概率论和数理统计 正交试验设计

6.3.2 正交表 正交表是一种专门用于安排多因素多水平试验的特殊表格．
正交表用符号
Ln ( r m )
其中字母L表示正交表，其它3个字母表示3个正整数 . n 表示试验的次数，也是正交表的行数；
m 表示试验最多可安排的因素的个数，也是正交表的列数； r 表示各因素的水平数.
正交表 L8 (27 )
安排试验:就是按照正交表中所列的水平号的组合安排实施试 验．
注：在实际应用中，为了减少试验中由于先后掌握不匀所带来的 干扰以及外界条件所引起的系统误差，试验可以不按照表上的试 验序号顺序进行，而是任意打乱顺序，随机地安排先后次序. 例6.9 在例6.8中，不考虑交互作用，试利用正交表为之安排试验.
4 13
L16 (45 )，L25 (56 )
一般正交表 Ln (r m )
n m(r 1) 1
注：在多因素试验中，如果需要考虑因素间的交互作用，还应当 在正交表中安置交互作用列，每两个因素的交互作用需要安置在 恰当的位置上，为此，每一个正交表都配有自己的交互作用表， 以明确交互作用列的相应位置．
解 由于各因素的水平都是3，故考虑型Ln(3m)表；又共有三个因素 A、B、C，共需3个列，故选用正交表L9(34).所以表头设计方案为 列号 因素 1 A 2 B 3 C 4
这样，依据L9(34). ，试验方案可安排如表6-18所示.
因素 试验号
反应温度A 1（60℃） 1（60℃） 1（60℃） 2（70℃） 2（70℃） 2（70℃） 3（80℃） 3（80℃） 3（80℃）
正交试验设计
§6.3
正交试验设计
正交试验设计:处理多因素、多水平试验的一种有效的方法．它利用 一种规格化的数表——正交表，从全面试验中挑选出部分有代表性 的点进行试验，这些有代表性的点具备“均匀分散、齐整可比”的 特点，不仅使试验次数大大减少，还便于进行进一步的统计分析． 在试验中,根据试验目的而确定的衡量试验结果的特征量称为指标. 如：产品的质量参数（如重量、尺寸、速度、温度、寿命等）， 也可以是成本、效率等， 按其性质来分可分为定性指标和定量指标两类．通常我们研究的 是定量指标. 影响试验指标的试验条件(要素或原因)称为因素(或因子)，因素 在试验中所处的各种状态称为因素的水平． 在试验中可以人为地加以调节和控制的因素称为可控因素．由于 自然、技术和设备等条件的限制，暂时还不能为人们控制和调节 的因素（如气温、降雨量等）称为不可控因素．
k1 38 37 76 151, k2 51 50 82 183, k3 44 55 86 185
ki的大小大致反映了该列所对应因素的第i水平对试验指标的“贡献” 大小．再用R表示各列中最大的ki减去最小的ki得到的差，称之为极 差，它反映了该列因素的水平变化对试验结果的影响大小，R越大， 说明这一因素对试验结果的影响越大.
6.3.3 正交试验设计的基本方法 1）使用正交表安排试验
选表: (1) 根据因素的水平数，确定正交表的类型（用几水平的 表）；(2)再根据因素（含交互作用）数，决定选用多大的表．
注：一般来说，要选用其列数大于或等于因素个数，而试验次 数又较少的正交表． 在例6.8中，因诸因素的水平数都是3，所以要选用Ln(3m)型表， 这时，有L9(34)和L27(313)可以备选； 又因共有3个因素，所以若不考虑交互作用，可选用L9(34) ；若考 虑所有因素间的交互作用，则应选用L27(313) 表头设计: 指的是将因素分别安排在所选的正交表的适当 的列号上方．其基本原则是同一列上至多只安排一个因素． 当不考虑交互作用时，诸因素可以随机被安排在任一列上的；但 若考虑某两个因素的交互作用时，安排好这两个因素后，必须紧 接着按照相应的交互作用表安排好它们的交互作用列.
由于BC重要，此时不能分别单独考虑因素B与C的情况，而应把 它们的不同水平组合的试验结果进行比较，看哪一组合最好．B与 C的不同水平共有四个组合，如在第一组合B1C1下，共对应第１号 和第５号试验两个试验结果，分别是1.5和2.0，它们的平均值为1.75； 同理，可得到其它三个组合试验结果的平均值分别为：B1C2：2.5， B2C1 :2.25，B2C2:1.75．比较可知，组合最佳B1C2． 综上分析，我们得到最佳工艺条件应为 A2B1C2
注：表6-21中交互作用所在列的水平数虽然对试验方案不产生任 何影响，但对试验结果的分析却尤为重要，这一点在下面的方差 分析中也很明显.
3）正交试验结果的方差分析 直观分析法优点：简单易懂，应用方便. 通常，应用这种简便的 方法，生产实际中的一般问题能得到处理. 直观分析法缺点：不能估计试验过程中以及试验结果测定中所存 在的误差的大小，因而不能区分某因素个水平所对应的试验结果 间的差异究竟是真正由因素水平不同所引起的，还是由试验误差 所引起的，因此不能知道分析的精度. 解决方案：可以采用方差分析的方法进行深入的统计分析，具体 就是通过对试验结果的总离差平方和的分解与分析，检验各因素、 各交互作用对试验指标的影响是否显著．
列 列
1
2
3
4
5
6
7
1
2 3 4 5 6 7
(1)
3
(2)
2
1 (3)
5
6 7 (4)
4
7 6 1 (5)
7
4 5 2 3 (6)
6
5 4 3 2 1 (7)
第(2)、(5)两列的交互作用可查此表，先在对角线上查出列号(2) 及(5)，然后从(2)向右横看与从(5)向上竖看交叉处是数字“7”， 就是说，第(2)、(5)两列的交互作用列为第7列.
2
B
3
AB
4
C
5
6
7
AC BC
故按照这一设计，至少需要做8次试验，试验方案如表6-20所示
因素 试验号 1 促进剂总 量 A 1（1.5） 炭、墨品 种 B 1 （甲） 硫磺粉量 C 1 (2.5) 试验结 果（%）
2
3 4 5 6 7 8
1（1.5）
1（1.5） 1（1.5） 2（2.5） 2（2.5） 2（2.5） 2（2.5）
反应时间B 1（2.5h） 2（3.0h） 3（3.5h） 1（2.5h） 2（3.0h） 3（3.5h） 1（2.5h） 2（3.0h） 3（3.5h）
原料配比C 1 (1.1 :1) 2 (1.15:1) 3 (1.2 :1) 2 (1.15:1) 3 (1.2 :1) 1 (1.1 :1) 3 (1.2 :1) 1 (1.1 :1) 2 (1.15:1)
水平 因素 A:反应温度(0C) B:反映时间(h) C:原料配比 1 60 2.5 1.1﹕1 2 70 3.0 1.15﹕1 3 80 3.5 1.2﹕1
试验:三个因素，每个因素均有三个水平. 如果采取全面试验法，总共就至少要做27次试验．而采用正交 试验设计法，如果不考虑交互作用则最少只需要做9次试验.
注: (1)在正交试验中所考察的因素都是指可控因素，通常用 大写英文字母A、B、C表示．
(2)在试验中,考虑几个状态，就称该因素为几水平因素.
例6.8 为提高某化工产品的转化率，选取了三个有关因素做试验： 反应温度，反应时间，两种原料的配比．根据以往的经验，对每 个因素分别取了三个不同的水平，如表所示．问：应如何安排试 验？
列号 试验号 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2
4 正交表 L9 (3 )
列号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 1 2 3 2 3 1 3 1 2
1
2 2 1 1 2 2
（甲）
（乙） （乙） （甲） （甲） （乙） （乙）
2
1 2 1 2 1 2
(2.0)
(2.5) (2.0) (2.5) (2.0) (2.5) (2.0)
Hale Waihona Puke 例6.11 如果按例6.10所给方案实施试验，所得试验结果（弯曲次数 yi）按试验号顺序对应依次为(单位：万次)：1.5 2.0 2.0 1.5 2.0 3.0 2.5 2.0 ；试用极差分析法对该结果做出分析，并确定最佳工艺条件
4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
4
5 6 7 8
1 2 2 2 2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2
正交表具有如下基本特点： （1）表中任一列中，不同数字出现的次数相同．如在表L8(27) 中，数字1,2在每列中均出现4次. （2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同．如 表L8(27)中任意两列，数字1,2间的搭配是均衡的. 凡满足上述两个性质的表都称为正交表 . 常用的正交表，2水平的有 L4 (23 )，L8 (27 )，L12 (211 )，L16 (215 ) 3水平的有 L9 (3 )，L27 (3 ) 3水平以上的有
2 (2.0) 1 (2.5) 2 (2.0) 8 8.5 -0.5
2
1 2 1 8.5 8 0.5
1
2 2 1 7 9 -2.5
2.0
3.0 2.5 2.0 yi=16.5
可见因素A与交互作用BC的极差|k1- k2|明显最大，说明它们对试 验指标的影响最为显著；由于因素A的k2大于k1，故应选第2水平 A2 ．
试验指标为橡胶的抗弯曲次数（越多越好），要求考虑三因素 间的交互作用，问至少需要做多少次试验，并安排好试验方案.
解 由于各因素的水平都是2，故考虑型表Ln(2m)；又共有三个 因素，加3个交互作用共６个因子需要至少6列，故选用正交表 L8(27). 参照相应的交互作用表，表头设计方案为