高中数学必修2全册导学案精编
人教版高中数学必修二精讲练导学案7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(解析版)
7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义导学案编写:XXX 初审:XXX 终审:XXX 廖云波【学习目标】1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题2.注意多种解题方法的灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法【自主学习】知识点1 复数的三角形式的运算设z 1＝r 1( cos θ1＋isin θ1),z 2＝r 2( cos θ2＋isin θ2),则( 1)乘法:z 1·z 2＝r 1r 2[cos( θ1＋θ2)＋isin( θ1＋θ2)],这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和．( 2)除法:z 1÷z 2＝z 1z 2＝r 1r 2[cos( θ1－θ2)＋isin( θ1－θ2)]( 其中z 2≠0),这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． ( 3)乘方:z n ＝r n ( cos nθ＋isin nθ)．( 4)开方:n z ＝nr ( cos θ＋2k πn ＋isin θ＋2k πn )( k ＝0,1,2,…,n －1)．知识点2 复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z 1,z 2相乘时,可以像图中所示那样,先分别画出与z 1,z 2对应的向量OZ1→,OZ2→,然后把向量OZ1→绕点O 按逆时针方向旋转一个角θ2( 如果θ2<0,就要把OZ1→按顺时针方向旋转一个角|θ2|),再把它的模变为原来的r 2倍,得到向量OZ →,OZ →表示的复数就是积z 1z 2.这就是复数乘法的几何意义．z 2≠0,z 1z 2的几何意义是把z 的对应向量OZ1→按顺时针方向旋转一个角θ2( 如果θ2<0,就要把OZ1→按逆时针方向旋转一个角|θ2|),再把它的模变为原来的1r 2倍,所得的向量即表示商z 1z 2.【合作探究】探究一 复数的三角形式的乘、除运算 【例1】2( cos π12＋isin π12)·3( cos π6＋isin π6)．[解]2( cos π12＋isin π12)·3( cos π6＋isin π6)＝2·3[cos(π12＋π6)＋isin( π12＋π6)] ＝6( cos π4＋isin π4)＝6( 22＋22i)＝3＋3i.归纳总结:r 1( cos θ1＋isin θ1( ·r 2( cos θ2＋isin θ2( ＝r 1r 2[cos ( θ1＋θ2( ＋isin ( θ1＋θ2( ]计算,简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.【练习1】设复数z ＝cos θ＋isin θ,θ∈( π,2π),求复数z 2＋z 的模和辐角． 解:z 2＋z ＝( cos θ＋isin θ)2＋cos θ＋isin θ ＝cos2θ＋isin2θ＋cos θ＋isin θ ＝( cos2θ＋cos θ)＋i( sin2θ＋sin θ) ＝2cos 3θ2cos θ2＋i( 2sin 3θ2cos θ2)＝2cos θ2( cos 32θ＋isin 32θ)＝－2cos θ2⨯⎣⎡⎦⎤cos (－π＋32θ)＋isin (－π＋32θ).∵θ∈( π,2π),∴θ2∈( π2,π),∴－2cos θ2>0,所以复数z 2＋z 的模为－2cos θ2,辐角为( 2k －1)π＋3θ2( k ∈Z )．探究二 复数的乘、除运算的几何意义【例2】向量OZ →与－1＋i 对应,把OZ →按逆时针方向旋转120°,得到OZ ′→,求与向量OZ ′→对应的复数[解] 将向量OZ →逆时针方向旋转120°,得到OZ ′→,由于模未发生变化,应当是OZ →对应复数乘以1·( cos120°＋isin120°),即z ′＝( －1＋i)( cos120°＋isin120°)＝2( cos135°＋isin135°)( cos120°＋isin120°)＝2( cos255°＋isin255°)＝1－32－1＋32i.归纳总结:利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便【练习2】如图,已知平面内并列的三个相等的正方形,利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝π2.证明:∈1,∈2,∈3分别等于复数1＋i,2＋i,3＋i 的辐角主值,这样∈1＋∈2＋∈3就是( 1＋i)( 2＋i)( 3＋i)＝10i 的辐角,∈1,∈2,∈3都是锐角,所以∈1＋∈2＋∈3＝π2.课后作业A 组 基础题一、选择题1．复数( sin10°＋icos10°)3的三角形式为( )A ．sin30°＋icos30°B ．cos240°＋isin240°C ．cos30°＋isin30°D ．sin240°＋icos240°【正确答案】B2．若z ＝cos θ－isin θ,则使z 2＝－1的θ值可能是( )A ．0 B.π2 C ．π D ．2π【正确答案】B详细解析:∈z ＝cos θ－isin θ＝cos( －θ)＋isin( －θ), ∈z 2＝z ·z ＝cos( －2θ)＋isin( －2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1,∈⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1，－sin2θ＝0∈θ＝π2.3．4( cos60°＋isin60°)×3( cos150°＋isin150°)＝( )A ．63＋6iB ．63－6iC ．－63＋6iD ．－63－6i【正确答案】D详细解析:4( cos60°＋isin60°)×3( cos150°＋isin150°)＝12[cos( 60°＋150°)＋isin( 60°＋150°)]＝12( cos210°＋isin210°)＝12⎝⎛⎭⎫－32－12i ＝－63－6i.故选D. 4．复数z 1＝1,z 2是由z 1绕原点O 逆时针方向旋转π6而得到,则arg( z 2－z 12)的值为( )A.π12 B.π3 C.5π12D.7π12【正确答案】D5．( 多选)设z 1、z 2是复数,arg z 1＝α,arg z 2＝β,则arg( z 1·z 2)有可能是下列情况中的( )A ．α＋βB ．α＋β－2πC ．2π－( α＋β)D ．π＋α＋β【正确答案】ABC详细解析:因为arg z 1＝α,arg z 2＝β,所以α∈[0,2π),β∈[0,2π),而arg( z 1·z 2)∈[0,2π),则当α＋β∈[0,2π)时,arg( z 1·z 2)＝α＋β;当α＋β∈[2π,4π)时,α＋β－2π∈[0,2π),则arg( z 1·z 2)＝α＋β－2π;当α＋β＝π时,2π－( α＋β)＝π＝α＋β,此时arg( z 1·z 2)＝α＋β＝2π－( α＋β),故选ABC. 二、填空题6．复数－i 的一个立方根是i,它的另外两个立方根是 . 【正确答案】－32－12i,32－12i 详细解析:∵－i ＝cos 3π2＋isin 3π2,其立方根是cos 2k π＋3π23＋isin 2k π＋3π23,k ∈0,1,2,即i,－32－12i,32－12i. 三、参考解答题7．计算:4( cos 4π3＋isin 4π3)÷2( cos 5π6＋isin 5π6)．解:原式＝2[cos(4π3－5π6)＋isin( 4π3－5π6)] ＝2( cos π2＋isin π2)＝2i.8．把复数z 1与z 2对应的向量OA →,OB →分别按逆时针方向旋转π4和5π3后,重合于向量OM →且模相等,已知z 2＝－1－3i,求复数z 1的代数形式和它的辐角主值． 解:由复数乘法的几何意义得 z 1( cos π4＋isin π4)＝z 2( cos 5π3＋isin 5π3),又z 2＝－1－3i ＝2( cos 4π3＋isin 4π3),∴z 1＝2(cos 4π3＋isin 4π3)·(cos 5π3＋isin 5π3)cos π4＋isin π4＝2[cos( 3π－π4)＋isin( 3π－π4)]＝－2＋2i,z 1的辐角主值为3π4.9．计算:3( cos π6＋isin π6)·4( cos π12＋isin π12)．解:原式＝43[cos( π6＋π12)＋isin( π6＋π12)]＝43( cos π4＋isin π4)＝26＋26i.10．若z ＝3( cos π6＋isin π6),求z 2与z 3的值．解:z 2＝z ·z ＝( 3)2[cos( π6＋π6)＋isin( π6＋π6)]＝3( cos π3＋isin π3)＝32＋332i.z 3＝z ·z ·z ＝( 3)3[cos( π6×3)＋isin( π6×3)]＝33( cos π2＋isin π2)＝33i.11．在复平面上A ,B 表示复数为α,β( α≠0),且β＝( 1＋i)α,判断△AOB 形状, 并证明S △AOB ＝12|α|2.解:∈AOB 为等腰直角三角形． 证明:∵α≠0,∴β＝( 1＋i)α,∴βα＝1＋i ＝2( cos π4＋isin π4),∴∠AOB ＝π4; ∵OA →,AB →分别表示复数α,β－α,由β－α＝αi,得β－αα＝i ＝cos π2＋isin π2,∴∠OAB ＝90°,∴△AOB 为等腰直角三角形． ∴S △AOB ＝12|OA |2＝12|α|2.12．设复数z 1＝3＋i,复数z 2满足|z 2|＝2,已知z 1·z 22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z 2∈( 0,π),求z 2的代数形式．解:因为z 1＝2( cos π6＋isin π6),设z 2＝2( cos α＋isin α),α∈( 0,π),所以z 1z 22＝8[cos( 2α＋π6)＋isin( 2α＋π6)]．由题设知2α＋π6＝2k π＋3π2( k ∈Z ),所以α＝k π＋2π3( k ∈Z ),又α∈( 0,π),所以α＝2π3,所以z 2＝2( cos 2π3＋isin 2π3)＝－1＋3i.B 组 能力提升一、选择题1．复数z ＝sin π6－icos π6,若z n ＝Z ( n ∈N ),则n 的最小值是( )A ．1B ．3C ．5D ．7【正确答案】C详细解析:因为z ＝sin π6－icos π6＝cos 5π3＋isin 5π3,所以z n ＝cos 5n 3π＋isin 5n 3π,Z ＝cos 5π3－isin 5π3＝cos π3＋isin π3.因为z n ＝Z ,所以5n 3π＝π3＋2k π,n ＝6k ＋15,因为n ∈N ,k ∈Z ,所以当k ＝4时,n ＝5. 2.设复数z 1＝2sin θ＋icos θ( π4<θ<π2)在复平面上对应向量OZ 1→,将OZ 1→按顺时针方向旋转3π4后得到向量OZ 2→,OZ 2→对应复数z 2＝r ( cos φ＋isin φ),则tan φ＝( )A.2tan θ＋12tan θ－1B.2tan θ－12tan θ＋1C.12tan θ＋1D.12tan θ－1 【正确答案】A 二、填空题3．( 1－3i)7详细解析:( 1－3i)7＝⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫cos 5π3＋isin 5π37 ＝27⎝⎛⎭⎫cos 35π3＋isin 35π3 ＝128⎝⎛⎭⎫12－32i ＝64－643i.三、参考解答题4．若z ∈C ,|z －2|≤1,求|z |的最大值,最小值和arg z 范围．解:如图,由|z －2|≤1,知z 的轨迹为复平面上以( 2,0)为圆心,1为半径的圆面( 包括圆周),|z |表示圆面上任一点到原点的距离．显然1≤|z |≤3,∈|z |max ＝3,|z |min ＝1,另设圆的两条切线为OA ,OB ,A ,B 为切点,由|CA |＝1,|OC |＝2知∈AOC ＝∈BOC ＝π6,∈arg z ∈[0,π6]∈[116π,2π)．5．已知复数z 1＝－2＋i 对应的点为P 1,z 2＝－3＋4i 对应的点为P 2,把向量P 1P 2→绕P 1点按顺时针方向旋转π2后,得到向量P 1P →,求向量P 1P →和点P 对应的复数分别是什么? 解:由题意知向量P 1P 2→对应的复数是z 2－z 1＝( －3＋4i)－( －2＋i)＝－1＋3i.再由复数乘法的几何意义得,向量P 1P →对应的复数是( －1＋3i)·⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋isin ⎝⎛⎭⎫－π2＝3＋i,最后由复数加法的几何意义得,向量OP →＝OP 1→＋P 1P →,其对应的复数是( －2＋i)＋( 3＋i)＝1＋2i,故点P 对应的复数为1＋2i.6．已知z ＝－1＋i i －2i,z 1－z ·z 2＝0,arg z 2＝7π12,若z 1,z 2在复平面上分别对应点A ,B ,且|AB |＝2,求z 1的立方根．解:由题设知z ＝1－i,因为|AB |＝2,即|z 1－z 2|＝2,所以|z 1－z 2|＝|z z 2－z 2|＝|( 1＋i)z 2－z 2|＝|i z 2|＝|z 2|＝2,又arg z 2＝7π12, 所以z 2＝2( cos 7π12＋isin 7π12),z 1＝z z 2＝( 1＋i)z 2 ＝2( cos π4＋isin π4)·2( cos 7π12＋isin 7π12) ＝2( cos 5π6＋isin 5π6),所以z 1的立方根为32[cos 5π6＋2k π3＋isin 5π6＋2k π3],k ＝0,1,2, 即32( cos 5π18＋isin 5π18),32( cos 17π18＋isin 17π18), 32( cos 29π18＋isin 29π18)．。
高中必修二数学全册教案
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第一节：直线和平面的方程
教学目标：学生能够理解和应用直线和平面的方程。
教学重点：直线和平面的一般方程、截距式方程、点斜式方程、交点坐标、平面的截距式方程。
教学难点：平面的一般方程的推导。
教学过程：
1.引入直线和平面的方程。
通过实际例子引导学生了解直线和平面的一般方程。
2.介绍直线的方程。
讲解直线的截距式方程和点斜式方程，并通过例题演示如何转换。
3.介绍平面的方程。
学习平面的一般方程和截距式方程，并讲解如何根据平面上的点和法向量来确定平面的方程。
4.练习。
让学生进行练习，巩固直线和平面的方程的知识。
5.总结。
总结本节课的重点内容，并提醒学生注意要点。
教学资源：教材、黑板、彩色粉笔、习题册。
课后作业：完成课后习题，练习直线和平面的方程，并思考如何应用到实际生活中。
扩展阅读：了解不同方程的应用领域，并与实际生活进行联系。
人教A版高中数学必修二全册全册导学案
人教A版高中数学必修二全册精品导学案高中数学必修导学案§1.1 空间几何体的结构【使用说明及学法指导】1.结合问题导学自已复习课本必修2的P2页至P4页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。
2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。
3. 感受空间实物及模型，增强学生直观感知；能根据几何结构特征对空间物体进行分类；4.理解多面体的有关概念；会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.5. 在科学上没有平坦的道路，只有不畏劳苦，敢于沿着陡峭山路攀登的人才有希望达到光辉的顶点。
【重点难点】重点是棱柱、棱锥、棱台结构特征.难点是棱柱、棱锥、棱台的结构特征一【问题导学】探索新知探究1：几何体的相关概念（1）预习课本第2页的观察部分，试着将所给出的16幅图片进行分类，并说明分类依据。
（2）空间几何体的概念：（3探究2新知1：（1）多面体：（2）多面体的面：（3）多面体的棱：（4 指出右侧几何体的面、棱、顶点探究2：旋转体的相关概念新知2：旋转体旋转体的轴 探究31、 棱柱：2、棱柱的分类：（1）按侧棱及底面垂直及否，分为：（2）按底面多边形的边数，分为：注：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
3、棱柱的表示：4、补充：平行六面体——底面是平行四边形的四棱柱探究41、棱锥：2、棱锥的分类：注：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.3、棱锥的表示：探究5：（三）棱台1、棱台：2、棱台的分类：3、棱台的表示：二【小试牛刀】1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）.A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体2. 棱台不具有的性质是（）.A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点三【合作、探究、展示】例1、根据右边模型，回答下列问题：(1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？(2) 如右图，长方体''''中被截去一部ABCD A B C D分，其中''EH A D。
必修2全册导学案及答案(118页)
高一数学必修2导学案主备人: 备课时间: 备课组长:1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。
2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。
（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。
二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。
学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。
三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
3、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？B问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C问题4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？C问题5：质疑答辩，排难解惑1．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）2．棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A例1：如图，截面BCEF把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？B 例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是 （ ） A ．三棱柱 B ．四棱柱 C ．五棱柱 D ．六棱柱 A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ） A ．正方体 B ．正四棱锥 C ．长方体 D ．直平行六面体 B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为 （ ）A ． 3B ．23C ．33D ．43 B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ） A ．279cm 2B ．79cm 2C ．323cm 2 D ．32cm 2B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ） A ．必须都是直角三角形 B ．至多只能有一个直角三角形 C ．至多只能有两个直角三角形 D ．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.七、小结与反思：【励志良言】不为失败找理由，只为成功找方法。
人教版高中数学必修2全册导学案及答案
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人教版高中数学必修2全册导学案是教师在备课过程中为了引导学生自主学习而准备的一份辅助教材。
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导学案及答案第一章函数与导数1.1 函数的概念与表示学习目标：1. 了解函数的基本概念；2. 掌握用集合、映射等方法表示函数的方法。
学习内容：1. 函数的定义；2. 函数的表示方法；3. 函数的性质。
学习方法指导：1. 仔细阅读教材相关内容，理解函数的定义；2. 注意区分自变量和因变量的概念；3. 多做一些例题，加深对函数表示方法的理解。
习题：1. 设函数f(x) = 2x + 3，求f(1)的值；2. 函数y = x^2的图象为抛物线，确定该函数的定义域和值域。
答案：1. 将x = 1带入函数f(x)，得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。
2. 函数y = x^2的定义域为全体实数集R，值域为非负实数集[0,+∞)。
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人教版高一数学必修2全册导学案及答案
人教版高一数学必修2全册导学案及答案第一章：集合及其运算1. 集合的概念及表示方法a) 集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
b) 集合的表示方法：i) 列举法：把集合中的元素逐个列举出来，用大括号括起来表示，如A={1, 2, 3}。
ii) 描述法：用条件描述集合中的元素，如A={x|x是自然数，且x<4}。
2. 集合的运算a) 交集：设A和B为两个集合，A∩B表示同时属于A和B的元素组成的集合。
b) 并集：设A和B为两个集合，A∪B表示属于A或者属于B的元素组成的集合。
c) 差集：设A和B为两个集合，A-B表示属于A但不属于B的元素组成的集合。
d) 互斥与互补：若A∩B=∅，则A和B互斥；若A∪B=U（全集），则称A和B互为互补集。
练习题：1. 设A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5}，求A∩B和A∪B。
2. 若A={1, 2, 3, 4}，B={2, 3, 4, 5}，求A-B和B-A。
3. 设全集U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2, 3}，B={3, 4}，求A的补集和B的补集。
答案：1. A∩B={3, 4}，A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. A-B={1}，B-A={5}。
3. A的补集U-A={4, 5}，B的补集U-B={1, 2, 5}。
第二章：不等式与不等式组1. 不等式的概念a) 不等式的定义：设a和b是两个实数，用符号"<"表示a小于b，用符号">"表示a大于b，用符号"≤"表示a小于等于b，用符号"≥"表示a大于等于b。
b) 不等式的解集：使不等式不等号成立的实数的集合，称为不等式的解集。
2. 一元一次不等式a) 不等式的性质：两边加上（或减去）同一个实数，不等式的大小方向不变；两边乘以正实数（或除以正实数），不等式的大小方向不变；两边乘以负实数（或除以负实数），不等式的大小方向相反。
数学必修2人教版导学案3.2.1直线的点斜式方程 (2)
3. 2.1 直线的点斜式方程【教学目标】（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.【教学重难点】重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
【教学过程】（一）情景导入、展示目标1．情境1：过定点P （x 0,y 0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？学生思考、讨论。
(二)预习检查、交流展示检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（三）合作探究、精讲精炼。
问题1：确定一条直线需要几个独立的条件？学生可能的回答：（1）两个点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）；（2）一个点和直线的斜率（可能有学生回答倾斜角）；（3）斜率和直线在y 轴上的截距（说明斜率存在）；（4）直线在x 轴和y 轴上的截距（学生没有学过直线在x 轴上的截距，可类比，同时强调截距均不能为0）。
问题2：给出两个独立的条件，例如：一个点P 1（2，4）和斜率k=2就能决定一条直线l 。
（1）你能在直线l 上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？（2）这条直线上的任意一点P （x ，y ）的坐标x ，y 满足什么特征呢？直线上的任意一点P(x,y)（除P 1点外）和P 1(x 1，y 1)的连线的斜率是一个不变量，即为k ，即：k ＝00x x y y --， 即y - y 1= k (x - x 1)学生在讨论的过程中：（1） 强调P （x ，y ）的任意性。
（2） 不直接提出直线方程的概念，而用一种通俗的，学生易于理解的语言先求出方程，可能学生更容易接受，也更愿意参与。
问题3：（1）P 1（x 1，y 1）的坐标满足方程吗？（2）直线上任意一点的坐标与此方程有什么关系？教师指出，直线上任意一点的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在此直线上。
新人教版新高考高中数学必修第二册全套导学案课后练习题
平面向量的概念【学习过程】一、问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？二、合作探究探究点1： 向量的相关概念例1：给出下列命题：①若AB→＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．解析：AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC→|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．答案：②③ 探究点2： 向量的表示例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA→，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； （2）AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； （3）BC→，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上． 解：（1）由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．（2）由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB→，如图所示．（3）由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．探究点3：共线向量与相等向量例3：如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ （2）与a 共线的向量有哪些？解：（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →．（2）与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →． 互动探究1．变条件、变问法：本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →． 2．变问法：本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →．三、学习小结1．向量的概念及表示（1）概念：既有大小又有方向的量． （2）有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→． ④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|．（3）向量的表示■名师点拨（1）判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．（2）用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念（1）向量的模（长度）：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度（或称模），记作|AB →|．（2）零向量：长度为0的向量，记作0． （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b ．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b ． ■名师点拨（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． （2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． （3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 四、精炼反馈1．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.图中与AE→平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个．2．下列结论中正确的是（ ） ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |． A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B ．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC→相等的向量；（2）与OB→长度相等的向量；（3）与DA→共线的向量．解：画出图形，如图所示．（1）易知BC ∥AD ，BC ＝AD ，所以与BC→相等的向量为AD →．（2）由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB→长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →．（3）与DA→共线的向量为AD →，BC →，CB →．平面向量的应用【第一学时】学习重难点学习目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2．如何用向量方法解决物理问题？ 二、合作探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ．证明：法一：设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋12b ，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋12a ， 所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0．故AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ． 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF →＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF→·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ． 角度二：平面几何中的平行（或共线）问题如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AFFB＝12．求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明：设AB→＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， 所以FO →＝F A →＋AO→＝13BA →＋12AC → ＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ， OE→＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD → ＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ．所以FO→＝OE →． 又O 为FO→和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．角度三：平面几何中的长度问题如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC的长．解：设AD→＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD→|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2， 所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝6．探究点2：向量在物理中的应用（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB→＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC→|＝|AB →|＝12．5．|AD→|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°． （2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ．因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）． 所以W 1＝F 1·AB→＝（3，4）·（－13，－15） ＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），W 2＝F 2·AB→＝（6，－5）·（－13，－15）＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）． 三、学习小结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ（θ为F 与s 的夹角）． 四、精炼反馈1．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B ．由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝226（m/s ）．2．已知三个力f 1＝（－2，－1），f 2＝（－3，2），f 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝（ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）解析：选D ．由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－（f 1＋f 2＋f 3）＝（1，2）． 3．设P ，Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，AB ∥DC ，试用向量证明：PQ ∥AB ．证明：设DC →＝λAB →（λ＞0且λ≠1），因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP →＝AB →＋12（BD→－AC →） ＝AB→＋12[（AD →－AB →）－（AD →＋DC →）] ＝AB→＋12（CD →－AB →） ＝12（CD →＋AB →）＝12（－λ＋1）AB→， 所以PQ →∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？2．余弦定理有哪些推论？二、合作探究探究点1：已知两边及一角解三角形（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（ ） A ．42 B ．30 C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ．（2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去．故选D ．答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋（23）2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4． 探究点2：已知三边（三边关系）解三角形（1）在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°（2）在△ABC 中，若（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），则A 等于（ ） A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：（1）在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19，所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°．故选B ．（2）因为（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈（0°，180°），所以A ＝60°．答案：（1）B （2）B 探究点3： 判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ． 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2 ＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a 2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形． 三、学习小结2．余弦定理的推论cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab．3．三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．四、精炼反馈1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝（）A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B．cos B＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12．所以B＝60°，所以A＋C＝120°．2．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选B．因为（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝60°．3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab ＝________．解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2ab cos 60°，即c2＝a2＋b2－ab．①又因为（a ＋b ）2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43． 答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0， 展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2． 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？2．正弦定理的内容是什么？二、合作探究探究点1：已知两角及一边解三角形在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．解：因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－（A＋C）＝105°．由asin A＝csin C得a＝c sin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝102．因为sin 75°＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b＝c sin Bsin C＝10×sin（A＋C）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．探究点2：已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC中的下列条件，解三角形：（1）a＝10，b＝20，A＝60°；（2）a＝2，c＝6，C＝π3．解：（1）因为bsin B＝asin A，所以sin B＝b sin Aa＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为asin A＝csin C，所以sin A＝a sin Cc＝22．因为c＞a，所以C＞A．所以A＝π4．所以B＝5π12，b＝c sin Bsin C＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C＝π3改为A＝π4，其他条件不变，求C，B，b．解：因为asin A＝csin C，所以sin C＝c sin Aa＝32．所以C＝π3或2π3．当C＝π3时，B＝5π12，b＝a sin Bsin A＝3＋1．当C＝2π3时，B＝π12，b＝a sin Bsin A＝3－1．探究点3：判断三角形的形状已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．三、学习小结1．正弦定理2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、精炼反馈1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c ＝（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C ＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、合作探究探究点1：测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC中，∠C＝180°－（∠B＋∠A）＝45°，由正弦定理，可得BCsin 60°＝ABsin 45°，所以BC＝32×10＝56（海里）．答案：56海里互动探究：变条件：在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC＝103．即B，C间的距离为103海里．探究点2测量高度问题如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝300 2 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006（m）．答案：1006互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知，∠CBE＝75°，BC＝3002，所以CE＝BC·sin∠CBE＝3002sin 75°＝3002×2＋6 4＝150＋1503．所以tan α＝DCCE＝1006150＋1503＝32－63．探究点3：测量角度问题岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．解：（1）根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，在△ABC中，由ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，得AB＝BC sin∠ACBsin∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56．所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t小时，则BD＝103t，CD＝10t，又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos 120°，所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）． 所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°， 所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时． （或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时） 三、学习小结1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． 2．基线与测量精确度的关系一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 图示南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）四、精炼反馈1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的（ ） A ．东偏北45°10′方向上 B ．东偏北45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上D ．西偏南45°50′方向上解析：选C．如图所示．2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．1002米B．50（3＋1）米C．100（3＋1）米D．200米解析：选C．设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x．在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝3AB＝3x．因为BD－BC＝CD，所以3x－x＝200，解得x＝100（3＋1）．故选C．3．已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v＝（）A．60B．80C．100D．125解析：选C．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v）2＝2002＋1502＋2×200×150cos（α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34cos β，sin2α＋cos2α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos（α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v＝100．4．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得123tsin 120°＝12tsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则 和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 会用它们解决实际问题 数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律 掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c ．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC→＝a ＋b ；（3）再作向量OD→＝c ；（4）作平行四边形CODE ， 则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算 例2：化简：（1）BC→＋AB →； （2）DB→＋CD →＋BC →； （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →．解：（1）BC→＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →．（2）DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝（BC→＋CD →）＋DB → ＝BD→＋DB →＝0． （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0． 探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA→＋OB →＝OC →．由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． 三、学习小结即a ＋b ＝AB＋BC ＝AC对角线OC就是a 与b 的和2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立． 四、精炼反馈1．化简OP→＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于（ ）A ．QP →B ．OQ →C ．SP →D ．SQ→ 解析：选B ．OP→＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC→＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______． 解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13． 答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO→＋AC →； （2）DE→＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF→为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ， 则向量BG→为所求．【第二课时】【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？ 二、新知探究探究点1： 向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB →＋MB →）＋（－OB →－MO →）； （2）AB →－AD →－DC →．解：（1）法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝（AB →＋BO →）＋（OM →＋MB →）＝AO →＋OB →＝AB→． 法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋（MB →＋BO →）＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB→． （2）法一：原式＝DB→－DC →＝CB →．法二：原式＝AB →－（AD →＋DC →）＝AB →－AC →＝CB →． 探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB→＝b －c ． 过点A 作AD 綊BC ，连接OD ， 则AD→＝b －c ， 所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋b －c ． 法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ， 作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ， 则OB→＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ， 则OC→＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC→＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ． 三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． 2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． 四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD→－AC →等于（ ）A ．CB → B ．BC → C ．CD→ D ．DC→ 解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC→＝CD →． 2．化简：AB→－AC →＋BD →－CD →＋AD →＝________．解析：原式＝CB →＋BD →＋DC →＋AD →＝CD →＋DC →＋AD →＝0＋AD →＝AD →．答案：AD→3．已知错误!＝10，|错误!|＝7，则|错误!|的取值范围为______．解析：因为CB →＝AB →－AC →，所以|CB→|＝|AB →－AC →|． 又错误!≤|错误!－错误!|≤|错误!|＋|错误!|， 3≤|AB→－AC →|≤17， 所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB→－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →．又|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|， 所以|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？ 二、新知探究探究1： 向量的线性运算 例1：（1）计算：①4（a ＋b ）－3（a －b ）－8a ；②（5a －4b ＋c ）－2（3a －2b ＋c ）；③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）． （2）设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋（2b －a ）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j ． 探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线； （2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB→． 所以AB→，BD →共线，且有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线． （2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2）， 则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1． 探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB→＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC→＝________； （2）MN→＝________．解析：因为AB→∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →． （1）AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1． （2）MN→＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2 互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN→＝MD →＋DA →＋AN →，MN→＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN →＝（MD →＋MC →）＋DA →＋CB →＋（AN →＋BN →）． 又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0． 所以2MN→＝DA →＋CB →， 所以MN →＝12（－AD →－BC →）＝－12e 2－12e 1． 三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： （1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ． （3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ． 3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ． 四、精炼反馈 1．13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于（ ）A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ． 2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（ ） A ．BO→ B ．AO→ C ．CO→ D ．DO→ 解析：选A ．BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1，BO →＝12BD →＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD→＝CD →－CB →＝e 1－4e 2． 又AB →＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB →＝2BD →，所以AB →与BD →共线． 因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？ 3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？ 5．向量数量积的运算有哪些运算律？ 二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD →·BC →；②AB →·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ） ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2 ＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD→与BC →的夹角是0°， 所以AD→·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9． ②因为AB→与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°， 所以AB→·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120°＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC→·BD →．解：因为AC→＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝（AB →＋AD →）·（AD →－AB →） ＝AD →2－AB →2＝9－16＝－7． 探究点2： 向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（ ） A ．3 B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（ ）A ．13B ．12C ．15D ．14 解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2 ＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12． 答案：（1）B （2）B 探究点3： 向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[]0，π，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b |b |2·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）． 命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．－32 B ．32 C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直， 所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0， 所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0． 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 又|a |＝2，|b |＝3， 所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ）， 即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ， 而a ，b ，c 为单位向量， 则a 2＝b 2＝c 2＝1， 则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5． 答案：（1）B （2）－8或5 三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ； ③当θ＝π时，向量a 与b 反向． 2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0． 3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为。
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高中数学必修二复习全册导学案必修2 第一章§2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计算【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）.⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 .⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，②两底面是平行且相似的多边形。
2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征⑴圆柱：.⑵圆锥：.⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆，②过轴的截面都是全等的等腰梯形，③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点.(4)球： .3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是①若干个小矩形拼成的一个，②若干个，③若干个 .（2）表面积及体积公式：4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．下列命题正确的是（）(A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。
(C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
(D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称：（1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。
（2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。
3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。
4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)）6．已知圆台的上下底面半径分别是r，R，且侧面面积等于两底面面积之和，求圆台的母线长。
7．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求长方体的体积与剩下的几何体的体积的比。
8．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是2cm，求球的体积与表面积。
强调（笔记）：【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点1.2.3.4.【课后15分钟】自主落实，未懂则问1.填空题：（1）正方形边长扩大n倍，其面积扩大倍；长方体棱长扩大n倍，其表面积扩大倍，体积扩大倍。
（2）圆半径扩大n倍，其面积扩大倍；球半径扩大n倍，其表面积扩大倍，体积扩大倍。
（3）圆柱的底面不变，体积扩大到原来的n倍，则高扩大到原来的倍；反之，高不变，底面半径扩大到原来的倍。
2．已知各面均为等边三角形的四面体S-ABC的棱长为1，求它的表面积与体积。
3．直角三角形三边长分别是3cm,4cm,5cm，绕着三边旋转一周分别形成三个几何体，求出它们的表面积和体积。
互助小组长签名：必修2 第一章§2-2 投影与三视图【课前预习】阅读教材P11-18完成下面填空1.中心投影、平行投影⑴叫中心投影,⑵叫平行投影，投影线正对着投影面时，叫，否则叫斜投影.2.空间几何体的三视图、直观图平行投影下的正投影包括斜二测法和三视图: (1)三视图的正视图、左视图、俯视图分别是从物体的、、看到的物体轮廓线即正投影（被遮挡的轮廓线要画虚线）。
(2)直观图的斜二测画法①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于O′,且使∠x′O′y′= ,它们确定的平面表示水平面；②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，画成；③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度，平行于y轴的线段，长度 .【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．下列三视图对应的几何体中，可以看作不是简单组合体的是（）.A B C D2．根据下列描述，说出几何体的结构特征，并画出它的三视图：由五个面围成，其中一个面是正四边形，其余四个面是全等的等腰三角形的几何体。
3．下列结论正确的有（1）角的水平放置的直观图一定是角；（2）相等的角在直观图中仍然相等；（3）相等的线段在直观图中仍然相等；（4）若两条线段平行，则在直观图中对应线段仍然平行4．利用斜二测画法得到的结论正确的是（1）三角形的直观图是三角形；（2）平行四边形的直观图是平行四边形；（3）正方形的直观图是正方形；（4）菱形的直观图是菱形强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．画出下列几何体的三视图：6．根据下列三视图，画出对应的几何体：7．用斜二测画法画出水平放置的一角为60°，边长为4cm的菱形的直观图。
8．已知正三角形ABC的边长为a，求出正三角形的直观图三角形'''A B C的面积。
强调（笔记）：【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点1.2.【课后15分钟】自主落实，未懂则问1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）. A.483π+ B.443π+ C. 84π+ D.103π2．已知几何体的三视图如下，画出它们的直观图：3．下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.互助小组长签名：必修2 第二章§2-3平面概念、公理【课前预习】阅读教材P40-43完成下面填空1.平面及画法2.三个公理：公理1：文字语言：符号语言：图形语言：公理2：文字语言：符号语言：图形语言：公理3：文字语言： 符号语言： 图形语言：注意：公理1的作用：直线在平面上的判定依据； 公理2的作用：确定一个平面的依据，用其证明点、线共面；公理3的作用：判定两个平面相交的依据，用其证明点在直线上——两平面的公共点一定在交线上.【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．下列推断中，错误的是（ ）. A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C ．,l A l A αα⊄∈⇒∉D ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且A 、B 、C 不共线,αβ⇒重合2．下列结论中，错误的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和这条直线外一点确定一个平面C ．经过两条相交直线确定一个平面D ．经过两条平行直线确定一个平面3．用符号表示下列语句，并画出相应的图形： （1）直线a 经过平面α外的一点M; （2）直线a 既在平面α内，又在平面β内; 4．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线： （1）AB 没有被平面α遮挡； （2）AB 被平面α遮挡强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？6．在正方体1111ABCD A B C D -中， （1）1AA 与1CC 是否在同一平面内？（2）点1,,B C D 是否在同一平面内？ （3）画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线. 7．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，已知EF 和GH 交于P 点，求证：EF 、GH 、AC 三线共点. 8． ABC ∆在平面α外，AB P α=，BC Q α=，AC R α=，求证：P ，Q ，R 三点共线.强调（笔记）：【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点1.2.3.4.【课后15分钟】 自主落实，未懂则问 1．下列说法中正确的是（ ）. A. 空间不同的三点确定一个平面B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内2．给出下列说法，其中说法正确的序号依次是 .① 梯形的四个顶点共面； ② 三条平行直线共面；③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面.3．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 .4．下面四个叙述语（其中A,B 表示点，a 表示直线，α表示平面）① ,,A B AB ααα⊂⊂∴⊂； ②,,A B AB ααα∈∈∴∈； ③,,A a a A αα∉⊂∴∉； ④,,A a A a αα∉⊂∴∉.其中叙述方式和推理都正确的序号是5．在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中M,N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过点D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面A 1B 1C 1D 1相交于直线l ， （1）画出直线l ； （2）设11lA B P =，求PB 1的长；（3）求D 1到l 的距离.互助小组长签名：必修2 第二章§2-4 空间直线位置关系【课前预习】阅读教材P44-50完成下面填空1．空间两直线的位置关系和异面直线的概念与画法 (1)⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线： ；共面直线平行直线：；异面直线：. （注意：常用平面衬托法画两条异面直线）（2）已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线 ，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）.注意：①,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；②异面直线所成的角的范围为 ，③如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥.2．空间直线和平面的位置关系（1）直线与平面相交： ； 直线在平面内： ； 直线与平面平行： .（2）直线在平面外——直线和平面相交或平行，记作a ⊄α包括a ∩α=A 和a ∥α3．空间平面与平面的位置关系平面与平面平行: ； 平面与平面相交: .【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）.A. 异面B. 平行C. 相交D. 以上都有可能2．直线l 与平面α不平行，则（ ）. A. l 与α相交 B. l ⊂α C. l 与α相交或l ⊂α D. 以上结论都不对3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（ ）. A. 有限个 B. 无限个 C. 没有 D. 没有或无限个4．如果OA ∥''O A ,OB ∥''O B ，那么AOB ∠与'''AO B ∠ （大小关系）.强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB =, AD ='1AA =.（1）BC 和''AC 所成的角是多少度？ （2）'AA 和'BC 所成的角是多少度？6．下图是正方体平面展开图，在这个正方体中： ① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线； ③ CN 与BM 成60º角； ④ DM 与BN 垂直. 以上四个说法中，正确说法的序号依次是 .7．已知空间四边形ABCD 各边长与对角线都相等，求AB 和CD 所成的角的大小.8．三棱柱ABC —A 1B 1C 1 的侧棱垂直底面， ∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1 的中点.若BC=CA=CC 1，求BD 1 与AF 1 所成的角的余弦值.强调（笔记）：【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4. 【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1．两条直线a ,b 分别和异面直线c , d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（ ）. A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线C. 可能是平行直线D. 可能是异面直线，也可能是相交直线CMN D2．E、F、G、H 是空间四边形ABCD 的边AB、BC、CD、DA 的中点，（1）EFGH 是形；（2）若空间四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直，则EFGH 是形；（3）若空间四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相等，则EFGH 是形.3．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是.4．正方体各面所在平面将空间分成（）个部分.A. 7B. 15C. 21D. 27 5．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（）.A. 平行B. 相交C. 平行或垂合D. 平行或相交6．正方体AC1中，E,F分别是A1B1,B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.互助小组长签名：必修2 第二章§2-5空间平行关系（1）【课前预习】阅读教材P54-57完成下面填空1．直线与平面平行判定定理：（1）定义：，则直线和平面平行. （2）判定定理：，则该直线与此平面平行.图形语言：符号语言为：.2．平面与平面平行判定定理：（1）定义：，则平面和平面平行. （2）判定定理：，则这两个平面平行.图形语言：符号语言为：.【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．已知直线1l、2l, 平面α,1l∥2l,1l∥α, 那么2l与平面α的关系是（）.A.1l∥α B.2l⊂αC.2l∥α或2l⊂α D.2l与α相交2．以下说法（其中,a b表示直线，α表示平面）①若a∥b，b⊂α，则a∥α②若a∥α，b∥α，则a∥b③若a∥b，b∥α，则a∥α④若a∥α，b⊂α，则a∥b其中正确说法的个数是（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3．下列说法正确的是（）.A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B. 平行于同一平面的两条直线平行C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行4．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）.A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD. l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF∥平面BB1D1D. 6．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN//平面P AD；（2）若4MN BC==，43PA=，求异面直线P A 与MN所成的角的大小.7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.8．直四棱柱1111ABCD A B C D-中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱13A A=，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点.（1）求证：平面AMN∥平面EFDB；（2）求平面AMN与平面EFDB的距离.强调（笔记）：【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点1.2.3.4.【课后15分钟】自主落实，未懂则问1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（）.A. b∥αB. b与α相交C. b⊂αD. b∥α或b与α相交2．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（）.A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. AB⊂α3．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a，b都平行的平面（）.A. 只有一个B. 恰有两个C. 或没有，或只有一个D. 有无数个4．已知a、b、c是三条不重合直线，α、β、γ是三个不重合的平面，下列说法中：⑴a∥c，b∥c⇒a∥b；⑵a∥γ，b∥γ⇒a∥b；⑶c∥α，c∥β⇒α∥β；⑷γ∥α，β∥α⇒α∥β；⑸a∥c，α∥c⇒a∥α；⑹a∥γ，α∥γ⇒a∥α. 其中正确的说法依次是.5．P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为PB 的中点，O 为AC ，BD 的交点.（1）求证：EO ‖平面PCD ；（2）图中EO 还与哪个平面平行？6．已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在P A 、BD 、PD 上, 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD . 求证：面MNQ ∥面PBC .必修2 第二章 §2-6 空间平行关系（2）【课前预习】阅读教材P58-61完成下面填空1．直线与平面平行性质定理：性质定理：一条直线与一个平面平行，.图形语言：符号语言为： .2．平面与平面平行性质定理：（1）性质定理： .图形语言：符号语言为： .（2）其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒；②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等.【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．已知直线l //平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 2．下列说法错误的是（ ） A.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的平行. B.平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面 C. 若直线a 、b 均平行于平面α，则a 与b 平行 D. 夹在两个平行平面间的平行线段相等 3．下列说法正确的是（ ）. A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行4．下列说法正确的是（ ）. A. 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 强调（笔记）：【课中分钟】边听边练边落实 5．经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1BN M P DC Q B A6．已知正三棱柱的棱长都是a ， 过底面一边和上、下底面中心连线的中点作截面，求此截面的面积..7．如图，设平面α//平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN//α.8．已知平面//αβ，直线AB ，CA 交于点S ，A ，C 在平面α内，B ，D 在平面β内，且线段AS=2cm ，BS=4cm ，CD=8cm ，求线段CS 的长度.强调（笔记）：【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4. 【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1．梯形ABCD 中AB //CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是（ ）.A. 平行B. 平行和异面C. 平行和相交D. 异面和相交2．如图：已知l 是过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线，下列结论错误的是（ ）.A. D 1B 1∥lB. BD //平面AD 1B 1C. l ∥平面A 1D 1B 1D. l ⊥B 1 C 13．设不同的直线a ,b 和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法：① a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ② a ∥α, a ∥β, 则α∥β； ③α∥γ，β∥γ，则α∥β； ④ a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α.其中说法正确的序号依次是 .4．在正方体''''ABCD A B C D -中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）.A. '''BDC B D C 与B. '''A BC ACD 与C. '''B D D BDA 与D. '''A DC AD C 与5．已知在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E 、F 在PC 上，且PE ：EF ：FC=1：1：1，问在PB 上是否存在一点M ，使平面AEM ∥平面BFD ，并请说明理由。