09专题五 特殊四边形的动态探究题word版习题

专题五特殊四边形的动态探究题(2019、2019、2019.18、2019、2019.17；2019.22；2019.19；2009.21)试题演练1. 如图，在△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心的⊙O经过AB的中点C，直线︵、CFCE、P是DF的中点，连接，E、D，OB交⊙O于点FAO与⊙O相交于点. BP的切线．是⊙O(1)求证：AB，则＝4(2)若OA︵OECF是菱形；DP长为________时，四边形①当︵________时，四边形OCBP是正方形．②当DP长为题图第1A重合的一个动点，延长P是⊙O上不与A，BO2. 如图，AB是⊙的直径，点P 延交PBAD∥PB，射线CD＝到点C，使ACAP，点D为⊙O上一点，且满足.长线于点E；求证：△PAB≌△ACD(1) 填空：(2) ；，则四边形ABED的最大面积为____________6①若AB＝________则当∠PAB的度数为，②若射线CD与⊙O的另一个交点为F，连接OF D，F为顶点的四边形为菱形．时，以O，A，题图第2出发，A＝BD12 cm.点P从点＝＝?3.如图，已知ABCD中，AD8 cm，AB10 cm，设D运动．出发以相同的速度向点同时点1 cm/s以的速度向点B运动，Q从点C.t运动时间为；＝，求证：、连接(1)DPBQDPBQ页 1 第(2)填空：PBQD是矩形；t为______s时，四边形①当是菱形．时，四边形t 为______s PBQD②当题图第3交⊙DOBC于点D，延长ABC内接于⊙O，AB是直径，OD⊥4.如图，已知△. AFF，连接OC，O于点；COD≌△BOD(1)求证：△填空：(2) 是菱形；________时，四边形OCAF①当∠1＝.2＝OD2②当∠1＝________时，AB题图第4与为直径的⊙O°，以ACB＝90AC5. (2019濮阳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠. 边的中点，连接DE，E为BC斜边AB交于点D O的切线；求证：DE是⊙(1) (2)填空：23，则DE＝＝30°，AC________；①若∠B＝②当∠B＝________时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．第5题图6.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一动点，过点C作半圆O的切线l，过点B作BD⊥l，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC、CE、AE，AE交OC 于点F.(1)求证：△CDE≌△EFC；(2)若AB＝4，连接AC.①当AC＝________时，四边形OBEC为菱形；页 2 第②当AC＝________时，四边形EDCF为正方形．第6题图7.如图，在△ABD中，AB＝AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G.(1)求证：GC是⊙F的切线；(2)填空：①若△BCF的面积为15，则△BDA的面积为________；②当∠GCD的度数为________时，四边形EFCD是菱形．第7题图8.如图，在⊙S中，AB是直径，AC、BC是弦，D是⊙S外一点，且DC与⊙S 相切于点C，连接CS，DS，DB，其中DS交BC于点E，交⊙S于点F，F为弧BC的中点．(1)求证：△DCS≌△DBS；(2)若AB＝10，AC＝6，点P是线段DS上的动点．①连接PC、PB，当PD＝_________时，四边形PCSB是菱形；②当PD＝_________时，△PAC的周长最小．第8题图9. 如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1 cm/s的速度匀速运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA 方向匀速运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点3M和点N，已知⊙O的半径为cm，AC＝8 cm，设运动时间为t秒．2(1)求证：NQ＝MQ；(2)填空：①当t＝________时，四边形AMQN为菱形；页 3 第相切．与⊙Ot＝________时，NQ②当题图第9的平分线交是半圆上的一个动点，∠BAC是半圆ABO的直径，点C10.如图，. 交于点E在点D处的切线与直线AC圆弧于点D，半圆O ABD；(1)求证：△ADE ∽△(2)填空：＝3∶2，则AE∶∶DBAB＝________；①若ED②连接OC、CD，当∠BAC的度数为________时，四边形BDCO是菱形．第10题图11. 如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的圆上，射线DC切⊙O于点D.已知点E是圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°.(1)求证：CD∥AB；(2)填空：①当∠DAE＝________时，四边形ADFP是菱形；②当∠DAE＝________时，四边形BFDP是正方形．第11题图12.如图，BC是⊙O的直径，BP＝BO，过点P作⊙O的切线交⊙O于点A，点D为劣弧AC上一点，连接OA，AC，AD，CD，AB.(1)求证：△OAP≌△BAC；(2)填空：①若BP＝3，则△APC的面积为________；︵AOCD为菱形．l②在①的条件下，当＝________时，四边形AD 12题图第页 4 第13.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E.(1)求证：△OBD≌△OED；(2)填空：①当∠BAC＝________时，CA是半圆O的切线；②当∠BAC＝________时，四边形OBDE是菱形．第13题图14.如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC.(1)求证：BC∥OP；(2)填空：若半圆O的半径等于2，①当AP＝________时，四边形OAPC是正方形；②当AP＝________时，四边形BODC是菱形．第14题图15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线m于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)填空：当D是AB的中点时，①四边形BECD是________；②当∠A＝________时，四边形BECD是正方形．第15题图16.如图，⊙O的半径为4 cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A、D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF、DC向终点F、C运动．连接PB、PE、QB、QE，设运动时间为t(s)．页 5 第PEQB为平行四边形；(1)求证：四边形(2)填空：PEQB为菱形；t＝________ s时，四边形①当PEQB为矩形．＝________ s时，四边形②当t题图第16 答案试题演练的中点，是ABOA＝OB，C1. (1)证明：∵在△ABO中，.ABOC⊥∴的半径，为⊙O∵OC O的切线；是⊙∴ABπ解：①；(2)3OC，＝CF＝OF【解法提示】要使四边形OECF为菱形，则OE＝＝CE OCE是等边三角形，∴△°，60∴∠AOC＝，OC⊥AC又∵11 ，＝2°＝OA＝×4cos60∴OC＝OA·22︵的中点，P是DF°，＝BOD180°－∠AOC－∠BOC＝60又∵∠＝30°，＝∠∴∠DOPFOP︵π2?30?π. DP∴的长＝＝31802.π②2 BOCOCBP【解法提示】要使四边形为正方形，则∠＝∠°，45BOP＝BOCAOC又∵∠＝∠，页 6 第＝90°，AOB∴∠⊥AB，又∵OA＝OB，OC21 2，＝OC＝AB2＝OA∴22︵是DF的中点，又∵P︵︵，∴DP＝PF︵222?π?45π.＝的长＝∴DP21802. (1)证明：如解图①，连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝∠ADB＝90°，∵AD∥PB，∴∠CAD＝∠APB＝90°，∴∠PAD＝90°，第2题解图①∴∠APB＝∠ADB＝∠PAD＝90°，∴四边形ADBP是矩形，∴AD＝PB，在△PAB和△ACD中，∴△PAB≌△ACD；(2)解：①18；11【解法提示】①由(1)知，AD＝PB，∵AD∥PB，AC＝AP，∴AD＝PE＝(PB＋22BE)，∴PB＝EB，∴AD＝BE，∵AD∥PB，∴四边形ADEB是平行四边形，∵AB是⊙O的直径，其长度不变，∴直线CD和⊙O相切时，即点D到直径AB的距离等于半径时，四边形ABED的面积最大，∵AB＝6，∴S＝AB ABED最大四边形页 7 第118. ＝×AB2.°30°或②60︵︵为⊙PD时，如解图②，连接A＞PBPD，则【解法提示】分两种情况考虑：当P和＝＝FOOD，∴△ADOO的直径，∵四边形ADFO为菱形，∴OA＝AD＝DF1°；∠AOD＝30＝△ODF为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵OAOP，∴∠PAB＝2︵︵AODF的直径，∵四边形<当PAPB时，如解图③，连接PD，AF，则PD为⊙O为等边三角形，∴∠＝为菱形，∴OA＝AFDF＝FO＝OD，∴△AOF和△DOFAB＝120°，∴∠AOP为等边三角形，∴∠P＝OP，∴△AOP＝60°，∵OAAOD. 60°＝第2题解图③2第题解图②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，3. (1). BCAD∴∠A＝∠C，＝，又∵AP ＝CQ＝t中，在△APD和△CQB APD≌△CQB(SAS)，∴△；DP＝BQ∴1；解：①(2)∴是矩形，PBQD边形【解法提示】如解图①，要使四2222222＝8－DP＝BP，即－tABDP⊥，∴AD－APBD＝221. ＝t－)t，解得12－(102.②DH作，如解图②，过点为菱形，则【解法提示】要使四边形PBQDBP＝DPDBH ＝＝BH10－1DBH＝∠，＝9cos由①知OBD，连接HAB⊥于，PQ与相交于.BD3933OB6，Rt.＝在△，即＝＝PBO∠＝DBH∠，＝PBO cos中，BOP∠coscos4PB1244t10?页 8 第2.＝解得t题解图第3 ，⊥BC，OB＝OC4. (1)证明：∵OD OBD90°，∠OCD＝∠，∴∠ODC＝∠ODB＝在△COD和△BOD中，∴△COD≌△BOD；(2)解：①30°；，＝AC＝OC【解法提示】如解图，要使四边形OCAF是菱形，则OF＝AF＝OA是等边三角形，和△OAC即△AOF°，＝60∴∠2＝∠3 O的直径，AB∵是⊙90°，∴∠ACB＝30°，∴∠1＝是菱形．∴当∠1＝30°时，四边形OCAF题解图第4.°②45 AB＝2OB，【解法提示】∵2 OD，＝OB∴要使AB＝，则22OD22OD＝，＝∠∴在Rt△ODB中，sin12OB°，＝45∴∠1＝22ABOD. °时，∴当∠1＝455. (1)证明：如解图，连接OD.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，页 9 第＝90°，∴∠CDB为BC边的中点，又∵E DCB斜边的中线，Rt∴DE为△1. ＝BC∴DE＝CE 2. ＝∠CDE∴∠DCE OD，∵OC＝ODC，∴∠OCD＝∠°，＝∠ACB＝90∴∠ODC＋∠CDE＝∠OCD＋∠DCE. °∴∠ODE＝90 的直径，OD为⊙O ∵的切线．DE是⊙O∴第5题解图解：①3；(2) °，＝90＝23，∠BCA【解法提示】∵∠B＝30°，AC3AC32＝°＝∴tan30，＝3BC BC解得：BC ＝6，1则DE＝BC＝3. 2②45°.【解法提示】∵四边形ODEC为正方形，∴∠DEC＝∠ACB＝90°，DE＝EC，又∵BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠B＝45°.页 10 第＝90°，(1)6. 证明：由题意可知，∠D为半圆O的直径，∵AB＝90°，∴∠AEB为半圆O的切线，又∵l＝90°，∴∠DCO∴四边形CFED为矩形，CD，＝DE，EF＝∴CF CE，又∵CE＝(SSS)；∴△CDE≌△EFC 2；(2)解：①1EAB，∴∠＝CE＝AB【解法提示】若四边形OBEC是菱形，则OC＝OB＝BE2AB 为等边三角形，∵OA，∴△AOC＝∠EBA＝60°，∵OC＝＝30°，∴∠COA2. ，∴AC＝＝42.②2重合，EB与与EDCF为正方形，则OF重合，【解法提示】如解图，若四边形2＝2.2OC＝，∴ACAOC∠＝90°，∵OA＝第6题解图7. (1)证明：∵AB＝AD，FB＝FC，∴∠B＝∠D，∠B＝∠BCF.∴∠D＝∠BCF，∴CF∥AD.∵CG⊥AD，∴CG⊥CF，又∵FC为⊙F的半径，页 11 第∴GC是⊙F的切线；(2)解：①60；BF1【解法提示】∵CF∥AD，∴△BCF∽△BDA，∵＝，S∶S＝1∶4，BDABCF2BA△△∴S＝4S＝4×15＝60. BCFBDA△△②30°.【解法提示】∵四边形EFCD为菱形，∴EF∥BD，∵点F为AB的中点，AB＝AD，∴AE＝AF，∵AF＝EF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，∴∠D＝60°，∴∠GCD＝180°－90°－60°＝30°.8. (1)证明：∵点F是弧BC的中点，SF为⊙S的半径，∴SF⊥BC，且E为BC的中点，∴DS是BC的垂直平分线，∴DC＝DB.在△DCS和△DBS中，∴△DCS≌△DBS(SSS)；7(2)解：①；3【解法提示】如解图，四边形PCSB是菱形，∴PE＝SE，BE ＝CE，PS⊥BC.∵AB是⊙S的直径，∴AC⊥BC，∵AB＝10，AC＝6，在Rt△ABC 中，由勾股定理可得BC＝8，∴BE＝4，∵BS＝5，∴在Rt△BES中，由勾股定理可得ES＝3，页 12 第∴PS＝6，∵由(1)可得DB是⊙S的切线，∴BS⊥DB，∴∠SEB＝∠SBD＝90°，SBSE3255∵∠BSE＝∠DSB，∴△EBS∽△BDS，∴＝，即＝，∴SD＝，∴PD 3SBSD5SD2577＝SD－PS＝－6＝，∴当PD＝时，四边形PCSB是菱形．333第8题解图25②.3【解法提示】∵DS是BC的垂直平分线，∴PC＝PB，∴△PAC的周长＝AC＋PA＋PC＝6＋PA＋PC＝6＋PA＋PB，当P、A、B三点共线时，PA＋PB最小，即点P与点S重合时，△PAC的周长最小，即周长的最小值为6＋10＝16，此时PD2525＝SD，由①知SD＝，∴当PD＝时，△PAC的周长最小．339. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，AB⊥MN，∴PM＝PN，∴AB垂直平分MN，∴NQ＝MQ；8(2)解：①；3【解法提示】AP＝t，CQ＝t，则PQ＝8－t－t＝8－2t，∵AQ ⊥MN，PM＝PN，8∴当AP＝PQ时，四边形AMQN为菱形，即t＝8－2t，解得t ＝. 3②2.313【解法提示】如解图，作OH⊥QN于H，OQ＝AC－AO－CQ＝8－－t＝－t，223OP＝t－，当ON⊥QN时，QN为⊙O的切线，∵∠NOQ＝∠PON，∠OPN＝233313∠ONQ，∴△ONP∽△OQN，∴OP∶ON＝ON∶OQ，即(t－)∶＝∶(－t)，22222－8t＋12＝0，解得t＝2，t＝6(舍去)，t整理得21∴t＝2时，NQ与⊙O相切．第9题解图页 13 第OD，10. (1)证明：如解图①，连接BAC的平分线，∵AD是∠DAB，∴∠EAD ＝∠，∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE的切线，∵DE是半圆O OD∴⊥DE，E＝90°，∴∠AB是半圆O的直径，∵＝90°，∴∠ADB＝∠ADB，∴∠EAD＝∠DAB，∠E ABD；∴△ADE∽△10题解图①第；4(2)解：①3∶AEED，∽△ABD，∴＝(1)【解法提示】由得△ADE ADBD，3∶2∵ED∶DB＝，3∶∶∴AEAD2＝°，＝30∴∠EAD 30°，DAB∴∠＝＝3∶2，AB∴AD∶∴AE∶AB＝3∶4.②60°.页 14 第【解法提示】如解图②，连接OC，CD，OD，当四边形BDCO是菱形时，OD＝BD，∴△ODB为等边三角形，∴∠DOB＝60°，由(1)得，OD∥AC，∴∠BAC＝60°. 第10题解图②11. (1)证明：如解图，连接OD，∵射线DC切⊙O于点D，∴OD⊥CD，即∠ODF＝90°，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝2∠AED＝90°，即∠ODF＝∠AOD，∴CD∥AB；第11题解图(2)解：①67.5°；【解法提示】∵四边形ADFP是菱形，∴AD＝AP，∵在Rt△AOD中，OA＝OD，180°－45°∴∠DAO＝45°，∴∠ADP＝∠APD＝＝67.5°，∴在△ADE中，2∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝180°－67.5°－45°＝67.5°.②90°.【解法提示】当四边形BFDP是正方形，由题意可知，DE⊥AB时DE经过⊙O的圆心，∴DE是⊙O的直径，∴∠DAE＝90°.12. (1)证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠BAC，页 15 第，Rt△OAP中，BP＝BO∵在的中点，∴点B为PO，∴AB＝PB＝BO＝∵OAOB，OA＝OB＝AB，∴∴△ABO为等边三角形，＝∠ABC＝60°，∴∠AOP在△OAP 和△BAC中，∴△OAP；≌△BAC327 解：①；(2)4 BC于点E，⊥【解法提示】如解图，过点A作AE OB＝OC，∵BP＝3，9. ＝＋OC∴PC＝BP＋OB中，△AOE 在Rt 60°，∵∠AOE＝333.×°＝＝3·＝∴AEOA·sin∠AOE＝OA sin60223327113＝×S∴＝×AE＝9. PC·APC4222△第12题解图②π.【解法提示】如解图，连接OD.∵四边形AOCD为菱形，∴AO＝AD，∵＝OA360π?︵. AOD为等边三角形，∴∠＝60＝π°，∴l＝AODOD，∴△AD180AD13. (1)证明：如解图，连接，题解图13第页 16 第∵AB是半圆O的直径，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，︵︵. ED∴BD＝，∴BD＝ED中，在△OBD和△OED；≌△OED(SSS)∴△OBD°；(2)解：①90 为⊙O的直径，90【解法提示】当∠BAC＝°，∵AB是半圆O的切线．∴CA.②60°OBDE为菱形，【解法提示】∵四边形BD，∴OB＝OD，∵OB＝是等边三角形，∴△OBD°，∴∠ABC＝60 ，AB＝AC∵∴△ABC为等边三角形，.＝60°∴∠BAC，AC14. (1)证明：如解图，连接OC，ABAM⊥，AB∵是直径，是半圆的切线，APBC∴⊥AC，，COPC∵切半圆于点页 17 第＝PC，∴PA＝OC，又∵OA⊥AC，∴OP∥OP；∴BC 14题解图第2；(2)解：①AP，【解法提示】若四边形OAPC是正方形，则OA＝2，∵OA＝2. AP＝∴3.2②＝＝OD是菱形，则CB＝BO【解法提示】如解图，连接CD，若四边形BODC DC，90°，，∠ACB＝∵AB＝2OB BC，AB＝2∴°，ABC＝60∴∠BAC＝30°，∠，BC∥OP∵°，＝60∴∠AOP＝∠ABC 2，＝＝90°，OA又∵∠OAP 30°，∴∠OPA＝4，∴OP＝22222?42＝∴AP＝＝3. OAOP?15. (1)证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，∵直线m∥AB，页 18 第∴四边形ACED为平行四边形，∴CE＝AD；(2)解：①菱形；【解法提示】∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，BD＝CD＝DA，由(1)知，CE＝AD，∴CE＝CD.∵BD＝CD，DE⊥BC，∴CF＝BF，∴BE＝CE，∴BD＝CD＝CE ＝BE，∴四边形BECD是菱形．②45°.【解法提示】要使四边形BECD为正方形，则BD＝CD，BD⊥CD，∴∠CBD＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°.16. (1)证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P、Q同时分别从A，D两点出发，速度1 cm/s，运动时间为t(s)，∴AP＝DQ＝t，在△ABP和△DEQ中，∴△ABP≌△DEQ(SAS)．∴BP＝EQ，同理可证，PE＝QB，∴四边形PEQB是平行四边形；(2)解：①2；【解法提示】当四边形PBQE为菱形时，PB＝PE＝EQ＝QB，∴△ABP≌△DEQ ≌△FEP≌△CBQ，∴AP＝PF＝DQ＝QC，即t＝4－t，得t＝2.②0或4.【解法提示】如解图，连接OB，OP.要使四边形PBQE为矩形，则OB＝OP.故页19 第点P在点A或点F处，即t的值为0或4.第16题解图页 20 第。