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四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学(文科)试题 (2)
一、单选题二、多选题1.已知集合，，若，则实数为（ ）A．或B．或C．或D．或2. 已知是定义在上的函数，满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）A．函数图象关于直线对称B ．函数的周期为2C．函数图象关于点中心对称D．3.已知集合，.若，则的值为（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．-24. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为4，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 若复数，则z 的虚部是（ ）A ．B．C ．1D ．－16.的展开式中的系数为（ ）A ．55B．C ．65D．7. 设集合，则（ ）A．B．C．D．8. 若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将描述为“个，个，个”，则第五项为，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则的最后一个数字为6D ．若，则中没有数字10. 已知复数，则（ ）A．B ．的虚部为-1C ．为纯虚数D ．在复平面内对应的点位于第一象限11.已知点，P 是圆上的动点，G 为平面内一点．若直线NP 上一点Q 满足且，则不可能为（ ）A．B．C．D．12. 已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是（ ）四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题 (2)四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题 (2)三、填空题四、解答题A ．4B ．12C ．2D ．813. 已知点A ，B ，C ，D均在表面积为的球面上，且，，是边长为3的等边三角形，则______．14. 函数在处的切线方程为________．15. 已知函数在（为自然对数的底）内有零点，则的最小值为___________.16. 已知函数（）.（1）若函数在处的切线与轴平行，求函数的单调区间；（2）讨论函数的零点个数.17. 已知和均是等腰直角三角形，既是的斜边又是的直角边，且，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.(1)求证：.(2)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角的正弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18. 《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．附：当时，，．19.记为正项数列的前n 项和，已知，．(1)求数列的前n 项和；(2)若，求数列的前n 项和．20. 已知函数.（1）若函数的图象过点（2，2），求函数的单调递增区间；（2）若函数是偶函数，求值.21.记为等差数列的前n 项和，且，．(1)求数列的通项公式；(2)求使得的n的取值范围．。
四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学(文科)试题
成都石室中学2022—2023学年度上期高2023届一诊模拟考试数学试题(文科)（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，复数212i z i=+，则复数z 的虚部为（ ） A. 25i B. 25 C. 15i − D. 15− 2.已知集合{}{}ln ,e 1x A xy x B y y ====−∣∣，则A B ⋃=（ ） A.R B.[)0,∞+ C.()1,∞−+ D.∅3.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）A. 6+B. 6+C. 12D. 12+4.已知(0,0)O ,(3,0)A ,动点(,)P x y 满足2PA PO=,则动点P 的轨迹与圆()2221x y −+=的位置关系是（ ） A. 相交 B.外切C.内切D.相离 5.若tan 3α=，则sin2cos2αα−=（ ） A.15− B.14 C.12 D.75 6.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点,E F 分别是棱111,B B B C 的中点，点G 是棱1C C 的中点，则过线段AG 且平行于平面1A EF 的截面图形为（ ）A. 等腰梯形B. 三角形C. 正方形D. 矩形7．函数(ln ()x x x f x e e −+=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0e kt M M −=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤60%的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：lg 20.3010=）A.3hB.4hC.5hD.6h9.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ） A.79B. 2332C. 932D.29 10.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod 4=．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于( )．A.20B.21C.22D. 2311.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于,A B ，若120BF BF ⋅=，且124cos 5F AF ∠=，则双曲线的离心率为（ ）B.2D. 3212.设2557log 15,log 21,2a b c ===，则（ ）A. b a c <<B.c a b <<C. c b a <<D. a c b <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13.若sin 2x x =，则cos 2x =__________．14.若直线y kx b =+是曲线e 1x y =−和1e x y −=的公切线，则实数k 的值是___________．15. 已知抛物线C ：22x y =上有两动点,P Q ，线段PQ 的中点E 到x 轴距离的是2，则线段PQ 长度的最大值为___________.16．半径为2的球的内接圆柱的侧面积的最大值是___________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟）,从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）根据图中数据求的值；（Ⅱ）若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3,4,5组各抽取多少名新生？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n =−∈N .（Ⅰ）求证；数列{}1n a +是等比数列； （Ⅱ）求证：1121k n k k k a a =+<∑.19. （本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ADC ∠=︒，115AA CD ==，17AD =．（Ⅰ）证明：平面1CDD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求棱锥111D AA C C −的体积．(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50]a 频率/组距 时间（分钟）20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：)0,0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，)0,(1a A −，)0,(2a A ，),0(b B ，12A BA △的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线B A 1与直线M A 2交于点P ，直线M A 1与直线B A 2交于点Q ．求证：BPQ △为等腰三角形．21. （本小题满分12分）已知函数()()2ln 0f x x x a x a =−−>. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）①若()0f x ≥，求实数a 的值；②设*n ∈N ，求证：()2111111ln 124n n n ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4－4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为1cos tan x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数）．（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的一点，将OP 绕原点O 逆时针旋转4π得到OQ ．当P 运动时，求Q 的轨迹方程．23.选修4－5：不等式选讲 已知函数()124lg 3x x a f x ++=（a R ）． （Ⅰ）若2a =−，求()f x 的定义域；（Ⅱ）若01a <<，求证：()()22f x f x >．。
四川省成都石室中学高三数学上学期“一诊”模拟试题
石室中学高2014届2013～2014学年度上期“一诊”模拟考试（一）数学(理科)试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设集合}1,0,1{-=M，},{2aaN=则使M∩N＝N成立的a的值是（）A．1 B．0 C．－1 D．1或－12.复数ii(113-为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ）A．(1,1) B．(1,1)- C．(1,1)- D．(1,1)--3.已知函数,,)21(,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=xxxxfx则=-)]4([ff（）A．4- B．41- C．4 D．64.函数ln||||x xyx=的图像可能是（）5.实数yx,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+,0224yxyxyx,则yx-2的最小值为（）A．16B．4C．1 D．126.下列说法中正确的是（）A．“5x>”是“3x>”必要条件B．命题“x R∀∈，210x+>”的否定是“x R∃∈，210x+≤”C．Rm∈∃，使函数)()(2Rxmxxxf∈+=是奇函数D．设p，q是简单命题，若p q∨是真命题，则p q∧也是真命题7.阅读程序框图，若输入4m=，6n=，则输出ia,分别是（）A．12,3a i== B．12,4a i== C．8,3a i== D．8,4a i==8.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=x x f 的图像关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则（ ）A ．)(x f 的图象过点)21,0( B ．)(x f 的一个对称中心是)0,125(πC ．)(x f 在]32,12[ππ上是减函数 D ．将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象9. 设三位数10010n a b c =++,若以,,{1,2,3,4}a b c ∈为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有（ ）A ．12种B ．24种C ．28种D ．36种10. 定义在R 上的函数1ln )(2++=x ex f x，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( ).A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量a ρ、b ρ满足(1,0),(2,4)a b ==r r，则=+→→||b a .12.45)1)(1(x x x 展开式中-+的系数是 （用数字作答）.13. 在数列}a {n 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a = .14.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 . 15. 已知D 是函数],[),(b a x x f y ∈=图象上的任意一点，B A ,该图象的两个端点， 点C 满足0=⋅=→→→→i DC AB AC ，λ，（其中→<<i ,10λ是x 轴上的单位向量），若T DC ≤→||(T 为常数)在区间],[b a 上恒成立，则称)(x f y =在区间],[b a 上具有 “T 性质”.现有函数： ①12+=x y ; ②12+=xy ； ③2x y =； ④x x y 1-=.则在区间]2,1[上具有“41性质”的函数为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .17. (本小题满分12分) 已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-u r,(2,0)n =r ，且m u r 与n r 所成角为3π.（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.18. (本小题满分12分)某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。
2019届四川省成都石室中学高三12月一诊模拟数学(文)试题(解析版)
2019届四川省成都石室中学高三12月一诊模拟数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，集合，那么集合（）A．[0,1）B．C．D．【答案】C【解析】可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】解得，；；；；；；．故选：C．【点睛】考查对数函数和幂函数的单调性，描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．2．若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可．【详解】，向量，是非零向量，，夹角为“”是“，夹角为”的充要条件．故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键．3．已知等差数列中，前n项和，满足，则（）A．54 B．63 C．72 D．81【答案】B【解析】利用等差数列前n项和公式得，求出，再由，能求出结果．【详解】等差数列中，前n项和，满足，，，．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4．已知双曲线C：，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为（）【答案】A【解析】求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．【详解】双曲线C：，其焦点到C的一条渐近线的距离为2，可得，可得，，所以，所以双曲线的离心率为：．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．5．下列结论正确的是（）A．当且时，B．当时，C．当时，无最小值D．当时，【答案】B【解析】讨论，，结合对数的性质，以及基本不等式可判断A；由的导数，判断单调性和最小值，可判断B；由当时，递增，可判断C；由当时，递增，可判断D．【详解】当时，，可得；当时，，，故A错误；由的导数为，当时，函数y递增；当时，函数y递减，可得函数y的最小值为1，即，即，故B正确；当时，递增，可得时，取得最小值，故C错误；当时，递增，可得最小值为，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．6．已知口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1，3，5，7，约定林涛先从口袋中随机摸出一个小球，打开后记下数字为a，放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为b，则的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】基本事件总数，利用列举法求出包含的基本事件有10种，由此能求出的概率．【详解】口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1，3，5，7，约定林涛先从口袋中随机摸出一个小球，打开后记下数字为，放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为，基本事件总数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共10种，∴的概率，故选D．本题主要考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得，，据此可得，则有，结合函数的周期性可得，结合函数的解析式可得答案．【详解】根据题意，函数满足，则有，即函数的周期为4，故，，若，则有，又由函数为奇函数，则有，变形可得，又由当时，，则有，解可得；故选：A．【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．8．已知，则的面积为（）A．B．C．D．1【答案】A根据题意，，，有，，则可得，则则故选：A．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.9．如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，可以将四三棱柱补形为长方体，得到异面直线与所成角，再由余弦定理求解．【详解】可得，则异面直线与所成角为，由三视图可知，，．即异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角的求法，关键是找出异面直线所成角，是中档题．异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.10．已知函数，且分别在，处取得最大值和最小值，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】首先把函数转化为，得，，得取得最小值．【详解】∴，即，即∴当时，取得最小值．故选B.【点睛】本题考查的性质，把函数转化为的形式是关键，属于中档题.11．已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，且两切线分别交x轴于M，N两点，则面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求出抛物线的方程，再分别表示出两个切线方程，联立可求得的坐标表示出点到直线的距离，设直线的方程，与抛物线联立，根据韦达定理和求出，利用三角形面积公式表示出三角形面积，即可求出面积的最大值【详解】物线C：的焦点坐标为，∴，∴，抛物线C：，设，，过点A的切线方程为，令，得，过点B的切线方程为，令，得则两切线的交点为，由AB过点，设直线方程为，由，消y可得，∴，，∴，∴，当时，此时面积最小，最小值为，故选C．【点睛】本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离公式的应用考查了学生分析推理和运算的能力，属于中档题12．已知函数的两个零点为，，且，，则方程的实数根的个数为( )A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】利用换元法设，则，结合的范围，以及的根的个数，利用数形结合进行判断即可.【详解】设，则，由题意知有两个根，，由题意不妨设，则，，当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则在时，取得极大值，在处取得极小值，当，，，，则由图象知，当，时，方程，有3个不同的解，即方程的实数根的个数为3，故选D．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数图象交点个数，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强．二、填空题13．若x，y满足约束条件，则的最大值______．【答案】12标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数过点时z取得最大值，，故答案为：12．【点睛】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．14．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为______．【答案】-【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；故输出的y的值为：．故答案为：．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．在矩形ABCD中，，，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量，则的最大值为____．【答案】2【解析】以A为原点，AB，AD为，轴建立平面直角坐标系，易得各点坐标，设点坐标为，，根据所给等式建立坐标之间的关系，易得，得解．【详解】以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，，设，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理，向量的坐标运算，建立适当的坐标系是解题的关键，属于中档题.．16．已知数列中，，，设其前n项和为，若对任意的，恒成立，则k的最小值为____．【答案】【解析】由，变形为：，，利用等比数列的通项公式可得，利用求和公式可得代入，化简，通过作差利用数列的单调性即可得出最小值．【详解】由，变形为：，，数列是公比为2，首项为1的等比数列．．．对任意的，恒成立，．令，则时，．时，．，数列的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．时，数列取得最大值，．故答案为：．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、转化法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数值最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列的最大值，可通过解不等式组求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组求得的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．三、解答题17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，F为边AC上一点．求c；若，求．【答案】（1）c=2（2）【解析】由已知利用三角形的面积公式可求b 的值，根据余弦定理可得c 的值；由可得，可求，，由已知根据正弦定理，由，可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解的值．【详解】，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：，由可得，，，在中，由正弦定理，可得：，，，，，【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，，．求证：平面平面ABCD；求点B到面AED的距离．【答案】(1)见证明；(2)【解析】过D作，连结EO，推导出≌，，，从而面ABE，由此能证明平面平面ABCD；设B到AED的距离为d，由，能求出点B到面AED的距离．【详解】如图，过D作，连结EO∵，，，∴≌，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴面ABE，∵面ABCD，∴平面平面ABCD．设到的距离为，由可知，，在等腰中，，，∴，∵，∴，解得，∴点B到面的距离为．【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，考查利用等体积法求点到平面的距离，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在考查运算求解能力，是中档题．19．基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归直线方程为其中：，．【答案】（1）见解析；（2），估计2018年2月的市场占有率为．（3）见解析【解析】(1)画出散点图，求出相关系数，判断线性相关性即可；(2)求出回归方程的系数，求出回归方程，代入函数值检验即可；(3)求出分布列，求出数学期望比较即可判断．【详解】散点图如图所示，，，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．，又，，回归直线方程为，2018年2月的月份代码，，所以估计2018年2月的市场占有率为．用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：元．B款单车的利润Y的分布列为：元以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．【点睛】本题考查了散点图，考查回归方程以及分布列和数学期望，是一道中档题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.20．已知点是椭圆E：上一点，、分别是椭圆的左右焦点，且．求曲线E的方程；若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】根据点P在椭圆上以及，列方程组可解出，，从而可得曲线的方程；联立直线与曲线，根据韦达定理以和斜率计算公式可得，结合判别式可得的取值范围.【详解】设，，，由，，曲线E的方程为：设，，∴∴，即，当时，；当时，，由对任意恒成立，则综上【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，属中档题．21．已知函数，其中，，．若是的一条切线，求a的值；在间的前提下，若存在正实数，使得，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，可得，的方程，解得，；由题意可得，即，设，令，求得导数和单调性，可得最小值，解不等式可得所求范围．【详解】(1)的导数为，设与相切于，可得，，化为，设，导数为，当时，递增；时，递减，可得处取得最小值0，则，；，可得，即，设，令，，时，递减；时，递增，可得，即有，解得或舍去，当且仅当时，恒成立，综上可得的范围为．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：为参数，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，直线与曲线交于A，B两点，求曲线的普通方程及的最小值；若点，求的最大值．【答案】（1）曲线的普通方程为．的最小值为．（2）最大值70【解析】由曲线的极坐标方程，能求出曲线的普通方程由最小时，圆心距最大为，能求出的最小值;将直线与方程联立方程，得，从而，，进而，由此能求出的最大值．【详解】曲线的极坐标方程为：，，曲线的普通方程为，即．直线的参数方程为：为参数，直线与曲线交于A，B两点，最小时，圆心距最大为，的最小值为：．设直线上点A，B对应参数方程为参数的参数分别为，，将直线与方程联立方程，得：，，，，，当时，取最大值70．【点睛】本题考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查两线段平方和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．已知函数，当时，解不等式；若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】时不等式化为，根据绝对值的定义求出解集即可；由不等式得，构造函数，不等式的解集非空等价于，利用绝对值不等式求出在上的最大值即可．【详解】当时，函数，解不等式化为，即，，解得，不等式的解集为；由，得，设，则不等式的解集非空，等价于；由，；由题意知存在，使得上式成立；而函数在上的最大值为，；即b的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数在某一区间上的最值问题，是中档题．。
2024年成都市石室中学高三数学(文)一模考试卷附答案解析
2024年成都市石室中学高三数学（文）一模考试卷（全卷满分150分，考试时间120分钟）第I 卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,1,20A B xax =-=+=∣，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为（）A.{}2-B.{}2 C.{}2,2- D.{}2,0,2-2.复数2i1ia z -+=-在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数a 的值为（）A.1B.2C.-1D.-23.已知,a b 为实数，则使得“0a b >>”成立的一个必要不充分条件为（）A.11a b> B.()()ln 1ln 1a b +>+ C.330a b >>>4.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（）A.33B.34C.35D.365.函数()()1ln 1f x x x =+-的大致图象是（）A. B. C. D.6.在区间[]2,4-上随机地取一个数x ，使2sin x x 恒成立的概率是（）A.13B.12C.23D.347.设抛物线24y x =的焦点为F ，过抛物线上一点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠= ，则PQ =（）A.23B.3C.438.变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩则目标函数3z x y =+-的取值范围是（）A.3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]1,69.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为()0146V h S S S =+'+，其中,S S '分别是上､下底面的面积，0S 是中截面的面积，h 为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米､宽10米，堆高1米，上底面的长､宽比下底面的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A.51车B.52车C.54车D.56车10.设锐角ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,2c B C ==，则a b +的取值范围为（）A.()2,10B.()2+C.(24++D.()4+11.已知菱形ABCD 中，π3A =，现将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，当AC =时，三棱锥A BCD -的体积为92，则此时三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.28πB.7πC.287π3D.40π12.在同一平面直角坐标系中，,M N 分别是函数()f x =()()e ln xg x ax ax =-图象上的动点，对任意0,a MN >的最小值为（）A.2B.12- C.1- D.1+第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()()ln 2f x x =-的定义域为__________.14.若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线π6x =-对称，则a =__________.15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为左支上一点，12122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为I ，直线PI 与x 轴交于点Q ，若双曲线的离心率为54，则PI IQ=__________.16.已知数列{}n a 满足1ln 1n n a a +=+，函数()ln 1xf x x =+在0x x =处取得最大值，若()420ln 1a a x =+，则12a a +=__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD BC PA =∥4,5,3AD BC AC PB PC AB ======.（1）设PC 的中点为M ，求BM 与PA 所成角的余弦值；（2）求三棱锥P ABC -的体积.18.（本小题满分12分）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是12.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.（1）求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；（2）求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足121,1a a ==，当3n 时，122,,21,.n n n n a a n a a n ---+⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）求4a 和6a ，并证明当n 为偶数时{}1n a +是等比数列；（2）求13529a a a a ++++ .20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(1)E x py p =>的焦点为F ，过点()1,1P -作抛物线E 的两条切线，切点分别为,,5M N FM FN +=.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点P 作两条倾斜角互补的直线12,l l ，直线1l 交抛物线E 于,A B 两点，直线2l 交抛物线E 于,C D 两点，连接,,,AD BC AC BD ，设,,AC AB BD 的斜率分别为,,AC AB BD k k k ，问：AC AB BD AB k k k k +是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.21.（本小题满分12分）设()()21e sin 3xf x a x =-+-.（1）当a =时，求函数()f x 的零点个数；（2）函数()()2sin 22h x f x x x ax =--++，若对任意0x ，恒有()0h x >，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线22:1C mx ny +=的渐近线方程为(),3,0y x D =±-，直线l 过点()1,0B ，且倾斜角为60 .以点D 为极点，以从点D 出发与x 轴正方向同方向的射线为极轴，建立极坐标系，点5π6,3A ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线C 上.（1）写出曲线C 在第二象限的一个参数方程和直线l 的极坐标方程；（2）曲线C 与直线l 相交于点,M N ，线段MN 的中点为Q ，求DBQ 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设()22123f x x x =---.（1）解不等式：()4f x >-；（2）设()f x 的最大值为M ，已知正数a 和b 满足a b M +=，令2222a bZ a b b a=+++，求Z 的最小值.答案及解析1.【答案】D【解析】当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，2a =±.故选D.2.【答案】D 【解析】因为()()()()()2i 1i 22i2i 1i 1i 1i 2a a a a z -++--+--+===--+在复平面上对应的点位于虚轴上，所以20,20,a a --=⎧⎨-≠⎩即2a =-.故选D.3.【答案】B 【解析】对于A ，若11a b >，则不能推出0a b >>；若0a b >>，则必定有11a b<，所以既不是充分条件也不是必要条件，故A 错误.对于B ，若()()ln 1ln 1a b +>+，则根据对数函数的单调性可知1101a b a b +>+>⇒>>-，但不能推出0a b >>，但是01a b a b >>⇒>>-，故B 正确.对于C ，因为330a b >>等价于0a b >>，所以是充分必要条件，故C 错误.对于D ，若>，则必有10a b >> ，所以是充分不必要条件，故D 错误.故选B.4.【答案】B【解析】据条件可得，符号为“”表示的二进制数为100010，则其表示的十进制数是01234502120202021234⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选B.5.【答案】B 【解析】因为()()1ln 1f x x x =+-，所以113ln 0222f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，故排除C ，D ；当2x >时，()()()1ln 10f x x x =+->恒成立，排除A.故选B.6.【答案】A 【解析】设函数()2sin f x x x =-，则()2cos 0f x x =->'，所以()f x 为递增函数，且()0f =0，所以当0x >时，()()00f x f >=；当0x 时，()()00f x f = ，所以不等式2sin x x的解集为(],0∞-.又因为[]2,4x ∈-，所以不等式2sin x x 的解集为[]2,0-.由长度比的几何概型的概率计算可得，使2sin x x 恒成立的概率是()()021423P --==--.故选A.7.【答案】C 【解析】由题易知，PF 的倾斜角为120 ，从而2411cos120312p PQ PF ====-+ .故选C.8.【答案】B 【解析】不等式组22,24,41x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示，三个交点的坐标分别为()()10,1,,3,2,02⎛⎫⎪⎝⎭，目标函数33z x y x y =+-=-+，即3y x z =+-，当目标函数过点()2,0时z 取得最大值为5，过点1,32⎛⎫⎪⎝⎭时z 取得最小值为12，所以目标函数3z x y =+-的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.9.【答案】B 【解析】由条件可知，上底面长18米､宽8米，中截面长19米､宽9米，则上底面面积188144S =⨯=（平方米），中截面面积0199171S =⨯=（平方米），下底面面积2010200S =⨯='（平方米），所以这堆建筑材料的体积()15141144417120063V =⨯⨯+⨯+=（立方米），所以这堆建筑材料约重5141.52573⨯=（吨），需要的卡车次为257551.4÷=，所以至少需要运52车.故选B.10.【答案】C【解析】在ABC 中，由2,ππ3,2B C A B C C c ==--=-=及正弦定理，得()()22sin3sin224cos 2cos 1sin C C a b C C C++==+-.又ABC 为锐角三角形，所以ππ0,022B A <<<<，即ππ02,0π322C C <<<-<，所以ππ64C <<，则(24a b +∈++.故选C.11.【答案】A 【解析】如图1，连接AC 交BD 于点E ，不妨设菱形ABCD 的边长为a ，则32AE CE a ==.将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，如图2所示，12,O O 分别为正,ABD CBD 的中心，过点12,O O 分别作平面ABD 和平面CBD 的垂线交于点O ，则121233,63O E O E AO CO ====.在等腰AEC中，3,2AE CE a AC ===，且BD ⊥平面AEC，则11193322A BCDAEC V S BD a -=⋅=⨯⨯= ，所以429360a a --=，即212a =（23a =-舍去），得a =.在AEC 中，由余弦定理，得2π3AEC ∠=，则在直角1OO E 中，1π6O OE ∠=，所以11OO E ==.设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ，则222117R OO AO =+=，故外接球的表面积为24π28πR =.故选A.12.【答案】B【解析】令()y f x ==()22(2)10x y y -+= ，即点M 在圆心为()2,0，半径为1的半圆上.()()()ln e1ln 11x ax g x x ax x x +⎡⎤=-+++++⎣⎦ ，当且仅当()ln 0x ax +=时等号成立，所以曲线()g x 的一条切线为1y x =+.通过数形结合可知，当,M N 分别为对应切点，且.MN 与两切线垂直时，MN 取得最小值，即MN 的最小值为圆心()2,0到直线1y x =+的距离减去半径，即MN112=-.过圆心()2,0与1y x =+垂直的直线方程为2y x =-+，与直线1y x =+平行的函数()f x的切线方程为2y x =-+设()(),,,M M N N M x y N x y ，所以当且仅当()2,2ln 021,M M M M N N N N N N y x y x x ax y x y x ⎧⎪⎪=-+⎪⎪=-+⎨⎪+=⎪⎪=-+⎪=+⎩即121,222,32,,2,22eN M N M x x y y a -⎧⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩时，MN 取到最小值.综上所述，12MN - .故选B.13.【答案】[)1,2-【解析】由题意，得10x + 且20x ->，即12x -< .14.【答案】3-【解析】因为()()sin cos f x a x x x ϕ=+=+的周期2πT =且直线π6x =-为对称轴，所以点π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x的对称中心，所以π10322f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得3a =-.15.【答案】2【解析】设PI IQλ=，则1212PF PF F QF Q λ==，所以1122PF FQ PF F Q λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又因为21122,2,PF PF a FQ F Q c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩所以12,.PF c a PF c a λλ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩在12PF F 中，由余弦定理，得2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F ∠=+-⋅⋅，即()2221()()(2)222c a c a c c a c λλλ⎛⎫+=-+--⋅⋅- ⎪⎝⎭，所以()()24242e e λλ+=+，即()212e λλ+=+.又因为54e =，所以2λ=.16.【答案】-2【解析】因为()21ln (1)x x x f x x '+-=+，所以令()11ln 1ln x u x x x x x+=-=+-，则()u x 在()0,∞+上单调递减，且()()22312ln20,e 102eu u =->=-<.由零点存在定理可知，存在唯一的()202,e x ∈，使得()00u x =，即0001ln x x x +=，即()0000ln 11x f x x x ==+①，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减.由1ln 1n n a a +=+，得433221ln 1,ln 1,ln 1a a a a a a =+=+=+.又()420ln 1a a x =+，得()323043ln 11ln 1a a f a x a a +===+②.由①②可知，()()0301f x f a x ==，则30a x =，所以2301ln ln a a x +==，即2001ln 1a x x =-=，所以1201ln ln a a x +==-，所以()()2111a a +++=0，即122a a +=-.17.解：（1）如图，设AC 的中点为N ，连接,MN BN .因为,M N 分别是,PC AC 的中点，所以1152,,222MN PA MC PC MN ====∥PA ，所以BMN ∠是异面直线BM 与PA 所成角或其补角.在BPC 中，2222224552cos 22455BC PC PB BCP BC PC ∠+-+-===⋅⋅⨯⨯.在BCM 中，22222552572cos 4242254BM BC MC BC MC BCP ∠⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以572BM =.在ABC 中，因为222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以1522BN AC ==.在BMN中，22222575242cos 219572BM MN BN BMN BM MN ∠⎛⎫+- ⎪+-==⋅⋅，所以BM 与PA所成角的余弦值为19.（2）因为AD ∥,BC AD BC =，所以四边形ABCD 是平行四边形.又由（1）知AB BC ⊥，即90ABC ∠= ，所以四边形ABCD 是长方形，则3,CD AB CD ==∥,,AB AB AD CD AD ⊥⊥.因为222AB AP BP +=，所以AB AP ⊥.又因为,,AD AP A AD AP ⋂=⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .又因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PAD .如图，过点P 作PH AD ⊥，垂足为H ，连接,HB HC .因为平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面,PAD AD PH =⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD .又因为,HB HC ⊂平面ABCD ，所以,PH HB PH HC ⊥⊥.又因为PB PC =，所以HB HC =.又因为,,AB AD CD AD AB CD ⊥⊥=，所以AH DH =，即H 是AD 的中点.因为CD ∥,AB AB ⊥平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥，所以222225316PD PC CD =-=-=，所以4PD =，所以PA AD PD ==，所以PAD 为等边三角形，所以PH =所以11134332P ABC ABC V S PH -=⋅=⨯⨯⨯⨯即三棱锥P ABC -的体积为.18.解：（1）设“甲回答问题且得分”为事件A ，“甲回答问题但对方得分”为事件A ，“乙回答问题且得分”为事件B ，“乙回答问题但对方得分”为事件B .记“前三个问题回答结束后乙获胜”为事件C .前三个问题回答的情况有8种：,,,,,,AAA AAA AAB AAB ABB ABB ABA ABA ，其中事件C 只包含了1种情况，即ABB ，所以()()18P C P ABB ==，即前三个问题回答结束后乙获胜的概率为18.（2）记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件D .由（1）可得，()()()()11178163232P D P AAA P AAAB P AAABB =++=+=.即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为732.19.解：（1）由已知，得4264213,217a a a a =+==+=.当3n 且n 为偶数时，221n n a a -=+，即()2121n n a a -+=+.又212a +=，所以当n 为偶数时，数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，当n 为偶数时，12122n n a +=⋅，即221nn a =-.当n 为奇数时，设()*21n k k =+∈N ，则21221k k k a a a +-=+2121k k a -=-+222321k k k a a --=-++1232121k k k a --=-+-+=111212121k k a -=-+-++-+ ()121212k k a ⋅-=-+-121k k +=--所以当n 为奇数时，12122n n n a ++=-，所以()()()()1231513529212223215a a a a ++++=-+-+-++- ()()1521211515122⨯-+⨯=--162122.=-20.解：（1）设切点221212,,,22x x M x N x p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以M 为切点的切线方程为()21112x x y x x p p -=-.因为切线过点()1,1P -，所以211220x x p --=.同理，222220x x p --=，所以12122,2x x x x p +==-.又因为()2221212122522222x x x x x x p pFM FN p p p p +-+=+++=+=，所以2320p p -+=，即()()120p p --=.又因为1p >，所以2p =，所以抛物线E 的方程为24x y =.（2）设直线1l 的方程为()11y k x +=-.联立直线1l 和抛物线E 的方程，得()21,4,y kx k x y ⎧=-+⎨=⎩所以()24410x kx k -++=.设()()()(),,,,,,,A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ，则4A B x x k +=.同理，4C D x x k+=-所以C A D BAC BD C A D By yy y k k x x x x --+=+--22224444C A D BC AD Bx xx xx x x x --=+--44C AD B x x x x ++=+()()4A B C D x x x x +++=0,=所以()0AC AB BD AB AC BD AB k k k k k k k +=+⋅=，所以AC AB BD AB k k k k +等于定值0.21.解：（1）当a =时，()()e sin 3,e cos x x f x x f x x =+-=+'.①当(),0x ∞∈-时，()[]e 0,1,sin 1,1x x ∈∈-，则()0f x <，所以()f x 在(),0∞-上无零点.②当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>，则()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增.又因为()πln 22π020,e 2e 202f f ⎛⎫=-<=->-= ⎪⎝⎭，所以()00π0,,02x f x ⎡⎤∃∈=⎢⎣⎦，所以()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有一个零点.③当π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()πln42e 13e 40f x >-->-=，所以()f x 在π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上无零点.综上所述，当a =()f x 在(),∞∞-+上只有一个零点.（2）对任意0x ，恒有()0h x >，即()221e 210x a x ax --+->恒成立，即22211ex x ax a -+<-恒成立，即()222110e x x ax a -+--<恒成立.设()()[)22211,0,e x x ax g x a x ∞-+=--∈+，则()()()()21212221e e x x x x a x a x a g x '⎡⎤---+-++--⎣⎦==.①当12a - 时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以只需()()2max 22()110e a g x g a -==--<，即()()e e 210,a a ++->解得()e 2,1,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭.又因为12a - ，所以e 2,e a ∞+⎛⎫∈--⎪⎝⎭.②当102a -<<时，()g x 在()0,21a +上单调递减，在()21,1a +上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以只需()()00,10.g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩由()()()2222110,020e ag a g a -=--<=-<，解得)e 2,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭，这与102a -<<矛盾，舍去.③当0a =时，()g x 在()0,∞+上单调递减，所以只需()00g <，得22a >，这与0a =矛盾，舍去.④当0a >时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,21a +上单调递增，在()21,a ∞++上单调递减，所以只需()()210,00.g a g ⎧+<⎪⎨<⎪⎩因为()()()()2222121(21)22112221110e e a a a a a a g a a a +++-++++=--=-<，且10a +>，所以2121e a a +->.又()2020,0g a a <=->，所以a >，所以212110.4e a a +->->>>>，所以)a ∞∈+满足条件.综上所述，实数a 的取值范围是)e 2,e ∞∞+⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.22.解：（1）设曲线C 的方程为221x y λλ-=.点5π6,3A ⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(0,-.将点A 的直角坐标代入曲线C 的方程，得2201λλ-=，所以27λ=-，所以曲线C 的普通方程为2212727y x -=，所以曲线C在第二象限的一个参数方程为,33,cos x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩参数π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（参数方程不唯一）设在x 轴上方直线l 上任意一点E 的极坐标为(),ρθ，连接ED .在BED 中，4DB =，由正弦定理，得sin sin DB ED BED EBD ∠∠=，即()()4sin 60sin 18060ρθ=-- ，所以()4sin60sin 60ρθ=-，所以()sin 60ρθ-= .经验证，在x 轴上及x 轴下方直线l 上的点也满足上式，所以直线l 的极坐标方程为()sin 60ρθ-= .（2）设直线l 的参数方程为11,232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.联立直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程，得22560t t --=.设,BM BN 对应的参数为12,t t ，则1212t t +=.，所以1BQ =.在DBQ中，11sin 41sin12022DBQ S DB BQ DBQ ∠=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 23.解：（1）因为()f x 是偶函数，所以只需针对0x 时()f x 的情况展开讨论.当[)0,1x ∈时，()()2221235f x x x x=---=-，此时不等式化为254x ->-，得21x >，舍去；当x ⎡∈⎣时，()()22212337f x x x x=---=-，此时不等式化为2374x ->-，，所以(;x ∈当)x ∞∈+时，()()2221235f x x x x =---=-+，此时不等式化为254x -+>-，得29x <，所以)x ∈.综上所述，所求不等式的解集为()()1,33,1⋃--.（2）由（1）可知，当[)0,1x ∈时，()f x 的值域为[)5,4--；当(),x f x ⎡∈⎣的值域为[)4,2-；当)(),x f x ∞∈+的值域为(],2∞-.因此，当x ∈R 时，()f x 的值域为(],2∞-，所以()f x 的最大值为2，则2a b +=，所以()()222233222221111()2222a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即22211()4222a b a b b a ++=⨯= ①，当且仅当1a b ==时等号成立.因为2a b =+ ，所以1ab ，所以222()2422a b a b ab ab +=+-=- ，即222a b + ②，当且仅当1a b ==时等号成立.由①+②，得22224a b a b b a+++ ，当且仅当1a b ==时等号成立，所以Z 的最小值为4.。
四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学(文科)试题
一、单选题二、多选题1. 函数与的图象关于直线l 对称，则l 可以是（ ）A．B．C．D．2. 已知集合A =，集合B =，则AB =（ ）A ．[0，1]B ．[- 1，1]C ．[-1，0)D ．[- 1，0]3. 已知，则（ ）A．B．C．D．4. 已知命题p ：，，则命题p的否定为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，5. 若，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知，，，则“”的一个必要不充分条件是（ ）A．B．C．D．7. 已知函数，的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）A．B．C．D．8. 在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球体积为（ ）A．B．C．D．9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）A．B ．复数在复平面内对应的点在第二象限C．D．10.已知，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．11. 函数在内有唯一零点的充分条件是（ ）A．的最小正周期为πB ．在内单调C ．在内有且仅有一条对称轴D ．在内的值域为12. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（ ）四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题三、填空题四、解答题A ．异面直线､所成角为定值B．C ．的面积与的面积相等D．三棱锥的体积为定值13. 在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量-，若A ，B ，C三点共线，则在方向上的投影是___________.14. 在的展开式中，的系数为______．15.已知定义在上的偶函数，满足，若，则的值为________．16. 已知函数，其中，，，，其部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）已知函数，求函数的单调递增区间.17. 已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若为锐角且，满足，求．18.已知椭圆的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，以PF 1为直径的圆过焦点F 2.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的右顶点为A ，与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(M ，N 与A 点不重合)，且满足AM ⊥AN ，点Q 为MN 中点，求直线MN 与AQ 的斜率之积的取值范围.19.设．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，求最大值．20. 记的内角的对边分别为，，.(1)求的面积；(2)若，求.21. 已知函数.（1）求曲线上一点处的切线方程；（2）当时，在区间的最大值记为，最小值记为，设，求的最小值.。
四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学(文科)试题(2)
一、单选题二、多选题1. 学校校园从教室到寝室的一排路灯共12盏，按照规定，如果两端有坏了的路灯或者中间同时坏了相邻的两盏或两盏以上的路灯，就必须马上维修，已知这排路灯坏了3盏，则这排路灯必须马上维修的概率为（ ）A．B．C．D．2. 在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间上的增函数又是以为周期的偶函数( )A．B．C．D．3. 已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（）A．B．C．D．4. 已知函数（，），．当取得最小值时，，则（ ）A．B．C．D．5.已知四面体中，是的中点，则（ ）A．B．C．D．6. 已知，则（ ）A．B．C．D．7. 已知复数z 满足，则（ ）A ．1B．C．D ．58. 若,则的共轭复数为 ( )A．B．C．D．9. 在长方体中，，E是棱的中点，过点B ，E ，的平面交棱于点F ，P 为线段上一动点（不含端点），则（ ）A．三棱锥的体积为定值B ．存在点P，使得C ．直线与平面所成角的正切值的最大值为D．三棱锥外接球的表面积的取值范围是10.已知数列的前项和为，则（ ）A ．若，则数列为等比数列B．若，则四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题(2)四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题(2)三、填空题四、解答题C ．若，且，则D ．若，，，，，则数列为等差数列的必要条件为11. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（ ）A．B．C．D．12. 下列命题为真命题的是（ ）A ．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17B ．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好D ．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c ，k 的值分别是和213. 已知正项数列前项和满足，且，则__________.14. 核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是______．15. 已知为奇函数，，则 ．16. 假设在一个以米为单位的空间直角坐标系中，平面内有一跟踪和控制飞行机器人的控制台，的位置为.上午10时07分测得飞行机器人在处，并对飞行机器人发出指令：以速度米/秒沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达点，再发出指令让机器人在点原地盘旋秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到米/秒，然后保持米/秒，再沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人最终落在平面内发出指令让它停止运动.机器人近似看成一个点.（1）求从点开始出发20秒后飞行机器人的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人与控制台的最近距离(精确到米).17.如图，平面四边形中，，，，是上的一点，（），是的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.18. 如图，三棱柱中，底面是正三角形，是其中心，侧面是正方形，是其中心．（Ⅰ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若四面体是正四面体，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19. 在平面直角坐标系中，是抛物线：的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.(1)求抛物线的方程．(2)是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且(1)求；(2)若，设点为的费马点，求；(3)设点为的费马点，，求实数的最小值．21. 《营造法式》是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平.中国近代建筑之父梁思成用现代语言和制图方法对该书进行了注释，著有《营造法式注释》，为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及其注释》，为检测学生学习效果，要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建筑模型”的作业.已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为，现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取份（每位学生均上交一份作业），并评出成绩，得到如下频数分布表：成绩（单位：分）频数（不分年级）频数（大三年级）（1）求，的值；并估计这份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在这份作业的样本中，从成绩在的大四学生作业中随机抽取份，记抽取的这份作业中成绩在的份数为，求的分布列与数学期望.。
四川省成都市石室中学2021届上学期高三年级一诊模拟测试数学试卷(文科)
四川省成都市石室中学2021届上学期高三年级一诊模拟测试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．复数z 满足()12i z i +=，则=z （A ）12（B）2（C（D ）22．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B =（A ）(1,2)（B ）(1,2]（C ）(2,1)-（D ）[2,1)-3．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若错误!,P Q A P B QP P Q Q {}n a n n S 228580a a a +-+=9S =()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭6πy ()f x m n m n -6π3π23π53π()()22239C x y -+-=：()11M ，C ,A B AB 210x y --=280x y +-=210x y -+=230x y +-={}n a n S n T 316a =3112S =1n T >P ABC-PA ⊥ABC 2AB =1AC =60BAC ∠=43π323π12π16π21:8C y x =222:(2)1C x y -+=,P Q 12,C C (4,0)M ||||PM PQ 35454-4ln 3a π=3ln 4b π=34ln c π=a b c c b a <<b c a <<b a c <<a b c <<,x y4312x y xx y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩2z x y =-0.6182sin18m =︒24m n +=212cos 27m n-︒P ()222210,0x y a b a b-=>>12,F F I 12PF F ∆1212,,IPF IPF IF F ∆∆∆12,,S S S 1212S S S -≥()()()2ln ln f x ax x x x x =+--ABC ∆(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=3c =ABC ∆P ABCD -PAD ⊥ABCD ABCD//,2AB CD AB DC =23,ACBD F ==G G PCD -0<()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑17 4.1≈ˆˆˆybx a =+()()()1122211ˆnni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-22221x y a b+=0a b >>(0,1)A 22222:(1)M x y r ++=M ()e cos 2xf x x =+-()f x '()f x 0x ≥()f x 'π2x ≥-2cos 20xxe x x ax x +--≥a xOy C cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩αx O 3πθ=56πθ=()R ρ∈C ,A B ,A B C ,A B AB ABO ∆()225f x x =+-()|1|f x x ≥-1m ≥-()()||g x f x x m =+-x m[]8,0z ∈-12-12e <≤2211,e e e e ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭ABC ∆,A B C ，,,,a b c (2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=∴(2)(2)2222a b c a b b a c R R R +⋅++⋅=⋅222a b c ab +-=-2221cos 22a b c C ab +-∴==-0C π<<23C π∴=3c =3sin sin 32a bA B∴==2sin a A ∴=2sin b B =ABC ∆l l a b c =++2sin 2sin 3A B =++2sin 2sin 33A A π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭2sin 2sin cos 2cos sin 333A A A ππ=+-+sin 3cos 3A A =++PAD ∆ABD ∆PAD∆//GF PDC2sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭03A π<<2sin 3A π⎛⎫∴<++ ⎪⎝⎭2≤+ABC∆2PD E ,,AE CE GF//,2AB CD AB DC=AC BD F ==2AF AB FCCD∴==G G2AGGE ∴=GF CE ∴,GF PDC CE PDC ⊄⊂面面∴G PCD F PCDP CDFV V V ---==11122CDF DF S FB ∆=∴==133P CDF V -∴==182.479.2>()()772211182.479.2iii i y y y y ==>--∑∑()()772211182.479.211iit t y y y y ==-<---∑∑21R 22R 17x =ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y=≈⨯-=17x >2122232425235x ++++==68.56867.5666667.25y ++++==0.767.20.72383.3a y x =+=+⨯=17x >ˆ0.783.3yx =-+20x ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=20x 69.3574.3+=72.93>22222111122b c x a b c C y a a b c =⎧⎪⎪=⇒===⇒+=⎨⎪=+⎪⎩，椭圆：过A 的切线方程可设为l ：1y kx =+，代入椭圆C 的方程得：()222421212kx kx x k -++=⇒=+，可得21122114121212k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，；同理可得22222224121212k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ……………………………………6分 由圆M 与l ()2221210r r k k r =⇒--+-=由韦达定理得：12122211k k k k r+==-，……………………8分 所以直线BD 的斜率()()()22212222212112122212121122221121212124424442111212k k y y k k k k k k k k k x x k k k k r k k ----++-====-+=-----+++……………………………………9分直线BD 的方程为：21122221124212112k k y x k r k ⎛⎫--=+ ⎪+-+⎝⎭化简为：2211122221111412223112121k k k y x x r k k k r +-=-⨯+=--++-，即2231y x r =--…………11分 所以，当(01)r r <<变化时，直线BD 总过定点()03R -，………………12分 21．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）()e sin x f x x '=-，令()e sin x g x x =-，0x ≥，则()e cos x g x x '=-PAD ∆//GF PDC //GF PDC①当[)0,πx ∈时，()g x '为增函数，()()00g x g ''≥=；②当[),x π∈+∞时，()πe 10g x '≥->故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，故()()min 01g x g ==，即()f x '的最小值为1 ……5分（Ⅱ）令()e cos 2x hx x ax =+--，()e sin x h x x a '=--，则本题即证当π2x ≥-时，()0x h x ⋅≥恒成立 ①当1a >时，由（1）可知()e sin x h x x a '=--在[)0,+∞上为增函数，且()010h a '=-<，()1110a h a e a +'+≥-->，故存在唯一()20,x ∈+∞，使得()20h x '=则当()20,x x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数，所以()()00h x h <=，此时()0x h x ⋅<，与()0x h x ⋅≥恒成立矛盾 …………………………7分 ②当1a ≤时，（i ）若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，所以()h x 为增函数，故()()00h x h ≥=恒成立，即()0x h x ⋅≥恒成立；…………………………8分（ii ）若π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()e cos xh x x ''=-，()e sin x h x x '''=+在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，又()01h '''=，π2πe 102h -⎛⎫'''-=-< ⎪⎝⎭，故存在唯一0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x '''= 当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '''<，()h x ''为减函数；()0,0x x ∈时，()0h x '''≥，()h x ''为增函数 又π2πe 02h -⎛⎫''-=> ⎪⎝⎭，()00h ''=，故存在唯一1π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得()10h x ''=故1π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()10h x ''>，()h x '为增函数；()1,0x x ∈时，()10h x ''<，()h x '为减函数 又π2πe 102h a ⎛⎫'-=+-> ⎪⎝⎭，()010h a '=-≥，所以π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0h x '>，()h x 为增函数，故()()00h x h ≤=，即()0x h x ⋅≥恒成立……11分 综上所述，1a ≤………………………12分 22．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以消去参数α得曲线C 的普通方程为2220x y y +-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入曲线C 可得C 的极坐标方程：2sin ρθ=将直线3πθ=，56πθ=代入圆的极坐标方程可知:1ρ=，21ρ=，故A 、B两点的极坐标为3A π⎫⎪⎭，51,6B π⎛⎫⎪⎝⎭…………………5分 （Ⅱ）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得：32A ⎫⎪⎪⎝⎭，12B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，根据两点式可知直线AB 的方程为：所以的极坐标方程为：13y x =+ 所以AB的极坐标方程为sin 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 可知直线AB 恰好经过圆的圆心，故ABO ∆为直角三角形，且OA 1OB =，故12ABO S ∆==分 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥， 综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-+∞……………………………………5分（Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++ 315x =+-，此时()gx 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：当1m >-时，()225g x x x m =+-+- 37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()gx 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增 要使函数()gx 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m ⎧-=-<⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫-⎪⎢⎣⎭…………………10分。
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成都石室中学高2012届一诊模拟数 学 试 题 (文科)一.选择题(本题共有12小题, 每题5分,共60分,每题恰有一个答案)1．已知集合U ＝{x |0≤x ≤6，x ∈Z}，A ＝{1,3,6}，B ＝{1,4,5}，则A ∩(?U B )＝ ( )A ．{1}B ．{3,6}C ．{4,5}D ．{1,3,4,5,6}2. 下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 （ ） A.sin()2y x π=+ B.cos(2)2y x π=+ C.sin(2)2y x π=+ D.cos()2y x π=+3.(81展开式中不含4x 项的系数的和为 （ ）4.已知函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则1(())4f f = ( )B. 19195.若函数()log a f x x =（其中0,1)a a >≠满足(5)2f =，则15(2log 2)f -的值为 （ ）A ．5log 2 B. 2log 56.将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有 ( )A. 18种B. 24种C. 54种D. 60种7．设{}n a 、{}n b 分别为等差数列与等比数列，且114a b ==，441a b ==,则以下结论一定成立的是 ( )A ．22a b >B ．33a b <C ．55a b >D ．66a b >8.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动6π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 ( )A.sin(2)3y x π=-，x R ∈ B.sin()26x y π=+，x R ∈C.sin(2)3y x π=+，x R ∈ D.sin(2)32y x π=+，x R ∈9.设,,a b c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a 与b 不共线,a c ⊥,||||a c =,则||b c ⋅的值一定等于 ( )A ．以,a b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以,b c 为两边的三角形面积C ．,a b 为两边的三角形面积 D. 以,b c 为邻边的平行四边形的面积10.已知p 是r 的充分条件而非必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件.现有下列命题： ①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分非必要条件；③r 是q 的必要非充分条件； ④p s ⌝⌝是的必要非充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是 （ ）A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D. ②④⑤ 11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于．．6 ．时再增选一名代表. 那么各班可推选代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为 （ ）＝[10x ]＝[310x +]＝[410x +]＝[510x +]12. 如图,在长方形ABCD 中，3，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起,使点D在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ( )A ．3B ．23C ．2πD ． 3π二.填空题(每题4分,共16分) 13.设()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 14.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=_______15．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 对折成120的二面角，则B 、D 在四面体A-BCD 的外接球球面上的距离为16．已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：对任意x 0∈+∞（，），恒有f(2x)=2f(x)成立； 当x ]∈（1，2时，f(x)=2-x 。
给出如下结论： ①对任意m Z ∈，有m f(2)=0； ②函数f(x)的值域为[0+∞，）； ③存在n Z ∈，使得n f(2+1)=9；④“函数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)k k a b +⊆”. 其中所有正确结论的序号是成都石室中学高2012届一诊模拟数学答题卷(文科) 13. 14. 15. 16. 三.解答题(本题共有6小题,共74分,写出必要的解答或证明过程)17.(满分12分) 在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列（Ⅰ）求B 的值； （Ⅱ）求22sin cos()A A C +-的范围.18.某校2012年推优班报名正在进行，甲、乙、丙、丁四名学生跃跃欲试，现有四门学科(数学、物理、化学、信息技术)可供选择，每位学生只能任选其中一科． （1）求恰有两门学科被选择的概率；（2）已知报名后,丁已指定被录取.另外甲被录取的概率为23,乙被录取的概率为34,丙被录取的概率为12.求甲、乙、丙三人中至少有两人被录取的概率。
19. (满分12分)如图，五面体ABCDE 中，正∆ABC 的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，且CD=12AE ．(I)设CE 与平面ABE 所成的角为α，AE=(0),k k >若[,],64ππα∈求k 的取值范围；(Ⅱ)在(I)和条件下，当k 取得最大值时，求平面BDE 与平面ABC 所成角的大小． 20. (满分12分)设数列{}n a 满足12323...2(*).n n a a a na n N ++++=∈（I ）求数列{}n a 的通项； （II ）设2,n n b n a =求数列{}n b 的前n 项和n S .21. (满分12分)已知函数()()()331,'5f x x ax g x f x ax =+-=--，其中()'f x 是()f x 导函数 (Ⅰ)对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)设2a m =-,当实数m 在什么范围内变化时,函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点22．(满分14分)已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)n n nn a a n a +-=-（2,3,4,n =）．（1）求3a 、4a 的值； （2）设111n n b a +=-(*N n ∈),试用n b 表示1n b +并求{}n a 的通项公式 （3）求证：对一切*N n ∈且2n ≥，有2222313n a a a +++<． 成都石室中学高2012届一诊模拟 数 学 试 题 (文科) 答案一.选择题(本题共有12小题, 每题5分,共60分,每题恰有一个答案)1．已知集合U ＝{x |0≤x ≤6，x ∈Z}，A ＝{1,3,6}，B ＝{1,4,5}，则A ∩(?U B )＝ ( B )A ．{1}B ．{3,6}C ．{4,5}D ．{1,3,4,5,6}2. 下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 （ C ） A.sin()2y x π=+ B.cos(2)2y x π=+ C.sin(2)2y x π=+ D.cos()2y x π=+3.(81x展开式中不含4x 项的系数的和为 （ A ）4.已知函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则1(())4f f = ( B )B. 19195.若函数()log a f x x =（其中0,1)a a >≠满足(5)2f =，则15(2log 2)f -的值为 （ D ）A ．5log 2 B. 2log 56.将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有 ( B )A. 18种B. 24种C. 54种D. 60种7．设{}n a 、{}n b 分别为等差数列与等比数列，且114a b ==，441a b ==,则以下结论一定成立的是 ( A )A ．22a b >B ．33a b <C ．55a b >D ．66a b >8.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动6π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 ( B )A.sin(2)3y x π=-，x R ∈ B.sin()26x y π=+，x R ∈C.sin(2)3y x π=+，x R ∈ D.sin(2)32y x π=+，x R ∈9.设,,a b c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a 与b 不共线,a c ⊥,||||a c =,则||b c ⋅的值一定等于( A )A ．以,a b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以,b c 为两边的三角形面积C ．,a b 为两边的三角形面积 D. 以,b c 为邻边的平行四边形的面积10.已知p 是r 的充分条件而非必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件.现有下列命题： ①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分非必要条件；③r 是q 的必要非充分条件； ④p s ⌝⌝是的必要非充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是 （ B ）A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D. ②④⑤ 11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于．．6 ．时再增选一名代表. 那么各班可推选代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为 （ B ）＝[10x ]＝[310x +]＝[410x +]＝[510x +]12. 如图,在长方形ABCD 中，3，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起,使点D在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ( D )A 323C ．2πD ． 3π二.填空题(每题4分,共16分) 13.设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x-=-的图象一定过点 . (-1,2) 14.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=_6_______15．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 对折成120的二面角，则B 、D 在四面体A-BCD 的外接球球面上的距离为23π16．已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：①对任意x 0∈+∞（，），恒有f(2x)=2f(x)成立；当x ]∈（1，2时，f(x)=2-x 。