向量的数量积 教案3 高中数学 必修四 苏教版 Word版
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.4.1 向量的数量积》86
向量的数量积教学设计
一、教学目标
知识与技能
1、通过教学，使学生理解平面向量数量积的含义及其物理意义
2、通过教学，使学生掌握平面向量的数量积的运算律
过程与方法
利用同学们熟悉的物理知识得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义，进一步培养学生的抽象概括、推理论证的能力；通过师生互动、自主探究、交流与学习，培养学生探究新知以及合作交流的学习品质。
情感、态度、价值观
通过本节课的学习，使学生认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系，进一步领悟数形结合的思想和类比的数学思想方法；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性，培养学生勇于创新的精神。
二、教学重、难点
数量积的含义及其运算律
三、教学方法
从物理中“功〞的求法引入课题，通过抽象概括，帮助学生理解向量数量积的概念；通过讲练结合，使学生掌握平面向量的数量积的运算律
四、教学过程
主要才取的教学方法：引导法
（一）导入新课
本课主要是由物理中的功的公式导入向量数量积的概念，这样学生能
更好地去理解向量数量积的概念。
（二）讲授新课
在讲授新课时，为了突出本节课的第一维知识与技能目标，首先引导学生自主学习，学生对根本的概念知识初步感知，学习完成后，有简单的小判断题进一步加深学生对概念的理解程度，然后引入例题，通过对例题的讲解让学生运用向量数量积的概念及其运算律。
（三）稳固练习
让学生自主练习，来稳固本节课的所学内容。
（四）小结
（五）布置作业
布置课后作业，主要以根底题为主，其次会有一些题目有一定的难度，以满足学有余的学生。
苏教版学高中数学必修四平面向量向量的数量积数量积的定义讲义
学习目标核心素养（教师独具）１．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．（易错点）２．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．（重点）３．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．（难点）通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.一、向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考１：两个向量的数量积是向量吗？[提示] 两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．思考２：数量积的大小和符号与哪些量有关？[提示] 数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定．二、两个向量的夹角１．定义：已知两个非零向量a，b，如图所示．作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB称为向量a与b 的夹角．２．范围：0°≤θ≤１80°.３．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝１80°时，a与b反向．４．当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.思考３：把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？[提示] 角．三、向量的数量积的运算律及性质１．向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.（１）a·b＝b·a；（２）（λa）·b＝a·（λb）＝λ（a·b）＝λa·b；（３）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.２．数量积的性质：（１）a·a＝|a|２或|a|＝错误!；（２）|a·b|≤|a||b|；（３）a⊥b⇒a·b＝0.３．数量积的几何意义：a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．思考４：向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？[提示] 向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量．思考５：向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？[提示] 不一定相同．１．已知|a|＝３，|b|＝6，则（１）若a与b夹角为0°，则a·b＝________；（２）若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；（３）若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.（１）１8（２）9（３）0[（１）a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝１8．（２）a·b＝|a||b|cos 60°＝３×6×错误!＝错误!＝9．（３）a·b＝|a||b|cos 90°＝３×6×0＝0．]２．试指出图中向量的夹角，图１中向量错误!与错误!的夹角________；图２中向量错误!与错误!的夹角________；图３中向量错误!与错误!的夹角________；图４中向量错误!与错误!的夹角________．[答案] θ0°１80°θ３．已知|a|＝３，|b|＝５，a与b的夹角为４５°，则a在b上的投影为________；b与a上的投影为________．错误!错误![a在b上的投影为|a|cos ４５°＝３×错误!＝错误!；b在a上的投影为|b|cos ４５°＝５×错误!＝错误!.]向量数量积的运算及几何意义【例１】已知|a|＝２，|b|＝３，a与b的夹角为１２0°，求：（１）a·b；（２）a２—b２；（３）（２a—b）·（a＋３b）．思路点拨：借助数量积的定义及运算律求解（１）（２）（３）．[解] （１）a·b＝|a||b|cos １２0°＝２×３×错误!＝—３．（２）a２—b２＝|a|２—|b|２＝４—9＝—５．（３）（２a—b）·（a＋３b）＝２a２＋５a·b—３b２＝２|a|２＋５|a||b|cos １２0°—３|b|２＝8—１５—２7＝—３４．１．求平面向量数量积的步骤：１求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；２分别求|a|和|b|；３求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．２．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．１．已知正三角形ABC的边长为１，求：（１）错误!·错误!；（２）错误!·错误!；（３）错误!·错误!.[解] （１）∵错误!与错误!的夹角为60°，∴错误!·错误!＝|错误!||错误!|cos 60°＝１×１×错误!＝错误!.（２）∵错误!与错误!的夹角为１２0°，∴错误!·错误!＝|错误!||错误!|cos １２0°＝１×１×错误!＝—错误!.（３）∵错误!与错误!的夹角为60°，∴错误!·错误!＝|错误!||错误!|cos 60°＝１×１×错误!＝错误!.求向量的模【例２】已知向量错误!＝a，错误!＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝４．求|a＋b|，|a—b|，|３a ＋b|.思路点拨：根据已知条件将向量的模利用|a|＝错误!转化为数量积的运算求解．[解] ∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝４×４×错误!＝8，∴|a＋b|＝错误!＝错误!＝错误!＝４错误!，|a—b|＝错误!＝错误!＝错误!＝４，|３a＋b|＝错误!＝错误!＝错误!＝４错误!.１．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a２＝|a|２，勿忘记开方．２．一些常见的等式应熟记，如（a±b）２＝a２±２a·b＋b２，（a＋b）·（a—b）＝a２—b２等．２．已知向量a与b夹角为４５°，且|a|＝１，|２a＋b|＝错误!，则|b|＝________.错误![因为|２a＋b|＝错误!，所以（２a＋b）２＝１0，所以４a２＋４a·b＋b２＝１0，又因为向量a与b的夹角为４５°，且|a|＝１，所以４|a|２＋４|a||b|cos ４５°＋|b|２＝１0，故４×１２＋４×１×|b|×错误!＋|b|２＝１0，整理得|b|２＋２错误!|b|—6＝0，解得|b|＝错误!或|b|＝—３错误!（舍去），故|b|＝错误!.]求向量的夹角【例３】已知a，b都是非零向量，且a＋３b与7a—５b垂直，a—４b与7a—２b垂直，求a 与b的夹角．思路点拨：解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos θ＝错误!求得夹角．[解] 由已知，得（a＋３b）·（7a—５b）＝0，即7a２＋１6a·b—１５b２＝0，１（a—４b）·（7a—２b）＝0，即7a２—３0a·b＋8b２＝0，２１２两式相减，得２a·b＝b２，∴a·b＝错误!b２，代入１２中任一式，得a２＝b２，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!，∵0°≤θ≤１80°，∴θ＝60°.１．求向量a，b夹角的流程图：错误!→错误!→错误!→错误!２．若两非零向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a·b≠|a||b|；两非零向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a·b≠—|a||b|.提醒：求两向量的夹角时，要注意θ∈[0，π]．３．已知单位向量e１，e２的夹角为60°，求向量a＝e１＋e２，b＝e２—２e１的夹角θ.[解] ∵e１，e２为单位向量且夹角为60°，∴e１·e２＝１×１×cos 60°＝错误!.∵a·b＝（e１＋e２）·（e２—２e１）＝—２—e１·e２＋１＝—２—错误!＋１＝—错误!，|a|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，|b|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴cos θ＝错误!＝—错误!×错误!＝—错误!.又∵θ∈[0°，１80°]，∴θ＝１２0°.数量积的几何意义[探究问题]１．设非零向量a，b，试用数量积“a·b”及|a|，|b|表示a在b上的投影．提示：a在b上的投影为|a|cos θ，又cos θ＝错误!，∴|a|cos θ＝错误!.２．数量积a·b＝|a||b|cos θ的几何意义是什么？提示：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cos θ的乘积．已知a·b＝—9，a在b方向上的投影为—３，b在a方向上的投影为—错误!，求a与b的夹角θ.思路点拨：分别列出a在b方向上的投影和b在a方向上的投影，解方程组便可．[解] 由题意可知错误!∴|a|＝6，|b|＝３，∴cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!，又0≤θ≤π，∴θ＝错误!.１．（变结论）若本例中条件不变，求|２a＋b|.[解] 由本例解答可知|a|＝6，|b|＝３，θ＝错误!，∴|２a＋b|＝错误!＝错误!＝错误!.２．（变条件）已知a·b＝—9，a为单位向量，a在b方向上的投影为—错误!，求a与b的夹角θ.[解] 由题意可知|a|cos θ＝错误!＝—错误!，∴|b|＝１8，∴cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!.又0≤θ≤π，∴θ＝错误!.１．投影是个数量，可正、可负、可为零．２．计算投影时要分清“谁是投影线”，即a在b上的投影为|a|cos θ＝错误!；b在a上的投影为|b|cos θ＝错误!.教师独具１．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量的夹角和向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．２．要掌握与数量积相关的三个问题（１）数量积的计算．（２）向量的模的计算．（３）向量的夹角及垂直问题．３．要注意区分向量数量积与实数运算的区别（１）在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0．而在向量数量积的运算中，不能从a·b ＝0推出a＝0或b＝0．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：１a＝0，b＝0；２a＝0，b＝0；３a≠0，b≠0；４a≠0，b≠0，但a⊥b.（２）在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos θ|，而|cos θ|≤１．（３）实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c（a≠0），则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c（a≠0）不能得到b＝c.（４）实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即（a·b）·c不一定等于a·（b·c），这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，而a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而c 与a不一定共线．１．下面给出的关系式中不正确的是（）Ａ．0·a＝0Ｂ．a２＝|a|２Ｃ．a·b≤|a||b|Ｄ．（a·b）２＝a２·b２D[（a·b）２＝a２·b２·cos２θ.]２．（２0１9·全国卷Ⅰ）已知非零向量a，b满足|a|＝２|b|，且（a—b）⊥b，则a与b的夹角为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误![答案] B３．已知|a|＝３，|b|＝５，且a·b＝１２，则向量a在b方向上的投影为________．错误![|a|cos θ＝错误!＝错误!.]４．已知非零向量a，b，满足|a|＝１，（a—b）·（a＋b）＝错误!，且a·b＝错误!.（１）求向量a，b的夹角；（２）求|a—b|.[解] （１）∵（a—b）·（a＋b）＝错误!，∴a２—b２＝错误!，即|a|２—|b|２＝错误!.又|a|＝１，∴|b|＝错误!.∵a·b＝错误!，∴|a|·|b|cos θ＝错误!，∴cos θ＝错误!，∴向量a，b的夹角为４５°.（２）∵|a—b|２＝（a—b）２＝|a|２—２|a||b|cos θ＋|b|２＝错误!，∴|a—b|＝错误!.。
高中数学 2.4 第1课时 向量的数量积导学案 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学2.4 第1课时向量的数量积导学案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学2.4 第1课时向量的数量积导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.4 向量的数量积第1课时 向量的数量积几何问题.1．向量的数量积 （1)向量的数量积：已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角是θ,我们把数量|a |｜b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)记作a ·b ,即a ·b ＝|a |｜b ｜cos θ。
规定零向量与任一向量的数量积为0。
(2）两个向量的夹角:对于两个非零向量a 和b ，作错误!＝a ，错误!＝b ,则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．其范围是0°≤θ≤180°，当θ＝0°时，a 与b 同向，a ·b ＝｜a ||b ｜;当θ＝180°时,a 与b 反向，a ·b ＝－｜a ｜｜b |；当θ＝90°时,称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
预习交流1(1)已知向量a ,b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b ｜＝2，则|2a －b ｜等于__________． （2）已知|a |＝5,|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则a ·b ＝__________。
(3）已知|a |＝5，｜b ｜＝4，a ·b ＝－10错误!,则a 与b 的夹角θ＝__________. 提示：（1）｜2a －b ｜＝错误!＝错误!＝错误!＝2错误!. （2)a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ＝5×4cos 120°＝－10. (3）由公式得cos θ＝错误!＝错误!＝－错误!， 所以θ＝135°。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积教案 苏教版必修4(2021年最新整理)
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2.4 向量的数量积错误!教学分析课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来,这样为解决三角形的有关问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能，运算结果应该是什么呢？另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面）之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1），那么力F所做的功图1W＝｜F｜|s｜cosθ.功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义a·b＝｜a||b｜cosθ。
这个定义不仅满足人们熟悉的运算律（如交换律、分配律等），而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定的方法．本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．三维目标1．通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度,培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．重点难点教学重点:平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用,平面向量坐标表示的应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．在物理课中，我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F 所做的功W可由下式计算：W＝|F｜｜s｜cosθ.其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量)．故从力所做的功出发,我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除（除数不为零）运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？推进新课错误!1．平面向量数量积的概念，向量的夹角．2．数量积的重要性质及运算律．3．两向量垂直的条件．活动：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a｜｜b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝｜a｜|b｜cosθ（0≤θ≤π），其中θ是a与b的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；（2）零向量与任一向量的数量积为0，即a·0＝0；(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（4)当0≤θ〈错误!时cosθ>0，从而a·b〉0；当错误!〈θ≤π时，cosθ〈0，从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a，b,c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a（交换律）;②(λa）·b＝λ(a·b)＝a·(λb)（数乘结合律）;③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．特别是：(1)当a≠0时,由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b＝0.(2)已知实数a、b、c（b≠0），则ab＝bc a＝c，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c,但a≠c。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.4.1 向量的数量积》79
课题：
向量的数量积〔1〕
班级
高三
时间
教师
夏的定义，几何表示与坐标表示；掌握数量积的运算律及其重要性质；会用数量积的知识求向量的模与夹角。
能力目标
培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。
情感目标
培养学生学习数学的兴趣。
内容分析
教学重点：数量积的定义、几何意义、坐标表示及其重要性质。
教学难点：用数量积解决向量的模与夹角；向量的数量积的运用。
教学辅助手段
多媒体
一、知识梳理：
2几个重要的结论：
〔1〕
模：或夹角：=
：：
3．向量数量积的运算律：
①②③。
二、根底自测：
三、例题分析：
四、小结提升：
五、反思感悟：
六、布置作业：对应小练习。
教研组评议：
教研组长：____________________
(新课程)高中数学 第十一课时 平面向量数量积的坐标表示 教案 苏教版必修4
教学目标：掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 和b 的坐标表示a ·b 呢?这是我们这一节将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：记a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 1j 2＝x 1x 2＋y 1y 21.平面向量数量积的坐标表示：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 22.两向量垂直的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0［例1］已知a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)，则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)有a ·b ＝ 3 ＋1＋ 3 ( 3 －1)＝4，｜a ｜＝2，｜b ｜＝2 2 .记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜ ＝22又∵0≤θ≤π， ∴θ＝π4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.［例2］已知a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，求x ，y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且｜x a ＋y b ｜＝1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，有x a ＋y b ＝(3x ＋4y ，4x ＋3y )又(x a ＋y b )⊥a ⇔(x a ＋y b )·a ＝0⇔3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0即25x ＋24y ＝0 ①又｜x a ＋y b ｜＝1⇔｜x a ＋y b ｜2＝1⇔(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1整理得：25x 2＋48xy ＋25y 2＝1即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1②由①②有24xy ＋25y 2＝1 ③将①变形代入③可得：y ＝±57再代入①得：x ＝2435∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=753524y x ［例3］在△ABC 中，AB →＝(1，1)，AC →＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求实数k的值.解：若A ＝90°，则AB →·AC →＝0，∴1×2＋1×k ＝0，即k ＝－2若B ＝90°，则AB →·BC →＝0，又BC →＝AC →－AB →＝(2，k )－(1，1)＝(1，k －1)即得：1＋(k －1)＝0，∴k ＝0若C ＝90°，则AC →·BC →＝0，即2＋k (k －1)＝0，而k 2－k ＋2＝0无实根，所以不存在实数k 使C ＝90°综上所述，k ＝－2或k ＝0时，△ABC 内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.［例4］已知：O 为原点，A (a ，0)，B (0，a )，a 为正常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB → (0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值是多少?解：设P (x ，y )，则AP →＝(x －a ，y )，AB →＝(－a ，a )，由AP →＝tAB →可有： ⎩⎨⎧=-=-at y at a x ，解得⎩⎨⎧=-=at y at a x ∴OP →＝(a －at ，at )，又OA →＝(a ，0)，∴OA →·OP →＝a 2－a 2t∵a ＞0，可得－a 2＜0，又0≤t ≤1，∴当t ＝0时，·OP →＝a 2－a 2t ，有最大值a 2.［例5］已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝2，a ，b 夹角为60°，m 为何值时两向量3a ＋5b 与m a －3b 互相垂直？解法：(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m ｜a ｜2－9a ·b ＋5m a ·b －15｜b ｜2＝27m ＋(5m －9)×3×2cos60°－15×4＝42m －87＝0∴m ＝8742 ＝2914时，(3a ＋5b )⊥(m a －3b ). Ⅲ.课堂练习课本P 82练习1～8.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. Ⅴ.课后作业课本P 83习题 6，8，9，10平面向量数量积的坐标表示1．在已知a ＝(x ，y ），b ＝(－y ，x )，则a ，b 之间的关系为 （ ）A.平行B.不平行不垂直C.a ⊥bD.以上均不对2．已知a ＝（－4，3），b ＝(5，6），则3|a |2－4a ·b 为 （ ）A.63B.83C.23D.573．若a ＝（－3，4），b ＝(2，－1），若（a －x b )⊥（a －b )，则x 等于 （ ）A.－23B. 72C.－73D.－744．若a ＝（λ，2），b ＝(－3，5），a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）A.（103 ，+∞）B.［103，+∞）C.（－∞，103） D.（－∞，103 ］ 5．已知a ＝（－2，1），b ＝（－2，－3），则a 在b 方向上的投影为 （ ） A.－1313 B. 1313 C.0 D.16．已知向量c 与向量a ＝（ 3 ，－1）和b ＝（1， 3 ）的夹角相等，c 的模为 2 ，则 c ＝ .7．若a ＝（3，4），b ＝(1，2）且a ·b ＝10，则b 在a 上的投影为 .8．设a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x `2，y `2)有以下命题：①|a |＝x 12＋y 12 ②b 2＝x 22＋y 22③a ·b ＝x 1x `2＋y 1y `2 ④a ⊥b x 1x `2＋y 1y `2＝0，其中假命题的序号为 .9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4）， （1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.平面向量数量积的坐标表示答案1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(3＋12，3－12)或(－3＋12，1－32) 7．2 8．② 9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4），（1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.（1）证明：∵AB →＝（1，1），AD →＝（－3，3）∴AB →·AD →＝1×3＋1×(－3)＝0， ∴AB →⊥AD →.（2）解：∵A BC D 为矩形，设C （x ，y ），∴AB →＝DC →，（1，1）＝（x +1，y －4)∴x ＝0，y ＝5，∴C （0，5）.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？解：∵a －b ＝(3－k ，－2－k ) ∴t ＝|a －b |＝（3－k ）2＋（－2－k ）2＝2k 2－2k ＋13 ＝2（k －12 ）2＋252∴当k ＝12 时，t 取最小值，最小值为522. 11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.解：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2),∴|a |＝|b |＝1，∴x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1 ① 3a －2b ＝3(x 1，y 1)－2(x 2，y 2)＝(3x 1－2x 2，3y 1－2y 2),又|3a －2b |＝3,∴(3x 1－2x 2)2＋(3y 1－2y 2)2＝9,将①代入化简，得x 1x 2＋y 1y 2＝13 ②又3a ＋b ＝3(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(3x 1＋x 2，3y 1＋y 2),∴|3a ＋b |2＝(3x 1＋x 2)2＋(3y 1＋y 2)2＝9(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＋6(x 1x 2＋y 1y 2)＝12, 故|3a ＋b |＝2 3 .。
苏教版高中数学必修四向量的数量积教案(1)(1)
第九课时 平面向量的数量积及运算律(一)教学目标：掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义.教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W 可由下式计算：W ＝｜F ｜·｜s ｜cos θ其中θ是F 与s 的夹角.从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.Ⅱ.讲授新课1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ (0≤θ≤π)叫a 与b 的夹角.说明：(1)当θ＝0时，a 与b 同向；(2)当θ＝π时，a 与b 反向；(3)当θ＝π2 时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.2.数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量｜a ｜｜b ｜cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ(0≤θ≤π).说明：(1)零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0；(2)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.3.数量积的几何意义两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积. 说明：这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.4.数量积的重要性质设a 与b 都是非零向量，e 是单位向量，θ0是a 与e 夹角，θ是a 与b 夹角.①e ·a ＝a ·e ＝｜a ｜cos θ0②a ⊥b a ·b ＝0③当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜｜b ｜当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜｜b ｜特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝a · a ＝a 2④cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜⑤｜a ·b ｜≤｜a ｜｜b ｜说明：上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证.5.数量积的运算律已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a ·b ＝b ·a (交换律)②(λa )·b ＝λ (a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)说明：(1)一般地，(a ·b )c ≠a (b ·c )(2)a ·c ＝b ·c ，c ≠0 a ＝b(3)有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )·(c ＋d )＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2［师］为使大家进一步熟悉数量积的性质，加深对数量积定义的理解，我们来看下面的例题.［例题］判断正误，并简要说明理由.①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠0；⑥a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝0；对于②：应有0·a ＝0；对于④：由数量积定义有｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜·｜cos θ｜≤｜a ｜｜b ｜，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜；对于⑤：若非零向量a 、b 垂直，有a ·b ＝0；对于⑥：由a ·b ＝0可知a ⊥b 可以都非零；对于⑦：若a 与c 共线，记a ＝λc .则a ·b ＝(λc )·b ＝λ (c ·b )＝λ (b ·c )，∴(a ·b )c ＝λ (b ·c )c ＝(b ·c )λ c ＝(b ·c )a若a 与c 不共线，则(a ·b )c ≠(b ·c )a .评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.说明：1.概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：［例1］已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，求BC →·CA →.对此题，有同学求解如下：解：如图，∵｜BC →｜＝a ＝5，｜CA →｜＝b ＝8，C ＝60°，∴BC →·CA →＝｜BC →｜｜CA →｜cos C ＝5×8cos60°＝20.分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中BC →与CA →两向量的起点并不同，因此，C 并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C 的补角120°.2.向量的数量积不满足结合律分析：若有(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )，设a 、b 夹角为α，b 、c 夹角为β，则(a ·b )·c ＝｜a ｜·｜b ｜cos α·c ，a ·(b ·c )＝a ·｜b ｜｜c ｜cos β.∴若a ＝c ，α＝β，则｜a ｜＝｜c ｜，进而有：(a ·b )c ＝a ·(b ·c )这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下：已知｜a ｜＝1，｜b ｜＝1，｜c ｜＝ 2 ，a 与b 夹角是60°，b 与c 夹角是45°，则：(a ·b )·c ＝(｜a ｜｜b ｜cos60°)·c ＝12 c ，a ·(b ·c )＝(｜b ｜｜c ｜cos45°)·a ＝a而12 c ≠a ，故(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )3.等式的性质“实数a 、b 、c ，且ab ＝ac ，a ≠0推出b ＝c ”这一性质在向量推理中不正确.［例2］举例说明a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，推不出b ＝c .解：取｜a ｜＝1，｜b ｜＝22，a 与b 的夹角为45°，｜c ｜＝12 ，a 与c 的夹角为0°，显然a ·b ＝a ·c ＝12 ，但b ≠c .4.“如果ab ＝0，那么a ，b 中至少有一个为零”这一性质在向量推理中不正确. ［例3］已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝3，a 与b 的夹角为90°，求a ·b .解：a ·b ＝2×3×cos90°＝0，显然a ≠0，b ≠0，由a ·b ＝0可推出以下四种可能： ①a ＝0，b ≠0; ②b ＝0，a ≠0;③a ＝0且b ＝0; ④a ≠0且b ≠0但a ⊥b .Ⅲ.课堂练习课本P 80练习1，2，3Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.Ⅴ.课后作业课本P 82习题 1，2，3。
苏教版高中数学必修四第十一课时平面向量数量积的坐标表示教案
第十一课时 平面向量数量积的坐标表示教学目标：掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 和b 的坐标表示a ·b 呢?这是我们这一节将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：记a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 1j 2＝x 1x 2＋y 1y 21.平面向量数量积的坐标表示：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 22.两向量垂直的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0［例1］已知a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)，则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)有a ·b ＝ 3 ＋1＋ 3 ( 3 －1)＝4，｜a ｜＝2，｜b ｜＝2 2 .记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜＝22 又∵0≤θ≤π， ∴θ＝π4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.［例2］已知a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，求x ，y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且｜x a ＋y b ｜＝1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，有x a ＋y b ＝(3x ＋4y ，4x ＋3y )又(x a ＋y b )⊥a ⇔(x a ＋y b )·a ＝0⇔3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0即25x ＋24y ＝0 ① 又｜x a ＋y b ｜＝1⇔｜x a ＋y b ｜2＝1⇔(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1整理得：25x 2＋48xy ＋25y 2＝1即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1②由①②有24xy ＋25y 2＝1③将①变形代入③可得：y ＝±57再代入①得：x ＝2435 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=753524y x ［例3］在△ABC 中，AB →＝(1，1)，AC →＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求实数k 的值.解：若A ＝90°，则AB →·AC →＝0，∴1×2＋1×k ＝0，即k ＝－2若B ＝90°，则AB →·BC →＝0，又BC →＝AC →－AB →＝(2，k )－(1，1)＝(1，k －1)即得：1＋(k －1)＝0，∴k ＝0若C ＝90°，则AC →·BC →＝0，即2＋k (k －1)＝0，而k 2－k ＋2＝0无实根，所以不存在实数k 使C ＝90°综上所述，k ＝－2或k ＝0时，△ABC 内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.［例4］已知：O 为原点，A (a ，0)，B (0，a )，a 为正常数，点P 在线段AB 上，且AP→＝tAB → (0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值是多少?解：设P (x ，y )，则AP →＝(x －a ，y )，AB →＝(－a ，a )，由AP →＝tAB →可有：⎩⎨⎧=-=-at y at a x ，解得⎩⎨⎧=-=at y at a x ∴OP →＝(a －at ，at )，又OA →＝(a ，0)，∴OA →·OP →＝a 2－a 2t∵a ＞0，可得－a 2＜0，又0≤t ≤1，∴当t ＝0时，OA ·OP →＝a 2－a 2t ，有最大值a 2.［例5］已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝2，a ，b 夹角为60°，m 为何值时两向量3a ＋5b 与m a －3b 互相垂直？解法：(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m｜a｜2－9a·b＋5m a·b－15｜b｜2＝27m＋(5m－9)×3×2cos60°－15×4＝42m－87＝0∴m＝8742＝2914时，(3a＋5b)⊥(m a－3b).Ⅲ.课堂练习课本P82练习1～8.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.Ⅴ.课后作业课本P83习题6，8，9，10平面向量数量积的坐标表示1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，则a，b之间的关系为（）A.平行B.不平行不垂直C.a⊥bD.以上均不对2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3|a|2－4a·b为（）A.63B.83C.23D.573．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－x b)⊥（a－b)，则x等于（）A.－23B. 72C.－73D.－744．若a ＝（λ，2），b ＝(－3，5），a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）A.（103 ，+∞）B.［103 ，+∞）C.（－∞，103 ）D.（－∞，103 ］5．已知a ＝（－2，1），b ＝（－2，－3），则a 在b 方向上的投影为 （ ）A.－1313B. 1313C.0D.16．已知向量c 与向量a ＝（ 3 ，－1）和b ＝（1， 3 ）的夹角相等，c 的模为 2 ，则c ＝ .7．若a ＝（3，4），b ＝(1，2）且a ·b ＝10，则b 在a 上的投影为 .8．设a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x `2，y `2)有以下命题：①|a |＝x 12＋y 12 ②b 2＝x 22＋y 22 ③a ·b ＝x 1x `2＋y 1y `2 ④a ⊥b x 1x `2＋y 1y `2＝0，其中假命题的序号为 .9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4），（1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.平面向量数量积的坐标表示答案1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(3＋12，3－12)或(－3＋12，1－32)7．2 8．②9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4），（1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.（1）证明：∵AB →＝（1，1），AD →＝（－3，3）∴AB →·AD →＝1×3＋1×(－3)＝0， ∴AB →⊥AD →.（2）解：∵A BC D 为矩形，设C （x ，y ），∴AB →＝DC →，（1，1）＝（x +1，y －4)∴x ＝0，y ＝5，∴C （0，5）.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？解：∵a －b ＝(3－k ，－2－k )∴t ＝|a －b |＝（3－k ）2＋（－2－k ）2 ＝2k 2－2k ＋13 ＝2（k －12 ）2＋252∴当k ＝12 时，t 取最小值，最小值为522. 11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.解：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2),∴|a |＝|b |＝1，∴x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1 ①3a －2b ＝3(x 1，y 1)－2(x 2，y 2)＝(3x 1－2x 2，3y 1－2y 2),又|3a －2b |＝3,∴(3x 1－2x 2)2＋(3y 1－2y 2)2＝9,将①代入化简，得x 1x 2＋y 1y 2＝13 ②又3a ＋b ＝3(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(3x 1＋x 2，3y 1＋y 2),∴|3a ＋b |2＝(3x 1＋x 2)2＋(3y 1＋y 2)2＝9(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＋6(x 1x 2＋y 1y 2)＝12,故|3a ＋b |＝2 3 .。
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教学设计 2.4 向量的数量积
整体设计 教学分析 课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量 我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1)，那么力F所做的功
图1 W＝|F||s|cosθ. 功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义 a·b＝|a||b|cosθ. 这个定义不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果． 向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量． 平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定的方法． 本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位． 三维目标 1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件． 2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力． 3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题． 4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质． 重点难点 教学重点：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示． 教学难点：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用，平面向量坐标表示的应用． 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究． 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算： W＝|F||s|cosθ. 其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)． 故从力所做的功出发，我们就顺其自然的引入向量数量积的概念． 思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？ 推进新课 新知探究 1．平面向量数量积的概念，向量的夹角． 2．数量积的重要性质及运算律． 3．两向量垂直的条件． 活动：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(0≤θ≤π)，其中θ是a与b的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.
图2 教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意： (1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积； (2)零向量与任一向量的数量积为0，即a·0＝0； (3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替； (4)当0≤θ0，从而a·b>0；当π2
究并证明数量积的运算律． 已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： ①a·b＝b·a(交换律)； ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 特别是：(1)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0. (2)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bca＝c，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.
图3 (3)对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)，但对于向量a、b、c，(a·b)c＝a(b·c)不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不成立． 讨论结果： 由向量数量积的定义可知， 当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a. 应用示例 思路1 例1见课本本节例1. 变式训练
1．已知平面上三点A、B、C满足|AB→|＝2，|BC→|＝1，|CA→|＝3，求AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→
的值． 活动：教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解，先分析题设然后找到所需条件．因为已知AB→、BC→、CA→的长度，要求得两两之间的数量积，必须先求出两两之间的夹角．结合勾股定理可以注意到△ABC是直角三角形，然后可利用数形结合来求解结果．
解：由题意知，|BC→|2＋|CA→|2＝|AB→|2，∴△ABC是直角三角形，而且∠ACB＝90°.从而sin∠ABC＝32，sin∠BAC＝12， ∴∠ABC＝60°，∠BAC＝30°.∴AB→与BC→的夹角为120°，BC→与CA→的夹角为90°，CA→与AB→的夹角为150°.
故AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→ ＝2×1×cos120°＋1×3cos90°＋3×2cos150°＝－4. 点评：确定两个向量的夹角，应先平移向量，使它们的起点相同，再考查其角的大小，而不
是简单地看成两条线段的夹角，如本例中AB→与BC→的夹角是120°，而不是60°. 2．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)． 解：(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b ＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2 ＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72.
例2已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？ 活动：教师引导学生利用数量积的性质来求两向量垂直需满足的条件，教师可让学生独立完成，可找几个学生到黑板上去演练． 解：a＋kb与a－kb互相垂直的条件是(a＋kb)·(a－kb)＝0， 即a2－k2b2＝0. ∵a2＝32＝9，b2＝42＝16， ∴9－16k2＝0. ∴k＝±34. 也就是说，当k＝±34时，a＋kb与a－kb互相垂直． 点评：本题主要考查向量的数量积性质中垂直的条件. 变式训练 已知向量a、b满足：a2＝9，a·b＝－12，求|b|的取值范围． 解：∵|a|2＝a2＝9，∴|a|＝3. 又∵a·b＝－12， ∴|a·b|＝12. ∵|a·b|≤|a||b|， ∴12≤3|b|，|b|≥4. 故|b|的取值范围是[4，＋∞).
思路2 例1已知四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DA→＝d，且a·b＝c·d＝b·c＝d·a，试问四边形ABCD的形状如何？ 活动：教师引导学生总结如何判断四边形的形状．利用向量的关系来判断四边形的形状，就是借助两个向量的共线或者垂直来判断四边形是平行四边形或是矩形．教师先让学生明确四边形各边的位置关系与长度关系，这可以借助向量的有关运算来完成．
解：∵AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0，即a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)． 由上可得(a＋b)2＝(c＋d)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2. 又∵a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2. 同理，可得a2＋d2＝b2＋c2. 由上两式可得a2＝c2，且b2＝d2. 即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，也即AB＝CD，且BC＝DA. ∴四边形ABCD是平行四边形．
故AB→＝－CD→，即a＝－c. 又a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，
∴a⊥b.即AB→⊥BC→. 综上所述，四边形ABCD是矩形． 点评：本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然