2010届高三数学全程复习方略12.doc
高考数学总复习方略
第一轮复习建议：
9.以“考”学考 提高技巧 （1）考试是必需的：检查复习效果； （2）考试是经常的：巩固复习效果、提高应试技巧； （3）考试要目标明确、精心准备，单人单桌考试、流水作业改卷，各项指 标要比较、要提炼出易错及掌握不好的内容，及时进行反馈与纠错补偿 ， 这些内容要在后面的复习中有呈现； （4）考试的形式是多样的：单元检测、模块测试、周测、月考、联考、调 考等，目的要明确，不是为考而考越多越好，不是每种都要参加，要按 需调整和安排. 10.规范训练 常抓不懈 （1）高考得分原则：基础题不丢分，中档题得高 分，高档题 尽量多拿分 ； （2）要注重“书写表达规范、数学语言准确”的训练，要按高 考评分的标准训练和讲评，要教会学生怎么得高分、得全分. （3）平时要注重思维训练，开阔思路，养成良好的解题习惯； （4）每节课、每次作业都要加强运算能力的训练；
使学生“亲其师、信其道、乐其教”，让爱 转化为学习的动力
要改进课堂教学方式 六个观点要打破 讲得多≠掌握多 难度大≠能力强 技巧多≠分数高 时间多≠效益高 训练多≠掌握牢 考分低≠能力差
课堂三放与三个不放
一放：放手学生练习 二放：学生板演讨论 三放：课堂师生交流
一不放：基础训练落实 二不放：认知冲突出现 三不放：即时生成问题
第一轮复习建议：
3.精选资料 回归教材
（1）资料选取要注意针对性和实用性，还要注意其厚、薄、难、易. 薄了，知识题型可能没覆盖完；厚了，学生会产生厌倦的心理；难了，既 浪费时间又不利于学生对基础知识，基本技能和基本的数学思想方法的掌 握；易了，又不利于优生的提高.
（2） 资料还要与教材和考纲一致，并能反映出最新的高考动态和教 改信息，要有一定的实效性；
高中数学总复习教学 及高考备考策略
2010年高考最后4个月之数学复习方1
2010年高考最后4个月之数学复习方略/2010北京高考试卷2010年高考数学重点提示和最后四个月冲刺复习建议1、2010年高考数学考查的重点:根据《2010高考数学考试大纲》,重点考察函数、数列、三角函数、平面矢量、不等于式、立体几何、剖析几何、概率统计、导数九大章节。
作为高考来讲重点考查下面几个版块: (1)函数与导数:在这个版块重点考查,二次函数,高次函数,分式函数和复合函数的单调性和最值,考生尤其要正视分式函数和指对复合函数的单调性和值域的求解方法。
同时考生应正视函数与数列、函数与不等于式的结合,矫捷掌握处理这类综合题的方法和技巧,抓住典型例题,以不变应万变。
(2)平面矢量与三角函数:在这个版块里,将矢量作为一种工具放在三角函数里考,重点考查三方面:①三角的化简与求值,考查化简与求值,重点考察的是五组三角公式,包括同角基本公式,诱导公式,倍半公式,和差公式和辅助角公式②图象和性子:在这里重点考查的是正弦函数和余弦函数的图象和性子,掌握正弦和余弦函数的性子应该从以下的7个方面去掌握:定义域,值域,单调性,奇偶性,图象,周期性和对称性,特别是正弦和余弦函数的性子是高考重点中的重点,应特别关注。
③三角恒等变形,这部分重点考察的还是一些基本公式的应用,提醒各位考生应加强对基本公式的理解和记忆。
(3)数列:在这个版块里重点考查的是数列的通项与求和,在这内里咱们重点掌握几种常见求通项的方法,包括公式法,待定系数法等等,在求和内里咱们重点掌握几种常见求和的方法,包括利用公式法,裂项相加法,错位相减法等等,在这里要强调的是要掌握每一种方法所适应于哪一类的数列。
一般来讲在高考中通项是重点也是难点,特别是项与项之间的递推公式应重点掌握。
对数列的求和特别应该正视等比数列求和公式中公比的限制性条件,这是高考的一个易错点,应重点关注!(4)空间矢量和立体几何:2010新课标高考对这个版块的要求降低。
特别是对文科同学来说,对角度和距离的计算仅限于线线角和点面距离、几何体的外貌积和体积。
14 系列4选讲(共31页)2010届高三数学全程复习方略(共14套)(课标版)
第十四编 系列4选讲§14.1 几何证明选讲基础自测1.如图所示，已知在△ABC 中，∠C =90°，正方形DEFC内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC =1，BC =2，则AF ∶FC = .答案 21 2.从不在⊙O 上的一点A 作直线交⊙O 于B 、C ，且AB ²AC =64，OA =10，则⊙O 的半径等于 .答案 241或63.设P 为△ABC 内一点，且=52+51，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比等于 . 答案 51 4.如图所示，AC 为⊙O 的直径，BD ⊥AC 于P ，PC =2，PA =8，则CD 的长为 ，cos ∠ACB = .答案 25 555.如图所示，PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知∠BPA =30°，PA =23，PC =1，则圆O 的半径等于 .答案 7例1 已知：如图所示，以梯形ABCD 的对角线AC 及腰AD 为邻边作平行四边形ACED ，连接EB ，DC 的延长线交BE 于F .求证：EF =BF .证明 连接AE 交DC 于O .∵四边形ACED 为平行四边形，∴O 是AE 的中点（平行四边形对角线互相平分）.∵四边形ABCD 是梯形，∴DC ∥AB .在△EAB 中，OF ∥AB ，O 是AE 的中点，∴F 是EB 的中点，即EF =BF .例2 如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ²BF =2DE ²AF .证明 过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N .在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴DN =21BF . ∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ， ∴AF AE =DNDE . 又DN =21BF ，∴AF AE =BF DE 2， 即AE ²BF =2DE ²AF .例3 （2008²苏、锡、常、镇三检）自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 的中点，过M 引割线交圆于B ，C 两点.求证：∠MCP =∠MPB .证明 ∵PA 与圆相切于A ，∴MA 2=MB ²MC ，∵M 为PA 中点，∴PM =MA ，∴PM 2=MB ²MC ，∴MC PM =PMMB . ∵∠BMP =∠PMC ，∴△BMP ∽△PMC ，∴∠MCP =∠MPB .例4 （14分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交AC 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：（1）C ，D ，F ，E 四点共圆；（2）GH 2=GE ²GF .证明 （1）连接BC .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°.∵AG ⊥FG ，∴∠AGE =90°.又∠EAG =∠BAC ，∴∠ABC =∠AEG .又∠FDC =∠ABC ，∴∠FDC =∠AEG .∴∠FDC +∠CEF =180°.∴C ，D ，F ，E 四点共圆. 7分（2）∵GH 为⊙O 的切线，GCD 为割线，∴GH 2=GC ²GD .由C ，D ，F ，E 四点共圆，得∠GCE =∠AFE ，∠GEC =∠GDF .∴△GCE ∽△GFD .∴GF GC =GD GF ，即GC ²GD =GE ²GF .∴CH 2=GE ²GF . 14分例5 （2008²徐州三检）如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =27，AB =BC =3.求BD 以及AC 的长.解 由切割线定理得：DB ²DA =DC 2，即DB （DB +BA ）=DC 2，DB 2+3DB -28=0，得DB =4.∵∠A =∠BCD ，∴△DBC ∽△DCA ， ∴CA BC =DC DB ，得AC =DB DC BC ∙=273.1.已知：如图所示，从R t △ABC 的两直角边AB ，AC 向外作正方形ABFG 及ACDE ，CF ，BD 分别交AB ，AC 于P ，Q .求证：AP =AQ .证明 ∵∠BAC +∠BAG =90°+90°=180°,∴C ,A ,G 三点共线.同理B ,A ,E 三点共线.∵AB ∥GF ,AC ∥ED ,∴GF AP =CG CA ，ED AQ =BE BA ， 即AP =CGGF CA ∙，AQ =BE ED BA ∙. 又∵CA =ED =AE ，GF =BA =AG ，∴CG =CA +AG =AE +BA =BE .∴AP =AQ .2.如图所示，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB =AC ，AP 是∠BAC 的外角的平分线，弦CE 的延长线交AP 于点D .求证：AD 2=DE ²DC .证明 连接AE ，则∠AED =∠B .∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB .∵∠QAC =∠B +∠ACB ，又∠QAP =∠PAC ，∴∠DAC =∠B =∠AED .又∠ADE =∠CDA ，∴△ACD ∽△EAD ， 从而AD CD =DEAD ， 即AD 2=DE ²DC .3.（2008²南京第二次质检）如图所示，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G .（1）求证：△DFE ∽△EFA ；（2）如果EF =1，求FG 的长.（1）证明 ∵EF ∥CB ，∴∠DEF =∠DCB .∵∠DCB =∠DAB ，∴∠DEF =∠DAB .∵∠DFE =∠EFA ，∴△DFE ∽△EFA .（2）解 ∵△DFE ∽△EFA ，∴FA EF =EF FD.∴EF 2=FA ²FD .∵FG 切圆于G ，∴FG 2=FA ²FD .∴EF 2=FG 2.∴EF =FG .∵EF =1，∴FG =1.4.已知：如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，O是△ABC 的外心，延长CA 到P ，再延长AB到Q ，使AP =BQ .求证：O ，A ，P ，Q 四点共圆.证明 连接OA ，OC ，OP ，OQ .∵O 是△ABC 的外心，∴OA =OC .∴∠OCP =∠OAC .由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，∴∠OAC =∠OAQ ，从而∠OCP =∠OAQ ，在△OCP 和△OAQ 中，由已知CA =AB ，AP =BQ ，∴CP =AQ .又OC =OA ，∠OCP =∠OAQ ，∴△OCP ≌△OAQ ，∴∠CPO =∠AQO ，∴O ，A ，P ，Q 四点共圆.5.（2008²徐州模拟）如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2交于点G .（1）求证：∠EAG =∠EFG ；（2）若⊙O 2的半径为5，圆心O 2到直线AC 的距离为3，AC =10，AG 切⊙O 2于G ，求线段AG 的长.（1）证明 连接GD ，因为四边形BDGE ，CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2，∴∠AEG =∠BDG ，∠AFG =∠CDG ，又∠BDG +∠CDG =180°，∴∠AEG +∠AFG =180°.即A ，E ，G ，F 四点共圆，∴∠EAG =∠EFG .（2）解 因为⊙O 2的半径为5，圆心O 2到直线AC 的距离为3，所以由垂径定理知FC =22235 =8，又AC =10,∴AF =2,∵AG 切⊙O 2于G ，∴AG 2=AF ²AC=2³10=20,AG =25.一、填空题1.如图所示，在△ABC 中，AD 是高线，CE 是中线，DC =BE ，DG ⊥CE 于G ，EC 的长为8，则EG = .答案 42.如图所示，已知△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，则AF = AC .答案 31 3.如图所示，在半圆O 中，AB 为直径，CD ⊥AB ，AF 平分∠CAB交CD 于E ，交CB 于F ，则图中相似三角形一共有 对.答案 54.(2008²广东理,15)已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA =2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB =1，则圆O 的半径R = .答案 35.如图所示，矩形ABCD 中，AB =12，AD =10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边上的中点E 处，则折痕FG 的长为 .答案 665 6.如图所示，已知AP 是圆O 的切线，P 为切点，AC 是圆O的割线，与圆O 交于B ，C 两点，圆心O 在∠PAC 的内部，点M 是BC 的中点.则∠OAM +∠APM 的大小为 .答案 90°7.如图所示，圆O 的直径AB =6，C 为圆周上一点，BC =3.过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC = ，线段AE 的长为 .答案 30° 38.（2008²徐州质检）如图所示，锐角△ABC 内接于⊙O ，∠ABC =60°，∠BAC =36°，作OE ⊥AB 交劣弧于点E ，连结EC ，则∠OEC = .答案 12°二、解答题9.已知：如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，F 是BA 延长线上的点，FD 与AC 交于点E .求证：AE ²FB =EC ²FA .证明 过A 作AG ∥BC ，交DF 于G 点.∵AG ∥BD ，∴FB FA =BD AG.又∵BD =DC ，∴FB FA =DC AG.∵AG ∥CD ，∴DC AG =EC AE. ∴FB FA =EC AE.∴AE ²FB =EC ²FA .10.已知：如图所示，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F .求证：AE ²BF ²AB =CD 3.证明 ∵∠ACB =90°,CD ⊥AB ,∴CD 2=AD ²BD ，故CD 4=AD 2²BD 2.又∵R t △ADC 中，DE ⊥AC ，R t △BDC 中，DF ⊥BC ，∴AD 2=AE ²AC ，BD 2=BF ²BC .∴CD 4=AE ²BF ²AC ²BC .又∵AC ²BC =AB ²CD ，∴CD 4=AE ²BF ²AB ²CD ，即AE ²BF ²AB =CD 3.11.（2008²苏南四市二检） 从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA ，PB 及一条割线PCD ，A ，B 为切点.求证：BC AC =BD AD . 证明 ∵PA 为⊙O 的切线，∴∠PAC =∠PDA ，而∠APC =∠DPA ，∴△PAC ∽△PDA ， 则AD AC =PD PA .同理BD BC =PDPB . ∵PA =PB ，∴AD AC =BD BC .∴BC AC =BD AD . 12.（2008²宁夏）如图所示，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 点作直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P .（1）证明：OM ²OP =OA 2；（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直于直线ON ，且交圆O 于B 点.过B 点的切线交直线ON 于K . 证明：∠OKM =90°.证明 (1)因为MA 是圆O 的切线,所以OA ⊥AM .又因为AP ⊥OM ,在R t △OAM 中,由射影定理知,OA 2=OM ²OP .（2）因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ，同（1），有OB 2=ON ²OK ，又OB =OA ，所以OP ²OM =ON ²OK ，即OP ON =OKOM . 又∠NOP =∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM =∠OPN =90°.13.（2008²江苏）如图所示，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D .求证：ED 2=EC ²EB .证明 如图所示，因为AE 是圆的切线，所以∠ABC =∠CAE .又因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠BAD =∠CAD .从而∠ABC +∠BAD =∠CAE +∠CAD .因为∠ADE =∠ABC +∠BAD ，∠DAE =∠CAE +∠CAD ，所以∠ADE =∠DAE ，故EA =ED .因为EA 是圆的切线，所以由切割线定理知，EA 2=EC ²EB ，而EA =ED ，所以ED 2=EC ²EB .14.已知：如图所示，△ABC 内接于⊙O ，过点A 的切线交BC的延长线于点P ，D 为AB 的中点，DP 交AC 于M . 求证：22PC PA =MCAM . 证明 如图所示，过点B 作BN ∥CM ，交PD 的延长线于点N ，则∠N =∠AMD ，∠NBD =∠DAM .又AD =DB ，∴△BND ≌△AMD .∴BN =AM .∵CM ∥BN ，∴CM BN =CP BP . ∴PC BP =MCAM . 由切割线定理，得PA 2=PC ²PB . ∴22PC PA =2PC PB PC ⋅=PC BP ，故22PC PA =MCAM .§14.2 矩阵与变换基础自测1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14= .答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡822. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x y x 2 3.设a ,b ∈R ,若矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 01把直线l ：x +y -1=0变成为直线m :x -y -2=0，则a = ，b = . 答案 2 -14.先将平面图形作关于直线y =x 的反射变换，再将它的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的三分之一，则整个变换可以用矩阵表示为 .答案 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡031205.设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡724k ，若AB =BA ，则k= .答案 3例1 已知变换T 把平面上的点A （2，0），B （3，1）分别变换成点A ′(2,1),B ′(3,2)，试求变换T 对应的矩阵M .解 设M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，则有M ： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡02→⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ²⎥⎦⎤⎢⎣⎡02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c a 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==211c a ；M ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡13→⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ²⎥⎦⎤⎢⎣⎡13=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++d c b a 33=⎥⎦⎤⎢⎣⎡23， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==;21,0d b 综上，M =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212101.例2 已知O （0，0），A （2，1），O ，A ，B ，C 依逆时针方向构成正方形的四个顶点.（1）求B ，C 两点的坐标；（2）把正方形OABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°得到正方形AB ′C ′O ′，求B ′，C ′，O ′三点的坐标.解 （1）显然向量绕O 点逆时针方向旋转90°得向量，变换矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110.所以有⎥⎦⎤⎢⎣⎡c c y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110²⎥⎦⎤⎢⎣⎡12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21， 即=（-1，2），C 点坐标是（-1，2）. 又=+=（2，1）+（-1，2）=（1，3），所以B 点坐标是（1，3）.（2）变换矩阵是N =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222， =（-2，-1），=（-3，1），=（-1，2）.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222²⎥⎦⎤⎢⎣⎡----211132 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2232222222223.即O A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,223，C A =(-2,22), AB ′=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛223,22 ∴O O '=+O A '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-222,4234， 点O ′的坐标是（222,2234+-）, 同理，点C ′的坐标是(2-2,1+22),点B ′的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2232,224. 例3 试从几何变换的角度求AB 的逆矩阵.（1）A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4001； （2）A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110. 解 （1）矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，因此它的逆矩阵是A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021； 同理，矩阵B 对应的也是伸压变换，它将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的4倍，因此它的逆矩阵是B -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41001； 所以（AB ）-1=B -1A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41001²⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡410021. （2）矩阵A 对应的是反射变换，它将平面内的点变为该点关于直线x -y =0的对称点，所以该变换的逆变换为其自身，A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110； 矩阵B 对应的也是反射变换，它将平面内的点变换为与其关于原点对称的点，所以B -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110；所以，（AB ）-1=B -1A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001.例4 （14分）已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系.解 （1）设M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=8⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡88， 故⎩⎨⎧=+=+.8,8d c b a 2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42，故⎩⎨⎧=+--=+-.42,22d c b a 4分 联立以上两方程组解得a =6,b =2,c =4,d =4, 故M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4426. 6分 （2）由（1）知，矩阵M 的特征多项式为 f （λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16，故其另一个特征值为λ=2. 9分设矩阵M 的另一个特征向量是e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，则M e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 4426=2⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，所以⎩⎨⎧=+=+y y x x y x 244226, 12分 所以矩阵M 的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是2x +y =0. 14分1.（2008²南京质检）二阶矩阵M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）.（1）求矩阵M ；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m :x -y =4,求l 的方程.解 （1）设M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡dc b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-20所以⎩⎨⎧-=--=-11d c b a ,且⎩⎨⎧-=+-=+-2202d c b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321d c b a ， 所以M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321. （2）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 432且m ：x ′-y ′=4,所以(x +2y )-(3x +4y )=4,整理得x +y +2=0，所以直线l 的方程为x +y +2=0.2.将双曲线C ：x 2-y 2=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C ′，试求C ′的方程.解 由题意，得旋转变换矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒︒︒-︒45cos 45sin 45sin 45cos =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222， 任意选取双曲线x 2-y 2=1上的一点P （x 0,y 0），它在变换T M 作用下变为P ′(x ′0,y ′0),则有M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡''00y x ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+='-=')(22)(22000000y x y y x x , ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'='+'=)(22)(22000000x y y y x x ，又因为点P 在曲线x 2-y 2=1上，所以20x -20y =1, 即有20x '0y '=1.∴所求的C ′方程为xy =21. 3.（2008²徐州模拟）已知M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7321.（1）求逆矩阵M -1； （2）若矩阵X 满足MX =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，试求矩阵X .解 （1）设M -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ， 依题意有⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+d c d c b a b a 723723=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+=--=+,172,03,072,13d c d c b a b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==1327d c b a∴M -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1327. （2）∵矩阵X 满足MX =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，∴矩阵X =M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1327⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡49.4.（2008²苏州信息卷）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3113，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量. 解 由3113--λλ=（λ-3）2-1=0，解得λ1=2, λ2=4.设矩阵M 的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x .当λ1=2时,由M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =2⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 可得⎩⎨⎧=-=+-00y x y x , 可见，α1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11是M 的属于λ1=2的特征向量.当λ2=4时，由M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =4⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 可得,⎩⎨⎧=+=+00y x y x , 可见，α2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11是M 的属于λ2=4的特征向量.一、填空题1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是 .①⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ②⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ③⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 ④⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000 答案 ①2.将圆x 2+y 2=1在矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 00对应的伸压变换下变成一个椭圆x 2+42y =1，则a +b = . 答案 3 3.在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201对应的变换下，点A （2，1）将会转换成 . 答案 （2，5）4.若直线x -y -4=0在矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a 11对应的变换作用下，把自己变为自己，则a ,b 的值分别为 .答案 0，25.将点（2，4）先经矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为 . 答案 （-8，2）6.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y 轴对称的变换，再将它做关于直线y =x 对称的变换，则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 .答案 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02210 7.若矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡133b a 把直线l :2x +y -7=0变换成另一直线l ′:9x +y -91=0,则a = ,b = . 答案 0 -18.矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2321的所有特征向量为 .答案 k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32和k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，（k ≠0）二、解答题9.试求曲线y =sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021. 解 MN =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20021， 即在矩阵MN 变换下⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x 221， 则21y ′=sin2x ′,即曲线y =sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y =2sin2x . 10.已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.求直线l :x -y +1=0在矩阵M 的变换下的直线l ′的方程.解 设M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡dc b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=8⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡88， 故⎩⎨⎧=+=+.8,8d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42， 故⎩⎨⎧=+--=+-.42,22d c b a 联立以上两方程组解得a =6,b =2,c =4,d =4,故M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4426. 设点（x ，y ）是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为（x ′,y ′），则⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4426⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 4426， 即x =41x ′-81y ′,y =-41x ′+83y ′, 代入直线l 的方程后并化简得x ′-y ′+2=0,即x -y +2=0.所以变换后的直线方程为x -y +2=0.11.（2008²如东质检）已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-111a ，其中a ∈R ，若点P （1，1）在矩阵A 的变换下得到点P ′（0，-3）.（1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的特征值及特征向量.解（1）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-111a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-30得a +1=-3⇒a =-4.（2）由（1）知A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1411 则矩阵A 的特征多项式为f （λ）=1411--λλ=（λ-1）2-4=λ2-2λ-3 令f (λ)=0,得矩阵A 的特征值为-1或3.设矩阵A 的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x当λ=-1时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1411⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =(-1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x即⎩⎨⎧-=+--=-y y x x y x 4,所以y =2x . ∴矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21.当λ=3时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1411⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =3⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ,即⎩⎨⎧=+-=-y y x x y x 343,所以2x +y =0. ∴矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21.12.（2008²江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2+y 2=1在矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.解 设P （x 0,y 0）是椭圆上任意一点，点P （x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(0x ',0y '),则有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''00y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x ，即⎩⎨⎧='=',,20000y y x x 所以⎪⎩⎪⎨⎧'='=.,20000y y x x 又因为点P 在椭圆上，故420x +20y =1,从而(0x ')2+(0y ')2=1. 所以曲线F 的方程为x 2+y 2=1. 13.已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421，求特征值及特征向量. 解 矩阵A 的特征多项式为f (λ)=3421----λλ. 令f (λ)=0,即λ2-4λ-5=0,得λ1=-1, λ2=5,所以矩阵A 的特征值为λ1=-1, λ2=5.将λ1=-1代入二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=-+-0)3()4(0)2()1(y x y x λλ. ① 即⎩⎨⎧=--=--044022y x y x ,得x =y ,它有无穷多个非零解⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x ,其中x ≠0,故⎥⎦⎤⎢⎣⎡11为矩阵属于特征值λ=-1的特征向量.同样，将λ1=5代入二元一次方程组①，则⎩⎨⎧=+-=-024,024y x y x 得y =2x ,它有无穷多个非零解⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x 2，其中x ≠0,故⎥⎦⎤⎢⎣⎡21为矩阵属于特征值λ=5的特征向量.14.已知矩阵M 有特征值λ1=4及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡32，并有特征值λ2=-1及对应的一个特征向量e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11.（1）求矩阵M ；（2）求M 2 008e 2.解 （1）设M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32=4⎥⎦⎤⎢⎣⎡32=⎥⎦⎤⎢⎣⎡128，故⎩⎨⎧=+=+1232832d c b a .又⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=（-1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，故⎩⎨⎧=--=-11d c b a .联立以上两个方程组，解得a =1,b =2,c =3,d =2,故M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2321.（2）M 2 008e 2=λ20082e 2=（-1）2 008⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11.§14.3 坐标系与参数方程基础自测1.曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标方程为 .答案 x 2+(y -2)2=42.直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=t y t x 2221(t 为参数)上到点A （1，2）的距离为42的点的坐标为 .答案 （-3，6）或（5，-2）3.过点A （2，3）的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ty t x 232（t 为参数），若此直线与直线x -y +3=0相交于点B ，则|AB |= .答案 254.直线⎩⎨⎧-=+-=ty t x 12(t 为参数)被圆（x -3）2+(y +1)2=25所截得的弦长为 .答案 825.若直线x +y =m 与圆⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin cos m y m x (ϕ为参数，m ＞0)相切，则m 为 .答案 2例1 将极坐标方程sin θ=31化为直角坐标方程，并说明该方程表示什么曲线. 解 由sin θ=ρy ,ρ=22y x +, 得sin θ=ρy =22y x y+=31. 则y ＞0,平方得x 2+y 2=9y 2,即y 2=81x 2,y =±88x , 因此，它表示端点除外的两条射线：y =88x (x ＞0)和y =-88x (x ＜0). 例2 在极坐标系中，求过点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,6π，并且平行于极轴的直线l 的极坐标方程. 解 如图所示，设M （ρ，θ）为直线l 上的任意一点，则OM =ρ,∠MOC =θ.过点A ，M 作极轴的垂线AB ，MC 交极轴与B ，C 两点.∵l ∥Ox ，∴MC =AB .则OA =6，∠AOB =6π. 所以MC =AB =3.由sin θ=OM MC =ρ3,得ρsin θ=3. 所以ρsin θ=3为所求的直线l 的极坐标方程.例3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 232,211（t 为参数）； （2）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t x 2,12（t 为参数）； （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 1,1（t 为参数）； （4）⎩⎨⎧==θθcos 5sin 4y x （θ为参数）.解 （1）由x =1+21t 得，t =2x -2.∴y =2+23(2x -2). ∴3x -y +2-3=0,此方程表示直线.（2）由y =2+t 得,t =y -2，∴x =1+（y -2）2.即(y -2)2=x -1,方程表示抛物线. （3）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 11 ∴①2-②2得，x 2-y 2=4,方程表示双曲线.（4）⎩⎨⎧==θθcos 5sin 4y x ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5cos 4sin yx θθ①2+②2，得251622y x +=1表示椭圆. 例4 （2008²盐城调研）（14分）求直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=t y t x 531541（t 为参数）被曲线ρ=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ所截的弦长. 解 将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=t y t x 531541,ρ=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ分别化为普通方程：3x +4y +1=0,x 2+y 2-x +y =0, ① ② ① ②7分圆心C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21半径为22，圆心到直线的距离d =101,弦长=222d r -=2100121-=57. 14分1.在极坐标系中，已知三点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π、N （2，0）、P ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32π. （1）将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标；（2）判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上.解 （1）由公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得M 的直角坐标为(1,-3); N 的直角坐标为（2，0）；P 的直角坐标为（3，3）.（2）∵k MN =123-=3，k NP =2303--=3. ∴k MN =k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上.2.求圆心在A ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,πa （a ＞0），半径为a 的圆的极坐标方程. 解 如图所示，设M （ρ，θ）为圆上的任意一点（点O ，B 除外），则OM =ρ，∠MOx =θ.连结BM ，OB =2a ，∠MOB =θ-6π.在直角三角形OBM 中，cos ∠MOB =OB OM =a 2ρ =cos （θ-6π）， 即ρ=2a cos(θ-6π).(*) 经检验，O （0，32π），B （2a ，6π）满足方程（*）， 所以ρ=2a cos （θ-6π）为所求的圆的极坐标方程. 3.（2008²栟茶模拟）将参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θθ2cos 4,sin 32y x (θ为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线. 解 y =4cos2θ=4-8sin 2θ,由x =3sin 2θ,得sin 2θ=3x . ∴y =4-38x ，即8x +3y -12=0. ∵x =3sin 2θ≥0，∴所求普通方程为8x +3y -12=0 (x ≥0).它表示一条射线.4.已知经过点M （-1，1），倾斜角为4π的直线l 和椭圆2422y x +=1交于A ，B 两点，求线段AB 的长度及点M （-1，1）到A ，B 两点的距离之积.解 直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 221,221(t 为参数)， 代入椭圆的方程，得2221422122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t t =1. 即3t 2+22t -2=0,解得t 1=-2,t 2=32. 所以，由参数t 的几何意义，得|AB |=|t 1-t 2|=322--=324, |MA |²|MB |=|t 1t 2|=32.一、填空题 1.已知点P （x ,y ）在曲线⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2y x (θ为参数)上，则x y 的取值范围为 . 答案 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-33,33 2.已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角α=6π，直线l 的参数方程为 . 答案 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 211231 3.极坐标系中，圆ρ=10cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπ3的圆心坐标为 . 答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,5π 4.点P 的直角坐标为(1,-3),则点P 的极坐标为 .答案 （2，-3π） 5.已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x ,分别以t 和θ为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数为 . 答案 2或16.已知2x 2+3y 2-6x =0 （x ,y ∈R ），则x 2+y 2的最大值为 . 答案 97.从极点O 作直线与另一直线l ∶ρcos θ=4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ²OP =12，则点P 的轨迹方程为 . 答案 ρ=3cos θ8.过点P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,210作倾斜角为α的直线与曲线x 2+2y 2=1交于M ，N ，则|PM |²|PN |的最小值为 .答案43 二、解答题9.（2008²江苏，21）在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ,y )是椭圆32x +y 2=1上的一个动点，求S =x +y 的最大值.解 由椭圆32x +y 2=1的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin cos 3y x (ϕ为参数)，可设动点P 的坐标为（3cos ϕ,sin ϕ）,其中0≤ϕ＜2π. 因此，S =x +y =3cos ϕ+sin ϕ=2²⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕϕsin 21cos 23=2sin （ϕ+3π）. 所以当ϕ=6π时，S 取得最大值2. 10.（2008²宁夏，23）已知曲线C 1：⎩⎨⎧==,sin ,cos θθy x (θ为参数)，曲线C 2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.22,222t y t x (t 为参数).（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1C ',2C '.写出1C ',2C '的参数方程. 1C '与2C '公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同?说明你的理由. 解 (1)C 1是圆,C 2是直线.C 1的普通方程为x 2+y 2=1,圆心C 1(0,0),半径r =1. C 2的普通方程为x -y +2=0.因为圆心C 1到直线x -y +2=0的距离为1, 所以C 2与C 1只有一个公共点. (2)压缩后的参数方程分别为1C ': ⎪⎩⎪⎨⎧==,sin 21,cos θθy x (θ为参数), 2C ': ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 42,222(t 为参数), 化为普通方程为1C ':x 2+4y 2=1, 2C ':y =21x +22, 联立消元得2x 2+22x +1=0,其判别式Δ=(22)2-4³2³1=0,所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点,和C 1与C 2公共点的个数相同. 11.（2008²江苏信息卷）经过曲线C ：⎩⎨⎧=+=θθsin 3,cos 33y x (θ为参数)的中心作直线l :⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 33（t 为参数）的垂线，求中心到垂足的距离. 解 由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 3,cos 33y x 消去参数θ， 得(x -3)2+y 2=9.曲线C 表示以（3，0）为圆心，3为半径的圆. 由直线l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 33,消去参数t ,得y =33x . 表示经过原点，倾斜角为30°的直线.如图,在直角三角形OCD 中，OC =3，∠COD =30°， 所以CD =23.所以中心到垂足的距离为23. 12.求圆心为A （2，0），且经过极点的圆的极坐标方程. 解 如图所示，设M （ρ，θ）为圆上的任意一点 （点O ，B 除外），则OM =ρ，∠MOx =θ. 连结BM ，在直角三角形OBM 中， cos θ=OB OM =4ρ，即ρ=4cos θ.（*） 经检验，O （0，2π），B （4，0）满足方程（*）， 所以ρ=4cos θ为所求的圆的极坐标方程.13.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.解 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位. （1）x =ρcos θ,y =ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.所以x 2+y 2=4x .即x 2+y 2-4x =0为⊙O 1的直角坐标方程.同理x 2+y 2+4y =0为⊙O 2的直角坐标方程.（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==,0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x即⊙O 1，⊙O 2交于点（0，0）和（2，-2）. 过交点的直线的直角坐标方程为y =-x .14.设点O 为坐标原点，直线l :⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22422(参数t ∈R ）与曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧==μμ442y x （参数μ∈R ）交于A ，B两点.（1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程； （2）求证：OA ⊥OB .（1）解 直线l 的普通方程为：x -y -4=0. 曲线C 的普通方程为：y 2=4x .（2）证明 设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧-==,4,42x y x y消去y ,得x 2-12x +16=0,∴x 1+x 2=12,x 1x 2=16, ∴k OA ²k OB =2121x x y y =2121)4)(4(x x x x -- =21212116)(4x x x x x x ++-=-1,∴OA ⊥OB .§14.4 不等式选讲基础自测1.不等式ax 2+bx +2＞0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ,则a -b = . 答案 -102.在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ={（x ，y ）|x +y ≤1，且x ≥0,y ≥0}，则平面区域B ={（x +y ，x -y ）|（x ，y ）∈A }的面积为 . 答案 13.设x ,y 满足x +4y =40且x ,y 都是正数，则lg x +lg y 的最大值是 . 答案 24.已知h ＞0,设命题甲：两个实数a ,b 满足|a -b |＜2h ;命题乙：两个实数a ,b 满足|a -1|＜h ,且|b -1|＜h .那么甲是乙的 条件. 答案 必要不充分例1 若a ,b ∈R ,求证：ba b a +++1≤aa +1+bb +1.证明 当|a +b |=0时，不等式显然成立. 当|a +b |≠0时，由0＜|a +b |≤|a |+|b |⇒b a +1≥b a +1, 所以ba b a +++1=111++ba≤b a ++111=b a ba +++1 ≤aa +1+bb+1.例2 （2008²苏中三市调研）已知x 、y 、z 均为正数. 求证：xyzzx y yz x ++≥x 1+y 1+z 1.证明 因为x ,y ,z 全为正数. 所以z zx y yz x1=+(y x +xy )≥z 2,同理可得xy z zx y +≥x 2,yz x xy z +≥y2, 当且仅当x =y =z 时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2, 得xyzzx y yz x ++≥x 1+y 1+z 1. 例3 已知x 1,x 2,…,x n 都是正数，且x 1+x 2+…+x n =1,求证：11x +21x +…+n x 1≥n 2. 证明11x +21x +…+n x 1 =(x 1+x 2+…+x n )（11x +21x +…+n x 1） ≥22211111⎪⎪⎭⎫⎝⎛∙+∙+∙n nx x x x x x =n 2. 例4 （2008²盐城调研）（14分）已知x 、y 、z 均为实数， （1）若x +y +z =1,求证：13+x +23+y +33+z ≤33； （2）若x +2y +3z =6，求x 2+y 2+z 2的最小值.（1）证明 因为（13+x +23+y +33+z ）2≤(12+12+12)(3x +1+3y +2+3z +3)=27.所以13+x +23+y +33+z ≤33. 7分 (2)解 因为(12+22+32)(x 2+y 2+z 2) ≥(x +2y +3z )2=36, 即14(x 2+y 2+z 2)≥36, 所以x 2+y 2+z 2的最小值为718. 14分1.已知|a |＜1,|b |＜1,求证：abba ++1＜1.证明 ∵ab ba ++1＜1⇔()()221ab b a ++＜1 ⇔a 2+b 2+2ab ＜1+2ab +a 2b 2⇔a 2b 2-a 2-b 2+1＞0 ⇔ (a 2-1)(b 2-1)＞0又|a |＜1,|b |＜1,∴(a 2-1)(b 2-1)＞0. ∴原不等式成立.2.设a ,b ,c 都是正数，求证：（1）（a +b +c )⎪⎭⎫⎝⎛++c b a 111≥9;(2)(a +b +c ) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a c c b b a 111≥29.证明 （1）∵a ,b ,c 都是正数， ∴a +b +c ≥3abc 3,a 1+b 1+c 1≥3abc13. ∴(a +b +c ) ⎪⎭⎫⎝⎛++c b a 111≥9,当且仅当a =b =c 时，等号成立. （2）∵（a +b ）+(b +c )+(c +a ) ≥3))()((3a c c b b a +++, 又ac c b b a +++++111≥))()((133a c c b b a +++,∴(a +b +c ) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a c c b b a 111≥29,当且仅当a =b =c 时，等号成立.3.设a 、b 、c 均为正数.求证：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++b a c a c b c b a≥23.证明 方法一 ∵ba ca cbc b a ++++++3 =ba cb a ac c b a c b c b a +++++++++++=(a +b +c ) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++c b c a b a 111=21［(a +b )+(a +c )+(b +c )］⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++c b c a b a 111≥21 (b a +²b a +1+c a +²c a +1+c b +²cb +1)2=29.∴c b a ++a c b +b a c +≥23.方法二 令⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ba z a c y cb x ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=222zy x c y z x b x z y a∴左边=21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++3z y y z z x x z y x x y ≥21⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∙+∙+∙3222z y y z z x x z y x x y =23. ∴原不等式成立. 4.已知a ＞b ＞0,求a 2+)(16b a b -的最小值.解 a 2+)(16b a b -=［（a -b ）+b ］2+)(16b a b -≥4（a -b ）²b +)(16b a b -≥2)(16)(4b a b b b a -⨯-=16.当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-)(4)(b a b b b a b b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧==222b a 时，等号成立. ∴a 2+)(16b a b -的最小值是16.一、填空题1.已知2a +1＜0,关于x 的不等式x 2-4ax -5a 2＜0的解集是 . 答案 {x |5a ＜x ＜-a }2.设f (x )=ax 2+bx +c ，当|x |≤1时，总有|f (x )|≤1,则|f (2)|的最大值是 . 答案 73.已知a ,b ,c 均为正数，且a +b +c =1，则1+a +1+b +1+c 的最大值为 . 答案 234.设a ＞b ＞c 且c b b a -+-11≥ca m-恒成立,则m 的取值范围是 . 答案 (-∞,4］5.（2008²山东）若不等式|3x -b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b 的取值范围为 . 答案 (5,7)6.（2008²广东）已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2+x +41-a +|a |=0有实根，则a 的取值范围是 . 答案 0≤a ≤41 7.若关于x 的不等式|x -3|-|x -4|＜a 的解集不是空集，则a 的取值范围是 . 答案 （-1，+∞）8.设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是 . ①|a -b |≤|a -c |+|b -c|;②a 2+21a ≥a +a1; ③|a -b |+ba -1≥2; ④3+a -1+a ≤2+a -a . 答案 ③ 二、解答题9.（2008²宁夏）已知函数f (x )=|x -8|-|x -4|. (1)作出函数y =f (x )的图象; (2)解不等式|x -8|-|x -4|＞2.解 (1)f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+-≤,8,4,84,122,4,4x x x x 图象如下:(2)不等式|x -8|-|x -4|＞2,即f (x )＞2. 由-2x +12=2,得x =5.由函数f (x )图象可知,原不等式的解集为(-∞,5).10.求证：（1）|a +b |+|a -b |≥2|a |; (2)|a +b |-|a -b |≤2|b |.证明 (1)|a +b |+|a -b |≥|(a +b )+(a -b )|=2|a |. (2)|a +b |-|a -b |≤|(a +b )-(a -b )|=2|b |.11.（2008²江苏，21，D ）设a ,b ,c 为正实数.求证：333111cba+++abc ≥23.证明 因为a ,b ,c 是正实数，由平均不等式可得333111cba++≥33333111cba∙∙，即333111c b a ++≥abc3， 所以333111c b a +++abc ≥abc3+abc . 而abc 3+abc ≥2abc abc∙3=23, 所以333111c b a +++abc ≥23.12.对任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a +b |+|a -b |≥|a |(|x -1|+|x -2|)恒成立，试求实数x 的取值范围. 解 依题意，|x -1|+|x -2|≤aba b a -++恒成立，故|x -1|+|x -2|≤min⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++a b a b a . 因为|a +b |+|a -b |≥|(a +b )+(a -b )|=2|a |, 当且仅当(a +b )(a -b )≥0时取“=”， 所以min⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++a b a b a =2. 所以x 的取值范围即为不等式|x -1|+|x -2|≤2的解. 解上述不等式得21≤x ≤25， 所以所求的x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2521x x .13.（2008²南京第二次调研）已知f (x )=21x +,a ≠b , 求证：|f (a )-f (b )|＜|a -b |.证明 方法一 ∵f (a )=21a +,f (b )= 21b +, ∴原不等式化为|21a +-21b +|＜|a -b |. ∵|21a +-21b +|≥0，|a -b |≥0， ∴要证|21a +-21b +|＜|a -b |成立,只需证（21a +-21b +）2＜(a -b )2.即证1+a 2+1+b 2-221a +21b +＜a 2-2ab +b 2,即证2+a 2+b 2-221a +21b +＜a 2-2ab +b 2.只需证2+2ab ＜221a +21b +，即证1+ab ＜21a +21b +.当1+ab ＜0时，∵21a +21b +＞0, ∴不等式1+ab ＜21a +21b +成立.从而原不等式成立.当1+ab ≥0时，要证1+ab ＜21a +21b +,只需证(1+ab )2＜（21a +21b +）2,即证1+2ab +a 2b 2＜1+a 2+b 2+a 2b 2,即证2ab ＜a 2+b 2. ∵a ≠b ,∴不等式2ab ＜a 2+b 2成立.∴原不等式成立. 方法二 ∵|f （a ）-f （b ）|=|21a +-21b +|=222211ba b a +++-=2211ba b a b a ++++-，又∵|a +b |≤|a |+|b |=2a +2b ＜21a ++21b +，∴2211ba b a ++++＜1.∵a ≠b ,∴|a -b |＞0.∴|f (a )-f (b )|＜|a -b |. 14.设a ,b ,c ∈R +且a +b +c =1，试求：121+a +121+b +121+c 的最小值. 解 ∵a +b +c =1，a 、b 、c 为正数，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++121121121c b a （2a +1+2b +1+2c +1） ≥（1+1+1）2, ∴121+a +121+b +121+c ≥59. 当且仅当2a +1=2b +1=2c +1，即a =b =c 时“=”成立， ∴当a =b =c =31时，121+a +121+b +121+c 取最小值59.。
压题2010届高三数学复习计划
With the development of information technology, it is getting increasingly mature, and gradually infiltrated into all kinds of industries. Network information-seeking is an important way for people to search information. However, as there is a mass of information on internet。
2010届高三数学复习计划数学组一考情、学情分析从2009年高考试卷来看，选择题、填空题小、巧、活，难度明显低于去年，大多属于“一捅就破”的题型。
试题几乎全部由易到难排列，考生“一路拚杀”，没有遇到多大障碍，感觉很顺。
最后两题虽有难度，但坡度合理。
根据学科的特点，又我们的学生基础之差学习习惯之差，大家众所周知，再加上在高一、高二阶段，思想认识都不到位，学习抓得不紧，尤其课时不足，只重进度不重效果，大部分学生的基础知识、基本方法掌握不好，学习数学的信心和兴趣不足。
并且，学生的“知识回生”太快，有明显优势的学生较少，主动学习数学的习惯不强.还有不少数学是“缺腿”的优生。
经过与同组的其他老师商讨后，我们打算用一个阶段来完成2010届高三数学的复习工作。
结合本校数学教学的实际情况制定以下复习计划。
二、具体措施（一）同备课组老师之间加强研究1、研究《课程标准》、参照2009年《考试说明》，明确复习教学要求。
2、研究高中数学教材。
处理好几种关系：课标、考纲与教材的关系；教材与教辅资料的关系；重视基础知识与培养能力的关系。
3、研究09年新课程地区高考试题，把握考试趋势。
研究高考信息，关注考试动向。
及时了解2010高考动态，适时调整复习方案。
4、研究本校数学教学情况、尤其是本届高三学生的学情。
2010高考数学专题复习系列导学案12
平面向量1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.2. 掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律.3. 掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件.4. 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.5. 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.6. 掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式.7.掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.向量由于具有几何形式与代数形式的双重身份”,使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为多项内容的媒介.主要考查：1. 平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则.2. 向量的坐标运算及应用.3. 向量和其它数学知识的结合.如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用.4. 正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力.以化简、求值或判断三角形的形状为主.解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明.第1课时向量的概念与几何运算1. 向量的有关概念⑴既有_________ 又有______ 的量叫向量. _____________________ 的向量叫零向量. __________________ 的向量，叫单位向量.⑵ ___________________ 叫平行向量，也叫共线向量.规定零向量与任一向量______________ .⑶_____________ 且___________的向量叫相等向量.2. 向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法.向量加法按______________ 法则或____________________ 法则进行.加法满足_______________ 律禾廿________ 律.⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法.作法是将两向量的________________ 重合，连结两向量的________ ，方向指向____________________ .3. 实数与向量的积⑴ 实数与向量a的积是一个向量，记作 a .它的长度与方向规定如下：①丨a| = .②当彳＞0时，a的方向与a的方向;当彳V 0时，a的方向与a的方向;当彳=0时，a⑵(2)= ________________ .(+ 口b = ------------- .(a + b)= _____________ .⑶ 共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入使得_________4. ⑴平面向量基本定理：如果e l、e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数i、2，使得 ________⑵设勺、e2 是一一组基底，a = x i e i y i e2 , b = X2$ y?e2，则a与b共线的充要条件是.例1 .已知△ ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点.设AB a , AC b，求BE .解: BE=AE- AB = ；(AB + AC)- AB=- ；a +；b3解：设a tb [ ab)](R ）化简整理得：（£ 1）a （t 3 ）b 0•/ a 与b 不共线，.•.32丄2)+ (— 3 3 卩)2 2 卩=2，且一3 入 + 3 卩=—9=2, 且 尸一1 变式训练2:已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 0点，点P 为平面上任意一点，求证:PA PB PC PD 4PO证明 PA + PC = 2 P0 , PB + PD = 2 PO PA + PB + PC + PD = 4 P0解：连 NC,贝U N C A D b MN M C C N 1 A B C N la b ； BC N C NB 4 4 OADB 是以向量0A = a , OB = b 为邻边的平行四边形， 又BM = 1 BC ,3变式训练1.如图所示，D 是厶ABC 边AB 上的中点，则向量CD 等于（） —BC + 丄 BA2A .B .BC —丄 BA2C. BC —D . BC + 1 -BA2解:A例 2.已知向量 a 2e 1 3e 2 , b 2e i 3e 2,c 2e ； 9e 2，其中石、良不共线，求实数解：c = Xa + ^b2e' — 9勺=(2 片 2 卩例3.已知ABCD 是一个梯形，AB 、CD 是梯形的两底边，且 AB = 2CD, M 、 N 分别是DC 和 AB的中点，若AB a ， AD b ，试用a 、b 表示BC 和MN .变式训练3:如图所示,CN =丄 CD 3,试用a 、b 表示0M ,O N ， M N .解：0M =丄6 - 5 「a + 6b ，一- 1MN = a — b例4.设a , b 是两个不共线向量，若 a 与b 起点相同, 1 — —t € R, t 为何值时,a ,t b , -(a +b )三向量的终点在一条直线上? AD故t 丄时，a,tb, 1(a b)三向量的向量的终点在一直线上.2 3uuu r uuu r umr r uur u uuu r r r ru变式训练 4：已知 OA a,OB b,OC c,OD d,OE e ,设 t R ，如果 3ac,2b d,e t (a b)，那么t 为何值时，C ,D , E 三点在一条直线上？uuuur r r uuu r r r r解:由题设知，CD d c 2b 3a,CE e c (t 3)a tb , C, D,E 三点在一条uurr uuu r r r r直线上的充要条件是存在实数 k ，使得CE kCD ，即(t 3)a tb 3ka 2kb ,整理得(t 3 3k )a (2k t)b .①若a,b 共线，则t 可为任意实数；1. 认识向量的几何特性.对于向量问题一定要结合图形进行研究.向量方法可以解决几何中 的证明.2. 注意O 与O 的区别.零向量与任一向量平行. 3•注意平行向量与平行线段的区别•用向量方法证明 AB// CD,需证AB // CD ，且AB 与CD不共线.要证 A 、B C 三点共线，则证 AB // AC 即可.4•向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连； 向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点.第2课时平面向量的坐标运算1. 平面向量的坐标表示1* E ■分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、j 作为基底，对于一个向量 a ，有且只有一 对实数x 、y ，使得a = x i + y j .我们把(x 、y)叫做向量a 的直角坐标，记作 __________________________ .并且| a |= ------------------2. ______________________________ 向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系.3. 平面向量的坐标运算：右 a = (x 1、y 1), b = (x 2、y 2),入€ R ,则：-F-+■a +b = ______________ a — b②若a,b 不共线，则有t 3 3k 0 t 2k 0t 可为任意实数; ，解之得，t 65a,b 不共线时，已知 A （X 1、y i ）, B （X 2、y 2）,贝y AB = ________ .4. _______________________________________________________ 两个向量a = （x i 、y i ）和b =（X 2、y 2）共线的充要条件是 ____________________________________典型例题例1.已知点A （ 2, 3），B （- 1, 5）,且AC =护，求点C 的坐标.1 —2 — — — 11 11 解 AC = - AB = (- 1 , 3)，OC = OA AC = (1, y),即 C(1,-)变式训练 uuu 1.若 OAuuu(2,8) , OB ( 7,2),1 uuu 则-AB 3uuu uuu uuu解：（3,2）提AB OB OA (9, 6)b = (cos , sin ), | a — b | = ，求 cos(2 2 5变式训练 2.已知 a — 2 b = (— 3, 1), 2 a + b = (— 1 , 2)，求 a + b . 解 a = (— 1 , 1), b = (1 , 0),.•• a + b = (0, 1)例 3.已知向量 a = (1,2), b = (x, 1), e ( = a + 2 b , e 2 = 2 a 解:e ； = (1+ 2x , 4), e 2 = (2 — x , 3), e 1 I e 23(1 + 2x)= 4(2 — x) x = 1变式训练 3.设 a = (ksin 0 , ,1) b = (2 — cos 0 , 1) (0 < 0 <n I b ，求证：k N 3 .交于点P .(1) 若AD = (3 , 5)，求点C 的坐标； (2) 当| AB | = | AD |时，求点P 的轨迹. 解:⑴设点C 的坐标为(X 0, y o ),AC AD DB (3,5)(6,0)(9,5) (x 。
2010年高考数学二轮复习策略
2010年高考数学二轮复习策略一、以纲为纲，明晰要求所谓“纲”，主要指《考试说明》，就是要对“考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说”了如指掌。
不做“无用功”，把有限的时间用来突出重点，加强复习的目的性、针对性、有效性和科学性。
高考数学中一般有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节，不少省份命题主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性；第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题。
二、立足稳定，兼顾变化2010年仍会保持高考改革的连续性和稳定性，认真分析最近几年各地高考就会发现有些重要知识点几乎每年必考，例如：圆锥曲线中的离心率问题、立体几何中的位置关系判定、复数的化简计算、立几中的垂直距离证明计算等。
坚持以能力立意命题，突出考能力与数学素质是命题的方向。
加入思维量，降低人手难度，考查主干知识和通性通法，重视考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决实际问题的能力，强调探究性、综合性和开放性。
选择题和填空题考查的方向仍是知识的深度、广度和解题的速度。
“概念是否模糊不清，方法是否模棱两可”是考生必须解决的问题。
另外，填空一直是新题型的试验田，“开放性”的题型都是在这里出现的，但新题型不会是难题，需要认真分析、联想、转化、沉着应答。
解答题命题仍从能力立意，将新旧知识综合的基本精神不会变。
其中立体几何综合大题仍将有两种解法：①常规解法(证法)②利用空间向量(坐标)求解(证明)。
要注意用导数来研究函数的性质和题型解法的总结。
一般来说，如下四道解答题题型是固定要出的：①立体几何综合题，⑦解析几何(和平面向量糅合)综合题，③数列综合题(可以是猜想、归纳法，也可以是与函数知识综合等)，④应用性大题(概率统计或与生产、生活实际联系的数学建模题)。
三、回归课本。
2010年高考数学归纳总结高考题型解题策略
2010年高考数学冲刺复习——归纳总结高考题型解题策略（共分五大专题）专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点.如08年安徽理科第5题(5分)，考查三角函数的对称性与向量平移、08年山东文第8题理第15题(5分)考查两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题(12分)考查三角函数的求值与向量积、07的天津文理第15题(4分)考查正余弦定理与向量数量积等.根据2009年考纲预计在09年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件．主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.【考试要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用―五点法‖画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的―双重身份‖，即可以象数一样满足―运算性质‖进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以―角‖为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在―角‖之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(ωx+ϕ)的性质和图像及其图像变换.3．考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题. 6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题. 【典例分析】题型一 三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.【例1】 把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＝π2)的图象，则ϕ和B 的值依次为（ ） A ．π12，－3B ．π3，3C ．π3，－3D ．－π12，3【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析1】 由平移向量知向量平移公式⎩⎪⎨⎪⎧x '＝x －π6y '＝y －3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，代入y ＝sin2x 得y '＋3＝sin2(x '＋π6)，即到y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，故选C.【解析2】 由向量→a ＝(－π6，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移π6个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y ＝sin2(x ＋π6)－3，即y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，故选C.【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin2B ＋cos C －3B 2的最大值.【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A 、B 、C 三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再根据B 的范围求最值.【解】 （Ⅰ）∵→p 、→q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA ＋sinA)(cosA －sinA)，则sin2A ＝34，又A 为锐角，所以sinA ＝32，则A ＝π3. （Ⅱ）y ＝2sin2B ＋cos C －3B2＝2sin2B ＋cos (π－π3－B)－3B2＝2sin2B ＋cos(π3－2B)＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B＝32sin2B －12cos2B ＋1＝sin(2B －π6)＋1. ∵B ∈(0，π2)，∴2B －π6∈(－π6，5π6)，∴2B －π6＝π2，解得B ＝π3，ymax ＝2.【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三 三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例3】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值； （Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan α2的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．【解】 （Ⅰ）∵→a ⊥→b ，∴→a ·→b ＝0．而→a ＝（3sinα，cosα），→b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)， 故→a ·→b ＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－43，或tanα＝12．∵α∈（3π2，2π），tanα＜0，故tanα＝12（舍去）．∴tanα＝－43．（Ⅱ）∵α∈（3π2，2π），∴α2∈（3π4，π）．由t anα＝－43，求得tan α2＝－12，tan α2＝2（舍去）．∴sin α2＝55，cos α2＝－255，∴cos(α2＋π3)＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510【点评】 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（Ⅰ）小题的解答中用到―弦化切‖的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现―切函数与弦函数‖关系问题常用方法.题型四 三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|→a |2＝→a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cos β即可.【解】 (Ⅰ)∵|→a －→b |＝255，∴→a 2－2→a ·→b ＋→b 2＝45， 将向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)代入上式得12－2(cos αcos β＋sin αsin β)＋12＝45，∴cos(α－β)＝－35.(Ⅱ)∵－π2＜β＜0＜α＜π2，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－35，得sin(α－β)＝45，又sin β＝－513，∴cos β＝1213，∴sin α＝sin ［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|→a －→b |为向量运算|→a －→b |2＝(→a －→b )2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五 三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例5】 设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的―数量关系‖，从而，建立函数f(x)关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件f(π2)＝2可以求得，而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.解：（Ⅰ）f(x)＝→a ·→b ＝m(1＋sinx)＋cosx ， 由f(π2)＝2，得m(1＋sin π2)＋cos π2＝2，解得m ＝1.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx ＋cosx ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1，当sin(x ＋π4)＝－1时，f(x)的最小值为1－ 2.点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的―数量关系‖，再利用三角函数的相关知识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例6】 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A2，sin A 2)，a ＝23，且→m·→n ＝12． （Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值． （Ⅱ）求b ＋c 的取值范围．【分析】 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A 的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b 、c 的方程组求取b ＋c 的值；第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B 的三角函数式，进而求得b ＋c 的范围.【解】 （Ⅰ）∵→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，且→m·→n ＝12，∴－cos2A 2＋sin2A 2＝12，即－cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.又由S △ABC ＝12bcsinA ＝3，所以bc ＝4，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos 2π3＝b2＋c2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4.（Ⅱ）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3，∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π3)，∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4].[点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第(Ⅰ)小题中求b ＋c 没有利用分别求出b 、c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第(Ⅱ)小题的求解中特别要注意确定角B 的范围.【专题训练】 一、选择题1．已知→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos20︒，sin20︒)，则→a ·→b ＝（ ）A ．1B ．32C ．12D ．222．将函数y ＝2sin2x －π2的图象按向量(π2，π2)平移后得到图象对应的解析式是（ ） A ．2cos2xB ．－2cos2xC ．2sin2xD ．－2sin2x3．已知△ABC 中，AB →＝a →，AC →＝b →，若a →·b →＜0，则△ABC 是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．任意三角形4．设→a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13)，且→a ∥→b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒5．已知→a ＝(sinθ，1＋cosθ)，→b ＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有 （ ）A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b |6．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sinπ12x 的图象上,实数λ＝（ ） A ．52B ．32C ．－52D ．－327．由向量把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象按向量→a ＝(m ，0)(m ＞0)平移所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1→＝(cosθ，sinθ)，OP2→＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2→长度的最大值是（ ） A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 3 9．若向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，则→a 与→b 一定满足（ ）A ．→a 与→b 的夹角等于α－βB ．→a ⊥→bC ．→a ∥→bD ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )10．已知向量→a ＝(cos25︒,sin25︒)，→b ＝(sin20︒,cos20︒)，若t 是实数，且→u ＝→a ＋t →b ，则|→u |的最小值为（ ） A ． 2B ．1C ．22D ．1211．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：→OP ＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，λ∈(0,＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的 （ ） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心12．对于非零向量→a 我们可以用它与直角坐标轴的夹角α,β(0≤α≤π,0≤β≤π)来表示它的方向，称α,β为非零向量→a 的方向角，称cos α,cos β为向量→a 的方向余弦，则cos2α＋cos2β＝（ ） A ．1 B ．32 C ．12D ．0二、填空题13．已知向量→m ＝(sin θ，2cos θ)，→n ＝(3,－12).若→m ∥→n ，则sin2θ的值为____________．14．已知在△OAB(O 为原点)中，→OA ＝(2cos α，2sin α)，→OB ＝(5cos β，5sin β)，若→OA·→O B ＝－5，则S △AOB 的值为_____________.15．将函数f(x)＝tan(2x ＋π3)＋1按向量a 平移得到奇函数g(x)，要使|a|最小，则a ＝____________.16．已知向量→m ＝(1，1)向量→n 与向量→m 夹角为3π4，且→m·→n ＝－1.则向量→n ＝__________．三、解答题17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若→AB·→AC ＝→BA·→BC ＝k(k ∈R).（Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若c ＝2，求k 的值．18．已知向量→m ＝(sinA,cosA)，→n ＝(3,－1)，→m ·→n ＝1，且A 为锐角.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x ＋4cosAsinx(x ∈R)的值域．19．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量→m ＝(1，2sinA)，→n ＝(sinA ，1＋cosA)，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a.(Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)求sin(B ＋π6)的值．20．已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，4），C （3cosα，3sinα）.（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且|→AC|＝|→BC|，求角α的大小； （Ⅱ）若→AC ⊥→BC ，求2sin2α＋sin2α1＋tanα的值．21．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，→m ＝(2b －c ，a)，→n ＝(cosA ，－cosC)，且→m ⊥→n ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当y ＝2sin2B ＋sin(2B ＋6)取最大值时，求角B 的大小.22．已知→a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，→b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4]时，求函数f(x)的最大值及最小值．【专题训练】参考答案 一、选择题1．B 解析：由数量积的坐标表示知→a ·→b ＝cos40︒sin20︒＋sin40︒cos20︒＝sin60︒＝32. 2．D 【解析】y ＝2sin2x －π2→y ＝2sin2（x ＋π2）－π2＋π2，即y ＝－2sin2x.3．A 【解析】因为cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝a →·b→|a →|·|b →|＜0，∴∠BAC 为钝角.4．B 【解析】由平行的充要条件得32×13－sin αcos α＝0，sin2α＝1，2α＝90︒，α＝45︒.5．B 【解析】→a ·→b ＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，3π2)，∴|sinθ|＝－sinθ，∴→a ·→b ＝0，∴→a ⊥→b ．6．A 【解析】c →＝a →＋λb →＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sinπ12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52. 7．B 【解析】考虑把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象变换为y ＝cosx 的图象，而y ＝sin(x ＋5π6)＝cos(x ＋π3)，即把y ＝cos(x ＋π3)的图象变换为y ＝cosx 的图象，只须向右平行π3个单位，所以m ＝π3，故选B. 8．C 【解析】|P1P2→|＝(2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2＝10－8cosθ≤3 2.9．D 【解析】→a ＋→b ＝(cos α＋cos β,sin α＋sin β)，→a －→b ＝(cos α＋cos β,sin α－sin β)，∴(→a ＋→b )·(→a －→b )＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0，∴(→a ＋→b )⊥(→a －→b )．10．C 【解析】|→u |2＝|→a |2＋t2|→b |2＋2t →a ·→b ＝1＋t2＋2t(sin20︒cos25︒＋cos20︒sin25︒)＝t2＋2t ＋1＝(t ＋22)2＋12，|→u |2 min ＝12，∴|→u |min ＝22.11．C 【解析】设BC 的中点为D ，则→AB ＋→AC ＝2→AD ，又由→OP ＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，→AP ＝2λ→AD ，所以→AP 与→AD 共线，即有直线AP 与直线AD 重合，即直线AP 一定通过△ABC 的重心．12．A 【解析】设→a ＝(x,y)，x 轴、y 轴、z 轴方向的单位向量分别为→i ＝(1,0)，→j ＝(0,1)，由向量知识得cos α＝→i ·→a|→i |·|→a |＝x x2＋y2，cos β＝→j ·→a |→j |·|→a |＝yx2＋y2，则cos2α＋cos2β＝1.二、填空题13．－8349 【解析】由→m ∥→n ，得－12sin θ＝23cos θ,∴tan θ＝－43，∴sin2θ＝2sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝2tan θtan2θ＋1＝－8349．14．532 【解析】→OA·→OB ＝－5⇒10cos αco βs ＋10sin αsin β＝－5⇒10cos(α－β)＝－5⇒cos(α－β)＝－12，∴sin ∠AOB ＝32，又|→OA|＝2，|→OB|＝5，∴S △AOB ＝12×2×5×32＝532． 15．（π6，－1） 【解析】要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)＝tan(2x ＋π3)＋1的图象向下平移1个单位，再向右平移－kπ2＋π6(k ∈Z)个单位．即应按照向量→a ＝(－kπ2＋π6，－1) (k ∈Z)进行平移．要使|a|最小，16．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设→n ＝(x ，y)，由→m ·→n ＝－1，有x ＋y ＝－1 ①，由→m 与→n 夹角为3π4，有→m·→n ＝|→m|·|→n |cos 3π4，∴|→n |＝1，则x2＋y2＝1 ②，由①②解得⎩⎨⎧ x=﹣1y=0或⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－1 ∴即→n ＝(－1，0)或→n ＝(0，－1) ．三、解答题17．【解】（Ⅰ）∵→AB·→AC ＝bccosA ，→BA·→BC ＝cacosB ，又→AB·→AC ＝→BA·→BC ，∴bccosA ＝cacosB ，∴由正弦定理，得sinBcosA ＝sinAcosB ，即sinAcosB －sinBcosA ＝0，∴sin(A －B)＝0∵－π＜A －B ＜π，∴A －B ＝0，即A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.（Ⅱ）由（Ⅰ）知b a =，∴→AB·→AC ＝bccosA ＝bc·b2＋c2－a22bc ＝c22，∵c ＝2，∴k ＝1.18．【解】(Ⅰ)由题意得→m·→n ＝3sinA －cosA ＝1，2sin(A －π6)＝1，sin(A －π6)＝12，由A 为锐角得A －π6＝π6，A ＝π3.(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA ＝12，所以f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin2x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋32，因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]，因此，当sinx ＝12时，f(x)有最大值32．当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，32]．19．【解】(Ⅰ)由→m ∥→n ，得2sin2A －1－cosA ＝0，即2cos2A ＋cosA －1＝0，∴cosA ＝12或cosA ＝－1.∵A 是△ABC 内角，cosA ＝－1舍去，∴A ＝π3.(Ⅱ)∵b ＋c ＝3a ，由正弦定理，sinB ＋sinC ＝3sinA ＝32，∵B ＋C ＝2π3，sinB ＋sin(2π3－B)＝32，∴32cosB ＋32sinB ＝32，即sin(B ＋π6)＝32． 20．【解】（Ⅰ）由已知得：(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4) 2，则sinα＝cosα，因为α∈(－π，0)，∴α＝－3π4. （Ⅱ）由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得 sinα＋cosα＝34，平方，得sin2α＝－716.而2sin2α＋sin2α1＋tanα＝2sin2αcosα＋2sinαcos2αsinα＋cosα＝2sinαcosα＝sin2α＝－716．21．【解】(Ⅰ)由→m ⊥→n ，得→m ·→n ＝0，从而(2b －c)cosA －acosC ＝0，由正弦定理得2sinBcosA －sinCcosA －sinAcosC ＝0 ∴2sinBcosA －sin(A ＋C)＝0，2sinBcosA －sinB ＝0， ∵A 、B ∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA ＝12，故A ＝π3.(Ⅱ)y ＝2sin2B ＋2sin(2B ＋π6)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos π6＋cos2Bsin π6＝1＋32sin2B －12 cos2B ＝1＋sin(2B －π6). 由(Ⅰ)得，0＜B ＜2π3，－π6＜2B －π6＜7π6，∴当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，y 取最大值2.22．【解】（Ⅰ）假设→a ∥→b ，则2cosx(cosx ＋sinx)－sinx(cosx －sinx)＝0，∴2cos2x ＋sinxcosx ＋sin2x ＝0，2·1＋cos2x 2＋12sin2x ＋1－cos2x2＝0，即sin2x ＋cos2x ＝－3，∴2(sin2x ＋π4)＝－3，与|2(sin2x ＋π4)|≤2矛盾，故向量→a 与向量→b 不可能平行．（Ⅱ）∵f(x)＝→a ·→b ＝(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＋sinx·2cosx ＝cos2x －sin2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2(22cos2x ＋22sin2x)＝2(sin2x ＋π4)， ∵－π4≤x≤π4，∴－π4≤2x ＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)有最大值2；当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π4时，f(x)有最小值－1．专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右，如08年福建文11题理12题(5分)为容易题，考查函数与导函数图象之间的关系、08年江苏14题(5分)为容易题，考查函数值恒成立与导数研究单调性、08年北京文17题(12分)为中档题考查函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08年湖北理20题(12分)为中档题，考查利用导数解决函数应用题、08年辽宁理22题(12分)为中档题，考查函数利用导数确定函数极值与单调性问题等.预测2009年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，函数与导数的交汇的考查既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查函数的基础知识及函数性质及图象为主，同时考查导数的相关知识，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.【考试要求】1．了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． 2．了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．3．掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图象和性质．4．掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．5．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．6．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．7．熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．8．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【考点透视】高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：①以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；②与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；③利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.【典例分析】题型一导函数与原函数图象之间的关系如果原函数定义域内可导，则原函数的图象f(x)与其导函数f'(x)的图象有密切的关系：1．导函数f'(x)在x轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系：（1）若导函数f'(x)在区间D上恒有f'(x)＞0，则f(x)在区间D上为增函数，由此进一步得到导函数f'(x)图象在x轴上方的图象对应的区间D为原函数图象中的上升区间D；（2）若导函数f'(x)在区间D上恒有f'(x)＜0，则f(x)在区间D上为减函数，由此进一步得到导函数f'(x)图象在x轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间.2．导函数f'(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数f'(x)图象的零点是原函数的极值点.如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点；如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点.【例1】如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f'(x)的图象可能是（）【分析】根据原函数y＝f(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间的上升区间，然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在x轴的上方，有两部分图象在x轴的下方，且第一部分在x 轴上方，然后相间出现.【解】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案A满足.【点评】本题观察图象时主要从两个方面：(1)观察原函数f(x)的图象哪些的上升区间？哪些下降区间？；(2)观察导函数f'(x)的图象哪些区间在大于零的区间？哪些部分昌小于零的区间？【例2】设f'(x)是函数f(x)的导函数，y＝f'(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（）【分析】先观察所给出的导函数y＝f'(x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数y＝f'(x)的图象零点0、2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.【解法1】由y＝f'(x)的图象可以清晰地看出，当x∈(0,2)时，y＝f'(x)＜0，则f(x)为减函数，只有C项符合，故选C.【解法2】在导函数f'(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原函数f(x)在x＝0时取得极大值.又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x＝0时取得极小值，只有C适合，故选C.【点评】(1)导函数值的符号决定函数的单调性为―正增、负减‖，导函数的零点确定原函数的极值点；(2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势.题型二利用导数求解函数的单调性问题若f(x)在某区间上可导，则由f'(x)＞0(f'(x)＜0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)＝x3在R上递增，而f'(x)≥0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f'(x0)≥0(≤0)，且f'(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例3】 (08全国高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x ＋1，a ∈R ．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数f(x)在区间(－23，－13)内是减函数，求a 的取值范围．【分析】 第（Ⅰ）小题先求导函数f '(x)，由于含有参数a ，根据判别式确定对a 的分类标准，进而确定单调区间；第（Ⅱ）小题根据第（Ⅰ）小题的结果，建立关于a 的不等式组，由此可确定a 的范围.【解】 (Ⅰ)由f(x)＝x3＋ax2＋x ＋1，求导得f '(x)＝3x2＋2ax ＋1， 当a2≤3时，△＝4(a2－3)≤0，f '(x)≥0，f(x)在R 上递增， 当a2＞3，f '(x)＝求得两根为x ＝－a±a2－33，则函数f(x)在区间(－∞，－a －a2－33)上递增，在区间(－a －a2－33，－a ＋a2－33)上递减，在区间(－a －a2－33，＋∞)上递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)得⎩⎪⎨⎪⎧ －a －a2－33≤－23－a ＋a2－33≥－13，且a2＞3，解得a≥2.【点评】 本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a ，因此解答第(Ⅰ)小题时注意分类讨论.第(Ⅱ)小题的解答是根据第(Ⅰ)小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的.第(Ⅱ)小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式⎩⎨⎧ f '(－23)≤0f '(－13)≤0来求解.题型三 求函数的极值问题极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.【例4】 (08·四川)设x ＝1和x ＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx ＋1的两个极值点.(Ⅰ)求a 和b 的值；(Ⅱ)略. 【分析】 先求导函数f '(x)，然后由x ＝1和x ＝2是f '(x)＝0的两个根建立关于a 、b 的方程组求解. 【解】 因为f '(x)＝5x4＋3ax2＋b ，由x ＝1和x ＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx ＋1的两个极值点，所以f '(1)＝0，且f '(2)＝0， 即⎩⎨⎧ 5×14＋3a×12＋b ＝05×24＋3a×22＋b ＝0，解得a ＝253，b ＝20. 【点评】 解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系：对于三次函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得了a 和b 的值.【例5】 (08陕西高考)已知函数f(x)＝kx ＋1x2＋c (c ＞0，且c≠1，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x ＝－c ．(Ⅰ)求函数f(x)的另一个极值点；(Ⅱ)求函数f(x)的极大值M 和极小值m ，并求M －m≥1时k 的取值范围．【分析】 先求导函数f '(x)，然后令f '(－c)＝0及一元二次方程根与系数的关系可解决第（Ⅰ）小题；而解答第（Ⅱ）小题须对k 与c 进行分类讨论进行解答.【解】 (Ⅰ)f '(x)＝k(x2＋c)－2x(kx ＋1)(x2＋c)2＝－kx2－2x ＋ck(x2＋c)2，由题意知f '(－c)＝0，即得c2k －2c －ck ＝0，即c ＝1＋2k（*）∵c≠0，∴k≠0．由f '(0)＝0，得－kx2－2x ＋ck ＝0， 由韦达定理知另一个极值点为x ＝1．(Ⅱ)由（*）式得c ＝1＋2k，当c ＞1时，k ＞0；当0＜c ＜1时，k ＜－2．(ⅰ)当k ＞0时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是减函数，在(－c ，1)内是增函数． f(1)＝k ＋1c ＋1＝k 2＞0，m ＝f(－c)＝－kc ＋1c2＋c ＝－k22(k ＋2)＜0，由M －m ＝k 2＋k22(k ＋2)≥1及k ＞0，解得k≥ 2.(ⅱ)当k ＜－2时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是增函数，在(－c ，1)内是减函数． ∴M ＝f(1)＝－k22(k ＋2)＞0，m ＝k ＋1c ＋1＝k 2＜0，而M －m ＝－k22(k ＋2)－k2＝1－(k ＋1)2＋1k ＋2≥1恒成立．综上可知，所求k 的取值范围为(－∞，－2)∪[2，＋∞)．【点拨】 第(Ⅰ)小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第(Ⅱ)小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键.题型四 求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间[a ，b]上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.【例6】 (08浙江高考)已知a 是实数，函数f(x)＝x2(x －a).(Ⅰ)略；（Ⅱ）求f(x)在区间[0，2]上的最大值. 【分析】 首先求函数f '(x)，再解方程f '(x)＝0，得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因此须分类讨论讨论函数f(x)的单调区间，进而确定f(x)在给定区间上的最大值.【解】 (Ⅱ)f '(x)＝3x2－2ax ．令f '(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3．当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max ＝f(2)＝8－4a ．。
高三数学复习计划
高三数学复习计划高考数学复习是一项系统工程，如何进行有效的复习，针对我校的实际情况，下面谈谈我们的做法。
一、夯实解题基本功高考数学题很多源于课本，因此要依据教学大纲和考试大纲，强化基础知识的落实和巩固。
注重对课本例题、习题的演变训练，将课本内容延伸、提高。
数学高考历来重视运算能力，运算要熟练、准确，运算要简捷、迅速，运算要与推理相结合，要合理，并且在复习中要有意识地养成书写规范，表达准确的良好习惯。
二、不依靠题海取胜，注重题目的质量和处理水平由于复习的时间紧任务重，要避免题海战术，教学要精心备课，选择典型例题，使学生少走弯路。
对立意新颖、结构精巧的新题予以足够的重视，要保证有相当数量的这类题目，但也不一味排斥一些典型的所谓“新题”、“热题”。
传统的好题，应足够重视，陈题新解、熟题重温可使学生获得新的感受和乐趣。
要特别重视讲评试卷的方法和技巧。
三、分层辅导，强化训练1.对于优生(90分以上)，我们组建了培优班，由6个文科班中的数学前40-50名同学组成，培优的目的主要是能使这些优秀的学生在高考中数学成绩稳定在115分左右，部分学生能超过125分。
培优是对重点知识内容深化，是使他们既能熟练掌握，又能灵活应用，并在解题过程中，不断强化、固化。
同时还要培养他们的应试技巧。
2.对于中等生(65-90分，比例较大)，我们组建了两个提高班。
主要针对中上等学生和只有数学单科较弱的中等学生群体，帮助他们树立学习数学的兴趣并改变数学拖后腿的现象。
中等生的提高意味着上线率的提高，对此我们十分的重视。
提高班的主要目的是加强对“基本知识、基本技能、基本方法”能力培养，以强化解题方法、解题思路为主，讲解选择题、填空题、解答题中的基础题得分技巧。
对重点、难点、疑点、误点、弱点、考点进行强化训练。
3.对于学数学有困难的学生(主要集中在2，5，6班，数学成绩在30分以下)，我们本着“不抛弃，不放弃”的原则，以课本为主，强化数学知识的概念、定理、公式、法则，加以理解，要求记忆、默写，并会简单应用。
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第十二编 概率与统计§12.1 随机事件的概率1.下列说法不正确的有 . ①某事件发生的频率为P （A ）=1.1②不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件 ④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 答案 ①③④2.给出下列三个命题，其中正确命题有 个.①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是73；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 答案 03.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为 ， . 答案 0.97 0.034.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是21,乙获胜的概率是31，则乙不输的概率是 . 答案655.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P （A ）=21，P （B ）=61，则出现奇数点或2点的概率之和为 . 答案32例1 盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ （2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解 （1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0. （2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是94. 基础自测（3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1.例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：（1）计算表中击中10环的各个频率；（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解（1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.例3（14分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率.解记事件“射击一次，命中k环”为A k（k∈N，k≤10），则事件A k彼此互斥. 2分（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60. 5分（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78. 10分（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即B表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P（B）=1-P（B）=1-0.78=0.22. 14分1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.(1)“3件都是二级品”是什么事件？（2）“3件都是一级品”是什么事件？（3）“至少有一件是一级品”是什么事件？解（1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. （2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：（1）计算表中乒乓球优等品的频率；（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位） 解 （1）依据公式p =nm，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.（2）由（1）知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950.3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，求：（1）红或黑的概率； （2）红或黑或白的概率.解 方法一 记事件A 1：从12只球中任取1球得红球； A 2：从12只球中任取1球得黑球； A 3：从12只球中任取1球得白球； A 4：从12只球中任取1球得绿球，则 P （A 1）=125，P （A 2）=124，P （A 3）=122，P （A 4）=121. 根据题意，A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥， 由互斥事件概率加法公式得 （1）取出红球或黑球的概率为 P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=125+124=43. （2）取出红或黑或白球的概率为 P （A 1+A 2+A 3）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3） =125+124+122=1211. 方法二 （1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A 1+A 2的对立事件为A 3+A 4， ∴取出红球或黑球的概率为P （A 1+A 2）=1-P （A 3+A 4）=1-P （A 3）-P （A 4） =1-122-121=129=43.（2）A 1+A 2+A 3的对立事件为A 4. P （A 1+A 2+A 3）=1-P （A 4）=1-121=1211.一、填空题1.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 . 答案103 2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是 （写出一个即可）. 答案 2次都不中靶3.甲:A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么甲是乙的 条件. 答案 必要不充分4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 . 答案216915.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是 . 答案 0.26.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为 . 答案 0.807.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为73，乙夺得冠军的概率为41，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 答案2819 8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 . 答案 50% 二、解答题9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率； （2）不够7环的概率.解 （1）设“射中10环”为事件A ，“射中9环”为事件B ，由于A ，B 互斥，则 P （A +B ）=P （A ）+P （B ）=0.21+0.23=0.44. （2）设“少于7环”为事件C ，则 P （C ）=1-P （C ）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：求：（1）派出医生至多2人的概率； （2）派出医生至少2人的概率. 解 记事件A ：“不派出医生”，事件B ：“派出1名医生”， 事件C ：“派出2名医生”， 事件D ：“派出3名医生”， 事件E ：“派出4名医生”， 事件F ：“派出不少于5名医生”. ∵事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥， 且P （A ）=0.1，P （B ）=0.16，P （C ）=0.3， P （D ）=0.2，P （E ）=0.2，P （F ）=0.04. （1）“派出医生至多2人”的概率为 P （A +B +C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ） =0.1+0.16+0.3=0.56.（2）“派出医生至少2人”的概率为P （C +D +E +F ）=P （C ）+P （D ）+P （E ）+P （F ） =0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. 或1-P （A +B ）=1-0.1-0.16=0.74.11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P （A +B ）.解 方法一 因为A +B 的意义是事件A 发生或事件B 发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时，A +B 就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P （A +B ）=64=32. 方法二 记事件C 为“朝上一面的数为2”， 则A +B =A +C ，且A 与C 互斥. 又因为P （C ）=61，P （A ）=21， 所以P （A +B ）=P （A +C ）=P （A ）+P （C ） =21+61=32. 方法三 记事件D 为“朝上一面的数为4或6”，则事件D 发生时，事件A 和事件B 都不发生，即事件A +B 不发生.又事件A +B 发生即事件A 发生或事件B 发生时，事件D 不发生，所以事件A +B 与事件D 为对立事件. 因为P （D ）=62=31， 所以P （A +B ）=1-P （D ）=1-31=32. 12.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为41，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率是21，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ 解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+++21)()(125)()(1)()()(41D P C P C P B P D P C P B P 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===31)(61)(41)(D P C P B P .∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是41，61，31.§12.2 古典概型1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 . 答案32 2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为 . 答案21 3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是 . 答案65 4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 . 答案643 5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上” ；事件N ：“至少一次正面朝上” .则P (M )= ,P (N )= . 答案 21 43例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩 具的试验：用（x ，y ）表示结果，其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：基础自测（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”； （3）事件“出现点数相等”. 解 （1）这个试验的基本事件为： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3）， （3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）. （3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件： （1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙 两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10³9=90种，即基本事件总数是90.（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数： 甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6³4=24. ∴P （A ）=n m =9024=154. （2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 含基本事件数为4³3=12. ∴由古典概型概率公式，得P （B ）=9012=152, 由对立事件的性质可得 P （C ）=1-P （B ）=1-152=1513. 例3 （14分）同时抛掷两枚骰子. （1）求“点数之和为6”的概率； （2）求“至少有一个5点或6点”的概率. 解 同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：共有36个不同的结果.7分（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P =365. 10分（2）方法一 从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率 P =3620=95. 14分方法二 至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率P =3616=94， 所以至少有一个5点或6点的概率为1-94=95. 14分1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. （1）共有多少个基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解 （1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5)，(3,4), (3,5),(4,5).因此，共有10个基本事件.（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A ）， 即（1，2），（1，3），（2，3），故P （A ）=103.故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为103. 2.（2008²山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组. （1）求A 1被选中的概率； （2）求B 1和C 1不全被选中的概率.解 （1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2, B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 2,B 3,C 1),(A 2,B 3,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2),(A 3,B 3,C 1),(A 3,B 3,C 2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等 可能的.用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2)} 事件M 由6个基本事件组成，因而P （M ）=186=31. （2）用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ={（A 1,B 1,C 1）,(A 2,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 1)}，事件N 有3个基本事件组成，所以P （N ）=183=61，由对立事件的概率公式得 P （N ）=1-P （N ）=1-61=65. 3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率: （1）A :取出的两球都是白球；（2）B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球.解 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）. ∴取出的两个球全是白球的概率为P （A ）=156=52. （2）从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6）， （2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个. ∴取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率 P （B ）=158.一、填空题1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则P 10 P 1（填“＞”“＜”或“=” ）. 答案 =2. 采用简单随机抽样从含有n 个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a 前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a 未被抽到的概率的31倍，则个体a 被抽到的概率为 . 答案21 3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为 . 答案1034.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为 .答案31 5.设集合A ={1，2}，B ={1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P （a ，b ），记“点P （a ,b ）落在直线x +y =n 上”为事件C n （2≤n ≤5，n ∈N ），若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为 . 答案 3和46.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x +y =5下方的概率是 . 答案617.（2008²江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 . 答案121 8.（2008²上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A （0，0）、B （2，0）、C （1，1）、D （0，2）、 E （2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 答案54二、解答题9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求： （1）甲中奖的概率P （A ）； （2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率； （4）乙中奖的概率.解 （1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P 1=52. （2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5³4=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P 2=202=101. （3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有3³2=6种基本事件，∴P 3=206=103. （4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P 4=52. 10. 箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率.解 （1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a +b 个产品中不放回抽样3次共有A 3b a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有A 3a种方法，可以抽出3个正品的概率P =33ba a A A +.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a +b 个产品中不放回抽样3次共有C 3ba +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有C 3a种方法，可以取出3个正品的概率P =33ba a C C +.两种方法结果一致. （2）从a +b 个产品中有放回的抽取3次，每次都有a +b 种方法，所以共有（a +b ）3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a 3种，所以3个全是正品的概率 P =333)(⎪⎭⎫⎝⎛+=+b a a b a a .11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的个数； （2）求取球2次终止的概率； （3）求甲取到白球的概率.解 （1）设袋中有n 个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是2)1(-n n . 从袋中任取2个球的所有可能的结果数为276⨯=21. 由题意知71=212)1(-n n =42)1(-n n ， ∴n （n -1）=6，解得n =3(舍去n =-2). 故袋中原有3个白球.（2）记“取球2次终止”为事件A ，则P （A ）=6734⨯⨯=72. （3）记“甲取到白球”的事件为B ，“第i 次取到白球”为A i ，i =1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球. 所以P （B ）=P （A 1+A 3+A 5）. 因此A 1，A 3，A 5两两互斥， ∴P （B ）=P （A 1）+P （A 3）+P （A 5） =73+567334⨯⨯⨯⨯+3456731234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =73+356+351=3522. 12.（2008²海南、宁夏文，19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解 (1)总体平均数为61(5+6+7+8+9+10)=7.5. (2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”. 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A 包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以所求的概率为P （A ）=157.§12.3 几何概型1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为 . 答案21 2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为.答案π2 3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 . 答案53 4.设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P （A ）= . 答案315.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ， 则射线OA 落在∠yOT 内的概率为 . 答案 61例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A ，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件， 所以P （A ）=103310--=104=0.4. 例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问： （1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ （2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 （1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内，所以概率为222979-=8132. 基础自测（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的41圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为8192ππ=. 例3 （14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病 种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？ 解 1升=1 000毫升，1分 记事件A ：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.3分 则P （A ）=000110=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 7分记事件B ：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.9分 则P （B ）=000130=0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.14分 例4 在Rt △ABC 中，∠A =30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM |＞|AC |的概率. 解 设事件D “作射线CM ，使|AM |＞|AC |”.在AB 上取点C ′使|AC ′|=|AC |，因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′=230180-=75°,A μ=90-75=15，Ωμ=90，所以，P （D ）=9015=61. 例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去.求两人能会面的概率.解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x -y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x ,y ）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得： P （A ）=S S A =222604560-=600302526003-=167.所以，两人能会面的概率是167.1.如图所示，A 、B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？解 记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30³31=10（米）， ∴P （E ）=3010=31. 2.（2008²江苏，6）在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为 . 答案16π 3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵A μ=0.1升，Ωμ=2升， ∴由几何概型求概率的公式， 得P （A ）=ΩA μμ=21.0=201=0.05. 4.在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率. 解 如图所示，把圆弧 三等分，则∠AOF =∠BOE =30°，记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ，使 ∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就落在∠EOF 内， ∴P （A ）=9030=31. 5.将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解 设A =“3段构成三角形”，x ,y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l -x -y . 则试验的全部结果可构成集合Ω={（x ，y ）|0＜x ＜l ,0＜y ＜l ,0＜x +y ＜l },要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x +y ＞l -x -y ⇒x +y ＞2l,x +l -x -y ＞y ⇒y ＜2l ,y +l -x -y ＞x ⇒x ＜2l . 故所求结果构成集合A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<>+2,2,2|),(l x l y l y x y x . 由图可知，所求概率为P （A ）=的面积的面积ΩA =222122l l ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙=41.一、填空题1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a ,则这个实数满足17＜a ＜20的概率是 . 答案103 2.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是 .答案51 3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是 . 答案161 4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为 .答案 1-π25.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是 . 答案43 6.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ,则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是 . 答案6π 7.已知下图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .答案 338.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 . 答案2517 二、解答题9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm ，靶心直径12.2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.解 记“射中黄心”为事件A ，由于中靶点随机的落在面积为π41³1222 cm 2的大圆 内，而当中靶点在面积为π41³12.22 cm 2的黄心时，事件A 发生，于是事件A 发生 的概率P （A ）=2212242.1241⨯⨯ππ=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？解 设事件A “父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x 和y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x ≤y ,而（x ,y )的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A μ=12-21³21³21=87，Ωμ =1， 所以P （A ）=ΩμμA =87. 11.已知等腰Rt △ABC 中，∠C =90°.（1）在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM ＜30°的概率； （2）在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM ＜30°的概率. 解 （1）设CM =x ，则0＜x ＜a .（不妨设BC =a ）. 若∠CAM ＜30°,则0＜x ＜33a , 故∠CAM ＜30°的概率为P （A ）=的长度区间的长度区间),0(330a a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33.（2）设∠CAM =θ，则0°＜θ＜45°.若∠CAM ＜30°,则0°＜θ＜30°, 故∠CAM ＜30°的概率为 P （B ）=的长度的长度)450()30,0( ，=32. 12.设关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0.（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a 是从区间［0，3］任取的一个数，b 是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率. 解 设事件A 为“方程x 2+2ax +b 2=0有实根”.当a ≥0,b ≥0时，方程x 2+2ax +b 2=0有实根的充要条件为a ≥b . （1）基本事件共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1）， （3，2）.其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值. 事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为 P （A ）=129=43. （2）试验的全部结果所构成的区域为 {(a ,b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}. 构成事件A 的区域为。