2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题-含答案

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2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题

2022-2023学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行，则a 的值为（）． A ．1-或3B ．3-或1C ．1-D ．3-3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥C ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥4．已知圆的方程为2260x y x +-=，则过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦长为（）．A ．12B ．1C ．2D ．45．函数()1sin f x x =+，其导函数为()f x '，则π3f ⎛⎫'=⎪⎝⎭（）． A ．12B ．12-C ．32 D 36．已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为（）． A ．12B ．1C ．2D ．47．已知命题:p x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题:q x ∃∈R ，20x x a -+=．若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（）．A ．(),4-∞B ．[]0,4C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（）． A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤9．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则直线1BC 和平面1DBBD 所成角的正弦值等于（）． A ．32B ．52C ．105D ．101010．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5AB =，7BC =，2AC =．则此三棱锥的外接球的体积为（）． A ．8π3B ．82π3C ．16π3D ．32π311．已知函数()21,12,1ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）． A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（）． A ．6B ．3C ．6D ．3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________． 14．当直线()24y k x =-+和曲线24y x =-有公点时，实数k 的取值范围是__________． 15．点P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左，右焦点，若1212PF PF ⋅=．则12F PF ∠的大小为__________．16．若方程22112x y m m+=+-所表示曲线为C ，则有以下几个命题： ①当()1,2m ∈-时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆； ②当()2,m ∈+∞时，曲线C 表示双曲线； ③当12m =时，曲线C 表示圆； ④存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线．以上命题中正确的命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+=≤>．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（本小题12分）求下列函数的导数：（1）sin xy e x =；（2）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（3）（3）sin cos 22x xy x =-． 19．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若PCD △的面积为7P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）已知抛物线()21:20C y px p =>过点()1,1A ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为12k k ，求证：12k k 为定值． 21．（本小题12分）已知若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-．（1）求函数解析式；（2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围． 22．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3．（1）求椭圆C 的离心率；（2）点33,M ⎭在椭圆C 上，不过原点O 与直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB △的最大值．四平市第一高级中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCACDACBCC13．10x y -+= 14．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．π316．②③ 三、解答题17．解：（1）因为2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+-≤>．故:42p x -≤≤，:11q m x m -≤≤+．若p 是q 的充分条件，则[][]4,21,1m m --⊆-+，故4121mm-≥-⎧⎨≤+⎩，解得5m ≥．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，即q 是p 的充分条件，则[][]1,14,2m m -+⊆-，即14120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01m <≤．即实数m 的取值范围为(]0,1．18．解：（1）()()sin sin sin cos xxxx y ex e x ex e x '''=+=+．（2）因为3211y x x =++，所以2323y x x '=-．（3）因为1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-． 19．解：（1）四棱锥P ABCD -中，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥．因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以直线BC ∥平面PAD ．（2）由12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．设2AD x =，则AB BC x ==，2CD x =．设O 是AD 的中点，连接PO ，OC ．设CD 的中点为E ，连接OE ，则22OE x =．由侧面PAD 为等边三角形，则3PO x =，且PO AD ⊥．平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ．故PO ⊥底面ABCD ．又OE ⊂底面ABCD ，故PO OE ⊥，则2272x PE PO OE =+=，又由题意可知PC PD =，故PE CD ⊥．PCD △面积为271272PE CD ⋅=，即：1722722x x =，解得2x =，则3PO = 则()()111124223433232P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=． 20．解：（1）由题意抛物线22y px =过点()1,1A ，所以12p =．所以抛物线的方程为2y x =．（2）设过点()3,1P -的直线l 的方程为()31x m y -=+，即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y m +=，123y y m =-，所以()()1212122212121211111111111y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ ()()12121111312y y y y m m ===-++++--+．所以12k k ⋅为定值．21．解：（1）()23f x ax b '=-．由题意知()()2120428243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．所以所求的解析式为()31443f x x x =-+．（2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=+-．令()0f x '=得2x =或2x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2 ()2,+∞()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↑极大值↓极小值↑所以当2x =-时，函数()f x 有极大值()23f -=；当2x =时，函数()f x 有极小值()423f =-．（3）由（2）知，可得当2x <-或2x >时，函数()f x 为增函数；当22x -<<时，函数()f x 为减函数．所以函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当42833k -<<时，()f x 与y k =有三个交点，所以实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪⎝⎭． 22．解：（1）由题意，得3a c -=，则()2213a cb -=．结合222b ac =-，得()()22213a c a c -=-，即22230c ac a -+=．亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =．所以椭圆C 的离心率为12．（2）由（1）得2a c =，则223b c =．将33,2M ⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =．所以椭圆方程为22143x y +=．易得直线OM 的方程为12y x =．当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上，故直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立，消y 得()2223484120k x kmx m +++-=，所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．由()121226234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243,3434km m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =．所以()248120m ∆=->，得1212m -<<，且0m ≠．则()222212121313412394122236m AB x x x x m m -=+-=-=-又原点O 到直线l 的距离213m d =所以()2222221393312121232666213AOBm m m S m m m -+=-=-⋅=△．当且仅当2212m m -=，即6m =时等号成立，符合1212m -<<0m ≠．所以AOB △3。

高二上学期期末考试数学试卷含答案

高二上学期期末考试数学试卷含答案一、单选题1．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+2．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线1A D 与直线1B M 所成角大小为（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（） A 7B 13C 7D 134．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π65．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e 为（）A ．45B ．54C ．35D ．536．已知直线斜率为k ，且13k -≤≤α的取值范围是（）A ．30,,324πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．30,,34πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．30,,624πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．30,,64πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭7．若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan ∠ANB 的最大值为（）A ．12B ．34C ．45D ．438．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A ．321+B ．42+2C ．43+1D ．432+二、多选题9．对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有 A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．121212222222111222cos ,x x y y z z x y z a z b x y ++=++⋅+>+<D ．若1111===x y z ，则a 为单位向量10．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB A b c a D AA ===，则下列正确的是（）A ．1122BM a b c =-+B ．1AC a b c =++ C ．1AC 5D ．16cos ,3AB AC =11．已知直线:cos sin 1l x y αα+=与圆22:6O x y +=交于A ，B 两点，则（） A ．线段AB 的长度为定值B ．圆O 上总有4个点到l 的距离为2C ．线段AB 的中点轨迹方程为221x y +=D ．直线l 的倾斜角为2πα+12．已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点()22,C a ，()22,2D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的可能取值为（） A ．-3 B ．-2C ．0D ．1三、填空题13．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A B 和平面11A DC 所成角的正弦值是____；14．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________． 15．过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．16．设过原点的直线与双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>交于,P Q 两个不同点，F 为C 的一个焦点，若4tan 3PFQ ∠=，5QF PF =，则双曲线C 的离心率为__________.四、解答题17．已知圆22:(4)(2)4C x y -+-=，圆22:450M x x y -+-=. (1)试判断圆C 与圆M 的位置关系，并说明理由； (2)若过点()6,2-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.18．已知直线()21:(2)340l m x m m y ++-+=和直线2:22(3)20()l mx m y m m +-++=∈R .(1)当m 为何值时，直线1l 和2l 平行？ (2)当m 为何值时，直线1l 和2l 重合？19．已知圆1C ：222280x y x y +++-=与2C ：22210240x y x y +-+-=相交于A 、B 两点． (1)求公共弦AB 所在的直线方程；(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A 、B 两点的圆的方程；(3)求经过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>过点A ，焦距为(0,)B b ． (1)求双曲线C 的方程；(2)是否存在过点3,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使△BMN 构成以MBN ∠为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．(1)在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =-与圆C 相切于点(2,1)-，圆心C 在直线2y x =-上. 求圆C 的方程； (2)已知圆1O 22:(0)x y m m +=>与圆2O ：226890+-++=x y x y 相交，求实数m 的取值范围.22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ为定值。

2020～2021学年度第二学期期末考试高二数学答案

2021～2022学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案BDADBBCCA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10．111．1812．2214x y -=13．848(,,999-14．(],1-∞；0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎣⎦⎝⎭15．2214x y +=三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：依题意，设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则代入圆的一般方程，193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩………………………3分∴D ＝2-………………………4分E ＝4，………………………5分F ＝20-，………………………6分∴x 2+y 22x -4y +20-＝0，………………………8分令x ＝0，可得24200y y +-=，………………………9分∴y ＝2-±……………………10分∴PQ ＝．……………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的公比为q ，则41(1)151a q q -=-………………………2分4211134a q a q a =+………………………3分因为各项均为正数，所以2q =………………………4分解得11a =………………………5分故}{n a 的通项公式为12n n a -=………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知12n n a -=，………………………7分*22()n n n b n a n n =⋅=⋅∈N ………………………8分所以1212222nn S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④………………………9分③-④得1212222n n n S n +-=+++-⨯ ……………………10分11222n n n ++=--⨯1(1)22n n +=-⨯-……………………11分所以1(1)22n n S n +=-⨯+……………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1CD ，因为O ，P 分别是AC ，1AD 的中点，………………………2分所以1∥OP CD ．………………………3分又因为OP ⊄平面11CC D D ，………………………4分1CD ⊂平面11CC D D ，………………………5分所以OP ∥平面11CC D D ．………………………6分（Ⅱ）依题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得)0,0,2(A ,)2,0,0(1D ,)1,0,1(P ,)0,2,2(B ,)0,2,0(C ，)2,2,0(1C .………7分依题意)2,0,2(1-=BC ………………………8分设),,(z y x n =为平面BPC 的法向量………………………9分则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PC n PB n 得)2,1,0(=n ……………………10分因此510==BC n ……………………11分所以，直线1BC 与平面BPC 所成角的正弦值为510.………………12分解：（Ⅰ）由题意知：c ……………………1分根据椭圆的定义得：122a =+，即2a =．……………………2分2431b =-=．……………………3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………4分（Ⅱ）由题:①当直线l 的斜率不存在时，l的方程是x =．……………………5分此时||1AB =，||OP =，所以24=||=1||OP AB λ--．…………6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程为=(y k x ，…………7分11(,)A x y ，22(,)B x y ．由⎪⎩⎪⎨⎧-==+3(1422x k y y x可得2222(41)1240k x x k +-+-=．显然0∆>，则212241x x k +=+，212212441k x x k -=+，...............8分因为11=(y k x，22=(y k x ，所以||AB ==221441k k +=+．....................9分所以22223||1k OP k ==+，……………………10分此时2222341==111k k k k λ+--++．……………………11分综上所述，λ为定值1-．……………………12分解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为(0)q q >，由题意得324113541114242a q a q a q a q a q⎧=⎨=+⎩，………1分解得11212q a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………2分所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，………………………3分当2n ≥时，11122n n n n n nb n b S S b --+=-=-,………………………4分即11n n b b n n -=-，………………………5分∴{}nb n是首项为1的常数列，………………………6分所以1nb n=∴n b n =………………………7分（Ⅱ）设()()()212121(3)241112222n n n n n n b a n c b b n n +++++==-++，n *∈N ，……………8分()111212n n n n +=-⋅+………………………9分所以2231111111122222322(1)2n n n A n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯+⨯ …………10分1112(1)2n n A n +=-+⨯……………………11分因为*n N ∈，所以12n A <.……………………12分。

辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题-解析版

辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知X 的分布列为：设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（） A ．16-B ．23C ．1D ．2936【答案】B 【分析】根据分布列的性质，求得13a =，得到()16E X =-，再由21Y X =+，即可求得随机变量Y 的期望. 【详解】由题意，根据分布列的性质，可得11126a ++=，解得13a =，所以随机变量X 的期望为()11111012636E X =-⨯+⨯+⨯=-，又由21Y X =+，所以随机变量Y 的期望为()()12212()163E Y E X =+=⨯-+= 故选：B. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及期望的计算及性质的应用，其中解答中熟记分布列的性质和期望的公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2．某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（） A ．3p B ．()31p p -C ．3341C p pD ．334C p【答案】C 【分析】本题可通过n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率的求法得出结果. 【详解】因为次品率为p ，从中任意取出4件，所以恰好含有3件次品的概率为3341C p p ，故选：C.3．若n 是正奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋅⋅⋅+被9除的余数为（）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】C 【分析】由题意可得，此题求得是(91)1n--被9除的余数，利用二项式定理展开，可得结论【详解】解：因为n 是正奇数，则1122177771n n n n nn n n n C C C C ---+++⋅⋅⋅++-(71)1(91)1n n =+-=--1122199991n n n n nn n n n C C C C ---=-++⋅⋅⋅+--，所以它被9除的余数为12nn C --=-，即它被9除的余数为7，故选：C4．设随机变量()25,X N σ~，若()100.4P X a >-=，则()P X a >=A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】A 【详解】因为随机变量()25,X N σ~，所以(5)(5)P X P X >=<,因为(10)0.4P X a >-=，所以()0.6P X a >=,故选A.5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为( )A ．BCD ．【答案】C 【分析】首先求出向量OA OB λ+的坐标，及向量OA OB λ+的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可．【详解】因为()1,?00A ，，()0,1,1B -，所以()1,?00(0OA OB ，λλ+=+，1-，1)(1=，λ-，)λ， 1OA OB λ+=+2OB =()2OA OB OB λλ+⋅=，所以cos 112022==-，所以0λ<，且4λ= 解得λ=，故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（） A ．23B ．35C ．12D ．25【答案】D 【分析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B，其概率为14361 ()5CP ABC==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2 (|)1()5215P ABP B AP A===.故选：D.【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84B．54C．42D．18【答案】C【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A AA=种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C AA=种.综上所述，共有182442+=种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．8．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222+x y a b =+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF的周长p 与面积S 满足p = ）A B C ．2D ．3【答案】C 【分析】由双曲线的定义知122AF AF a -=，结合四边形的周长知122pAF AF +=，得到1AF ，2AF 的长度，从而得到矩形21AF BF 的面积，再利用p =助勾股定理2221212AF AF F F +=得到,a c 关系，即可求得离心率.【详解】由双曲线的定义可知122AF AF a -=，又OA OB =，12OF OF =，可知四边形21AF BF 是平行四边形，所以122pAF AF +=联立解得14p AF a =+，24pAF a =-，又线段12F F 为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形21AF BF 为矩形，所以四边形21AF BF 的面积221216p S AF AF a =⋅=-，又p =232p S =，即2223216p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2232p a =，由2221212AF AF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即2e =. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．二、多选题9．在()821x -的展开式中，下列说法正确的有（） A ．展开式中所有项的系数和为82 B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448- 【答案】BCD 【分析】由二项展开式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A ，令1x =，可知展开式中所有项的系数和为1，错误；对于B ，展开式中奇数项的二项式系数和为821282=，B 正确；对于C ，易知展开式中二项式系数的最大项为第五项，C 正确；对于D ，展开式中含3x 的项为()()35538C 21448x x -=-，D 正确.故选：BCD . 【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于基础题. 10．下列命题中，正确的命题是( )A ．已知随机变量服从(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则23p = B ．已知()()0.34,0.71P BA P B ==，则()0.37P BA =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为()~10,0.8X X B ，，则当8X =时概率最大【答案】BCD 【分析】选项A ：利用二项分布期望、方差公式计算判断；选项B ：由互斥事件概率的加法公式计算判断；选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出x k =，10k ≤，k ∈N 时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断. 【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，选项A 错误；对于选项B ：A A +为必然事件，所以()B B A A BA B A =+=+，而BA 与B A 互斥，()()()()()()0.710.340.37P B P BA P BA P BA P B P BA ∴=+⇒=-=-=，选项B正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，()()110012P P p ξξ-<<=<<=-，选项C 正确；对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ，当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP X k C -==⋅0.8⋅，所以当1k时，()()()10101110(1)104110.80.210.80.2kk kk k k P X k k C P X k C k-----=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P X k k P X k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤，因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，又()()01P X P X =<=，即8k时，概率()8P X =最大，故选项D 正确．故选：BCD 【点睛】二项分布的概率公式()(1)(,)k k n kn P X k C p p k N k n -==⋅-∈≤，可用作商法确定其中的最大值或最小值．11．已知曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y = C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D ．存在实数k 使得曲线C 【答案】AB 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，对于A 总，当4k =时，曲线C 的方程为222x y +=，此时曲线C 表示圆心在原点，的圆，所以是正确的；对于B 中，当0k =时，曲线C 的方程为22162y x -=，可得a b ==曲线C 渐近线方程为y =，所以是正确的；对于C 中，当曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--表示焦点在x 轴上的双曲线时，则满足2060k k ->⎧⎨-<⎩，解得6k >，所以 “4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；对于D 中，当曲线C 的方程为22126x y k k+=--时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时26k k -=-，解得4k =，此时方程表示圆，所以不正确. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.12．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是A ．()1112DA A A B A BC =-+B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于2ACC ．异面直线AD 与1BCD ．若点E 到平面11ACC A EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误；对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以122a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，122a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即22202a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b a =．因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于1BB =．选项B 正确．对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，122a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,，因为2111cos ,6||||aBC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成C 正确．对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1EF 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A EB ，即有12E F EB =，又因为在1CE F ∆中，112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.三、填空题13．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有________．【答案】150【分析】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2，利用平均分堆方法计算分组个数，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内，利用排列知识及分步计算原理得解．【详解】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2.这种分组方法一共有231455252C N C C =+⨯=，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内共有336A =种不同的分法.所以某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组的安排方法共有33256150M N A =⨯=⨯=种．【点睛】本题主要考查了平均分堆方法，还考查了分类思想及排列计算，属于中档题． 14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“01-三角”在“01-三角”中，从第1行起，设第()n n N +∈次出现全行为1时，1的个数为n a ，则3a 等于_______．【答案】8 【分析】分析第6、7行各数，将所有的奇数全部转化为1，确定第三次出现全为1的情形所出现的行数，进而可求得3a 的值. 【详解】第1行和第3行全是1，已经出现2次，依题意，第6行原来的数是()606,rC r r N ≤≤∈，166C =为偶数，不合题意；第7行原来的数是()707rC r ≤≤，即1、7、21、35、35、21、7、1，一共有8个，全部转化为1，这是第三次出现全为1的情形，所以，38a =. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：求解有关杨辉三角型数阵的推理，一般要观察行之间数据的特点，进而利用归纳推理求解.15．将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配的方法总数为a ，则二项式53x a⎛ ⎝的展开式中含x 项的系数为__________．(用数字作答)【答案】52- 【分析】根据排列、组合的定义，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：2123126a C C A =⋅⋅=，所以553=2x x a⎛⎛ ⎝⎝，二项式52x ⎛ ⎝的通项公式为：455531551()(()(1)22r r r r r r rr x T C C x ---+=⋅⋅=⋅⋅-⋅，令45133r r -=⇒=，所以x 项的系数为3533515()(1)22C -⋅⋅-=-，故答案为：52-16．已知M ，N 为抛物线28y x =上两点，O 为坐标原点，且90MON ∠=︒，则MN的最小值为______. 【答案】16 【分析】先设出直线MN 的方程，联立抛物线方程，利用判别式大于0来确定,M N 的存在性，设()11,M x y ，()22,N x y ，将90MON ∠=︒转化为向量相乘为0，利用根与系数的关系建立关系式，即可求出.【详解】设直线:MN x ty m =+，代入28y x =，得2880y ty m --=，264320t m ∴∆=+>，即220t m +>，设()11,M x y ，()22,N x y ，128y y m ∴=-，90MON ∠=︒，12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，221212064y y y y ∴+=，280m m ∴-=，故8m =，12MN y y ∴=-==16≥，当且仅当20t =时等号成立，∴MN 的最小值为16.故答案为：16. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，这类综合应用题的特点是：计算过程特别复杂、繁琐，所以对计算能力要求较高.四、解答题17．（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占25%，二厂生产的占35%，三厂生产的占40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%,4%,2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？【答案】（1）0.75；（2）0.0345．【分析】（1）利用条件概率的计算公式算出即可；（2）设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，任何利用()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++算出即可. 【详解】()1设A 表示“某天的空气质量为优良”，设B 表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得()()()()()0.8,0.6,0.75P BA P A P BA P B A P A ====所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是0.75()2设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，123,,A A A 两两互斥，且123A A A =Ω，由全概率公式得()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++因为()()()1230.25,0.35,0.4P A P A P A ===()()()1230.05,0.04,0.02P B A P B A P B A ===故()()()()()()()112233|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.050.350.040.40.02=⨯+⨯+⨯0.0345=所以从这批产品中任取一件是次品的概率是0.034518．（1）直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点()2,1P 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点()3,2P -，求圆的方程．【答案】（1）0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）()()22148x y -++=．【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合斜率存在情况，进行分类讨论，求得直线方程. （2）两种方法，方法一：设圆的标准方程，分别满足题干中条件，求得参数即可；方法二：由过圆心及切点的直线与切线垂直，从而求得圆心坐标，两点间距离求得半径，从而求得圆的方程. 【详解】（1）①当所求直线经过坐标原点且斜率不存在时，方程为0x =，符合题意 ②当所求直线经过坐标原点且斜率存在时，设其方程为y kx =，由点到直线的距离公式可得2=解得34k =-故所求直线的方程为34y x =-当直线不经过坐标原点且斜率存在时，依题意设所求直线为y x b =-+ 即0x y b +-=2=解得3b =±故所求直线的方程为3y x =-+±综上可知，所求直线的方程0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）法一：设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=则有()()222432b a a b r r ⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨=解得1,4,a b r ==-=所求圆的方程为()()22148x y -++=法二：过切点()3,2P -且与10x y +-=垂直的直线23y x +=-由423y x y x =-⎧⎨+=-⎩，得14x y =⎧⎨=-⎩所以圆心为()1,4-所以半径r ==所以所求圆的方程为()()22148x y -++= 【点睛】关键点点睛：（1）对斜率的存在情况分类讨论求解；（2）利用圆与切线的关系求得圆中参数.19．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X ，Y ，由于~(6,3,4)X H ，2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，分别写出分布列，再求期望值均为2；（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：~(6,3,4)X H ，∴1223461(1)5C C P X C ⋅===，4212363(2)5C C P X C ⋅===，3042361(3)5C C P X C ⋅===， ∴X 的分布列为：∴1232555EX =⨯+⨯+⨯=．2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴0303211(0)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132162(1)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 212321124(2)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333218(3)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴Y 的分布列为：∴01232279927EY =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）2221312(12)(22)(32)5555DX =⨯-+-⨯+-⨯=，2121333(3)DY np p =-=⨯⨯=，∵DX DY <，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.20．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2）1130【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的中点.二面角P AC E--.（1）求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值；（2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）3；（2）3. 【分析】（1）建立空间坐标系，根据二面角大小计算PC ，得出平面EAC 的法向量m ，计算PA 与m 的夹角得出线面角的正弦值；（2）计算CD 与平面ACE 的夹角正弦值，再计算D 到平面ACE 的距离. 【详解】（1）取AB 的中点F ，连接CF ，//CD AB ，12CD AB AF ==，AB AD ⊥，AD CD =， ∴四边形ADCF 是正方形，CF AB ∴⊥，CF CD ∴⊥，以C 为原点，以CD ，CF ，CP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系C xyz -，设PC h =，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，11,,222h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,0,P h ，∴()1,1,0CA =，11,,222h CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()1,1,AP h =--，设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m CA m CE ⎧=⎨=⎩，即0110222x y hx y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令1x =可得21,1,m h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PAC 的一个法向量为(),,n a b c =，则·0·0n CA n AP ⎧=⎨=⎩，即00a b a b hc +=⎧⎨--+=⎩，则0b ac =-⎧⎨=⎩，令1a =，则()1,1,0n =-，·cos ,2m n m n m n∴<>==⨯，二面角P AC E --的余弦值为3，∴3=，解得2h =，∴()1,1,2AP =--，()1,1,1m =-，·cos 36,AP m AP m AP m∴<>=== ∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3；（2）由（1）可得()1,0,0CD =，则·1cos 1,CD m CD m CD m<>===⨯ 设直线CD 与平面EAC 所成角为α，则sin α=， D ∴到平面EAC 的距离为·sin CD α=.【点睛】本题主要考查求线面角的正弦值，考查求点到面的距离，利用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是e ，定义直线eby =±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±，长轴长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点（点E ，F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）5656⎡-⎢⎣⎦. 【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得216a =，212b =，24c =，则椭圆方程可求；（2）分直线l x ⊥轴与直线l 不垂直于x 轴两种情况讨论，当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立直线方程与椭圆方程，消元由0∆>，得到2216120k t -+>，再列出韦达定理，由AE AF ⊥则0AE AF ⋅=，解得47k t =-，再由2OP OE OF =+，求出P 的坐标，则178AP k k k=+，再利用基本不等式求出取值范围；【详解】解：（1）由题意得：e b ab c==28a =，又222a b c =+，联立以上可得：216a =，212b =，24c =，∴椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）得()4,0A ，当直线l x ⊥轴时，又AE AF ⊥，联立224,1,1612y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2732160x x -+=，解得47x =或4x =，所以47E F x x ==，此时4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0. 当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立223448y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()2223484480k x ktx t +++-=，依题意()()2222644344480k t k t ∆=-+->，即2216120k t -+>（*）且122834kt x x k +=-+，212244834t x x k-⋅=+. 又AE AF ⊥，()()()()()()121212124444AE AF x x y y x x kx t kx t ∴⋅=-⋅-+⋅=-⋅-+++()()222212122732161(4)16034t kt k k x x kt x x t k ++=+⋅+-+++==+， 22732160t kt k ∴++=，即()()7440t k t k ++=，47k t ∴=-且t 满足（*）， ()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫∴=+=++=- ⎪++⎝⎭，2243,3434kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，故直线AP 的斜率2222331344716412874834AP t t k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++，当0k <时，7788k k k k ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭当且仅当78k k -=-，即4k =-时取等号，此时056AP k -≤<；当0k >时，78k k +≥=78k k =，即4k =时取等号，此时0AP k <≤；综上，直线AP 的斜率的取值范围为5656⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.。

荆州市六县市区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)

荆州市六县市区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.设命题:p x ∀∈R ，20x>，则p ⌝为 A.x ∀∈R ，20x≤ B.x ∀∈R ，20x< C.0x ∃∈R ，20x≤D.0x ∃∈R ，020x>2.双曲线22116y x -=的渐近线方程是 A.40x y ±= B.160x y ±= C.40x y ±=D.160x y ±=3.在等比数列{}n a 中，11a =，53a =，则3a =A.C. D.34.抛物线2y ax =的准线方程为1y =，则a 的值为 A.13-B.3-C.4-D.14-5.“1a =”是“直线10ax y +-=与直线0x ay a ++=互相平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在等差数列{}n a 中，0n a ≠，2132a a a +=，44a =，若{}n a 的前n 项和为n S ，则106106S S -= A.1 B.2 C.12D.47.直线()()():2350l m x m y m ++-+=∈R 与圆()()22:1216P x y -++=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为A.6B.4C.D.8.双曲线221916x y -=的两个焦点分别是1F ，2F ，双曲线上一点P 到1F 的距离是7，则P 到2F 的距离是 A.13B.1C.1或13D.2或14二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.已知直线1:330l x y +-=，直线2:610l x my ++=，则下列表述正确的有 A.直线2l 的斜率为6m-B 若直线1l 垂直于直线2l ，则实数18m =- C.直线1l 倾斜角的正切值为3D.若直线1l 平行于直线2l ，则实数2m =10.若数列{}n a 对任意2()n n ≥∈N 满足()()11120n n n n a a a a -----=，则下列关于数列{}n a 的命题正确的是 A.{}n a 可以是等差数列 B.{}n a 可以是等比数列C.{}n a 可以既是等差又是等比数列D.{}n a 可以既不是等差又不是等比数列11.已知点()1,0A -，()1,0B 均在圆()()()222:330C x y r r -+-=>外，则下列表述正确的有A.实数r 的取值范围是(B.2AB =C.直线$AB 与圆C 不可能相切D.若圆C 上存在唯一点P 满足AP BP ⊥，则r 的值是1-12.已知点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，抛物线2:2C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，直线AP 交y 轴于点M ，且2AP AM =，则下列表述正确的是A.点P 的纵坐标为1B.APF △为锐角三角形C.点A 与点F 关于坐标原点对称D.点P 的横坐标为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

哈尔滨市第九中学2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题文

黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题文(考试时间：120分钟满分:150分共2页第I 卷（选择题共60分)一､选择题（本大题共12小题，每小题5分,每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1。

过点M （—4,3）和N(-2,1）的直线方程是A 。

x —y+3=0 B.x+y+1=0 C.x —y-1=0 D 。

x+y-3=0 2.双曲线221169y x -=的虚半轴长是A 。

3 B.4 C 。

6 D.8 3。

直线x+y=0被圆22|6240x y x y +-++=截得的弦长等于A.4B.2.C .D 4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

"诗中隐含着一个有趣的数学问题-—“将军饮马"问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221,xy +≤若将军从点A(4，-3)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马"的最短总路程为 A.8 B.7 C 。

6 D.5 5.已知点（x,y ）满足:221,,0xy x y +=≥,则x+y 的取值范围是.[A B.[-1，1].C.D6.已知抛物线2:4C yx=的焦点为F,过点F 的直线与抛物线交于A ，B两点,满足｜AB ｜=6，则线段AB 的中点的横坐标为A 。

2B 。

4 C.5 D.67.直线kx-y+2k+1=0与x+2y —4=0的交点在第四象限，则k 的取值范围为A.（—6，—2)1.(,0)6B -11.(,)26C --11.(,)62D --8。

设12,F F 分别为双曲线22134x y -=的左,右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120,F PF︒∠=则点P 到x 轴的距离为.A.B .C.D 9.已知点A （—2，3)在抛物线C 2:2ypx=的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为1.2A2.3B3.4C4.3D 10。

江苏省扬州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)

2020-2021学年度第一学期期末检测试题高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求).1. 命题“0x ∀≤，210x x ++≥”的否定是（） A. 0x ∃≤，210x x ++> B. 0x ∃≤，210x x ++< C. 0x ∀≤，210x x ++< D. 0x ∀>，210x x ++>【答案】B 【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题：∀→∃，并否定原结论即可.【详解】命题“0x ∀≤，210x x ++≥”的否定为“0x ∃≤，210x x ++<”，故选：B2. 双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（）A.B. 1C.D. 2【答案】A 【解析】【分析】首先求顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，直接求解，【详解】根据双曲线的对称性可设顶点()2,0A ，其中一条渐近线方程是1202y x x y =⇔-=，那么顶点到渐近线的距离d ==故选：A3. 若平面α，β的法向量分别为()1,2,4a =-，(),1,2b x =--，并且//αβ，则x 的值为（）A. 10B. 10-C.12D. 12-【答案】C 【解析】【分析】根据两个法向量共线可得x 的值. 【详解】因为//αβ，,a b 共线，故12124x --==-，故12x =，故选：C.4. 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（） A.113尺 B.10529尺 C.6529尺 D.73尺【答案】B 【解析】【分析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【详解】设女子每天的织布数构成的数列为{}n a ，由题设可知{}n a 为等差数列，且1305,1a a ==，故公差15430129d -==--，故()1114401051115292929a a ⎛⎫=+-⨯-=-= ⎪⎝⎭，故选：B. 5. 不等式121x ≥-的解集为（） A. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ()3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. (]3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】根据分式不等式的解法转化为231xx-≤-，解不等式.【详解】1122011x x≥⇔-≥--，即231xx-≤-，即()()231010x xx⎧--≤⎨-≠⎩，解得：312x<≤，所以不等式的解集为31,2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A6. 已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，则点A到平面11A B CD的距离为（）A.23B. 2C. 2D. 22【答案】B 【解析】【分析】由垂直关系可知1AD⊥平面11A B CD，根据边长关系直接求点到平面的距离. 【详解】连结1AD，与1A D交于点M，11A D AD⊥，且11A B⊥平面11ADD A111A B AD∴⊥，且1111A D A B A=，1AD∴⊥平面11A B CD，∴点A到平面11A B CD的距离为1122AM AD==. 故选：B7. 在数列{}n p中，如果对任意()*2n n N≥∈，都有11nnn np pkp p+--=(k为常数)，则称数列{}n p为比等差数列，k称为比公差.则下列说法正确的是（）A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差1k =B. 等差数列一定不是比等差数列C. 若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b ⋅一定是比等差数列D. 若数列{}n a 满足121a a ==，()112n n n a a a n +-=+≥，则该数列不是比等差数列【答案】D 【解析】【分析】根据数列新定义，由比等差数列的性质()*2n n N ≥∈有11nn n n p p k p p +--=，判断各项描述是否正确即可. 【详解】A ：若{}n a 为等比数列,公比0q ≠，1n n a q a +=，1n n a q a -=，所以1101n n n n a ak a a +--==≠，A 错误.B ：若1,{}n n b b =为等差数列,故有110n nn n b b b b +--=，为比等差数列，B 错误. C ：令0,1n n a b ==，则0n n a b =，此时1111n n n n n n n n a b a ba b a b ++---无意义，C 错误. D ：由题设知：342,3a a ==，故33242132112a a a a a a a a -=≠-=-，不是比等差数列，正确. 故选：D8. 已知a ，b 均为正数，且20a b ab +-=，则22124b a a b -+-的最大值为（）A. 9-B. 8-C. 7-D. 6-【答案】C 【解析】【分析】先利用条件化简222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，巧用“1”的代换证明42b a +≥，再证明222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，即得到2214b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的取值范围，根据等号条件成立得到最值.【详解】依题意，0,0a b >>，20a b ab +-=可知121a b +=，则222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，122224222b b b a a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b=时，即2ba =时等号成立. 22242b ba a ab ≥⋅⋅=+，当且仅当2b a =时，等号成立，则左右同时加上224b a +得，则222222442b b b a a ab a ⎛⎫≥+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ⎪，即222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，当且仅当2b a =时等号成立，故2222428422b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥≥=+，当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立，故2222121744b b a a a b ⎛⎫-+-=-≤- ⎪⎝⎭+当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立. 即22124b a a b -+-的最大值为7-. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明42b a +≥和222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分，部分选对的得3分)9. （多选题）已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（） A.11a b< B. 22ac bc >C.b a a b> D. 22a ab b >>【答案】AD 【解析】【分析】根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项. 【详解】A.1y x =在()0,∞+上单调递减，所以当0a b >>时，11a b<，故A 正确； B.当0c时，22ac bc >不成立，故B 不正确；C.当0a b >>时，22a b >，两边同时除以ab 得，a bb a>，故C 不正确； D. 当0a b >>时，两边同时乘以a 得，2a ab >，或两边同时乘以b 得，2ab b >，所以22a ab b >>，故D 正确. 故选：AD10. 下列命题正确的是（）A. 已知u ，v 是两个不共线的向量.若a u v =+，32b u v =-，23c u v =+则a ，b ，c 共面B. 若向量//a b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C. 若()1,0,0A ，()0,1,0B ，则与向量AB共线的单位向最为2,e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭D. 在三棱锥O ABC -中，若侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，则底面ABC 是锐角三角形【答案】ABCD 【解析】【分析】根据空间向量的共面定理可判断A ；由构成空间向量的基底不能共面可判断B ；根据单位向量的计算公式AB AB可判断C ；利用空间向量的数量积可判断D.【详解】对于A ，u ，v 是两个不共线的向量，不妨假设a ，b ，c 共面则c ma nb =+，即()()3223c m n u m n v u v =++-=+，可得131,55m n ==-，存在一对实数,m n ，使得c ma nb =+，即假设成立，故A 正确；对于B ，向量//a b ，则a ，b 与任何向量都共面，所以a ，b 与任何向量都不能构成空间一个基底，故B 正确；对于C ，()1,1,0AB =-，所以ABAB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ， OA ，OB ，OC 两两垂直，()()20AB AC OB OA OC OA OA ∴⋅=-⋅-=>，所以AB 与AC 的夹角为锐角，即BAC ∠为锐角，同理ABC ∠，BCA ∠为锐角，ABC ∴是锐角三角形，故D 正确. 故选：ABCD11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n ka k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（） A. 614a =B. 数列{}()*213k a k N-+∈是以2为公比的等比数列C. 对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D. 1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=，所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠，所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +等比数列，所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错. 又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=，所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确.()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.12. 在平面直角坐标系xOy 中，(),P x y 为曲线22:4224C x y x y +=++上一点，则（）A. 曲线C 关于原点对称B. 1x ⎡∈-+⎣C. 曲线C 围成的区域面积小于18D. P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】当0x >，0y >时，曲线C 为()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，根据点(),x y -，(),x y -，(),x y --都在曲线C 上，可得曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出其图象，即可判断四个选项的正确性，即可得正确答案. 【详解】当0x >，0y >时，曲线22:4224C x yx y +=++即()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，将2214x y +=中心平移到11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限的部分；因为点(),x y -，(),x y -，(),x y --都在曲线C 上，所以曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出图象如图所示：对于选项A ：由图知曲线C 关于原点对称，故选项A 正确；对于选项B ：令2214x y +=中0y =可得2x =，向右平移一个单位可得横坐标为3，根据对称性可知33x -≤≤，故选项B 不正确；对于选项C ：令2214x y +=中0x =可得1y =，向上平移12个可得纵坐标最大值为32，曲线C 第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=，所以曲线C 围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C 正确；对于选项D ：令()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭中0x =，可得132y =±，所以到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3故选项D 正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是去绝对值得出曲线C 在第一象限的图象，根据对称性可得曲线C 的图象，数形结合、由图象研究曲线C 的性质.三､填空题(本大题共4小题.每小题5分，共20分)13. 若存在实数x ，使得不等式20x ax a -+<成立，则实数a 的取值范围为______________. 【答案】()(),04,-∞+∞【解析】【分析】结合一元二次不等式对应的二次函数图象性质直接判断0∆=>，计算即得结果.【详解】二次函数2()f x x ax a =-+是开口向上的抛物线，故要使2()0f x x ax a =-+<有解，则需240a a ∆=->，即()40a a ->，解得0a <或4a >.故实数a 的取值范围为()(),04,-∞+∞.故答案为：()(),04,-∞+∞.14. 已知数列{}n a 是等比数列，24a =，816a =，则5a =___________. 【答案】8± 【解析】【分析】利用等比数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅，即可求解. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，24a =，816a =，则252841664a a a =⋅=⨯=，所以58a =±. 故答案为：8±15. 设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ､右准线为l ，若l 上存在点P ，使得线段PF 的中点恰好在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率的最小值为_____________.1 【解析】【分析】利用根据椭圆的准线方程，设点2(,2)a P y c，得中点坐标，代入椭圆方程，整理得2y ，又20y ≥，解不等式即可得离心率的最小值.【详解】由()2222:10x y C a b a b+=>>，得(,0)F c -，2a l x c =：，设点2(,2)a P y c ，故中点为22(,)2a c y c-，又中点在椭圆上，故代入椭圆方程得2222222()14a c y a c b-+=，整理得2222222()[1]04a c y b a c -=⋅-≥，故22222()104a c a c --≥，又(0,1)ce a=∈，整理得2(3)8e -≤，233e -≤≤+，即2231)e ≥-=，1e ≥，故答案为：21-.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．16. 已知函数()()()()244422f x a x a x a a R =-++++∈，则该函数()f x 的图象恒过定点________；若满足()0f x <的所有整数解的和为6-，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (1). 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭(2). 108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】将函数()f x 的解析式变形为()()()21221f x a x a x =-++⋅+⎡⎤⎣⎦，即可求得函数()f x 的图象所过定点的坐标；【详解】()()()()()4442221221f x a x a x a a x a x =-++++=-++⋅+⎡⎤⎣⎦，当10a -=时，令()0f x =，得12x =-；当10a -≠时，令()0f x =，得()221a x a +=-或12x =-.综上所述，函数()f x 的图象必过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 分以下三种情况讨论：①当10a -=时，即当1a =时，由()()3210f x x =+<，可得12x <-，不合乎题意； ②当10a ->时，即1a >时，()()213021221a a a +⎛⎫--=< ⎪--⎝⎭，则()21212a a +<--，解不等式()0f x <，可得()21212a x a +<<--，由于不等式()0f x <所有的整数解的和为6-，则不等式()0f x <的所有整数解有3-、2-、1-，所以，()24321a a +-≤<--，解得10875a ≤<；③当10a -<时，即1a <时，()()213021221a a a +⎛⎫--=> ⎪--⎝⎭，可得()21212a a +>--. 解不等式()0f x <，可得12x <-或()221a x a +>-，不等式()0f x <的解中有无数个整数，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：（1）二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．四､解答题(本大题共6小题.计70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤)17. 命题p ：实数m 满足不等式()223200m am a a -+<>；命题q ：实数m 满足方程22115x y m m +=--表示双曲线.（1）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若Р是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）15m <<；（2）512a ≤≤ 【解析】【分析】（1）由题意可得()()150m m --<，即可求解.（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|15m m <<的真子集，根据集合的包含关系求出实数a 的取值范围即可.【详解】（1）若实数m满足方程221 15x ym m+=--表示双曲线，则()()150m m--<，解得15m<<，（2）实数m满足不等式()223200m am a a-+<>，解得2<<a m a，若p是q的充分不必要条件，则{}|2a a m a<<是{}|15m m<<的真子集，所以125aaa≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩，解得512a≤≤，所以若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围是512a≤≤.【点睛】易错点睛：若p是q的充分不必要条件则{}|2a a m a<<是{}|26m m<<的真子集，一般情况下需要考虑{}|2a a m a<<=∅的情况，此情况容易被忽略，但题目中已经给出0a>，很明显{}|2a a m a<<≠∅.18. 如图，在三棱锥M中，M为BC的中点，3PA PB PC AB AC=====，26BC=.（1）求二面角P BC A--的大小；（2）求异面直线AM与PB所成角的余弦值.【答案】（1）23π；（2）36【解析】【分析】（1）连接PM，则可证得PMA∠就是二面角P BC A--的平面角，根据勾股定理和余弦定理求解；（2）取PC中点N，连接,MN AN，则AMN∠就是异面直线AM与PB所成的角，根据余弦定理求解即可.【详解】解：（1）连接PM ，因为M 为BC 的中点，3PB PC AB AC ====，所以,PM BC AM BC ⊥⊥，所以PMA ∠就是二面角P BC A --的平面角. 在直角PMC △中，3,6PC MC ==，则3PM =,同理可得3AM =，在PMA △中，由余弦定理得1cos 2233PMA ∠==-⨯⨯，所以23PMA π∠=，即二面角P BC A --的大小为23π（2）取PC 中点N ，连接,MN AN ，则//MN PB ，故AMN ∠或其补角就是异面直线AM 与PB 所成的角，因为等边PAC △中，PC 中点为N ，所以333AN == 又13,22MN PB ==3AM =所以在AMN 中9273344cos 3232AMN +-∠==，因为异面直线所成角的范围为(0,]2π，所以直线AM 与PB 3【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.19. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为正项等比数列，其满足112a b ==，453S a b =+，328a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若_______，求数列{}n c 的前n 项和n T . 在①11n n n n c b a a +=+，②n n n c a b =，③112n n n n n a c a a b +++=这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）1n a n =+，2nn b =；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由题设条件可得公差和公比的方程组，解方程组后可得两个数列的通项. （2）根据所选数列分别选分组求和、错位相减法、裂项相消法可求n T .【详解】（1）设等差数列的公差为d，公比为q，则2434224222228d d qd q⨯⎧⨯+⨯=++⎪⎨⎪++=⎩，解得21qd=⎧⎨=⎩或36qd=-⎧⎨=⎩（舍），故()2111na n n=+-⨯=+，1222n nnb-=⨯=.（2）若选①，()()111221212n nncn n n n=+=-+++++，故()121211111111222334121222nnnTn n n+-=-+-++-+=-+-++-+，若选②，则()12nnc n=+，故()2322324212nnT n=⨯+⨯+⨯+++，所以()234+1222324212nnT n=⨯+⨯+⨯+++，所以()23114222122n n nnT n n++-=++++-+=-⋅即12nnT n+=⋅.若选③，则()()()()113111221222n n n nncn n n n+++==-++++，故()()()12231111111111223232********* n n n nTn n n++ =-+-++-=-⨯⨯⨯⨯+++.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，12AA AB AC===，AB AC⊥，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上.（1）若P 是线段1A B 的中点，求直线MP 与平面11ABB A 所成角的大小；（2）若N 是1CC 的中点，平面PMN 与平面CMN 所成锐二面角的余弦值为537，求线段BP 的长度. 【答案】（1）4π；（2）423. 【解析】【分析】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，由已知条件知1//PH AA 且112PH AA =，即PM 与面11ABB A 所成角为MPH θ=∠，即可求其大小.（2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识,,M N C 的坐标，令(,0,2)P a a -，由向量坐标表示NP ，MN ，NC ，MC ，进而求得面PMN 与面CMN 的法向量，由二面角余弦值即可求参数a ，即可求BP 的长度.【详解】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，又AB AC ⊥ ，∴//MH AC ，M 是棱BC 的中点，所以H 是AB 的中点，而P 是线段1A B 的中点， ∴1//PH AA 且112PH AA =， PM 与面11ABB A 所成角为MPH ∠，设MPH θ=∠则12tan 12ACMH AA PH θ===，[0,]2πθ∈， ∴4πθ=，（2）构建以A 为原点，1,,AB AC AA 分别为x 、y 、z 轴正方向，则(1,1,0),(0,2,1),(0,2,0)M N C ，由等腰1Rt A AB ，可令(,0,2)P a a -，∴(,2,1)NP a a =--，(1,1,1)MN =-，(0,0,1)NC =-，(1,1,0)MC =-，若(,,)m x y z =为面PMN 的一个法向量，则2(1)0ax y a z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩，令1y =，有(3,1,2)m a a =--，若()111,,n x y z =为面CMN 的一个法向量，则110{0z x y -=-+=，令11x =，有(1,1,0)n =，∴由题意，知：253737||||221014m n m n a a ⋅==⋅-+，整理得22168360a a -+=，解得187a =或23a =，而P 在线段A 1B 上，有23a =则24(,0,)33P ，∴423BP =.【点睛】关键点点睛：（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP 与平面11ABB A 所成角的平面角，进而求角.（2）构建空间直角坐标系，设(,0,2)P a a -，求二面角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数a ，进而求线段长.21. 设抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与y 轴交于M ，抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F 的距离为5. （1）求抛物线的方程；（2）自M 引直线交抛物线于,P Q 两个不同的点，设MP MQ λ=.若47PQ ⎛∈ ⎝⎦，求实数λ的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据抛物线定义：抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，得452p+=化简即可；（2）设:1PQ y kx =-，联立直线与抛物线方程设1122(,),(,)P x y Q x y ，用弦长公式表示PQ ，由MP MQ λ=及韦达定理将k 用λ表示出来，此时PQ 用λ表示，结合470,3PQ ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦解不等式.【详解】解：（1）根据题意作图如下：因为抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F 的距离为5，又抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，所以4522pp +=⇒=，故抛物线的方程为24x y =.（2）由题意直线PQ 斜率存在，设:1PQ y kx =-，由2214404y kx x kx x y=-⎧⇒-+=⎨=⎩，22161601k k ∆=->⇒>，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x kx x +=⎧⎨=⎩，① 所以22222121116164444PQ k x k k k k =+-=+-=+-因为MP MQ λ=，所以112212(,1)(,1)x y x y x x λλ+=+⇒=代入①化简得()2214k λλ+=令()2214t k λλ+==，则24416PQ t t t +-=-因为470,3 PQ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以21129PQ<≤，即2211225616016499316tt t<≤⇒<⇒<≤-≤，所以()22211210164133310303λλλλλλλλ≠⎧+⎧-+>⎪<≤⇒⇒⎨⎨≤≤-+≤⎩⎪⎩即(]1,11,33λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以实数λ的取值范围(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.22. 已知直线:l y kx m=+与椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>交于A，B两个不同的点，点M为AB中点，点O为坐标原点.且椭圆C的离心率为22，长轴长为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若OA，OB的斜率分别为1k，2k，2k=12k k为定值；（3）已知点(2N，当AOB的面积S最大时，求OM ON⋅的最大值.【答案】（1）22142x y+=；（2）见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）求出,a b 后可得椭圆的方程.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简1212y y x x 可得所求的定值. （3）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线的距离可求面积，结合基本不等式可求AOB 何时取最大值，再用,k m 表示OM ON ⋅，利用基本不等式可求()2OM ON ⋅的最大值，从而得到OM ON ⋅的最大值.【详解】（1）因为长轴长为4，故2a =，又离心率为2，故c =b = 故椭圆方程为：22142x y +=. （2）直线:2l y x m =+，()()1122,,,A x y B x y ，由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得22242x x m ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得2220x m +-=，故2820m ∆=->即22m -<<.又()211121212121212122x m x m x x m y k y x x x x x k x ⎫++⎪++⎝⎭⎝⎭===+，而12x x +=，2122x x m =-，故()2122112222k m m k ⨯+=+=-即12k k 为定值. （3）设()()1122,,,A x y B x y ，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124240k x kmx m +++-=，又()()2222221641224163280k m k m k m ∆=-+-=+->，故2224k m +>，又12AB x =-=故12OABS AB==因为222224122k m mk+-+≤=+，故OABSm=时等号成立，此时2224k m+>成立.而12222,21212M Mx x km mx yk k+-===++，故(2222212122=1m kkmk k kOM ON--+=++⋅+，所以2=kOM ON=⋅，2221211212kk k+-==-++，因为212k+≥-，故2112k-≤+2≤≤当且仅当k=时等号成立.所以OM ON⋅的最大值为2，故OM ON⋅的最大值为2，当且仅当k=，m=时取最大值.【点睛】方法点睛：直线与椭圆位置关系中的最值、定值问题，一般需联立直线方程和椭圆方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x+或1212,y y y y+，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。

2020-2021学年浙江省温州市乐清市知临中学高二上学期期末考试数学试卷带讲解

【详解】由题意可得：，据此可得：，则，
令，结合等差数列前n项和公式有：
，
令，
则，
据此可知函数在上单调递减，
，，
即的取值范围是 .
16.3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有__________种（用数字作答）．
40
2020学年第一学期期末质量检测
高二数学试卷
一､选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则（）
A. B.
C D.
B
【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合 .
【详解】因为，
，
则或，因此， .
故选：B.
故答案为：，20
14.已知函数，则函数的最小正周期 __________，在区间上的值域为__________．
①. ②.
【详解】函数的解析式：
∴函数f(x)的最小正周期
∴当时, ，
当时, ，但取不到.所以值域为 .
15.已知等差数列满足：，，数列的前项和为，则的取值范围是__________．
（2）求函数的单调区间.
（1）或，；
（2）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当，的单调递增区间为，单调递减区间为， .
【分析】（1）通过恒等变换可得，可得或即可求得，再由即可得解；
（2）当由，，分离出即可得解，而当，奇单调性和的单调性相反即可得解.
【小问1详解】
（1）证明过程见解析；
（2）证明过程见解析

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2020-2021学年第一学期期末考试试卷高二数学（文科）命题人：第I 卷（选择题）一、单选题1．已知复数z 满足21z i -=（其中i 为虚数单位），则||z =（）A ．1B ．2CD 2．函数2cos y x x =的导数为（） A ．22cos sin y x x x x '=- B ．2sin y x x '=- C ．22cos sin y x x x x '=+D ．2cos sin y x x x x '=-3．下列关于命题的说法正确的是（） A ．若b c >，则22a b a c >；B ．“x R ∃∈，2220x x -+≥”的否定是“x R ∀∈，2220x x -+≥”；C ．“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题是真命题；D ．“若220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0，则220a b +≠”. 4．抛物线24y x =的焦点坐标是（） A ．()1,0B ．()0,1C ．1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭5．曲线y=x 3﹣2x 在点（1，﹣1）处的切线方程是（） A ．x ﹣y ﹣2=0B ．x ﹣y+2=0C ．x+y+2=0D ．x+y ﹣2=06．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴长为离心率为12，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF ∆的周长为（）A ．4B ．8C ．16D ．327．已知变量x 、y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且0.5ˆyx a =+，则实数a =（）8．双曲线2213y x -=的焦点到渐近线的距离是（）A B ．2C ．2D ．129．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞C ．(,0)-∞D ．(0,2)10．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（）次检测. A ．3B ．4C ．6D ．711．已知函数1()3()3xx f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数12．函数()323922y x x x x =---<<有（）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值第II 卷（非选择题）二、填空题13．双曲线22124x y -=的渐近线方程为_______. 14．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是_________．15．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭到直线ρsin(θ−π6)=1的距离是________.16．已知12,F F 是椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上一点，且12F P F P ⊥，则12F PF ∆的面积为．三、解答题17．(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心为坐标原点，经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,.（2）以点1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点，经过点P ⎛ ⎝⎭.18．（12分）我校对我们高二文科学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得如表数据．（2）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（3）试根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为16的学生的判断力．参考公式：线性回归方程ˆˆy bx a =+中，()()()1111222(ˆˆ)i i i i i i nni i i i n nx x y y x y nxybx x x n x a y bx ====⎧∑--∑-⎪==⎪⎨∑-∑-⎪⎪=-⎩．19．（12分）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上.（1）求双曲线的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程.20．（12分）江苏省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的2×2列联表.（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由.附：对于2×2列联表有()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中m 的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.22．（12分）已知函数321()43f x x ax =-+，且2x =是函数()f x 的一个极小值点.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[1,3]-上的最大值和最小值.2020—2021学年第一学期高二数学（文科）期末试卷参考答案1-5DACDA 6-10CAADB 11-12AC13．2y x = 14．()4,+∞ 15．1 16．917解：（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意有2219143a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）设椭圆的标准方程为22221(0)x y m n m n+=>>，焦距为02c .由题意有01c =，15PF ==25PF ==，有125522PF PF m +===2n ==，故椭圆的标准方程为22154x y +=.18 解：（1）散点图如图，（2）因为()168101294x =⨯+++=，()1235644y =⨯+++=，所以41422314122450724940.73664100144694i ii i i x y x yb x x==-+++-⨯⨯===+++-⨯-∑∑，则ˆˆ40.79 2.3ay bx =-=-⨯=- ，所以y 关于x 的线性回归方程为；⋀y=4.7x-2.3（3）由（2）可知当16x =，得⋀y 0.7×16−2.3=8.9．所以预测记忆力为16的学生的判断力为8.9． 19因为抛物线224y x =的准线方程为6x =-，则由题意得，点()16,0F -是双曲线的左焦点. （1）双曲线的焦点坐标()6,0F ±. （2）由（1）得22236a b c +==，又双曲线的一条渐近线方程是y =，所以ba=29a =，227b =，所以双曲线的方程为：221927x y -=.20解：（1）随机抽取的100名学生中女生为40人，则男生有1004060-=人，所以60,10,20m b c ===；（2）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：则K 2的观测值：22100(50201020)12.770306040K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为12.7＞7.879，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.21（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=，得0.030m =.（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .共6种.故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==. 22（Ⅰ）2'()2f x x ax =-.2x =是函数()f x 的一个极小值点，∴'(2)0f =.即440a -=，解得1a =.经检验，当1a =时，2x =是函数()f x 的一个极小值点.∴实数a 的值为1.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，321()43f x x x =-+. 2'()2(2)f x x x x x =-=-.令'()0f x =，得0x =或2x =.当x 在[1,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下：当或2x =时，()f x 有最小值当0x =或()f x 时，()f x 有最大值.。