最新人教版高中数学必修2第一章空间几何体的结构3

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高中数学第一章空间几何体新人教版必修2

1．1空间几何体的结构第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征(教师用书独具)●1．知识与技能(1)能根据几何结构特征对空间物体进行分类．(2)通过观察实例，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(3)能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构．2．过程与方法(1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征．(2)让学生在观察、讨论、归纳、概括中获取知识．3．情感、态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力和抽象概括能力．●重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征．难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括．重难点突破：以学生熟知的现实世界中几何体为切入点，教师通过提供丰富的实物模型引导学生对观察到的实物进行分类，考虑到棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括既是本节教学的重点又是本节教学的难点，教师可采用多媒体辅助教学法，利用多媒体演示，让学生通过观察比较，从而发现规律，概括出几何体的结构特征，突破难点．(教师用书独具)●本节内容是立体几何的入门教学，是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生逐步形成空间想象能力．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点，教学时建议采用启导法和多媒体辅助教学法．引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，多角度、多层次地揭示空间图形的本质．按照从整体到局部、由具体到抽象的原则，让学生认识棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征，进而通过空间图形，培养和发展学生的空间想象能力．●创设问题情境，引出问题：你能根据某种标准对空间几何体进行分类吗？⇒引导学生观察柱、锥、台、球的相关图片得出空间几何体的定义及分类.⇒通过引导学生回答所提问题掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握棱柱、棱锥、棱台的概念.⇒通过例2及其变式训练，引导学生应用概念判别几何体，加深对棱柱结构特征的认识.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.观察下面两组物体，你能说出各组物体的共同点吗？(1)(2)(1)几何体的表面由若干个平面多边形围成．(2)几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成．．(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．．观察下列多面体，有什么共同特点？(1)有两个面相互平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都相互平行．观察下列多面体，有什么共同特点？(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥图形及表示定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥相关概念：底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点分类：①依据：底面多边形的边数②举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……如图棱锥可记作：棱锥S－ABCD观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别联系？(1)区别：有两个面相互平行．(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体．棱台的定义、分类、图形及表示下列说法正确的是( ) A．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有三个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形已知条件→联想空间图形→紧扣定义→得出结论选项A错，反例如图a；选项C也错，反例如图b，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；一个多面体至少有四个面，如三棱锥有四个面，不存在有三个面的多面体，所以选项B错；根据棱柱的定义，知选项D正确．D判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”等．下列说法中正确的是( )①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故选A.A如图1－1－1长方体ABCD—A1B1C1D1.图1－1－1(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱．观察图形→紧扣概念→得出结论→回答问题(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义．(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱，它的底面是△BEB1与△CFC1，侧棱是EF，B1C1，BC.截面左侧部分是四棱柱．它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1，侧棱是AD，BC，EF，A1D1.1．解答本题的关键是正确掌握棱柱的几何特征，本题易出现认为所分两部分的几何体一个是棱柱，一个是棱台的错误．2．在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置，如此题，底面也可放在前后位置．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．图1－1－2结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．【答案】①③④⑥⑤如图1－1－3，甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？甲乙丙图1－1－3图甲有两个面ABC和A2B2C2平行，其余各面都是平行四边形，所以甲图的几何体是棱柱；图乙因一面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，所以乙图的几何体是棱锥；图丙是棱台．上述错误答案都是根据相应概念的某一个结论去判断几何体，判断的依据不充分，应该按照几何体的定义去判断，或按照与定义等价的条件去判断．切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键．图甲这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内．所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．1．棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.图1－1－4 1．如图1－1－4所示的几何体是( )A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体结合棱柱的概念及分类可知，该几何体是五棱柱．C2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱B．棱锥C．棱台 D．以上都错结合棱锥的特征知B符合题意．B3．下列说法正确的有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确．因而正确的有①②④⑤.①②④⑤4．下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？(1) (2) (3) (4)图1－1－5(1)是棱柱，可记为五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1；(2)不是棱柱，不满足棱柱的结构特征；(3)是棱柱，可记为三棱柱ABC－A1B1C1；(4)是棱柱，可记为四棱柱ABCD－A1B1C1D1.1．棱柱的侧面都是( )A．三角形B．四边形C．五边形 D．矩形由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形．B2．棱锥的侧面和底面可以都是( )A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形三棱锥的侧面和底面均是三角形．A3．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．C图1－1－64．如图1－1－6，能推断这个几何体可能是三棱台的是( ) A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1由于棱台是由平行于底面的平面截棱锥得到的几何体，所以要使结论成立，只需A 1B 1AB＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC便可．经验证C 选项正确． C5．观察如图1－1－7的四个几何体，其中判断不正确的是( )图1－1－7A．①是棱柱 B．②不是棱锥C．③不是棱锥 D．④是棱台结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B 错误．B6．在如图1－1－8所示的长方体中，连接OA，OB，OD和OC所得的几何体是________．图1－1－8此几何体由△OAB，△OAD，△ODC，△OBC和正方形ABCD围成，是四棱锥．四棱锥7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．5 6 98．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成________个三角形．用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共4个三角形．9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底，其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．10．如图1－1－9，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.问：(1)依据题意知该几何体是什么几何体？(2)这个几何体有几个面构成，每个面的三角形是什么三角形？图1－1－9(1)三棱锥．(2)这个几何体由四个面构成，即面DEF，面DFP，面DEP，面EFP.由平面几何体知识可知DE＝DF，∠DPE＝∠EPF＝∠DPF＝90°，所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△DEP为直角三角形，△EFP为等腰直角三角形．11．如图1－1－10，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形状．(阴影部分)请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面．图1－1－10【解】(1)是四棱柱，底面是四边形EFGH和四边形ABCD；(2)是四棱柱，底面是四边形ABFE和四边形DCGH；(3)是三棱柱，底面是△EBF和△HCG.(教师用书独具)多面体的表面展开图画出如图所示的几何体的表面展开图．(1) (2)可假设一个面不动，进行空间想象，展开几何体．表面展开图如图所示：(1) (2)多面体表面展开图问题的解题策略：(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体．C(教师用书独具)●1．知识与技能(1)会用语言概述圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．(2)理解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征．(3)能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型．2．过程与方法(1)让学生通过直观感知空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征．(2)让学生通过直观感知空间物体，认识简单的组合体的结构特征，归纳简单组合体的基本构成形式．3．情感、态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识．●重点与难点：圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征．重难点突破：以丰富的实物模型为切入点，通过让学生观察、分析实物体，并结合旋转体的概念，抽象概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征，进而在观察思考中形成概念，突出圆锥与圆台间的内在联系，突破重点的同时化解难点．(教师用书独具)●本节内容是上节知识延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生进一步了解空间几何体中圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点，教学时，建议采用启导法和多媒体辅助教学法，引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，通过整体观察、直观感知，引导学生多角度、多层次地揭示圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．在此基础上，再通过让学生说一说、举一举等方式，明确简单组合体的结构特征，最终达到通过空间图形培养和发展学生的空间想象能力的目的．●创设问题情境，引出问题：圆柱、圆锥、圆台及球是如何定义的？⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？以矩形的一边所在的直线为轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体．仿照圆柱的定义，你能定义什么是圆锥吗？以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体．圆锥的结构特征下图中的物体叫做圆台，也是旋转体．它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台，圆台还可以怎样得到呢？(1)圆台可以是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体．(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线为轴，各边旋转180°形成的面所围成的几何体．(3)类比棱台的定义圆台还可以如下得到：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体即为球．下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？它们是如何构成的？(1) (2)这两个几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体，而是由柱、锥、台、球体中的两种或三种组合而成的几何体．(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．下列叙述中正确的个数是( )①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③一个圆绕其直径所在的直线旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1 C．2 D．3紧扣旋转体的定义逐一判断．①错误．应以直角三角形的一条直角边为轴；②错误．应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；③错误．应把“圆”改成“圆面”；④错误，应是平面与圆锥底面平行时．A1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．如图1－1－11，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二排中的某个几何体，请把一、二排中相应的图形用线连起来．图1－1－11(1)—C (2)—B (3)—D (4)—A描述下列几何体的结构特征．图1－1－12结合简单组合体的两种基本构成形式入手分析．图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．如图1－1－13为某竞赛中，获得第一名的代表队被授予的奖杯，试分析这个奖杯是由哪些简单几何体组成的？图1－1－13 奖杯由一个球，一个四棱柱和一个四棱台组成．如图1－1－14所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．图1－1－14过圆锥的轴作截面，利用三角形相似来解决．设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示．则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.∴SA′SA＝O′A′OA.∴33＋l＝r4r＝14.解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．本例中若圆台的上底半径为1 cm，其他条件不变，试求圆台的高．∵圆台的上底半径为1，故下底半径为4.如图所示，在Rt△A′HA中A′H＝AA′2－AH2＝92－32＝6 2.即圆台的高为6 2 cm.图1－1－15(12分)已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图1－1－15所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．以直角梯形的不同边所在直线为轴旋转，所得到的几何体是不同的．(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示.3分(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示.6分(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示.9分(4)以AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示.12分①②③④1．根据几何体的结构特征判断几何体的类型，首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的主要特征，其次要有一定的空间想象能力．2．对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要先对原平面图形作适当的分割，再根据柱、锥、台的结构特征进行判断．1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．1．下列几何体是组合体的是( )A B C DA是圆柱，B是圆锥，C是球，D是圆台与圆锥的组合体．D2．下列说法正确的是( )A．用平行于底面的平面截圆锥，两平行底面之间的几何体是圆台B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱D．球面和球是同一个概念对于B，动手操作一下发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，由球和球面的定义可知它们不是同一个概念，故D错误．A正确．A3．圆锥的高与底面半径相等，母线等于52，则底面半径等于________．圆锥的轴截面如图所示，由图可知，底面半径r＝522－r2.∴r＝5.54．说出下列组合体是由哪些简单几何体组成的．①②③图1－1－16图①是由一个四棱柱和一个四棱台组合而成．图②是由一个圆锥和一个圆柱组合而成．图③是由一个圆柱和两个圆台组合而成.1．下列几何体是台体的是( )A B C D台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行．C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确．D2．圆柱的母线长为10，则其高等于( )A．5 B．10 C．20 D．不确定圆柱的母线长和其高相等．B3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( )A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．棱柱用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面．D图1－1－174．如图1－1－17的组合体的结构特征是( )A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台该组合体的结构特征是一个棱柱中截去一个棱锥．C5．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．两个圆锥连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．D6．如图1－1－18所示的蒙古包可以看作是由________和________构成的几何体．图1－1－18上半部分为圆锥，下半部分为圆柱．圆锥圆柱7．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．(1)(2)。

人教版高中数学必修二第一章第一节空间几何体的结构

E１ F1 A １ B１
D１ C１
侧面
E
侧棱 F
D
C B
底面
棱柱的判断标准，缺一不可。
A
顶点
下面的几何体中，哪些是棱柱？
问题一：棱柱倾斜后的几何体还是棱柱吗？
D
B
倾斜不影响棱柱的特点与性质。
E
F A
C
E
F
D
C
A
B
问题二：观察长方体共有多少对平行平面？
平行平面共有三对，任意一对平行平面都可以作为棱柱的底面。观察左边的棱柱，共有多少对平行平面？能作为棱柱的底面的有几对？
一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
多面体
旋转体
顶点棱
Ｄ１Ａ１Ｂ１
Ｃ１
A′
O′
Ｄ
面
ＣＢ
A O
Ａ
由一个平面图形绕它所在平面内的一条直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。
例如：
练习：判断下列图形是否为多面体？
那你能对这些多面体进行分类吗？
1.1 空间几何体的结构
人教版必修2
下列实物可以用哪个空间图形来描述？

如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
观察课本第二页图1.1-1，说出它属于哪种空间几何体，并根据组成几何体的每个面的特点进行分类。通过观察，可以发现：（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）、（15）、（16）组成几何体的每个面都是平面多边形。（1）、（3）、（4）、（6）、（8）、（10）、（11）、（12）组成几何体的每个面不全是平面图形。

【原创】【必修2】空间几何体的结构第三节

转一周形成的旋转体.
O
球O
直径
半径球心
多面体: 若干个平面多边形围成的几何体面----围成多面体的各个多边形棱----相邻两个面的公共边侧棱----相邻两个侧面的公共边顶点-----棱与棱的公共点
棱纳小结
棱柱棱锥圆柱圆锥圆台棱台
球
（1）棱柱与圆柱统称为柱体。
（2）棱锥与圆锥统称为锥体。
（3）棱台与圆台统称为台体
实例归纳小结
棱柱棱锥圆柱圆锥圆台棱台
球
结构特征
E’
D’
F’ A’
C’ B’
有两个面互相平行，
其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行。
底面
ED
侧棱 F
C
A
B
侧面
顶点
棱柱ABCDEF ABCDEF
棱柱棱锥圆柱圆锥圆台棱台
球
E’
观察与思考
空间几何体的定义：
如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
观察与思考
由若观干察平下面列多物边体形的围形成状的和几大何小体，叫试做给多出面相体应的空间几何体，说说有它们的共同特征。
轴
观察与思考
由观一察个下平列面物图体形的绕形它状所和在大的小平，面试内给的出一相条定应直的线空旋间转几所何成体的，封说闭说几有何它体们叫的做共旋同转特体征．。
侧面
圆台OO
上底面母线
O’ O
下底面
棱柱棱锥圆柱圆锥圆台棱台
球
结构特征
用一个平行于棱
D’
锥底面的平面去截棱
D

人教版高中数学必修二《1.1空间几何体的结构》

1.1空间几何体的结构
（第一课时）
引入
在我们的周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
生活到数学
你能将下列物体抽象出相应的空间几何体吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
第二次“寻同找异” 多面体
共同结构特征（从面的形状结考虑）构特不同结征构特征（从面的形状考虑）
每个面都是平面多边形
棱柱
棱台棱锥
第三次“寻同找异”
思考：你能找出棱柱的共同结构特征吗？（从面的形状考虑）
有两个面是多边形，其余各面都是平行四共同结构特征有两个面是多有两个面互边形，其余各相平行，其余各面都是平行四面都是四边形，边形并且每相邻两个
选做题：你能以运动的观点来认识棱柱吗？借此你能通过运动的观点来描述空间几何体中除多面体之外的另一类几何体吗？
祝同学们学习进步!
四边形的公共边都互相平行，由两个多边形面平这些面所围成的行，其余各面是多面体叫棱柱．
棱锥
棱台
结构特征
面的位置
每相邻两个四边形的公共边平行的相交底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…
不同结构特征
底面的形状
底面
侧面侧棱顶点棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面. 其余各面叫做棱柱的侧面. 两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
第三次“寻同找异”
棱柱文字语言共同结构特征

《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何

一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中,这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。

棱柱1。

1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1。

2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1。

4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。

1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。

最新人教版高中数学必修2第一章《空间几何体的结构》互动课堂

互动课堂疏导引导1.棱柱的结构特征棱柱是多面体中最简单的一种，对棱柱的概念应正确理解，准确把握，它有两个本质特征：(1)有两个面(底面)互相平行，(2)其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形.但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱，如图所示的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱. 案例1 下列命题中正确的是( )A.四棱柱是平行六面体B.直平行六面体是长方体C.六个面都是矩形的六面体是长方体D.底面是矩形的四棱柱是长方体【探究】四个侧面都是矩形的棱柱是直平行六面体，两个底面是矩形的直平行六面体是长方体.故选C.【规律总结】在四棱柱中，有以下关系应掌握好.直平行六面体−−−→−底面是矩形长方体−−−−→−底面是正方形正四棱柱−−→−棱相等正方体2.棱锥的结构特征(1)棱锥是多面体中重要的一种，它有两个本质特征：①有一个面是多边形；②其余的各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可.因此棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形.但是要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥，如图此多面体有一面是四边形，其余各面都是三角形，但它不是棱锥.一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体.(2)特殊的棱锥——正棱锥如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.判断一棱锥是否是正棱锥必须满足下面两个条件:一是底面是正多边形,二是顶点在底面上的射影必是底面正多边形的中心.这也是掌握正棱锥定义的两个要点.案例2 请探究一下什么样的平面图形可以折叠成正方体，什么样的平面图形可以折叠成四个面都是全等三角形的三棱锥．【探究】构成正方体的平面图形有很多种，可以用硬纸板先粘一个正方体，再分解．举例说明：如图1、图2.图1 图2这样的图还有很多，同学们可以多做几个，练习空间想象能力．如图3，一个正三角形有三条中位线分开可以折成所求的图形，还有另外几种．图3【规律总结】学习棱柱、棱锥应该从最简单的情况入手，正方体、正四面体正是最理想的载体，这个问题主要要求把握多面体的基本情况，运用纸张折叠，结合想象，掌握这两类简单几何体的性质与构成．3.圆柱、圆锥、圆台、棱台的结构特征定义：①以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.②以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的几何体叫做棱台. ④用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分,这样的几何体叫做圆台. 疑难疏引 (1)对于棱台,应明确:①棱台的侧棱延长后相交于一点，否则，一定不是棱台；②棱台的上、下底面是相似多边形，且相互平行；③棱台的侧面是梯形；④过棱台的侧棱的截面是梯形．(2)圆柱、圆锥、圆台是从平面图形旋转来定义的，由于用来旋转的平面图形的不同，得到三种不同的旋转体.一定要注意它们旋转形成的过程，不能简单地说以直角三角形的一边为轴旋转形成的几何体叫圆锥，也不能说以直角梯形的一腰为轴旋转形成的几何体叫圆台，必须具体指出哪条边为轴才可以.从圆柱、圆锥、圆台的形成过程可以看出，它们的轴一定垂直于底面.并且平行于底面的截面都是圆；它们的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．(3)柱、锥、台的关系当圆台的上底逐渐变小，半径趋近于零时，圆台趋向于圆锥；当圆台上底逐渐变大，半径与下底半径相同时，圆台变为圆柱．同样的，棱台、棱锥、棱柱也有这样的关系．案例3 将圆台还原成圆锥，圆锥的轴截面图如图，O 2、O 1、O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥顶点，并令VO 2=h ，O 2O 1=h 1，O 1O=h 2，则,417151211h h h h h h h h h =⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++=+h 2=2h ⇒h 1∶h 2=2∶1.【规律总结】 “还台为锥”是解决棱台及圆台问题的常用方法.4.球的结构特征疑难疏引 (1)球是一种常见的几何体.球与棱柱、棱锥等多面体不同，它是一种旋转体，是由半圆绕着它的直径旋转来定义的.它只有一个面，即整个球面.从球的概念中，可以知道球面上任何一点到球心(即半圆的圆心)的距离都等于定长；反过来，凡是到球心的距离等于定长的点都在球面上.我们在初中阶段已经知道“在一个平面内和一定点的距离等于定长的点的集合(点的轨迹)是一个圆”，把这个定理推广到空间，就是“和一定点距离等于定长的点的集合是一个球面”.(2)球和球面是两个不同的概念，球面仅仅指球的表面，而球(球体)不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间.因此，用一个平面去截一个球，截面是圆面；而用一个平面去截一个球面，截面是圆.(3)球的截面性质①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 有如下关系：22d R r -=(如上图)(4)球与其他几何体形成的组合体问题球与其他几何体组成的几何体通常在试题中以相切或相接的形式出现，解决此类问题常常利用截面来表现这两个几何体之间的关系，从而将空间问题转化成平面问题.作适当的截面(如轴截面等),对于球内接长方体、正方体，则截面一要过球心，二要过长方体或正方体的两条对角线，才有利于解题.案例4 用一个平面截半径为5 cm 的球，球心到载面距离为4 cm ，求截面圆的面积.【探究】如图，设AK 为截面圆的半径，则OK ⊥AK.在Rt △OAK 中，OA=5，OK=4. ∴3452222=-=-=AK OA AK (cm)∴截面圆的面积为π×32=9π cm 2.【规律总结】有关球的计算问题，画出球的大圆截面图即可.案例5 如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和.【探究】此题的关键在于作截面.一个球在正方体内，一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如右图的截面图.球心O 1和O 2在AC 上，过O 1、O 2分别作AD 、BC 的垂线交于E 、F 两点.则由AB=1,AC=3,得AO 1=3r,CO 2=3R.∴r+R+3 (r+R)=3. ∴233133-=+=+r R . 【规律总结】解决有关组合体的计算问题,灵活而巧妙地作出截面图是关键.5.简单组合体的结构特征(1)现实生活中，除了柱、锥、台、球等基本几何体外，还有许多几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成，这些几何体叫组合体．(2)我们可以把日常生活中的房屋、机械零件、日常用品等分解成简单几何体，并用简单几何体的性质进行分析度量．如，求螺母、螺栓的体积、面积等．案例 6 (1)连结正方体的相邻各面的中心(所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点)，所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体．(2)连结上述所得的几何体的相邻各面的中心，试问所得的几何体又是几面体？【探究】连结相应点后,得出图形如图，再作出判断．(1)先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，O 1、O 2、O 3、O 4、O 5、O 6分别是各表面的中心．由点O 1、O 2、O 3、O 4、O 5、O 6组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱．该多面体的图形如图中的右图所示．(2)六面体(正方体)．【规律总结】为了增强立体效果，正方体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜”些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的O 1O 5、O 6O 5、O 5O 2、O 5O 4应画成虚线．本题中的八面体，事实上是正八面体——八个面都是有相同边数的正三角形，并且以每个顶点为其一端，都有相同数目的棱．由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的，而且中间一个四边形O2O3O4O5还是正方形，当然其他的如O1O2O6O4等也是正方形．事实上，由正方体的部分顶点可构成多种形状的简单几何体．如多面体ACB1D1便为四面体，即三棱锥，它是面数最少的空间几何体，而且该四面体也是正四面体；又如多面体A1ABD也是四面体，它是一个直角四面体，它也可看作是由正方体截下一个角所得的几何体，且截面是一个锐角三角形．案例7 在图中找出常见的几何体(至少3种)，并画出来.【探究】从所给图形知，其中包含着圆柱、圆锥、圆台和球，因此只要画出这些简单几何体即可，画图时注意体现立体感，即被挡着的线应画成虚线或不画．如图所示：【规律总结】空间中的图形多种多样，要识别它们需要对基本图形，如柱、锥、台、球有正确的认识，熟记定义，学会用定义进行判断、查找．特别是对简单几何体应相当熟悉，把握各自的特征，能从整体中分离出个体．活学巧用1.在棱柱中( )A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,且各侧棱也平行解析：由棱柱的结构特征知D正确.答案：D2.请思考如下问题：长方体是柱体吗？哪个面是底面？如果是柱体，是哪类棱柱?长方体有什么特点？正方体呢？解析:长方体是棱柱，是四棱柱,所有面都是矩形，三对对面都可以看作底面，另外四个面看作侧面.正方体更特殊，所有棱都相等，侧面都是全等的正方形.正方体也叫正六面体，它有6个面，12条棱，8个顶点.3.斜四棱柱侧面最多可有几个面是矩形( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析：如图所示.在斜四棱柱AC′中,若AA′不垂直于AB,则DD′也不垂直于DC,所以四边形ABB′A′和四边形DCC′D′就不是矩形.答案：C4.下列命题中正确的是( )A.有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱B.有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱解析：两个相邻侧面的公共边是棱柱的侧棱.它分别垂直于矩形的两条相交的边,也就垂直于这两条边所在的底面,根据定义,棱柱是直棱柱.答案：D5.判断图中所示物体是不是锥体,为什么?解析：因为棱锥定义中要求:各侧面有一个公共顶点,但图中侧面ABC与CDE则没有公共顶点,故该物体不是锥体.6.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有__________个．( )A.1B.2C.3D.4解析：在如图所示的长方体ABCD—A1B1C1D1中，取四棱锥A1—ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.答案：D7.下列命题中正确的是( )A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点解析：如图，面ABC∥面A1B1C1，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱.A、B都不正确.棱锥是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形即必须有一个公共顶点的几何体.如图,每个面都是三角形但形成的几何体不是棱锥.C不正确.棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到，其各侧棱的延长线必交于一点，故D是正确的.答案：D8.下列命题中的真命题是( )A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径解析：以直角梯形垂直于底的腰为轴旋转所得的旋转体是圆台，所以B不对；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面而不是圆，所以C不对；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以D不对.答案：A9.有下列命题：(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；(2)圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；(3)在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；(4)圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(2)(4)解析：由母线的定义知(2)(4)正确.答案：D10.下列命题中:①与定点的距离等于定长的点的集合是球面;②球面上三个不同的点,一定都能确定一个圆;③一个平面与球相交,其截面是一个圆.其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析：命题①、②都对，命题③一个平面与球相交，其截面是一个圆面.答案：C11.有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④不过球心的截面截得的圆叫做小圆．其中正确命题的序号是__________。

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答案
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题型探究
重点难点个个击破
类型一旋转体的结构特征例1 判断下列各命题是否正确： (1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；解错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
解析答案
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；解错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
答案
球的结构特征
球
图形及表示
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
相关概念：球心：半圆的圆心半径：半圆的半径直径：半圆的直径
图中的球表示为：球O
答案
知识点五简单组合体
思考下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？它们是如何构成的？
课
时
上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物
栏目
和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我
开关
们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．
填一填研一研练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一圆柱的结构特征
问题 1 如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆
柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的几个概念是
为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转
体叫做圆台
相关概念：
圆台的轴：旋转轴
圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面
圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面图中圆台表示为：
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边