《动力学分析中的传递矩阵法》
《动力学分析中的传递矩阵法》教学文案
汇报提纲
一、传递矩阵法原理 二、传递矩阵法计算步骤 三、传递矩阵法应用举例
一、传递矩阵法原理
传递矩阵法属于一种半解析数值方法。基本思想是把整体结 构离散成若干个子单元的对接与传递的力学问题，建立单元 两端之间的传递矩阵，利用矩阵相乘对结构进行静力及动力 分析。 其应用领域涵盖结构的静力分析、动力特性分析（模态分析 、稳定性分析）。
传递矩阵法具有力学概体动力学方程等优点，尤其是可以方 便地进行输流管道系统受迫振动响应的计算。
一、传递矩阵法原理
核心在于传递，传递矩阵指的是每个单元的左右两端状态矢量 之间的关系，实则是一个线性方程组。传递矩阵包括场矩阵和 点矩阵（集中质量、分支点、坐标转换点）。
2u t2
a2
2u x2
分离变量，将偏微分方程转化为常微分方程，求其通解
u(x,t)U(x)eit
U (x ) C c o x sD six n
由通解求出状态矢量中其他状态矢量。
F u (x ) Ed d S (x U )x C E sS ix n D EcS o xs
写成矩阵形式。
U (x )c o sx s inx C C F u (x ) E S s inxE S c o sx D [B (x )] D
则场传递矩阵为：
JXB(x)B1(0)
cosx E Ssinx
sinx 1 E Scosx 0
0 E S 1 E cS ossinxx
c 1 E o S s sin xx
三、传递矩阵法应用举例
3.1 管柱结构的传递矩阵法
边界条件：一端固定，一端自由
Z1,00
FT u1,0
Z(x)B(x)a
消去未知参数a， 总的关系式为： 得出传递矩阵：
传输矩阵方法
(b ) ky kx ky kx ky kx
图1.Dirac点K 附近波矢圆上单层(左),双层(中)和三层(右)石墨烯 的赝自旋矢量旋转图.图中单层赝自旋旋转一次,双层赝自旋旋转 两次而三层旋转三次.第一行表示导带中赝自旋矢量,第二行表示 价带中赝自旋矢量,其方向正好与导带中的方向相反.
2 2
假定势垒边缘相当陡峭且在晶格尺度上光滑,则不引起 能 谷 间 散 射,那 么 我 们 只 需 研 究 一 个 能 谷K 的 散 射. 由 于 势 函 数 与 坐 标y 无 关,则 粒 子 的 波 函 数 可 写 为ψ (r ) = ψ (x)eiky y .二维矩阵表示中, 对无势垒区域的波函数的x分 量满足本征值方程 2 0 (kx − iky )2 ψ1 (x) ψ1 (x) =E − 2m (kx + iky )2 0 ψ2 (x) ψ2 (x) (5) 这里E 是费米能.式(5)可写为下面的两个微分方程 d + ky dx d − ky dx 由(6)(7)消去ψ2 (x)有 d2 2 − ky dx2
其中nJ = −(cos(Jφ), sin(Jφ))表示赝自旋极化轴,在二维 波矢平面上的极化角φ = arctan(ky /kx ),波矢k与动量p与 的 关 系 为p = k.赝 自 旋 矢 量σ = (σx , σy )是 两 维 泡 利 矩 阵.在 上 面 的 表 示 中, J 表 示 石 墨 烯 的 层 数,也 叫 手 性 自由度,它联系各层的电子密度,比如对单层J = 1,对双 层J = 2,等等.
以后的研究进一步指出J 可表示赝自旋在倒空间的缠 绕数.这里赝自旋矢量描述粒子两分量波函数的相对相 位,J 表示当电子波矢绕狄拉克点作一次完全旋转时赝自旋 矢量经历的旋转次数.正如图1所示,在k空间对单层石墨烯 它是厄米和么正算符,本征值为±1.不存在质量项时,螺旋 当波矢绕Dirac点K 旋转一周,赝自旋矢量的方向σ 也旋转 1
传递矩阵法在动力传动系统扭振分析中的应用
收稿日期 : 2009 - 11 - 16 作者简介 : 冯栋梁 (1983 - ) , 男 , 硕士研究生 , 研究方向为车辆动力学仿真技术.
·42·
车辆与动力技术
2010年
1 关于 JAVA 语言
JAVA 是一种高级的面向对象的程序设计语言 , 自 1995年由 Sun 公司推出后 , 不断得到发展和完 善 , 并以其独有的特点逐渐风靡全球 1在国外 , 50%以上的程序使用了 JAVA 语言编写 ; 在国内 , 最近几年用 JAVA语言编程也越来越成熟和普遍 1
import javax1 sw ing1 table13 ; ∥用于数据的表 格模式控制与输出
…∥省略的其他一些类库的导入
public void creatable ( ) {
…∥里面是用于创建显示数据的表格 } p rivate classMTable extends AbstractTableModel { …∥里面是继承抽象表格模式后自己的表格模式 } p rivate void creatable ( ) { ∥用于把频率和振幅 求出并显示在表格中 …∥省略一些图形用户界面的代码 p rivate double frequencyCaculate ( ) {
鉴于 JAVA 语言的如上特点 , 作者采用 JAVA 语言进行编程 , 实现了通过传递矩阵法求解车辆动 力传动系统扭振特性的功能 1
2 传递矩阵法的算法与编程
传递矩阵法历史悠久 , 自 20世纪 40年代提出 后逐步发展 , 不断完善 1其基本思想就是根据问题 的要求 , 将系统离散化为不同的独立单元 , 用每个 单元端面的物理量建立状态向量 , 并确定各单元两 端面状态向量的传递关系 , 从而形成单元传递矩 阵 , 最后利用相邻单元的协调条件和系统的边界条 件求解 1
传递矩阵法
传递矩阵法是研究转子系统动力学问题的有效手段。
传递矩阵法还具有其它方法(如摄动有限元素法)无法比拟的优点，例如，在做转子系统的临界转速、阻尼固有频率和稳定性计算分析时，由于流体密封交叉刚度、油膜轴承、阻尼项往往是不对称的，再加上陀螺力矩的影响；这样，用随机有限元素法形成的单元刚度矩阵和系统总体刚度矩矩阵往往也是不对称的，阻尼也不可以简单地以小阻尼或比例阻尼系统来替代，求解这样一个非对称系统的复特征值问题，目前还没有一个较为理想的方法。
而传递矩阵法没有随机有限元法在求解这些的问题时带来的这些困难。
因此，传递矩阵法在转子系统动力学问题的研究中占有主导的地位。
求解任意分支结构动力学问题的传递矩阵方法
ｐ ａ ｒ ｅ ｄ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｏ ｓ ｅ ｗ ａ ｙ ｓ ｂ ｅ ｆ ｏ ｒ ｅ ，ｔ ｈ ｉ ｓ ｗ ａ ｙ ｗ ｏ ｕ ｌ ｄ ｎ ｅ ｅ ｄ ｌ ｅ ｓ ｓ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｄ ｅ ｇ ｒ ｅ ｅ ｓ ，ｂ ｅ ｅ ａ ｓ ｉ ｅ ｒ ａ ｎ ｄ ｇ ａ ｉ ｎ ｍｕ ｃ ｈ ｍｏ ｒ ｅ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ａ ｗａ ｙ ｏ ｆ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｓ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ｏ ｆ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ ａ ｒ ｂ ｉ ｔ ｒ ａ ｒ ｙ ｂ ｒ ａ ｎ ｃ ｈ ｅ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｅ ｒ Ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ Ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｗａ ｓ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ． Ａ ｄ ｏ ｍｉ ｎ ａ ｎ ｔ ｃ ｈ ａ ｉ ｎ ｗａ ｓ ｓ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎ ａ ｎ ａ ｒ ｂ ｉ ｔ ｒ ａ ｙ ｒ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗ ｉ ｔ ｈ ｂ ｒ ａ ｎ ｃ ｈ ｅ ｓ ，ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｅ ｒ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｂ ｅ ｔ ｗ ｅ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｔ ｅ ｖ ｅ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ａ ｔ ｂ ｏ ｔ ｈ ｓ ｉ ｄ ｅ ｓ ｏ ｆ ｅ ａ ｃ ｈ ｂ ｒ ａ ｎ ｃ ｈ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｄ ｏ ｍｉ ｎ ａ ｎ ｔ ｃ ｈ ａ ｉ ｎ Ｗ ａ ｓ
第7章 补充01—传递矩阵法分析
3)
2 4
J
2
k
2
2
J
4
J k
4 2 J
k
4
3
2
1 J k
2)
2020年10月18日
X S X R
R
i 《振i动力i学1》
1
Si 2 Ji
1/ ki
1 2 (Ji / k8 i )
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
两端边界条件： T1L T3R 0
(i)
i
mi 1
mi
li Ei Ii
第 i 个梁段受力分析
平衡条件：
FL s,i
FR s,i1
M
L i
MR i1
FsR,i1li
梁段两端位移和转角分析
设第i个梁段距离左端x远的截面的 弯矩、转角和挠度分别为：
M i (x)，i (x)，yi (x)
第 i 个单元
li
y
M
L i
L i
FR s,i1
MR i 1
J2
令： 1 1
第一个圆盘左端状态：
T
L 1
1 0
第一个圆盘右端状态：
T
R 1
1
2
J
01 1
1 0
2J
k2 J3
2020年10月18日
X
R i
SiP
X
L i
《振动力学》
SiP
1
2 Ji
7
0 1
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
k1 k2 k J1 J2 J J3 2J
X
R i
SiP
SiF
X
R i 1
传递矩阵法
第 i 个梁段左端与第i-1梁段右端状态变量的传递关系：
1 li li /(2 Ei I i ) li /(6 Ei I i ) y y 2 0 1 li /( Ei I i ) li /(2 Ei I i ) 0 0 M M 1 li 0 1 Fs i 0 0 Fs i 1
M iL
：盘转角
2
M：盘侧面扭矩
i i 当圆盘以频率 作简谐振动时，有：
代入圆盘运动微分方程即：
M iR M iL 2 Iii
2 I M i i 1
R
第i个圆盘左右两侧状态向量的传递关系： 点传递矩阵
1 H 2 Ii
（2）梁的横向弯曲振动系统
ZiL1 ZiR1
(i 1)
i
ZiL
ZiR
(i )
mi 1
mi
li Ei I i
第 i 个单元 传递矩阵法可用于分析梁的横向弯曲振动 一个典型单元包括一个无质量梁段和一个集中质量。 第 i 个梁段长 li，抗弯刚度 EiIi，集中质量为mi。 状态变量构成：
X (y
ZiR HiP ZiL ZiL HiF ZiR 1
第i-1个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系：
R Z iR H iP Z iL H iP H if Z iR H Z 1 i i 1
单元传递矩阵
1 Hi H H 2 I i
P i F i
Z0R H0P Z0L , Z1LA H1f Z0R , Z1RA H1P Z1LA , Z2R H2Z1RA , Z3R H3Z2R
转子动力学作业(传递矩阵法)
%求解转子系统前三个临界转速和主振型的传递矩阵法clcclear%等截面轴参数l1=0.12;d=0.04;A=pi*d*d/4;%轮盘参数D=0.5;h=0.025;%盘轴材料参数（忽略轴的质量）a=1;u=0.3;rou=7800;E=2.0e11;G=E/(2*(1+u));I=pi*(d^4)/64;K1=2.0e7;v1=6*E*I/(a*G*A*l1*l1);mi=rou*pi*D^2/4*h;%轮盘的集质量Jp=mi*D^2/8; Jd=Jp/2;Ji=Jp-Jd;%参数的数组形式L=[l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 0 0];M=[0 mi mi mi mi mi mi 0 0 0 0 0 mi mi 0];K=[K1 0 0 0 0 0 0 K1 0 0 0 K1 0 0 0];v=[v1 v1 v1 v1 v1 v1 v1 v1 v1 v1 v1 v1 v1 0 0];J=[0 Ji Ji Ji Ji Ji Ji 0 0 0 0 0 Ji Ji 0];k=0;Tit=['第一阶频率的振型和弯矩图';'第二阶频率的振型和弯矩图';'第三阶频率的振型和弯矩图'];for w=0:0.01:4000;for i=1:15;T(:,:,i)=[1+(L(i)^3)*(1-v(i))*(M(i)*w^2-K(i))/(6*E*I) L(i)+L(i)^2*J(i)*w^2/(2*E*I) L(i)^2/(2*E*I) L(i)^3*(1-v(i))/(6*E*I);(L(i)^2)*(M(i)*w^2-K(i))/(2*E*I) 1+L(i)*J(i)*w^2/(E*I) L(i)/(E*I) L(i)^2/(2*E*I);L(i)*(M(i)*w^2-K(i)) J(i)*w^2 1 L(i);M(i)*w^2-K(i) 0 0 1];endH=T(:,:,1);for i2=2:15;H=T(:,:,i2)*H;endF=H(3,1)*H(4,2)-H(3,2)*H(4,1);if F*(-1)^k < 0 %求解临界转速k=k+1;wi(k)=w;w=wi(k)ni(k)=wi(k)*30/pi;endendfor i1=1:3;w=wi(i1);for j=1:14;T(:,:,j)=[1+(L(j)^3)*(1-v(j))*(M(j)*w^2-K(j))/(6*E*I) L(j)+L(j)^2*J(j)*w^2/(2*E*I) L(j)^2/(2*E*I) L(j)^3*(1-v(j))/(6*E*I);(L(j)^2)*(M(j)*w^2-K(j))/(2*E*I) 1+L(j)*J(j)*w^2/(E*I) L(j)/(E*I) L(j)^2/(2*E*I);L(j)*(M(j)*w^2-K(j)) J(j)*w^2 1 L(j);M(j)*w^2-K(j) 0 0 1];endH=T(:,:,1);for j=2:15;H=T(:,:,j)*H;endb=-H(4,1)/H(4,2);X(:,1)=([1 b 0 0]');for n=2:16;X(:,n)=T(:,:,n-1)*X(:,n-1); %相邻两质点右边的传递关系endfor j1=1:15;y(j1)=X(1,j1);z(j1)=X(3,j1);x(j1)=(j1-1)*l1;endy(16)=X(1,16);x(16)=1.56;z(16)=X(3,16);y=y/max(abs(y));%归一化z=z/max(abs(z));subplot(3,1,i1)plot(x,y,'b-',x,z,'r:')title(Tit(i1,:))xlabel('轴长'),ylabel('不平衡值')axis([0,1.56,-1.2,1.2])grid onz;endlegend('振型','弯矩') ni wi0.511.5-101第一阶频率的振型和弯矩图轴长不平衡值00.511.5-101第二阶频率的振型和弯矩图不平衡值0.511.5-101轴长不平衡值ni = 1.0e+004 *0.1468 0.2065 0.5254 1.3837 2.3759 2.3832 3.1036 3.5473 wi = 1.0e+003 *0.1537 0.2162 0.5502 1.4490 2.4881 2.4956 3.2501 3.7147%转子系统的不平衡响应clc clearww=[153.68 216.23 550.22 1449 2488.1 2495.6 3250.1 3714.7] %前8阶固有频率 n=ww*30/pi %前8阶转频 wi=[0.9*ww(1) (ww(1)+ww(2))/2] %0.9w(1)和（w(1)+w(2))/2） %等截面轴参数 l1=0.12; d=0.04;A=pi*d*d/4; %轮盘参数 D=0.5;h=0.025;%盘轴材料参数（忽略轴的质量） rou=7800;E=2.0e11;I=pi*(d^4)/64;K1=2.0e7;m=rou*pi*D^2/4*h;%轮盘的集质量Jp=m*D^2/8; Jd=Jp/2;J1=Jp-Jd;u1=0.8e-4;%参数的数组形式L=[l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1 l1];M=[0 m m m m m m 0 0 0 0 0 m m];K=[K1 0 0 0 0 0 0 K1 0 0 0 K1 0 0];J=[0 J1 J1 J1 J1 J1 J1 0 0 0 0 0 J1 J1];Tit=['wi(1)时的振动响应图';'wi(2)时的振动响应图'];U=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u1];for i=1:2w=wi(i);n(i)=w*30/pifor j=1:14;T(:,:,j)=[1+(L(j)^3)*(M(j)*w^2-K(j))/(6*E*I) L(j)+L(j)^2*J(j)*w^2/(2*E*I) L(j)^2/(2*E*I) L(j)^3/(6*E*I) L(j)^3/(6*E*I)*U(j)*w^2; (L(j)^2)*(M(j)*w^2-K(j))/(2*E*I) 1+L(j)*J(j)*w^2/(E*I) L(j)/(E*I) L(j)^2/(2*E*I) L(j)^2/(2*E*I)*U(j)*w^2; L(j)*(M(j)*w^2-K(j)) J(j)*w^2 1 L(j) L(j)*U(j)*w^2; M(j)*w^2-K(j) 0 0 1 U(j)*w^2;0 0 0 0 1];endG=T(:,:,1);for j1=2:14;H=T(:,:,j1)*G;G=H;endD1=H([3 4],[1 2]);B=H([3 4],[5 2]);B(:,1)=-B(:,1);C=H([3 4],[1 5]);C(:,2)=-C(:,2);b=det(B)/det(D1); c=det(C)/det(D1);X(:,1)=([b c 0 0 1]');for n=2:14;X(:,n)=T(:,:,n-1)*X(:,n-1); %相邻两质点右边的传递关系endy(1)=X(1,1);x(1)=0;for j2=2:13;y(j2)=X(1,j2);x(j2)=x(j2-1)+L(j2-1);endy(14)=X(1,14);x(14)=1.56;xi=0:0.05:1.56;yi=interp1(x,y,xi,'spline'); subplot(2,1,i)plot(xi,yi, 'b-o','LineWidth',1.5) title(Tit(i,:))xlabel('轴长'),ylabel('不平衡值') grid on end00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6-6wi(1)时的振动响应图轴长不平衡值00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6x 10-6wi(2)时的振动响应图轴长不平衡值ww = 1.0e+003 *0.1537 0.2162 0.5502 1.4490 2.4881 2.4956 3.2501 3.7147n = 1.0e+004 *0.1468 0.2065 0.5254 1.3837 2.3760 2.3831 3.1036 3.5473wi = 138.3120 184.9550n = 1.0e+003 * 0.0150 1.76620.20.40.60.81 1.2 1.41.6-101第一阶频率的振型和弯矩图轴长不平衡值0.20.40.60.81 1.2 1.41.6-101第二阶频率的振型和弯矩图不平衡值0.20.40.60.811.21.41.6-101轴长不平衡值0.511.5-101第一阶频率的振型和弯矩图轴长不平衡值0.511.5-101第二阶频率的振型和弯矩图不平衡值0.511.5-101轴长不平衡值0.511.5-101第一阶频率的振型和弯矩图轴长不平衡值0.511.5-101第二阶频率的振型和弯矩图不平衡值0.51 1.5-101轴长不平衡值00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6x 10-6wi(1)时的振动响应图轴长不平衡值00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6-6wi(2)时的振动响应图轴长不平衡值00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6x 10-6wi(1)时的振动响应图轴长不平衡值00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6-6wi(2)时的振动响应图轴长不平衡值。
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三、传递矩阵法应用举例
3.2 输液管道的传递矩阵法
横向振动微分方程：
直管横向运动的单元传递矩阵
4 4矩阵
三、传递矩阵法应用举例
3.2 输液管道的传递矩阵法
同时考虑直管单元的轴向振动和横向振动，则单元的场 传递矩阵为：
8 8矩阵
三、传递矩阵法应用举例
3.2 输液管道的传递矩阵法
弯曲处的点传递矩阵为：
2 2u 2 u a t 2 x 2
分离变量，将偏微分方程转化为常微分方程，求其通解
u( x, t ) U ( x)e it
U ( x) C cos x D sin x
由通解求出状态矢量中其他状态矢量。
Fu ( x) ES dU ( x) CES sin x DES cos x dx
三、传递矩阵汇报提纲
一、传递矩阵法原理 二、传递矩阵法计算步骤
三、传递矩阵法应用举例
一、传递矩阵法原理
传递矩阵法属于一种半解析数值方法。基本思想是把整体结 构离散成若干个子单元的对接与传递的力学问题，建立单元 两端之间的传递矩阵，利用矩阵相乘对结构进行静力及动力 分析。 其应用领域涵盖结构的静力分析、动力特性分析（模态分析 、稳定性分析）。 传递矩阵法具有力学概念清晰，逻辑性强，建模灵活，计算效 率高，无需建立系统的总体动力学方程等优点，尤其是可以方 便地进行输流管道系统受迫振动响应的计算。
对于管单元i左侧节点而言，x=0。
U ( x) C [ B ( x 0)]1 D Fu ( x) L
对于管单元i右侧节点而言，x=l。
U ( x) C [ B( x l )] F ( x) R D u
U x B( x) B1 (0)
二、传递矩阵法计算步骤
2.2 剩余矩阵的构建
根据边界条件，构造剩余矩阵。由振动理论可知，结构共振的 条件是剩余矩阵的行列式为0，依此求解得结构的固有频率。
关于剩余矩阵的选取，通俗的讲，剩余矩阵的行数为末端状态 矢量为0的行数（方程组右端为0），其列数取初始状态矢量不
消去未知的常数
U ( x) U ( x) U ( x) [ B( x l )][ B( x 0)]1 [Tbend ] F ( x) R L L u Fu ( x) Fu ( x)
则场传递矩阵为：
J X B ( x) B 1 (0) 1 1 cos x sin x sin x 1 0 cos x ES 0 ES ES sin x ES cos x ES sin x cos x
为0的行数（方程组变量）。这样我们相当于构造了一个齐次
方程组，保证此齐次方程组有非零解的条件是，系数矩阵的行 列式为0。
二、传递矩阵法计算步骤
2.3 振型分析及稳态响应分析 各阶固有频率求得，则传递矩阵确定。求得初始状态矢量，将 矩阵依次相乘，便可得到各个节点处的状态矢量，利用计算机便可 绘制出其振型图。
一、传递矩阵法原理
核心在于传递，传递矩阵指的是每个单元的左右两端状态矢量
之间的关系，实则是一个线性方程组。传递矩阵包括场矩阵和 点矩阵（集中质量、分支点、坐标转换点）。
二、传递矩阵法计算步骤
2.1 构造传递矩阵
分离变量，将连续体的偏微分方程转化为常微分方程，求其通解。
z( x) Z ( x)eiwt
cos L 0
=
( Fu 0)
a
cos
L
a
0
解得管道振动固有频率为：
ia (i 1,3,5) 2L
三、传递矩阵法应用举例
3.2 输液管道的传递矩阵法
三、传递矩阵法应用举例
3.2 输液管道的传递矩阵法
轴向振动微分方程：
直管轴向运动的单元传递矩阵：
4 4矩阵
写成矩阵形式。
sin x C U ( x) cos x C [ B( x)] F ( x) ES sin x ES cos x D D u
三、传递矩阵法应用举例
3.1 管柱结构的传递矩阵法
还可进一步地求解任意激励下系统的动力响应，包括瞬时响应
和稳态响应。如果系统受到频率为 的简谐激励，则将以同样的
频率 做稳态振动，振幅与相位依赖于 。基于这一规律，可将 传递矩阵法应用到稳态强迫振动和静止状态（ =0）的研究。
三、传递矩阵法应用举例
3.1 管柱结构的传递矩阵法
管柱纵向振动波动方程
三、传递矩阵法应用举例
3.1 管柱结构的传递矩阵法
边界条件：一端固定，一端自由
Z1,0 0 Fu 1,0
T
Z1, 2 U 0
T 1, 2
代入总关系式，得： 1 0 U cos L sin L 0 ES 0 J L F Fu 1,0 1, 2 u 1, 0 cos L ES sin L 剩余矩阵为：
Z ( x) A1B11 ( x) A2 B12 ( x) An B1n ( x)
代入微分方程组，求出状态矢量中的其他状态变量，写成矩阵形 式为：
Z ( x) B( x) a
消去未知参数a， 总的关系式为： 得出传递矩阵：
Zl Z (0) B(0)a a B1 (0)Zl Z ( x) B( x)B1 (0)Zl