河北省衡水中学滁州分校2020-2021学年高二6月调研考试数学(理)试题
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学(理)试题(含答案)
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =I ( ) A ．{}|011x x ≤+≤ B ．{}|11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】对集合A 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到A B I 的值.【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-，集合{}|1B x x =∈≤Z所以{}{}|110,1B x x A =∈-<≤=Z I .故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质． 由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．3．若函数2ln y ax b x =-在1x =处的切线方程为52y x =-，则a ，b 的值为( )A ．2,1B ．-2，-1C ．3,1D ．-3，-1【答案】C 【解析】将1x =代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到a ，利用导数的几何意义，对函数求导，代入1x =，得到切线斜率，得b 的值.【详解】将1x =代入切线52y x =-，得到切点坐标为()1,3，将()1,3代入到函数解析式中，得到3=a ，所以23ln y x b x =-， 求导得6b y x x'=-， 代入1x =得6k b =-，所以65b -=，得1b =.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.4．已知命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>，则命题p 成立是命题q 成立的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】根据命题p 和命题q ，分别得到k 的范围，从而得到答案.【详解】命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=，则0042x x k =-， 0[0,)x ∈+∞，所以设[)021,x t =∈+∞，则2k t t =-，在[)1,t ∈+∞上单调递增，所以[)0,k ∈+∞，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>，可得[)0,k ∈+∞所以命题p 成立是命题q 成立的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查二次函数相关的复合函数的值域，判断充分必要条件，属于简单题.5．已知()22,026ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则()y f x =与y x =的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】令()f x x =，得()()g x f x x =-，分0x ≤和0x >进行讨论，利用零点存在定理，得到()g x 的零点个数，从而得到答案.【详解】要求()y f x =与y x =的交点，则令()f x x =，设()()g x f x x =-，即求()g x 的零点个数， 所以()22,06ln ,0x x x g x x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，当0x ≤时，220x x --=，解得1x =-，2x =（舍），所以0x ≤时，()g x 有且仅有一个零点；当0x >，()6ln g x x x =-+，()110g x x'=+>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 而()150g =-<，()6ln60g =>，由零点存在定理可知()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点；综上所述，()g x 有且仅有两个零点，所以()y f x =与y x =的交点个数为2.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的性质，函数图像交点与零点的转化，根据零点存在定理求零点的个数，属于中档题.6．已知函数2,2()24x x f x x -+≤⎧=<≤，则定积分412()f x dx ⎰的值为( ) A ．948π+ B ．144π+ C ．12π+ D ．324π+ 【答案】A【解析】根据积分定义，将积分区间分为两段分别求：左段可根据微积分基本定理求得积分值，右段根据几何意义求得积分值，两个部分求和即可．【详解】 因为()2,224x x f x x -+≤⎧=<≤ 所以()412f x dx =⎰()12222x d x -++⎰⎰()22211221222x dx x x -+=-+⎰()22111122222222⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+⨯--+⨯⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 98=2⎰的几何意义为以()3,0为圆心，以1r =为半径的圆，在x 轴上方的部分因而21122S ππ=⨯⨯= 所以()21229942828x dx ππ+-++=+=⎰⎰ 所以选A【点睛】本题考查了积分的求法，微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值，属于中档题．7．已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足R x ∀∈，()()f x f x '>且(1)e f =，则不等式(ln )f x x >的解集为( )A ．(e,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,e)D ．(0,1)【答案】A【解析】令ln t x =，这样原不等式可以转化为()e t f t >，构造新函数()()e x f x g x =，求导，并结合已知条件()()f x f x '>，可以判断出()g x 的单调性，利用单调性，从而可以解得1t >，也就可以求解出x e >，得到答案.【详解】解:令ln t x =，则(ln )()e t f x x f t >⇔>， 令()()e x f x g x =，则()()()0ex f x f x g x '-'=>， ()g x ∴在R 上单调递增，()()e 1e t t f t f t ∴>⇔> ()(1)1ln 1e g t g t x x ⇔>⇔>⇔>⇔>，故选A.【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.8．若函数()1y f x =+为偶函数，且1x ≥时，()2xf x x e =-则不等式()()3f x f ≥的解集为( )A ．[]3,-+∞B ．[]1,3-C ．(][),13,-∞-+∞UD ．(][),22,-∞-+∞U【答案】B【解析】根据题意得到()f x 关于1x =成轴对称，得到()()31f f =-再利用导数，得到1x ≥时的单调性，从而得到不等式()()3f x f ≥的解集.【详解】因为函数函数()1y f x =+为偶函数，所以可得()f x 关于1x =成轴对称，所以()()31f f =-，当1x ≥时，()2x f x x e =-， 所以()2xf x x e '=- 设()2xg x x e =-，则()2xg x e '=-， 当1x ≥，()0g x '<，()g x 单调递减，。
河北省衡水中学滁州分校高二数学下学期第二次月考试题
滁州分校2017-2018学年下学期第二次月考试卷高二理科数学注意事项：1．你现在拿到的这份试卷是满分150分，作答时间为120分钟 2．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 3．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题 60分）一、选择题(本大题共12个小题，共60分。
)1.已知，复数，若 ，则（ ）A. B. C. D.2.设是可导函数，且，则（ ）A. B.C.D. 03.设,,a b c 都为正数，那么用反证法证明“三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2“时，正确的反设是这三个数( )A. 都不大于2B. 都不小于2C. 至少有一个不大于2D. 都小于2 4.已知函数f （x ）=，则y=f （x ）的图象大致为（ ）A. B. C. D.5.如图，阴影部分的面积是（ ）.A. - C.353 D. 3236.将某师范大学 名大学四年级学生分成 人一组，安排到 城市的甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有（ ） A. 种 B.种 C. 种 D.种7.展开式中的常数项为（ ）A.﹣1320B.1320C.﹣220D.220 8.已知,x y 的取值如下表：（ ）若依据表中数据所画的散点图中，所有样本点()(),1,2,3,4,5i i x y i =都在曲线212y x a =+附近波动，则a =（ ） A. 1 B.12 C. 13 D. 12- 9.已知函数()ln f x x ax b =--，若()0f x ≤对任意0x >恒成立，则a b +的最小值为（ ） A. 1e - B. 0 C. 1 D.2e10.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机取一件，其长度误差落在（3，6）内的概率为（ ） 附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544． A.0.2718 B.0.0456 C.0.3174 D.0.1359 11.若多项式()210011x x a a x +=++ ()()91091011a x a x +++++，则9a =（ ）A. 9B. 10C. -9D. -1012.若函数图像上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”.若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（）A.0B.2C.4D.6第II卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4个小题，共20分。
【数学】河北省衡水中学高三下学期六调考试试卷(理)(解析版)
河北省衡水中学高三下学期六调考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意）1.已知，，为虚数单位，且，则的值为（）A. 4B.C. -4D.【答案】C【解析】根据复数相等的概念可知，，∴，∴，故选C2.已知集合，，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，故，选项为C.3.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】由题意可知，P为AC的中点，2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC2．所以S△APQ．故选：B．4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. 8 D. 4【答案】D【解析】因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，所以菱形的边长为，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为，侧棱长为，所以几何体的表面积为：，故选D．5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设正方形的边长为则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：6.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，将函数化为再向左平移（）个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.7.已知，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．8.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的的直观图，其中轴，轴.若，设的面积为，的面积为，记，执行如图②的框图，则输出的值A. 12B. 10C. 9D. 6【答案】A【解析】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′A′B′•B′C′•sin45°由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T（m﹣1）＝T2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．10.如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，猜想,,,故选A.11.过椭圆上一点作圆的两条切线，点，为切点，过，的直线与轴，轴分别交于点，两点，则的面积的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】∵点在椭圆上，∴设，∵过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，则∴以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为①．又圆的方程为②．①-②得，直线AB的方程为：∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，∴P，Q，∴△POQ面积，∵-1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值．12.若函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①：②：③:④.其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B二、填空题（每题5分，共20分.）13.若等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，则________【答案】【解析】，则其常数项为，所以，则14.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为________.【答案】4【解析】∵，，，，，∴，又∵∴故本例转化为在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点时为最优解.∵即∴15.已知数列的前项和为，且，则使不等式成立的的最大值为________.【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.16.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则________.（写出所有正确结论的编号）①四面体每个面的面积相等②四面体每组对棱相互垂直③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【答案】【解析】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；由，，，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.设的三内角、、的对边长分别为、、，已知、、成等比数列，且.（I）求角的大小；（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断的形状.解：（I）因为、、成等比数列，则.由正弦定理得.又，所以·因为，则.因为，所以或.又，则，当且仅当a=c等号成立，即故.（Ⅱ）因为，所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.又，从而为锐角三角形.18.在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.（1）求证：；（2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长；（3）求二面角的余弦值.（1）证明：∵是正三角形，是中点，∴，即.又∵平面，∴.又，∴平面.∴.（2）解：取中点，连接，则平面，又直线平面，EG∩EF=E所以平面平面，所以∵为中点，，∴.∵，，∴，则三角形AMF为直角三角形，又，故（3）解：分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，∴，，，.为平面的法向量.，.设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，则平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则.所以二面角余弦值为.19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差. 解：（1）根据题意，读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332.将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，的故中位数为.（2）由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前10项之和.（3）记样本中8个题目成绩分别为，，…，2个题目成绩分别为，，由题意可知，，，，故样本平均数为.样本方差为.故估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56.20.已知椭圆的左，右焦点，，上顶点为，，为椭圆上任意一点，且的面积最大值为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若点.为椭圆上的两个不同的动点，且（为坐标原点），则是否存在常数，使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数和这个定值；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)由题得， ，解得 ，椭圆的标准方程为.(Ⅱ)设，，当直线AB 的斜率存在时，设其直线方程为：，则原点到直线的距离为，联立方程，化简得，，由得，则，，即对任意恒成立，则，，当直线斜率不存在时，也成立. 故当时，点到直线AB 的距离为定值.21.已知函数. （1）令，若在区间上不单调，求的取值范围；（2）当时，函数的图象与轴交于两点，，且，又是的导函数.若正常数，满足条件，.试比较与0的关系，并给出理由 解：（1）因为，所以，因为在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由，有，，令t =x +1>4的则y=2(t+在t>4单调递增，故（2）∵，又有两个实根，，∴，两式相减，得，∴，于是.∵，∴，∴.要证：，只需证：只需证：.（*）令，∴（*）化为，只需证∵在上单调递增，，∴，即.∴.请考生在22、23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4一4：坐标系与参数方程选讲：已知平面直角坐标系.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为（1）写出点的直角坐标及曲线的普通方程；（2）若为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.解：（1）x＝ρcosθ，y＝ρsinθ∴点的直角坐标由得，即所以曲线的直角坐标方程为（2）曲线的参数方程为（为参数）直线的普通方程为设，则那么点到直线的距离，所以点到直线的最小距离为23.选修4-5：不等式选讲.设函数，.（1）求不等式的解集；（2）如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则.综上可得，不等式的解集为.（2）设，由函数的图像与的图像可知：在时取最小值为6，在时取最大值为，若恒成立，则.。
衡水中学调研考试高中数学（理）试卷含答案
衡水中学调研考试高中数学（理）试卷含答案衡水中学调研考试数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填在答题卡上）1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于（）A ．1 B.532 D.3 2. 设有直线m 、n 和平面α、β，则下列说法中正确的是（）A.若//,,m n m n αβ??,则//αβB.若,,m m n n αβ⊥⊥?，则//αβC.若//,,m n m n αβ?⊥,则αβ⊥D.若//,,m n m n αβ⊥⊥,则αβ⊥ 3. 用一个平面截正方体一角，所得截面一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能 4．如图，Rt O A B '''?是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（）A ．22B ．1C ．2D ．22 5. 数列1, 12, 124, , 1242n+++++++L L L ，的前n 项和为 ( ) A ．n n --+221 B.12--n n C.322--+n n D. 222--+n n 6. 若{}n a 是等差数列，满足121010a a a +++=L ，则有（）A ．11010a a +>B ．21000a a +< C.3990a a +=D ．5151a =7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的表面积为（）【含答案】A ．43 B ．4 C ．23D ．138. ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，PD ⊥AD,PD=AD=2,二面角P —AD —C 为600，则P 到AB 的距离是Ａ．22Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．79. 如图为一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A.3B.43C.33D.6310. 如图，在正方体1111ABCD A B C D —中，E 、F 、G 、H 分别为中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（） A ．045 B ．060 C ．090 D ．0120 11. 已知54x <，则函数14245y x x =+--（） A ．有最小值为5 B ．有最大值为-2 C ．有最小值为1 D ．有最大值为1 12. 对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ；②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ；④若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则BC ⊥AD ；其中正确的命题的序号是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（每题5分，共20分,把答案填在答题纸的横线上）13. 已知{}n a 是等差数列，246816,a a a a +++=求9S =_______.14.已知边长为a 的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值，这个定值为3a ，推广到空间，棱长为a 的正四面体内任意一点到各个面的距离之和也为定值，则这个定值为： 15. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。
(完整word)河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试(理数)
河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。
共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60 分）、选择题（本题共12小题，每小题5分，共合题目要求的）3 口，且一x5 - 60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符已知cosx ，则tanx sin x的值是2.3.4.5.6.32158158153215已知a 0.23,bA. a b已知奇函数4A. -3已知圆O:xlog2 0.3, c log s 2 ,B. acf (x)满足f (x)-23B.32c bf (x 4)，当C.x (0,1)时,3C.—4cf(x)cabD.x2,则f (log 212)()3D. -8z轴的正半轴为始边,函数f（x）4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆0顺时针运动一弧长达到点N，以3ON为终边的角记为，则sineV _322sinx，x （,0）（0,）的图象大致为在区间-,‘1il1■uii!- V卡b■pl閃二Jt\ JP； 01o■1111i:"*11111如图是函数y sin（) 0,0m（m 0）个单位长度后，所得图象关于直线Z对称，则A . B. 一6 C.—4上的图象，将该图象向右平移的最小值为（）127 •已知函数 f(x) |x|(e x e x )，对于实数 a,b,“a b 0” 是“ f(a) f(b) 0” 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D.既不充分也不必要条件sin1cos2”8 •已知0,, 0-，且一，则 tan 2 —()22cos2 cossin 242 2 2 2A • - 1B . 1C .3D •39.已知函数f(x) sinx cosx , g(x)是f (x)的导函数，则下列结论中错误的个数是 ()①函数f (x)的值域与g(x)的值域相同；②若x 0是函数f(x)的极值点，则x 0是函数f (x)的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数2方，则 的取值范围是()13.已知曲线y x 3 x 在点(X 0，y 0)处的切线平行于直线 2x y 2 0，则x °= _____________________A . 0B . 1C . 2D 31 0.对于函数y cosx,若存在实数X 1,X 2, ,X n 满足 0 X 1 X 2x4,且| f (Gf(x>) | | f (X ) f (X 3)||f(X n1) f(X n )| 8,nn N* , 则 n 的最小值为 )A . 3B .4 C . 5D61 | x 1|,x ( ,2),11已知函数f(x)1上则函数F(x) xf(x) 1的零点个数为 ()f (x 22),x [2,),A . 7B .6C . 5D.412.已知0,| |2，在函数f(x) sin(X)与函数 g(x) cos(: X )图象的交点中，相——上都是增函数.4 4邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 一，当x2—,— 时，函数f(x)的图象恒在x 轴的上6 4g(x)的图象；④g(x)的零点；③把函数函数f (x)和g(x)在区间A • 6,3B • 6, 3、填空题(本题共第H 卷(非选择题4小题，每小题5分，共20 分)共90分)x 1R 的函数f(x)满足f (x) f (x)，则不等式 e f (x)14 .已知定义域为f (2x 1)的解15•如图阴影部分是由曲线 y 2x 2和x 2 y 2 3及x 轴围成的部分封闭图形，则阴影部分的面积为 ________________ •(1)求证：sinCsinA; 2cosA2⑵若B 为钝角，且△ ABC 的面积S 满足S (bsi nA)，求A.19. （12 分）已知函数 f （x ） asinx xcosx, x 0,— 2 （1）当 a 1 时，求证：f （x ） 0; ⑵如果f(x) 0恒成立，求实数 a 的最小值.16. 已知△ ABC 的内角 A , B , C 的对边长a , b , c 成等比数列,cos （A C ）至D ，若BD = 三、解答题(共 70分。
河北衡水中学2020学年高二数学上学期第一次调研考试(理)
衡水中学2020学年度上学期第一次调研考试高二年级数学 (理科)试题本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分•共150分.考试时间120分钟.第I卷选择题(共60 分)一、选择题:(本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设(0,—)，若sin 3，则.2 cos( )2 5 4()1 7 7A.-B.C.D. 45 5 22.已知点P分有向线段RF2所成的比为1，则点2R分有向线段PP2所成的比为()A.4B. 1C. 1D. —143. 已知向量2=(3,-4), b =( sin ,cos )，且a// b，则tan 等于()1 3 4A. —B.2C. - D -2 4 34. 平面上不同四点A、B、C、D满足(DB DC 2DA) ? (AB AC) 0,则ABC的形状是()A.等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D.等边三角形2 2 25.设a,b是两个非零实数，且a b，则在(1) a b ； (2) a bab2；(3)1 a2bA.1个1 a b a b ab2；(4)- 2 (5)—b a b a B.2 个 C.3 个6.先把函数f(x)=cosx的图象上的所有的点向右平移个单位长度,5 得函数f1(x)的图象，再这几个式子中，恒成立的有D.4 个把f1 (x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1—倍，得函数f2(X)的图象，贝U f2(X)是4ftA . y4si n(§xB. y 4sin(§x 4）4卜C. y4si n(§x 卫Xs 7X-—D . y4si n(§x-a-—a-—a-—9-—-a- —ii- —a--a- —-2f 2（1）| a b| |a|| b |, =G 2)a||b,b||ca||c , ⑶b |b|2,(4) ab 在c 的方向上投影等于 a 在c 的方向上的投影与 b 在c 的方向上的投影之和。
河北省衡水中学2020-2021学年第二次联考数学(理科)试卷(全国Ⅱ) (解析版)
2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5} 2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．14．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．138．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．101112．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b二、填空题（共4小题）.13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC ＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5}解：由题意得∁U B＝{1，3，5}，所以A∩∁U B＝{5}．故选：A．2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．解：由sinα＞0，cosα＜0，可得α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z，对于A，可得sin2α＝2sinαcosα＜0，错误；对于B，当α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z时，cosα∈（﹣1，0），此时cos2α＝2cos2α﹣1∈（﹣1，1），错误；对于C，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，可得，正确；对于D，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，当k为偶数时，可得sin＞0，错误；故选：C．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．1解：因为z＝a+（a﹣1）i，所以，所以|z|的最小值为，故选：B．4．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或解：过点（0，1）和（2，1），半径为的圆的圆心（1，﹣1）或（1，3）．过点（0，1），（2，1）且半径为的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5或（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，则圆心到直线y＝2x﹣1的距离为或，则弦长＝．故选：B．5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．解：设该四棱锥为P﹣ABCD，则由题意可知四棱锥P﹣ABCD满足底面ABCD为矩形，则：平面PDC⊥平面ABCD，且PC＝PD＝3，AB＝4，AD＝2．如图，过点P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD 所成的角，则，，所以．故选：C．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：双曲线的焦点F（c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离为，解得，所以．又c2＝a2+b2，所以b2＝3a2．因为点在双曲线上，所以，所以a2＝3，b2＝9，所以双曲线的方程为．故选：D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．13解：由12∧m＝1100∧n＝0001，可得n＝1101，表示成十进制为13，所以m＝13．故选：D．8．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为f（2+x）＝f（2﹣x），所以f（4+x）＝f（﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x），所以f（8+x）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以8为f（x）的一个周期，故②正确；由f（8+x）＝f（x）可得f（8﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（8﹣x）+f（x）＝0，故①正确；为奇函数满足f（x）+f（﹣x）＝0，且一条对称轴为直线x＝2，故③正确；由f（x）为奇函数且定义域为R知，f（0）＝0，又f（x）为周期函数，所以f（x）有无数个零点，故④正确．故选：D．9．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．解：设球O的半径为R，由球的体积为可得，，解得R＝2．因为三棱锥P﹣ABC的高h为1，所以球心O在三棱锥外．如图，设点O1为△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC．在Rt△AO1O中，由，且OO1＝R﹣h＝1，得．因为△ABC为等边三角形，所以，所以．故选：C．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．解：抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第n﹣1由甲掷，第n次由甲掷，概率为，二是第n﹣1次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种情况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故选：A．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．1011解：由题意得a1＝﹣1，a2＝0，a3＝3，a4＝﹣2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝﹣2，a9＝﹣7，a10＝0，a11＝﹣1，a12＝0，…∴数列{a n}为周期数列，且周期为10，因为S10＝5，所以S2021＝5×202+（﹣1）＝1009，故选：C．12．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b解：因为，所以a＜b．因为函数f（x）＝e x ln|x|在区间（0，+∞）上单调递增，所以b，c，d中b最小．构造函数g（x）＝x﹣elnx，则，当x≥e时，g'（x）≥0，所以g（x）在区间[e，+∞）上单调递增，所以g（3）＝3﹣eln3＞g（e）＝0，所以3＞eln3．所以e3＞3e，所以d＞c，所以d＞c＞b＞a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为[0，4]．解：，，设与的夹角为α，则：，∵α∈[0，π]，∴0≤8﹣8cosα≤16，∴，∴的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为48．解：按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有A21A22＝4种，乙第三个到达有A21A21A22＝8种，乙第四个到达有A32A22＝12种，乙最后到达有A44＝24种，所以不同的情况种数为4+8+12+24＝48．故答案为：48．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为3n或（3n2+3n）．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，可得a1+d＝3，①由a3是a1与a9的等比中项，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为da1＝d2，②由①②可得a1＝d＝或a1＝3，d＝0，当a1＝3，d＝0时，＝a2+a4+…+a2n＝3+3+…+3＝3n；当a1＝d＝时，＝a2+a4+…+a2n＝3+6+…+3n＝（3n2+3n）．故答案为：3n或（3n2+3n）．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为②③④．解：对于①，当长方体为正方体时，BD1⊥AC，故①错误；对于②，如图，设AD＝x，则AA1＝2﹣x（0＜x＜2），所以，当x＝1时，BD1的最小值为，即长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为3π，故②正确；对于③，设点E到平面A1B1D的距离为h，如图，由，可得，所以由②可知，，其中，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，所以，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为S＝2x+2x（2﹣x）+2（2﹣x）＝4+4x﹣2x2＝﹣2（x﹣1）2+6，当x＝1时，S的最大值为6，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．解：（1）在△ABC中，，由余弦定理得．因为0＜∠ABC＜π，所以，所以．（2）由知，BC∥AD，所以△BCE∽△DAE，所以，所以DE＝2BE．因为BD＝2，所以．所以．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．解：用A i表示第i位同学选择A组合，用B i表示第i位同学选择B组合，用∁i表示第i 位同学选择C组合，i＝1，2，3．由题意可知，A i，B i，∁i互相独立，且．（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率为：．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η~B(3,)，所以，，，，所以η的分布列为η0123P所以．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BF的中点Q，连接PQ，AQ．因为P，Q为CF，BF的中点，所以PQ∥BC，且．又因为AD∥BC，BC＝2AD，所以PQ∥AD，且PQ＝AD，所以四边形ADPQ为平行四边形，所以DP∥AQ．又AQ⊂平面ABFE，DP⊄平面ABFE，所以DP∥平面ABFE．（2）解：因为平面ABCD⊥平面BAEF，平面ABCD∩平面BAEF＝AB，FB⊥AB，FB⊂平面BAEF，所以FB⊥平面ABCD．又BC⊂平面ABCD，所以FB⊥BC．又AB⊥FB，AB⊥BC，所以以B为坐标原点，分别以BA，BC，BF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2，则．设平面DEF的一个法向量为，则，令z＝1，得．易知平面BCF的一个法向量为，所以．所以平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．【解答】（1）解：由可知，点（x，y）到点（﹣1，0），（1，0）的距离之和为4，且4＞2，根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则2a＝4，2c＝2，所以曲线C的离心率为．（2）证明：设椭圆的短轴长为2b，由（1）可得b2＝a2﹣c2＝3，所以曲线C的方程为，则F（1，0）．由题意可知，动直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由,得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，所以．设AB的中点为Q（x0，y0），则，．当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为，令y＝0，得，所以，＝＝，所以．当k＝0时，l的方程为y＝0，此时，．综上，为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝x+alnx，a∈R，所以，①当a≥0时，f'（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当a＜0时，令f'（x）＞0，得x＞﹣a，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣a，所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；综上：当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；（2）方程g（x）＝mf（x）有两个实根，即关于x的方程x2e x﹣m（x+2lnx）＝0有两个实根，即函数h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）有两个零点，又h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）＝e x+2lnx﹣m（x+2lnx），令t＝x+2lnx，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且t∈R，所以只需函数u（t）＝e t﹣mt有两个零点，令u（t）＝0，得，令，则，易知当t∈（﹣∞，1）时，φ（t）单调递增，当t∈（1，+∞）时，φ（t）单调递减，所以当t＝1时，φ（t）取得最大值，又因为当t＜0时，φ（t）＜0，当t＞0时，φ（t）＞0，φ（0）＝0，则函数的图象如图所示：所以当，即m∈（e，+∞）时，函数h（x）有两个零点，所以实数m的取值范围为（e，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．解：（1）由（α为参数），消去参数α，得曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4,由，得，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x﹣y＝b，所以曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣b＝0．（2）设P（1+2cosα，1﹣2sinα），因为点P到直线x﹣y﹣b＝0的距离为1，所以，化简得①．若关于α的方程①有解，则曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，所以②，或③由②得，由③得，所以b的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．【解答】（1）解：由题意得f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，当x≥2时，原不等式可化为3x﹣3≤9，解得x≤4，故2≤x≤4；（1分）当﹣1≤x＜2时，原不等式可化为5﹣x≤9，解得x≥﹣4，故﹣1≤x＜2；当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x+3≤9，解得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1．综上，不等式f（x）≤9的解集为[﹣2，4]．（2）证明：因为≥＝，且ab＞0，高中数学资料群734924357所以，当且仅当或时等号成立，高中数学资料群734924357。
河北省衡水中学2020届高三第六次调考数学理科试题及解析word
河北衡水中学2020届高三第六次调考数学（理科）满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x≤5}{|39}x B x =<,则A ∪B=()A.(-∞,2]B.(-∞,5] .(2,5]C D.(-∞,2)∪(2,5) 2.已知复数11212,1z i z z =-⋅=,则复数2z 的虚部为2.5A2.5B - 1.5C 1.5D -3.已知函数2()(1)x f x x x e =++，则曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为()A.x+y+1=0B.x-y+1=0C.2x+y+1=0D.2x-y+1=04.设x,y 满足约束条件26,22,20,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则z=2x-y 的最大值是A.2B.6C.10D.145.已知函数()2sin [cos()cos ],3f x x x x π=-+则函数f(x)的最小正周期是() .2A πB.πC.2πD.4π 6.执行如图所示的程序框图,若输入x 的值为7,则输出结果为7.4A 3.4B 7.8C 3.2D 7.如图,在各棱长均为2的正三棱柱(底面为正三角形且侧棱垂直于底面的棱柱111)ABC A B C -中,P,E,F 分别是111,,AA A C AC 的中点,则四棱1P EFBB -的体积为()3.A 3.B 23.C 43.D 8.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若2,26,b c C ===3,4π则△ABC 的面积为() A.2 .22B C.3.32D 519.()(3)x x x+-的展开式中含x 的项的系数为 A.-112 B.112 C.-513 D.51310.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F 点P 是双曲线C 的右支上一点,连接1PF 与y 轴交于点M,若1||F O =2|OM|(O 为坐标原点)12,PF PF ⊥,则双曲线C 的渐近线方程为A.y=±3x .3B y x = C.y=±2x .2D y x =11.已知三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面2,,3ABC ABCPA π∠==4,若三棱锥P-ABC 外接球的表面积为32π,则直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值为() 7.7A 6.6B 27.7C 2.7D 12.已知定义在R 上的奇函数f(x)恒有f(x-1)=f(x+1),当x ∈[0,1)时，21()21x x f x -=+，则当函数1()()3g x f x kx =--在[0,7]上有三个零点时,k 的取值范围是 12.[,)415A -- 22.(,]915B -- 21.(,)96C -- 221.(,]{}9153D --⋃- 二、填空题:本题共4小题，每小题5分.13.已知在平行四边形ABCD 中，1,,3BE BC AE xBD yBC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则x-y=_____. 14.已知α是第四象限的角,且满足29cos sin 217αα+=,则tanα=_____.15.一个不透明的箱中装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球,每次摸取一个球.规则如下:若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸;若摸到红球,则将此球放回箱中改由对方摸球,甲先摸球,则在前四次摸球中,甲恰好摸到两次绿球的概率是____.16.已知抛物线2:4C y x =的准线为l,过点(-1,0)作斜率为正值的直线l 交C 于A,B 两点,AB 的中点为M,过点A,B,M 分别作x 轴的平行线,与l 分别交于点D,E,Q,则当||||MQ DE 取最小值时,|AB|=____. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为1111,,(22)2n n n n S a S a ++==-. (1)求2a 及数列{}n a 的通项公式;(2)若112211log (),n n n n nb a a ac a b ==+L ,求数列{}n c 的前n 项和.n T18.（本小题满分12分）某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一-台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投资700万元，年生产能力为20万件。
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【全国校级联考】河北省衡水中学滁州分校2020-2021学年高二6月调研考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．若()34P A =，()12P B A =，则()P A B ⋂等于( ) A ．23B ．38C ．13D ．582．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有（ ）． A ．25个B ．26个C ．36个D ．37个3．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( ) A ．180 B ．－180 C ．45D ．－454．若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+5．已知x ，y 的取值如表所示，若y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ6y bx=+，则^b 的值为（ ）A ．110B ．12C ．110-D ．12-6．设随机变量X 服从二项分布，且期望()3E X =，15p =，则方差()D X 等于( ) A ．35B ．45C ．125D ．27．计算)22=x dx ⎰（ ）A ．24π-B ．4π-C ．ln 24-D ．ln 22-8．下列曲线中，在1x =处切线的倾斜角为34π的是 （ ）A ．23y x x=-B ．ln y x x =C ．()y sin x π=D ．322y x x =-9．参数方程212x t y t t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的曲线必过点（ ） A ．()1,0-B ．()0,0C ．()1,0D ．()2,010．设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ） A ．7B ．6C ．5D ．411．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60︒”时，应假设（ ） A ．三角形的三个内角都不大于60︒B ．三角形的三个内角都大于60︒C ．三角形的三个内角至多有一个大于60︒D ．三角形的三个内角至少有两个大于60︒12．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线():4l R πθρ=∈交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．4πρθ⎛⎫=--⎪⎝⎭二、填空题 13．若函数ln ()ln(1)2kxf x x =-+不存在零点，则实数k 的取值范围是_____． 14．某学校开设校本选修课，其中人文类4门1234,,,A A A A ，自然类3门123,,B B B ，其中1A 与1B 上课时间一致，其余均不冲突.一位同学共选3门，若要求每类课程中至少选一门，则该同学共有__________种选课方式．（用数字填空） 15．()()72x y x y +-展开式中，含35x y 项的系数是__________．16．（,a t 均为正实数），类比以上等式，可推测,a t 的值，则a t +＝三、解答题17．已知数列{}n a 满足112n na a +=-（n *∈N ），且10a =. （1）计算234,,a a a 的值，并猜想n a 的表达式； （2）请用数学归纳法证明你在（1）中的猜想.18．若函数3()4=-+f x ax bx ,当2x =时,函数()f x 有极值为43-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()f x k =有3个解,求实数k 的取值范围.19．某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的卡片各2张，让孩子从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3张卡片上的最大数字 (1)求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； (2)求随机变量x 的分布列；(3)若孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率 20．一个口袋中装有n 个红球(5n ≥且)n N ∈和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖.(1)用n 表示一次摸奖中奖的概率n p ；(2)若5n =，设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有X 次中奖,求X 的数学期望EX ；(3)设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率P ,当n 取何值时，P 最大？21．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望()EX 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l 的参数方程为{x =2ty =t +12(t 为参数），直线l 和圆C 交于A,B 两点，P是圆C 上不同于A,B 的任意一点． （1）求圆心的极坐标；（2）求点P 到直线l 的距离的最大值．参考答案1．B【解析】由条件概率公式可得：()()()133 248P A B P B A P A⋂==⨯=故答案选B2．C【解析】设三角形另外两边为X,Yx+y>11x-y<11x<11,y<11且均为整数所以x,y中有个数最大为11最小的整数为1，最大边为11x=1的时候1个x=2的时候2个x=3的时候3个x=4的时候4个x=5的时候5个x=6的时候6个x=7的时候5个x=8的时候4个x=9的时候3个x=10的时候2个x=11的时候1个所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故选C．考点：本题主要考查三角形构成条件、分类计数原理的应用．点评：结合三角形知识，将符合条件的三角形分成11类，运用分类计数原理得解．3．A【解析】根据二项式定理知82810a =C 2=180⋅，故选A.4．A 【解析】 因为1zi i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选A. 考点：复数的概念与运算. 5．D 【解析】 【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到ˆb的值． 【详解】根据所给的三对数据，得到 25x y ==，，∴这组数据的样本中心点是25（，）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，线性回归方程为ˆˆ6ybx =+，56ˆ2ˆ12b b ∴=+∴=-．故选：D ． 【点睛】本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系，属基础题． 6．C 【解析】由于二项分布的数学期望()3E X np ==,所以二项分布的方差()()()121315D X np p p =-=-=，应填选答案C ． 7．B 【分析】根据定积分的运算，)2222=x x d dx x -+⎰⎰⎰（），根据定积分的运算及定积分的几何意义，即可求得答案． 【详解】)2222=x x d dx x -+⎰⎰⎰（），由0⎰的几何意义表示以原点为圆心，以2为半径的圆面积的14，∴214r ππ=⨯=⎰，22200|24x dx x -=-=-⎰（），∴)222(2)4x dx x dx π∴+-=-⎰⎰⎰＝，故选B ． 【点睛】本题考查定积分的运算，考查定积分的几何意义，考查计算能力，属于中档题． 8．D 【详解】在x=1处切线的倾斜角为34π,即有切线的斜率为tan 34π=−1. 对于A,23y x x=-的导数为232y x x '=+，可得在x=1处切线的斜率为5；对于B,y=xlnx 的导数为y′=1+lnx ，可得在x=1处切线的斜率为1；对于C,sin()y x π=的导数为cos()y x ππ'=，可得在x=1处切线的斜率为cos πππ=-； 对于D,y=x 3−2x 2的导数为y′=3x 2−4x ，可得在x=1处切线的斜率为3−4=−1. 本题选择D 选项. 9．C 【解析】根据参数方程为212x t y t t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）， 可得1t x =-，∴()()2121y x x =---，即243y x x =-+.在选项中只有()1,0在曲线243y x x =-+上.故选C. 10．B 【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=4对称，得到两个概率相等的区间关于x=4对称，得到关于a 的方程，解方程即可． 详解：∵随机变量ξ服从正态分布N （4，3）， ∵P （ξ＜a ﹣5）=P （ξ＞a+1）， ∴x=a ﹣5与x=a +1关于x=4对称， ∴a ﹣5+a+1=8， ∴2a=12， ∴a=6， 故选C ．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 11．B 【分析】根据反证法可知，假设应该否定结论，即可求解. 【详解】由反证法可知，只需要把结论否定即可， 应该假设：三角形的三个内角都大于60︒ 故选：B 【点睛】本题主要考查了反证法，命题的否定，属于容易题. 12．A 【解析】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程y x =．由2240x y x y x ⎧+-=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，所以()00A ，，()22B ，， 从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()22112x y -+-=，即2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为：()22cos sin 0ρρθθ-+=，即()2cos sin 4πρθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，故选A ． 点睛：本题考查了曲线的极坐标方程的求法，试题比较基础，属于基础题，其中熟记极坐标与直角坐标的互化公式是解答的关键，同时注意极坐标与直角坐标互化公式的合理运用． 13．(0,4). 【解析】试题分析：依题意ln ln(1)02kx x -+=在0{1kx x >>-上没有实根.即等价于ln 01x =+无解.等价于在0{1kx x >>-1x =+没有实根，即函数2()(2)1g x x k x =+-+在0{1kx x >>-与x 轴没有交点.当0x <时，0k <.(1)0g k -=<，又由(0)10g =>.所以(1,0)x ∈-上有零点.所以0k <不成立.当0x >时，只需2(2)40,04k k =--<∴<<. 考点：1.方程的根与函数的零点.2.分类讨论的思想. 14．25 【解析】当人文类选1门，自然类选2门时，共有124312C C = 种；当人文类选2门，自然类选1门时，共有214318C C = 种；而1A 与1B 上课时间一致，所以1A 与1B 不能同时选，它们同时选的有11325C C += 种，所以该同学共有12+185=25- 种.15．49. 【解析】 【分析】由()()7764345257722[7()()]x y x y x y x x y C x y C x y +-=+-+⋯+-+-+⋯（） ．即可得出含35x y 项的系数是45772C C -．【详解】（()()7764345257722[7()()]x y x y x y x x y C x y C x y +-=+-+⋯+-+-+⋯（）． 含35x y 项的系数是4577249C C -=．故答案为：49． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16．71 【解析】28,8163,71a t a t ==-=∴+=17．(1) 234123,,234a a a ====.猜想1n n a n-=（n *∈N ）.(2)见解析. 【解析】试题分析：(1) 根据题意，求解234,,a a a 的值，由此可猜想数列的通项公式； (2)利用数学归纳证明即可. 试题解析： (1) 23412311113,,22224a a a a a a =====---. 由此猜想1n n a n-=（*n N ∈）. (2)证明：①当1n =时，10a =，结论成立；②假设n k =（1k ≥，且*k N ∈）时结论成立，即1k k a k-=. 当1n k =+时，()111111212k k k a k a k k++-===--+-，∴当1n k =+时结论成立，由①②知：对于任意的*n N ∈，1n n a n-=恒成立. 18．（1）31()443f x x x =-+；（2）42833k -<<. 【分析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得,a b 的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过()f x k =有三个不等的实数解，求得k 的取值范围. 【详解】（1）因为()34f x ax bx =-+，所以2'()3f x ax b =-，由2x =时，函数()f x 有极值43-， 得()()20423f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，即12048243a b a b -=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以()31443f x x x =-+； （2）由（1）知()31443f x x x =-+，所以2'()4(2)(2)f x x x x =-=+-，所以函数()f x 在(,2)-∞-上是增函数，在(2,2)-上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，当2x =-时，()f x 有极大值283； 当2x =时，()f x 有极小值43-，因为关于x 的方程()f x k =有三个不等实根， 所以函数()y f x =的图象与直线y k =有三个交点， 则k 的取值范围是42833k -<<. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.19．（Ⅰ）记“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件A ，…………………（1分） 则P(A)=C 53C 21C 21C 21C 103=23,即取出的3张卡片上的数字互不相同的概率为23．…………（3分）（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为2，3， 4，5，……………………………（4分） 相应的概率为：P(X =2)=C 43C 103=130，，P(X =4)=C 21C 62C 103+C 22C 61C 103=310，P(X =5)=C 21C 82C 103+C 22C 81C 103=815，………………………………………（6分）∴随机变量X 的分布列为：从而E(X)=2×130+3×215+4×310+5×815=133.……………………………（8分）（Ⅲ）从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，所以要计分超过30分，随机变量X 的取值应为4或5，…………………………………（10分） 故所求概率为P =P(X =4)+P(X =5)=310+815=56 【解析】试题分析：（1）数字相同的卡片分别捆绑起来作为一个共5类，可从5类中选3灰，有C 53种选法，然后每类2个中任取1个各有C 21种选法，总选法为C 103，由概率公式可计算出结果；（2）3张卡最大数字X 的可能值分别为2,3,4,5，分别计算出概率可得分布列； （3）计分超过30分，X 的值只能是4或5，因此概率为P(X =4)+P(X =5)． 试题解析：（1）记“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件， 则,即取出的3张卡片上的数字互不相同的概率为．（2）随机变量的所有可能取值为2，3， 4，5， 相应的概率为：，，，，随机变量的分布列为：从而（3）从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，所以要计分超过30分，随机变量的取值应为4或5， 故所求概率为20．（1）10(5)(4)n n p n n =++；（2）53；（3）20.【解析】试题分析：()1一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率()()115251054n n n C C n p C n n +==++ ()2根据（1）的结果，即可求出三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有X 次中奖的数学期望EX()3设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率()()21323 132(01)n n n n nn P C p p p p p p =-=-+<<，知在103⎛⎫⎪⎝⎭，上p 为增函数，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上p 为减函数，当13p =时p 取得最大值，又()()101543n n n =++，解得n 的值。