高中数学《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案新人教A版必修

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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(导学案)

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（导学案）编写人：高一数学备课组班级姓名学习目标：1、能根据实际问题的需要合理选择样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差等）；2、会用样本的基本数字特征估计总体的数字特征及初步体会杨本的数字特征的随机性；3、会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。

知识清单：1、在一组数据中，出现次数的数据叫做这组数据的众数（若有两个或几个数据出现的最多，且出现的次数一样，则；若每个数据出现的次数一样多，则）。

2、将一组数据按从小到大的顺序依次排列，把处在位置的一个数据（或中间两个数的）叫做这组数的中位数。

3、如果有n 个数n x x x ,,,21 ，那么_x = 叫做这n 个数的平均数。

4、考察样本数据分散程度的大小最常用的统计量是，它是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 来表示，s= 标准差的平方叫做方差，2s =。

5、标准差、方差越大，数据的离散程度越；标准差、方差越小，数据的离散程度越，稳定性越好。

教材分析：1、理解课本P72-73实例，你认为如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？2、解答课本P74练习，归纳三种数字特征的优缺点。

3、标准差，方差的取值范围是什么？标准差、方差为0的数据有何特点？4、解答课本79练习2，归纳计算标准差的步骤。

例题分析：例1、在一次歌手大赛上，7位评委为某歌手打分如下：9.4, 8.4, 9.4, 9.9, 9.6, 9.4, 9.7,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（） A 、9.4 , 0.484 B 、9.4 ,0.016 C 、9.5 ,0.04 D 、9.5 ,0.016（2）计算出的平均工资能反映所有工作人员这一周收入的一般水平吗？（3）去掉总经理的工资后，再计算平均工资，这个平均工资能代表一般工作人员一周的收入水平吗？例3、从甲、乙两种玉米苗种各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：厘米）甲：41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？知能达标：1、某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（）A 、3.5B 、--3C 、3D 、--0.52、甲乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下，甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9。

[精品]新人教A版必修三高中数学第二章2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征导学案

2．22 用样本的数字特征估计总体的数字特征1．掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征．2．会求众数、中位数、平均数、标准差、方差，并能用之解决有关问题．1．众数(1)定义：一组数据中出现次数的数称为这组数据的众数．(2)特征：一组数据中的众数可能个，也可能没有，反映了该组数据的．众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．【做一做1】数据组8，－1,0,4，17，4,3的众数是． 2．中位数(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于位置的数称为这组数据的中位数．(2)特征：一组数据中的中位数是的，反映了该组数据的．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积．中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．【做一做2】数据组－5,7,9,6，－1,0的中位数是．3．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据1，的平均数为\t()＝2，…，n(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的，但平均数受数据中的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．【做一做3】 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，则其平均数是．4．标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式计算s＝可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较；标准差较小，数据的离散程度较．【做一做4】一组数据的单位是，平均数是\t()，标准差为s，则( )A．\t()与s的单位都是B．\t()与s的单位都是c．\t()与s的单位都是D．\t()与s的单位不同5．方差[](1)定义：标准差的平方，即s2＝(2)特征：与的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．(3)取值范围：数据组1，2，…，n的平均数为\t()，方差为s2，标准差为s，则数据组a1＋b，a2＋b，…，a n＋b(a，b为常数)的平均数为a\t()＋b，方差为a2s2，标准差为as【做一做5】下列刻画一组数据离散程度的是( )A．平均数B．方差．中位数D．众数6．用样本估计总体现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常用的平均数、众数、中位数、标准差、方差估计．这与上一节用的频率分布近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差．样本容量越大，估计就越精确．【做一做6－1】下列判断正确的是( )A．样本平均数一定小于总体平均数B．样本平均数一定大于总体平均数．样本平均数一定等于总体平均数[]D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数【做一做6－2】电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该日生产电池的平均寿命估计为( )A．27 B．28 ．29 D．30答案：1．(1)最多(2)不止一集中趋势【做一做1】 42．(1)中间(2)唯一集中趋势相等[]【做一做2】 3 将该组数据按从小到大排列为－5，－1，0,6,7,9，则中位数是0＋62＝33．(1)1＋2＋…＋n n(2)平均水平信息极端值【做一做3】 147 平均数是110(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝1474．(1)错误! (2)平均数大小【做一做4】 \t()与s 的单位都与数据组中的数据单位相同，是5．(1)1n[(1－\t())2＋(2－\t())2＋…＋(n －\t())2] (2)标准差 (3)[0，＋∞)【做一做5】 B 方差刻画一组数据离散程度的大小．6．样本样本【做一做6－1】 D【做一做6－2】 B 这10个数据的平均数是110(30＋35＋25＋25＋30＋34＋26＋25＋29＋21)＝28，则该日生产的电池的平均寿命估计为28小时．1．理解众数、中位数、平均数剖析：(1)众数体现了样本数据的最大集中点，容易计算，但它只能表达样本数据中很少一部分信息，显然对其他数据信息的忽略使其无法客观地反映总体特征．(2)中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，“越离群”的数据，对平均数的影响也越大，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．如在体育、文艺等各种比赛的评分中，使用的是平均数，计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止由于个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数，对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量保证公平性．(4)在一组数据中，它们的众数、中位数、平均数可能相同，也可能不同，而实际问题中，计算平均数时应该注意按实际要求进行计算．(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．2．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系剖析：(1)在样本数据的频率分布直方图中，众数的估计值就是最高矩形的中点的横坐标．(2)在频率分布直方图中，中位数左右两侧的直方图的面积相等，但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征，因而从直方图本身得不出原始的数据内容，所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致．(3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”．我们知道，n个样本数据1，2，…，n的平均数\t()＝1n(1＋2＋3＋…＋n)，则就有n\t()＝1＋2＋3＋…＋n，所以\t()对数据有“取齐”的作用，代表了一组数据的数值平均水平．在频率分布直方图中，平均数是直方图的平衡点，假设横轴表示一块放置直方图的跷跷板，则支点取在平均数处时跷跷板达到平衡．3．理解方差与标准差剖析：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围是[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．题型一计算方差(标准差)【例题1】从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为．反思：求一组数据的方差和标准差的步骤如下：①先求平均数\t()②代入公式得方差和标准差s2＝1n[(1－\t())2＋(2－\t())2＋…＋(n－\t())2]，s＝错误!题型二众数、中位数、平均数的应用【例题2】某工厂人员及月工资构成如下：(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数．(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？分析：(由平均数的定义)→(计算平均数)→(已知数据从小到大排列)→(得中位数、众数)→(结论) 反思：(1)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策．(2)众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各个数据的重心．题型三方差的应用【例题3】甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下(单位：克)：甲：203 204 202 196 199 201 205 197 202 199乙：201 200 208 206 210 209 200 193 194 194(1)分别计算两个样本的平均数与方差．(2)从计算结果看，哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克？哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？反思：研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性、平整性等性能好坏的这类题，先求平均数，比较一下哪一个更接近标准．若平均数相等，则再比较两个样本方差的大小作出判断．在计算过程中，要仔细观察所给样本数据的特征，选择恰当的公式计算平均数和方差，这样可避免计算的烦琐，降低错误率．题型四易错辨析【例题4】小明是班里的优秀生，他的历次数成绩是96,98,95,93分，但最近的一次考试成绩只有45分，原因是他带病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价？错解：这五次数考试的平均分是96＋98＋95＋93＋455＝854，则按平均分给小明一个“良好”．错因分析：这种评价是不合理的，尽管平均分是反映一组数据平均水平的重要特征，但任何一个数据的改变都会引起它的变化，而中位数则不受某些极端值的影响．本题中的5个成绩从小到大排列为：45,93,95,96,98，中位数是95，较为合理地反映了小明的数水平，因而应该用中位数衡量小明的数成绩．答案：【例题1】 2105这100人的总成绩为5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10＝300，平均成绩为300100＝3，则该100人成绩的标准差为错误! ＝2105【例题2】解：(1)由表格可知，众数为2 000元．把23个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2 200，故中位数为2 200元．平均数为(22 000＋15 000＋11 000＋20 000＋1 000)÷23＝69 000÷23＝3 000(元)．(2)虽然平均数为3 000元/月，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．【例题3】解：(1)\t()甲＝110(3＋4＋2－4－1＋1＋5－3＋2－1)＋200＝2008\t()乙＝110(1＋0＋8＋6＋10＋9＋0－7－6－6)＋200＝2015s\al(2,甲)＝796，s\al(2,乙)＝3805(2)∵200＜\t()甲＜\t()乙，∴甲台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克．∵s\al(2,甲)＜s\al(2,乙)，∴甲台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定．【例题4】正解：小明5次考试成绩，从小到大排列为45,93,95,96,98，中位数是95，应评定为“优秀”．1．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为( )A．3与3 B．23与3 ．3与23D．23与232．(2011·北京海淀二模，理5)某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛的得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是( )A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定3．抛硬币20次，抛得正面朝上12次，反面朝上8次．如果抛到正面朝上得3分，抛到反面朝上得1分，则平均得分是，得分的方差是．4．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为，y,10,11,9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则2＋y2＝5．某校高二年级在一次数选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数竞赛．答案：1．D 中位数是指一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列，处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数)，从茎叶图中可知中位数为23；众数是指一组数据中出现次数最多的数，从茎叶图中可知23出现了3次，次数最多，因此众数也是23，所以选D．2．D 甲运动员比赛得分的最高分为47，最低分为18，极差为29，乙运动员比赛得分的最高分为33，最低分为17，极差为16，所以A项正确；甲运动员比赛得分的中位数为30，乙运动员比赛得分(18的中位数为26，所以B项正确；甲运动员的得分平均值x甲＝113＋18＋19＋20＋21＋26＋30＋32＋33＋35＋40＋41＋47)＝343，乙13(17＋17＋19＋19＋22＋25＋26＋27＋运动员的得分平均值x乙＝113，甲运动员的得分平均值大于乙运动员29＋29＋30＋32＋33)＝32513的得分平均值，所以项正确；由茎叶图知甲得分较为分散，乙得分较为集中，故甲的成绩没有乙的成绩稳定．＝3．22 096 总得分为12×3＋8×1＝44，则平均分是4420[(3－22)2×12＋(1－22)2×8]＝09622，方差s2＝120＝10，4．208 由平均数为10，得(＋y＋10＋11＋9)×15则＋y＝20；又由于方差为2，则[(－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－＝2，10)2＋(9－10)2]×15整理得2＋y2－20(＋y)＝－192，则2＋y2＝20(＋y)－192＝20×20－192＝208 5．解：设甲乙两人成绩的平均数分别为x甲，x乙，则x甲＝130＋1(380751)6-+++++＝133，x乙＝130＋1(318426)6-++-+＝133，2 s 甲＝2222221[(6)5(3)42(2)]6-++-+++-＝473，2 s 乙＝2222221[0(4)51(5)3]6+-+++-+＝383因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．。

2020高中数学 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征导学案新人教A版必修3

《用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案（众数、中位数、平均数）【考纲解读】1.能从样本数据中提取基本的数字特征(如众数、中位数、平均数）,并给出合理的解释．2.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想．【知识链接】一、用样本数字特征估计总体数字特征的中心位置特征设样本的元素为x1，x2，…，x n，样本的平均数为x，1.众数:在一组数据中，的数据叫做这组数据的众数．2.中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．3.平均数:样本数据的算术平均数,即．二、频率分布直方图的绘制与应用1.频率分布直方图的概念在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示，将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图。

2.作频率分布直方图的步骤3.在频率分布直方图的要点(1)求 (1)纵轴表示 .(2)决定与 (2)各区间频数=(3)将数据． (3)数据落在各小组内的频率用表示．(4)列． (4)各小长方形面积总和等于 .(5)画．三、学以致用：身边的统计知识1.全班同学以小组形式选择自己喜欢的生活内容进行统计，如全级男、女同学的身高；班同学的睡眠时间；家庭用水量、用电量等等。

2.设置调查问卷，搜集数据。

3.根据数据制作频率分布直方图。

【探求新知】一、用样本的数字特征估计总体的数字特征1.如何在频率分布直方图中估计众数，中位数，平均数？众数：直方图中面积最高矩形中位数：左右两边直方图的 .平均数：频率分布直方图中每个小矩形的乘以小矩形之和.2.根据小组制作的频率分布直方图求该样本的众数，中位数，平均数.3.比较从频率分布直方图中估计的众数、中位数和平均数和实际搜集的数据，是否有差异？产生差异的原因是什么？4.众数、中位数和平均数各自的特性是什么？四、挑战自我练习1:(2020·辽宁)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A．45 B．50 C．55 D．602:(2020北京)从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝______.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．练习3.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩 (均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…， [90,100]后得到如图所示的频率分布直方图(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．练习4.(2020·广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)为了能选拔出语文成绩优秀的学生，某校决定录取语文成绩高的第5组的学生，并在第3、4组中用分层抽样的方法抽取5名学生进入第二轮面试，则第3、4组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？(4)在(3)的前提下,学校决定在第3、4组抽取的5名学生中随机抽2名学生接受A 考官面试,求:第4组恰有一名学生被考官A 面试的概率． (练习1图) (练习2图)。

2022年高中数学新人教版A版精品教案《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》7

用样本的数字特征估计总体的数字特征第一课时教学设计河北辛集二中穆宁、教学目标1．知识与技能目标①能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数②能用样本的众数、中位数和平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并对实际问题作出合理判断。

2．情感与价值观目标①通过对有关数据的搜集、整理、分析和判断，培养学生“实事求是〞的科学态度和严谨的工作作风。

②体会和领悟“用数据说话〞的统计思想方法，体会统计对决策的作用，提高学习统计知识的兴趣，辨证地理解数学知识与现实世界的联系。

③激发学生自主探究问题的兴趣，培养学生勇于探索的意志品质。

二、学情分析1 教学可行性分析：①上一节课学生已经学习了用图、表来表现样本数据，掌握了如何通过图、表所提供的信息，自己动手，手绘或借助电脑，制作频率分布直方图等。

②学生们能熟悉频率分布直方图中频数、频率及样本容量之间的相互转化，因此，在此根底上，进一步学习如何在频率分布直方图中估计样本的众数、中位数和平均数，从而估计总体，就是水到渠成的效果。

2学生概况分析：授课班级学生对数学的学习热情较高，自主学习能力较强，有能力、有信心钻研数学学科，喜欢数学学科，动手能力强，喜欢表现自我，能在教师的发动下自主学习，乐于学习，课程围绕着教学目标及学生实际情况而设置。

三、重点难点1教学重点①能利用频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数，从而估计总体的众数、中位数、平均数等。

②体会如何用数据说话，体会数学的实用性。

2教学难点①理解和掌握频率分布直方图中众数、中位数和平均数的求解②能形成对数据处理的过程进行初步评价的意识四、教学过程第一学时教学活动活动1【导入】创设情境1人物卡通“马云〞，成功原因之一是大数据，即大量准确的统计分析作为决策的依据。

2假设你是自来水公司的经理，希望你的下属向你提供怎样的统计数据来说明居民的月用水量。

汇报的数据以什么形式出现？为什么？复习：频率分布直方图问题的要点1纵轴表示频率/组距2 数据落在各小组内的频率用各矩形面积表示3所有矩形面积之和是1理念：可以用简单的方法解决的问题绝不复杂化！特征数就是把一组数据汇总简化成一个数值来代表，也可以理解为“中心点〞特征数是用样本估计总体最简洁的方式！活动2活动〔三个特征数的意义〕意义：1、班级成绩评价常采用平均分。

2022年高中数学新人教版A版精品教案《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》

〔1〕用样本的数字特征估计总体的数字特征宁德市民族中学缪立夫一、教材分析〔一〕教材地位与作用本节课选自人教A版必修三，第二章第二节第二讲，是一节典型的概念课，是在已经学习了抽样方法、用图、表来组织样本数据，用样本的频率分布估计总体分布的根底上，进一步挖掘样本，从形的角度，利用样本的频率分布直方图来估计总体的数字特征，从而使我们能从整体上更好地把握总体的规律，并体会用样本估计总体的思想，以及统计思维与确定性思维的差异本课所学内容有良好的实际应用价值，它能为我们对相关问题作出统计推断和决策提供数理依据因此学好本节课能帮助学生逐步建立用样本估计总体的统计思想，提高学生数据处理、解决实际问题的能力〔二〕教学目标1、理解众数、中位数、平均数在样本数据中所代表的含义；2、会运用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数；从“形〞的角度估计总体的数字特征，并作出合理的解释，体会数形结合的数学思想3、理解在利用众数、中位数、平均数估计总体的数字特征时各自的优缺点；能通过对生活实例的分析认识数字特征的作用和局限性，会应用数字特征解决简单的实际问题并作出合理的决策感受统计在实际问题中的应用价值，体会数学知识与现实生活的联系4、掌握用样本的众数、中位数、平均数估计总体数字特征的方法，形成数学思想方法在解决统计问题的过程中，通过自主探索与合作交流，经历数字特征的生成过程，会用样本的数字特征估计总体的数字特征，体会用样本估计总体的思想体验数形结合的思想方法，化归转化的思想方法在数学学习中的应用。

〔三〕教学重、难点教学重点：众数、中位数、平均数在样本数据中所代表的含义，利用频率分布直方图估计样本数字特征，并利用它们估计总体数字特征，形成初步评价意识。

教学难点：如何从样本的频率分布直方图中提取数字特征，并以此估计总体的根本数字特征。

二、学情分析1学生已有的认知根底通过小学、初中和高中前期的学习，学生已有“统计初步知识〞的数学现实，能从样本中直接提取样本的数字特征，能够用频率分布直方图来呈现数据的分布形态，现实生活中很多数量化的实际问题也为学生的认知提供了经验根底2学生面临的问题学生对统计思想的认识还停留在表层，对用频率分布直方图估计总体的数字特征从形到数的提取过程有思维转化上的困难；应用数字特征解决简单的实际问题并作出合理的决策也对学生提出了有较高的能力要求三、教法与目标检测数学教育学家波利亚曾经说过：“学习任何知识的最正确途径即是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系〞我在教法上采用的是“问题探究式教学〞,学法上采用“自主探究、合作交流〞的方法采用问题驱动和启发探究式教学，始终以学生体验为出发点，采用设置问题串的形式，通过对问题进行分解、追问的方式、结合生活实例进行实践调查等方式，引导学生构建新的认知结构，达成目标教学，教师仅起到“助产士〞的作用。

新课标A版必修3导学案 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2

编号：SX2-015第1页第2页装订线批阅记录装订线评价预设/反思纠错评价预设/反思纠错 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2姓名班级组别使用时间【学习目标】1.了解众数、中位数、平均数并会求一组数据的平均数． 2．形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

【知识链接】在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？【自主学习】 ⒈众数：出现次数的数叫做这组数据的众数。

2.中位数：如果将一组数据按的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最是这组数据的中位数 3.平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数，记做【探究提升】 1．（1）若M 个数的平均数是X,N 个数的平均数是Y,则这M+N 个数的平均数是___________；（2）如果两组数x 1,x 2,…,x n 和y 1,y 2,…,y n 的样本平均数分别是x 和y,那么一组数x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n 的平均数是___________． 2.某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150分）,试确定这次考试中,哪个班的语文成绩更好一些．甲班：112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 9992 102 93 84 94 94 100 90 84 114 乙班：116 95 109 96 106 98 108 99 110 10394 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87 108 106 103 97 107 106 111 121 97 107 114 122 101 107 107 111 114 106 104 104 95 111 111 1103.某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元之间的职工所占的比分别为10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%,试估计该单位职工的平均年收入．4. (2010·镇江模拟)某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531(1)用茎叶图表示两学生的成绩； (2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．【课堂小结】 1．能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（平均数）,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；2．平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平；形成对数据处理过程进行初步评价的意识．【当堂检测】C 级1．已知一组数据为-1,0,4，x,6,15,且这组数据的中位数为5，那么数据的众数为（） A.5 B.6 C.4 D.5.52.10名工人某天生产同一件零件，生产的件数是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天10名工人生产的零件的中位数是（）A.14件B.16件C.15件D.17件 3.已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13,0.15,0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是( )A ．0.14,0.15B ．0.15,0.14C ．0.15,0.15D ．0.15,0.1454．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x ，23，27，28，31，其中位数为22，则x=A 21B 22C 20 D23。

2019年高中数学第二章统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教案新人教A版必修3

2019年高中数学第二章统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教案新人教A版必修3一、教学目标重点: 对样本数据提取的基本数字特征(如平均数等)做出合理解释;用样本估计总体的思想,用样本的基本数字特征估计总体的数字特征;样本数字特征的随机性体验.难点：统计思想的建立;体会统计思维与确定性思维的差异.知识点：利用样本的数字特征估计总体的数字特征.能力点：通过对几种数字特征优缺点的比较,有利于学生在解决实际问题时选择适当的方法对总体数字特征进行估计.自主探究点：理论联系实际,注重所选数字特征的实要性.考试点：会从频率分布直方图中找出样本的平均数、中位数和众数.易错易混点：对数字特征的特点理解有偏差,导致结论下错.拓展点：会用随机抽样的基本思想和样本估计整体的思想,解决一些简单的实际问题.二、引入新课在上一节我们学习了用图、表来组织样本数据,并学习了如何通过图、表所提供的信息,用样本的频率分布估计总体的分布.为了从整体上更好的把握总体的规律,我们还需要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究.思考:(1)怎样将样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”?(2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?【设计意图】带着探究去思考问题使本节课的目标更明确.初中我们曾经学过一些特殊的数：众数:一组数据中出现次数最多的那个数,一组数据中可以有多个众数.中位数:一组数据有奇数个数时,中位数就是中间的那个数,有偶数个数时,中位数是中间两个数的平均数.平均数:一组数据的和除以数据个数所得到的数即算术平均数.我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.那么我们如何从频率分布直方图中得到样本的众数、中位数、平均数呢?【设计意图】针对前面的“点题”,教师再通过设疑，激发学生的求知欲望和学习兴趣,顺势引出样本众数、中位数、平均数,进一步明确本节课的教学重点.三、探究新知：看图2.2-5,大家回顾一下在上一节调查100位居民的月均用水量的问题:探究1:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,你认为众数应在哪个小矩形内?由此估计总体的众数是什么?通过众数的定义，在样本数据中出现次数最多的数，因此众数应在频率分布直方图中的面积最大的小直方图中（如图 2.2-5）,由此可得月均用水量的众数的估计值是2.25t （最高的矩形的中点）它告诉我们,该市的月均用水量为2.25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少. 【设计意图】教给学生如何从样本数据和频率分布直方图中获取众数,以便处理一些简单的实际问题. 思考1:请大家翻回到课本第66页看看原来抽样的数据,有没有2.25这个数值呢?根据众数的定义, 2.25怎么会是众数呢?因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差.【设计意图】设计此思考的目的是让学生知道数字特征可以通过样本数据和频率分布直方图两种方式来估计,而且两种途径估计的数字特征可能不同.探究2:那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢?中位数：在样本数据中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,从左至右各个小矩形的面积分别是0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02.由0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01,设小矩形的宽为x ,则0.5x ＝0.01,得x ＝0.02,所以中位数是2+0.02＝2.02. 由此可以估计出中位数的值为2.02.（如图2.2-5）思考2:2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗? 样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了.探究3：平均数是频率分布直方图的“重心”,在下面的频率分布直方图中,各个小矩形的重心在哪里?从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少?分析:根据在频率分布直方图中获取众数与中位数的方法类比寻求解题思路.平均数：样本数据的估计平均数就是将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加. 由此估计总体的平均数就是:0.25×0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋2.75×0.14＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02=2.02（t ）.0 月均用水量/t 0.5 11.5 22.5 33.5 44.50.5 0.4 0.3 0.2 0.1 图2.2-5图2.2-5显示,大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右）,但是也有少数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考4:2.02这个平均数的估计值,与样本的平均数值1.973不一样,你能解释其中的原因吗?原因同上,样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了.探究4：样本中位数不受少数几个极端值的影响,它一定是个优点吗?一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响,在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.我们一起看一下下面这个例子:一个企业中,绝大多数是一线工人,他们的年收入可能是一万元左右,另有一些经理层次的人,年收入可以达到几十万.这时,年收入的平均数会比中位数大的多.尽管这时中位数比平均数更合理些,但是这个企业的老板到人才市场去招聘工人时,也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问.你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎样理解?分析:“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话显然说的是单位人员的平均工资,由于经理层次的人对平均数影响较大,所以单位人员工资的平均数远远要比中位数要大.所以在招聘会上如果打着平均工资的旗号去招聘工人显然是对工人的一种“欺骗”.【设计意图】设计此探究目的是通过此实际问题进一步加深学生对平均数与中位数的理解.谨防利用人们对统计术语的模糊认识进行误导、蒙骗,使学生能够正确理解在日常生活中像“我们单位的收入水平比别的单位高”这类话的模糊性,培养学生拿起数学武器去思考问题的能力.四、理解新知：平均数、众数、中位数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”,但对于同一组考察对象来说,平均数、众数、中位数一般不一样.他们各自的特点如下:1.众数是一组数据中出现次数最多的那个数,（一组数据中可以有多个众数）频率分布直方图中最高的矩形的中点,它体现了样本数据的“最大集中点”,因此用众数作为一组数据的代表,可靠性就差了,但众数有一个好处,就是不受极端数据的影响,并且求法简便.所以,当一组数据中个别数据变动较大时,适宜选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”.2．中位数作为一组数据的代表,可靠性也比较差,但中位数也不受少数几个极端数据（即排序靠前或排序靠后的数据）的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.3．由于平均数与每一个样本的数据有关,所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是众数、中位数都不具有的性质.与众数、中位数比较起,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计时可靠性降低.特殊说明:如果样本平均数大于样本中位数,说明样本中存在许多较大的极端值;反之,说明样本中存在许多较小的极端值.在实际问题中,如果同时知道样本平均数和样本中位数,可以使我们了解样本数据中的极端信息,帮助我们作出决策.【设计意图】通过此设计可以进一步加深学生对样本数字特征的理解,根据实际情况来选择恰当的数来表示样本的特征.五、运用新知例1: 某公司人员及工资构成如下:(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数.(2)在这个问题中,平均数能客观的反应该公司的平均水平吗?为什么?分析:由平均数的定义可计算出平均数;通过各段的人数可得出众数;把已知数据按由小到大排列后可得中位数:(1)由表格知:众数为200元;因为23个数据从小到大排列,排在中间的应是第12个数,其值为220.所以中位数是220;又由平均数的计算公式(2200+1500+1100+2000+100)÷23=6900÷23=300(元), 所以员工工资的平均数为300元.(2)虽然平均数为300元/周,但由表格中所列的数据可见,只有经理在平均数以上,其余人在平均数以下,故用平均数不能客观的反应该该公司员工的工资水平.【设计意图】通过此例题可以进一步深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据的特点,并结合实际情况,灵活选择.变式训练1:高一(1) 班有男生27名,女生21名,在一次语文测验中,男同学的平均分是82分,中位数是75分,女同学的平均分是80分,中位数是80分. (1) 求这次测试全班平均分(精确到0.01);(2) 估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人? (3) 分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因. 解:(1)利用平均数计算公式可得:1(82278021)81.1348x =⨯+⨯≈(分). (2)因为男同学的中位数是75,所以男同学至少由14人得分不超过75分; 又由女同学的中位数是80,所以女同学至少有11人得分不超过80分. 因而,全班至少有25人得分低于80分(含80分).(3)男同学的平均分与中位数的差别较大,说明男同学中两极分化严重,得分高的和得分低的相差较大. 【设计意图】通过此变式训练进一步明确平均数、中位数、众数在实际生活中的含义.例2:某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05. ．0 50 60 70 80 90 100 0.040 0.030 0.015 0.010 0.005 分数（分）求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数. (2)高一参赛学生的平均成绩.分析:根据数字特征在直方图中的求法求解. 教师板书求解过程: (1)由图可知众数为65,又∵第一个小矩形的面积为0.3,∴设中位数为60＋x ,则0.3＋x ×0.04＝0.5,得x ＝5, ∴中位数为60＋5＝65. (2)依题意,平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67, ∴平均成绩约为67.【设计意图】通过此例题进一步理解在频率分布直方图怎样求解平均数、中位数、众数;并把方法进一步明确.方法小结:利用频率分布直方图估计数字特征: (1)众数是最高矩形的底边的中点; (2)中位数左右两侧直方图的面积相等;(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标.变式训练2:从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率分布直方图.由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求: (1)这50名学生成绩的众数与中位数; (2)这50名学生的平均成绩.解：(1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在直方图中最高的矩形底边中点的横坐标即为所求,所以众数应为75.将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求. ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3, ∴前三个小矩形面积的和为0.3,而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5, ∴中位数应位于第四个小矩形内.设其底边为x ,高为0.03,∴令0.03x ＝0.2得x ≈6.7,故中位数应为70＋6.7＝76.7.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”,取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可.∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74,综上,(1)众数是75,中位数约为76.7;(2)平均成绩均为74. 【设计意图】通过变式训练2可以让学生进一步熟练在频率分布直方图求解平均数、中位数、众数的方法. 六、课堂小结成绩(分) 0 40 50 60 70 80 90 1000.03 0.021 0.02 0.016 0.006 0.0041．知识：如何借助于频率分布直方图来求解样本的平均数、中位数、众数,并且明确这三者在实际问题中的含义及三者的区别与联系,进一步体会通过频率分布直方图来求解的平均数、中位数、众数与实际有偏差的原因.2．思想：本节课始终注重理论知识与实际生活的联系,从而充分体现实际生活中所蕴含的一些数学知识,及统计知识在实际生活中的应用,有利于学生学以致用.【师生活动】在总结中引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，老师最后总结、板书.【设计意图】让学生自己小结，不仅能总结知识更重要地是总结数学思想方法.这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程,这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯. 七、布置作业必做题：1.某学校高一(1)班有49名学生,在一次数学测验中成绩统计如下:该班级的李畅同学回家对妈妈说:“昨天的数学测试,我们班的平均分是79分,得70分的人最多,我得了85分,在全班算是上游了!” 请你结合本节课所学知识对上面一段话给予简要的分析.2.在生产过程中,测得纤维产品的纤维(表示纤维粗细的一种量)共有100组数据,将数据分组如下表:(1)补全频率分布直方表,并画出频率分布直方图;(2)估计纤度落在[1.46,1.50)中的频率计纤度小于1.40的频率是多少? (3)从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数. 选做题：1. 根据条件求值:(1)已知某班4个小组的人数分别为10,10,x ,8,这组数据的中位数与平均数相等,求这组数据的中位数. (2)在一次测验中某题的得分如下:求这一题得分的众数.2.在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年,在50名员工中,最高收入达到100万,他们的平均收入是3.5万”.如果你希望获得年薪2.5万元. (1)你能否判断自己可以成为公司的一名高收入者?(2)如果招聘员继续告诉你,“员工的收入变化范围是从0.5万到100万元”,这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定?为什么?(3)如果招聘员继续给你提供如下信息,员工收入的50%(即去掉最少的25%和最多的25%后剩下的)的变化范围是1万到3万,你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定?(4)你能估计出收入的中位数是多少吗?为什么平均工资比估计出的中位数高很多呢?【设计意图】设置必做题的目的是引导学生先复习，再作业，巩固学习效果,同时进一步培养学生良好的学习习惯；设置选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解．八、教后反思1.本节课的亮点是用心设置思考和探究,在学生已有的知识基础上逐步得到要学习的知识,达到水到渠成效果.通过自主探究讲练结合,让学生在独立或小组讨论中解决所遇到的问题,很好的调动学生的积极性与主动性,提高了学生借助数学知识解决实际问题的能力.教师在使用本教案时灵活掌握,但必须以学生为主体,加强互动探究.2. 不足之处：本节课的弱项是如果课堂驾驭不好的化,有些实际问题可能在课上很难给有些同学解释明白,因此在课前老师不但要备好教材更要备好学生.九、板书设计。

高中数学人教A版必修3《2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征》教学案3

必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征●三维目标1．知识与技能(1)能利用频率分布直方图估计总体的众数，中位数，平均数．(2)结合实际，能选取恰当的样本数字特征，对问题作出合理判断，制定解决问题的有效方法．2．过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法．3．情感、态度与价值观通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风．●重点难点重点：利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数．难点：(1)从频率分布直方图中计算出中位数；(2)选取恰当的样本数字特征来估计总体，从而正确的对实际问题做出决策．●教学建议1．本节课让学生通过熟知的一组数据的代表－众数、中位数、平均数，并辅以计算器、多媒体手段，通过一定手脑结合的训练，让学生感受在只能得到频率分布直方图的情况下也可以估计总体数字特征．在课堂结构上，建议根据学生的认知水平，采取“仔细观察—分析研究—小组讨论—总结归纳”的方法，使知识的获得与知识的发生过程环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标．2．教学方法与手段分析(1)教学方法：结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，建议采用“问答探究”式的教学方法，层层深入．充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体．(2)教学手段：通过多媒体辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性．(3)本节课的教学过程重视学生探究知识的过程，突出了以教师为主导，学生为主体的教学理念．教师通过提供一些可供学生研究的素材，引导学生自己去研究问题，探究问题的结论．●教学流程创设问题情境引出问题⇒引导学生结合初中学过的众数、中位数、平均数的概念感受这三个数字特征⇒教师通过多媒体展示这三个数字特征，通过分组讨论总结求法⇒通过例1的展示及变式训练的强化使学生进一步体会这三个数字特征通过例2及变式训练使学生掌握求方差及标准差的方法，体会方差的应用⇒引导学生探究方差及标准差的特征及求法，分组讨论说明方差的实际意义⇒归纳整理进行课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．(重点) 2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．(重点) 3．会应用相关知识解决统计实际问题．(难点)众数、中位数、平均数的概念1.众数：一组数据中重复出现次数最多的数叫做这组数的众数．2．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间的那个数；当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的平均数．3．平均数：如果有n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫这n 个数的平均数．标准差、方差【问题导思】甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,51．甲、乙两战士命中环数的平均数x 甲、x 乙各是多少？【提示】 x 甲＝7环；x 乙＝7环． 2．由x 甲，x 乙能否判断两人的射击水平？【提示】由于x 甲＝x 乙，故无法判断．3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？【提示】从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中，故乙的射击水平更稳定．1．标准差的计算公式标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝ 1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 2．方差的计算公式标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．其中，x i(i＝1,2，…，n)是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数.众数、中位数、平均数的应用某公司的33名人员的月工资如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500(元)(1)求该公司人员月工资的平均数、中位数、众数(精确到元)；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元；董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司人员的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．【思路探究】由平均数定义→计算平均数→将数据从小到大排列→得中位数、平均数→结论【自主解答】(1)平均数是x＝(5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20)÷33≈2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)平均数是x′＝(30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20)÷33≈3 288(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司人员的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司人员的工资水平．1．深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．3．平均数对极端值敏感，而中位数对极端值不敏感．因此两者结合，可较好地分析总体的情况．高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？【解】(1)利用平均数计算公式得x＝148(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)∵男同学的中位数是75，∴至少有14名男同学得分不超过75分．又∵女同学的中位数是80，∴至少有11名女同学得分不超过80分．∴全班至少有25人得分低于80分(含80分)．(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．用频率分布表或直方图求数字特征已知一组数据：125121123125 127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数累计频数频率[120.5,122.5)[122.5,124.5)[124.5,126.5)[126.5,128.5)[128.5,130.5]合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．【思路探究】将数据分组后依次填写分布表．然后画出直方图，最后根据数字特征在直方图中的求法求解．【自主解答】(1)分组频数累计频数频率[120.5,122.5)20.1 [122.5,124.5)30.15 [124.5,126.5)80.4 [126.5,128.5)40.2[128.5,130.5]3 0.15合计201(2)(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5＋2×58＝125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x －＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事实上平均数的精确值为x －＝125.75.1．利用频率分布直方图求数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边的中点．(2)中位数左右两侧直方图的面积相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．下表是某校学生的睡眠时间抽样的频率分布表(单位：h)，试估计该校学生的日平均睡眠时间．睡眠时间[6，6．5)[6.5，7)[7，7．5)[7.5，8)[8，8．5)[8.5，9]合计频数517333762100频率0.050.170.330.370.060.02 1 【解】法一日平均睡眠时间为x＝1100×(6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2)＝1100×739＝7.39(h)．法二求组中值与对应频率之积的和：x＝6.25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h)．所以，估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h.标准差与方差的应用甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．【思路探究】着眼点—错误!)【自主解答】 (1)x 甲＝16[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，x 乙＝16[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x 甲＝x 乙，比较它们的方差，∵s 2甲＞s 2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．1．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)：方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．2．关于统计的有关性质及规律：(1)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(2)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差相等． (3)若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.对划艇运动员甲、乙在相同的条件下进行了6次测试，测得他们每次的最大速度(m/s)如下：甲：27,38,30,37,35,31 乙：33,29,38,34,28,36根据以上数据，试判断他们谁更优秀．【解】 x 甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，s 2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝16×94≈15.7， x 乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝1986＝33，s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝16×76≈12.7. 所以x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙.这说明甲、乙两运动员的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.巧用分类讨论思想求数字特征(12分)某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．【思路点拨】 x 的大小未知，可根据x 的取值不同分别求中位数．【规范解答】该组数据的平均数为14(x ＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x 不知是多少，所以要分几种情况讨论．(1)当x ≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10，其中位数为12×(10＋8)＝9.若14(x ＋28)＝9，则x ＝8，此时中位数为9.4分 (2)当8<x ≤10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x,10,10，其中位数为12(x ＋10)．若14(x ＋28)＝12(x ＋10)，则x ＝8，而8不在8<x ≤10的范围内，所以舍去.8分 (3)当x >10时，原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10，x ，其中位数为12×(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9或10.12分当在数据中含有未知数x ，求该组数据的中位数时，由于x 的取值不同，所以数据由小到大(或由大到小)排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论，讨论时要做到全面合理，不重不漏．1．一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么，最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数．2．利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点．②中位数左右两边直方图的面积应相等．③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．1．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为()A ．4.55B ．4.5C ．12.5D ．1.64【解析】 x ＝4×3＋3×2＋5×4＋6×23＋2＋4＋2≈4.55.【答案】 A2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x ＝________.【解析】由题意知x ＋232＝22，则x ＝21.【答案】 213．五个数1,2,3,4，a 的平均数是3，则a ＝________，这组数据的标准差是________．【解析】由平均数公式得1＋2＋3＋4＋a 5＝3，则a ＝5，s 2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.∴s ＝ 2.【答案】 524.2012年青年歌手大奖赛民族唱法组中，6位评委现场给每位歌手打分，去掉一个最高分和一个最低分后，其余分数的平均数作为歌手的成绩，已知6位评委给某位歌手的打分是：9．2 9.5 9.4 9.6 9.8 9.5求这位歌手的得分及6位评委打分的众数和中位数．【解】这位歌手的得分为x＝14(9.5＋9.4＋9.6＋9.5)＝9.5分．在这组数据中，9.5出现了2次，出现的次数最多，所以6位评委打分的众数是9.5分，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，位于最中间的两个数都是9.5，所以6位评委打分的中位数是9.5分.一、选择题1．(2013·济南高一检测)某学习小组在某次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A．85,85,85B．87,85,86C．87,85,85 D．87,90,85【解析】从小到大排列为75,80,85,85,85,85,90,90,95,100观察可知，众数、中位数分别为85、85，计算得平均数为87.【答案】 C2．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是()甲乙丙丁x7887s2 6.3 6.378.7A.甲B．乙C．丙D．丁【解析】∵x乙＝x丙＞x甲＝x丁，且s2甲＝s2乙＜s2丙＜s2丁，∴应选择乙进入决赛．【答案】 B3．(2012·山东高考)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差【解析】对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．【答案】 D4．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A ．3.5B ．－3C ．3D ．－0.5【解析】少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际平均数等于－3.【答案】 B5．(2012·安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图2－2－9所示，则( )图2－2－9A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】由条形统计图得到相关数据，然后利用平均数、中位数、方差、极差的概念求解．由条形统计图知：甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8；乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9，所以x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x 乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6.所以x 甲＝x乙．故A 不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确．s 2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，s 2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2<125，所以s 2甲<s 2乙.故C 正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故D 不正确．故选C.【答案】 C 二、填空题6．(2013·深圳高一检测)已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，标准差为2，则xy ＝________.【解析】由平均数得9＋10＋11＋x ＋y ＝50，∴x ＋y ＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2＝(2)2×5＝10，得x 2＋y 2－20(x ＋y )＝－192，(x ＋y )2－2xy －20(x ＋y )＝－192，∴xy ＝96. 【答案】 967．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________．分数 5 4 3 2 1 人数2010303010【解析】平均成绩为5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10100＝3，s 2＝1100×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝160100. ∴s ＝2105【答案】21058．(2012·广东高考)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)【解析】利用平均数、中位数、标准差公式分类讨论求解．假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝ 14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(4－x 2－2)2＋(4－x 1－2)2 ＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2] ＝1，∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.【答案】 1,1,3,3 三、解答题9．某公司销售部有销售人员15人，为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：每人销售件数1 800 510 250 210 150 120 人数113532(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售定额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额．【解】 (1)平均数x ＝115×(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．(2)不合理，因为15人中就有13人的销售额达不到320件，也就是说320虽是这一组数据的平均数但它却不能反映销售人员的一般水平．销售额定为210件要合理些．由于210既是中位数，又是众数，是绝大部分人都能达到的销售额．10．某篮球队教练要从甲、乙两名运动员中挑选一名运动员，甲、乙两人进行10轮投篮比赛，每轮每人投10次，甲每轮投中的次数分别为9,7,8,7,8,10,7,9,8,7，乙每轮投中的次数分别为7,8,9,8,7,8,9,8,9,7，请你给教练一个人选的建议．【解】由已知x 甲＝110×(9＋7＋8＋7＋8＋10＋7＋9＋8＋7)＝8，x 乙＝110×(7＋8＋9＋8＋7＋9＋8＋9＋8＋7)＝8，s 2甲＝110×[(9－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2]＝1.s 2乙＝110×[(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2]＝35.∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，∴乙运动员发挥稳定，应选乙．11．为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图2－2－10，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.图2－2－10(1)求第四小组的频率；(2)问参加这次测试的学生人数是多少？(3)问在这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？【解】 (1)第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)参加这次测试的学生人数为50.1＝50.(3)由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．∵0.1＋0.3＝0.4<0.5，0．1＋0.3＋0.4＝0.8>0.5，故这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.(教师用书独具)某学校高一A班和高一B班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下：班级平均分众数中位数标准差A班79708719.8B班797079 5.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析：A班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议．【思路探究】综合考虑四个数字特征对小刚成绩情况进行判断，同时对班级成绩作出分析．【自主解答】(1)由于A班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，成绩应该属于中游．但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游．(2)A班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助．B班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优异的也很少，建议采取措施提高优秀率．某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：分数5060708090100人数甲班16121115 5乙班351531311选用平均数、众数和中位数评估这两个班的成绩？【解】甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班．如果记90分以上(含90分)为优秀，甲班有20人，优秀率为40%，乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较好的是乙班．可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定．如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评估比较合适.。

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高中数学《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案新人教A版必修
2、2、2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1授课时间第周星期
第节课型新授课主备课人学习目标
1、掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用；
2、根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息、重点难点根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息、学习过程与方法自主学习复习回顾
1、什么叫平均数？有什么意义？
2、什么叫中位数？有什么意义？
3、什么叫众数？有什么意义？
练习1：
某公司员工的月工资情况如表所示：月工资/元80005000400020001000800700600500员工/人12461282052（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。

（2）公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？
【解】
4、什么叫极差？有什么意义？
5、什么叫方差？有什么意义？练习2：
在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图（1）甲乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？（2）你能从图中分别比较甲乙两组数据平均数和方差的大小吗？
精讲互动例1 甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件。

为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示甲
40、0
39、8
40、1
40、2
39、9
40、0
40、2
39、8
40、2
39、8乙
40、0
40、0399
40、0
39、9
40、1
40、1
40、1
40、0
39、9（1）你能选择适当的数分别表示这两组数据的离散程度吗？提出问题：什么叫标准差？有什么意义？（2）分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差达标训练
1、课本31页练习
2、教辅资料作业布置习题1-41，2学习小结/教学反思。