中考复习-利用轴对称性质求几何最值(完整资料).doc
轴对称中几何动点最值问题总结
轴对称中几何动点最值问题总结轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。
比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。
初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，点两线三类线段和的最值问题。
下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
方法：1.定点过动点所在直线做对称。
2. 连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
1.如图，直线I和I的同侧两点A B,在直线I上求作一点P，使PA+PB最小。
问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。
变异类型：1.如图，点P是/ MON内的一点，分别在OM ON上作点A, B。
使△PAB的周长最小。
（3）两点两线的最值问题：（两个动点+两个定点）问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。
核心思路：用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。
变异类型：1.如图，点P, Q为/ MON内的两点，分别在OM ON上作点A，B。
利用轴对称性质求几何最值
利用轴对称性质求几何最值————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ轴对称中几何动点最值问题总结轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中,为应用某些基本定理提供方便。
比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：(1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边;(3）垂线段最短。
初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。
下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点）问题特征:已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置,使动点与定点线段和最短。
核心思路:这类最值问题所求的线段和中只有一个动点,解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点,连结这个对称点与另一定点，交直线于一点,交点即为动点满足最值的位置。
变异类型:实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形,比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形,即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
１. 如图，等边△AＢC的边长为6,AD是ＢＣ边上的中线,M是AＤ上的动点,E是AC边上一点，若AE=2，ＥM+CM的最小值为()Ａ．4 B.8 C.Ｄ.2.如图,等边△ABC的边长为４，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点,E是ＡC边上一点,若ＡE＝2,当EF＋ＣF取得最小值时，则∠EＣＦ的度数为（）A．1５°Ｂ.2２.5° C.30° D. 45°3.如图,Ｒt△AＢC中，AC=BC=4,点D,E分别是AＢ,AC的中点，在CD上找一点Ｐ,使ＰA+PE 最小，则这个最小值是__＿__＿______＿.4.(2006•河南）如图，在△ＡBC中，AC=ＢC=2，∠ＡCB=90°,D是BC边的中点，E是AB 边上一动点，则EC+ED的最小值是＿_＿＿＿__＿＿＿＿＿_.5．如图,在正方形ABCＤ中,E是AB上一点，ＢE=2,AE＝3BＥ,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是( ）A.Ｂ．C． D. 106..（2０09•抚顺）如图所示,正方形AＢCD的面积为12,△ＡBE是等边三角形，点Ｅ在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点Ｐ，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( ）A．2√3 B. 2√6Ｃ．３Ｄ. √６（2）一点两线的最值问题：（两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间,分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。
初中数学最新-九年级数学应用轴对称的性质求最值问题检测 精品
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。
本专题原创编写双（多）形成的最值问题模拟题。
在中考压轴题中，双（多）形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。
原创模拟预测题1. 如图1，在□ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB＝AD＝7，AH. 现有两个动点E、F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动. 在点E、F运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC 在射线AC 的同侧，当点E 运动到点C 时，E 、F 两点同时停止运动. 设运转时间为t 秒. （1）求线段AC 的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；（3）当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，如图2，将△EFG 绕着点C 旋转一个角度(0360)αα︒<<︒. 在旋转过程中，点E 与点C 重合，F 的对应点为F′，G 的对应点为G′. 设直线F′G′与射线DC 、射线AC 分别相交于M 、N 两点.试问：是否存在点M 、N ，使得△CMN 是以∠MCN 为底角的等腰三角形？若存在，请求出线段CM 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）7；（2）)2270t 312847S t t <t 4553228t t 4<t 733⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭⎪⎪⎫=-+≤⎨⎪⎭⎪⎪-+≤⎪⎩；（3）存在，494. 【解析】（3）存在.如图2，当等边△EFG的顶点E到达点C时，AE=AC=7，AF=21，EF=14.△EFG绕点C旋转过程中，以∠MCN为底角的等腰三角形△CMN有两种情况：①当∠CMN为等腰△CMN的另一底角时，如答图1，过点C作CI⊥MN于点I，过N作NJ⊥CM于点J.在△CMI中，由勾股定理得222CI IM CM+=，即()222a b ⎫++=⎪⎪⎝⎭，二者联立，解得49b4=，∴CM==②当∠CNM为等腰△CMN的另一底角时，如答图2，过点C作CI⊥MN于点I，过N作NJ⊥CM于点J.在等边△CG′I中，易得7IG',CI2==.考点：1.双动点和面动旋转问题；2.勾股定理；3. 线段垂直平分线的性质；4.等边、腰三角形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6. 旋转的性质；7.相似三角形的判定和性质；8. 等腰三角形存在性问题；9.分类思想的应用.二.应用轴对称的性质求最值问题原创模拟预测题2. 如图，正方形AOCB 在平面直角坐标系xOy 中，点O 为原点，点B 在反比例函数4y x=（x ＞0）图象上， （OC ＞OA ）． （1）求点B 的坐标；（2）若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒2个单位的速度运动，同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒1个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．当运动时间为12秒时，在x 轴上是否存在点P ，使△PEF 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵点B 在反比例函数4y x=（x ＞0）图象上，∴可设点B 坐标为（a ，a 4），∵OB=，∴24221617a a 11a 160a 1a 4a=+⇒-+=⇒==或。
专题复习1：利用轴对称求最值_
专题复习1：利用轴对称求最值Ⅱ. 请你设计一个用时最少的方案.二、关于两（多）条线段和最小问题思路指导：此类问题一般通过适当的几何变换实现“折”转“直”。
即将连接两点的折线转化为线段最短问题1.直接运用两点间线段最短解决问题.例：如图8，已知A（1,1）B（3，-3），C为x轴上一个动点，当AC+BC最小时，C点坐标为，此时AC+BC的最小值为.练习：如图9，四边形ABCD为边长为5的正方形，以B为圆心4为半径画弧交BA与M，交BC于N，P在MN上运动，则PA+PB+PC的最小值为.2.平移后应用两点间线段最短例：已知：如图10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）（1）在图中作出当AC+CD+DB最小时C点的位置，并求出此时m的值（2）求AC+CD+DB的最小值.练习：如图11，NP，MQ为一段河的两岸（河的两侧为平坦的地面，可以任意穿行），NP∥MQ，河宽PQ 为60米，在NP一侧距离河岸110米处有一处藏宝处A，某人从MQ一侧距离河岸40米的B处出发，随身携带恰好横穿（与河岸垂直）河面的绳索（将绳索利用器械投掷至河对岸并固定，人扶绳索涉水过河），请计算此人从出发到目的地最少的行进路程，并确定固定绳索处（MQ一侧）到B处的最近距离.3.旋转后应用两点间线段最短例：如图12，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为31+时，求正方形的边长.练习：点O 为正方形ABCD内一点，（1）正方形边长为4，求OB+OD的最小值（2）若OB+OC+OD的最小值为26+，求正方形的边长4.对称后应用两点间线段最短数学模型已知：如图14，直线l 及直线同侧两点P、Q，在直线l 上求作点M，使线段PM+QM最小，并说明理由关系探究上图中：相等的角：线段关系：类型一：单动点单对称轴（直线同侧两线段和转化为异侧，进而应用两点间线段最短）练习：1.如图15，已知菱形ABCD的边长为6，M、N 分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，则PM+PN的最小值.2. 如图16，已知菱形ABCD的边长为6，点E为AB边的中点，∠BAD=60°，点P为对角线AC上的一动点，则PE+PB的最小值..3. 如图17,已知正方形ABCD的边长为2，点M为BC 边的中点，P为对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值4. 如图18，正方形ABCD的面积为a，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，PD+PE的和最小值为4，则a= .5.如图19，已知⊙O的半径为1，AB、CD为⊙O的两互相垂直的直径，点M在弧AD上，且∠MOD=30°，点P为半径OD上的一动点，则PM+PA的最小值.6. 如图20，已知⊙O的半径为1，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠CAB=30°点M是弧CB的中点，，点P为直径AB上的一动点，则PM+PC的最小值.7.如图21，⊙O的直径为10，A,B在圆周上，AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6，BD=8.P为MN上一个动点，则PA+PB的最小值为.8.如图22，已知∠AOB=60°，OA=6，C为OA的中点，OD平分∠AOB，M为OD上一动点，则AM+CM的最小值为9．如图23，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为．10.如图24，已知抛物线y=x2-2x-3,与x轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与y轴相较于点C，P 为抛物线对称轴上的一点，则PO+PC的最小值是.11.如图25，以正方形ABCD中AB为边向外作等边三角形AMB，N为对角线BD上一点，若AN+MN的最小值为2226，则正方形边长为.12.一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设C为AB的中点，P为OB上一动点，求PC＋PA取最小值时P点的坐标．13.如图27，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由14.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．类型二：双动点单对称轴（在类型一基础上应用垂线段最短）例：如图，已知∠CAB=30°，BA=6，AF平分∠BAC，P,Q分别为AB，AF上的动点，则BQ+PQ的最小值为练习:1.如图29，正方形ABCD中，AE为∠BAC的平分线，M,N分别为AE，AB上的动点，若MN+BM最小值为3，则正方形边长为.2.如图30，在锐角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________ ．3.如图31，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M，N分别为BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为. 类型三：单动点双对称轴例：如图32，已知：∠AOB=30°，P为∠AOB内一点，OP=6，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.练习：1.如图33，已知：∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，OP=10，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.2.如图34，两个镜子成45°角，P为夹角内一个光源，P距离交点2米，光线从P发出后经过OB，OA反射后经过点P，则光线经过的路线长为.3.如图35，已知A（3,2）为坐标平面上一点，在x，y 轴上确定点M,N，使△AMN周长最小，并求出此时M，N坐标.类型四. 双动点双对称轴例：已知P，Q为∠AOB内两个定点，M，N分别为OA，OB上的动点。
中考数学知识点考点复习指导：利用轴对称求最值
利用轴对称求最值轴对称知识在近来的中考题中，经常出现，笔者浏览最近几年各地的中考试题，发现各地中考试题除考察轴对称图形的基本知识和性质，还考察了利用轴对称知识解决最值问题，这类问题在各地中考试题中，屡见不鲜，如何利用轴对称的性质解决最值问题呢？根据本人多年教学工作的一些体会。
概括一些常见的题型。
一、基础知识如图直线l 同侧有两点A 、B ，在直线l 上找点P ，使得PA+PB 最短，并简要说明理由。
解：作点关于直线l 的对称点A ′，连A ′B 交直线l 于点P,则点P 即为所求，此时PA+PB=PA ′+PB= A ′B 。
A 1二、典型例题：A 组（1）以菱形为载体的最短距离问题：如图所示，菱形ABCD 中，∠ BAD=60°，AB=4，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PM+PB 的最小值是_________。
解：∵菱形ABCD 是以AC 为对称轴的轴对称图形。
∴点B 关于直线AC 的对称点为点D,连接DM 交AC 于点P,则PM+PB 的最小值即为线段DM,此时DM=32 AB LP∴PM+PM 的最小值为32.（2）以矩形为载体求最短距离问题在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为为边CD 中点。
P 为边BC 上的任一点，求PA+EP 的最小值。
解：作点A 关于BC 的对称点A ′，连A ′E 交BC 于点P,则点P 为所求，此时PA+PE 的最小值即为A ′E,过点E ，作EF ⊥AB ，A ′E=2243 =5∴PA+PE 的最小值为5。
（3）以正方形为载体的最短距离问题： MC AA 1 ED如图所示，正方形ABCD 的边长为2，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上找一点P,使PD+PE 最小，则这个最小值为_________.解：∵正方形ABCD 是以AC 为对称轴的轴对称图形。
∴点B 关于点D 关于AC 对称∵BE 即为PD+PE 的最小值∴PD+PE 的最小值为2(4) 以圆形为载体的最短距离问题： 如图，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB, ∠ABC=60°，P 是OB 上一动点，求PA+PC 的最小值。
初中几何利用“轴对称变换”解决最值问题
初中几何利用“轴对称变换”解决最值问题
初中数学动点最值思路方法大汇总
【典型例题1】难度★★
【思路分析】构造包含所求线段的兰角形，通过三边关系求解；解直角三角形求出AB 、BC ，再求出CD ，连接CG ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CG ，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出DC 有最大值再代人数据进行计算即可得【答案解析】
【典型例题2】难度★★★
【思路分析】本题是轴对称一一最短路线问题在坐标系中的应用．一个动点到两个定点距离和最小的问题，首先要明确对称轴是什么，然后根据轴对称作出最短路线，即可得出△ABC的周长最小时C 点的坐标．【答案解析】解：。
(完整word版)与轴对称相关的最值问题
图（5）CEDPBA 与轴对称相关的最值问题【典型题型一】:如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小.【典型题型二】如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B,在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
【练习】1、(温州中考题）如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200,点P 在BD 上，则PE+PC 的最小值是（ ）解:如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC 中点E 关于对角线BD 的对称点E 一定落在AB 的中点E 1，只要连结CE 1，CE 1即为PC+PE 的最小值。
这时三角形CBE 1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE 1=23a 。
所以选(D ）。
2、如图（13),一个牧童在小河南4英里处牧马,河水向正东方流去，而他正位于他的小屋B 西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ）（A ） 4+185英里 （B ） 16英里（C ） 17英里 （D) 18英里3．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD,ED ⊥BD,连接AC 、EC 。
已知AB=5,DE=1,BD=8，设CD=x.请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小？4．如图，在△ABC 中,AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上 一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。
即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C ’，连接DC'交 AB 于点E,则线段DC ’的长就是EC+ED 的最小值。
在直角△DBC'中DB=1，BC=2， 根据勾股定理可得,DC'=错误!5．如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边 上的一动点,则PB+PE 的最小值为 即在AC 上作一点P ，使PB+PE 最小 作点B 关于AC 的对称点B',连接B ’E ，交AC 于点P,则B’E = PB'+PE = PB+PE B ’E 的长就是PB+PE 的最小值 在直角△B'EF 中，EF = 1,B'F = 3根据勾股定理，B'E = 错误!6．如图所示,正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内， 在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小,则这个最小值为（ ） A ．2错误! B ．2错误! C ．3 D ．错误!即在AC 上求一点P ，使PE+PD 的值最小点D 关于直线AC 的对称点是点B ，连接BE 交AC 于点P,则BE = PB+PE = PD+PE ，BE 的长就是PD+PE 的最小值BE = AB = 2 37．如图,若四边形ABCD 是矩形， AB = 10cm,BC = 20cm ，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点,求PC+PD 的最小值; 作点C 关于BD 的对称点C ’，过点C'，作C ’B ⊥BC ，交BD 于点P ，则C ’E 就是PE+PCFP B'EＡＣＢＣ'DＡＣＢEPE BCD A H PEC'D ACB的最小值直角△BCD 中，CH = 错误!错误！未定义书签。
专题2.2轴对称---线段的最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
B
B
A
A
B
A
l
l
P
图1
B´
A
P
P
图2
图3
l
l
P
图4
B
两点之间线段最短
模型分析
考点2-1
派生知识
核心知识
C
A
B
AB最短
①两点之间,线段最短；
A
B
AC+BC＞AB
②三角形两边之和大于第三边.
线段差的最值
典例精讲
考点2-1
【例1】如图,已知二次函数y=x2+4x-5的图象及对称轴,请用无刻度直尺
易得CD= 4 3 ∠ADD´=60º，DD´=4,
3
∴D´E=2 3.
E
A
D
P
P
B
C
D´
线段最值问题
强化训练
提升能力
6.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,连接AC,O是AC的中点,M是AD上一 点,
且MD=1,P是BC上一动点,则PM-PO的最大值为( A )
A.
B.
C.
∴MN=2,NQ=MN·cosN=2× 3 = 3
2
N
B
PP
A
M
C
强化训练
线段最值问题
提升能力
5.如图,在矩形ABCD中,AD=4,∠DAC=30º,点P,E分别在AC,AD上,则PE+PD的
2 3
最小值是_______.
【解析】如图,作点D关于直线AC的对称点D´
当D´,P,E三点共线,且D´E⊥AD时,PE+PD最小.
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轴对称中几何动点最值问题总结
轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。
比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；
（2）三角形两边之和大于第三边；
（3）垂线段最短。
初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。
下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1）两点一线的最值问题: （两个定点+ 一个动点）
问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
1. 如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC 边上一点,
若AE=2,EM+CM的最小值为( )
A．4 B.8 C. D.
2.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15° B.22.5° C.30° D. 45°
3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是_____________.
4.（2006•河南）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_____________.
5.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是( )
A． B. C. D. 10
6..（2009•抚顺）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这
个最小值为（）
A．2√3 B. 2√6 C. 3 D. √6
（2）一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点）
问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。
核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。
变异类型：
例1 ：如图6，接力赛场上，甲同学站在L1、L2两条交叉跑道之间的任意一点A 处，要将接力棒传给站在L1跑道上的乙同学，乙同学要将接力棒传给站在L2跑道上的丙同学，丙同学跑回A处，试找出乙丙同学所站的最佳位置使比赛的路程最短。
l2
1. 如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、。