河北省百校联盟2016届高三上学期新课标大联考(一)数学文试题
2016年全国统一高考数学试卷文科全国一附带答案解析
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1即3b n=b n．+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用=，求；（Ⅱ）直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
2016年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第一模拟）一、选择题：共12题1．已知全集为R,集合A={x|x-1≥0},B={x|x2-5x+6≥0},则A∪B=A.[2,3]B.(2,3)C.[1,+∞)D.R【答案】D【解析】本题考查一元二次不等式的解法、集合的运算.先求出两个集合A,B,再利用集合知识结合数轴求解即可.A={x|x-1≥0}=[1,+∞),B={x|x2-5x+6≥0}={x|x≤2或x≥3},A∪B=R.2．已知复数z满足z+i=(i为虚数单位),则|z|=A. B. C. D.1【答案】A【解析】本题主要考查复数的运算、复数的模.解题时,利用复数的乘、除法运算求出z即可解决.由题意可得z=-i==1-2i,故|z|=,选A.3．已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是A.44,45,56B.44,43,57C.44,43,56D.45,43,57【答案】B【解析】本题主要考查茎叶图, 样本的中位数、众数、极差等,读懂茎叶图是解题的关键.由茎叶图可知全部数据为10,11,20,21,22,24,31,33,35,35,37,38,43,43,43,45,46,47,48,49,50,51,52,52,55,56,58,62,66,67,中位数为=44,众数为43,极差为67-10=57.选B.4．已知直线y=kx+3与圆x2+(y+3)2=16相交于A,B两点,则“k=2 ”是“|AB|=4”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆相交、充要关系等知识,考查考生的运算能力与推理能力.易得圆心为(0,-3),半径为4,圆心(0,-3)到直线y=kx+3的距离d=,弦长的一半为=2,故d==2=,解得k2=8,可得k=2或k=-2,故“k=2 ”是“|AB|=4”的充分不必要条件,故选A.5．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(|φ|<,ω>0)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P(,1),在原点右侧与x轴的第一个交点为Q(,0),则f()的值为A.1B.C.D.【解析】本题主要考查三角函数的图象、性质,先根据条件求出ω,φ的值,再求出f()的值即可.f(x)=sin(ωx+φ),由题意得-,所以T=π,所以ω=2, 将点P(,1)代入f(x)=sin(2x+φ),得sin(2×+φ)=1,所以φ=+2kπ(k∈Z).又|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin(2x+)(x∈R),所以f()=sin(2×+)=sin,选C.6．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为1,则输出S的值为A.89B.82C.27D.24【答案】A【解析】本题考查程序框图的知识,按照程序框图中箭头的方向和每个框的指令要求运行即可求解.因为输入x的值为1,执行循环可知,S=2,x=2;S=7,x=4;S=24,x=8;S=89,此时满足输出条件, 故输出S的值为89.选A.7．已知P(x,y)为平面区域(a>0)内的任意一点,当该区域的面积为3时,z=2x-y的最大值是A.1B.3C.2D.6【解析】本题主要考查线性规划的相关知识.解题的关键是正确作出不等式组表示的平面区域,进而利用图形求解.先作出可行域如图中阴影部分所示,则可行域的面积S=(2a+2a+2)×1=3,解得a=1,平移直线y=2x,得z=2x-y在点(2,-2)处取得最大值6,故选D.8．已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,都有f[f(x)-e x]=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln 2)=A.1B.e+1C.3D.e+3【答案】C【解析】本题考查函数值的计算,利用换元法得到函数f(x)的解析式是解决本题的关键.设t=f(x)-e x,则f(x)=e x+t,则f[f(x)-e x]=e+1等价于f(t)=e+1,令x=t,则f(t)=e t+t=e+1,分析可知t=1,∴f(x)=e x+1,即f(ln 2)=e ln 2+1=2+1=3.故选C.9．已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查三视图、几何体的体积等,考查考生的计算能力、空间想象能力.将三视图还原为几何体的直观图是解题的关键.由三视图可知该几何体的直观图如图所示,所以体积为1×1×1-×1×1×1+×1×(1+2)×1=,故选B.10．已知△ABC的三个内角A,B,C所对的三边分别为a,b,c,若△ABC的面积为24,c=13,tan A=,则a的值为A.8B.14C.D.12【答案】C【解析】本题主要考查解三角形的知识,考查考生的计算能力,属于中档题.解答时可以先求出sin A与cos A的值,再利用面积公式求出b的值,最后利用余弦定理求出a的值.因为tan A=,0<A<π,所以sin A=,cos A=,由bc sin A=24,得×13×b×=24,得b=4,所以a2=b2+c2-2bc cos A=42+132-2×4×13×=16+169-40=145,所以a=,选C.11．设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S4=-2,S5=0,S6=3,则nS n的最小值为A.-3B.-5C.-6D.-9【答案】D【解析】本题考查数列的知识.解题时,先求出a5及a6的值,从而确定等差数列{a n}的公差,再利用前n项和公式求出a1的值,最后写出nS n的表达式,利用导数知识求其最小值.由已知得,a5=S5-S4=2,a6=S6-S5=3,因为数列{a n}为等差数列,所以公差d=a6-a5=1.又S5==0,所以a1=-2,故S n=-2n+,即nS n=,令f(x)=(x>0),则f'(x)=x2-5x,令f'(x)>0,得x>,令f'(x)<0,得0<x<.又n为正整数,所以当n=3时,nS n=取得最小值,即nS n的最小值为-9.选D.12．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的垂直平分线经过点(0,2),M为抛物线上的一个动点,则M到直线l1:5x-4y+4=0和l2:x=-的距离之和的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查抛物线的定义、方程,点到直线的距离公式,直线与抛物线的相交弦问题.首先根据题意利用条件得到抛物线的准线方程,然后可设直线AB的方程为y=x-,与抛物线方程联立,结合根与系数的关系求出线段AB的中点,再根据条件求出AB垂直平分线的方程,从而得到p的值,最后根据抛物线的定义求距离之和的最小值.抛物线的焦点为F(,0),准线为x=-,故直线AB的方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),由⇒x2-3px+=0,所以x1+x2=3p,y1+y2=2p,故线段AB的中点坐标为(,p),又AB的垂直平分线经过点(0,2),故AB 垂直平分线的方程为y=-x+2,故p=-+2,p=,x=-是抛物线的准线,作MC⊥l1于点C,MD⊥l2于点D,如图所示,由抛物线的定义知|MD|=|MF|,当M,C,F三点共线且点M位于C,F之间时,距离之和最小,其值是F(,0)到l1:5x-4y+4=0的距离,由点到直线的距离公式可得其距离d=.二、填空题：共4题13．已知向量a=(1,2),b=(0,-1),c=(k,-2),若(a-2b)⊥c,则实数k的值是.【答案】8【解析】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直等知识,考查考生对向量的运算和向量垂直的充要条件的理解和应用.根据题意可知,向量a-2b=(1,4),又(a-2b)⊥c,则k-8=0,解得k=8.14．已知点P(1,2)在角θ的终边上,则sin(2θ+)+sin(2θ+2π)=.【答案】【解析】本题主要考查任意角的三角函数的定义、三角函数的诱导公式和二倍角公式等,考查考生的运算能力.由已知得|OP|==3,则sinθ=,cosθ=,故sin(2θ+)+sin(2θ+2π)=cos 2θ+sin 2θ=2cos2θ-1+2sinθ·cosθ=2×-1+2×.15．如图所示,已知两个圆锥有公共底面,且底面半径r=1,两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的高的比值为,则球的半径R=.【答案】【解析】本题主要考查圆锥的外接球问题.解题的关键是根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O.根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O,且AB⊥O1C,所以OO1=,因此体积较小的圆锥的高AO1=R-,体积较大的圆锥的高BO1=R+,故,化简得R=2,即3R2=4,得R=.16．已知函数f(x)=ln x-mx在(0,+∞)上无零点,则实数m的取值范围为.【答案】(,+∞)【解析】本题主要考查利用导数的知识解决有关函数的零点问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.函数f(x)=ln x-mx在(0,+∞)上无零点,等价于方程=m在(0,+∞)上无解.令h(x)=,则h'(x)=,令h'(x)=0,得x=e.则h(x),h'(x)随x的变化情况如下表:因为x=e是函数h(x)唯一的极大值点,故h(x)max=h(e)=,故要使方程=m在(0,+∞)上无解,当且仅当m>,故实数m的取值范围为(,+∞).三、解答题：共8题17．已知首项为,公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n,且S3,S2,S4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=n|a n|,数列{b n}的前n项和为T n,求T n.【答案】(1)通解设数列{a n}的公比为q,由题意得2S2=S3+S4,q≠1,∴2×+.化简得q2+q-2=0,得q=-2,又数列{a n}的首项为,∴a n=×(-2)n-1.优解设数列{a n}的公比为q,由题意得2S2=S3+S4,即(S4-S2)+(S3-S2)=0,即(a4+a3)+a3=0,∴=-2,∴公比q=-2.又数列{a n}的首项为,∴a n=×(-2)n-1.(2)b n=n|a n|=n××2n-1=×n×2n,∴T n=b1+b2+b3+…+b n=(1×2+2×22+3×23+…+n×2n), ①2T n=(1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1), ②-②得,-T n=×[-n×2n+1],∴T n=+(n-1)×2n.【解析】本题主要考查等比数列的概念、通项公式、前n项和公式等基础知识,考查数列的求和等,考查考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.解答第(1)问要充分利用已知条件2S2=S3+S4求出{a n}的通项公式;解答第(2)问要先求出{b n}的通项公式,再利用错位相减法求解即可.【备注】(1)等差数列与等比数列的运算问题主要集中在通项公式与前n项和公式上,通常只要抓住这两种数列的首项与公差(公比)即可完成求解;(2)非等差、等比数列的求和问题,在解答题中通常集中在裂项相消法和错位相减法上,这是在数列备考中必须重视的两种方法.18．某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位:百元)内的手机的利润情况,从2015年度销售的一批手机中随机抽取75部,按其价格分成5组,频数分布表如下:(1)用分层抽样的方法从价格在区间[5,10)、[10,15)和[20,25)内的手机中共抽取6部,其中价格在区间[20,25)内的有几部?(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部,求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率.【答案】(1)因为在区间[5,10)、[10,15)和[20,25)内的手机的数量之比为5∶10∶15=1∶2∶3,所以抽取的6部手机中价格在区间[20,25)内的有6×=3部.(2)设这6部手机中价格在区间[5,10)内的为a,在区间[10,15)内的分别为b1,b2,在区间[20,25)内的分别为c1,c2,c3,从中任取2部,可能的情况有(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15种;设“价格在区间[10,15)内的手机至少有1部”为事件A,则事件A包含的情况有(a,b1),(a,b2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共9种.故P(A)=.【解析】本题考查统计中的频数分布表、分层抽样、古典概型等知识.对于第(1)问,要先求出各层抽取的手机数量之比,然后再求出价格在区间[20,25)内的手机的数量;对于第(2)问,要利用列举法写出从(1)中抽出的6部手机中任取2部的总结果数,再写出价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的结果数,利用古典概型的概率计算公式即可求解.【备注】概率问题是近几年新课标高考的热点,利用频率分布直方图解答实际问题是当今命题的新亮点.这类题往往借助于熟悉的知识点,结合实际生活中比较新颖的问题进行命制,在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有涉及,以解答题形式出现的试题常常设计成包含统计图表的识别、古典概型概率的计算等知识为主的综合题.19．如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AC与BD交于点O,E,F分别是DC,SC 的中点,∠ADC=60°,SA=1,AB=SC=2,SB=,平面SAB⊥底面ABC.(1)求证:平面OEF∥平面SAD;(2)求三棱锥S-ACD的表面积.【答案】(1)在△CSD中,因为E,F分别是DC,SC的中点,所以EF∥DS,又EF⊄平面SAD,DS⊂平面SAD,所以EF∥平面SAD.又O为AC的中点,则OE∥AD,又OE⊄平面SAD,AD⊂平面SAD,所以OE∥平面SAD,又EF∩OE=E,所以平面OEF∥平面SAD.(2)因为SA=1,AB=2,SB=,SA2+AB2=SB2,所以△SAB为直角三角形,且SA⊥AB,又平面SAB⊥底面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,所以SA⊥底面ABCD,SA⊥AC.在Rt△SAC中,由SA=1,SC=2,可得AC=,故S△SAC=×1×,在△ADC中,AC=,CD=2,∠ADC=60°,所以,即,得sin∠DAC=1,故∠DAC=90°,故AD=1,S△DAC=×1×,S△SAD=×1×1=, 因为SC=DC=2,SD=,所以S△SDC=,故三棱锥S-ACD的表面积为S△SAC+S△DAC+S△SAD+S△SDC=++++.【解析】本题主要考查面面平行与几何体表面积的求解.对于第(1)问,要先判断出平面OEF 内两条直线EF与OE分别与平面SAD平行,再进行证明;对于第(2)问,先结合勾股定理证明SA⊥AB,然后利用面面垂直的性质定理得到SA⊥AC,再结合条件求出AC,结合正弦定理得到sin∠DAC=1,求得AD,求出三棱锥各个面的面积即可.【备注】“一证一算”是立体几何考查的主导方向,其中“证”体现了对推理能力的考查,“算”体现了对知识应用能力和运算能力的考查.“证”时需要利用线与线、线与面、面与面的垂直(或平行)之间的转化去解决,“算”时要牢记角度、距离的计算方法.20．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F2(2,0),点P(1,-)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为-1的直线l与椭圆C相交于M,N两点,使得|F1M|=|F1N|(F1为椭圆的左焦点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【答案】(1)解法一∵椭圆C的右焦点为F2(2,0),∴c=2,椭圆C的左焦点为F1(-2,0).由椭圆的定义可得2a=++=2,解得a=,∴b2=a2-c2=6-4=2.∴椭圆C的标准方程为+=1.解法二∵椭圆C的右焦点为F2(2,0),∴c=2,故a2-b2=4,又点P(1,-)在椭圆C上,则+=1,故+=1,化简得3b4+4b2-20=0,得b2=2,a2=6,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)假设存在满足条件的直线l,设直线l的方程为y=-x+t,由得x2+3(-x+t)2-6=0,即4x2-6tx+(3t2-6)=0,Δ=(-6t)2-4×4×(3t2-6)=96-12t2>0,解得-2<t<2.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,由于|F1M|=|F1N|,设线段MN的中点为E,则F1E⊥MN,故=-=1,又F1(-2,0),E(,),即E(,),∴=1,解得t=-4.当t=-4时,不满足-2<t<2,∴不存在满足条件的直线l.【解析】本题主要考查椭圆的定义、方程,直线与椭圆的位置关系等,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.对于第(1)问,考虑两种方法解决,利用椭圆的定义比较快捷;第(2)问是探究性问题,先假设存在满足条件的直线l,设出直线l的方程,与椭圆方程联立,得到关于x的一元二次方程,结合判别式求出t的取值范围,再由|F1M|=|F1N|求出t=-4,与题意不符,则不存在满足条件的直线l.【备注】高考一般从两个方面对圆锥曲线进行考查:一是由圆锥曲线的定义或几何性质求圆锥曲线的标准方程;二是研究直线与圆锥曲线的交点问题、弦的中点问题、直线的方程、几何图形的面积、动点、动直线变化过程中的不变量(即定值)问题等.21．已知函数f(x)=-ln x+t(x-1),t为实数.(1)当t=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若当t=时,--f(x)<0在(1,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围.【答案】(1)当t=1时,f(x)=-ln x+x-1,x>0,∴f'(x)=-+1=.由f'(x)<0可得0<x<1,由f'(x)>0可得x>1,∴函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)当t=时,f(x)=-ln x+-,--f(x)=--(-ln x+-)=ln x-+,当x>1时,--f(x)<0恒成立,等价于k<-x ln x在(1,+∞)上恒成立.令g(x)=-x ln x,则g'(x)=x-(ln x+1)=x-1-ln x.令h(x)=x-1-ln x,则h'(x)=1-.当x>1时,h'(x)>0,函数h(x)=x-1-ln x在(1,+∞)上单调递增,故h(x)>h(1)=0,从而当x>1时,g'(x)>0,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,故g(x)>g(1)=,因此当x>1时,k<-x ln x恒成立,则k≤.∴实数k的取值范围是(-∞,].【解析】本题考查运用导数知识求函数的单调区间及不等式恒成立等,涉及分类讨论、构造法等思想方法.第(1)问是求函数的单调区间问题,先进行求导,再求f(x)的单调区间;第(2)问通过构造函数,利用函数的单调性即可求解实数k的取值范围.【备注】含参不等式中的参数的取值范围问题及函数与导数的综合问题是高考中常见的压轴题型,需要考生积累一些常见的处理函数问题的方法和技巧,如分类讨论如何选取界点问题,处理恒成立问题和存在性问题,函数零点的讨论方法,利用导数证明不等式的常用方法,利用函数性质证明与数列有关的等式和不等式问题等.22．如图,O是圆心,AB是半圆的直径,AB=5,AC是弦,AC=3,∠BAC的平分线交半圆于点D,过点D作DE⊥AC,交AC的延长线于点E,连接OE交AD于点F.(1)证明:△AEF∽△DOF;(2)求AF∶DF的值.【答案】(1)依题意∠BAC的平分线交半圆于点D,可得∠OAD=∠DAC.又∠OAD=∠ODA,所以∠ODA=∠DAC,又∠DFO=∠AFE,故△AEF∽△DOF.(2)连接BD,BC,过点D作DG⊥AB于G,因为∠DOG=∠CAB,所以cos∠DOG=cos∠CAB=.设OD=5t,则AB=10t,OG=3t,DG=4t,所以AG=8t,AD2=AG2+DG2=80t2,因为∠AED=∠ADB= 90°,∠EAD=∠DAB,所以△ADE∽△ABD.所以AD2=AE×AB=AE·10t,所以AE=8t,又△AEF∽△DOF,所以.【解析】本题考查三角形相似、角平分线等,对于第(1)问,要先根据AD是∠BAC的平分线得到∠DAC=∠OAD,从而得到∠ODA=∠DAC,进而证明三角形相似.对于第(2)问,先过点D作DG⊥AB,得到△ADE∽△ABD,再利用已知条件得到比例关系式,然后求出AF∶DF的值.【备注】与圆有关的证明或计算问题是高考考查的重点内容,它主要以圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等作为证明角相等的主要依据,以圆的切线长定理、切割线定理、相交弦定理作为证明线段成比例的主要依据,合理推理,准确转化,必要时需要借助辅助线去解决问题.23．在平面直角坐标系xOy中,C1:(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C2:ρ2+10ρcosθ-6ρsinθ+33=0.(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若P,Q分别为C1,C2上的动点,且|PQ|的最小值为2,求k的值.【答案】(1)由可得其普通方程为y=k(x-1),它表示过定点(1,0),斜率为k的直线.由ρ2+10ρcosθ-6ρsinθ+33=0可得其直角坐标方程为x2+y2+10x-6y+33=0,整理得(x+5)2+(y-3)2=1,它表示圆心为(-5,3),半径为1的圆.(2)因为圆心(-5,3)到直线y=k(x-1)的距离d=,故|PQ|的最小值为-1,故-1=2,得3k2+4k=0,解得k=0或k=-.【解析】本题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程,考查点到直线的距离公式等知识,熟记消参方法与是解题的关键.【备注】化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消元法、加减消元法、恒等式(三角的或代数的)消元法;极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是用好公式.一般与极坐标方程、参数方程有关的问题多是化为直角坐标方程、普通方程,结合图形,合理转化进行求解.24．已知函数f(x)=|x+3|+|x-1|,其最小值为t.(1)求t的值;(2)若正实数a,b满足a+b=t,求证:+≥.【答案】(1)通解因为f(x)=,根据函数f(x)的图象分析可得f(x)的最小值为4,故t=4.优解一因为|x+3|+|x-1|=|x+3|+|1-x|≥|x+3+1-x|=4,可知f(x)min=4,即t=4.优解二|x+3|+|x-1|表示数轴上的动点x到-3和1的距离之和,故|x+3|+|x-1|≥4,当且仅当-3≤x≤1时,取得最小值4,即t=4.(2)由(1)得a+b=4,故+=1,+=(+)(+)=+1++≥+2+1=,当且仅当b=2a,即a=,b=时取等号,故+≥.【解析】第(1)问主要考查函数的最小值的求解,可以利用绝对值不等式的性质进行解答,也可以利用数形结合法,求出最小值;第(2)问主要考查不等式的证明,充分利用a+b=t进行变形是解题的关键.。
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第十模拟)(解析版)
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第十模拟）一、选择题：共12题1．已知集合A={|m|,0},B={x∈Z|x2-2≤0},若A⊆B,则m=A.1B.±1C.2D.±2【答案】B【解析】本题考查集合之间的关系,属于容易题.依题意得B={-1,0,1},又A⊆B,则|m|=1,故m=±1.2．已知a为实数,且(i为虚数单位)是实数,则a=A. B.- C.2 D.-2【答案】D【解析】本题主要考查复数的概念与四则运算,考查考生的运算求解能力和对基础知识的掌握情况.通解由题意知,,要使为实数,只需2+a=0,得a=-2. 优解可采取类似向量共线的方法处理.为实数,则,得a=-2.3．已知p:x=1,q:x-1=,则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充要关系的判断,考查考生的逻辑思维能力和对基础知识的掌握情况. “x-1=”等价于“x-1=0或=1”,即“x=1或x=2”,故选A.【备注】高考中将充要关系的判断与其他知识相结合是常见的考查方式,从本题可知我们可以用集合的观点看充分条件、必要条件:A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},(1)如果A⊆B且A≠B,那么p是q的充分不必要条件;(2)如果B⊆A且A≠B,那么p是q的必要不充分条件;(3)如果A=B,那么p是q的充要条件.4．若函数f(x)=,则f(f(e-2))=A.2B.-2C.4D.-4【答案】D【解析】本题考查分段函数的概念、函数求值等知识,考查考生对基础知识的掌握情况. f(f(e-2))=f(e-4+1)=ln e-4=-4.5．设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3+3a5-a6=,则S7=A.4B.2C.8D.12【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质和前n项和公式的运用,特别注意整体思想在本题中的渗透.设等差数列{a n}的公差为d,由条件a3+3a5-a6=得,3a1+9d=,所以3a4=,即a4=,故S7==7a4=7×=2.6．若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为A. B.6 C. D.4【答案】C【解析】本题主要考查线性规划的知识,考查考生的数形结合能力和运算求解能力.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,平移直线y=-x,当直线经过点A(1,)时,目标函数z=3x+2y取得最小值,且z min=3×1+2×.7．执行如图所示的程序框图,则输出M的值是A.120B.-120C.100D.-100【答案】B【解析】本题考查循环结构的程序框图,考查考生的运算求解能力.由程序框图知,S=12+22+32+42+52+62+72+82+92+102,Q=22+32+42+52+62+72+82+92+102+112,所以M=S-Q=1-112=-120.8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,和正方体体积相等的正三棱锥E-PQR的高与正方体的外接球的直径相等,则此三棱锥的侧棱长为A. aB.aC.aD.a【答案】B【解析】本题主要考查几何体的体积公式、正方体外接球直径的求法等知识,考查考生的空间想象能力与运算求解能力.熟记并能够灵活运用正方体与锥体的体积公式是求解本题的关键.设正三棱锥的底面PQR的边长为x,由正方体与三棱锥E-PQR的体积相等可得a3=x2·a,则x=2a.设点E在底面PQR上的射影为O,连接OQ,则OQ=a,在Rt△EOQ 中,EQ2=a2,所以EQ=a.9．已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示.若横坐标分别为-1、1、5的三点M,N,P都在函数f(x)的图象上,则sin∠MNP的值为A. B.- C.- D.【答案】D【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的运算求解能力和灵活应用数学知识和图形解题的能力.由图可知,A=1,最小正周期T=4×2=8,所以T==8,ω=.因为-<φ<,所以-+φ<,又f(1)=sin(+φ)=1,则+φ=,φ=.所以f(x)=sin(x+).解法一因为f(-1)=sin[(-1+1)]=0,f(1)=sin[(1+1)]=1,f(5)=sin[(5+1)]=-1,所以M(-1,0),N(1, 1),P(5,-1),|MN|=,|MP|=,|PN|==2,从而cos∠MNP==-,由∠MNP∈(0,π),得sin∠MNP=.解法二因为f(-1)=sin[(-1+1)]=0,f(1)=sin[(1+1)]=1,f(5)=sin[(5+1)]=-1,所以M(-1,0),N(1, 1),P(5,-1),=(-2,-1),=(4,-2),·=-6,||=,||==2,则cos∠MNP==-. 由∠MNP∈(0,π),得sin∠MNP=.10．设a,b为两个非零向量,且|a|=2,|a+2b|=2,则|a+b|+|b|的最大值是A.2B.2C.4D.4【答案】B【解析】本题考查平面向量的几何意义、模等知识,考查考生的运算求解能力.由题意,令a+b=m,b=n,所以|m-n|=|a|=2,|m+n|=|a+2b|=2,|m+n|=|m-n|,所以m⊥n,|a+b|+|b|=|m|+|n|≤=2,当且仅当|m|=|n|=,且m⊥n时取等号.11．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1、F2,这两条曲线在第一象限内的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2,则e1e2的取值范围是A.(,+∞)B.(,+∞)C.(2,+∞)D.(3,+∞)【答案】A【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义、简单的几何性质,考查考生的运算求解能力.遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系时,通常利用其定义进行转化求解.设椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2m,焦距为2c,则2c=|PF2|=2a-10,2m=10-2c,a=c+5,m=5-c,所以e1e2=.又由三角形的性质知2c+2c>10,故c>,由2c<10可知,c<5,所以5>c>,1<<4,0<-1<3,所以e1e2=.12．已知函数f(x)=a-x2(≤x≤e)(e为自然对数的底数)与g(x)=2ln x的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是A.[1,+2]B.[+2,e2-2]C.[1,e2-2]D.[e2-2,+∞)【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的对称性、方程根的存在性及转化与化归能力.函数y=-f(x)=-a+x2的图象与函数g(x)=2ln x的图象在[,e]上有交点即可,利用分离变量法求解a 的取值范围.由已知可得-a=2ln x-x2在[,e]上有解,设h(x)=2ln x-x2,求导得h'(x)=-2x=,因为≤x≤e,所以h(x)在x=1处有唯一的极值点,因为h()=-2-,h(e)=2-e2,所以h(x)的最大值为h(1)=-1,又h(e)<h(),故h(x)的最小值为h(e)=2-e2.故方程-a=2ln x-x2在[,e]上有解等价于2-e2≤-a≤-1,从而解得a的取值范围为[1,e2-2],故选C.二、填空题：共4题13．某学校有1 200名学生,现采用系统抽样抽取120人做问卷调查,将1 200人按1,2,…,1 200随机编号,则抽取的120人中,编号落入区间[241,480]的人数为.【答案】24【解析】本题主要考查统计中的系统抽样等知识,考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.根据系统抽样的特点知,分段间隔为=10,所以抽取的120人中,编号落入区间[241,480]的人数为(480-241+1)÷10=24.14．已知过点M(0,-2)的直线与抛物线y=-x2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若-7<y1+y2≤-5,则|AB|的取值范围是.【答案】[9,11)【解析】本题主要考查抛物线的定义及弦长的取值范围的求解,属于中档题.先将y=-x2转化为抛物线方程的标准形式x2=-8y,可知点M为其焦点,所以AB为抛物线的焦点弦,根据抛物线的定义知|AB|=4-(y1+y2),由-7<y1+y2≤-5即可得9≤|AB|<11.因为y=-x2,所以x2=-8y,抛物线的焦点为M(0,-2),准线为y=2,根据抛物线的定义得|AM|=2-y1,|BM|=2-y2,所以|AB|=4-(y1+y2),因为-7<y1+y2≤-5,所以9≤|AB|<11.15．某空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径分别为1,2的两个同心圆,则该几何体的表面积是.【答案】(19+3)π【解析】本题考查空间几何体的三视图,考查考生的空间想象能力、运算求解能力.根据三视图得出几何体的直观图,按照相关公式进行计算.该几何体是一个底面半径为2,母线长为4的圆柱,挖去了一个上底半径为1、下底半径为2,高为4的圆台,圆台的母线长为.所以该几何体的表面积为4π×4+π(1+2)×+π×22-π×12=(19+3)π.16．已知数列{a n}满足a1=,a n+1=a n+1(n∈N*),若b n=(n+1)·(a n-8),且b n≤b k对任意的n∈N*恒成立,则正整数k的值为.【答案】6或7【解析】本题主要考查等比数列的概念、通项公式的求解,数列的单调性与不等式恒成立等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想.∵a n+1=a n+1,∴ ,∴数列{a n-8}是公比为的等比数列.∴a n-8=(a1-8)()n-1=()n, ∴b n=(n+1)·(a n-8)=(n+1)()n.∵b n+1-b n=(n+2)·()n+1-(n+1)()n=()n,当n<6时,数列{b n}单调递增,即b1<b2<b3<…<b6,当n>6时,数列{b n}单调递减,即b7>b8>b9>…>b n>…,又b6=b7,∴数列{b n}的最大项有两项,∴k=6或k=7.三、解答题：共8题17．在△ABC中,D为边BC上一点,AB=,BD=,且cos∠ADB=-.(1)求AD的长;(2)若AC=,求sin∠CAD的值.【答案】(1)如图所示,在△ABD中,由余弦定理得7=2+AD2-2·AD·(-),整理得AD2+2AD-5=0,解得AD=或AD=-(舍去).(2)由cos∠ADB=-可得sin∠ADC=,cos∠ADC=,在△ACD中,由正弦定理得,即sin∠C=,∵AD<AC,∴∠C∈(0,),cos∠C=,∴sin∠CAD=sin(∠C+∠ADC)=sin∠C cos∠ADC+cos∠C sin∠ADC=+.【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、同角三角函数的关系等,属于基础题.(1)在△ABD中,由余弦定理可求AD的长;(2)在△ACD中,由正弦定理求得∠C的正弦值,再用两角和的正弦公式可以求出sin∠CA D.本题在求∠C的余弦值时,需利用大角对大边判断∠C的范围.【备注】在解三角形问题中,正弦定理和余弦定理为“边化角”和“角化边”提供了理论依据.解题时要正确运用三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理,可从寻求角的差异入手,选用公式.常见的三角类解答题的题型有:(1)三角函数的求值与化简问题;(2)单纯三角函数知识的综合;(3)三角函数与平面向量的交汇;(4)三角函数与解三角形的交汇;(5)单纯解三角形知识的综合;(6)解三角形与平面向量的交汇.18．为提高中学生的身体素质和体能水平,教育厅要求各中学在体育教学中进行“体能素质测试”,测试总成绩满分为100分,体能素质测试标准:成绩在[85,100]之间为优秀,在[75,85)之间为良好,在[60,75)之间为合格,在[0,60)之间为不合格.现从某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下: 658476705681878391758188808293 859077868183828264798668718996(1)现按体能测试成绩是否为优秀用分层抽样的方法从随机抽取的30名学生中抽取6名,再从抽取的6名学生中任取2名,求恰好抽到1名体能素质测试成绩为优秀的学生的概率;(2)请你依据所给数据估计该校高一年级学生中体能素质测试成绩为优秀的学生人数,并对该校高一年级学生的体能素质给出一个简短的评价.【答案】(1)设“恰好抽到1名体能素质测试成绩为优秀的学生”为事件A,由题意知,抽取的6名学生中体能素质测试成绩为优秀的有×6=2名,分别记作a1,a2,体能素质测试成绩不是优秀的有×6=4名,分别记作b1,b2,b3,b4.则从6名学生中任取2名的基本事件有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b ,b4),(b3,b4),2共15个.事件A包含的基本事件有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),共8个,所以恰好抽到1名体能素质测试成绩为优秀的学生的概率P(A)=.(2)根据题意可估计该校高一年级学生中体能素质测试成绩为优秀的有×900=300名. 简短评价如下(答对下列三条中的一条即可):①估计该校高一年级学生中体能素质测试成绩为优秀的学生有×900=300名,占总人数的,体能素质测试成绩为良好的学生有×900=420名,占总人数的,体能素质测试成绩为优秀或良好的学生共有×900=720名,占总人数的,说明该校高一年级学生的体能素质较好.②估计该校高一年级学生中体能素质测试成绩为不合格的学生有×900=30名,占总人数的,体能素质测试成绩仅为合格的学生有×900=150名,占总人数的,体能素质测试成绩为不合格或仅为合格的学生共有×900=180名,占总人数的,说明该校高一年级学生的体能素质有待进一步提高,需积极参加体育锻炼.③估计该校高一年级学生中体能素质测试成绩为优秀的学生有×900=300名,占总人数的,体能素质测试成绩为良好的学生有×900=420名,占总人数的,体能素质测试成绩为优秀或良好的学生共有×900=720名,占总人数的,体能素质测试成绩为不合格或仅为合格的学生共有×900=180名,占总人数的,说明该校高一年级学生的体能素质良好,但仍有待进一步提高,还需积极参加体育锻炼. 【解析】本题主要考查分层抽样、古典概型、用样本估计总体等知识,考查考生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力,考查考生运用数学知识解决实际问题的意识.【备注】概率与统计解答题常结合图表考查分层抽样、古典概型概率的计算等知识,一般来说,这类问题在求解时并不是很难,准确识图并掌握图形所给信息是解题的关键.对于古典概型概率的计算,其难点在于基本事件空间的求解,通常用列举法、画树形图等方法写出总的基本事件及满足条件的基本事件,再根据古典概型的概率计算公式求解.19．如图,已知平行四边形ABCD与△EMN所在的平面都与矩形BDEF所在的平面垂直,且∠BAD=60°,AB=2MN=2AD=2,EM=EN,F为MN的中点.(1)若DE=2,求三棱锥D-EMN的体积;(2)求证:MN∥A.【答案】(1)在矩形BDEF中,ED⊥EF,又平面EMN⊥平面BDEF,平面EMN∩平面BDEF=EF,所以ED⊥平面EMN,所以DE为三棱锥D-EMN的高.在△ABD中,∠BAD=60°,AB=2,AD=1,由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos∠BAD=22+12-2×2×1×cos 60°=3,所以BD=,所以EF=,S△EMN=×MN×EF=×1=,所以三棱锥D-EMN的体积V=×2=.(2)由(1)知,BD=,又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD.又平面ABCD⊥平面BDEF,平面ABCD∩平面BDEF=BD,所以AD⊥平面BDEF.在△EMN中,EM=EN,MF=FN,所以MN⊥EF,又平面EMN⊥平面BDEF,平面EMN∩平面BDEF=EF,所以MN⊥平面BDEF,所以MN∥AD.【解析】本题考查空间几何体的结构特征、线线平行的证明、三棱锥体积的计算等,考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力和基本的计算能力以及数形结合、转化与化归的数学思想等.(1)先证明ED⊥平面EMN,得DE为三棱锥D-EMN的高,进而由三棱锥的体积公式得结论;(2)利用垂直于同一个平面的两条直线平行进行证明.【备注】空间线面位置关系的证明多以平面图形中的线线平行与垂直关系作为起点,所以要灵活利用平面图形中的相关结论,如证明平行关系时,常用到“中位线”的性质,而证明垂直关系时,常用到等腰三角形的中线、菱形的对角线的性质等,也要注意解三角形在解决此类问题中的应用,计算与证明也是近年来高考命题的一大特点.20．在平面直角坐标系xOy中,过椭圆C:+=1(a>b>0)右焦点的直线l:y=kx-k交椭圆C 于A,B两点,P为线段AB的中点,当k=1时,直线OP的斜率为-.(1)求椭圆C的方程;(2)x轴上是否存在点Q,使得当k变化时,总有∠AQO=∠BQO?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)因为直线l:y=kx-k过定点(1,0),所以c=1,a2=b2+1.当k=1时,直线l:y=kx-k=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,化简得(2b2+1)x2-2(b2+1)x+1-b4=0,则x1+x2=,于是y1+y2=x1+x2-2=-2=.所以线段AB的中点P的坐标为(,),直线OP的斜率为=-,所以b=1,a=.从而椭圆C的方程为+y2=1.(2)假设存在点Q,设其坐标为(m,0),联立,化简得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=.直线AQ的斜率k AQ=,直线BQ的斜率k BQ=,k AQ+k BQ=+=,当m=2时,k AQ+k BQ=0,所以存在点Q(2,0),使得∠AQO=∠BQO.【解析】本题主要考查椭圆的方程和简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.(1)利用椭圆的几何性质和基本量之间的关系求解椭圆方程;(2)联立直线与椭圆的方程,结合根与系数的关系求解.【备注】解析几何解答题以圆锥曲线的标准方程为切入点,重视以椭圆为背景的相关问题的考查.直线与圆锥曲线的位置关系常考不衰,设而不求法是常用的解题手段,解析几何题的运算量很大,扎实的运算求解能力和锲而不舍的态度是解决这类问题必须具备的基本素质,浮躁、粗心的考生一般都不能正确求解,所以平时要多训练这类题,切实提高运算求解能力.21．已知a>0,a≠1,函数h(x)=a x-1+x2-x ln a.(1)若a>1,证明:函数h(x)在区间(0,+∞)上是单调递增函数;(2)求函数h(x)在区间[-1,1]上的最大值.【答案】(1)由于h(x)=a x-1+x2-x ln a,则h'(x)=(a x-1)ln a+2x,因为a>1,当x∈(0,+∞)时,a x-1>0,ln a>0,2x>0,所以h'(x)>0,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)由(1)知,当a>1时,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减;同理可得,当0<a<1时,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以当a>0且a≠1时,h(x)在[-1,0]上是减函数,在(0,1]上是增函数,所以当x∈[-1,1]时,h(x)的最大值为h(-1)和h(1)中的较大者.因为h(1)-h(-1)=(a-ln a)-(+ln a)=a--2ln a,令G(a)=a--2ln a(a>0),则G'(a)=1+-=(1-)2>0,所以G(a)=a--2ln a在(0,+∞)上是增函数,又G(1)=0,所以当a>1时,G(a)>0,即h(1)>h(-1),h(x)max=a-ln a;当0<a<1时,G(a)<0,即h(1)<h(-1),h(x)max=+ln a.【解析】本题考查函数与导数的综合应用.(1)对h(x)进行求导,然后对导函数值的符号进行判断即可;(2)利用导数,进行函数单调性的判断,通过区间端点值大小的比较,求出h(x)在区间[-1,1]上的最大值.【备注】函数与导数题作为高考的压轴题,其主要特点是:考查思路清晰;重视分类讨论、数形结合、函数与方程等基本数学思想的考查;重视新定义函数,挖掘新函数的性质和特点,并在此基础上灵活地设计问题;重视推理论证能力的考查,把对函数的概念、性质、图象及导数等基础知识的考查融入到所设计的问题当中;重视考查考生探索、分析、解决新问题的综合能力.考生在复习冲刺阶段需要根据以上特点,进行针对性训练,这样方可“以最轻松的训练,收获最好的训练效果”,切忌盲目实行题海战术.22．如图所示,已知AB为圆O的直径,C,D是圆O上的两个点,CE⊥AB于点E,BD交AC 于点G,交CE于点F,CF=FG.(1)求证:C是劣弧的中点;(2)求证:BF=FG.【答案】(1)∵CF=FG,∴∠CGF=∠FCG.∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=.∵CE⊥AB,∴∠CEA=.∵∠CGF=∠DGA,∴∠DGA=∠FCG,∴-∠DGA=-∠FCG,∴∠CAB=∠DAC,∴C为劣弧的中点.(2)∵∠GBC=-∠CGB,∠FCB=-∠FCG,∴∠GBC=∠FCB,∴CF=BF,又CF=FG,∴BF=FG.【解析】本题主要考查利用圆的性质进行相关的证明,考查考生的推理论证能力,难度不大,只要认真观察图形,充分利用圆的性质进行推理即可.【备注】高考中,几何证明选讲多是以圆的有关知识和三角形为背景,圆中的弦切角定理、切割线定理、割线定理、相交弦定理等是考查重点;三角形中,三角形相似、直角三角形与等腰三角形的性质是重点.因此熟悉相关定理是解题的关键,同时需要注重观察图形.23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的非负半轴重合.若曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ-)+2=0,曲线C2的参数方程为(α为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程;(2)若点Q为曲线C2上的动点,P为曲线C1上的动点,求|PQ|的最小值.【答案】(1)因为曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ-)+2=0,化简得ρ·sinθ-ρ·cosθ+2=0,所以曲线C1的直角坐标方程为x-y-4=0.因为曲线C2的参数方程为(α为参数),消去参数可得曲线C2的普通方程为x2+y2=1.(2)由(1)得曲线C2的普通方程为x2+y2=1,所以曲线C2表示圆心为C2(0,0),半径为1的圆. 又圆心C2(0,0)到直线C1的距离d=2,所以|PQ|min=2-1.【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式等知识,考查考生的转化与化归思想及运算求解能力.【备注】坐标系与参数方程是考生选做的热点,这类试题整体难度不大,关键要弄清楚参数的几何意义.直线与圆、抛物线等的位置关系是常见的考查点,解题时一般可从代数角度与几何角度考虑.24．已知函数f(x)=|2x-7|+1.(1)求不等式f(x)>|x-1|的解集;(2)若不等式f(x)>ax对一切x∈R都成立,求实数a的取值范围.【答案】解法一(1)原不等式即为|2x-7|+1>|x-1|,当x<1时,由-(2x-7)+1>-(x-1),解得x<7,所以x<1;当1≤x≤时,由-(2x-7)+1>x-1,解得x<3,所以1≤x<3;当x>时,由2x-7+1>x-1,解得x>5,所以x>5.综上所述,原不等式的解集为(-∞,3)∪(5,+∞).(2)f(x)=|2x-7|+1=,画出y=f(x)和y=ax的图象,当y=ax经过点(,1)时,a=,由图象可知,实数a的取值范围是[-2,).解法二(1)在同一坐标系下作出y=|2x-7|+1和y=|x-1|的图象,如图所示,当|2x-7|+1=|x-1|时,x=3或x=5,由图象可知,原不等式的解集为(-∞,3)∪(5,+∞).(2)f(x)=|2x-7|+1=,当x≥时,2x-6>ax,即2-a>,2-a>()max=,所以a<;当0<x<时,8-2x>ax,即2+a<,2+a<()min<,所以a<;当x=0时,显然符合题意;当x<0时,8-2x>ax,即2+a>,所以2+a≥0,即a≥-2,综上所述,实数a的取值范围是[-2,).【解析】本题考查绝对值不等式的解法等知识,考查考生的运算求解能力.解法一:(1)利用零点分段法进行讨论即可;(2)借助直线y=ax和y=f(x)的图象求解.解法二:(1)利用函数图象求解;(2)去掉绝对值符号,分类讨论求解.【备注】不等式选讲部分的考查热点集中在绝对值不等式,去绝对值是解决绝对值不等式的基本方法,当出现参数时,通常采用分类讨论或者数形结合的思想解决.。
2016届百校联盟全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第二模拟)(解析版)
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第二模拟）一、选择题：共12题1．关于复数z=(i是虚数单位),下列结论正确的为A.在复平面内,复数z所对应的点在第一象限B.复数z的共轭复数为=1-iC.若复数ω=z+b(b∈R)为纯虚数,则b=1D.复数z的模为2【答案】C【解析】本题考查复数的基础知识与基本运算,考查复数与复平面内点的对应关系.解题时,通过复数运算得到化简结果,然后通过选项进行判断,得出正确答案.由已知z==-1+i,因而z在复平面内对应的点位于第二象限,A错误,=-1-i,B 错误,|z|=,D错误,若ω=-1+b+i为纯虚数,则-1+b=0,即b=1,故选C.2．已知函数f(x)=,若f(4)=2f(a),则实数a的值为A.-1或2B.2C.-1D.-2【答案】A【解析】本题考查分段函数求值,考查分类讨论思想,属于基础题.f(4)=log24=2,因而2f(a)=2,即f(a)=1,当a>0时,f(a)=log2a=1,因而a=2,当a≤0时,f(a)=a2=1,因而a=-1,故选A.3．已知集合A={x|<1},集合B={y|y=t-2},则A∩B=A.(-∞,2]B.(3,+∞)C.[2,3)D.(0,3)【答案】B【解析】本题考查集合的运算、不等式的解法及函数值域的求解.由<1,得>0,因而x>3或x<0,即A=(-∞,0)∪(3,+∞),设m=≥0,则t=m2+3,因而y=m2+3-2m=(m-1)2+2,所以B=[2,+∞),从而A∩B=(3,+∞),故选B.4．在数列{a n}中,a1=1,a2=3,且a n+1a n-1=a n(n≥2),则a2 016的值为A.3B.1C.D.32 015【答案】C【解析】本题考查数列的基本运算及性质,考查运算求解能力,求解时要注意规律的发现,得到{a n}为周期数列,进而求解.由已知,a1=1,a2=3,且a n+1a n-1=a n(n≥2),则a1a3=a2,从而a3=3,又a2a4=a3,∴a4=1,同理a5=,a6=,a7=1,a8=3,那么数列{a n}为周期数列,且周期为6,∴a2 016=a6=,故选C.5．对于三个不同的平面α,β,γ和四条不同的直线a,b,m,n,下列命题中为真命题的是A.若a⊥m,a⊥n,m⊂α,n⊂α,则a⊥αB.若a∥b,b⊂α,则a∥αC.若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥bD.若a⊂β,b⊂β,a∥α,b∥α,则β∥α【答案】C【解析】本题考查考生对空间直线、平面间的位置关系的判断,考查考生分析问题、解决问题的能力.对于A,只有m,n相交时结论才成立;对于B,还有可能a⊂α;对于D,只有当a,b相交时结论才成立;对于C,该结论是两平面平行的性质定理,是真命题.故选C.6．将函数y=sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=2cos2x的图象,那么φ可以取的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的图象及其变换等基础知识,考查三角函数诱导公式.图象变换是三角函数性质的重点内容之一,其考查往往注重基础,一般比较常规.通解将y=sin 2x的图象向左平移φ个单位长度,再向上平移1个单位长度得到y=sin 2(x+φ)+1的图象,此时y=sin 2(x+φ)+1=2cos2x,即sin 2(x+φ)=cos 2x,因而2φ=+2kπ,k∈Z,那么,由选项可知φ可以取的值为,故选C.优解由已知,可以将y=2cos2x的图象作相应的逆变换,先向下平移1个单位长度得到函数y=2cos2x-1的图象,即y=cos 2x的图象,而y=cos 2x=sin(2x+),因而将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度得到y=sin 2x的图象,因而φ可以取的值为,故选C.7．已知x,y满足不等式组,则目标函数z=()x×4y的最小值为A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】本题通过线性规划的知识考查考生的数形结合能力,本题在目标函数上进行了创新,要求考生具有一定的转化意识.通过不等式组作出可行域如图中三角形OAB及其内部所示,其中A(1,2),B(0,),求z=()x×4y=22y-x的最小值,可转化为求2y-x的最小值,当x=y=0时,2y-x取得最小值0,则z=()x×4y的最小值为1,故选A.8．执行如图所示的程序框图,则可以输出函数的为A.f(x)=sin xB.f(x)=e xC.f(x)=ln x+x+2D.f(x)=x2【答案】C【解析】本题考查程序框图的知识,考查分支结构及初等函数的基本性质,考查考生分析问题、解决问题的能力.解题时,准确确定分支条件是求解正确的关键.当输入f(x)=sin x时,由于是奇函数,因而执行输出“是奇函数”,然后结束;当输入f(x)=e x 时,f(x)=e x不是奇函数,但恒为正,因而输出“非负”,然后结束;当输入f(x)=ln x+x+2时,f(x)=ln x+x+2既不是奇函数,又不恒为非负,因而输出该函数;而当输入f(x)=x2时,由于f(x)=x2是偶函数,且非负,因而输出“非负”.故选C.9．如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为A.πB.πC.πD.π【答案】C【解析】本题考查三视图的知识,考查圆柱体积的求解公式,考查考生的空间想象能力.通过所给条件信息正确确定几何体的形状是解题的关键.由已知三视图,可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体,即如图所示的下半部分,则其体积为圆柱的一半,因而V=×π×12×2=π,故选C.10．已知函数f(x)=a ln x-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,则函数f(x)在[1,e]上的最大值为A.-B.C.1D.e【答案】A【解析】本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数最值中的应用.先根据函数图象的切线求出函数的解析式,再利用导数研究函数的单调性,进而可得函数的最值.由题意知,f'(x)=-2bx,因为函数f(x)=a ln x-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,所以,解得,即函数f(x)=ln x-.又当x∈[1,e]时,f'(x)=-x≤0,所以函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最大值为f(1)=-.11．已知A1,A2分别为双曲线-=1的左、右顶点,P为双曲线上第一象限内的点,直线l:x=1与x轴交于点C,若直线PA1,PA2分别交直线l于B1,B2两点,且△A1B1C与△A2B2C的面积相等,则直线PA1的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查双曲线与直线的相关知识,有一定综合性,考查化归与转化能力及灵活变通能力.通解由已知,显然直线PA1的斜率存在,故可设直线PA1的方程为y=k(x+2),由已知k>0,则由得(9-4k2)y2-36ky=0,易知9-4k2≠0,因而P(,),所以,则直线PA2的方程为y=(x-2),直线PA1,PA2与直线l分别交于B1(1,3k),B2(1,-),因而×3×3k=×1×,得k=,故选B.优解由已知,P为双曲线-=1上的点,则,又直线PA1的方程为y= (x+2),交直线l于B1(1,3),直线PA2的方程为y=(x-2),交直线l于B2(1,-),由于P为第一象限内的点,因而>0,则×3×3×1×,即92=,从而,故选B.12．在等差数列{a n}中,a3=-2,a5=4,若存在正整数m,使得为数列{a n}中的项,则所有满足条件的m的值的和为A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,考查考生的推理论证能力.由条件可先求出{a n}的通项公式,然后由为数列{a n}中的项,可得出a m=1或a m=-2,从而求出m的值.在等差数列{a n}中,由a3=-2,a5=4,得公差d=3,所以a n=a3+(n-3)d=3n-11.因为=a m+9+,且a n=3n-11=3(n-4)+1, 所以要使为数列{a n}中的项,必须是3的倍数,于是a m在±1,±2,±3,±6中取值,但由于a m-1是3的倍数,所以a m=1或a m=-2.由a m=1得m=4;由a m=-2得m=3.当m=4时,=a13;当m=3时,=a3.所以所求m的值的和为7.二、填空题：共4题13．如图是某样本的频率分布直方图,已知数据不超过10的频数为10,则根据频率分布直方图可知该样本的容量为.【答案】50【解析】本题考查频率分布直方图的基础知识.高考对于统计知识的考查以基础知识为主,往往比较简单,但覆盖面比较广,复习时要注意全面到位.由已知的频率分布直方图,可得数据不超过10时对应的矩形的高为0.04,而组距为5,因而对应的频率为0.2,因而样本容量为=50.14．若椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形,则椭圆C的内接正方形的面积为.【答案】【解析】本题主要考查椭圆的概念与性质等,考查考生的运算求解能力和数形结合的数学思想.解题时,根据题意求出椭圆C的方程为x2+=1,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0=y0,所以椭圆C的内接正方形的面积S=(2x0)2.由已知得,a=1,b=c=,所以椭圆C的方程为x2+=1,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0=y0,所以1=+2=3,解得,所以椭圆C的内接正方形的面积S=(2x0)2=4.15．已知菱形ABCD的边长为,且∠BAD=60°,将△ABD沿BD折起,使A,C两点间的距离为,则所得三棱锥的外接球的表面积为.【答案】【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力及基本的运算能力.球是最基本的几何体之一,对于与球相关的知识的考查,往往结合球内接柱体、锥体等,涉及表面积或体积的运算,复习时注意把握难度.由已知,∠BAD=60°,菱形ABCD的边长为,且折起后AC=,设△BCD的外接圆圆O1的半径为r,则由正弦定理得,2r==2,因而圆O1的半径r=1,则三棱锥的高h=,设外接球半径为R,则R2=(h-R)2+r2,即R2=2-2R+R2+1,得R=,则该球的表面积为4πR2=4π×.16．已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2CD=2AD=2,P是以C为圆心,且与BD 相切的圆上的动点,设=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为.【答案】2【解析】本题考查向量的基础知识,利用平面直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算是解题的关键.由已知分别以AD,AB所在的直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则C(1,1),B(0,2),D(1,0),直线BD的方程为2x+y-2=0,圆C的半径为R=,则圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=,由=λ+μ,得=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),P(λ,2μ)在圆C上,因而,(λ-1)2+(2μ-1)2=,设λ=1+cosθ,2μ=1+sinθ,则λ+μ=+cosθ+sinθ=+sin(θ+φ),其中tanφ=2,所以当sin(θ+φ)=1时λ+μ取得最大值2.三、解答题：共8题17．已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量m=(2b,1),n=(2a-c,cos C),且m∥n.(1)若b2=ac,试判断△ABC的形状;(2)求y=1-的值域.【答案】(1)由已知,m∥n,则2b cos C=2a-c,由正弦定理, 得2sin B cos C=2sin(B+C)-sin C,即2sin B cos C=2sin B cos C+2cos B sin C-sin C,在△ABC中,sin C≠0,因而2cos B=1,则B=.又b2=ac,b2=a2+c2-2ac cos B,因而ac=a2+c2-2ac cos,即(a-c)2=0,所以a=c,△ABC为等边三角形.(2)y=1-=1-=1-2cos A(cos A-sin A)=sin 2A-cos 2A=sin(2A-),其中A∈(0,).因而所求函数的值域为(-1,].【解析】本题考查解三角形的基础知识.第(1)问通过向量平行,结合正、余弦定理,利用两角和的正弦公式进行求解;第(2)问是关于角A的三角函数的值域问题,利用二倍角公式,将函数化为常见的y=M sin(ωx+φ)的形式,再求函数的值域.【备注】判断三角形的形状,主要有如下两条途径:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边与边之间的关系,通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个定理,在等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.18．甲、乙两种不同规格的产品,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数不小于82分的为合格品,否则为次品,现随机抽取两种产品各100件进行检测,其结果如下:(1)根据表中数据,估计甲、乙两种产品的合格率;(2)若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品,再从这5件甲产品中随机抽取2件,求这2件产品全是合格品的概率.【答案】(1)甲产品的合格率为P1=.乙产品的合格率为P2=.(2)由题意,若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品,则其中恰有1 件次品,4 件合格品, 因而可设这5件甲产品分别为a,b,c,d,E,其中小写字母代表合格品,E代表次品,从中随机抽取2件,则所有可能的情况为ab,ac,ad,aE,bc,bd,bE,cd,cE,dE,共10种,设“这2件产品全是合格品”为事件M,则事件M所包含的情况为ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种.由古典概型的概率计算公式,得P(M)=.【解析】本题考查统计的基础知识,考查古典概型概率的求解方法.【备注】分析近几年高考题的特点,概率与统计往往设计在同一个题目中,体现知识间的整合,古典概型概率的求法仍是考查的重点,但是在解题中需要提醒的是:①认真审题,理清已知条件中的信息,包括茎叶图、频率分布直方图、频率分布表、样本数据等,将其转化成解题必备的数学信息;②分清所求概率的类型,是古典概型、还是几何概型等;③将随机事件的可能结果列全,找准所求事件包含的基本事件个数,避免由于思维不严密造成不必要的失分;④要注重对基本概念、基本性质的理解,并加强知识整合能力,特别是加强知识点交汇问题的求解能力,提升阅读理解能力.19．如图,异面直线AB,CD互相垂直,CF是它们的公垂线段,且F为AB的中点,作DE//CF,连接AC,BD,G为BD的中点,AB=AC=AE=BE=2.(1)在平面ABE内是否存在一点H,使得AC∥GH?若存在,求出点H所在的位置,若不存在,请说明理由;(2)求三棱锥G-ACD的体积.【答案】(1)取BE的中点M,连接GM,EF,作MH∥AB交EF于H,则点H为FE的中点,MH∥BF∥FA.连接GH,则GM∥DE∥CF,易知∠GMH=∠CFA=,从而△GHM∽△CAF,从而AC∥GH,即存在点H满足题设要求,且点H为FE的中点.(2)由于G为BD的中点,∴点G到平面ACD的距离等于点B到平面ACD的距离的一半, ∴V G-ACD=V B-AC D.又V B-ACD=V D-ABC,由题意知CD⊥平面ABC,AB=AC=AE=BE=2,∴CD=CF=,S△ABC=×2×,V D-ABC==1.∴V G-ACD=V D-ABC=.【解析】本题脱离开以常规的几何体为载体的考查方式,考查立体几何中线线平行的位置关系及几何体体积的求解.解题时要注意解题过程的规范性与全面性,切忌推证过程过于简略,推理条件列举不全面.【备注】求解立体几何题时,要求“四会”:①会画图——根据题设条件画出符合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面),且所作图形要直观、虚实分明;②会识图——根据题目给出的图形,想象出几何体的形状和有关线、面的位置关系;③会分析图——对图形进行必要的分解、组合;④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割补,从而求得答案.20．已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线C的准线为l,焦点为F,点P为直线m:x+y-2=0上的动点,且点P的横坐标为a,试讨论当a取不同的值时,圆心在抛物线C上,与直线l相切,且过点P的圆的个数. 【答案】(1)直线AB的方程是y=2(x-),代入y2=2px,得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=,∴p=2,∴抛物线C的方程是y2=4x.(2)解法一由题意知l:x=-1,F(1,0).∵所求圆的圆心在抛物线上,且与直线l相切,则圆过焦点F,又圆过点P,∴圆心在线段PF 的中垂线上,设P(a,2-a),则线段PF中点的坐标为(,),当a≠1,a≠2时,k PF=,∴线段PF的中垂线方程为y=(x-)+,化简得y=x+①.圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数,将x=代入①得y2-y+=0,判别式Δ=1-4··=1+,∴当a=-1时,交点有1个,圆有1个;当a<-1时,交点有0个,圆有0个;当a>-1,且a≠1,a≠2时,交点有2个,圆有2个.而当a=2时,易验证有2个交点,圆有2个;当a=1时,易知交点有1个,圆有1个.综上所述:当a<-1时, 圆有0个;当a=±1时, 圆有1个;当a>-1,且a≠1时,圆有2个.解法二设圆心Q(x0,y0)(=4x0),P(a,2-a),由于准线l:x=-1,故若存在圆Q满足条件,则r=|PQ|=,且r=|x 0+1|,∴(x0-a)2+(y0+a-2)2=(x0+1)2,即a2++2(a-2)y0+(a-2)2=(2+2a)x0+1=(2+2a)+1,整理得(1-a)+(4a-8)y0+4a2-8a+6=0(*),当a=1时,(*)式即-4y0+2=0,有1个解.当a≠1时,(*)式中Δ=(4a-8)2-4(1-a)(4a2-8a+6)=16a3-32a2-8a+40=8(a+1)(2a2-6a+5),∵2a2-6a+5=2(a-)2+>0,∴当a>-1时,Δ>0,(*)式有2个解;当a=-1时,Δ=0,(*)式有1个解;当a<-1时,Δ<0,(*)式无解.综上,当a<-1时,圆有0个;当a=±1时,圆有1个;当a>-1,且a≠1时,圆有2个.【解析】本题主要考查抛物线的概念、几何性质,直线与抛物线、圆之间的位置关系等知识,考查数形结合、转化与化归等数学思想,意在考查考生的综合解题能力、运算求解能力.第(1)问通过抛物线的几何性质直接求解;第(2)问是探究性问题,将圆的个数转化为方程根的个数进行求解.【备注】近几年的高考题中,解析几何一般作为压轴题出现,重点考查椭圆和抛物线的方程、几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系以及与定点、定值等有关的综合问题.一般地,第(1)问是求圆锥曲线的方程,属于送分题,千万不要失分;第(2)问一般考查数学思想方法,通常在数形结合下利用坐标,将问题转化为弦长问题、距离问题、方程问题等,一元二次方程根与系数的关系是解决问题的常用工具,要熟练掌握.21．已知函数f(x)=x ln x+x,g(x)=-(x>0).(1)讨论f(x)在区间[t,t+e](t>0)上的单调性;(2)是否存在直线y=b(b∈R),使得函数f(x)与g(x)的图象分别在它的两侧(可相切)?若存在,请求出实数b的值(或取值范围);若不存在,请说明理由.【答案】(1)f(x)=x ln x+x,f'(x)=ln x+2,由f'(x)=0得x=.当0<t<时,在[t,)上,f'(x)<0,在(,t+e]上,f'(x)>0,因此f(x)在[t,)上单调递减,在(,t+e]上单调递增.当t≥时,在[t,t+e]上,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在[t,t+e]上单调递增.综上所述,当0<t<时,f(x)在[t,)上单调递减,在(,t+e]上单调递增;当t≥时,f(x)在[t,t+e]上单调递增.(2)f(x)=x ln x+x,f'(x)=ln x+2,由f'(x)=0得x=.当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,故f(x)min=f()=-.而g(x)=-(x>0),g'(x)=,当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.所以g(x)max=g(1)=-.所以f(x)≥-≥g(x),故函数f(x)与函数g(x)的图象恒在直线y=-的两侧(相切),所以b=-.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识,同时对分类讨论、化归与转化等思想进行了深入考查.(1)由于f'(x)=0的根与t的大小关系不确定,故需要分类讨论;(2)注意抓住直线y=b(b∈R)的特殊性(是水平线),所以题目的本质是探究是否存在水平直线,使得f(x)与g(x)的图象一个在上一个在下,故将问题转化为研究两个函数的最大值和最小值即可.【备注】函数与导数解答题的基本特点是人人能入手,但很少人能够走到最后,设问模式一般有并列小问研究不同侧面和层层递进型两种,研究类型主要有:(1)利用导数研究函数的单调性、极值;(2)利用导数研究不等式恒成立问题或求参数的取值范围;(3)利用导数研究函数零点的个数、图象的位置关系等.在解决这些问题时,恰当构造函数是关键.22．如图,等腰三角形ABC内接于☉O,AB=AC,MN为☉O在点C处的切线,过点B作MN 的平行线,交AC于点E,交☉O于点.(1)求证:△ABE≌△ACD;(2)若AB=6,BC=4,求EC的长.【答案】(1)由已知BD∥MN,MN为☉O在点C处的切线,∴,∴∠CDB=∠CBD,又同弧所对的圆周角相等,∴∠CAD=∠CBD,∠CAB=∠CDB,即∠CAD=∠CAB=∠BAE,又∠ACD=∠ABE,且AB=AC,因而△ABE≌△ACD.(2)在△ABC与△BCE中,由(1)知∠CAB=∠CBE,且∠BCE=∠ABC,∴△ABC∽△BCE,则,因而EC=.【解析】本题考查三角形全等的证明、三角形相似等知识,对考生能力的要求比较高.23．在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P的直角坐标为(-3,-),曲线C的极坐标方程为ρ=5,直线l过点P且与曲线C相交于A、B两点.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若|AB|=8,求直线l的直角坐标方程.【答案】(1)由ρ=5⇒ρ2=25,得x2+y2=25,即曲线C的直角坐标方程为x2+y2=25.(2)设直线l的参数方程为(t为参数),①将参数方程①代入圆的方程x2+y2=25,得4t2-12(2cosα+sinα)t-55=0,∴Δ=16[9(2cosα+sinα)2+55]>0,上述方程有两个相异的实数根,设为t1、t2,∴|AB|=|t1-t2|==8,化简有3cos2α+4sinαcosα=0,解得cosα=0或tanα=-,从而可得直线l的直角坐标方程为x+3=0或3x+4y+15=0.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线的参数方程的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.第(1)问利用极坐标与直角坐标之间的互化公式即可产生结论;第(2)问利用直线的参数方程中参数的几何意义产生结论.24．已知函数f(x)=ax2+x-a的定义域为[-1,1].(1)若f(0)=f(1),解不等式|f(x)-1|<ax+;(2)若|a|≤1,求证:|f(x)|≤.【答案】(1)f(0)=f(1),即-a=a+1-a,则a=-1,∴f(x)=-x2+x+1,∴不等式化为|-x2+x|<-x+,①当-1≤x<0时,不等式化为x2-x<-x+,∴-<x<0;②当0≤x≤1时,不等式化为-x2+x<-x+,∴0≤x<.综上,原不等式的解集为{x|-<x<}.(2)由已知x∈[-1,1],∴|x|≤1,又|a|≤1,则|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|=-(|x|-)2+≤ .【解析】本题考查含有绝对值的不等式的求解及证明,求解过程中,分类讨论思想的运用很关键.。
河北省2016年高考文科数学试题（附答案）
12cos 3A =河北省2016年高考文科数学试题（附答案）(满分满分150分，时间120分钟分钟) )第Ⅰ卷一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .） （1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =££，则AB =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} (2)(2)设设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－）－3 3 （B ）－）－2 2（C ）2 （D ）3 （3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学种花种在一个花坛中，学..科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.c.已知已知5a =，2c =，则b=（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的若椭圆中心到的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3)（C ）y=2sin(2x y=2sin(2x––π4) （D ）y=2sin(2x y=2sin(2x––π3) （7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径圆中两条相互垂直的半径..若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0a>b>0，，0<c<10<c<1，则，则，则（A ）log a c<log b c （B ）log c a<log c b （C ）a c<b c（D ）c a >c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]2,2]的图像大致为的图像大致为的图像大致为（A ） （B ）（C ） （D ）（1010）执行右面的程序框图，如果输入的）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出则输出,x y 的值满足的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x=（1111）平面）平面a 过正文体ABCD ABCD——A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D a 平面,ABCD m a=平面，11ABB A n a =平面，则m ，n 所成角的正弦值为所成角的正弦值为 （A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）13（1212）若函数）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-¥+¥单调递增，则a 的取值范围是的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）11,3éù-êúëû （C ）11,33éù-êúëû （D ）11,3éù--êúëû第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分..第(13)(13)题题~第(21)(21)题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考生都必须作答生都必须作答..第(22)(22)题题~第(24)(24)题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 二.填空题(本大题共4小题，每小题5分)（1313）设向量）设向量a=(x a=(x，，x+1)x+1)，，b=(1b=(1，，2)2)，且，且a ^b ，则x=_________. （1414）已知）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=_________. （1515）设直线）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若两点，若|AB|=2|AB|=23，则圆C 的面积为积为________________________。
2016年河北省高考数学试卷及答案解析(理科)(全国新课标ⅰ)
2016年河北省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年河北省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，∴买19个更合适．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C 1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第五模拟)(解析版)
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第五模拟）一、选择题：12题1．设a,b∈Z,若(a+i)(2-b i)∈R,则ab的值为A.3B.7C.4D.2【答案】D【解析】本题考查复数的基本运算,考查考生对基础知识的掌握情况.由(a+i)(2-b i)=(2a+b)+(2-ab)i∈R得ab=2.2．在长为1 的线段AB上任取不同于A,B的两点C,D,则AC+BD>的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查几何概型的知识,考查考生对基础知识的掌握情况.设AC=x,BD=y,则所有的基本事件空间为,满足条件的基本事件为x+y>,易得概率为P=1-.3．已知平行于x轴的直线分别交曲线y=-(x<0)与y=于A,B两点,则|AB|的最小值为A. B. C. D.2【答案】A【解析】本题考查导数在解题中的应用、函数的图象与性质,考查考生灵活处理问题的能力及数形结合思想.解题时,先表示出|AB|,再构造函数,利用函数的单调性求解.设平行于x轴的直线方程为y=a(a>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则a=-⇒x1=-,而x2满足a=, x2>0,x1<0,那么|AB|=x2-x1=x2+=x2+.设f(x)=x+,f'(x)=1-,显然当0<x<时,2x-1<0,得f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>时,2x-1>0,得f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.于是当x=时,f(x)取得最小值f()=+,即|AB|的最小值为.4．设集合A={-1,0,1,2,3},B={x|y=ln[(x+1)(2-x)]},则A∩B=A.{-1,1}B.{-1,0}C.{-1,1,2}D.{0,1}【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算、函数的定义域,考查考生对基础知识的掌握情况. 由(x+1)(2-x)>0得-1<x<2,即B={x|-1<x<2},于是A∩B={0,1}.5．如图,ABCD是边长为4的正方形,若DE=EC,且F为BC的中点,则·=A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】本题考查平面向量的数量积,同时考查平面直角坐标系在求解平面向量试题中的基本应用.以A为坐标原点,以AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),E(1,4),F(4,2),那么=(-1,-4),=(3,-2),于是·=-1×3+(-4)×(-2)=5.6．如果点P(x,y)在平面区域内,那么z=4x+3y的最大值为A.3B.5C.7D.9【答案】C【解析】本题考查线性规划的知识,考查考生的数形结合能力.点P所在的区域如图中阴影部分所示,可以看出直线z=4x+3y过点A时,取得最大值.由得,此时z max=4×1+3×1=7.7．若某正八面体的各个顶点都在半径为1的球面上,则此正八面体的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查球内接正多面体与球之间的关系、多面体体积的计算,考查考生的空间想象能力.设正八面体的棱长为a,则VO=AC=a=1⇒a=,那么正八面体的体积为V=2××()2×1=.8．执行如图所示的程序框图,若输入x的值为-1,则输出S的值为A. B. C.20 D.【答案】A【解析】本题考查程序框图的有关知识,解这类题时,只需根据程序框图一步一步计算即可.第一次循环:t=,S=,x=0;第二次循环:t=1,S=,x=1;第三次循环:t=2,S=,x=2;第四次循环:t=4,S=,x=3>2;第五次循环:t=3,S=,x=4;第六次循环:t=4,S=,x=5;第七次循环:t=5,S=,此时x=5>4.故输出S的值为.9．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是A.2B.3C.5D.7【答案】D【解析】本题主要考查函数零点个数的计算,根据函数的奇偶性和周期性进行递推是解决本题的关键.∵f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,∴f(x+3)=f(x),f(0)=0,f(3)=0,∵f(2)=0,∴f(-2)= -f(2)=0,f(2+3)=f(5)=f(2)=0,则f(-2+3)=f(1)=f(4)=0,当x=-时,f(-+3)=f(-)=-f(),即f()=-f(),则f()=0,则f()=f(+3)=f()=0,则1,2,3,4,5,,为方程f(x)=0在区间(0,6)内的解,此时至少有7个,故选D.10．已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为E,F,以OF(O为坐标原点)为直径的圆C交双曲线于A,B两点,AE与圆C相切,则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的定义、离心率,圆的方程,余弦定理等知识,考查考生的运算求解能力和数形结合思想.解题时,先求出cos∠ACE=,在△ACF中计算得到|AF|=c,最后根据双曲线的定义便可得e.连接CA,AF,则|OC|=|CA|=|CF|=,|OE|=c,所以|EC|=,在Rt△EAC中,|AE|=c,cos∠ACE=,在△ACF中,由余弦定理得|AF|=c.根据双曲线的定义,得c-c=2a,所以双曲线的离心率e=.故选C.11．若函数f(x)=5cos x+12sin x在x=θ时取得最小值,则cosθ=A. B.- C. D.-【答案】B【解析】本题考查两角和的三角公式在解题中的应用,同时考查三角函数取得最值的条件、诱导公式的应用等.由f(x)=5cos x+12sin x=13(cos x+sin x)=13sin(x+α),其中sinα=,cosα=,由x+α=2kπ-(k∈Z),得x=2kπ--α(k∈Z),所以θ=2kπ--α(k∈Z),那么cosθ=cos(2kπ--α)=-sinα=-.12．记数列{a n}的前n项和为S n,若S n+(1+)a n=4,则a2 016=A. B.2 016×22 015 C.2 016×22 016 D.【答案】D【解析】本题考查数列的通项公式的求法,属于中档题,解题时要认真审题,注意累乘法的合理运用.由已知条件推导出,由此利用累乘法求出a n.∵数列{a n}的前n项和为S n,S n+(1+)a n=4①,∴当n≥2时,S n-1+=4②,①-②,并整理得,∴,,……,,∴a n=×…××a1=×…××1=.当n=1时,a1=1也适合此式,∴a n=,a2 016=. 故选D.二、填空题：共4题13．某小区对65岁以上的老人进行体检,根据身体情况给出量化分数,已知量化分数的每个值都是[40,100]中的整数,且按[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成六组,得到的频率分布直方图如图所示.若记这些老人的身体情况量化分数的平均分的最小可能值为a,最大可能值为b,则a+b=.【答案】145【解析】本题考查频率分布直方图的基础知识与基本应用,同时考查根据频率分布直方图求平均数的方法,考查考生的运算求解能力.由题意知,a=0.05×40+0.1×50+0.25×60+0.35×70+0.15×80+0.1×90=67.5,b=0.05×50+0.1×60+0.25×70+0.35×80+0.15×90+0.1×100=77.5.则a+b=145.14．某四面体的三视图如图所示,则该四面体的六条棱中最长棱的长度为.【答案】2【解析】本题主要考查空间几何体的三视图等知识.本题要求考生能够根据给出的几何体的三视图,得到几何体的直观图及相关数据.由三视图可知该四面体的直观图如图1所示,由图2可知BD=,BC=2.又AB=, AC=,所以该四面体的六条棱中最长棱的长度为2.图1图215．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3a cos C=4c sin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为.【答案】【解析】本题考查正弦定理、三角形面积公式的应用,同时考查考生分析问题与解决问题的能力.由3a cos C=4c sin A知cos C≠0,从而得,即⇒tan C=,由S=10,即bc sin A=10得c sin A=5,由tan C=得cos C=,那么3a cos C=4c sin A=20,从而a=.16．已知F为抛物线C:y2=2x的焦点,点E在射线l:x=-(y≥0)上,线段EF的垂直平分线与l交于点Q(-,),与抛物线C交于点P,则△PEQ的面积为.【答案】【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积的求解等,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.如图,由抛物线C的方程知,焦点F(,0),准线方程为x=-,设E(-,m)(m≥0),则EF的中点为G(0,),k EF=-m.又Q(-,),所以k QG==m-,则-m·(m-)=-1,得m=2,所以E(-,2),QG所在直线的方程为x-2y+2=0,联立得P(2,2),则△PEQ的面积为×(2-)×(2+)=.三、解答题：共8题17．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n,若S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求等差数列{a n}的通项公式;(2)设数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【答案】(1)设数列{a n}的公差为d(d≠0),由题意得⇒ ⇒ 或(舍去),从而a n=2n.(2)由(1)得b n=(-),那么T n=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)=.【解析】本题考查等差、等比数列的基础知识,考查通项公式与前n项和公式的应用及裂项相消法在求和中的应用.解题时,(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的前n项和求出首项和公差,进而求出数列{a n}的通项公式;(2)利用裂项相消法求和.【备注】数列在全国卷中的命题有两种可能:一是命客观性试题,此类题往往命制两道;二是命一道客观题和一道解答题,解答题有两问,第(1)问是数列的基础知识与基本技能性问题或是等差、等比数列的基本量之间的关系问题,第(2)问往往与错位相减或裂项相消的求和方法结合.18．如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点.(1)若F为BB1的中点,判断AC1与平面DEF是否平行?若平行,请给予证明,若不平行,说明理由;(2)试问:在侧棱BB1上是否存在点F,使三棱锥F-DEB的体积与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为.【答案】(1)通解连接B1C,BC1交于点G,连接DG,FG,则DG∥AC1,因为DG⊂平面GDF,AC1⊄平面GDF,则AC1∥平面GDF.由于平面GDF∩平面DEF=DF,故AC1与平面DEF不可能平行.优解连接B1C,BC1交于点G,连接DG,FG,则DG∥AC1,而DG⊄平面DEF,且DG与平面DEF交于点D,故AC1与平面DEF不可能平行.(2)假设点F存在,由,得,显然,点F不存在.【解析】本题第(1)问考查线面平行的判定,只要抓住线面平行的判定定理即可产生结论;第(2)问考查多面体的体积计算,只要抓住体积的计算方法即可.【备注】以多面体为依托,设计多问的形式,既考查线线、线面、面面的位置关系,也考查空间距离、表面积、体积等数量关系是近几年命题的一大趋势,解题时,考生要注意作图、证明和计算相结合的“三合一”步骤.19．为了对中考成绩进行分析,某中学从分数在70分(满分100分)以上的全体同学中随机抽出8位,他们的数学、物理分数对应如下表:(1)若分数在80分以上为“优”,否则为“一般”,是否有90%的把握认为数学“优”与物理“优”有关?(2)从物理或数学分数在80分以上的同学中任意挑选2名,求这2名同学的数学与物理分数恰好都在80分以上的概率.附:K2=.【答案】(1)根据题中条件,对两变量进行分类,则数学“优”的有4人,“一般”的有4人;物理“优”的有6人,“一般”的有2人.列联表如下:则K2=≈1.067<2.706,显然,没有90%的把握认为数学“优”与物理“优”有关.(2)由已知数表可以看出,物理或数学分数在80分以上的同学共6人,其中4人的物理与数学分数都在80分以上,设这4人分别为A1,A2,A3,A4,另外2人为B1,B2,则从中任选2人的所有基本事件为A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2,共15个,记“这2名同学的数学与物理分数恰好都在80分以上”为事件M,则M所包含的基本事件为A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,共6个.故P(M)=,于是,这2名同学的数学与物理分数恰好都在80分以上的概率为.【解析】本题考查独立性检验与古典概型的概率求解.第(1)问,首先要准确列出列联表,然后结合公式进行正确计算即可;第(2)问,要合理、准确列举基本事件,注意不要遗漏. 【备注】概率与统计的命题常常有三种方式:其一,与统计图、表结合,第(1)问考查统计的基础知识与基本技能,第(2)问考查古典概型的概率;其二,考查线性回归的有关知识与基本技能;其三,与独立性检验相结合,考查有关统计的基础知识与基本技能.20．已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为,点M是椭圆上一点,三角形MF1F2的面积的最大值为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A、B,焦点F2到直线l的距离为d,如果直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列,求d的取值范围.【答案】(1)由题意可得,又三角形MF1F2的面积的最大值为1,∴·2c·b=1,即bc=1.又a2=b2+c2,∴b2=c2=1,a2=2,故椭圆的标准方程为+y2=1.(2)依题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m(m≠k),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-1)=0,∴由Δ>0得2k2+1>m2,①.又直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列,∴+=2k,∴+=2k,即+=2k,化简得(m-k)(x1+x2+2)=0,因为m≠k,所以x1+x2+2=0,即-+2=0,得m=k+.②由①②得(k+)2<2k2+1,解得k2>.又点F2(1,0)到直线l的距离d==|2k+|·=(2+)·,令t=(1<t<),则d=(+)·(t+),易知f(t)=t+在(1,)上单调递减,所以<d<2.故d的取值范围是(,2).【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程及直线与椭圆的位置关系等知识,考查考生的数形结合思想和逻辑推理能力.(1)由离心率为,焦点三角形MF1F2的面积的最大值及a2=b2+c2,即可得椭圆的标准方程;(2)先利用直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列,得m=k+,又直线l与椭圆交于两个不同的点A、B,直线l与椭圆方程组成关于x的一元二次方程,由Δ>0得2k2+1>m2,再由点到直线的距离得d=(2+)·,利用换元法及函数的单调性求得<d<2.【备注】高考对圆锥曲线的考查一般分多问,第(1)问一般根据圆锥曲线的定义或几何性质求解圆锥曲线的标准方程,第(2)问一般在求出圆锥曲线方程的基础上,通过求解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用根与系数的关系得到含有参数的等式,再进一步研究参数的取值范围、中点弦问题、弦长或面积的最值问题等.21．已知函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y-3=0平行.(1)求证:方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的实根;(2)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小者),求m(x)的最大值.【答案】(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,所以,又,所以.设当x∈(0,1]时,,又h(2)=3ln 2-=ln 8->1-1=0,所以存在∈(1,2),使.因为++1+,当x∈(1,2)时,,,所以0<<,所以<,所以>1->0,所以当x∈(1,2)时,单调递增,所以方程在(1,2)内存在唯一的实根.(2)由(1)知,方程在(1,2)内存在唯一的实根,且x∈(0,)时,,又当x∈(,2)时,,当x∈(2,+∞)时,,所以当时,,所以当时,所以=.当x∈(0,x0)时,若x∈(0,1],则m(x)≤0;若x∈(1,x0],由m'(x)=ln x++1>0,可知0<m(x)≤m(x0),故当x∈(0,x0]时,m(x)≤m(x0).当x∈(x0,+∞)时,由m'(x)=可得当∈(x0,2)时,m'(x)>0,m(x)单调递增;x∈(2,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减.可知m(x)≤m(2)=,且m(x0)<m(2).综上可得,函数m(x)的最大值为.【解析】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、最值,考查考生的运算求解能力和分类讨论思想的应用.第(1)问先利用导数的几何意义求出a,再证明存在性,最后研究函数的单调性,从而证明唯一性;第(2)问利用分类讨论思想求解.【备注】(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,高考对导数的考查是多方面的,但一般是先利用导数的方法研究函数的单调性、极值和最值等,再结合方程、不等式等问题把试题引向深处.解与不等式恒成立相关的问题,一般可通过不等式的变形来分离变量,从而构造新的函数,转化为新函数的单调性和最值问题来求解.22．如图,AD,CE分别是△ABC的两条高.(1)求证:BE·BA=BD·BC;(2)若AC=10,sin B=,求DE的长.【答案】(1)由AD⊥BC,CE⊥AB,得∠ADB=∠CEB,又∠B为公共角,所以△ADB∽△CEB,于是⇒BE·BA=BD·BC.(2)因为AD⊥BC,CE⊥AB,所以D,E都在以AC为直径的圆上,即A,E,D,C四点共圆,所以∠BED=∠ACB,又∠DBE=∠ABC,所以△BDE∽△BAC,故=cos B=(B为锐角),所以DE=AC=6.【解析】本题考查三角形相似及四点共圆等,考查考生分析问题、解决问题的能力.第(1)问利用相似三角形产生比例关系,进一步产生结论;第(2)问建立在四点共圆及圆的性质的基础上,通过圆内接四边形的性质产生结论.23．已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(φ为参数),定点P(-1,0).(1)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|AP|·|BP|的值;(2)过点P作曲线C的切线m(斜率不为0),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求切线m的极坐标方程.【答案】(1)曲线C的普通方程为y=2x2,将直线l的参数方程代入得t=2(-1+t)2,整理得t2-(4+)t+4=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=4,因而|AP|·|BP|=|t1t2|=4.(2)由题意可知,切线斜率一定存在,设过点P作曲线C的切线为x=ny-1(n≠0),由,得2nx2-x-1=0,Δ=1+8n=0,因而n=-,则切线m的直角坐标方程为8x+y+8=0.将代入,得直线m的极坐标方程为8ρcosθ+ρsinθ+8=0.【解析】本题考查参数方程与极坐标方程的知识,主要是参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化,同时考查直线与抛物线的位置关系及直线的参数方程中参数的几何意义.24．已知不等式|x+9|-|3x-4|+2>0的解集为(a,b),f(x)=px+q.(1)试求a,b的值;(2)若2p2+6q2=3,当x∈[a,b]时,求证:f2(x)≤2.【答案】(1)①当x∈(-∞,-9)时,不等式转化为-(x+9)+3x-4+2>0⇒x>,与x∈(-∞,-9)矛盾;②当x∈[-9,]时,不等式转化为x+9+3x-4+2>0⇒x>-,结合x∈[-9,]得-<x≤;③当x∈(,+∞)时,不等式转化为x+9-(3x-4)+2>0⇒x<,结合x∈(,+∞)得<x<.由①②③可得解集为{x|-<x<}.从而得a=-,b=.(2)将q=f(x)-px代入2p2+6q2=3得,2p2+6[f(x)-px]2=3,整理得(2+6x2)p2-12xf(x)·p+6f2(x)-3=0.由于关于p的一元二次方程一定有实根,则Δ=[-12xf(x)]2-4(2+6x2)[6f2(x)-3]≥0⇒f2(x)≤.由a=-,b=得x∈[-1,1],故≤2,即f2(x)≤2.【解析】本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明.第(1)问通过零点分段讨论即可产生结论;第(2)问建立在绝对值不等式的基础上,结合综合法即可产生结论.。
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河北百校联盟2016届高三新课标大联考
数学（文）试题（一）
编审 阳光启学数学研究室
注：1．本卷总分150分，考试时间120分钟；
2．考试范围：集合与逻辑20%，函数（包括导数、微积分）40%，三角函数40%.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，则M N= ( )
2．设全集U={r∈R z≥0），函数f(x)=lg (x-l)的定义域为M,
则CuM为
A.[0,1) B.[0,1] C.(0,1) D.(0,1]
3.下列函数中，在其定义域内为偶函数且有最小值的是 ( ：
4．设则
A．c
一定和x轴有交点；③偶函数的图像的对称轴只有1条；④既是奇
函数又是偶函数的函数只有一个，其中正确命题的个数是 ( ：
A．1 B。2 C．3 D．4
6.函数的图象大致是
7．“x 2+y 2≤1”是“│x│+│y│≤1”成立的 (
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
8．在△ABC中，如果cos(2B+C)+2sinAsinB<0，那么△ABC是( )
A.锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
9．已知函数为偶函数，其图象与直线y
=2的两个交点的横坐标分别为的最小值为
π，则该函数的一个单调递增区间可以是 ( )
10.函数零点的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知函数，且对于不等于-3/2的任何实
数x，满足，则实数c的值为 ( )
A．-3 B．-2 C．2 D．3
12．已知定义在R上函数，’(z)的值域也是R，并且函数f (x)单调，
则方程的解的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中
的横线上）
13．已知，则的值为 ．
14.已知a是实数，函数，若，则曲线y=
f (x)在点 处的切线方程为
15.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加白主招生考试，考试
结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．”
乙说：“我们四人中有人考的好．”
丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”
丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中 两人说对了。
1 6．已知函数f(x)=loga是奇函数（a>0，a≠1），则m的值等于
——．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
如图为一个观览车示意图，该观览车半径为4. 8m，圆上最
低点与地面距离为0. 8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂
直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距
离为h．
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系
的函数解析式；
(3)填写下列表格：
θ 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°
h(m)
t(s) 0 5 10 15 20 25 30
h(m)
18.（本小题满分12分）
已知f(x)是R上的单调函数，，总有
恒成立．
(1)求x0的值；
(2)若，求an
19.（本小题满分12分）
已知命题P：函数，若x∈[-2，2]时，则
f(x)≥2恒成立．
(1)当命题P为真命题时，求实数以的取值集合M；
(2)当集合E={a│a∈M，}n∩Z（Z为整数集）时，求集合E的子
集的个数．
20.（本小题满分12分）
若函数f(x) =sin2ax-sinaxcosax(a>0)的图像与直线y=m（m为
常数）相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为2'
(1)求m的值；
(2)若点A(x0，y0)是y=f(x)图像的对称中心，且x0∈，
求点A的坐标．
21.（本小题满分12分）
某质点A从时刻t-0开始沿某方向运动的位移为：
(1)比较质点A在时刻t=3与t=5的瞬时速度大小；
(2)若另一个质点B也从时刻t=0开始沿与A相同的方向从同
一个地点匀速运动，运动速度为15/4，质点B何时领先于质点
A最远？并且求此最远距离．
22.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=x2+3x-3-kex．
(1)当x≥-5时，f(x)≤0，求k的取值范围；
(2)当k= -1时，求证：f(x)>一6．