2.5 函数的奇偶性、周期性(第二课时)-2013届高考文科数学第一轮考点总复习PPT优质课件
高考数学第一轮基础复习 函数的奇偶性与周期性课件
又当 x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得 x∈[2,4]时， f(x)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝… ＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.
• 2．分段函数(2)判断奇偶性画图判断更方便 直观．(3)中到(※)后，验证f(－x)＋f(x)＝0 更方便些．
(2010·广东理，3)若函数 f(x)＝3x＋3－x 与 g(x)＝3x －3－x 的定义域均为 R，则( )
A．f(x)与 g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与 g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
解析：由fxx22－－fx1x1>0 知 f(x)在(－∞，0]上单调递增， 又 f(x)是偶函数，
故 f(x)在(0，＋∞]上单调递减， ∵3>2>1>0，∴f(3)<f(2)<f(1)． 又 f(x)为偶函数，∴f(3)<f(－2)<f(1)．
答案：f(3)<f(－2)<f(1)
已知函数 f(x)是以 2 为周期的偶函数，且当 x∈[0,1) 时，f(x)＝x2－1，则 f(2012)的值为________．
2．关于奇偶性的结论与注意事项 (1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在 函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义 的．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性 的必要条件． (2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、 是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是 奇函数又不是偶函数．
高考一轮复习教案函数的奇偶性与周期性
第三节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称易误提醒1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．必记结论1．函数奇偶性的几个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．有关对称性的结论：(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称．若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．[自测练习]1．函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数2．(2015·石家庄一模)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝()A．－ B.C．2D．－23．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.知识点二函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．必记结论定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|.若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)．则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．[自测练习]4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.考点一函数奇偶性的判断|判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝函数奇偶性的判定的三种常用方法1．定义法：2．图象法：3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．考点二函数的周期性|设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)．判断函数周期性的两个方法(1)定义法．(2)图象法．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2015)＋f(2017)的值为________．考点三函数奇偶性、周期性的应用|高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查．归纳起来常见的命题探究角度有：1．已知奇偶性求参数．2．利用单调性、奇偶性求解不等式．3．周期性与奇偶性综合．4．单调性、奇偶性与周期性相结合．探究一已知奇偶性求参数1．(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋)为偶函数，则a＝________.探究二利用单调性、奇偶性求解不等式2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()A.B.∪(1，＋∞)C.D.∪探究三周期性与奇偶性相结合3．(2015·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()A．(－1,4)B．(－2,0)C．(－1,0)D．(－1,2)探究四单调性、奇偶性与周期性相结合4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则() A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)函数性质综合应用问题的三种常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．2.构造法在函数奇偶性中的应用【典例】设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.[思路点拨]直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解．[方法点评]在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题．[跟踪练习]已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于()A．－26B．－18C．－10D．10A组考点能力演练1．(2015·陕西一检)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝－x＋log2＋1，则f＋f的值为()A．2B．－2C．0D．2log23．设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝，则f＝()A．0B．1C.D．－14．在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当0<x≤1时，f(x)＝2x，则f(2015)＝()A．－2B．2C．－D.5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为()A．{x|－1<x<0，或x>1}B．{x|x<－1，或0<x<1}C．{x|x<－1，或x>1}D．{x|－1<x<0，或0<x<1}6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)＝1，且对任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(x)，则f(2017)＝________.7．函数f(x)＝为奇函数，则a＝______.8．已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：①直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴；②f(x＋2)＝－f(x)；③当1≤x1<x2≤3时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，则f(2015)，f(2016)，f(2017)从大到小的顺序为________．9．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．10．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f<0的解集．B组高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数2．(2014·高考安徽卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝()A. B.C．0D．－3．(2015·高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝B．y＝x＋C．y＝2x＋D．y＝x＋e x4．(2015·高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a ＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a5．(2015·高考湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案:1.解析：由知x>1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．答案：C2.解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－)＝f()＝log2＝，故选B.答案：B3.解析：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.答案：04.解：f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝f(x)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－.答案：－考点一解：(1)由得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[解](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＋f(2015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(2017)＝f(1)＝log22＝1，f(－2015)＝f(2015)＝f(3)＝－＝－1，∴f(－2015)＋f(2017)＝0.答案：01.解析：由题意得f(x)＝x ln(x＋)＝f(－x)＝－x ln(－x)，所以＋x＝，解得a＝1.答案：12.解析：函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，又当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ln(1＋x)－，f(x)是单调递增的，故f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)，∴|x|>|2x－1|，解得<x<1，故选A.答案：A3.解析：∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，解得－1<a<4，故选A.答案：A4.解析：∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．答案：D【典例】[解析]易知f(x)＝1＋.设g(x)＝f(x)－1＝，则g(x)是奇函数．∵f(x)的最大值为M，最小值为m，∴g(x)的最大值为M－1，最小值为m－1，∴M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2.[答案]2解析：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8知f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，令F(x)＝f(x)＋8可知F(x)为奇函数，∴F(－x)＋F(x)＝0.∴F(－2)＋F(2)＝0，故f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0.∴f(2)＝－26.答案：A1.解析：f(x)在R上为奇函数?f(0)＝0；f(0)＝0f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，故选A.答案：A2.解析：由题意知，f(x)－1＝－x＋log2，f(－x)－1＝x＋log2＝x－log2＝－(f(x)－1)，所以f(x)－1为奇函数，则f－1＋f－1＝0，所以f＋f＝2.答案：A3.解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以f＝f＝f＝4×2－2＝－1，故选D.答案：D4.解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数的周期为3，所以f(2015)＝f(672×3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.答案：A5.解析：∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，从而有函数f(x)的图象如图所示：则有不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1<x<0或0<x<1}，选D.答案：D6.解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数f(x)的周期T＝3，则f(2017)＝f(1)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2017)＝f(2)＝1.答案：17.解析：由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.答案：－18.解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的函数，由③知f(x)在[1,3]上是减函数．所以f(2015)＝f(3)，f(2016)＝f(0)＝f(2)，f(2017)＝f(1)，所以f(1)>f(2)>f(3)，即f(2017)>f(2016)>f(2015)．答案：f(2017)>f(2016)>f(2015)9．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．10.解：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝0.又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若f<0＝f(1)，∴即0<x<1，解得<x<或<x<0.f<0＝f(－1)，∴∴x<－1，解得x∈?.∴原不等式的解集是.1.解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案：C2.解析：∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f＝0，即f＝f＋sin＝0，∴f＝，∴f＝f＝f＝.故选A.答案：A3.解析：选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C为偶函数，只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案：D4.解析：由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数得m＝0，则f(x)＝2|x|－1，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝2x－1递增，又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且0<log23<log25，则f(0)<f(log23)<f(log25)，即c<a<b.答案：C5.解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A.答案：A。
高考理数学一轮复习课件第二章第三节函数的奇偶性与周期性
答案 (1)1 (2)3
1-2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)=
1
2x
+
-1
1 ;(3)f(x)=
2
x2 -x
2xx,x,x00, ;(4)f(x)=x3sin
.
答案 (1)C (2)(-∞,-5)
解析 (1)由题意可得f(2x-1)≥f(1),∵函数f(x)为偶函数,∴f(|2x-1|)≥f(1), 又函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴|2x-1|≤1,解得0≤x≤1.故选C. (2)由题意得f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因 为f '(x)=ex+e-x+3x2>0,所以函数f(x)是定义域上的增函数,所以由f(2x+1)<-f(4-x) =f(x-4),得2x+1<x-4,所以x<-5.
对f(x)定义域内任意自变量x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)= 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
(3)若f(x+a)=- 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)若函数f(x),g(x)为定义域相同的奇函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ✕ ) (2)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称 的. ( √ ) (3)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0或f(0)无意义.( √ ) (4)若对于任意的实数x,都有f(x)= -1 ,则2是函数f(x)的一个周期. ( ✕ )
冲刺高考文科数学必看题型归纳
冲刺高考文科数学必看题型归纳随着高中阶段的学习即将结束，文科同学们的高考备战也进入冲刺阶段。
作为高考的一大考试科目，数学在文科生的备考中显得尤其重要。
为此，本篇文章将对文科数学的必看题型进行归纳，帮助同学们在时间紧迫、压力巨大的备考过程中更好地掌握知识点，备战高考。
一、函数1. 函数的奇偶性：（1）$f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数；（2）$f(-x)=f(x)$，则函数为偶函数；（3）$f(x)\ne f(-x)$，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
2. 函数的周期性：（1）对于任意一个实数$x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则函数是以$T$（$T>0$）为周期的周期函数，$T$ 称为函数的周期；（2）当$T$ 为最小正周期时，函数是最简周期函数。
3. 函数的单调性：（1）若对于函数$y=f(x)$，当$x_1<x_2$ 时有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数$f(x)$ 在区间$(x_1,x_2)$ 内是严格单调递增的；（2）若对于函数$y=f(x)$，当$x_1<x_2$ 时有$f(x_1)>f(x_2)$，则函数$f(x)$ 在区间$(x_1,x_2)$ 内是严格单调递减的。
4. 函数极值问题：（1）极大值：若存在$x_0\in D_f$，使得$f(x)\le f(x_0)$，则称$f(x_0)$ 为函数$f(x)$ 在定义域$D_f$ 上的极大值；（2）极小值：若存在$x_0\in D_f$，使得$f(x)\ge f(x_0)$，则称$f(x_0)$ 为函数$f(x)$ 在定义域$D_f$ 上的极小值；（3）极值：极大值和极小值统称为极值。
二、解析几何1. 点、向量的基本概念：（1）点：在xoy 坐标系中，设坐标轴OX、OY 的交点为坐标原点O，则任意一点$P(x,y)$ 都可表示为向量$\overrightarrow{OP}(x,y)$。
（2）向量：向量是具有大小和方向的几何量，用向量符号$\overrightarrow{a}$ 表示。
高考文科数学知识点总结
高考文科数学知识点总结集合与简易逻辑在集合理论中，我们需要了解基本概念，如集合、元素、有限集、无限集、空集、全集以及符号的使用。
集合的表示法有列举法、描述法和图形表示法，而集合元素具有确定性、互异性和无序性的特征。
在解决含绝对值不等式和一元二次不等式时，我们可以采用公式法、定义法和几何法。
特别是在解决一元二次不等式时，需要讨论其根的情况，即有两相异实根、有两相等实根和无实根的情况。
除此之外，我们还需要了解简易逻辑，其中命题是可以判断真假的语句。
逻辑联结词包括“或”、“且”、“非”，简单命题是不含有逻辑联结词的命题，而由简单命题和逻辑联结词构成的命题是复合命题。
在四种命题形式中，原命题、逆命题、否命题和逆否命题都需要进行真假判断。
最后，如果已知p可以推出q，那么我们说p是q的充分条件，而q是p的必要条件。
函数知识回顾：一）映射与函数映射是指一个元素通过某种规则对应到另一个元素的过程。
如果对于集合A中的每一个元素a，都能唯一地找到集合B中的一个元素b与之对应，则称这个映射为从A到B的映射，并记作f：A→B。
如果对于A中的不同元素a1和a2，它们所对应的B中的元素不同，即f(a1)≠f(a2)，则称这个映射是一一映射。
函数是一种特殊的映射，它的定义域和值域都是实数集合。
函数的三要素是定义域、对应法则和值域，其中定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数。
二）函数的性质1.函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间[a,b]上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1f(x2)，则说f(x)在这个区间上是减函数。
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
2.函数的奇偶性定义：对于函数f(x)，若对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；若对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数；若既不是偶函数也不是奇函数，则称函数为既非奇函数也非偶函数。
高考数学一轮复习课件23函数的奇偶性与周期性
即 f(-x)+f(x)=2b 是偶数.
∵f lg
1
=f(-lg a),
∴f(lg a)+f lg
1
是偶数,排除 A,B,故 C,D 可能满足条件.故选 CD.
-18-
考点1
考点2
考点3
考点4
思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?
解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数
解析:(1)因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B
中的函数为偶函数,故选B.
(2)因为函数 y=f(x+1)-2 为奇函数,所以函数 f(x)的图象关于点(1,2)
2-1
解:由题意知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=(-x)3(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
-15-
考点1
考点2
考点3
考点4
B
(2)(2019 福建漳州质检二,16)已知函数 y=f(x+1)-2 是奇函
2-1
数,g(x)= -1 ,且 f(x)与 g(x)的图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则
故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
4- 2 ≥ 0,
(3)∵
| + 3| ≠ 3,
∴-2≤x≤2,且 x≠0.
∴函数的定义域关于原点对称.
高考数学一轮复习 第二章第三节 函数的奇偶性及周期性 文 湘教版
函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性 偶函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函
图像特点 关于 y轴 对称
奇函数
数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那 么函数f(x)是奇函数
关于原点 对称
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝
3－2x ＋
2x－3
的定义域为
3 2
，不
关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R， ∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (4)∵由4|x－＋x32|≥－03，≠0， 得－2≤x≤2且x≠0. ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f(x)＝|x＋4－3|－x23＝x＋4－3－x23＝ 4－x x2， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点 对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0， 故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝ x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
[类题通法]
判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体 如下：
[解] (2)∵f(x)的定义域为[－2,2]，
高中数学一轮专题复习：函数的奇偶性与周期性课件
解析：∵f(x)为定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0 又 f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(4)＝f(0)＝0
题型三、函数性质的综合应用
命题点1：求函数值或函数解析式 例3：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)
时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__1_2___
2
由图像可知，
－2 O
x
满足不等式x f(x)<0的解为：
x<－2或x>2
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
三、归纳总结
1.函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件．因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于 原点对称；二要看f(x)与f(－x)的关系． 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
一、基础知识梳理
3.奇(偶)函数的性质
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0； (4)在公共定义域内有： ①奇函数±奇函数＝奇函数；
②偶函数±偶函数＝偶函数； ③奇函数×奇函数＝偶函数；
命题点1：求函数值或函数解析式 对点训练3：若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇 函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则
f（－2.5）＋f(2)＝__－__2__
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，
∴f(2)＝f(0)＝0， ∵ 当 0<x<1时，f(x)＝4x ， ∴f(－2.5)＝f(－0.5) ＝－f(0.5) ＝－40.5 ＝－（22）0.5
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2
▪
xA.b a
B. 2(b-a)
▪同所理以，f(2fb(b-2+Ca2+.x2)2x=)f=(bf-[22xb)-， (2a所-2以x)]f=(x2fb(2-a22ax-2D)=x.f)=(42fx((2b).x-)a. )
▪所以f(2x解)的：一因个周为期y=为f2(2b-x2)a关，于直线 对
故称知f，(x)的一个周期为4(b-a).故选D.
2020/12/9
8
▪
点评：本题考查函数的对称
性以及周期性，类比三角函数中的
周期变换和对称性的解题规则处理
即可.①若函数y=f(x)的图象关于直
线x=a和x=b对称(a≠b)，则这个函
数是周期函数，其周期为2(b-a)；
②若函数y=f(x)的图象关于直线x=a
▪
1 A. 1
1 B. -1
3
3
▪
C.
D. –
▪ 解：由已知f(x+2)=-f(x) f(x+4)=-
f(x+2)=f(x)，
47
47
1
3
3
3
▪2020/12所/913 以f(x)是周期为4的周期函数.
4
题型5 抽象函数奇偶性、周期性的判定与证明
▪
2. 定义在R上的函数f(x)满足：
f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0.
▪ (1)证明:这个函数既是奇函数,又是
周期函数；
▪ (2)若f(-3)=1，求f(2011)的值.
▪
解：(1)证明：因为f(2-x)+f(x-
2)=0，
▪ 令t=x-2代入,有f(-t)+f(t)=0，所以f(x)
2020/12/9
5
▪
点评：处理抽象函数的奇偶
性和周期性的关键是对其抽象性质
进行变形、配凑，如本题中观察到
和点(b,0)对称(a≠b)，则这个函数是
2020/周12/9 期函数，其周期为4(b-a);③若函 9
拓展练习
2020/12/9
10
2020/12/9
11
参考题
▪
已知定义在R上的偶函数f(x)
满足:对任意实数x都有f(x+2)=f(x)成
立，且当x∈［2，3］时，f(x)=x，
则当x∈［-1，0］时，f(x)的解析式
▪
显然，f(x)的周期为4，选C.
▪
点评：由本题可知，若定义域
为R的函数f(x)满足：f(x+a)=-f(x)(a>0)， 则f(x)是周期为2a的周期函数.相f(1x) 应地 还有：若f(1x) f(x+a)= 或f(x+a)=- ， 则f(x)是周期为2a的周期函数.
2020/12/9
3
▪ 拓展练习 已知定义在R上的奇函 数f(x)满足：对任意实数x都有 f(x+2)+f(x)=0，且当473 x∈［0，1］时， f(x)=3x，则f( )的值为( )
▪ 所以f(2a+x)=f［a+(a+x)］
▪ =f［a-(a+x)］=f(-x)=-f(x)，
2▪020/12所/9 以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x)，
7
题型6
函数关x 于a2 直x线 b2
▪ (b>a)对x 称a ，b 则f(x)的一个周期为( )
第二章
函
数
2020/12/9
1
2.5 函数的奇偶性、周期性
第二课时
题型4 函数周期性的定义
▪
1. 已知定义在R上的函数f(x)
满足f(x+2)+f(x)=0，则f(x)的周期是
()
2020/12/9
▪
A. 1
2
B. 2
▪
解：由已知，f(x+2)=-f(x)，
▪
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
它转化为已知区间内的函数解析式.
2020/12/9
13
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
为( )
▪
A. x+4
B. x-2
▪
C. 3-|x+1|
D. 2+|x+1|
▪2020/12/9 解：当x∈［-1，0］时，2-x∈12
▪
1. 证明抽象函数的周期性，关
键是找出其周期，一般通过尝试变形
或类比三角函数获得.
▪
2. 求周期函数在某个区间内的
解析式，先要在该区间内选取自变量，
再通过周期调节到已知区间，从而将
2-x与x-2是互为相反数，则可判断其
奇偶性，然后利用奇偶性将f(4-x)变
换为-f(x-4).
2020/12/9
6
▪ 拓展练习 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且函数y=f(x)的图象关 于直线x=a (a≠0，为常数)对称，证 明：f(x)是周期函数.
▪ 证明：由已知f(-x)=-f(x)，且 f(a+x)=f(a-x)，