以真假性相同.所以“若q,则p”一定是真命题.2.(2016·三明高二检测)下列命题中为真命题的是( )A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题C.命题“若x2+x-2=0,则x=1”D.命题“若x2≥1,则x≥1”的逆否命题【解析】选B.A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题为命题“若x>0,则x>2016”,显然命题为假;B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的逆命题为“若x=0或y=0,则xy=0”,显然命题为真,则原命题的否命题也为真;C.解x2+x-2=0得x=1或x=-2.所以命题“若x2+x-2=0,则x=1”为假;D.x2≥1⇒x≤-1或x≥1.所以命题“若x2≥1,则x≥1”是假命题,则其逆否命题也为假命题.3.(2016·泰安高二检测)已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.若a,b,c成等比数列,则b2=ac,为真命题,逆命题:若b2=ac,则a,b,c成等比数列,为假命题,否命题:若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac,为假命题,逆否命题:若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列,为真命题,在它的逆命题、否命题、逆否命题中为真命题的有1个.【补偿训练】已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0【解析】选B.易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.二、填空题(每小题4分,共8分)4.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是.【解析】原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为3.答案:35.给出下列命题:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;⑤“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.其中真命题是.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)【解析】原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,由⇒⇒m>1.故⑤正确.答案:②③⑤三、解答题6.(10分)(教材P8练习改编)证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.【证明】“若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.因为a=2b+1,所以a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0,所以命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.【补偿训练】求证:若p2+q2=2,则p+q≤2.【证明】该命题的逆否命题为若p+q>2,则p2+q2≠2.p2+q2=[(p+q)2+(p-q)2]≥(p+q)2.因为p+q>2,所以(p+q)2>4,所以p2+q2>2,即p+q>2时,p2+q2≠2成立.所以由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.即若p2+q2=2,则p+q≤2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·厦门高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.0【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.(2016·惠州高二检测)已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题【解析】选D.函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数等价于f′(x)=e x-m≥0在(0,+∞)上恒成立,即m≤e x在(0,+∞)上恒成立,而e x>1,故m≤1,所以命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.【补偿训练】命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题【解析】选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·衡阳高二检测)在“a,b是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0”,给出下列命题:①若a2-4b≥0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;②若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是空集;③若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0;④若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b<0;⑤若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;⑥若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题的命题的序号依次是(按要求的顺序填写).【解题指南】根据四种命题间的关系确定【解析】“非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,题目的答案是①③②.答案:①③②4.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填“真”或“假”).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真三、解答题5.(10分)(2016·益阳高二检测)写出命题:“若+(y+1)2=0,则x=2且y=-1”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.【解析】逆命题:若x=2且y=-1,则+(y+1)2=0,真命题;否命题:若+(y+1)2≠0,则x≠2或y≠-1,因为逆命题为真,所以否命题为真;逆否命题:若x≠2或y≠-1,则+(y+1)2≠0,显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.关闭Word文档返回原板块。
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课时提升作业_六_1.3--(人教A版)数学选修1 课时作业本（有答案)-(高二)课时提升作业六简单的逻辑联结词一、选择题(每小题5分,共25分)1.若命题“p”与命题“p∨q”都是真命题,那么( )A.命题p与命题q的真假相同B.命题p一定是真命题C.命题q不一定是真命题D.命题q一定是真命题【解题指南】根据命题和其否定真假性相反,判定出p的真假,结合“或”命题真假确定q的真假.对照选项即可.【解析】选D.命题p是真命题,则p是假命题.又命题p∨q是真命题,所以必有q是真命题.【补偿训练】如果命题“p且q”是假命题,“非p”是真命题,那么( )A.命题p一定是真命题B.命题q一定是真命题C.命题q可以是真命题也可以是假命题D.命题q一定是假命题【解析】选C.“非p”是真命题,则p为假命题,命题q可以是真命题也可以是假命题.2.如果命题“(p∨q)”为真命题,则( )A.p,q均为真命题B.p,q均为假命题C.p,q中至少有一个为真命题D.p,q中一个为真命题,一个为假命题【解析】选B.由(p∨q)为真等价于(p)∧(q)为真命题,故p和q均为真命题,可得p和q均为假命题.3.(已知命题p:“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,命题q:“>”的充要条件为“lna>lnb”,则下列复合命题中假命题是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∨(q)D.p∧(q)【解析】选B.对于命题p,中括号内【“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”】整个是p命题,而不是单看引号内的命题,p为真;对于命题q,当a=1,b=0时,>,但lna>lnb不成立,q是假命题,所以q是真命题;所以p∧q是假命题,p∨q,(p)∨(q)和p∧(q)是真命题.4.已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且q为真命题,则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(1,2]C.(-∞,2]D.(-∞,1]∪(2,+∞)【解析】选B.由题意,命题p:解得a>1.命题q:2-a<0,得a>2,所以q:a≤2,故由p且q为真命题,得1<a≤2.5.已知实数a满足1<a<2,命题p:函数y=lg(2-ax)在区间上是减函数;命题q:x2<1是x<a的充分不必要条件,则( )A.p或q为真命题B.p且q为假命题C.p且q为真命题D.p或q为真命题【解析】选A.因为实数a满足1<a<2,命题p:函数y=lg(2-ax)在区间上是减函数,为真命题;命题q:x2<1是x<a的充分不必要条件,为真命题,故p或q为真命题.【补偿训练】命题p:函数y=x+在[1,4]上的值域为;命题q:lo(a+1)>lo a(a>0).下列命题中,真命题是( )A.p∧qB.(p)∨qC.p ∧(q)D.p ∨q【解析】选B.因为y=x+在[1,]上为减函数,在[,4]上为增函数,所以当x=1时,y=1+2=3,当x=4时,y=4+=,即最大值为,当x=时,y=+=+=2,即最小值为2,故函数的值域为,故命题p 为假命题.若a>0,则a+1>a,则lo (a+1)<lo a,故命题q 为假命题,则(p)∨q 为真命题.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知命题p:a 2≥0(a ∈R),命题q:函数f(x)=x 2-x 在区间[0,+∞)上单调递增,则下列命题①p ∨q;②p ∧q;③(p)∧(q);④(p)∨q.其中为假命题的序号为 .【解析】显然命题p 为真命题,p 为假命题.因为f(x)=x 2-x=-,所以函数f(x)在区间上单调递增.所以命题q 为假命题,q 为真命题.所以p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,(p)∧(q)为假命题,(p)∨q 为假命题.答案:②③④【拓展延伸】含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p ∨q:p 、q 中有一个为真,则p ∨q 为真,即一真即真.(2)p ∧q:p 、q 中有一个为假,则p ∧q 为假,即一假即假.(3)p:与p的真假相反,即一真一假,真假相反.7.命题p:若a·b>0,则a与b的夹角为锐角;命题q:若函数f(x)在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.给出下列结论:①“p∨q”是真命题②“p∨q”是假命题③p为假命题④q为假命题其中所有正确结论的序号为.【解析】当a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零度角,所以命题p是假命题;命题q是假命题,例如f(x)=故①③④错误,②正确.答案:②x为减函数,命题q:当x∈时,函数8.已知c>0,且c≠1.设命题p:函数f(x)=logcg(x)=x+>恒成立.如果p或q为真命题,p且q为假命题,则实数c的取值范围为.【解题指南】先从p,q都为真命题求出c的范围,再利用p,q一真一假确定c的范围.【解析】由f(x)=logx为减函数得0<c<1.当x∈时,由基本不等式可得g(x)=x+在c上的最小值为g(1)=2.当x∈时,由函数g(x)=x+>恒成立,得2>,解得c>,又c≠1,所以c>且c≠1.如果p真q假,则0<c≤;如果p假q真,则c>1,所以实数c的取值范围为∪(1,+∞).答案:∪(1,+∞)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(教材P18习题1.3A组T3改编)写出下列命题的p∨q,p∧q,p的形式,并判断其真假:(1)p:是有理数;q:是实数.(2)p:5不是15的约数;q:5是15的倍数.(3)p:空集是任何集合的子集;q:空集是任何集合的真子集.【解析】(1)p∨q:是有理数或是实数,真命题;p∧q:是有理数且是实数,假命题;p:不是有理数,真命题.(2)p∨q:5不是15的约数或5是15的倍数,假命题;p∧q:5不是15的约数且5是15的倍数,假命题;p:5是15的约数,真命题.(3)p∨q:空集是任何集合的子集或空集是任何集合的真子集,真命题;p∧q:空集是任何集合的子集且空集是任何集合的真子集,假命题;p:空集不是任何集合的子集;假命题.【补偿训练】分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“p”形式的命题的真假:(1)p:6<6,q:6=6.(2)p:梯形的对角线相等;q:梯形的对角线互相平分.(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点;q:不等式x2+x+2<0无解.【解析】(1)因为p为假命题,q为真命题,所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为真命题.(2)因为p为假命题,q为假命题,所以p∧q为假命题,p∨q为假命题,p为真命题.(3)因为p为真命题,q为真命题,所以p∧q为真命题,p∨q为真命题,p为假命题.10.设命题p:函数f(x)=是R上的减函数,命题q:函数f(x)=x2-4x+3在[0,a]上的值域是[-1,3].若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.【解析】若命题p为真,则0<a-<1,得<a<,若命题q为真,即f(x)=(x-2)2-1在[0,a]上的值域是[-1,3],得2≤a≤4.因为p∨q为真,p∧q为假,得p,q中一真一假.若p真q假,则得<a<2;若p假q真,则得≤a≤4;综上:实数a的取值范围为<a<2或≤a≤4.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知命题p:函数f(x)=|sin2x-|的最小正周期为π;命题q:若函数f(x+1)为偶函数,则f(x)关于x=1对称.则下列命题是真命题的是( )A.p∧qB.p∨qC.(p)∧(q)D.p∨(q)【解析】选B.函数f(x)==|2sin2x-1|=|cos2x|,因为cos2x的周期是π,所以函数f(x)=的最小正周期为,即命题p是假命题.若函数f(x+1)为偶函数,则f(-x+1)=f(x+1),即f(x)关于x=1对称,所以命题q为真命题,则p∨q为真命题.2.已知命题p:π是有理数,命题q:x2-3x+2<0的解集是(1,2).给出下列结论:(1)命题p∧q是真命题.(2)命题p∧(q)是假命题.(3)命题(p)∨q是真命题.(4)命题(p)∨(q)是假命题,其中正确的是( )A.(1)(3)B.(2)(4)C.(2)(3)D.(1)(4)【解析】选C.因为命题p:π是有理数,是假命题,命题q:x2-3x+2<0的解集是(1,2)是真命题,所以p是真命题,q是假命题,所以(1)命题p∧q是真命题错误.(2)命题p∧(q)是假命题,正确.(3)命题(p)∨q是真命题,正确.(4)命题(p)∨(q)是假命题,错误.二、填空题(每小题5分,共10分)3.给出命题p:直线ax+3y+1=0与直线2x+(a+1)y+1=0互相平行的充要条件是a=-3,命题q:若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.关于以上两个命题,下列结论中正确的是.①命题“p且q”为真②命题“p或q”为假③命题“p或q”为假④命题“p且q”为真【解析】若两直线平行,则必满足a(a+1)-2×3=0,解得a=-3或a=2,但当a=2时两直线重合,所以两直线平行⇔a=-3,所以命题p为真;命题q中如果这三点不在平面β的同侧,则不能推出α∥β,所以命题q为假,故只有④正确.答案:④4.已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p∨q是真命题,p∧q是假命题,则实数a的取值范围是.【解析】命题p等价于Δ=a2-16≥0,解得a≤-4或a≥4;命题q等价于-≤3,解得a≥-12.由p∨q是真命题,p∧q是假命题知,命题p和q一真一假.若p真q假,则a<-12;若p假q真,则-4<a<4.故a的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).答案:(-∞,-12)∪(-4,4)三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知a>0,设命题p:函数y=a x在R上单调递减,q:函数y=且y>1恒成立,若p∧q为假,p∨q为真,求a的取值范围.【解析】若p是真命题,则0<a<1,若q是真命题,则y>1恒成立,即y的最小值大于1,而y的最小值为2a,只需2a>1,所以a>,所以q为真命题时,a>.又因为p∨q为真,p∧q为假,所以p与q一真一假,若p真q假,则0<a≤;若p假q真,则a≥1,故a的取值范围为0<a≤或a≥1.6.设命题p:a∈{y=,x∈R},命题q:关于x的方程x2+x-a=0有实根.(1)若p为真命题,求a的取值范围.(2)若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,求a的取值范围.【解题指南】(1)若p为真命题,根据根式有意义的条件进行求解即可求a的取值范围.(2)若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,得到p与q一真一假,即可求a的取值范围.【解析】(1)由题意得,y==∈[0,3],故p为真命题时,a的取值范围为[0,3].(2)当q为真命题时a的取值范围为a≥-,由题意得,p与q一真一假,从而当p真q假时有a无解;当p假q真时有所以a>3或-≤a<0.所以实数a的取值范围是∪(3,+∞).【补偿训练】已知命题p:(x+1)(x-5)≤0,命题q:1-m≤x≤1+m.(1)若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.(2)若m=5,“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数x的取值范围.【解析】(1)由p可得集合A={x|-1≤x≤5},由q可得集合B={x|1-m≤x≤1+m}.由p是q的必要条件,则B⊆A,①B=Ø,1-m>1+m,m<0;②B≠Ø,m≥0,1-m≥-1且1+m≤5,0≤m≤2,综上,m≤2.(2)“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则p与q一真一假,p真q假,x的取值范围是Ø.p假q真,x的取值范围是[-4,-1)∪(5,6].所以x的取值范围为[-4,-1)∪(5,6].关闭Word文档返回原板块。