一道IMO试题的探究与推广(陈子翔 苏津岳)

一道IMO试题的探究与推广作者：陈子翔、苏津岳摘要关于一道IMO 试题的证明、推广和一些有趣的结论。

定义同一折线：若折线AMB 与折线A ’M ’B ’为同一折线，则M 到AB 得距离与M ’到A ’B ’的距离相等。

正文题目：在线段AB 上任意选取一点M ，在AB 的同一侧分别以AM 、MB 为底作正方形AMCD 、MBEF ，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P 、Q ，设这两个外接圆又交于M 、N ，（ａ）求证 AF 、BC 相交于N 点；(ｂ)求证 不论点M 如何选取 直线MN 都通过一定点 S ；(ｃ) 当M 在A 与B 之间变动时，求线段 PQ 的中点的轨迹。

（第一届IMO 试题）证明：（ａ）证法1、M 在AB 中点左右对结论无影响，只需沿AB 中垂线翻折即可，固只需讨论M 在AB 中点左侧情况。

∵∠ANM=12∠AMP=045 ∠FNM=0180—12∠FQM=0135∴∠ANM+∠FNM=0180 ∴A 、N 、F 三点在一线又∵在△AMF，△MCB中，AM=ML；∠AMF=∠BMP=090；MF=BM∴△AMF≌△MCB（SAS）∴∠CMB=∠AFM=∠NFM=∠NBM∴N、C、B三点一线∴AF、BC相交于N点证法2：连AF，BC易知△FMA≌△BMC延长BC交AF于K∠FKB=90°=∠BKA=∠FEB=∠CDA∴FEBK四点共圆，ADKM四点共圆∵三点确定一个圆∴K即为两圆交点N∴AF，BC交于N(ｂ)设AM=a,BM=b，过N点做垂直于AB的线段NK ∴易证：△ANK∽△AMF且△AFM≌△DBM∴NK a MKb a-=NK b MKa b+=相减得N K a bM K b a+=-∴延长NM与AB的中垂线交于一点V。

中垂线与AB交于一点U∴△MNK≌△MVU∴UV NK a bMU MK b a+==-∴2a bUV+=∵2a b+不变∴必经点V(ｃ)设PQ中点离AB的高为h A与h的距离为S’∴ 22’ 244a b a b AB h PQ AB hA h S ++===∴设中点离的高为与的距离为'42a b a s +=+∴PQ 中点与AB 距离不变∴PQ 中点的轨迹运行为平行于AP 的平行线且绐终于4a b +处，长度为2AB探究与发现：发现一：通过图画，我们惊异的发现DNE 似乎也三点一线，也就是说DE 、AF 、BC 三线共点于一点N 。

那么是否果真如此？证明：连DN ，NE∵∠DNM=∠DCM=090∠MNE=∠F=090∴∠DNM+∠MNE=0180 ∴N 、D 、E 三点一线结论成立与此同时，我们还发现固定点S 是以AB 为边向下做正方形的外接圆圆心。

那么是否对于任意正n 边形均成立？ 我们先举一例特殊情况来进行检验 特殊情况的讨论：为了检验猜想的准确性，我们选取了n=3时特殊情况进行探究。

n=3时 证明：设AM=a ，MB=b ，AB=k①∵∠CNM=∠MND=0120∠ANM=∠MNB=∠ACM=∠MDB=060 ∴∠AND=060+0120=0180∠CNB=060+0120=0180∴C 、N 、B 三点共一线；A 、N 、D 三点共一线②以AB 为X 轴，A 为原点O 创建直角坐标系∵222()())2a x y -+-=222()())2b x a y ⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦相减推出（a ，0）即M (,)22K K -也即为S③过PFQ 分别做121,,PK FK Q ⊥AB223232a b FK +==122224a b a bK K ++==∴244a b k K A a a +=+=+ （02ka ≤≤） 轨迹为平行于AB 的线段，长为2k ，离AB的距离为(12a b +可由第二问发现S 点并不是以AB 为边向下做正方形的外接圆圆心。

但仍为一固定点。

BA猜想与讨论：于是我们对于以上的发现，我们猜想对于以AM 向上做的正n 边形与BM 向上做的正n 边形是否也有（1）各不同的n-1对顶点所连接而成的线段共点交于N 。

（2）两圆圆心PQ 的中点的轨迹平行于AB 。

（3）MN 所在直线经过AB 的中垂线上的一固定点S 。

普通情况的证明：第一问：必有各不同的n-1对顶点所连接而成的线段共点交于N 。

证明：如图：以A1开始，顺时针命名A1A2．．．．．．An 以B1开始，顺时针命名B1B2．．．．．．Bn ①首先我们证明A1、 B2、 N 三点成一线∵00113601802A NM n n ∠=⨯=002113601802B NM A NMn n ∠=⨯==∠∴A1、 B2、 N 三点成一线②其次我们证明 N 、1n A - n B 三点一线∵01180n nMNA MNB n -∠==∠∴N 、1n A - n B 三点一线③最后我们证明如果jA 、1j B +、N 三点一线，则1j A +、2j B +、N 三点一线，))A∵1180J j A NA n +∠=0012180180J j B NB n ++∠=-∴012180J j A NB ++∠=∴1j A +、2j B +、N 三点一线，结论成立。

由此，可递推至122n n A B N-（1122n n A B N-+）三点一线另半支的三点一线可由1n n A B N -三点一线同理可推得当n=2k 时，有一特殊情况，122n nA A +∥122n nB B +∥1n A B∴0112222180n n n nA NAB NB n -+∠==∠∴122n nA NB +共线结论成立 综上各不同点共有（2n-1）个 共有n-1条线共点，结论成立。

第二问：两圆圆心PQ 的中点的轨迹也平行于AB 。

几何法:设AM=a ，MB=b ，AB=k n 为多边形的边数设90(2)n n α-=过P 、Q 和PQ 中点X ，分别做132PK QK XK ⊥AB∵222180180tan tan18024tana b a b n n XK n ++=== 90(2)tan 4a b n n +- tan 4a b α+=124a bK K +=∴24242a b a k aAK +=+=+∵0≤a ≤k∴4k ≤2AK ≤34k∴轨迹为平行于AB 的线段，长为12k ，离AB 的距离为tan 4a bα+代数法：以A 为原点建立坐标系，设AM=a ，MB=b ，AB=k n 为多边形的边数设n 边形时,90(2)n n α-=此时，(,tan )22a a P α (,t a n )22b bQ a α+PQ 中点3(,tan )44a b a b K α++⇒ 2(,tan )44a k kK α+结论成立，平行于AB 的直线第三问：MN 所在直线经过固定点S 。

以P 为圆心，圆的方程为2222()(tan )224cos a a a x y αα-+-=以Q 为圆心，圆的方程为2222()(tan )224cos b b b x a y αα⎡⎤-++-=⎢⎥⎣⎦ 22222222311()()tan ()tan ()4444cos b a ab x a b b a a b y b a ααα++-++-+-=- ⇒ 22222111()tan (2)tan ()cos 424242ab k k k xk ak a k y ak ααα+-+-+-=-⇒22222111cos ()sin ()sin cos (2)()424242k k k ak xk ak y a k ak αααα+-+-+-=- ∴化得()cos (2)sin 0k a x y a k αα-+-=∴S点坐标为(,) 22tank kα-∴结论仍成立，对于n边形，MN仍过一固定点S，坐标如上所示。

另一方面的思考:关于AMB为折线时第一问显然还是成立但前提是两圆有交点即为顶角大于360n度。

第二问：第三问再进一步的思考：对于任意在任意折线上相似的两有外接圆的N边形，第三问仍然成立吗？对于任意的两个相似的N边形，任意一对对应线段的两端点与其外接圆圆心构成的等腰三角形显然相似（如图，△PAB∽△QCD）对于任意的N边形，都可以化为等腰三角形，即对于任意两个有外接圆的相似N边形，均有两个相似等腰三角形使得有两边上的顶点与外接圆圆心与之等价。

所以任意N边形的问题必然可以转化为等腰三角形的问题所以问题转化为：对于在折线上的任意两个相似的等腰三角形，这两个等腰三角形的外接圆的圆心连线的中点的运动轨迹如图知对于任意等腰三角形都有一个直角三角形与之外接圆一样所以问题进一步转化为直角三角形的问题。

总 结：所以我们得出结论：（一）对于以AM 向上做的正n 边形与BM 向上做的正n 边形有（1）各不同的n-1对顶点所连接而成的线段共点交于N 。

（2）两圆圆心PQ 的中点的轨迹平行于AB 。

且长为12k ，离AB 的距离为tan 4a b α+ （3）MN 所在直线经过AB 的中垂线上的一固定点S 且坐标为。

(,)22tan k k α-，其中90(2)n n α-=（二）AMB 为折线时，结论仍然成立，且以AM 、BM 为底向上作两相似的有外接圆的N 边形，这两个外接圆的圆心的连线的中点的运动轨迹仍然是一条平行于AB 的直线感想:通过对这一道IMO 试题的探究与推广，我们不仅得到了令我们自己觉得十分神奇的结论，也明白了对于一道普通的题目背后所隐藏的东西，才是我们所真正追求的，而不只是会做一道题。

这种怀着对数学的好奇不断探寻的过程是极其美妙的。