概率小测验2

古典概率的计算： 古典概率的计算：抽签
10个学生抽签的方式分配3张音乐会入场券， 10个学生抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取 个学生抽签的方式分配 10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券. A={第 10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A={第 张外观相同的纸签 五个学生抽到入场券}的概率。 五个学生抽到入场券}的概率。 基本事件总数 有利于A的基本事件数 有利于 的基本事件数
1 P( A ) = P( A2 ) = ⋯= P( An ) = 1 n Ai = {ωi }, i =1,2,⋯, n 其中
古典概型的计算公式
确定试验的基本事件总数 设试验结果共有n个 即基本事件 即基本事件ω 设试验结果共有 个,即基本事件 1，ω2，...， ， ωn ，而且这些事件的发生具有相同的可能性 确定事件A包含的基本事件数 确定事件 包含的基本事件数 事件Ａ由其中的 个基本事件组成 事件Ａ由其中的m个基本事件组成
事 A包 的 本 件 件 含 基 事 数 m P( A) = = 试 的 本 件 数 验 基 事 总 n
古典概率的计算： 古典概率的计算：抛掷骰子
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 抛掷一颗匀质骰子 观察出现的点数 , 求“出现的 点数是不小于3的偶数 的概率． 的偶数” 点数是不小于 的偶数”的概率． 试验 抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 抛掷一颗匀质骰子 观察出现的点数 基本事件总数 ={1，2，3，4，5，6} ， ， ， ， ， 事件A 事件 事件A的概率 事件 的概率 n=6
乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m
∏
i=1
i
种不同的方法
选排列 从 n 个不同的元素中，任取 m 个
(不放回地）按一定次序排成一列，不同的 排法共有
Pm = n(n −1)(n − 2)⋯(n − m +1) n
全排列
Pn = n! n
例 区长办公室某一周内曾接待过9次来 访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否 可以断定接待时间是有规定的？ 解 假定办公室每天都接待，则 29 P( 9次来访都在周三、日) = 9 = 0.0000127
7
这是小概率事件,一般在一次试验中不会发 发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立, 从而推断接待时间是有规定的.
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地
种 取出 m 个排成一排, 不同的排法有 nm
组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放
回地）组成一组， 不同的取法共有 n! m Cn = m (n − m)! !
古典（等可能） 古典（等可能）概型
有限性 每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个， 每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个， 即样本空间 是个有限集 ={ω1,ω2,…,ωn}. 等可能性 每次试验中，每一种可能结果发生的可能性相同， 每次试验中，每一种可能结果发生的可能性相同， 即
若 A ⊂ B，则 P (B － A) = P(B) － P(A) 且P(A) ≤P(B)
B
A
B = A∪ (B − A) A∩ (B − A) = Φ
P(B) = P( A∪ (B − A)) = P( A) + P(B − A)
P (B － A) = P(B) － P(A)
推广 对任意两个事件A, B, 有
3 n = C100 3 mB = C96
4 P( A) = = 0.04 100 3 C96 P(B) = 3 C100
1 4
任取3件 任取 件，刚好两件正品的概率
n =C
3 100
mC = C C
2 96
C C P(C) = C
2 1 96 4 3 100
古典概率的计算： 古典概率的计算： 有放回抽样和无放回抽样
几何概型 (古典概型的推广) 几何概型
设样本空间为有限区域 Ω, 若样本点 落入 Ω 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率 为
G的 度 测 P( A) = Ω的测度
例 某人的表停了，他打开收音机听电台 报时，已知电台是整点报时的，问他等待 报时的时间短于十分钟的概率
P(∪Ai ) = ∑P( Ai )
n
n
证明
i=1
i=1
, 在公理3中 , 取 A = Φ, i = n +1 n + 2,⋯ i
P(∪Ai ) = P(∪Ai ) = ∑P( Ai ) + ∑P(Φ)
i =1 i=1 n ∞ n ∞ i=1 n i =n+1
= ∑P( A ) i
i=1
性质3 性质3 差事件的概率
返 回
随机事件的频率Frequency 随机事件的频率
随机试验 试验总次数n 试验总次数 随机事件 事件A出现次数 事件 出现次数m 出现次数 抛掷一枚均匀的硬币 将硬币抛掷n次 将硬币抛掷 次
A=“出现正面” 出现正面” 出现正面 出现正面m次 次
m n
随机事件的频率 fn (A)
事 A出 次 m 件 现 数 fn ( A) = 试 总 数 验 次 n
概率的统计定义
对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行n 对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行 Ａ，在相同的条件下重复进行 次试验，事件Ａ 次试验，事件Ａ发 生的频率 m/n，随着试验次 ， 附近摆动,那么 数n的增大而稳定地在某个常数 p附近摆动 那么 的增大而稳定地在某个常数 附近摆动 称p为事件Ａ的概率 为事件Ａ 为事件
n =10!
mA = C ⋅ 9!
1 3
1 mA C3 ⋅ 9! 3 P( A) = = = n 10! 10
第五个学生抽 到入场券
另外9个学生抽 另外 个学生抽 取剩下9张 取剩下 张
某班有20 个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会门票, 例 某班有 个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会门票 求同学甲抽到门票的概率. 求同学甲抽到门票的概率 张外观无差异的纸签， 解：制作 20 张外观无差异的纸签， 其中三张代表门票。 其中三张代表门票。 20 个同学抽签共有 20！种方式， ！种方式， 同学甲抽到门票有
A
B
B = AB ∪ (B − A) A∩ (B − A) = Φ AB∩(B − A) = Φ
P( A∪ B) = P( A) + P(B − A) P(B) = P( AB) + P(B − A)
第一次抽取后， 第一次抽取后，产品不放回去
古典概率的计算： 古典概率的计算：生日问题
某班有30 个同学，求他们生日“无重复”的概率。 某班有 个同学，求他们生日“无重复”的概率。 天计算， （一年按365天计算，并设人在一年内任一天出生是等可能的） 一年按 天计算 并设人在一年内任一天出生是等可能的） 解：所有可能的结果有
出现的点数是不小于3的偶数 Ａ=“出现的点数是不小于 的偶数”={4，6} m=2 出现的点数是不小于 的偶数” ，
m 2 1 P( A) = = = n 6 3
古典概率的计算： 古典概率的计算：正品率和次品率
设在100 件产品中，有 4 件次品，其余均为正 件产品中， 件次品， 设在 品． 这批产品的次品率 mA＝ 4 n＝ 100 ＝ 任取3件 任取 件，全是正品的概率
皮尔逊 皮尔逊 维 尼
频率和概率
频率的稳定性 随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 随机事件 在相同条件下重复多次时，事件 发 在相同条件下重复多次时 生的频率在一个固定的数值p附近摆动， 生的频率在一个固定的数值 附近摆动，随试验次数 附近摆动 的增加更加明显 事件的概率 事件A的频率稳定在数值 事件 的频率稳定在数值 p，说明了数值 p 可以 用来刻划事件Ａ发生可能性大小， 用来刻划事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件 A的概率，记为 P(A) 的概率， 的概率
原来不必 争先恐后！ 争先恐后！
C
1 种抽法， 种抽法， 3
！种方式。 其它同学抽取余下的签有 19！种方式。 故所求的概率是： 故所求的概率是：
3×19! 3 P = = A 20! 20
小概率事件 —— 若P(A) ≤0.01 , 则称A为小概率事件. 小概率原理 —— ( 即实际推断原理 ) 一次试验中小概率事件一般是不 会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.
设在10 件产品中， 件次品， 件正品 件正品． 设在 件产品中，有2件次品，8件正品． 件次品 A={第一次抽取正品，第二次抽取次品} 第一次抽取正品，第二次抽取次品 第一次抽取正品 第一次抽取后， 第一次抽取后，产品放回去
n =10×10 n =10×9
mA = 8×2 mA = 8×2
8× 2 P( A) = = 0.16 10×10 8× 2 P( A) = = 0.1778 10×9
P(∪An ) = ∑P( An )
n=1 n=1
∞
∞
概率的性质： 概率的性质：
性质1 性质1 P(Φ) = 0
证明
Ω = Ω∪Φ∪Φ∪Φ⋯
由公理 3 知
P(Ω) = P(Ω) + P(Φ) + P(Φ) +⋯
所以
P(Φ) = 0
不可能事件的概率为零
性质2 性质2 有限可加性
两两互不相容 互不相容， 设A1，A2， … , An两两互不相容，则
10分钟 9点 10点
10 1 P( A) = = 60 6
概率的公理化定义
给定一个随机试验， 是它的样本空间， 给定一个随机试验， 是它的样本空间，对于 任意一个事件Ａ， Ａ，赋予一个实数 任意一个事件Ａ，赋予一个实数 P(A) ，如果 满足下列三条公理， P(•) 满足下列三条公理 那么，称 P(A) 为事件Ａ的概率． 1、非负性： 0 ≤ P( A) ≤1 、非负性 2、规范性：Ｐ )=1 、规范性：Ｐ( ：Ｐ 3、完全可加性： A , A ,⋯ 两两互斥时，有 、完全可加性 1 2