成都市高2016届高三零模拟诊数学(文理)试题与解析

1 / 1高二升高三2016届零诊数学模拟试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，有且仅有一个是符合题意的）1．已知全集 {}{},|0,|1U R A x x B x x ==≤=>-，则集合（ ）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|10x x -≤≤C ．{}|10x x x ≤-≥或D ．{}|10x x x ≤->或 2．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 （ ） A ．)3,0( B )2,3( C ．)4,3( D ．)4,2(3．若曲线02sin 301sin 30x t y t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数) 与曲线22ρ=相交于B ,C 两点，则||BC 的值为( ).A ．72B ．60C ．27D ．30 4．“||2b <是“直线3y x b =+与圆2240x y y +-=相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的表面积为（ ）A ．462π+B ．522π+C ．462π-D ．522π-6．甲、乙两名同学，在班级的演讲比赛中，得分情况如图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲、x 乙，则下列判断正确的是6 7 7 58 8 8 6 8 4 0 9 3甲乙A ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定B ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定C ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定D ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定7．执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CB A sin sin sin -=（ ） A ．53 B ．53± C ． 54 D ．54± 9．函数2()2ln f x x x bx a =+-+(0,)b a R >∈在点(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A. B.2110．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）与双曲线22221x y m n-=（0m >，0n >）有相同的焦点(),0c -和(),0c ，若c 是a 、m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率是（ ） A.41 B.21C.22D. 3311．已知函数231()1()32mx m n x f x x +++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1),x ∈ 2x ∈()1,+∞，点P （m ，n ）表示的平面区域为D ，若函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A.(]1,3B. ()3,+∞C. ()1,3D.[)3,+∞12．已知数列{a n }满足a n =n ·p n（n ∈N +，0< p<l ），下面说法正确的是（ ）1 / 1①当p=12时，数列{an}为递减数列； ②当12<p<l 时，数列{a n }不一定有最大项； ③当0<p<12时，数列{a n }为递减数列；④当1pp-为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项 A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．②③第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分，请将答案填在答题卡中的横线上） 13．定义一种运算如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ＝ad －bc ，则复数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+i i 3211的共轭复数是__________．14．如图，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ∠=， E 为CD 的中点，则AB AE ⋅的值是 ．BCDEA15．如右上图所示，正四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于 ．16．形如1(0)x y x x α=>的函数称为“幂指型函数”，它的求导过程可概括成：取对数——两边对x 求导——代入还原；例如：(0)xy x x =>，取对数ln ln y x x =，对x 求导1ln 1y x y'=+，代入还原(ln 1)x y x x '=+；给出下列命题: ①当1α=时，函数1(0)x y x x α=>的导函数是()121ln 0x x y x x x-'=⨯>；②当0α>时，函数1(0)x y x x α=>在10,e α⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,e α⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减；③当11e b e α>时，方程()0,1,0,0x b xb b x αα=>≠≠>有根；④当0α<时，若方程()log 0,1,0b x x b b x α=>≠>有两根，则11eeb α<<；其中正确的命题是三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤和证明过程）17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 经过点()2,2P ， 倾斜角3πα=。

（Ⅰ）写出圆的标准方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）设l 与圆C 相交于A 、B 两点，求PA PB 的值18．（本小题满分12分）已知向量))4cos(3),4(sin(ππ+-+=x x m ，))4cos(),4(sin(ππ-+=x x n ，函数n m x f ⋅=)(，R x ∈.（Ⅰ）求函数)(x f y =的图像的对称中心坐标；（Ⅱ）将函数)(x f y =图像向下平移21个单位，再向左平移3π个单位得函数)(x g y =的图像，试写出)(x g y =的解析式并作出它在5[,]66ππ-上的图像.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)1,n S （=a ,)21,12-=n （b ,满足条件b a λ=,R ∈λ且0≠λ. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设函数xx f )21()(=，数列{}n b 满足条件21=b ，)(,)3(1)(1*+∈--=N n b f b f n n①求数列{}n b 的通项公式； ②设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 和n T . 20．（仅文科做）（本小题满分12分）已知E 是矩形ABCD （如图1）边CD 上的一点，现1 / 1沿AE 将△DAE 折起至△D 1AE （如图2），并且平面D 1AE ⊥平面ABCE ，图3为四棱锥D 1—ABCE 的主视图与左视图．（Ⅰ）求证：直线BE ⊥平面D 1AE ； （Ⅱ）求点A 到平面D 1BC 的距离．20．（仅理科做）（本小题满分12分）如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,AC 与BD 的交点为O ,E 为侧棱SC 上一点.(Ⅰ)当E 为侧棱SC 的中点时,求证:SA ∥平面BDE ; (Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面SAC ;(Ⅲ)当二面角E BD C --的大小为45︒时, 试判断点E 在SC 上的位置,并说明理由.21．（本小题满分12分）如图，椭圆的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合，过2F 且于x 轴垂直的直线与椭圆交于S ，T ，与抛物线交于C ，D 两点，且22.CD ST =（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，若过点M （2，0）的直线l 与椭圆相交于不同两点A 和B ，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知x eexx g m x a mx x f =--=)(,ln )(，其中a m ,均为实数， （Ⅰ）求)(x g 的极值； （Ⅱ）设1,0m a，求证：对[]2112122121,3,4(),()()()()ex ex x x x x f x f x g x g x ∀∈≠-<-恒成立； （Ⅲ）设2=a ，若对∀给定的(]e x ,00∈，在区间(]e ,0上总存在)(,2121t t t t ≠使得)()()(021x g t f t f ==成立，求m 的取值范围．xyOCT S D 2F ⋅1 / 1参考答案1．D 【解析】由题{}()|10,U AB x xC A B =-<≤∴={x|1x ≤-或x>0}．2．C 【解析】把x=3代入不等式组验算得x=3是不等式组的解，则排除(A)、(B), 再把x=2代入不等式组验算得x=2是不等式组的解，则排除(D)，所以选(C).3．D 【解析】曲线02sin 301sin 30x t y t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩的普通方程为1=+y x，曲线ρ=822=+y x ；圆心到直线的距离2221=-=d ，则302182222=-=-=d r BC .4．A 【解析】由2240x y y +-=得22(2)4x y +-=．由2<得|2|4,26b b -<-<<．所以为充分不必要条件．选A ．5．A 【解析】由三视图可知该几何体是一个长方体去掉一个半圆柱构成的组合体，长方体的长、宽、高分别为3,2,4；半圆柱的高为3，几何体的表面积为22(233442)13213462πππ⨯⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯⨯=+.6．B 【解析】由茎叶图，得()85949088767751=++++⨯=甲x ， ()86938886887551=++++⨯=乙x ，且相比较乙的平均得分比较集中，较稳定；故选B.7．C 【解析】第一次：2lg ,2==S i ；第二次: 6lg 3lg 2lg ,3=+==S i ；第三次:=+==8lg 6lg ,4S i 148lg >，结束循环，输出4=i8．D 【解析】根据正弦定理可知CBA sin sin sin -84105BC AC AB ,故选D.9．A 【解析】∵2()2ln f x x x bx a =+-+，∴'2()2f x x b x=+-，∴222k b b b b b=+-=+≥2bb =时取等号，∴k 的最小值为10．B 【解析】本题考查椭圆和双曲线的几何性质，等差中项和等比中项的概念及基本运算.因为椭圆22221x y a b +=（0a b >>）与双曲线22221x y m n-=（0m >，0n >）有相同的焦点(),0c -和(),0c ，所以22222(1);a b m n c -=+=⋅⋅⋅c 是a 、m 的等比中项，所以2(2);c am =⋅⋅⋅2n 是22m 与2c 的等差中项，所以22222(3);n m c =+⋅⋅⋅由（1），（3）得223,n m =代入（1）得224,2;c m c m =∴=代入（2）得：4;a m =则椭圆的离心率是21.42c m a m ==故选B11．C 【解析】2()2m nf x x mx +'=++，由于两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1),x ∈2x ∈()1,+∞，则(0)0,(1)1022m nm nf f m ++''=>=++<，则320m n m n ⎧+>⎨++<⎩，点P （m ，n ）表示的平面区域为D ，画出二元一次不等式组0320m n m n ⎧+>⎨++<⎩表示的平面区域，由于013201x y x x y y ⎧⎧+==-⇒⎨⎨++==⎩⎩， log (4),(1)a y x a =+>过点(1,1)-时，1=log 33a a ⇒=，由于函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，所以13a <<，选C12．B 【解析】当21=p 时，2121==a a ,所以不是递减数列,故①错；当121<<p 时，()()n p n np p n a a n n n n 1111+=+=++,()p n p n p 21<+<,所以得到数列na 总数先增后减，所以一定由最大项，故②错；当210<<p 时，()()n p n np p n a a nn n n 1111+=+=++，()11<+n p n ,所以数列n a 是递减数列，故③正确；()()n pn npp n a a nn n n 1111+=+=++， 当p p -1为正整数时，211≥>p ,当21=p 时，.....4321>>>=a a a a 当211>>p 时，令*1N m p p ∈=-，解得m m p +=1，则()()111++=+m n n m a a n n ，当m n =时，n n a a =+1,再结合已证的②，数列{a n }必有两项相等的最大项． 13．i 31--【解析】根据运算公式()i i i i i 312313211+-=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+，其共轭复数是i 31-- 14．1【解析】连结B 、E ，由题设可得2,||1BE AB AE AB AB ⊥∴==．15．33【解析】连接AC 、BD 交于O ，异面直线BE 与PA 所成的角即为EO 与BE 所成的角，1 / 1设棱长为1，则21=EO ，23=EB ，22=BO ，222EB BO EO =+,所以BO EO ⊥,33cos ==∠BE EO BEO 16．①②④【解析】对①，当1α=时，函数1(0)x y x x α=>即为1xy x =，两边取对数得1ln ln y x x=，两边求导得21ln 1x x x y y x ⨯-'⨯=，将1x y x =代入即得()121ln 0x x y x x x-'=⨯>；正确. 对②，当0α>时，函数1(0)x y xx α=>两边取对数得ln ln xy x α=，两边取对数得11211ln 1(1ln )x x x x x x y y x y x xααααααα-+⨯-''⨯=⇒=-.由1ln 0x α->得1x e α<，所以1(0)x y x x α=>在10,e α⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,e α⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，正确；对③，由x b x α=得ln ln ln ln ,bx x b x xαα==.令ln x y x =，则21ln 0xy x e x -'=>⇒<，所以ln 1x x e ≤.所以当ln 1b e α≤时，x b x α=有解.由ln 1b eα≤得11e b e α≤，故③错；对④，由log b x xα=得ln ln xb x α=.令ln ()x f x x α=，则1211ln 1ln ()x x x x x f x x x αααααα-+⨯--'==.因为0α<，所以ln ()x f x x α=在10,e α⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在1,e α⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增，1ln 1()()x f x f e x e ααα=≥=.所以当1ln b e α>时，若方程()log 0,1,0b x x b b x α=>≠>有两根.由1ln b eα>得，1e b e α>.又结合图象易得，当1b >时方程()log 0,1,0b x x b b x α=>≠>只有一个根，所以11eeb α<<.17．【解析】（Ⅰ）圆的标准方程为2216x y+=． 2分直线l的参数方程为2cos32sin3x ty tππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即122322x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数） 5分（Ⅱ）把直线的方程122322x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2216x y+=，得2213(2)(2)1622t t+++=，即22(31)80t t++-=，所以128t t=-， 8分所以12=8PA PB t t⋅=． 10分18．【解析】（1）nmxf⋅=)()4cos()4cos(3)4(sin2πππ-+-+=xxx21)32sin(2cos23)2sin1(21+-=-+=πxxx4分由于0)32sin(=-πx得：Zkkx∈=-,32ππ，所以Zkkx∈+=,621ππ. 所以)(xf的图像的对称中心坐标为Zkk∈+),21,621(ππ6分（2）)(xg=)32sin(π+x，列表：描点、连线得函数()y g x=在5[,]66ππ-上的图象如图所示：12分19．【解析】（1）因为a=λb 所以22,12211-=-=+n n n n S S . 当2≥n 时，nn n n n n S S a 2)22()22(11=---=-=+-当1=n 时，2221111=-==+S a ，满足上式所以n n a 2=（2）①)3(1)(,)21()(1n n xb f b f x f --==+ 11(b )(3)n n f f b +=--n n b b --=∴+3)21(1)21(1 n n b b +=∴+321211 ∴ 31+=+n n b b3-1=+n n b b ，又2)1(1=-=f b∴{}n b 是以2为首项3为公差的等差数列 ∴13-=n b n②n n n n n a b c 213-==n n n n n T 2132432825221321-+-+⋅⋅⋅+++=- ① 143221324328252221+-+-+⋅⋅⋅+++=n n n n n T ② ①-②得1432213-23232323121+-+⋅⋅⋅++++=n n n n T1121321-1)21-1413121+---⋅+=n n n n T （11213)21-123121+---+=n n n n T （ n n n n T 213)21-1321--+=-（n n n n T 21323-321--+=-n n n T 253-5+=20．（仅文科做）【解析】（1）证明：由主视图和左视图易知：1AD DE EC BC ====∴2,2AE BE AB === ∴222AE BE AB +=11BE AED AE ABCE D AE ABCE AE ∴⊥⎫⎪⊥⎬⎪⋂=⎭又平面平面平面平面1BE D AE ⇒⊥平面（2）分别取,AE BC 中点M ，N111D A D E ==111D M AED AE ABCE D AE ABCE AE ∴⊥⎫⎪⊥⎬⎪⋂=⎭又平面平面平面平面 ABCE M D 平面⊥⇒1 11D M BCMN BC D M MN M ∴⊥⎫⎪⊥⎬⎪⋂=⎭1BC D MN ⇒⊥平面 1BC D N ∴⊥ 1Rt D MN ∆中，123,22D M MN == 1112D N ∴=设A 到平面1D BC 的距离为d11A D BC D ABC V V --= 111133D BC ABC S d D M S ∆∆∴⋅=⋅⋅111122D N BC d D M AB BC ⋅⋅=⋅⋅ 112121d ⨯⋅=⨯⨯ 222d ∴= 20．（理）【解析】证明:(Ⅰ)连接OE ,由条件可得SA ∥OE . 因为SA平面BDE ,OE平面BDE ,所以SA ∥平面BDE(Ⅱ)由已知可得,SB SD =,O 是BD 中点,所以BD SO ,又因为四边形ABCD 是正方形,所以BD AC .因为ACSO O =,所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面,所以平面BDE ⊥平面SAC (Ⅲ)(Ⅱ)证明:由 (Ⅰ)知SO ABCD ⊥面,AC BD ⊥. 建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2, 则(0, 0, 0)O ,(0, 0,2)S ,)2, 0, 0A,()0,2, 0B ,()2, 0, 0C -,()0, 2, 0D .所以()22, 0, 0AC =-,()0, 22, 0BD =-. 设CE a =(02a <<),由已知可求得45ECO ∠=︒. 所以22(2, 0, )22E a a -,22(2, 2, )22BE a a =-. 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ,则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0, 22(2)20.22y a x az =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1z =,得(, 0, 1)2aa=-n . 易知()0, 22, 0BD =-是平面SAC 的法向量.因为(, 0, 1)(0, 0)02aBD a⋅=⋅-=-n , 所以BD ⊥n ,所以平面BDE ⊥平面SAC (Ⅲ)解:设CE a =(02a <<),由(Ⅱ)可知, 平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n . 因为SO ABCD ⊥底面,所以(0, 0,OS =是平面SAC 的一个法向量. 由已知二面角E BD C --的大小为45︒.所以cos , cos 45OS 〈〉=︒=n ,2=,解得1a =. 所以点E 是SC 的中点21．【解析】（Ⅰ）设椭圆标准方程 )0(,12222>>=+b a by a x 由题意，抛物线x y 42=的焦点为)0,1(2F ，4=CD ．因为CD =，所以ST =又S ),1(2a b ，T ),1(2a b -，22b ST a == 又2221,c a b ==- 1.a b ∴== 所以椭圆的标准方程1222=+y x ．（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2).y k x =-由⎩⎨⎧-==+)2(2222x k y y x 削去y ，得288)21(2222=-+-+k x k x k 设),(),,(),,(002211y x P y x B y x A ，则21,x x 是方程)(*的两根，所以0)28)(21(4)8(2222>-+-=∆k k k 即122<k ，①且2221218k k x x +=+，由OP t OB OA =+，得⎩⎨⎧=+=+021021ty y y tx x x若t=0，则P 点与原点重合，与题意不符，故t≠0[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⋅=-+⋅=+=+⋅=+=2212102221021414)(1)(12181)(1k k t k x x k t y y t y k k t x x t x 因为点),(00y x P 在椭圆上，所以22222002222183222()12(12)k k x y t k k ⎡⎤=+=⋅+⎢⎥++⎣⎦422222142118(12)12k k t k k+==-++ 再由①得211082t ≤<又t≠0， (2,0)(0,2)t ∴∈-⋃22．【解析】（1）()())(,,1,1,,)1()(,)('x g e x e x g e ex x g xx ∴↓+∞↑∞-∴--=∴=极大值1)1(=g ，无极小值；（2）1,0m a ，1)(-=∴x x f ,在3,4上 是增函数 x e x g ex=∴)(,在3,4上是增函数 设4321≤<≤x x ，则原不等式转化为212121()()()()ex ex f x f x g x g x 即212121()()()()ex ex f x f x g x g x 令()()1,()x ex h x f x x e g x即证1221,()()x x h x h x ∀<<，即()h x 在[]3,4↓'()10x h x e 在3,4恒成立即()h x 在[]3,4↓，即所证不等式成立（3）由（1）得()g x 在()()max 0,1,1,,()(1)1e g x g ↑↓== 所以，(]1,0)(∈x g又'2()f x m x =-，当0m ≤时，'()0,()f x f x <在()0e ↓，，不符合题意当0>m时，要12,t t ∃使得12()()f t f t =，那么由题意知)(x f 的极值点必在区间()e ,0内，即e m<<20 得e m 2>，且函数)(x f 在↑⎪⎭⎫ ⎝⎛↓⎪⎭⎫ ⎝⎛e m m ,2,2,0 由题意得)(x g 在()e ,0上的值域包含于)(x f 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭和2,e m ⎛⎫⎪⎝⎭上的值域 ⎪⎭⎫⎝⎛∴e ,m 2内，131)(0)2(-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≤e m e f m f下面证⎥⎦⎤ ⎝⎛∈m t 2,0时，1)(≥t f ，取m e t -=，先证2m e m-<，即证20me m -> 令⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞->-=∴-=,13,012)(,2)('e e x w x e x w xx在内恒成立 02,0)13()(,)(>-∴>-≥∴↑∴m e e w x w x w m 再证13,113)(,1)(-≥∴>-≥>+=≥---e m e m m me e f e f m m m。