最新人教A版必修2高中数学 2.4.2.4直线与圆的方程的应用(2)教案
人教A版高中数学必修二《圆的一般方程》教学设计
《4.1.2圆的一般方程》教学设计一、教材分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.二、目标分析知识与技能：(1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点(2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径(3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。
(3)增强学生应用数学的意识.情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。
(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.教学重点： (1)．圆的一般方程。
(2)．待定系数法求圆的方程。
教学难点： (1)．圆的一般方程的应用。
(2)．待定系数法求圆的方程及选用合适的圆方程。
三、教学内容与过程一、复习引入圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=把圆的标准方程展开，并整理得220x y Dx Ey F ++++=思考：此方程都能表示圆么？二、课堂探究观察下列各式，先将它们分别配方，然后分析它们是否表示圆？（设计意图）通过对这两个问题的探究，.一方面引导学生22(1)2410+-++=x y x y 22(2)2460+--+=x y x y回顾了旧知，另一方面，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到研究圆的方程上来，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。
人教A版高中数学必修二《圆的标准方程》教学设计
一、内容及其解析
本节课的教学内容是圆的标准方程，圆是平面解析几何中重要的几何模型，是研究圆锥曲线与方程的重要基础.
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过建立平面直角坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来.因此在教学过程中，要始终贯穿坐标法中一重要思想,在学习圆与方程这一章节后,使学生初步形成坐标法的基本思想和步骤.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后将代数运算结果“翻译”成相应的几何结论。
解此方程组,得
所以 的外接圆的方程是
练习2：已知圆心为 的圆经过点 ，且圆心 在直线 上，求圆心为 的圆的标准方程.
设计意图：进一步强化圆的标准方程的运用，使学生在不同的背景中熟悉常见的几何模型，能根据题设条件选择适当的方法来解决问题.
师生活动：激活学生思维，借助图形，让学生分析题设的几何特征，描述本题的算法，教师同步展示解答过程.启发引导学生思考教科书第120页的问题，归纳求圆的标准方程的两种方法.最后可以让学生尝试运用另一种方法解答问题7和问题8.
半径 的大小等于圆上任意一点 到圆心 的距离,
圆心为 的圆就是集合
由两点间距离公式,点 的坐标适合的条件可以表示为
式两边平方,得
(1)
若点 在圆上,则由上述讨论知,点 的坐标适合方程(1);反之,若点 的坐标适合方程(1),这说明点 与圆心 的距离为 ,即点 在圆心为 的圆上.我们把方程(1)称为圆心为 ,半径为 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程.
3.能力素养：重点提升学生的数学抽象、数学建模、直观想象能力。通过具体事例，让学生在自己的操作与思考中，抽象并概括圆的标准方程的概念、建立圆的标准方程的代数模型，学会利用几何图形理解和解决数学问题.关注现代信息技术工具的运用.
人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系教案(2)
4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系整体设计教学分析学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法.解决问题的方法主要是几何法和代数法.其中几何法应该是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d 后,比较与半径r 的关系从而作出判断.适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”,并与“几何法”欣赏比较,以决优劣,从而也深化了基本的“几何法”.含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,要控制难度.虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质. 三维目标1.理解直线与圆的位置关系,明确直线与圆的三种位置关系的判定方法,培养学生数形结合的数学思想.2.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形,明确数与形的统一性和联系性. 重点难点教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 课时安排 2课时教学过程第1课时 导入新课思路1.平面解析几何是高考的重点和热点内容,每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题,考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等,本节主要学习直线与圆的关系.思路2.(复习导入)(1)直线方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零).(2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆心为(a,b),半径为r.(3)圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(其中D 2+E 2-4F ＞0)，圆心为(-2D ,-2E ),半径为21F E D 422-+.推进新课 新知探究 提出问题①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类？ ②在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？③如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？④判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？讨论结果：①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种.直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d 与半径r 的关系图形相交 两个 d ＜r 相切 只有一个 d=r相离没有d ＞r二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系. ④直线与圆的位置关系的判断方法： 几何方法步骤： 1°把直线方程化为一般式,求出圆心和半径. 2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离. 3°作判断：当d ＞r 时,直线与圆相离；当d=r 时,直线与圆相切;当d ＜r 时,直线与圆相交. 代数方法步骤： 1°将直线方程与圆的方程联立成方程组. 2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程. 3°求出其判别式Δ的值. 4°比较Δ与0的大小关系,若Δ＞0,则直线与圆相离；若Δ=0,则直线与圆相切;若Δ＜0,则直线与圆相交.反之也成立. 应用示例思路1例1 已知直线l ：3x+y-6=0和圆心为C 的圆x 2+y 2-2y-4=0,判断直线l 与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标.活动:学生思考或交流,回顾判断的方法与步骤,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价;方法一,判断直线l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系. 解法一:由直线l 与圆的方程,得⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-+)2(.042)1(,06322y y x y x消去y,得x 2-3x+2=0,因为Δ=(-3)2-4×1×2=1＞0,所以直线l 与圆相交,有两个公共点.解法二：圆x 2+y 2-2y-4=0可化为x 2+(y-1)2=5,其圆心C 的坐标为(0,1),半径长为5,圆心C 到直线l 的距离d=2213|1603|+-+⨯=105＜5.所以直线l 与圆相交,有两个公共点.由x 2-3x+2=0,得x 1=2,x 2=1.把x 1=2代入方程①,得y 1=0;把x 2=1代入方程①,得y 2=3.所以直线l 与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别是(2,0)和(1,3).点评:比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是若要求交点,仍需联立方程组求解.例2 已知圆的方程是x 2+y 2=2,直线y=x+b,当b 为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点没有公共点.活动:学生思考或交流,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价.我们知道,判断直线l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解,或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.反过来,当已知圆与直线的位置关系时,也可求字母的取值范围,所求曲线公共点问题可转化为b 为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+bx y y x ,222有两组不同实数根、有两组相同实根、无实根的问题.圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题,可转化为b 为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题.解法一:若直线l ：y=x+b 和圆x 2+y 2=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点,则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+bx y y x ,222有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,消去y,得2x 2+2bx+b 2-2=0,所以Δ=(2b)2-4×2(b 2-2)=16-4b 2.所以,当Δ=16-4b 2＞0,即-2＜b ＜2时,圆与直线有两个公共点；当Δ=16-4b 2=0,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；当Δ=16-4b 2＜0,即b ＞2或b ＜-2时,圆与直线没有公共点.解法二：圆x 2+y 2=2的圆心C 的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C 到直线l:y=x+b 的距离d=2||11|0101|22b b =+-⨯+⨯-.当d ＞r 时,即2||b ＞2,即|b|＞2,即b ＞2或b ＜-2时,圆与直线没有公共点;当d=r 时,即2||b =2,即|b|=2,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；当d ＜r 时,即2||b ＜2,即|b|＜2,即-2＜b ＜2时,圆与直线有两个公共点.点评：由于圆的特殊性,判断圆与直线的位置关系,多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法,而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断,则需要利用方程组解的个数来判断. 变式训练已知直线l 过点P(4,0),且与圆O ：x 2+y 2=8相交,求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解法一：设直线l 的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因为直线l 与圆O 相交,所以圆心O 到直线l 的距离小于半径, 即1|4|2+-k k ＜22,化简得k 2＜1,所以-1＜k ＜1,即-1＜tanα＜1.当0≤tanα＜1时,0≤α＜4π；当-1＜tanα＜0时,43π＜α＜π.所以α的取值范围是［0,4π)∪(43π,π).解法二：设直线l 的方程为y=k(x-4),由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,8),4(22y x x k y ,消去y 得(k 2+1)x 2-8k 2x+16k 2-8=0. 因为直线l 与圆O 相交,所以Δ=(-8k 2)2-4(k 2+1)(16k 2-8)＞0,化简得k 2＜1.(以下同解法一) 点评:涉及直线与圆的位置关系的问题,常可运用以上两种方法.本题若改为选择题或填空题,也可利用图形直接得到答案.思路2例1 已知圆的方程是x 2+y 2=r 2,求经过圆上一点M(x 0,y 0)的切线方程.活动:学生思考讨论,教师提示学生解题的思路,引导学生回顾直线方程的求法,既考虑通法又考虑图形的几何性质.此切线过点(x 0,y 0),要确定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系数法(或直接求解).直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径,切线与法线垂直. 解法一:当点M 不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM 的斜率为k 1, 因为圆的切线垂直于过切点的半径,所以k=-11k . 因为k 1=00x y 所以k=-00y x .所以经过点M 的切线方程是y-y 0=-00y x(x-x 0). 整理得x 0x+y 0y=x 02+y 02.又因为点M(x 0,y 0)在圆上,所以x 02+y 02=r 2.所以所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2.当点M 在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.解法二:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当P 与M 不重合时,△OPM 为直角三角形,OP 为斜边,所以OP 2=OM 2+MP 2,即x 2+y 2=x 02+y 02+(x-x 0)2+(y-y 0)2.整理得x 0x+y 0y=r 2.可以验证,当P 与M 重合时同样适合上式,故所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2. 解法三:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当点M 不在坐标轴上时,由OM ⊥MP 得k OM ·k MP =-1,即00x y ·xx yy --00=-1,整理得x 0x+y 0y=r 2.可以验证,当点M 在坐标轴上时,P 与M 重合,同样适合上式,故所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2.点评:如果已知圆上一点的坐标,我们可直接利用上述方程写出过这一点的切线方程. 变式训练求过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r 2上一点M(x 0,y 0)的圆的切线方程.解:设x 0≠a,y 0≠b,所求切线斜率为k,则由圆的切线垂直于过切点的半径,得k=by a x k CM---=-001,所以所求方程为y-y 0=by a x ---00(x-x 0),即(y-b)(y 0-b)+(x-a)(x 0-a)=(x 0-a)2+ (y 0-b)2.又点M(x 0,y 0)在圆上,则有(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2.代入上式,得(y-b)(y 0-b)+(x-a)(x 0-a)=r 2.当x 0=a,y 0=b 时仍然成立,所以过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r 2上一点M(x 0,y 0)的圆的切线方程为(y-b)(y 0-b)+(x-a)(x 0-a)=r 2.例2 从点P(4,5)向圆(x －2)2＋y 2=4引切线,求切线方程.活动:学生思考交流,提出解题的方法,回想直线方程的求法,先验证点与圆的位置关系,再利用几何性质解题.解:把点P(4,5)代入(x －2)2＋y 2=4,得(4－2)2＋52=29＞4,所以点P 在圆(x －2)2＋y 2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y －5=k(x －4),即kx －y ＋5－4k=0.又圆心坐标为(2,0),r=2.因为圆心到切线的距离等于半径,即1|4502|2+-+-k k k =2,k=2021. 所以切线方程为21x －20y ＋16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x=4.点评:过圆外已知点P(x,y)的圆的切线必有两条,一般可设切线斜率为k,写出点斜式方程,再利用圆心到切线的距离等于半径,写出有关k 的方程.求出k,因为有两条,所以应有两个不同的k 值,当求得的k 值只有一个时,说明有一条切线斜率不存在,即为垂直于x 轴的直线,所以补上一条切线x=x 1. 变式训练求过点M(3,1),且与圆(x-1)2+y 2=4相切的直线l 的方程. 解:设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0, 因为圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2, 所以22)1(|13|-++-k k k =2,解得k=-43. 所以切线方程为y-1=-43(x-3),即3x+4y-13=0. 当过点M 的直线的斜率不存在时,其方程为x=3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2,故直线x=3也符合题意.所以直线l 的方程是3x+4y-12=0或x=3.例3 (1)已知直线l ：y=x+b 与曲线C ：y=21x -有两个不同的公共点,求实数b 的取值范围；(2)若关于x 的不等式21x -＞x+b 解集为R ,求实数b 的取值范围.图1解:(1)如图1(数形结合),方程y=x+b 表示斜率为1,在y 轴上截距为b 的直线l ； 方程y=21x -表示单位圆在x 轴上及其上方的半圆, 当直线过B 点时,它与半圆交于两点,此时b=1,直线记为l 1； 当直线与半圆相切时,b=2,直线记为l 2.直线l 要与半圆有两个不同的公共点,必须满足l 在l 1与l 2之间(包括l 1但不包括l 2), 所以1≤b ＜2,即所求的b 的取值范围是［1,2).(2)不等式21x -＞x+b 恒成立,即半圆y=21x -在直线y=x+b 上方, 当直线l 过点(1,0)时,b=-1,所以所求的b 的取值范围是(-∞,-1). 点评:利用数形结合解题,有时非常方便直观. 知能训练本节练习2、3、4. 拓展提升圆x 2+y 2=8内有一点P 0(-1,2),AB 为过点P 0且倾斜角为α的弦. (1)当α=43π时,求AB 的长； (2)当AB 的长最短时,求直线AB 的方程. 解:(1)当α=43π时,直线AB 的斜率为k=tan 43π=-1,所以直线AB 的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1.解法一：(用弦长公式)由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,8,122y x x y 消去y,得2x 2-2x-7=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=1,x 1x 2=-27, 所以|AB|=2)1(1-+|x 1-x 2|=2·212214)(x x x x -+=2·)27(41-⨯-=30.解法二：(几何法)弦心距d=21,半径r=22,弦长|AB|=230218222=-=-dr . (2)当AB 的长最短时,OP 0⊥AB,因为k OP0=-2,k AB =21,直线AB 的方程为y-2=21(x+1), 即x-2y+5=0.课堂小结(1)判断直线与圆的位置关系的方法:几何法和代数法. (2)求切线方程. 作业习题4.2 A 组1、2、3.设计感想本节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的,是为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课.本节的主题是直线和圆,在解析几何中,直线与圆的关系是一个非常重要的知识点,可以对学生的思维有一个很好的锻炼,将几种重要的数学思想灌输给学生.首先,一开始的复习提问全面又突出重点,特别是“初中学习的如何判断直线和圆的位置关系？”这个问题,为学生思考提供了很好的引导.其次对于例题的选择有很高的要求,好的例题是一个好教案的重要保证.在例题的设计方面,本教案共分为三个层次来一步步的推进,让学生由浅入深,从思维容量上层层递进,对学生的思考和分析都有很好的引导作用,通过思路1的例题1、2对直线与圆的几种位置关系作了巩固,是每个学生都必须也能够掌握的.但这几题虽是基础题也并不是平淡无奇的题,它印证了判定的条件和结论在一定条件下是可以转化的.通过思路2的例题1、2,对圆的切线方程的求法进行了说明和总结.这个知识点与“直线与圆”联系起来,而且同时又渗透了数形结合的思想.让学生通过具体的练习,通过自主地思考、研究,来体会数学思想对我们解题和研究的作用.例题3的设计给学生留下了讨论的空间,不仅将与直线与圆有关的各知识点联系了起来,而且还通过各知识点之间的联系、综合应用,组织学生一起思考起来,对应用的加强更是体现了“分类活动,激发潜能”的基本要求.。
.4.2.4直线与圆的方程的应用(2)教案 新人教A版必修2
课题：2.4.2.4直线与圆的方程的应用(2)课 型：习题课教学目标：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．教学重点、难点：直线与圆的方程的应用．教学过程：一、作业讲评：课本132p 习题4.2A 组第8，11题.B 组第1题二、讲练结合：1． 如果方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F+-）所表示的曲线关于直线0x y +=对称，那么必有（ B ）A ．D=E B.D+E=0 C.E+F=0 D.以上都不对2．从点P （x ，3）向圆22(2)(2)1x y +++=作切线，则切线长度的最小值等于 。
答案：3．自点P(-3,-3)发出的光线经x 轴反射,其反射光线正好与圆22(2)(2)1x y -+-=相切,求入射光线l 所在的直线方程 .答案：4330x y ++=或3430x y +-=4． 已知圆C 满足（1）截y 轴所得弦长为2；（2）被x 轴分成两段弧，其弧长之比为3：1；（3）圆心到直线l ：x -2y=0的距离为5，求该圆的方程。
答案：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=5．已知圆C ：222x y r +=（r 0）与直线l ：40x y -+=，（1）试问r 分别取何值时，圆C 上恰有一点到l 的距离等于1；圆C 上恰有两点到l 的距离等于1；圆C 上恰有三点到l 的距离等于1。
（2）圆C 上最多有几个点到l 的距离等于1？答案：（1）1r =；1221r +；1r =（2）最多有四个点。
6. 已知圆O ：229x y +=,求过A(1,2)所作的圆O 的弦MN 的中点P 的轨迹.答案：以(12,1)为圆心. 小结方法: 用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．课堂练习： 课本144p 复习参考题A 组第6，8题; B 组第3题;课后作业：课本133p 习题4.2B 组第2，4，5题课后记:小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的方程的应用》教案
《直线与圆的方程的应用》教案教学目标1．理解直线与圆的位置关系的几何性质，掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用；2．能够利用坐标法解决一些直线与圆的位置关系问题；会用“数形结合”的数学思想解决问题．3．让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力．教学重点难点1．重点：掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用．2．难点：掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用．教法与学法1．教法选择：启发式教学法 .2．学法指导：复习旧知，积极参与，主动提问，动手操作，归纳小结．教学过程一、复习巩固突出主题例1：某圆拱形桥一孔圆拱的示意图（如图），这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0．01m）．在教学中，教师可以利用计算机演示一下显示的拱形桥的样貌，有利于学生的抽象思维的发展．本题的关键是建立平面直角坐标系．分析：首先建立直角坐标系，把一个实际问题转化为数学问题，然后解决这个数学问题，只需求出P2的纵坐标，就可得出支柱A2P2的高度．解：建立如图所示的直角坐标系，使圆心用坐标法解决实际问题．在y 轴上，设圆心的坐标是（0，b ），圆的半径为r ，那么圆的方程为：x 2＋（y －b ）2＝r 2因为点P （0,4），B （10,0）在圆上，所以，有2222220(4)10b rb r ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得：2210.514.5b r =-⎧⎨=⎩ 所以，圆的方程为：222(10.5)14.5x y ++=把P 2的横坐标x ＝－2代入圆的方程，得222(2)(10.5)14.5y -++=，由题可知y ＞0， 解得：y ＝3.86答：支柱A 2P 2的高度约为3.86米．思考：如果不建立坐标系，你能解决这个问题吗？（可以采用用综合法解决此问题．可以让学生比较“综合法”与“坐标法”，目的在于为了说明坐标法解决问题的优越性．）例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．分析：如图，选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴．析”中，指出建立直角坐标系时应该注意选择图形中互相垂直的两条直线作为轴与可能使得所设计的点位于坐标轴上，因为这样做可以使问题简化，利于解题．三、拓展提升，课堂交流某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线AC 上(C 为垂足),且距C 分别为2a 和a (a ＞0)的点A 和B ,进攻队员沿直线AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD 和BM 交于M ,若在M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD 应为什么方向才能取胜?学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系.解:如题图,以l 为x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v ,则进攻队员速度为2v ,设点M 坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M 所需时间分别为t 1=||2AM v ,t 2=||BM v． 若t 1＜t 2,则|AM |＜2|BM |,即2222(2)2()x y a x y a +-<+-．注意联系实际重视数学在生产、生活和相关学科中的应用解决有关实际问题时确题意立数学模型的基本方法．四、归纳小结，课堂延展1．教材地位分析：《直线与圆的方程的应用》是《直线、圆的位置关系》最后一课，是在学习了《直线与圆的位置关系》、《圆与圆的位置关系》之后学习的．学习知识的目的在应用，本节课的内容是利用坐标法研究直线与圆的方程在实际生活中的应用，充分体现出学习数学价值所在，因为其思想方法已经在前面讲过，因此，本节课在教材中起到了巩固和总结的作用．2．学生现实状况分析：学生已经知道了《直线、圆的位置关系》的相关基础知识和思想方法，本节课是这些知识和思想方法的应用．数学应用对于学生来说是一个薄弱的地方，往往是因为不能将问题抽象成数学模型或学生信心不足所导致，所以在教学过程中，要及时发现，及时引导，做好解题的引导．3．本节课是在教师的引导下,对已学知识进行归纳、总结,以形成更系统、更完整的体系；对已学知识进一步加深理解,强化记忆,是一个再认识,再学习的过程,对已掌握的技能、规律、方法进行深化和进一步熟悉,从而提高学生分析、理解问题的能力．。
人教版高中数学必修2-4.2《直线与圆的方程应用》教学设计
4.2 直线、圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程应用(朱海军)一、教学目标（一）核心素养通过直线与圆方程的综合应用，熟练掌握使用代数法来解决问题的方法. （二）学习目标1.坐标法解决直线和圆的应用问题（分析，建系，抽象出数学问题）.2.与圆有关的最值问题.3.与圆有关的中点弦问题.（三）学习重点综合使用直线与圆的方程来解决问题.（四）学习难点1.将实际问题转化为数学问题.2.在运用坐标系证明几何问题时，合理建立直角坐标系的方法.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材中的例题4，了解将实际问题转化为数学问题的具体例子；（2）记一记：用坐标法解决几何问题的步骤第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.（3）做一做：完成课后习题2，体会使用直线与圆方程解决问题的过程.2.预习自测（1）赵州桥的跨度是37.4米，圆拱高约为7.2米，求这座圆拱桥的拱圆方程. 【知识点】将实际问题转化为数学问题的方法.【数学思想】代数法【解题过程】放在一元二次方程中，我们可以画出拱圆图形是一个抛物线，则设拱圆的方程为c bx ax y ++=2，顶点在y 轴上若跨度两边的点在x 轴上，则方程过点（-18.75,0)、(18.75,0)、(0,7.2)，将这三个点代入方程，解出a,b,c 即可若拱圆的顶点在x 轴上,则方程过点(-18.75,-7.2)、(18.75,-7.2)、(0,0)，将这三个点代入方程，解出a,b,c 即可.但是由于此题要求的是拱圆方程，则我们必须求出的是一个圆的方程，因此我们可以设圆心坐标为原点，半径为r ，则圆拱桥的方程为222r y x =+，则有，半径与跨度一般、半径减圆拱高的线段构成一个直角三角形.有：()2222.775.18-+=r r ，解出r =28.0再代入圆的方程即可. 【思路点拨】建立直角坐标系【答案】2220.28=+y x（2）如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么xy 的最大值是________. 【知识点】直线与圆的最值问题【数学思想】化归与转化【解题过程】分析可知，x y 的最值是过原点的直线与圆相切时的直线的斜率，设:0,l kx y l d k -====则圆心到的距离则所以x y 【思路点拨】xy 看成(,)x y 与(0,0)连线的斜率【答 （3）过圆22(2)4x y +-=外一点(2,2)A -，引圆的两条切线，切点为12,T T ， 则直线12TT 的方程为________.【知识点】切线、切点弦【数学思想】方程思想【解题过程】设切点12,T T 为1122(,),(,)x y x y ，则1AT 的方程为11(2)(2)4x x y y +--=，同理2AT 的方程为22(2)(2)4x x y y +--=，则。
高中数学 (4.2.3 直线与圆的方程的应用)示范教案 新人教A版必修2
4.2.3 直线与圆的方程的应用整体设计教学分析直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.三维目标(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.重点难点教学重点：求圆的应用性问题.教学难点:直线与圆的方程的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图1在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.推进新课新知探究提出问题①你能说出直线与圆的位置关系吗？②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D 、E 、F 的三个独立的条件也可.⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.应用示例思路1例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.图2解法二：如图2,过P 2作P 2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在Rt△AOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r 2=(r-4)2+102.解得r=14.5.在Rt△CP 2H 中,有|CP 2|2=|CH|2+|P 2H|2.因为|P 2H|=|OA 2|=2,于是有|CH|2=r 2-|OA 2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=25.206-10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱A 2P 2的长度约为3.86 cm.点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择. 变式训练已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图3解:如图3,以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA 、DB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD 的外接圆的圆心O 1分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足分别为M 、N 、E,则M 、N 、E 分别为线段AC 、BD 、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得1O x =x m =2c a +,1O y =y n =2d b +,x E =2a ,y E =2d .所以|O 1E|=222221)222()222(c bd d b a c a +=-++-+. 又|BC|=22c b +,所以|O 1E|=21|BC|. 点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例2 有一种大型商品,A 、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍,已知A 、B 两地相距10 km,居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A 地近,且费用低,列方程或不等式.解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系,则A(－5,0),B(5,0).设某地P 的坐标为(x,y),且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低,并设A 地的运费为3a 元/km,则B 地运费为a 元/km.由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费,即3a 22)5(y x ++≤a 22)5(y x +-,整理得(x+425)2+y 2≤(415)2. 所以以点C(-425,0)为圆心,415为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A 地购货费用较低,圆外的居民从B 地购货费用较低,圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从A 、B 两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路2例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系,设圆的方程为x 2+y 2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0,配方得标准式(x+1+λ)2+(y-2-2λ)2=(1+λ)2+(2+2λ)2-3λ-1, ∵r 2=45λ2+λ+4=45(λ+52)2+519, ∴当λ=-52时,半径r=519最小.∴所求面积最小的圆的方程为5x 2+5y 2+6x-18y-1=0.解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)连线为直径的圆符合要求. 由⎩⎨⎧=+-++=+-,0142,03222y x y x y x 消去y,得5x 2+6x-2=0. ∴判别式Δ＞0,AB 中点横坐标x 0=221x x +=-53,纵坐标y 0=2x 0+3=59, 即圆心O′(-53,59). 又半径r=21|x 1-x 2|·221+=519, ∴所求面积最小的圆的方程是(x+53)2+(y-59)2=519. 点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x 1-x 2|·21k +;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=22d r -,其中r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离.变式训练设圆满足①截y 轴所得弦长为2,②被x 轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.图4解:关键确定圆心坐标和半径.如图4.设圆心A(a,b),则半径r=2|b|.由截y 轴的弦长为2,知a 2+1=r 2=2b 2,又圆心A 到l 的距离d=51|a-2b|, ∴5d 2=a 2+4b 2-4ab≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1,当且仅当a=b 时等号成立.这里由⎪⎩⎪⎨⎧==+=,2,1,2222r b r a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,12,1,1r b a r b a 或∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.例2 已知x,y 是实数,且x 2+y 2-4x-6y+12=0,求(1)xy 的最值;(2)x 2+y 2的最值;(3)x+y 的最值;(4)x-y 的最值.活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义.解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆. (1)xy 表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k, 故当y=kx 为圆C 的切线时,k 得最值. ∵21|32|k k +-=1,∴k=2±323. ∴xy 的最大值为2+323,最小值为2-323. (2)设x 2+y 2表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P 为直线OC 与圆C 的两交点P 1、P 2时,OP 12与OP 22分别为OP 2的最大值、最小值.∴x 2+y 2的最大值为(2232++1)2=14+213,最小值为(2232+-1)2=14-213.(3)令x+y=m,当直线l:x+y=m 与圆C 相切时,l 在y 轴上截距m 取得最值. ∵2|32|m -+=1,∴m=5±2.∴x+y 的最大值为5+2,最小值为5-2.(4)令x-y=n,当直线l′:x -y=n 与圆C 相切时,l′在y 轴上截距的相反数n 取得最值. ∵2|32|n --=1,∴n=-1±2.∴x -y 的最大值为-1+2,最小值为-1-2.点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.例3 已知圆O 的方程为x 2+y 2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.解法一:参数法(常规方法)设过A 的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k 存在时),P(x,y),则⎩⎨⎧-+==+),2(,922k kx y y x 消y,得(1+k 2)x 2+2k(2-k)x+k 2-4k-5=0.∴x 1+x 2=1)2(22+-k k k . 利用中点坐标公式及中点在直线上,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=12,1)2(22k k y k k k x (k 为参数). ∴消去k 得P 点的轨迹方程为x 2+y 2-x-2y=0,当k 不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程. ∴P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆. 解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法)设过点A 的弦MN,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).∵M、N 在圆O 上,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.9,922222121y x y x .∴相减得(x 1+x 2)+2121x x y y --·(y 1+y 2)=0(x 1≠x 2). 设P(x,y),则x=221x x +,y=221y y +. ∴M、N 、P 、A 四点共线, 2121x x y y --=12--x y (x≠1). ∴2x+12--x y ·2y=0. ∴中点P 的轨迹方程是x 2+y 2-x-2y=0(x=1时亦正确).∴点P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆. 解法三:数形结合(利用平面几何知识)由垂径定理知OP⊥PA,故P 点的轨迹是以AO 为直径的圆.(下略)点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即⎩⎨⎧==,0),(,0),(y x g y x f 消y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便.基本思路是利用弦的两个端点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得x 1+x 2、y 1+y 2、x 1-x 2、y 1-y 2等.再由弦MN 的中点P(x,y)的坐标满足x=221x x +,y=221y y +,以及直线MN 的斜率k=2121x x y y --(x 1≠x 2)等,设法消去x 1、x 2、y 1、y 2,即可得弦MN 的中点P 的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁.学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质;③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法; ④理论与实际结合:学以致用,创造开拓.知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线AC 上(C 为垂足),且距C 分别为2a 和a(a ＞0)的点A 和B,进攻队员沿直线AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD 和BM 交于M,若在M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD 应为什么方向才能取胜?图5解:如图5,以l 为x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点M 坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M 所需时间分别为t 1=v AM 2||,t 2=v BM ||. 若t 1＜t 2,则|AM|＜2|BM|,即2222)(2)2(a y x a y x -+<-+.整理,得x 2+(y-32a)2＞(32a)2,这说明点M 应在圆E:x 2+(y-32a)2=(32a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN 为圆E 的切线,N 为切点,在Rt△AEN 中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线AD 与AC 所成角大于30°即可.课堂小结1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.作业习题4.2 B组2、3、5.设计感想本节课是在教师的引导下,对已学知识进行归纳、总结,以形成更系统、更完整的体系；对已学知识进一步加深理解,强化记忆,是一个再认识,再学习的过程,对已掌握的技能、规律、方法进行深化和进一步熟悉,提高学生分析、理解问题的能力.例题设置目的在于“以点带面,举一反三”.能抓住问题的本质举一反三；思路1通过新旧知识联系,加强横向沟通,考查学生是否具有多角度思考问题、利用不同的方法解决问题的能力,重在应用.思路2注重在课堂上进行解题方法的讨论,有助于活跃学生思维,促进发散思维的培养,提高思维灵活性,抓住数形结合的数学思想,总结解题规律,充分体现解析几何的研究方法.。
高中数学人教A版必修2《4.2.3直线与圆的方程的应用》教学案3
必修二《4.2.3直线与圆的方程应用》教学案学习目标(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题．学习重点直线与圆的方程的应用．学习难点直线与圆的方程的应用．教学设计一、目标展示二、自主学习三、合作探究直线与圆的方程的应用非常广泛，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决．本节我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用．四、精讲点拨例1如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m)．跟踪训练1一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km处，受影响的范围是半径长为20km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北30km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．跟踪训练2Rt△ABC的斜边BC为定长m，以斜边的中点O为圆心作半径为定长n的圆，BC所在直线交此圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．例3．某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m．现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？跟踪训练3设半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？五、达标检测1．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过 ( )A．1.4米B．3.0米C．3.6米D．4.5米2．方程y＝1－x2表示的图形是( )3．如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的取值范围是___________．六、课堂小结1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．课后作业习题4．2B组：1、2．教后反思。
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6. 已知圆O： x 2 y 2 9 ,求过A(1,2)所作的圆O的弦MN的中点P的轨迹. 答案：以(
5 1 ,1)为圆心, 为半径的圆. 2 2
小结方法: 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元 素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 课堂练习： 课本 p144 复习参考题A组第6，8题; B组第3题; 课后作业：课本 p133 习题4.2B组第2，4，5题 课后记:
答案： 4 x 3 y 3 0 或 3 x 4 y 3 0 4． 已知圆C满足（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段弧，其弧长之比为3 ：1；（3）圆心到直线 l ：x 2y=0的距离为
案： ( x 1) 2 ( y 1) 2 2 或 ( x 1) 2 ( y 1) 2 2 5．已知圆C： x 2 y 2 r 2 （r 0）与直线 l ： x y 4 0 ，（1）试问r分 别取何值时，圆C上恰有一点到 l 的距离等于1；圆C上恰有两点到 l 的距离等于1 ；圆C 上恰有三点到 l 的距离等于1。（2）圆C 上最多有几个点到 l 的距离等于1？ 答案：（1） r 2 2 1 ； 2 2 1 r 2 2 1 ； r 2 2 1 （2）最多有四 个点。
2
课题：2.4.2.4直线与圆的方程的应用(2)
课
型：习题课
教学目标：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质； （2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； （3）会用“数形结合”的数学思想解决问题． 教学重点、难点：直线与圆的方程的应用． 教学过程： 一、作业讲评：课本 p132 习题4.2A组第8，11题.B组第1题 二、讲练结合： 1． 如果方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 （ D 2 E 2 4 F 0 ）所表示的曲线关于直线
x y 0 对称，那么必有（ B
） C.E+F=0 D.以上都不对
A．D=E
B.D+E=0
2．从点P（x，3）向圆 ( x 2) 2 ( y 2) 2 1 作切线，则切线长度的最小值等 于 。 答案： 2 6 3．自点P(-3,-3)发出的光线经x轴反射,其反射光线正好与圆
( x 2) 2 ( y 2) 2 1 相切,求入射光线 l 所在的直线方程 .