高一数学教案 (2)

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高一数学初高中衔接教学案：2乘法公式、因式分解(1)

江苏省泰兴中学高一数学教学案(2)初高中衔接2：乘法公式、因式分解(1)班级姓名一、基础知识1、乘法公式⑴平方差公式22()()a b a b a b +-=-； ⑵完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+． ⑴立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+； ⑵立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-； ⑶三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；⑷两数和完全立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；⑸两数差完全立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-2.因式分解的方法（1）提取公因式法：把各项都含有的公因式提到括号外面；（2）运用公式法：逆用乘法公式；（3）分组分解法：利用分组分解法，关键是选择适当的、合理的分组方法；（4）十字相乘法：①二次项系数为1的二次三项式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

②二次项系数不为1的二次三项式 c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++二、例题精讲例1：计算：⑴、)749)(7(2x x x +-+⑵、)93)(3(2++-y y y⑶、)1)(1)(1)(1(22+-+++-a a a a a a例2：⑴、已知4)2()2(2-=---b a a a ，求代数式ab b a -+222的值。

⑵、已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值。

高一数学精品教案(二)等差数列

高一数学精品教案（二）等差数列一、知识点提要：1．等差数列定义：a n+1－a n =d （常数），即从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，叫等差数列，此常数用d 表示，称为公差.当d=0时，数列为常数列. 2．通项公式：a n =a 1+(n －1)d3．前n 项的和：)0(2)1(2)(11≠-+=+=d d n n na a a n S n n1na S n = （d=0）4．等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫a,b 的等差中项，且2b a A +=5．等差数列的性质：（1）数列{a n }成等差数列，则 ①a n =a m +(n －m)d(m,n ∈N*)②若m+n=p+q ，则a m +a n =a p +a q (m,n,p,q ∈N*) 特别地：若2t=p+q ，则2a t =a p +a q（2）证明数列{a n }成等差数列的方法：定义法：a n+1－a n =d （常数）中项法：2a n+1=a n +a n+2. 二、重点难点突破：1．由等差数列的通项公式a n =a 1+(n －1)d 可知a n 是n 的一次函数，所以{a n }成等差数列B An a n +=⇔.2．由等差数列的前n 项的和公式2)1(1-+=n n na S n 可知{a n } 成等差数列.2Bn An S n +=⇔3．等差数列的前n 项的和S n 还有如下特点：（1）前m 项的和记为S 1，次m 项的和记为S 2，再m 项的和记为S 3……则数列{S n }也成等差数列.（2）若n 为奇数，则21+=n n na S ；n 为偶数则)(2122++=n n a a n n ；.21nd S S =-奇偶三、热点考题导析例1．在等差数列中，a 6+a 9+a 12+a 15=20，求S 20. 思路一：比较S 20与已知条件.解法一：∵a 6+a 9+a 12+a 15=20，∴4a 1+(5+8+11+14)d=20， ∴2a 1+19d=10，又),192(220120d a S +=∴S 20=100. 思路二：利用等差数列的性质.∵a 6+a 15=a 9+a 12=a 1+a 20，又由a 6+a 9+a 12+a 15=20，∴a 1+a 20=10，∴100)(22020120=+=a a S . 教师点评：在公式d n n na S n 2)1(1-+=中有4个字母已知其中三个就以求出另一个.已知两个条件也可以列出方程组解.由于2)(1n n a a n S +=如果求到1+a n ，也可以免去求a 1和d.本例中就无法确定a 1和d 的值.有时还可以设出S n =an 2+bn ，利用已知条件确定两个系数a 和b.再看例2．四个数成等差数列，把它们分别加上4，3，3，5后又依次成等比数列，求这四个数. 分析：四个数成等差数列，可依次设为a ―3d 、a ―d 、a+d 、a+3d ，然后列出a 、d 的方程组求解.解：设此四个数依次为a ―3d 、a ―d 、a+d 、a+3d ，依题意，得⎩⎨⎧+++-=+++++-=+-)53)(3()3()3)(43()3(22d a d a d a d a d a d a ∴ ⇒⎩⎨⎧=-+-=---0622403422d a d d a d{10==d a 或 {3=-=d a （不合舍去） ∴此四个数为―3，―1，1，3. 教师点评：这里使用了对称设元法，类似地，若三个数成等差数列，则可设三数为a －d ，a,a+d ，这种对称设元法可以简化运算.例3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13<0. （1）求公差d 的取值范围.（2）指出S 1，S 2，S 3，……，S 12中那个值最大，并说明理由. 解：（1）依题意，有{{6011202121313021112120011111312<+>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧<⨯+>⨯+⇒<>d a d a d a d a S S 将a 3=a 1+2d=12代入得： 3724-><-d （2）由S 12=6（a 6+a 7）>0，S 13=13a 7<0. 即a 6+a 7>0，a 7<0，故a 6>0，∴S 6最大.教师点评：等差数列的结构是：单调递增，单调递减或常数列.若递减且a 1>0,则前n 项的和S n 存在最大值，前多少项和最大，就是数列中前若干个正项的个数，因此这种题型就是要找出数列中的正、负的分界线处.类似地若a 1<0且递增，则S n 存在最小值. 学生演板（1）{a n }为等差数列，且a n >0(n ∈N*)S 3=S 11，问此数列的前多少项的和最大？（n=7）（2）已知等差数列{a n }中，S m =S n (m ≠n)，求)0,021(1==-++⋅++n m n m S d n m a S 例4．两个等差数列{a n }，{b n }它们的前n 项和之比为1235-+n n 求这个两个数列第9项之比.分析：可直把S n 代入，把分子、分母变成通项的形式.解：（法一）d n b dn a d n n nb d n n na S S nn '-+-+='-+-+='21212)1(2)1(1111 令821=-n ∴n=17 ∴991717b a S S =' 而383811723175991717==-⨯+⨯='b a S S （法二）38117231752/)(172/)(17171717117117117199=-⨯+⨯='=++=++=S S b b a a b b a a b a 教师点评：解法二较一巧妙，主要是灵活地运用了等差数列的性质(2)从而沟通了a n 与S 2n －1的关系.本题其实求任何的a k ∶b k 都可以.例5．已知数列{a n }中，a 1=1，)2(122≥-=n S S a n nn 求这个数列的前n 项的和S n .解：当n ≥2时，1212--==-n n n n nS S a S S ，∴1121222))(12(2---+--=--=n n n n n n n n n S S S S S S S S S ， ∴n n n n S S S S -=--112，即,2111=--n n S S ∴数列}1{n S 是首项为11111==a S 公差为2的等差数列， 122)1(111-=⨯-+=∴n n S S n ，故121-=n S n 教师点评：（1）n ≥2时，a n =S n ―S n ―1反映通项与前n 项的和的联系；（2）注意}1{nS 是等差数列利用性质求出S n . 例6．是否存在常数k 和等差数列{a n }，使Ka n 2―1=S 2n ―S n+1，其中S 2n ，S n+1分别是等差数列{a n }的前2n 项，前n+1项的和.若存在，试求出常数k 和{a n }的通项a n ；若不存在，请说明理由.解：这是一个探索性问题，一般先假设存在k.假设存在.设a n =pn+q(p,q 为常数)，则Ka n 2―1=kp 2n 2+2kpqn+kq 2―1,),()2(23,)1(21212q p n pq pn S S qn n pn S n n n +--+=-++=+ 则),()2(23122222q p n pq pn kq kpqn n kp +--+=-++故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--==)(1222322q p kq pq kpq p kp 由①得p=0或23=kp 当p=0时，由②得q=0，而p=q=0不适合③，故p ≠0把23=kp 代入②，得;4p q -=把4p q -=代入③，又6481,2782732,23=-===k q p kp 从而得故存在常数=6481及等差数列2782732-=n a n 满足题意四、课堂练习（1）在等差数列{a n }中，a 3+a 7―a 10=8,a 11―a 4=4.记S n =a 1+a 2+ ……+a n ，求S 13（156）（2）数列{a n }的前n 项和是S n ，如果S n =3+2a n (n ∈N*)，则这个数列一定是（）A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项后是等比数列D ．除去第一项后是等差数列（A ）（3）设等差数列{a n }前n 项的和为S n ，已知331S 与441S 的等比中项为551S ，434131S S 与的等差中项为1，求数列的通项公式. （5325121+-==n a a n n 或）五、高考试题（1）（2000年春季北京、安徽，13）已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+…+a 101=0，则有（） A ．a 1+a 101>0 B ．a 2+a 100<0 C ．a 3+a 99=0 D ．a 51=51 答案：选 C分析：.0,0)(210109399310121=+∴=+=+++a a a a a a a 即① ② ③（2）（20XX 年全国理，3）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案：选B分析：∵前三项的和为12，∴a 1+a 2+a 3=12，332S a =∴ a 1a 2a 3=48，∵a 2=4，∴a 1a 3=12，a 1+a 3=8，把a 1,a 3作为方程的两根且a 1<a 3，∴x 2－8x+12=0，x 1=6，x 2=2，∴a 1=2，a 3=6.（3）（2000年全国文，18）设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项的和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列}{nS n的前n 项的和，求T n . 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则,75,7,)1(211571==∴-+=S S d n n na S n{{=-+=∴=-==+=+=+=+∴d n a n S d a d a d a d a d a n )1(21.1,2571375105157217111111解得即 .4941211).1(21221n n T n S n S n n n n -=∴=-+-+-+评注：本题主要考查等差数列的基础知识和基本技能；运算能力. 六、考点检测（1）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项与奇数项的和之比为2732，则公差d=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6（2）等差数列{a n }的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为（） A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 （3）100与200之间所有是7的倍数但不是2的倍数的自然数之和为 .（4）二数列{a n }，{b n }满足a n +a m =a m+n ，b n b m =b n+m ,(m,n ∈N*)、若a 1=1，则a n = .若b 1=2,则b n = .（5）数列{a n }的通项为a n =33－2n 。

高中数学第一章第2课教案

高中数学第一章第2课教案
教学内容：集合及其运算
教学目标：
1. 了解集合的定义和表示方式。

2. 掌握集合的基本运算：交集、并集、差集。

3. 能够运用集合的运算解决实际问题。

教学重点和难点：
重点：集合的定义、表示方式，集合的基本运算。

难点：理解集合运算的概念及运用。

教学准备：
1. 教材《数学》第一册。

2. 教学课件。

3. 练习题。

教学过程：
一、导入
教师引导学生回顾上节课所学内容，引出集合及其运算的主题。

二、讲解
1. 集合的定义和表示方式。

2. 集合的基本运算：交集、并集、差集。

三、讲解案例
教师通过案例演示集合的运算方法及应用，让学生深入理解集合运算的概念。

四、练习
教师布置练习题，让学生运用所学知识进行练习。

五、总结
教师对本节课所学内容进行总结，强调重要概念和运算方法。

六、作业
布置作业：完成《数学》第一册相关练习题。

七、课外拓展
学生可自行拓展集合运算的相关知识，加深对集合的理解。

教学反思：
教师应该结合学生实际情况，注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，引导学生自主学习和思考。

同时，注重实际运用，让学生掌握数学知识的应用技能。

高一数学教案(优秀5篇)

高一数学教案(优秀5篇)高一数学教学教案篇一一、教学目标（一）知识与技能了解数轴的概念，能用数轴上的点准确地表示有理数。

（二）过程与方法通过观察与实际操作，理解有理数与数轴上的点的对应关系，体会数形结合的思想。

（三）情感、态度与价值观在数与形结合的过程中，体会数学学习的乐趣。

二、教学重难点（一）教学重点数轴的三要素，用数轴上的点表示有理数。

（二）教学难点数形结合的思想方法。

三、教学过程（一）引入新课提出问题：通过实例温度计上数字的意义，引出数学中也有像温度计一样可以用来表示数的轴，它就是我们今天学习的数轴。

（二）探索新知学生活动：小组讨论，用画图的形式表示东西向马路上杨树，柳树，汽车站牌三者之间的关系：提问1：上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义。

我们知道，正数和负数可以表示具有相反意义的量，那么，如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？学生活动：画图表示后提问。

提问2：“0”代表什么？数的符号的实际意义是什么？对照体温计进行解答。

教师给出定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足：任取一个点表示数0，代表原点；通常规定直线上向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；选取合适的长度为单位长度。

提问3：你是如何理解数轴三要素的？师生共同总结：“原点”是数轴的“基准”，表示0，是表示正数和负数的分界点，正方向是人为规定的，要依据实际问题选取合适的单位长度。

（三）课堂练习如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数。

（四）小结作业提问：今天有什么收获？引导学生回顾：数轴的三要素，用数轴表示数。

高一数学教案全集5 篇二数学教案-圆1、教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析重点：①点和圆的三种位置关系，圆的有关概念，因为它们是研究圆的基础；②五种常见的点的轨迹，一是对几何图形的深刻理解，二为今后立体几何、解析几何的学习作重要的准备。

难点：① 圆的集合定义，学生不容易理解为什么必须满足两个条件，内容本身属于难点；②点的轨迹，由于学生形象思维较强，抽象思维弱，而这部分知识比较抽象和难懂。

高一数学必修一教案第2课时函数的最大(小)值

第2课时函数的最大(小)值学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．知识点一函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≤M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≥M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最低点的纵坐标思考函数f (x )＝x 2＋1≥－1总成立，f (x )的最小值是－1吗？答案 f (x )的最小值不是－1，因为f (x )取不到－1. 知识点二求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )． (2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．预习小测自我检验1.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．答案－1 22．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为________．答案 123．函数y ＝2x 2＋2，x ∈R 的最小值是________．答案 24．函数y ＝2x在[2,4]上的最大值与最小值之和等于________．答案 32一、图象法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值．解作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0. 反思感悟图象法求函数最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如图所示，由图象知，函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．二、利用函数的单调性求最值例2 已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．解 (1)f (x )是增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3x 1－x 2x 1＋2x 2＋2，因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3,5]上为增函数，则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.反思感悟 (1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )． (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．跟踪训练2 已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2,4])，求函数f (x )的最大值和最小值．解设x 1，x 2是[2,4]上任意两个实数，且x 1<x 2，所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝61－x 2－61－x 11－x 11－x 2＝6x 1－x 21－x 11－x 2，因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0,1－x 1<0,1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[2,4]上是增函数，所以f (x )max ＝f (4)＝1，f (x )min ＝f (2)＝－3.三、函数最值的实际应用例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，x ∈N ，0≤x ≤5，11，x ∈N ，x >5，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？解 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ，所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，x ∈N ，0≤x ≤5，8.2－x ，x ∈N ，x >5.(2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减，所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．跟踪训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元．二次函数最值分类讨论问题典例已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最小值．解 ∵对称轴x ＝1，(1)当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2－2(t ＋2)－3＝t 2＋2t －3. (2)当t ≤1<t ＋2，即－1<t ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝－4.(3)当1<t ，即t >1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为增函数，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最小值为g (t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－1，－4，－1<t ≤1，t 2－2t －3，t >1.[素养提升] 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论．1．函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值考点函数的最值及其几何意义题点利用一次函数、分式函数单调性求最值答案 A2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A ．10,5 B ．10,1 C ．5,1 D ．以上都不对答案 B解析因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]，所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7，－1≤x <1，2x ＋6，1≤x ≤2，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对考点函数的最值及其几何意义题点分段函数最值答案 A4．已知函数f (x )＝2x －3，当x ≥1时，恒有f (x )≥m 成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．RB ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．∅答案 B解析因为f (x )＝2x －3在x ∈[1，＋∞)上为增函数，所以f (x )min ＝－1，故满足f (x )≥－1. 又因为在x ≥1时，f (x )≥m 恒成立，所以m ≤－1，故m ∈(－∞，－1]． 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x ≤0，x 2，0<x ≤1，x ，1<x ≤2，则f (x )的最大值为________．考点函数的最值及其几何意义题点由函数图象求最值答案 2解析 f (x )的图象如图：则f (x )的最大值为f (2)＝2.1．知识清单：函数的最大值、最小值定义．2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区：(1)最值M 一定是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x答案 A解析选项B ，C 在[1,4]上均为增函数，选项A ，D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，可知A 正确． 2．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析函数y ＝x 在[1,2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1,2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0 答案 C解析当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元答案 C解析设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，x ∈N ，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0,1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.6．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．答案 f (－2) f (6)解析作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)． 7．函数y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[0,5]上的最大值与最小值的和为________．答案2714解析因为函数y ＝3x ＋2在区间[0,5]上单调递减，所以当x ＝0时，y max ＝32，当x ＝5时，y min ＝37.所以y max ＋y min ＝32＋37＝2714.8．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)解析令f (x )＝－x 2＋2x ，则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a <0.9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解 f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和(0，＋∞)上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数，因此f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，(0，＋∞)；单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34.10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y2712(1)确定x 与y 的一个一次函数关系式y ＝f (x )(注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解 (1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]． (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．11．若函数f (x )＝k x在区间[2,4]上的最小值为5，则k 的值为( ) A ．10 B ．10或20 C ．20 D ．无法确定答案 C解析当k ＝0时，不满足．当k >0时，y ＝f (x )＝k x在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝k4＝5，∴k ＝20满足条件，k <0时，y ＝f (x )＝kx 在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝k2＝5，∴k ＝10，又∵k <0，∴k ＝10舍去，综上有k ＝20.12．已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A ．[160，＋∞) B ．(－∞，40]C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．(－∞，20]∪[80，＋∞) 考点函数的最值及其几何意义题点含参二次函数最值答案 C解析由于二次函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f (x )＝4x 2－kx －8图象的对称轴方程为x ＝k 8，因此k8≤5或k8≥20，所以k ≤40或k ≥160.13．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．答案 {m |1≤m ≤2}解析 y ＝f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，利用图象(图略)得1≤m ≤2.14．函数y ＝x ＋2x －1的最小值为________．答案 12解析令t ＝2x －1，t ≥0，∴x ＝t 2＋12， ∴y ＝t 2＋12＋t ＝12(t 2＋2t ＋1)＝12(t ＋1)2， ∵t ≥0，∴当t ＝0时，y min ＝12.15．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g x ，f x ≥g x ，f x ，f x <g x ，则F (x )的最值情况是( )A ．最大值为3，最小值为－1B ．最小值为－1，无最大值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值答案 D解析由f (x )≥g (x )得0≤x ≤3；由f (x )<g (x )，得x <0，或x >3，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，0≤x ≤3，x ，x <0或x >3.作出函数F (x )的图象(图略)，可得F (x )无最大值，无最小值．16．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )是R 上的单调减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．(1)证明设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数．(2)解由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3,3]上也是减函数，所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。

高一数学教案精选13篇

高一数学教案精选13篇高一数学集合教案篇一教学目的：(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法(2)使学生初步了解“属于”关系的意义(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：1.集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、复习引入：1.简介数集的发展，复习公约数和最小公倍数，质数与和数；2.教材中的章头引言；3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录);4.“物以类聚”，“人以群分”;5.教材中例子(P4)二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：(1)有那些概念？是如何定义的？(2)有那些符号？是如何表示的？(3)集合中元素的特性是什么？(一)集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。

高一数学第二章教案---定义域

第三教时教材：定义域目的：要求学生掌握分式函数、根式函数定义域的求法，同时掌握表示法。

过程：一、复习：1．函数的定义（近代定义） 2．函数的三要素今天研究的课题是函数的定义域—自变量x 取值的集合（或者说：原象的集合A ）叫做函数y =f (x )的定义域。

二、认定：给定函数时要指明函数的定义域。

对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。

例一、（P 54例二）求下列函数的定义域：1．21)(-=x x f 2。

23)(+=x x f 解：要使函数有意义，必须：解：要使函数有意义，必须： 02≠-x 3x +2≥0即 x ≠ 2 即 x ≥32-∴函数21)(-=x x f 的定义域是： ∴函数23)(+=x x f 的定义域是： {}2|≠x x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥32|x x 3。

xx x f -++=211)( 解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x ∴函数23)(+=x x f 的定义域是： {}21|≠-≥x x x 且例二、求下列函数的定义域：1．14)(2--=x x f 2．2143)(2-+--=x x x x f 解：要使函数有意义，必须：解：要使函数有意义，必须：142≥-x ⎩⎨⎧≠-≠-≤-≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--131********x x x x x x x 且或即： 33≤≤-x 4133≥-≤<-->⇒x x x 或或 ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： ∴函数2143)(2-+--=x x x x f 的定义域为： {x |33≤≤-x } { x |4133≥-≤<-->x x x 或或}3．=)(x f x 11111++解：要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠xx x ⇒ 2110-≠-≠≠x x x ∴函数的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≠∈21,1,0|x R x x 且 4．x x x x f -+=0)1()(解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x ∴函数xx x x f -+=0)1()(的定义域为：{}011|<<--<x x x 或 5。

高一数学经典课程教案5篇

高一数学经典课程教案5篇高一数学经典课程教案5篇高一新生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点广的特点，找寻一套行之有效的学习方法。

下面小编给大家带来关于高一数学经典课程教案，方便大家学习。

高一数学经典课程教案1一、教学目标:1.通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系.能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系.2.培养广泛联想的能力和热爱数学的态度.二、教学重点：在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系教学难点：培养广泛联想的能力和热爱数学的态度三、教学方法：探究交流法四、教学过程(一)、知识探索：阅读课文P25页。

实例分析：书上在高速公路情境下的问题。

在高速公路情景下，你能发现哪些函数关系2.对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗问题小结：1.生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满足对于一个变量的每一个值，另一个变量都有确定的值与之对应，才称它们之间有函数关系。

2.构成函数关系的两个变量，必须是对于自变量的每一个值，因变量都有确定的y值与之对应。

3.确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是因变量，另一个变量是自变量。

(二)、新课探究——函数概念1.初中关于函数的定义：2.从集合的观点出发，函数定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中的任何一个数x，在集合B中都存在确定的数f(x)与之对应，那么就把这种对应关系f叫做定义在A上的函数，记作或f：A→B，或y=f(x),x∈A.;此时x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)︱x∈A}叫作函数的值域。

习惯上我们称y是x的函数。

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§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）
第一课时单调性
一、内容与解析
(一）内容：函数单调性的概念
（二）解析：函数单调性研究的是函数值随自变量的变化规律；其核心是从定量的角度探讨自变量增大时，函数值的大小变化；理解它关键在于如何从图象的变化趋势转换到式子的变化特征。

在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高。

研究了函数的单调性后可以为继续研究函数的最值奠定坚实的基础，有了用图象探究函数单调性的方法也可以为我们继续探究函数的奇偶性、用导数研究函数的单调性提供方法依据，所以研究函数的单调性在思想上、方法上都为我们继续学习提供了基础，是函数体系中的核心内容。

教学的重点是(函数单调性形式化定义的形成),解决重点的关键是让学生经历从直观到抽象，以图识数的过程，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。

二、教学目标及解析
(一)教学目标:
1. 初步了解从图象语言到符号语言的过程，体验数学概念的形成过程。

2.理解函数单调性的定义及其几何意义
(二)解析:
(1)就是指通过对函数单调性的研究，让学生经历从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

(2)就是指能用三种语言描述特别是数学符号语言描述函数的单调性的意义。

三、问题诊断分析
在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是：（1）式子的大小是如何反映函数值随自变量的增大而增大、增大而减小。

（2）单调区间是定义域的子集。

产生这些问题的原因是学生从定性描述转换到定量描述的理解不够，从变到不变的相对性理解不够.要解决这一问题,就是要从不等关系中去理解变的特征.
四、教学过程
问题与题例
（一）创设情景，揭示课题
1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
○
1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○
2 能否看出函数的最大、最小值？ ○
3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．
（2）f(x) = -x+2 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．
（3）f(x) = x 2 ○
1在区间 ____________ 上， f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． ○
2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变
化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

（二）研探新知
1、y = x 2的图象在y 轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：
函数y = x 2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x 1，
x 2，当x 1＜x 2时，都有x 12＜x 22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。

2．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，
如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．
3、从函数图象上可以看到，y= x 2的图象在y 轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？
注意：
○
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1， x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．
4．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
（三）质疑答辩，发展思维。

根据函数图象说明函数的单调性．
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单
调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：略
点评：从图像中看出函数的单调区间是立即单调性的基础。

变式训练1函数x
∈
[-
x上的单调性为（）
f2
x
)
(=在]2,1
A.减函数
B.增函数.
C.先增后减.
D.先减后增
五、目标检测
《优化设计》1.5.1《自我测评》
六、课堂小结
本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.。