第六讲：以图代数
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第六讲 平面问题(三)——三角形单元综合举例、收敛准则
5 三节点三角形单元解平面问题
5.3 简单三角形单元综合举例
• • 图示一平面应力问题。结构为直角三角形薄片，厚度为h。承受 集中载荷P。 有限元离散化结构如图所示。直角三角形薄片的每边中点取为 节点，共划分4个单元、6个节点，编号如图。 各单元节点定义如下表：
•
单元 1 2 3 4
l 1 2 2 3
1 kll 1 kml 1 knl 0 0 0 1 klm 1 kln 1 1 kmm kmn 1 1 knm knn
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 kll kln 2 2 0 0 0 + 0 knl knn 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 kml kmn 0 0 0 0 0 0
由于单元3、4跟单元1的几何形 状和局部节点编号顺序完全相同， 因此单元刚度矩阵相等：
[k ]3 = [k ]4 = [k ]1
这里将单元刚度矩阵子块的局部 编号和整体编号对照后，可以方 便总刚度矩阵的叠加！
二、整体刚度矩阵的叠加 1) 单元刚度矩阵扩大成整体规模： 先以单元2为例。 单元 1 2 3 4 l 1 2 2 3 m 2 5 4 5 n 3 3 5 6
整体刚度矩阵列式中各子块的局部编号改为整体编号：
1 1 1 kll klm kln 0 0 0 1 1 2 3 1 2 3 2 3 kml kmm + kll + kll kmn + kln klm klm + kln 0 1 1 2 1 2 4 2 4 4 knl knm + knl knn + knn + kll 0 knm + klm kln [K] = 3 3 3 kml 0 kmm kmn 0 0 2 3 2 4 3 2 3 4 4 0 kml + knl kmn + kml knm kmm + knn + kmm kmn 4 4 4 0 knl 0 knm knn 0
5.3 简单三角形单元综合举例
• • 图示一平面应力问题。结构为直角三角形薄片，厚度为h。承受 集中载荷P。 有限元离散化结构如图所示。直角三角形薄片的每边中点取为 节点，共划分4个单元、6个节点，编号如图。 各单元节点定义如下表：
•
单元 1 2 3 4
l 1 2 2 3
1 kll 1 kml 1 knl 0 0 0 1 klm 1 kln 1 1 kmm kmn 1 1 knm knn
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 kll kln 2 2 0 0 0 + 0 knl knn 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 kml kmn 0 0 0 0 0 0
由于单元3、4跟单元1的几何形 状和局部节点编号顺序完全相同， 因此单元刚度矩阵相等：
[k ]3 = [k ]4 = [k ]1
这里将单元刚度矩阵子块的局部 编号和整体编号对照后，可以方 便总刚度矩阵的叠加！
二、整体刚度矩阵的叠加 1) 单元刚度矩阵扩大成整体规模： 先以单元2为例。 单元 1 2 3 4 l 1 2 2 3 m 2 5 4 5 n 3 3 5 6
整体刚度矩阵列式中各子块的局部编号改为整体编号：
1 1 1 kll klm kln 0 0 0 1 1 2 3 1 2 3 2 3 kml kmm + kll + kll kmn + kln klm klm + kln 0 1 1 2 1 2 4 2 4 4 knl knm + knl knn + knn + kll 0 knm + klm kln [K] = 3 3 3 kml 0 kmm kmn 0 0 2 3 2 4 3 2 3 4 4 0 kml + knl kmn + kml knm kmm + knn + kmm kmn 4 4 4 0 knl 0 knm knn 0
(修改2014)第六讲：有限与无限
一、创设情境：有无限个房间的旅馆客满了 还要再安排新来的客人住下
1 号 房 间 的 客 人 搬 到 2 号 房 间，2 号 房 间的客人
“有无限个房间”的旅馆
1. “客满”后又来1位客人
1 2 3 4 ┅ k ┅ ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ 2 3 4
空出了1号房间
14
5 ┅ k+1 ┅
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
注意“有限个”的条件）
无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小量
（甚至可以是无穷大量）。
54
2. 联系
在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往
往很重要。
1）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命
题对无限个自然数均成立。
2）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。
如：
lim an 自然数 ； N ，都
4. [思考题] 该旅馆客满后又来了无
穷个旅游团，每个团中都有无穷个客
人，还能否安排？
19
思考题解答
20
答 ：能。 法I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进 入1，2，3，4，5，…各号房间顺序入住，则所有人都有
房间住。
一团： 1.1 → 1.2 ↙ 二团： 2.1 ↙ ↙ 2.2 ↙ 1.3 ↙ 2.3 2.4 …… 1.4 ……
50
在“无限”的情况下，加法结合律不
再成立。如
1 (1) 1 (1) 1 (1) [1 (1)] [1 (1)] [1 (1)] 1 [(1) 1] [(1) 1] [( 1) 1]
0 1
51
有限半群若满足消去律则一定是群。
[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推 出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。
线性代数各章知识及脉络图
M M
0 0
0
,n 3
Dn
A
B
a1
b1
,n 1
a1 a2 b1 b2 , n 2
-5-
○2 加边法专辑
加边法的应用：通过升阶获得一些特殊的元素值，从而消去某些元素，使得行列式形式更加简单且特殊，
从而实现计算的简化。
此种方法其实是反向利用 Laplace 展开定理，看似复杂化，其实阶数的增加反倒可以将行列式简单化，更 易发现规律。同时应当注意加边的类型及加边后行列式值不能改变。
1 n2
○3 爪型行列式专辑
爪型行列式形如：
方法：将 D 的第 i+1 列乘以 ci i 1, 2,L , n都加到第 1 列，得
ai
有些行列式经过适当的变化可以化为行列式，再采用上述方法计算。
a1 x x L x a2 x L 【例】： Dn x x a3 L M M MO
x x xL
【例】：计算行列式
令 Dn C C AB ，
a2 1 0 L
a2 1 0 L
C
M
MM
a2 1 0 L
a2 1 0 L
0 1 1 L 0b1 b2 L M 0 0 L 0 M M 0 0 0 L
1 1
bn1 bn
0
0
【例】：
1、设行列式 det A 的元素为 aij ，行列式
n
试证： det D det A x Aij ，其中 Aij 为 aij 在 det A 中的代数余子式。 i, j1
证明：把 det D 升阶得到
n
n
n
最新06集合代数教学讲义PPT课件
相等的符号化表示为： A＝B AB ∧ BA
如果A与B不相等，则记作A≠B。
真子集
定义6.3 设A，B为集合，如果 BA 且 B≠A，则称B是 A的真子集，记作BA。
真子集的符号化表示为 BA BA ∧ B≠A
如果B不是A的真子集，则记作B A。 例如：N N
空集(empty set)
定义6.5 设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集， 记作P(A)(或PA，2A)。
P(A)＝{x | xA}
若A是n元集，则P(A)有 2n 个元素。
全集
定义6.6 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集 合的子集，则称这个集合为全集，记作E。
特定对 象
–26个英文字母的集合；
–坐标平面上所有点的集合；
–… …
集合通常用大写的英文字母来标记。
常见的数的集合（固定的符号）
N
Z
Q
R
C
集合的表示方法
表示一个集合的方法主要有两种：列元素法和谓词表示法。
列元素法(roster)是列出集合的所有元素，元素之间用逗号 隔开，并把它们用花括号括起来。
隶属和包含的说明
隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某 些集合可以同时成立这两种关系。
例如 A＝{a，{a}}和{a} 既有{a}∈A，又有{a}A。 前者把它们看成是不同层次上的两个集合， 后者把它们看成是同一层次上的两个集合。
集合相等(equal)
定义6.2 设A，B为集合，如果 AB 且 BA，则称A与 B相等，记作A＝B。
6.1 集合的基本概念
集合(Set)是不能精确定义的基本概念。
–所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼 此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体
如果A与B不相等，则记作A≠B。
真子集
定义6.3 设A，B为集合，如果 BA 且 B≠A，则称B是 A的真子集，记作BA。
真子集的符号化表示为 BA BA ∧ B≠A
如果B不是A的真子集，则记作B A。 例如：N N
空集(empty set)
定义6.5 设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集， 记作P(A)(或PA，2A)。
P(A)＝{x | xA}
若A是n元集，则P(A)有 2n 个元素。
全集
定义6.6 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集 合的子集，则称这个集合为全集，记作E。
特定对 象
–26个英文字母的集合；
–坐标平面上所有点的集合；
–… …
集合通常用大写的英文字母来标记。
常见的数的集合（固定的符号）
N
Z
Q
R
C
集合的表示方法
表示一个集合的方法主要有两种：列元素法和谓词表示法。
列元素法(roster)是列出集合的所有元素，元素之间用逗号 隔开，并把它们用花括号括起来。
隶属和包含的说明
隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某 些集合可以同时成立这两种关系。
例如 A＝{a，{a}}和{a} 既有{a}∈A，又有{a}A。 前者把它们看成是不同层次上的两个集合， 后者把它们看成是同一层次上的两个集合。
集合相等(equal)
定义6.2 设A，B为集合，如果 AB 且 BA，则称A与 B相等，记作A＝B。
6.1 集合的基本概念
集合(Set)是不能精确定义的基本概念。
–所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼 此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体
第6讲 第三章 电阻电路的一般分析(一)
2. 独立方程的列写
1.从电路的n个结点பைடு நூலகம்任意选择n-1个结点列写KCL方程 2.选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程
n=4 b=6
当一条支路仅含电流源而不存 在与之并联的电阻时，无法将 支路电压以支路电流表示
元件VCR
KCL
求解
KVL
3. 支路电流方程的列写步骤
• 标定各支路电流（电压）的参考方向； • 从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程 • 选择基本回路，结合元件的特性方程列写b-(n-1)个KVL方程 求解上述方程，得到b个支路电流； • 进一步计算支路电压和进行其它分析 需要注意的是： 支路电流法列写的是 KCL和KVL方程，所以方程列写 方便、直观，但方程数较多，宜于利用计算机求解。人工 计算时，适用于支路数不多的电路。 若将支路的电流用支路电压表示，然后带入KCL方程，连 同支路电压的KVL方程，可以得到以支路电压为变量的b个方程 ——支路电压法
第六讲 电阻电路的一般分析 （一）
• 知识点:
1. 电路的图 2. KCL和KVL的独立方程数 3. 支路电流法、网孔电流法
• 教学目标:
1. 了解电路分析中一些常用的名词 2. 掌握KCL和KVL的独立方程数及其在电路求解中的应用 3. 理解支路电流法、网孔电流法进行电路分析的一般思路
1
电路的图
-I1-I2+I3=0 7I1-11I2+35I3=70 11I2-28I3=0
支路电流法特点： • 支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多的情况下可以 使用，由于支路电流法需要同时列写KCL和KVL方程，方程 数较多，且规律性不强，手工求解比较繁琐，也不便于计算 机编程求解。
网孔电流法
第六章-集合代数PPT课件
概括原理：集合{ x:P(x) }恰由那些满足性质谓词P(x) 的元素组成。即 x{ x:P(x) } （当且仅当） P(x)真 。
.
9
悖论(paradox)： 所谓悖论是指这样一个所谓的命题P，由P真立即推
出P假；由P假立即推出P真；即 P真P假 。
理发师悖论： 某偏远小山村仅有一位理发师。这位理发师规定： 他只给那些不给自己刮脸的人刮脸。 那么要问：这位理发师的脸由谁来刮？ 如果他给自己刮脸，那么，按他的规定，他不应该
.
20
定理2.空集是任一集合的子集。即 A 。
[证明].(采用逻辑法) x(x） (空集的定义)
x (x)
x(xxA) (由析取构成式及联结词归约有：
p( p q)(pq))
A 。
.
21
十.幂集(power set)： 定义1.幂集
一个集合A的所有子集构成的集合称为A的幂集。 记为 2A(或P(A) ) ，即
x(xA xB)x(xB xA)
x((xA xB)(xB xA)) (量词对 的分配律： xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)) )
x(xAxB)
A=B 所以包含关系是反对称的；
.
19
(3)ABBC x(xA xB)x(xB xC) x((xA xB) (xB xC))
(量词对 的分配律：xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)) ) x(xA xC) ( (假言) 三段论原则：(pq)(q r) p r ) AC 所以包含关系是传递的。
即 AB x(xA xB) 。
X
AB
真子集（proper subset）：
称A是B的真子集或者A真包含在B中（或者B真包含 A ），记为AB。即 AB ABAB。
.
9
悖论(paradox)： 所谓悖论是指这样一个所谓的命题P，由P真立即推
出P假；由P假立即推出P真；即 P真P假 。
理发师悖论： 某偏远小山村仅有一位理发师。这位理发师规定： 他只给那些不给自己刮脸的人刮脸。 那么要问：这位理发师的脸由谁来刮？ 如果他给自己刮脸，那么，按他的规定，他不应该
.
20
定理2.空集是任一集合的子集。即 A 。
[证明].(采用逻辑法) x(x） (空集的定义)
x (x)
x(xxA) (由析取构成式及联结词归约有：
p( p q)(pq))
A 。
.
21
十.幂集(power set)： 定义1.幂集
一个集合A的所有子集构成的集合称为A的幂集。 记为 2A(或P(A) ) ，即
x(xA xB)x(xB xA)
x((xA xB)(xB xA)) (量词对 的分配律： xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)) )
x(xAxB)
A=B 所以包含关系是反对称的；
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(3)ABBC x(xA xB)x(xB xC) x((xA xB) (xB xC))
(量词对 的分配律：xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)) ) x(xA xC) ( (假言) 三段论原则：(pq)(q r) p r ) AC 所以包含关系是传递的。
即 AB x(xA xB) 。
X
AB
真子集（proper subset）：
称A是B的真子集或者A真包含在B中（或者B真包含 A ），记为AB。即 AB ABAB。
学而思初中课程目录
学而思初中课程目录第一讲：数学一、分数与小数1. 分数的认识与运算2. 分数与小数的互化二、代数1. 代数基础知识2. 一元一次方程与不等式3. 二次根式与二次方程三、几何1. 直线、射线与线段2. 角的概念与性质3. 三角形的分类与性质4. 平行线与平行四边形5. 圆的认识与性质四、数据与概率1. 统计数据的收集与整理2. 数据的图表表示3. 概率的基本概念与计算第二讲：语文一、词语运用1. 词语的辨析与运用技巧2. 成语与俗语的理解与应用二、阅读理解1. 文章主旨与段落概括2. 阅读常见问答题解题技巧三、写作表达1. 作文结构与写作步骤2. 议论文与记叙文的写作技巧四、文学常识1. 古代文学名篇赏析2. 现代文学作品解读第三讲：英语一、基础语法运用1. 时态与语态的正确使用2. 名词、代词与形容词的用法二、听力与口语1. 听力技巧与短对话理解2. 日常口语表达与交流实践三、阅读与写作1. 阅读理解技巧与常见题型分析2. 书信写作与应用文练习四、文化与社交1. 英语国家文化与习俗2. 社交场合常用表达与礼仪第四讲：科学一、物质与能量1. 物质与化学变化2. 能量与能量转化二、生命与健康1. 细胞与生物多样性2. 健康与生长发育三、地球与宇宙1. 地球的结构与特点2. 太阳系与宇宙的奥秘四、科学探究1. 科学实验与观察方法2. 科学问题的提出与探索第五讲：历史一、中华文明1. 古代中国的起源与发展2. 中国古代文化的瑰宝二、世界史观1. 世界文明的交流与融合2. 世界历史重要事件与人物三、近现代史1. 近现代中国的社会变革2. 近现代世界的政治与经济四、历史思维与方法1. 历史资料的分析与运用2. 历史事件的评价与解读第六讲：地理一、自然地理1. 自然地理要素与特征2. 自然地理的作用与关系二、人文地理1. 人口与人口分布2. 城市与乡村的特点与变化三、地理知识与应用1. 地理信息系统与地图阅读2. 大气与水资源的保护与利用四、环境与可持续发展1. 环境问题与生态平衡2. 可持续发展的理念与实践以上是学而思初中阶段的课程目录，涵盖了数学、语文、英语、科学、历史和地理六个学科，旨在帮助学生全面发展各项能力。
第六讲第一原理计算方法简介及Materials Studio中Castep使用
第一原理常用计算软件 根据对势函数及内层电子的处理方法不同 主要分为两大类，一种是波函数中包含了 高能态和内层电子，而势函数只是原子核 的贡献，这称为全电子（all electron calculation）法，另一种处理方法是势函 数为原子核和内层电子联合产生的势，称 为离子赝势，波函数只是高能态电子的函 数，这称为赝势（pseudo-potential）法。
第一原理计算方法简介
及Materials Studio中Cestep使用
第一原理计算方法简介
第一性原理方法（First-principles method），有时候也称为从头计算（ab initio），其基本思想是将多原子构成的 体系当作电子和原子核（或原子实）组成的 多粒子系统，从量子力学第一性原理（多电 子体系的Schrö dinger方程）出发，对材料 进行“非经验性”的模拟。原则上，第一性原 理方法无可调经验参数，只用到几个基本物 理常数，如光速c、Planck常数h、电子电 量e、电子质量me以及原子的各种同位素的 质量，因此处理不同体系时候具有较好的可 移植性（transferability）。但是，在具 体实行时，仍依赖于具体近似方法的选取， 从而带来系统误差。
分子力学与分子动力学 MS.DISCOVER PASS MS.Amorphous Cell MS.Forcite MS.Forcite Plus MS.GULP MS.Equilibria MS.Sorption
量子力学 MS.Dmol3 MS.CASTEP MS.NMR CASTEP MS.VAMP 定量结构-性质关系 MS.QSAR MS.QSAR Plus MS.Dmol3 Descriptor
√
√
√ √
√
√ √
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（1）○+○+○+○=12 （ ）
（2）△+△+△=24 （ ）
（3）△+□=14
（）
观察发现：一个算式中只有 种图形时才能够算出图形所代表的数 字。
已知△＋○＝20，△=○+○+○，求△=？○=？ 使第1个算式只出现 同一个图形
练习1、已知△+☆=12 △=☆+☆+☆，求：△=？ ☆=？ 练习2、已知□+□+○＝28，○＝□+□，求○=？□=？
已知○+○+○=9 ，△+△+△+△=20，求：○=？ △=？ △-○=？
练习1
、已知：△+△+△+△＝24，○+○+○＝27，求：△=？○=？ △+2○=？
练习2
已知□+□+□+□=32，□-△=6，△+○+○=10，求○=？
【例题2】代入法（代换法）
请在能求出图形代表多少的算式后面打√，不能的打×
【例题精讲】
【复习】观察左边的算式，将它改写成乘法算式。 2+2+2+2 = 4+4+4+4+4 = △+△+△ = 几个几连加可以写成
【例题1】
口诀法：观察算式中有几个相同的图形，就可以用几的乘法口诀来 快速计算。如○+○+○=6，求○=？ 解：3个○相加=6，用算式表示 3×○=6，想口诀：二三得六，所以○=2
练习3
已知○+○+○+○+□+□=22 ○+○+○+○+□+□+□+□=32 求：○+□=（ ） □-○=（ ）
【例题5】
已知△、○、☆都不等于0，○代表的数是几？ △×○=☆ △+△+△=☆-△-△ ○=（ ）
练习1
已知 △、○、□都不等于0，求△=？ ○×△=□ ○+○+○=□-○ △=（ ）
第6讲 以图代数
二年级体验班第二讲 教师：马老师
【知识梳理】
一道数学算式题都是用运算符号和数组成的，如 3+6=9，2×3=6，15-6=9，18÷3=6，可有一种图形算 式，就是在算式中用图形来代表不同的数，要我们通 过计算把图形所代表的数求出来。
解答图形算式题，要根据加、减、乘、除的意义和各 种图形之间的关系来解答，通常要用口诀法、代换法、 合并法、分析法、推算法等等，最后得到结论。
练习3
已知☆+□+□+□＋○=19，☆+□+□+□＋○＋○＋○=27，求○=？
【例题3】合并法。 请在正确的结论后面打√，错误的打×
（1）△+□-△-□=0 （ ） （2）△+□-△＝□ （ ） （3）△+□+△-□＝△+△ （ ） 计算图形间的加减法和计算数字间的加减法一样，同种图形相减得0。
练习2
已知：☆×△=○，☆+☆+☆=○+☆，☆、△、○都 不等于0，△=（ ）
谢谢
【例题4】推算法
△+□=9 △+△+□+□+□=25 △＝（ ） □=（ ）
练习1
△+△+☆=10 ☆+☆+△+△+△+△+△+△=28 △=（ ） ☆=（ ）
练习1
△+△+☆=10 ☆+☆+△+△+△+△+2
已知○+☆+☆=10 ○+☆=8 ○=（ ） ☆= （）
将几个算式合并在一起可以消除一个图形，从而得出某个图形表示 几的算式。 已知△+□＝10，△－□＝2，求：△=？□=？
练习1
已知○＋□＝12， ○－□＝10， 求□=？○=？
练习2
已知□＋○＝14，□－○＝8，求□=？○=？□＋2○＝？
*练习3
已知○＋☆＝3，○＋□＝4，☆＋□＝5，求○＝？☆＝？□＝？