正交试验设计与数理统计作业
正交试验设计与数理统计作业
正交试验设计与数理统计作业The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020第三章：统计推断第3章第7题分别使用金球和铂球测定引力常数（1）用金球测定观察值：，，，，，；（2）用铂球测定观察值：，，，，。
σ），u，2σ均为未知。
试就1，2两种情况分别求u 设测定值总体为N（u，2σ的置信度为的置信区间。
的置信度为的置信区间，并求2（1）金球均值置信度为的置信区间，SAS程序如下：①打开SAS软件②打开solution-analysis- analyst输入数据并保存③打开analyst，选择jingqiu文件，打开：④Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量jq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为%：⑤结果输出：金球u的置信度为的置信区间为,。
（2）铂球均值置信度为的置信区间，SAS程序如下：①打开solution-analysis- analyst输入数据并保存②打开analyst，选择Bq文件，打开：③Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量bq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为%：④结果输出：铂球u的置信度为的置信区间为,。
（3）金球方差置信度为的置信区间，SAS程序如下：①打开analyst，选择Bq文件，打开数据：②Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample Test for a Variance，将待分析变量jq送入Variable中，并在Null:Var中设置一个大于0的数，再单击Intervals，选中Interval，设置confidence level设置为%：③结果输出：金球σ2的置信度为的置信区间为(676E-8,（4）铂球方差置信度为的置信区间，SAS程序如下：①Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample Test for a Variance，将待分析变量bq送入Variable中，并在Null:Var中设置一个大于0的数，再单击Intervals，选中Interval，设置confidence level设置为%：②结果输出：铂球σ2的置信度为的置信区间为(379E-8, 507E-7)。
数理统计第八章 正交实验设计
即对于在 A1下的四次试验和 A下的四次试验来说， 2 虽然其它条件（ B 、 C、 D）在变动，但这种变动是 A2之间差异反映了A的两 “平等的”，所以 A 和 1 个水平的不同，由于
表 头 设计 列号 试验 1 2 3 4
A
B
C
D
试验 结果
1 1 1 1 1 2 2 2 2 366 358 91.5
5
因此多因子试验问题的突出矛盾是： (1)所有可能搭配的试验次数与实际可行的试验次数之 间的矛盾。 (2)实际所作少数试验与要求全面掌握内在规律之间的 矛盾。 为了解决第一类矛盾，要求必须合理地设计和安排试 验，以便通过尽可能少的试验次数，就可抓住主要矛 盾。 为解决第二类矛盾，要求我们对试验结果作科学的分 析，透过现象看本质，认识内在的规律，为解决问题 提供可靠的依据。
7 8
§8.2 正交表
正交表是试验设计中合理安排试验，并对数据 进行统计分析的主要工具。 正交表用符号 L p (n ) 表示。 “ L ”代表正交表， “ p ”表示表中的行数，即要作的试验次数， “ m ”表示表中有m列，即最多允许安排的因 子 个数， “ n ”表示水平数。
m
L4 ( 23 )
B2
D1
D2
500毫米汞柱 600毫米汞柱
2
我们通常称影响试验指标的因素为因子， 用大写字母A，B，C，…表示； 可能处于的状态称为水平，用该字母加上足标 表示。 例如，A1 ，A2 …表示因子A的第一，第二，… 水平等。 我们把实验中需要考虑多个因子，而每个因子 又有多个水平有待考查的试验问题称为多因子 试验问题。 例8.1.1就是四个两水平的因子试验问题。
3
我们希望通过试验解决的问题是： （1）找出各因子对指标的影响规律，哪个因子是主 要的，哪个是次要的？哪些因子除了各自的单独作 用外，它们之间还产生综合效果？这种综合效果有 多大？对指标的影响，综合效果是主要的，还是因 子的单独作用是主要的？
数理统计 第4章 方差分析、正交试验设计
r
ni
i i 1 1 ni 2 nni i i
r
组间离差平方和之和。 组间离差平方和之和。 于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和
Q QT QE QA QE 、 QA 、 Q T QE QA QE 、 QA QE A E A 于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和与 于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和与 QT QE Q Q QA QT QE QA QT T E A E A
Q Q1 Q2 Qr ， 其中 Qi 是 Y1 ,Y2 ,,Yn 的线性组合的
平方和 （即非负定二次型） ，自由度为 f j ， j 1,2,, r ， 则有： Q1 , Q2 ,, Qr 相互独立，且
Q j ~ 2 ( f j ) n f1 f 2 f r .
X ij ~ N ( , 2 )
X ij
~ N (0,1)
i 1,2,, r ， j 1,2,, ni 且相互独立，
于是 Q (
i 1 j 1
r
ni
X ij
)2 ~ 2 (n) ,
且有
Q 1
2
1
[( X
i 1 j 1 r ni i 1 j 1
1 r E( X ) ni i ； n i 1
水平
Ai 的均值： X i
1 ni
r
X
j 1
ni
ij
~ N ( i ,
2
ni
)；
( X ij X )2 ； 离差平方总和： QT
i 1 j 1
ni
2 QT ( X ij X ) ； 离差平方总和： i 1 j 1
正交试验习题与解答
1．正交试验设计法的基本思想正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。
它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。
下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。
[例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围：A：80-90℃B：90-150分钟C：5-7％试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。
试制定试验方案。
这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：A：A l＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃B：B l＝90分，B2＝120分，B3=150分C：C l＝5％，C2＝6%，C3＝7%当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。
而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。
这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法：(Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即A l B l C1，A1B l C2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有33=27次试验。
用图表示就是图1 立方体的27个节点。
这种试验法叫做全面试验法。
全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。
但试验次数太多。
特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。
试验量大得惊人。
如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。
如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。
而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。
(Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C 于B l、C l，使A变化之：↗A1B1C1→A2↘A3 (好结果)如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是C l，使B变化之：↗B1A3C1→B2 (好结果)↘B3得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之：↗C1A3B2→C2 (好结果)↘C3试验结果以C2最好。
概率论和数理统计 正交试验设计
§6.3
正交试验设计
正交试验设计:处理多因素、多水平试验的一种有效的方法．它利用 一种规格化的数表——正交表，从全面试验中挑选出部分有代表性 的点进行试验，这些有代表性的点具备“均匀分散、齐整可比”的 特点，不仅使试验次数大大减少，还便于进行进一步的统计分析． 在试验中,根据试验目的而确定的衡量试验结果的特征量称为指标. 如：产品的质量参数（如重量、尺寸、速度、温度、寿命等）， 也可以是成本、效率等， 按其性质来分可分为定性指标和定量指标两类．通常我们研究的 是定量指标. 影响试验指标的试验条件(要素或原因)称为因素(或因子)，因素 在试验中所处的各种状态称为因素的水平． 在试验中可以人为地加以调节和控制的因素称为可控因素．由于 自然、技术和设备等条件的限制，暂时还不能为人们控制和调节 的因素（如气温、降雨量等）称为不可控因素．
6.3.2 正交表 正交表是一种专门用于安排多因素多水平试验的特殊表格．
正交表用符号
Ln ( r m )
其中字母L表示正交表，其它3个字母表示3个正整数 . n 表示试验的次数，也是正交表的行数；
m 表示试验最多可安排的因素的个数，也是正交表的列数； r 表示各因素的水平数.
正交表 L8 (27 )
4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
4
5 6 7 8
1 2 2 2 2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2
正交表具有如下基本特点： （1）表中任一列中，不同数字出现的次数相同．如在表L8(27) 中，数字1,2在每列中均出现4次. （2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同．如 表L8(27)中任意两列，数字1,2间的搭配是均衡的. 凡满足上述两个性质的表都称为正交表 . 常用的正交表，2水平的有 L4 (23 )，L8 (27 )，L12 (211 )，L16 (215 ) 3水平的有 L9 (3 )，L27 (3 ) 3水平以上的有
正交试验设计及其统计析
05
结论
正交试验设计的优势与局限性
高效
通过合理地减少试验次数，提高试验 效率。
全面
能够全面地探索各个因素之间的交互 作用。
正交试验设计的优势与局限性
• 可靠：基于统计理论，结果具有较高的可 靠性。
正交试验设计的优势与局限性
适用范围有限
适用于因素数量和水平数目不太多的情况。
对数据要求较高
需要大量的数据进行分析，且数据质量要高。
促进科学决策
通过正交试验设计和统计分析，能够 为企业或研究机构提供科学依据，促 进科学决策和优化方案制定。
02
正交试验设计的基本原理
正交表的选择与设计
正交表的选择
交互作用和误差控制
根据试验因素的数量、水平数和试验 次数，选择合适的正交表。
考虑因素间的交互作用和误差控制， 确保试验结果的准确性和可靠性。
试验因素和水平的确定
明确试验目的，确定试验因素和水平， 确保试验结果具有实际意义。
Hale Waihona Puke 试验方案的制定试验操作步骤
根据正交表，确定每个试验方案的试验操作步骤。
数据记录
预先设计好数据记录表格，以便准确记录每个试 验方案下的数据。
试验重复
考虑试验的重复性，以提高结果的稳定性和可靠 性。
试验结果的收集
数据整理
方差分析
方差分析的原理
方差分析用于检验各因素对试验指标 的影响是否显著，通过比较各因素的 方差贡献，判断其对试验指标的影响 程度。
方差分析的应用
在正交试验设计中，方差分析可用于 确定显著影响因素，并进一步优化试 验条件。
回归分析
回归分析的原理
回归分析通过建立数学模型描述各因素与试验指标之间的数量关系，并预测不同因素水平下试验指标 的变化趋势。
数理统计：正交试验设计
１ １ １ １ ２ ２ 列 ２ １ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３ ２ ３ 号 ４ １ ２ ３ ３ １
4
６
７ ８
２
２ ２
１
２ ２
２
１ １
２
１ ２
１
２ １
２
２ １
１
１ ２
６
７ ８
２
３ ３
３
１ ２
１
３ １
２
２ ３
９
３
３
２
１
２．正交表的特点
（１）表的各列地位平等，各列之间可以互换；
（２）表的各行地位平等，各行之间可以互换； （３）表中每列的不同数码的个数相同，水平记 号可以互换； （以上三种变换称为初等变换，经过变换所得的 表称为原表的同构表。） （４）表的任意两列的各水平所构成的有序数对 是一个带有相同重复数的完全数对。由此表明了表 的正交性。
计算结果如下表：
因 素 水平
Ａ
１８０ ２１０ ２４６ ６０
Ｂ
２１０ ２２５ ２０１ ７０
Ｃ
１９５ ２３７
K1 K2 K3 K1 K2 K3 R
２０４
６５
７０
８２ ２２
７５
６７ ８
７９
６８ １４
先计算每个因素的各个水平的试验结果之和, 如因素Ａ的第一水平（1,2,3号试验）的结果之和 为51＋71＋58＝180，第三水平（7,8,9号试验） 为77＋85＋84＝246，又如因素Ｂ的第二个水平 （2,5,8号试验）为71＋69＋85＝225，因素Ｃ的 第三水平（3,5,7号试验）为58＋69＋77＝204。 其次计算每个因素的各个水平的平均试验结果， 即将每水平下的结果之和除以该水平的重复试验 的次数，如因素Ａ的第一水平的平均试验结果为 180／3＝60, 等等。如果设定的指标越高越好的 话，则平均结果高的水平就是相对比较好的水平。 最后计算每个因素的极差Ｒ， Ｒ＝最大的平均结果－最小的平均结果。
正交试验设计与数理统计作业
第三章：统计推断第3章第7题分别使用金球和铂球测定引力常数（1）用金球测定观察值：6.683，6.681，6.676，6.678，6.679，6.672；（2）用铂球测定观察值：6.661，6.661，6.667，6.667，6.664。
σ），u，2σ均为未知。
试就1，2两种情况分别求u的置信度设测定值总体为N（u，2σ的置信度为0.9的置信区间。
为0.9的置信区间，并求2（1）金球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下：①打开SAS软件②打开solution-analysis- analyst输入数据并保存③打开analyst，选择jingqiu文件，打开：④Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量jq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：⑤结果输出：金球u的置信度为0.9的置信区间为(6.67,6.68)。
（2）铂球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下：①打开solution-analysis- analyst输入数据并保存②打开analyst，选择Bq文件，打开：③Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量bq 送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：④结果输出：铂球u的置信度为0.9的置信区间为(6.66,6.67)。
（3）金球方差置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下：①打开analyst，选择Bq文件，打开数据：②Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample Test for a Variance，将待分析变量jq 送入Variable中，并在Null:Var中设置一个大于0的数，再单击Intervals，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：③结果输出：金球σ2的置信度为0.9的置信区间为(676E-8, 0.0001)（4）铂球方差置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下：①Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample Test for a Variance，将待分析变量bq送入Variable中，并在Null:Var中设置一个大于0的数，再单击Intervals，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：②结果输出：铂球σ2的置信度为0.9的置信区间为(379E-8, 507E-7)。
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第三章：统计推断第3章第7题分别使用金球和铂球测定引力常数（1）用金球测定观察值：6.683，6.681，6.676，6.678，6.679，6.672；（2）用铂球测定观察值：6.661，6.661，6.667，6.667，6.664。
σ），u，2σ均为未知。
试就1，2两种情况分别求u的置信度为设测定值总体为N（u，2σ的置信度为0.9的置信区间。
0.9的置信区间，并求2（1）金球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下：①打开SAS软件②打开solution-analysis- analyst输入数据并保存③打开analyst，选择jingqiu文件，打开：④Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量jq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：⑤结果输出：金球u的置信度为0.9的置信区间为(6.67,6.68)。
（2）铂球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下：①打开solution-analysis- analyst输入数据并保存②打开analyst，选择Bq文件，打开：③Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量bq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：④结果输出：铂球u的置信度为0.9的置信区间为(6.66,6.67)。
（3）金球方差置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下：①打开analyst，选择Bq文件，打开数据：②Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample Test for a Variance，将待分析变量jq送入Variable中，并在Null:Var中设置一个大于0的数，再单击Intervals，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：③结果输出：金球σ2的置信度为0.9的置信区间为(676E-8, 0.0001)（4）铂球方差置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下：①Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample Test for a Variance，将待分析变量bq送入Variable中，并在Null:Var中设置一个大于0的数，再单击Intervals，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：②结果输出：铂球σ2的置信度为0.9的置信区间为(379E-8, 507E-7)。
第3章第13题本题是两个正态总体的参数假设检验问题。
题目中已知两个总体方差相等，且相互独立。
关于均值差u1-u2的检验，其SAS程序如下：①打开solution-analysis- analyst输入数据并保存②打开analyst，选择markandsgrass文件，打开：③Statistics ——Hypothesis Tests——Two Sample t-test for Means，选择Twovariables，将两个变量分别送入Group1和2，并设置Mean1-Mean2=0，再将confidence level设置为95.0%：④结果输出：因为在t 检验中p-value 值0.0013<0.01，所以高度拒绝原假设，即认为两个作家所写的小品文中包含由3个字母组成的词的比例有高度显著的差异。
第3章第14题本题也是两个正态分布参数的假设检验问题，对方差进行假设检验，采用F检验，其相关SAS程序如下：①同上题的①②两步，打开数据；②Statistics ——Hypothesis Tests——Two Sample test for Variances，选择None，并将confidence level设置为95.0%：③结果输出：因为在F检验中p-value 值0.2501>0.1，所以高度接受原假设，即认为两总体方差相等是合理的。
第四章方差分析和协方差分析第4章第1题本题目属于单因素试验的方差分析，且题目中已知各总体服从正态分布，且方差相同，其SAS程序如下：①将数据输入SAS生成数据文件，然后运行②打开analyst，然后选择数据文件kangshesu，打开：③Statistics ——ANOV A ——ONE-WAY ANOV A，将分类变量su送入Independent中,将响应变量x送入Dependent中：④结果输出：因为p-value 值< 0.0001，所以高度拒绝原假设，即认为这些百分比的均值有高度显著差异。
第4章第2题①将数据输入SAS生成数据文件，然后运行②打开analyst，然后选择数据文件Dl，打开：③选择Statistics →ANOV A →FATORIAL ANOV A，将分类变量nd和wd送入Independent 中,将响应变量X送入Dependent中：④结果输出：从分析结果可知，浓度nd的p-value值0.0442<0.05,所以浓度对生产得率的影响显著；温度wd的p-value值0.5657>0.05和交互作用nd*wd的p-value值0.5684>0.05，所以温度和交互作用对生产得率的影响不显著，即只有浓度的影响是显著的。
第五章正交试验设计第5章第1题第5章第3题将A、B、C、D四个因素的水平按照L（34）排出普通配比方案如下：由于题目要求各行的四个比值之和为1，故对每行分别进行计算：第一组：0.1+0.3+0.2+0.5=1.1第二组：0.1+0.4+0.1+0.3=0.9第三组：0.1+0.5+0.1+0.1=0.8第四组：0.3+0.3+0.1+0.1=0.8 第五组：0.3+0.4+0.1+0.5=1.3 第六组：1.3 第七组：0.9 第八组：0.9 第九组：1.31号试验中四种因素的比为 A:B:C:D=0.1:0.3:0.2:0.5，因此在1号试验中A=0.1*5.02.03.01.01+++=0.091；B=0.3*5.02.03.01.01+++=0.273C=0.2*5.02.03.01.01+++=0.181；D=0.5*5.02.03.01.01+++=0.455同理：在2号试验中A=1/9=0.111；B=4/9=0.444；C=1/9=0.111；D=3/9=0.334 在3号试验中A=1/8=0.125；B=5/8=0.625；C=1/8=0.125；D=1/8=0.125 在4号试验中A=3/8=0.375；B=3/8=0.375；C=1/8=0.125；D=1/8=0.125 在5号试验中A=3/13=0.231；B=4/13=0.308；C=1/13=0.077；D=5/13=0.384 在6号试验中A=3/13=0.231；B=5/13=0.384；C=2/13=0.154；D=3/13=0.231 在7号试验中A=2/9=0.222；B=3/9=0.334；C=1/9=0.111；D=3/9=0.335 在8号试验中A=2/9=0.222；B=4/9=0.444；C=2/9=0.222；D=1/9=0.112在9号试验中A=2/13=0.153；B=5/13=0.385；C=1/13=0.077；D=5/13=0.385 最后按照各自的比例计算，得到所求的配比方案如下表：第六章 回归分析第6章第5题（1）做散点图，利用SAS/INSIGHT 进行操作，其SAS 程序及结果如下： ①将数据输入SAS 生成数据文件，然后运行：②打开SAS Interactive data analysis，然后选择数据文件，打开：③Analyze——Scatter Plot，在Scatter Plot窗口中将自变量x送入X, 将因变量y送入Y：④结果输出：（2）回归方程求解：根据题意求y与x、x2之间的回归方程，因此令x1=x，x2=x2，采用SAS/INSIGHT进行求解，其相应的SAS程序及结果如下：①将数据输入SAS生成数据文件，然后运行：②打开SAS Interactive data analysis，然后选择数据文件，打开：③设置参数，Analyze→Fit，将Fit窗口中的自变量x1, x2送入X, 将因变量y送入Y④结果输出：结果第二部分提供了关于多元线性回归模型拟合的一般信息和模型方程，方程表明截距估计值为19.0333，1.0086表明在固定x2时，x1每增加1个单位时，y增加1.7853，同理可知-0.0204的意义。
结果第三部分是模型拟合的汇总度量表，其中的相应均值(Mean of Response)是因变量y 的平均值，模型决定系数R^2为0.6140，表明变量y变异有61.40%可由x1，x2两个因素变动来解释. 校正-R^2为0.5497，考虑了加入模型的变量数，所以比较不同模型时用校正-R^2更适合。
结果第四部分是方差分析表，是对模型作用是否显著的假设检验。
由于p-value值0.0033<0.05<0.01，所以高度拒绝原假设，即认为有足够的理由断定该模型比所有自变量斜率为0的基线模型要好。
结果第五部分是三型检验表(Type III Tests)，是F统计量和相联系的p值检验各自变量的回归系数为零的假设.0.0152(<0.05)表明x1的回归系数在统计上作用显著，不能舍去.同理0.0393（<0.05）表明x2的回归系数在统计上作用显著，不能舍去。
结果第六部分是参数估计表，给出了排除其它因素的各回归系数的显著性，包括对截距和变量x1，x2 的显著性检验.其中＜0.0001(<0.05)表明截距的作用显著，不能舍去。
将x1=x，x2=x2，代入回归方程即可得到x、x2、y之间的回归方程为：y=19.0333+1.0086x-0.0204x2 。
第6章第6题①将数据输入SAS生成数据文件，然后运行：②打开SAS Interactive data analysis，然后选择数据文件，打开：③设置参数，Analyze→Fit，将Fit窗口中的自变量x1, x2,x3送入X, 将因变量y送入Y④结果输出：回归方程为：y=9.9000+0.5750×x1+0.5500×x2+1.1500×x3。
（1）当α=0.1时：对于截距，因P<0.0001<0.01，表明其在统计上作用高度显著，不能舍去。