2017年北京市昌平区高考数学二模试卷(理科)
2017北京高考二模昌平理综试卷(图完整不串行)
昌平区2017年高三年级第二次统一练习理科综合能力测试 2017．5本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，第一部分1至6页，第二部分7至18页，共300分。
考试时间150分钟。
考生务必将答案填写在答题卡上相应区域内，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H ：1 C ：12 O ：16 Na ：23 Cl ：35.5 S ：32第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1． 细胞代谢会产生活性氧（·O 2–），产生途径之一如下图所示，其积累可引起生物膜结构和功能的损伤。
谷胱甘肽还原酶（GR ）是清除活性氧的关键酶。
下列有关叙述错误的是A ．活性氧产生可减少氧气释放量B ．活性氧可影响物质进出细胞C ．清除活性氧利用了GR 的高效性D ．GR 有助于生物体稳态的维持2．肿瘤细胞的快速增殖使其处于缺氧环境中，并且肿瘤细胞需要大量表达葡萄糖转运蛋白1（GLUT1）。
下列有关叙述不正确．．．的是 A ．GLUT1在维持血糖浓度的稳定中发挥作用 B ．葡萄糖进入肿瘤细胞后将被彻底氧化分解 C ．干扰GLUT1基因的表达可抑制肿瘤细胞增殖 D ．GLUT1含量可作为检测细胞癌变的指标之一3．小胶质细胞位于中枢神经系统，当中枢神经系统损伤时可被激活增殖，吞噬受损神经元，并分泌细胞因子（小分子蛋白质）促进神经修复。
下列关于受刺激后的小胶质细胞，叙述错误的是A ．可用CO 2培养箱培养B ．具有细胞周期C ．发挥效应T 细胞作用D ．高尔基体丰富4．不同生态系统之间物质和能量的传递称为资源补贴，如淡水生态系统的资源补贴包括落入水体的树叶凋落物、陆地昆虫、生殖洄游的海洋鱼类、污染物等。
下列有关资源补贴的叙述不正确．．．的是 A ．可增加群落物种丰富度 B ．可改变消费者营养级 C ．可降低生态系统稳定性 D ．可提高能量传递效率5．下列实验处理可达到目的的是学校_______________________班级______________________姓名______________________考试编号_______________________密 封 线 内 不 要 答 题·O 2¯O 2类囊体膜H +NADP +NADPHA ．用秋水仙素处理获得无子果实B ．用钙离子处理获得感受态大肠杆菌C ．用聚乙二醇处理诱导细胞增殖D ．用胃蛋白酶处理防止细胞贴壁生长6．下列电池工作时能量转化形式与其它三个不同．．的是B. 硅太阳能电池7．下列解释事实的方程式不正确．．．的是 A ．焊接铁轨： 2Fe + Al 2O 3 2Al + Fe 2O 3 B ．工业固氮：N 2 + 3H 2 2NH 3 C ．用纯碱除油污：CO 32-+H 2O HCO 3-+ OH -D ．用湿润的淀粉KI 试纸检验Cl 2：Cl 2 + 2I -2Cl -+I 28．关于a ：0.1mol/L NH 4Cl 溶液和b ：0.1mol/L NH 3·H 2O 溶液，下列说法不正确．．．的是 A ．两溶液中存在的微粒种类：a>b B ．c （NH 4+）：a>b C ．c （OH -）：a<bD ．水电离出的c （H +）：a<b9．某离子反应涉及到H 2O 、ClO ﹣、NH 4+、OH ﹣、N 2、Cl ﹣等微粒，其中N 2、ClO ﹣的物质的量随时间变化的曲线如右图所示，下列说法正确的是 A ．该反应中Cl ﹣为氧化产物B ．消耗1 mol 还原剂，转移6 mol 电子C ．反应后溶液的酸性减弱D ．NH 4+被ClO ﹣氧化成N 2 10．下列说法正确的是A ．葡萄糖制镜利用了葡萄糖的氧化性B ．室温下，在水中的溶解度：乙醇>苯酚>乙酸乙酯C ．酯在碱性条件下水解生成对应的酸和醇D ．甲苯能使酸性高锰酸钾溶液褪色，说明甲基使苯环变活泼 11．下列实验中，对应的现象以及结论都正确且两者具有因果关系的是 高温、高压高温催化剂12．常温时，用0.1000mol/L NaOH 溶液滴定25.00mL 0.1000mol/L 某一元酸HX 溶液，滴定过程中pH 变化曲线如下图所示。
北京市昌平区高考数学二模试卷(理科)
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x2≤1}，则∁U A=（）A. （-∞，-1）∪（1，+∞）B. （-∞，-1]∪[1，+∞）C. （-1，1）D. [-1，1]2.已知复数z=-1+a（1+i）（i为虚数单位，a为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是（）A. B. C. D.3.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a的值是（）A. -1B.C. 1D. 24.若直线y=2x上存在点（x，y）满足条件，则实数m的最大值为（）A. -2B. -1C. 1D. 35.设，是非零向量，则“存在实数λ，使得=λ”是“|+|=||+||”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（）A. B. C. D.8.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足，若函数F（x）=f（x）-m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)的值为___________10.在极坐标系中，极点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离为______．11.在△ABC中，三边长分别为，其最大角的余弦值为______，△ABC的面积为______．12.2019年3月2日，昌平“回天”地区开展了7种不同类型的“三月雷锋月，回天有我”社会服务活动．其中有2种活动既在上午开展、又在下午开展，3种活动只在上午开展，2种活动只在下午开展．小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么不同安排方案的种数是______．13.设数列{a n}的前n项和为S n，且∀n∈N*，a n+1＞a n，S n≥S6．请写出一个满足条件的数列{a n}的通项公式a n=______．14.已知平面内两个定点M（3，0）和点N（-3，0），P是动点，且直线PM，PN的斜率乘积为常数a（a≠0），设点P的轨迹为C．①存在常数a（a≠0），使C上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离之和为定值；②存在常数a（a≠0），使C上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值；③不存在常数a（a≠0），使C上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；④不存在常数a（a≠0），使C上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离差的绝对值为定值．其中正确的命题是______．（填出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，不等式c＜f（x）＜c+2恒成立，求实数c的取值范围．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．17.某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试．现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如表．规定：数据≥60，体质健康为合格．（Ⅰ）从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；（Ⅱ）从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；（III）表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都接近（二者之差的绝对值不大于1），但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分．研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级．（只需写出结论）18.已知f（x）=（x-1）e x-ax2．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在x=0处取得极大值，求a的取值范围．19.已知抛物线G：y2=2px（p＞0）过点M（1，-2），A，B是抛物线G上异于点M的不同两点，且以线段AB为直径的圆恒过点M．（Ⅰ）当点A与坐标原点O重合时，求直线MB的方程；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点，并求出这个定点的坐标．20.对于集合A={a1，a2，…，a n}，B={b1，b2，…，b m}，n∈N*，m∈N*．A+B={x+y|x∈A，y∈B}．集合A中的元素个数记为|A|．规定：若集合A满足，则称集合A具有性质T．（Ⅰ）已知集合A={1，3，5，7}，，写出|A+A|，|B+B|的值；（Ⅱ）已知集合A={a1，a2，…，a n}，{a n}为等比数列，a n＞0，且公比为，证明：A具有性质T；（Ⅲ）已知A，B均有性质T，且n=m，求|A+B|的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵U=R，集合A={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}，∴∁U A={x|x＞1或x＜-1}，故选：A．求出集合的等价条件，结合补集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合补集的定义是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．化z为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部小于0且虚部大于0求得a的范围，则答案可求．【解答】解：∵复数z=-1+a（1+i）=-1+a+ai在复平面内对应的点位于第二象限，∴，即0＜a＜1．故选D．3.【答案】D【解析】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环a i循环前 2 1第一圈是 2第二圈是-1 3第三圈是 2 4…第9圈是 2 10第10圈否故最后输出的a值为2．故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出，即可得解．本题主要考查了循环结构，写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：如图，在坐标平面内画出二元一次不等式x+y-3≤0，x-2y-3≥0所表示的平面区域，求出直线y=2x与直线x-2y-3=0的交点A（-1，-2），由图可知，要使直线y=2x上存在点（x，y）满足条件，则m≤-1．即实数m的最大值为-1．故选：B．作出约束条件中的前两个不等式表示的平面区域，求解直线y=2x与直线x-2y-3=0的交点，得到交点的横坐标，结合直线y=2x上存在点（x，y）满足条件，即可得到实数m的最大值．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．【解答】解：若“|+|=||+||”，则平方得||2+2•+||2=||2+||2+2||•||，即•=||•||，即•=||||cos＜，＞=||•||，则cos＜，＞=1，即＜，＞=0，即，同向共线，则存在实数λ，使得=λ，反之当＜，＞=π时，满足=λ，但＜，＞=0不成立，即“存在实数λ，使得=λ”是“|+|=||+||”的必要不充分条件，故选：B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用三视图判断几何体形状的应用问题，是基础题．根据三视图画出该四棱锥的直观图，结合图形知侧面中有3个直角三角形．【解答】解：由三视图得四棱锥的直观图如图所示．其中SD⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1.由SD⊥底面ABCD，AD，DC，AB⊂底面ABCD，得SD⊥AD，SD⊥DC，SD⊥AB，故△SDC，△SDA为直角三角形，又∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD，SD⊂平面SAD，AD∩SD＝D，∴AB⊥平面SAD，又SA⊂平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB也是直角三角形，从而SB＝＝3，又BC＝＝.SC＝2，∴BC2＋SC2≠SB2，∴△SBC不是直角三角形，故选C. 7.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．利用椭圆的性质列出方程组，求出a，c然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，月球半径为R，则a+c=400+1738 且a-c=1738+100，解得a=1988，c=150，所以e=≈，故选B．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当x＞0时，函数F（x）=f （x）-m有3个零点，以及利用数形结合是解决本题的关键．根据函数与方程的关系，结合偶函数的性质，转化为当当x＞0时，函数F（x）=f（x）-m有3个零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，若函数F（x）=f（x）-m有6个零点，∴等价为当x＞0时，函数F（x）=f（x）-m有3个零点，且0不是函数F（x）=f（x）-m的零点，即当x＞0时，f（x）=m有3个根，当0≤x＜1时，f（x）=x2-=（x-）2-，当x≥1时，f（x）=，则f′（x）==当x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数，当1≤x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数，即当x=2时，函数f（x）为极大值，极大值为f（2）=，当x≥1时，f（x）≥0，作出f（x）在x≥0时的图象如图，要使y=m与y=f（x）在x≥0时有三个交点，则0＜m＜，即实数m的取值范围是（0，），故选C．9.【答案】2【解析】【分析】本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意幂函数的性质和应用．设幂函数f（x）=x a，由f（x）过点（2，），知2a=，由此能求出f（4）．【解答】解：设幂函数f（x）=x a，∵f（x）过点（2，），∴2a=，a=∴f（4）==2.故答案为2．10.【答案】【解析】解：直线ρcosθ+ρsinθ=2的极坐标方程为：x+y-2=0，∴极点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离等于：．故答案为：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换将直线ρcosθ+ρsinθ=2的化成直角坐标方程，再在直角坐标系中算出极点到直线的距离即可．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11.【答案】 3【解析】解：由题意可知边长a所对应的角A最大，则由余弦定理可得：cos A===．所以sin A==，所以S△ABC=bc sin A==3．故答案为：，3．直接利用余弦定理即可求解cos A的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查计算能力．属于基础题．12.【答案】18【解析】解：根据题意，设2种既在上午开展、又在下午开展的活动为a、b，3种只在上午开展的活动为c、d、e，2种只在下午开展的活动为f、g，分2种情况讨论：①，在a、b中选1种安排在上午，则下午安排的活动有3种，此时有2×3=6中不同的安排方案；②，在c、d、e中选1种安排在上午，则下午安排的活动有4种，此时有3×4=12中不同的安排方案；则有6+12=18种不同安排方案；故答案为：18．根据题意，设2种既在上午开展、又在下午开展的活动为a、b，3种只在上午开展的活动为c、d、e，2种只在下午开展的活动为f、g，分2种情况讨论：①，在a、b中选1种安排在上午，②，在c、d、e中选1种安排在上午，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．13.【答案】n-6（n∈N*）（答案不唯一）【解析】解：设数列{a n}的前n项和为S n，且∀n∈N*，a n+1＞a n，说明数列是递增数列；S n≥S6．说明数列的第6项可以为0，第7项为正数；如果数列是等差数列，不妨公差为1，a6=0，所以a n=n-6（n∈N*），也可以公差是正数的其它数值．故答案为：n-6（n∈N*）（答案不唯一）．判断数列的特征，从等差数列或等比数列入手考虑解答．本题考查等差数列的性质，数列的应用，是基本知识的考查．14.【答案】②④【解析】解：设P（x，y）由=a，得y2=a（x2-9），若a=-1，则方程为x2+y2=9，轨迹为圆（除A B点）；若-1＜a＜0，方程为=1，轨迹为椭圆（除A B点）-9a＜9，c==4，∴a=，不符合；a＜-1，-9a＞9，c==4，∴a=-，符合，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值；若a＞0，方程为，轨迹为双曲线（除A B点）．c==4，a=，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值．④是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x轴上．故答案为：②④根据斜率公式得出=a，得y2=a（x2-9），再分类讨论，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵==，∴=．（Ⅱ）∵，∴．∴．由不等式c＜f（x）＜c+2恒成立，得，解得．∴实数c的取值范围为．【解析】（Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，取x=即可求解；（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步得到f（x）的值，再把c＜f（x）＜c+2恒成立转化为关于c的不等式组求解．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．16.【答案】（共14分）证明：（I）设BD交AC于点F，连结EF．因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点．又因为E为PB中点，所以EF∥PD．因为PD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，所以PD∥平面ACE．…．（4分）（II）取CD的中点O，连结PO，FO．因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥CD．因为PC=PD，O为CD中点，所以PO⊥CD，OF∥BC．所以OF⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PO⊥平面ABCD．如图，建立空间直角坐标系O-xyz，则设平面ACE的法向量为m=（x，y，z）所以令y=1，则x=2，z=-1，所以m=（2，1，-1）．平面ACD的法向量为，．如图可知二面角E-AC-D为钝角，所以二面角E-AC-D的余弦值为．…．（10分）（Ⅲ）在棱PD上存在点M，使AM⊥BD．设，则．因为（x，y，z-1）=λ（0，-1，-1），所以M（0，-λ，1-λ）.．因为AM⊥BD，所以．所以1-2（1-λ）=0，解得．所以在棱PD上存在点M，使AM⊥BD，且．…．（14分）【解析】（I）设BD交AC于点F，连结EF．推导出EF∥PD．由此能证明PD∥平面ACE．（II）取CD的中点O，连结PO，FO．推导出PO⊥平面ABCD．建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-AC-D的余弦值．（Ⅲ）在棱PD上存在点M，使AM⊥BD．设，则．利用向量法能求出在棱PD上存在点M，使AM⊥BD，且．本题考查线面平行的证明，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】（共13分）解：（I）样本中合格的学生数为：5+2+4+4+8+11=34，样本总数为：20+20=40，这名学生体质健康合格的概率为．…．（5分）（II）设事件A为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，．事件B为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，．因为A，B为独立事件，故所求概率为=．…．（10分）（III）去掉的等级为优秀．…．（13分）【解析】（I）由频数统计表能求出样本中合格的学生数、样本总数、这名学生体质健康合格的概率．（II）设事件A为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，．事件B为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，．A，B为独立事件，由此能求出恰有一人的体质健康等级是优秀的概率．（III）去掉的等级为优秀．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.【答案】（共13分）解：（I）因为，f（x）的定义域为（-∞，+∞），所以f'（x）=xe x-ax．f'（1）=e-a．由题设知f'（x）=0，即e-a=0，解得a=e．此时．所以a的值为e．…．（5分）（II）由（I）得f'（x）=xe x-ax=x（e x-a）．①若a＞1，则当x∈（-∞，0）时，x＜0，e x＜1，e x-a＜0，所以f'（x）＞0；当x∈（0，ln a）时，x＞0，e x-a＜e ln a-a=0，所以f'（x）＜0．所以f（x）在x=0处取得极大值．②若a≤1，则当x∈（0，1）时，x＞0，e x-a≥e x-1＞0，所以f'（x）＞0．所以0不是f（x）的极大值点．综上可知，a的取值范围是（1，+∞）．…．（13分）【解析】（I）f（x）的定义域为（-∞，+∞），f'（x）=xe x-ax．f'（1）=e-a．利用导数的几何意义能求出a的值．（II）f'（x）=xe x-ax=x（e x-a）．当a＞1，求出f'（x）＜0．f（x）在x=0处取得极大值．当a≤1时，求出f'（x）＞0.0不是f（x）的极大值点．由此能求出a的取值范围．本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.【答案】（共13分）解：（I）因为M（1，-2）在抛物线G：y2=2px（p＞0）上，所以（-2）2=2p×1，所以p=2，抛物线G：y2=4x．当点A与点O重合时，易知k AM=-2，因为以线段AB为直径的圆恒过点M，所以AM⊥MB．所以．所以，即直线MB的方程为x-2y-5=0．…．（5分）（II）显然直线AB与x轴不平行，设直线AB方程为x=my+n.，消去x得y2-4my-4n=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线AB与抛物线交于两点，所以△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n①因为以线段AB为直径的圆恒过点M，所以AM⊥MB．因为A，B是抛物线上异于M的不同两点，所以x1，x2≠1，k MA•k MB=-1.，同理得．所以，即（y1-2）（y2-2）+16=0，y1y2-2（y1+y2）+20=0．将①代入得，-4n-8m+20=0，即n=-2m+5．代入直线方程得x=my-2m+5=m（y-2）+5．所以直线AB恒过定点（5，2）．…．（13分）【解析】（I）通过M（1，-2）在抛物线G：y2=2px（p＞0）上，求出p=2，得到抛物线G：y2=4x．求出k AM=-2，推出．然后求解即可．（II）显然直线AB与x轴不平行，设直线AB方程为x=my+n.，消去x得y2-4my-4n=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理转化通过k MA•k MB=-1．推出直线方程：x=my-2m+5=m（y-2）+5．然后得到直线AB恒过定点（5，2）．本题考查直线与抛物线方程的应用，抛物线方程的求法，直线系方程的应用，考查转化首项以及计算能力．20.【答案】解：（I）A+A={1，4，6，8，10，12，14}，则|A+A|=7；B+B={，1，，3，，2，，，4，}，则|B+B|=10．…．（4分）（II）要证A具有性质T，只需证明，若n1＜n2≤n3＜n4，则．假设上式结论不成立，即若n1＜n2≤n3＜n4，则．即，即，，．因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立．故假设不成立，原命题成立．…．（10分）（III）由题意，集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同．如，对于任意的a＜b≤c＜d，有a+d≠b+c，等价于d-c≠b-a，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同．令A*={x-y|x∈A，y∈A，x＞y}，所以A具有性质T．因为集合A，B均有性质T，且n=m，所以|A+B|=n2-|A*∩B*|，当且仅当A=B时等号成立．所以|A+B|的最小值为．…．（14分）【解析】（Ⅰ）根据定义分别计算出集合A+A，B+B即可得到结论．（Ⅱ）根据等比数列的通项公式，利用反证法进行证明即可（Ⅲ）集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同，结合A，B元素性质进行求解本题主要考查集合新定义的应用，结合定义利用反证法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2017年北京高考数学试题与答案(理科) 2
数 学 (理>本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分<选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出地四个选项中，选出符合题目要求地一项． <1）已知集合，，则 <2）设不等式组表示地平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点地距离大于地概率是 <3）设，．“”是“复数是纯虚数”地<4）执行如图所示地程序框图，输出地值为<A ）<B ）<C ）<D ）<A ）<B ）<C ）<D ）<A ）充分而不必要条件 <B ）必要而不充分条件 <C ）充分必要条件<D ）既不充分也不必要条件<A）<B）<C2k1k=0, S=1是输出S结束开始<5）如图，，于点，以为直径地圆与交于点．则<6）从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字地三位数，其中奇数地个数为 <7）某三棱锥地三视图如图所示，该三棱锥地表面积是）<D ） <A ） <B ） <C） <D ） <A ）<B ）<C ）<D ）<A ） <B） <C）<D）俯视图侧正（主）视图34<8）某棵果树前年地总产量与之间地关系如图所示．从目前记录地结果看，前年地年平均产量最高，地值为部分<非选择题共110分）二、填空题共6小题，分，共30分．<9）直线为参数与曲线为参数地交点个数为．<10）已知为等差数列，为其前项和．若，，则．<11）在中，若，，，则．<12）在直角坐标系中，直线过抛物线地焦点，且与该抛物线相交于、两点，其中，点在轴上方．若直线地倾斜角为，则地面积为．<13）已知正方形地边长为，点是边上地动点，则地值为．<14）已知，．若同时满足条件：①，或；②，．则地取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．<15）<本小题共13分）已知函数．<A）<B）<C）<D）<Ⅰ）求地定义域及最小正周期； <Ⅱ）求地单调递增区间．<16）<本小题共14分）如图，在中，，，，、分别为、上地点，且//，，将沿折起到地位置，使，如图． <Ⅰ）求证：平面；<Ⅱ）若是地中点， 求与平面所成角地大小；<Ⅲ）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．<17）<本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾地分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应地垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计吨生活垃圾，数据统计如下<单位：吨）：<Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确地概率； <Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误地概率；<Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱地投放量分别为，其中，600．当数据地方差最大时，写出地值<结论不要求证明），并求此时地值．<注：…，其中为数据地平均数）<18）<本小题共13分）已知函数，．<Ⅰ）若曲线与曲线在它们地交点处具有公共切线，求地值；图1图2ADECB A 1MDECB<Ⅱ）当时，求函数地单调区间，并求其在区间上地最大值．<19）<本小题共14分）已知曲线：．<Ⅰ）若曲线是焦点在轴点上地椭圆，求地取值范围；<Ⅱ）设，曲线与轴地交点为、<点位于点地上方），直线与曲线交于不同地两点、，直线与直线交于点．求证：三点共线．<20）<本小题共13分）设是由个实数组成地行列地数表，满足：每个数地绝对值不大于，且所有数地和为零．记为所有这样地数表构成地集合．对于，记为地第行各数之和≤≤，为地第列各数之和≤≤．记为，，…，，，，…，中地最小值．<Ⅰ）对如下数表，求地值；求地最大值；<Ⅲ）给定正整数，对于所有地，求地最大值．数学真题答案及简析1；15．解：<1）原函数地定义域为，最小正周期为．<2）原函数地单调递增区间为，16．解：<1），平面，又平面，又，平面<2）如图建系，则，，，∴,设平面法向量为则∴∴∴又∵∴∴∴与平面所成角地大小<3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为则∴∴假设平面与平面垂直则，∴，，∵∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直17．<1）由题意可知：zyxA1(0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M<2）由题意可知：<3）由题意可知：，因此有当，，时，有．18．解：<1）由为公共切点可得：，则，，，则，，⎺又，，，即，代入①式可得：．<2），设则，令，解得：，；，，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增①若，即时，最大值为；②若，即时，最大值为③若时，即时，最大值为．综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为．19．<1）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：<2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，，解得：由韦达定理得：①，，②设，，方程为：，则，，，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将①②代入易知等式成立，则三点共线得证.20．解：<1）由题意可知，，，，∴<2）先用反证法证明：若则，∴同理可知，∴由题目所有数和为即∴与题目条件矛盾∴．易知当时，存在∴地最大值为1<3）地最大值为.首先构造满足地：，.经计算知，中每个元素地绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，.下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.由地定义知地每一列两个数之和地绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1地数地和，其绝对值不超过2，故地每一列两个数之和地绝对值都在区间中. 由于，故地每一列两个数符号均与列和地符号相同，且绝对值均不小于.设中有列地列和为正，有列地列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设地第一行行和为正，第二行行和为负.考虑地第一行，由前面结论知地第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数地绝对值不超过1<即每个正数均不超过1），每个负数地绝对值不小于<即每个负数均不超过）. 因此，故地第一行行和地绝对值小于，与假设矛盾. 因此地最大值为.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
2北京昌平2017二模答案
昌平区2017年初三年级第二次统一练习数学参考答案及评分标准2017. 5一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：6122+-⨯=…………………………………………………………4分=3 ．…………………………………………………………………5分18．解：()()202130xx x----⎧⎨⎩≤，①＞，②由①得：x≤2. ………………………………………………………………………1分由②得：2x – 2–x+ 3＞0.…………………………………………………………2分x＞- 1. ………………………………………………………………………3分∴原不等式组的解集为：- 1＜x≤2. …………………………………………………………4分∴原不等式组的整数解为0，1，2. ………………………………………………5分19．解：原式=2(3)(3)2(3)xxx-⋅+-……………………………………………………………2分 =292x-．……………………………………………………………………3分∵0x=，∴x=4分∴原式 3.=-…………………………………………………………5分20．证明：在△AEB和△DEC中，B C∵AEB DEC B C AB DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△AEB ≌△DEC . ……………………………………3分∴AE =DE . …………………………………………………………………………4分 ∴∠EAD ＝∠EDA ． …………………………………………………………………5分21．解：（1）由题意得：△=224(2)0k -->………………………………………………………………………2分解得： 3.k < …………………………………………………………………………3分（2）∵k 为大于1的整数，∴ 2.k =……………………………………………………………………………4分∴原方程为：220.x x +=解得：10x =，2 2.x =-…………………………………………………………5分22．解：设选择从新建高速公路行驶全程所需的时间为4x 小时. ………………………………1分由题意得：10022022.411x x -= ………………………………………………………………2分 解得：5.22x = ……………………………………………………………………………3分经检验522x =是原方程的解，且符合题意. ………………………………………………4分∴104.11x =答：从新建高速公路行驶所需时间为1011小时. …………………………………………5分23．（1）证明：如图1，∵△OBC 为等边三角形，∴OC =OB ，∠COB =60° . ∵点E 是OC 的中点,∴EC =21OC =21OB . ……………………1分在△OAB 中，∠OAB =90°， ∵∠AOB =30°， ∴AB =21OB , ∠COA =90°. ∴ CE =AB ，∠COA +∠OAB =180°. ∴CE ∥AB .图2E图1OCECBOA∴四边形ABCE 是平行四边形. ……………………………………………2分（2）解：如图2，∵四边形ABCO 折叠，点C 与点A 重合，折痕为EF ，∴△CEF ≌△AEF , ∴EC =EA . ∵OB =4,∴OC =BC =4. ………………………………3分 在△OAB 中，∠OAB =90°， ∵∠AOB =30°，∴OA= ……………………………………………………4分 在Rt △OAE 中，由（1）知：∠EOA =90°， 设OE =x ， ∵OE 2+OA 2=AE 2 , ∴x 2+(2=(4-x )2 , 解得，x =21. ∴OE =21.………………………………………………………………………………5分 24．解：（1）2019. ………………………………………………………………………… 1分（2）2019（1 + 2.53%）= 2070. ……………………………………………… 2分 （3）2017 — 2017年北京市常住人口总量及比上一年增速百分比统计表………………………………………………………………… 5分25．（1）证明：连接AD .∵ E 是弧BD 的中点，∴弧BE = 弧ED ， ∴∠1=∠2. ∴∠BAD = 2∠1.∵∠ACB = 2∠1,图2FE AOBC∴∠C=∠BAD. ……………………………………………………………1分∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=∠ADC=90°.∴∠DAC+∠C =90°.∵∠C=∠BAD，∴∠DAC+∠BAD=90°.∴∠BAC=90°.即AB⊥AC.又∵AC过半径外端，∴AC是⊙O的切线. ……………………………………………………………2分（2）解：过点F作FG⊥AB于点G.在Rt△ABD中，∠ADB=90°，2 sin3ADBAB==，设AD=2m，则AB=3m，利用勾股定理求得BD∵BD=5，∴m∴AD=, AB=. …………………………………………………………3分∵∠1=∠2,∠ADB=90°，∴FG=FD. ……………………………………………………………4分设BF =x,则FG =FD =5- x.在Rt△BGF中，∠BGF=90°，2 sin3B=，∴523xx-=.解得，x=3.∴BF=3.……………………………………………5分26．解：（1）1．………………………………………………………1分（2）0＜sad A＜2．……………………………………………2分（3）如图2，过点B作BD⊥AC于点D．∴∠ADB=∠CDB=90°．A2P D BA(Q)BCE 图1P FD2F P D APD在Rt △ADB 中， tan A =34，∴设BD=3k ，则AD =4k ．∴ AB5k =． …………………………… 3分∵AB =AC ， ∴CD =k ．∴在Rt △CDB 中， 利用勾股定理得，BC． 在等腰△ABC 中，sad A=55BC ABk==． ……………………………… 4分（4）21. …………………………………………………………………………… 5分27．解：（1）∵直线y =kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，∴0,2 3.k b k b +=⎧⎨-+=⎩………………………………………………………………1分 解得：1,1.k b =-⎧⎨=⎩∴直线y =kx +b 的表达式为： 1.y x =-+ …………………………………………2分 （2）①将直线1y x =-+绕点A 沿逆时针方向旋转45º后可得直线1y =. …………3分∴直线1y =与抛物线21:1(0)G y ax a =->的交点B ，C 关于y 轴对称.∴当线段BC 的长等于4时，B ，C 两点的坐标分别为（2，1），（-2，1）. ∴1.2a =…………………………………………………………………………………4分由抛物线二次项系数的性质及已知a >0可知，当BC ≥4时，10.2a ≤< ……………5分②40.m -≤≤ ………………………………………………………………………………7分28．解：（1）①如图1. ……………………………1分②∵等边△ABC ，∴∠B =∠C =∠DEF =60°，AB =BC =AC =2. ∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°. ∴∠2=∠3.∴△PBE ∽△ECQ .…………………………2分 ∴BP BE ECCQ=.∵点E 为BC 的中点， ∴BE =EC =1.∵BP 的长为x ，CQ 的长为y ， ∴11x y=.即1xy =. ………………………………………………………………3分自变量x 的取值范围是：122x ≤< . ……………………………………4分（2）如图3，答：N P '=ME . .............................................. .......................... 5分证明：连接PM ，PN ，PP ' .∵P ，M ，N 分别是AB ，BC ，AC 的中点，∴PN //BC ，PN =12BC ，PM //AC ，PM =12AC . ∴四边形PMCN 为平行四边形. ............................................... 6分∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AC ，∠C =60°. ∴PM =PN ，∠NPM =∠C =60°. ∵EP =EP '，∠PEP '=60°, ∴△P EP '是等边三角形. ∴∠E PP '=60°，PE =PP '.∴∠E PP '=∠NPM . ∴∠EPM =∠N PP '. ∴△EPM ≌△N PP '.∴N P '=ME . ............................................................................. 7分29．解：（1）①如图1 . ……………………………1分 1(1,2)C --.…………………………2分 ②1k =. ……………………………3分b m =-. ……………………………4分（2）①当AB =2BC 时，∵点A 的坐标为（2，0），∴点C 的坐标为2(,)2n n -或2,2n n -⎛⎫⎪⎝⎭.∴222n n -⨯=或222nn -⨯=.解得：1n =.图1图3∴点C 的坐标为1⎛⎝⎭或1,⎛- ⎝⎭. ………………6分 ②当BC =2AB 时，点C 的坐标为(,24)n n -或(,42)n n -. ∴(24)2n n -=或(42)2n n -=.解得：1n =± 1.n =∴点C 的坐标为()1,2或(12--或()1,2……………8分。
2017届高三二模理科参考答案(1)
2017届高三二模考试试题参考答案及评分标准理科数学一、选择题（题本大题共12道小题,每小题5分,共60分，在每题给出的四答案中，其中只有一项符合题目要求.）1-5： D C C B D 6-10： B C D B D 11-12：D D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分.把答案直接填在题中横线上.） 13． -3 14. 3 15． 0.7 16.己酉年三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
）17.解：（1）∵nn n a a S +=22∴2n 1n 1n 12S a a +++=+……………………………………………………..2分∴ 22n 1n n 1n 1n n 2S 2S (a a )(a a )+++-=+-+…………………………….3分 即n 1n n 1n (a a )(a a 1)0+++--=∵ n a 0>∴n 1n a a 0++>∴n 1n a a 1+-=…………………………………………………………..4分令n 1=，则21112S a a =+ ∴1a 1=或1a 0=∵ n a 0>∴1a 1=…………………………………………………………………………………………5分∴ 数列{}n a 是以1为首项，以为公差1的等差数列∴ n 1a a (n 1)d n =+-=，*n N ∈…………………………………………………………………6分 （2）由（1）知：nnn n 2nn2a 111b (1)(1)()n n 1a a +=-=-+++…………………8分∴数列{}n b 的前2016项的和为n 122016T b b b =+++L111111111(1)()()()()223342015201620162017=-+++-++-+++L 1111111111223342015201620162017=--++--+--++L …………………………………………………………………………10分112017=-+20162017=-……………………………………………………………………12分18.解：（1）证明：法一：取PD 的中点N ，连接MN ，CN.在△PAD 中，N 、M 分别为棱PD 、PA 的中点∴1MN AD 2P1BC AD 2Q P ∴ 四边形BCNM 是平行四边形∴BM CN P∵BM ⊂平面PCD ，CN ⊄平面PCD ∴BM//平面PCD ………………5分（法二：连接EM ，BE.在△PAD 中，E 、M 分别为棱AD 、PA 的中点∴MN PD P ∵AD//BC ，1BC CD AD 12=== ∴ 四边形BCDE 是平行四边形∴BE CD P ∵BE ME E ⋂=，，MN PD P ，BE CD P ∴平面BEM//平面PCD ∵BM ⊂平面BEM ∴BM//平面PCD ）（2）以A 为原点，以，的方向分别为x 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz A -…………………………6分则)0,0,0(A ，)0,1,2(C ，)0,0,1(E . ∵点P 在底面ABCD 上的射影为A ∴PA ⊥平面ABCD∵︒=∠45ADP ∴ PA AD 2== ∴)2,0,0(P∴)2,0,1(-=，)0,1,1(=，)2,0,0(=……..7分设平面PAC 的一个法向量m (a,b,c)=r， 则c 02a b 2c 0⎧=⎨+-=⎩设a 1=，则m (1,2,0)=-r……………………………………..9分设平面PCE 的一个法向量为),,(z y x n =ρ，则⎩⎨⎧=+=-02y x z x ，设2=x ，则)1,2,2(-=n ………………………………10分∴m n cos m,n 5m n•<>==v vv v v v ……………………..11分由图知：二面角A PC E --是锐二面角，设其平面角为θ，则cos cos m,n θ=<>=u u v v …………………………12分19.解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+． …………………………………………….2分 12W =时，由（1）表示的可行域和目标函数几何意义知当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=． 15W =时当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 18W =时，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．………………………………….5分 故最大获利Z 的分布列为…………………………………………………………………….7分因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=…………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+= ……………………………………………….10分 所以3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=……………………………………………………12分20.解：（1）设动圆的圆心为E (x,y)则PE =222(x 2)y 4x ++=+∴2y4x =-即：动圆圆心的轨迹E 的方程为2y4x =-…………………………….4分（2）当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x轴，此时，A ((2,---∴AB CD ==12S S ==∴12S S +=………………………….5分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，则k 0≠， 直线AB 的方程是y k(x 2)=+，k 0≠. 设1122A (x ,y ),B (x ,y )，联立方程2y k (x 2)y 4x⎧=+⎨=-⎩，消去y ，得：22k (x 2)4x 0(k 0)++=≠，即：2222k x 4(k 1)x 4k 0(k 0)+++=≠ ∴216(2k 1)0∆=+>，21224(k 1)x x k++=-，12x x 4= ………………………………………………………………………………………………………………….7分由1122A (x ,y ),B (x ,y )知，直线AC 的方程为11y y x x =，直线AC 的方程为22y y x x =， ∴ 12122y 2y C (2,),D (2,)x x ∴ 21121212k (x x )y y CD 22x x x x -=-=∴111S (2x )CD 2=-⋅，221S (2x )CD2=-⋅……………………………………..9分∴12121S S [4(x x )]CD 0)2+=-+⋅=≠ 令21t k=，则t 0>，3212S S 4(2t),t 0+=+>由于 函数32y 4(2t)=+在(0,)+∞上是增函数……………………………………………11分∴ y >12S S +>综上所述，12S S +≥∴112S S +的最小值为12分21.解：（1）函数)(x f 的定义域为）（+∞,0 由已知：），（0)12)(1()2(21)(>++-=-+-='x x x ax a ax x x f…………………………………………………………………………………………………….2分当a x 10<<时，0)(>'x f 所以，函数)(x f 在)10a ，（上是增函数； 当a x 1>时，0)(<'x f 所以，函数)(x f 在)1∞+，（a上是减函数，综上所述：函数)(x f 的增区间是)10a ，（，函数)(x f 的减区间是)1∞+，（a.………………………………………………………………………………………………………………3分（2）设)1()1()(x af x a f xg --+=，则ax ax ax x g 2)1ln()1ln()(---+= …………………………………………………………………………………………………………………..……….5分∴2223122-1111)(x a x a a ax ax x g -=-++='…………………………………………..6分当ax 10<<时，012)(2223>-='x a x a x g ，又0)0(=g ∴0)(>x g故当a x 10<<时，).1()1(x a f x a f ->+……………………………………………………………8分(3) 由(1)知：函数)(x f 的最大值为)1(a f ，且0)1(>a f ……………………………………9分不妨设21210),0,(B ),0,(A x x x x <<，则2110x ax <<<由(2)知：0)()-11()-2(111=>+=x f x a a f x a f …………………………………….10分从而，12-2x a x >所以，.12210ax x x >+=由(1)知：.0)(0<'x f ………………………………………………………………………………………12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按多做第一题计分。
2017年北京市高考数学试卷(理科)(详细答案)
2017年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题 （每小题 分）．（ 分）若集合 ﹣ ＜ ＜ ， ＜﹣ 或 ＞ ，则 ∩ （）． ﹣ ＜ ＜﹣ ． ﹣ ＜ ＜ ． ﹣ ＜ ＜ ． ＜ ＜．（ 分）若复数（ ﹣ ）（ ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是（）．（﹣∞， ） ．（﹣∞，﹣ ） ．（ ， ∞） ．（﹣ ， ∞） ．（ 分）执行如图所示的程序框图，输出的 值为（）． ． ． ．．（ 分）若 ， 满足，则 的最大值为（）． ． ． ．．（ 分）已知函数 （ ） ﹣（） ，则 （ ）（）．是奇函数，且在 上是增函数 ．是偶函数，且在 上是增函数．是奇函数，且在 上是减函数 ．是偶函数，且在 上是减函数．（ 分）设，为非零向量，则 存在负数 ，使得 是 ＜ 的（）．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件．（ 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）． ． ． ．．（ 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 约为 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 约为 ，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据： ≈ ）． ． ． ．二、填空题（每小题5分）9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=．10．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=．11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=．13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．（1）记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是．（2）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是．三、解答题15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．19．（13分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．20．（13分）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．2017年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题.（每小题5分）1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}故选：A．【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3 B．2 C．2 D．2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈=1093，故选：D．【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．二、填空题（每小题5分）9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=2．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．10．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=1．【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．故答案为：1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为1．【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min=|CP|﹣r C=2﹣1=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=﹣．【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=﹣1=﹣方法二：∵sinα=，当α在第一象限时，cosα=，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣：∵sinα=，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为﹣1，﹣2，﹣3．【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b ＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．（1）记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是Q1．（2）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是p2．【分析】（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i=A i的综坐标+B i的纵坐标；进而得到答案．（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【解答】解：（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p2【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i和p i的几何意义，是解答的关键．三、解答题15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案，（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，=acsinB=×7×3×=6．∴S△ABC【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），，．设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；（3）解：，平面BDP的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）【分析】（1）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p==．（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列如下：ξ012PE（ξ）==1．（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2）设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2=，x1x2=，根据中点的定义即可证明．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．19．（13分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f（）=e cos﹣=﹣．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．20．（13分）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，∴c n+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，此时c n﹣c n=d2﹣a1，+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；此时c n+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．加油。
北京市昌平区2016-2017学年第一学期高三年级期末质量抽测数学理试题(含答案)word版
昌平区2016－2017学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔．3.修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1．已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5}，M N等于A．{x|-5<x<5}B．{x|x<-5或x>-3}C．{x|-3<x≤5}D．{x|x<-3或x>5}2.已知两条直线l:x+y-1=0，l:3x+ay+2=0且l⊥l，则a=1212A.-11B．C．-3D．3 333．设a=0.32,b=20.3,c=log0.34，则A.c<a<b B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a2 4.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．12 C．6B．8D．42主视图左视图2俯视图6. 已知 α 、 β 是两个不同平面， m 、 n 是两条不同直线，下列命题中假命题是5．从甲、乙等 6 名同学中挑选 3 人参加某公益活动，要求甲、乙至少有 1 人参加，不同的 挑选方法共有 A ．16 种 B ．20 种 C ． 24 种 D ．120 种．．．A ．若 m ∥ n , m ⊥ α , 则 n ⊥ αB ．若 m ∥ α , α β = n , 则 m ∥ nC ．若 m ⊥ α , m ⊥ β , 则 α ∥ βD ．若 m ⊥ α , m ⊂ β , 则 α ⊥β7. 某类产品按工艺共分 10 个档次，最低档次产品每件利润为 8 元.每提高一个档次，每件利润增加 2 元. 用同样工时，可以生产最低档产品 60 件，每提高一个档次将少生产 3 件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是 A ．第 7 档次 B ．第 8 档次C ．第 9 档次D ．第 10 档次8. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (2) = 1， f '( x ) f '( x )为 f ( x ) 的导函数.已知 y = f '( x ) 的图象如图所示,若两b - 1个正数 a , b 满足 f (2a + b ) > 1 ，则 的取值范围是a - 21 1A ．( - ,1 )B ． (-∞ , - ) (1, + ∞)88C ． (-8 ,1 )D ． (-∞ , - 8 ) (1 , + ∞)第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）．o x9.已知函数 y = sin ωx cos ωx 的最小正周期是π2，那么正数 ω = .10. 已知向量 a = (1,2) ， b = (k ,1) ， 若向量 a //b ，那么 k =.( )211.已知过点 -2, 3 的直线 l 与圆 C ：x 2 + y 2 + 4 x = 0 相交的弦长为 2 3 ，则圆 C 的圆心坐标是___________ , 直线 l 的斜率为.开始12. 某程序框图如图所示，则输出的 S =.S =1, k =1k = k +1S =2S + k否k ＞3是输出 S结束13. 已知 ( x - m ) 7 = a + a x + a x 2 + + a x 7 的展开式中 x 4 的系数是 - 35 ，则0 1 2 7m =； a + a + a + + a =.1 23714. 设函数 f ( x ) 的定义域为 R ，若存在与 x 无关的正常数 M ，使 | f ( x ) |≤ M | x | 对一切实 数 x 均 成 立 ， 则 称 f ( x ) 为 有 界 泛 函 . 在 函 数 ① f ( x ) = -5x ， ② f ( x ) = x 2 ， ③1f ( x ) = si nx ，④ f ( x ) = ( ) x ，⑤ f ( x ) = x cos x 中，属于有界泛函的有 __________(填 2上所有正确的序号) .三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．（本小题满分 13 分） 在 ∆ABC 中， 1cos 2 A = cos 2 A - cos A ． 2（I ）求角 A 的大小；（II）若a=3，sin B=2sin C，求S∆ABC．16．(每小题满分13分)某人进行射击训练，击中目标的概率是45，且各次射击的结果互不影响.（Ⅰ）假设该人射击5次，求恰有2次击中目标的概率；（Ⅱ）假设该人每射击5发子弹为一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，求：①在完成连续两组练习后，恰好共使用了4发子弹的概率；②一组练习中所使用子弹数ξ的分布列，并求ξ的期望.17.（本小题满分14分）如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=1,点M，N分别是PD，PB的中点．（I）求证:PB//平面ACM；P（II）求证:MN⊥平面PAC；M（III）若PF=2FC,求平面FMN与平面ABCD所成二面角NF的余弦值.A DB C18．（本小题满分13分）已知数列{a}是等差数列,a=10,a=22，数列{b}的前n项和是T，且n36n n3 n1T + b = 1 .n（I ）求数列{a } 的通项公式；n（II ）求证：数列{b } 是等比数列；n（III ）记 c = a ⋅ b ，求证： cn n nn +1< c .n19．（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x ) = ( x 2- x - 1 )e ax（ a > 0 ）.a（I ）当 a = 1 时，求函数 f ( x ) 的单调区间；（II ）若不等式 f ( x ) + 5≥ 0 对 x ∈ R 恒成立,求 a 的取值范围.a20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) 是奇函数，函数 g ( x ) 与 f ( x ) 的图象关于直线 x = 1 对称，当 x > 2 时，g ( x ) = a ( x - 2) - ( x - 2)3 ( a 为常数).（I ）求 f ( x ) 的解析式；（II ）已知当 x = 1 时， f ( x ) 取得极值，求证：对任意x , x ∈ (-1,1),| f ( x ) - f ( x ) |< 4 恒 1 212成立；（III ）若 f ( x ) 是 [1,+∞) 上的单调函数，且当 x ≥ 1, f ( x ) ≥ 1时，有 f ( f ( x )) = x ，0 0求证： f ( x ) = x .解：（I ）由已知得： (2 cos 2 A - 1) = cos 2 A - cos A ，……2 分= S = 15 5昌平区 2016－2017 学年第一学期高三年级期末质量抽测数学(理科)试卷参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．)题号1 2 3 4 5 6 7 8答案BCADABCD二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．)9．210.1 211.（-2，0）； ± 212. 2613． 1 ; 114. ①③⑤三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分)15.（本小题满分 13 分）1 2∴ cos A = 1.……4 分20 < A < π ，∴ A = π3. …………6 分b csin B b（II ）由可得：= = 2 ………7 分 sin B sin C sin C c∴ b = 2c…………8 分cos A = b 2 + c 2 - a 2 4c 2 + c 2 - 9 1= = ………10 分2bc 4c 2 2解得： c = 3 ,b = 2 3………11 分1 3 3 3 bc sin A = ⨯23 ⨯ 3 ⨯=.……13 分222216.（本小题满分 13 分） 解：（I ）设射击 5 次，恰有 2 次击中目标的事件为 A .4 4 P ( A ) = C 2 ⋅ ( ) 2 ⋅ (1 - ) 3 =5 32625……4 分别（Ⅱ）①完成两组练习后，恰好共耗用 4 发子弹的事件为 B ,则P ( B ) = 0.8 ⋅ (1 - 0.8) 2 ⋅ 0.8 + (1 - 0.8) ⋅ 0.8(1 - 0.8) ⋅ 0.8 + (1 - 0.8) 2 ⋅ 0.8 ⋅ 08 = 0.0768 .……8 分② ξ 可能取值为 1，2，3，4，5.…… 9 分P (ξ = 1) = 0.8 ;P (ζ = 2) = (1 - 0.8) ⋅ 0.8 = 0.16P (ζ = 3) = (1 - 0.8) 2 ⋅ 0.8 = 0.032P (ζ = 4) = (1 - 0.8) 3 ⋅ 0.8 = 0.0064P (ζ = 5) = (1 - 0.8) 4 ⋅ 0.8 = 0.0016 ……11 分ζP10.8 20.16 30.032 40.0064 50.0016∴ E ζ = 1.2496 .……13 分17（本小题满分 14 分） 证 明 ：（ I ） 连 接AC , BD , AM , MC , MO , MN , 且AC BD = O 点O , M 分∴ MO // PB , PB ⊄ 平面ACMPPD , BD的 是∴ PB // 平面ACM .…… 4 分(II) P A ⊥ 平面ABCDM∴ PA ⊥ BD底面ABCD 是正方形 ，NBD ⊂ 平面ABCDAD∴ AC ⊥ BDO又BP A ⋂ AC = A∴ BD ⊥ 平面PAC …… 7 分C在 ∆PBD 中，点 M ， N 分别是 PD ， PB 的中点．z∴ MN // BDPMNAFDyBCx⎧ x y ⎪⎪ 2 2 ⎧ y = x 可得： ⎨ 解得： ⎨ 令 x = 1, 可得 n = (1,1,5) …… 13 分 x 2 y z z = 5x ⎪ + - = 0 解：（1）由已知 ⎨ 3 1 4 3 n -13 n -1 3 n4 n -1b 4 4∴ MN ⊥ 平面PAC .…… 9 分（III ）P A ⊥ 平面ABCD ， 底面ABCD 是正方形以 A 为原点，建立空间直角坐标系由 PF = 2FC可得1 1 1 12 2 1A (0,0,0), M (0, , ), N ( ,0, ), F ( , , )2 2 2 23 3 3设平面 MNF 的法向量为 n = ( x , y , z )平面 ABCD 的法向量为 AP = (0,0,1)1 1 12 1NM = (- , ,0), NF = ( , ,- )…… 11 分2 2 63 6- + = 0⎩ ⎪⎩ 6 3 6cos < AP , n >= 527=5 2727……14 分18．（本小题满分 13 分）⎧a + 2d = 10, 1⎩a 1 + 5d = 22.解得 a = 2, d = 4.1∴ a = 2 + (n - 1) ⨯ 4 = 4n - 2. ………………4 分n（2）由于 T = 1 - n 1b ， ①3 n1 3 1令 n =1，得 b = 1 - b . 解得 b = ，当 n ≥ 2 时， T = 1 - b 1 1 n -1 1 1 1① －②得 b = b - b ， ∴ b = b n n②又 b = 1 3 1≠ 0 , ∴ n = .4 b 4n -13 1∴数列 {b } 是以 为首项， 为公比的等比数列.……………………9 分n4n444 0对于x<-2（3）由（2）可得b=3n .……9分c=a⋅b=n n n3(4n-2)4n……10分c n+13[4(n+1)-2]3(4n-2)30-36n -c=-=.n n+1n n+1n≥1，故cn+1-c<0.∴cn n+1<c.……………………13分n19．（本小题13分）解:对函数f(x)求导得:f'(x)=e ax(ax+2)(x-1)……………2分(Ⅰ)当a=1时,f'(x)=e(x+2)(x-1)令f'(x)>0解得x>1或x<-2f'(x)<解得-2<x<1所以,f(x)单调增区间为(-∞,-2)和(1,+∞),f(x)单调减区间为(-2,1).……………5分(Ⅱ)令f'(x)=0,即(ax+2)(x-1)=0,解得x=-当a>0时,列表得：2a或x=16分x f'(x) f(x)2(-∞,-)a+↗-2a极大值2(-,1)a－↘1极小值(1,+∞)+↗……………8分21时，因为x2>0,-x>,a>0,所以x2-x->0，a a a∴f(x)>0………10分对于x≥-21时，由表可知函数在x=1时取得最小值f(1)=-e a<0 a a所以，当x∈R时，f(x)min1=f(1)=-e aa……11分由题意，不等式f(x)+5a≥0对x∈R恒成立，所以得-15e a+≥0，解得0<a≤ln5……………13分a a20.（本小题满分14分）解:(Ⅰ)当x<0时，必有-x>0，则2-x>2,而若点P(x,y)在y=f(x)的图象上，则P(x,y)关于x=1的对称点P(2-x,y)必在g(x)的图象上，即当x<0时，1y=f(x)=g(2-x)=a[(2-x)-2]-[(2-x)-2]3=-ax+x3由于f(x)是奇函数，则任取x>0,有-x<0,且f(x)=-f(-x)=-[-a(-x)+(-x)3]=-ax+x3又当x=0时，由f(-0)=-f(0)必有f(0)=0综上，当x∈R时f(x)=x3-ax.……5分（Ⅱ）若x=1时f(x)取到极值，则必有当x=1时f'(x)=3x2-a=0，即a=3又由f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)知，当x∈(-1,1)时，f'(x)<0，f(x)为减函数∴当x∈[-1,1]时，f(-1)≥f(x)≥f(1)=(-1)3-3(-1)=2≥f(x)≥f(1)=-2∴当x,x∈(-1,1)时|f(x)-f(x)|<|f(-1)-f(1)|=4.……9分1212（Ⅲ）若f(x)在[1,+∞)为减函数，则f'(x)=3x2-a<0对任意x∈[1,+∞)皆成立，这样的实数a不存在若f(x)为增函数，则可令f'(x)=3x2-a>0.由于f'(x)在[1,+∞)上为增函数，可令f'(x)=3x2-a≥f'(1)=3-a≥0，即当a≤3时，f(x)在[1,+∞)上为增函数由x≥1,f(x)≥1，f(f(x))=x0000设f(x)>x≥1，则f[f(x)]>f(x)0000∴x>f(x)与所设矛盾00若x>f(x)≥100则f(x)>f[f(x)]∴f(x)>x与所设矛盾0000……14分故必有f(x)=x00。
2017届高三下学期二模考试(理)数学试题(附答案)
2 3．若 x ,y 满足 ⎨ x + y ≤ 0 ,则 x + 2 y 的最大值为（ ）⎪ y ≥ 0 2D ．216B．北京市东城区 2017 届高三下学期二模数学试卷（理科）一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合 A = {x | x ﹣4＜0} ,则 RA =（ ）A ． {x | x ≤ -2或x ≥ 2}B ． {x | x ＜-2或x ＞2}C ．{x | -2＜x ＜2}D ．{x | -2 ≤ x ≤ 2}2．下列函数中为奇函数的是（ ）A ． y = x + cosxB ． y = x + sin xC ． y = xD ． y = e - x⎧ x - y + 1 ≥ 0⎪ ⎩A ． -1B ．0C ． 14．设 a, b 是非零向量,则“ a, b 共线”是“ | a + b |=| a | + | b | ”的（）A ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{a n }为递增数列, S n 是其前 n 项和．若 a + a = 1 5 17 2, a a = 4 ,则 S =（ ） 2 4 6A ． 2727 863 63 C ． D ．4 26．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n = 5,v = 1, x = 2 ,则程序框图 计算的是（）A ． 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1B ． 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 5C ． 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1D ． 24 + 23 + 22 + 2 + 147．动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离Y与动点P所走过的路程X的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是（）A．B．C．D．8．据统计某超市两种蔬菜A,B连续n天价格分别为a,a,a,⋯,a,和b,b,b,,令123n123M={m|a＜b,m=1,2,,n},若M中元素个数大于3n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格, m m记作：A,B,现有三种蔬菜A,B,C,下列说法正确的是（）A．若A<B,B<C,则A<CB．若A<B,B<C同时不成立,则A<C不成立C．A<B,B<A可同时不成立D．A<B,B<A可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．复数i(2-i)在复平面内所对应的点的坐标为_______．10．在极坐标系中,直线ρcosθ+3ρsinθ+1=0与圆ρ=2a cosθ(a＞0)相切,则a=_______．11．某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学需从两类选修课中共选4门,若要求至少选一门B类课程,则不同的选法共有_______种．（用数字作答）12．如图,在四边形ABCD中,∠ABD=45︒,∠ADB=30︒,BC=1,DC=2,cos∠BCD=角形ABD的面积为_______．14,则BD=_______；三13．在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点14．已知函数f(x)⎨min{|x-1|,|x-3|},x∈(2,4]{}⎩min|x-3|,|x-5|,x∈(4,+∞)（Ⅱ）若（x）在⎢,⎥上单调递减,求f(x)的最大值．flE A B,A在x轴上方．若直线的倾斜角为60︒,则OA=_______．⎧|x-1|,x∈(0,2]⎪⎪①若f(x)=a有且只有一个根,则实数a的取值范围是_______．②若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是_______．三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．15．已知函数f(x)=3sin2x+a cos2x(a∈R)．（Ⅰ）若f(π)=2,求a的值；6⎡π7π⎤⎣1212⎦16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数,求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17．如图,在几何体ABCDEF中,平面A D⊥平面C四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60︒,EA=ED=AB=2EF,EF∥AB,M为BC中点．（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G,使BG⊥DE？若存在,求CGCF的值；若不存在,说明理由．n维T向量．对于两个n维T向量A,B,定义（A,B）=∑|a-b|．d,),0),A为12维T向量序列中的项,求出所有的m．18．设函数f(x)=(x2+ax-a)e-x(a∈R)．（Ⅰ）当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(-1))处的切线方程；（Ⅱ）设g(x)=x2-x-1,若对任意的t∈[0,2],存在s∈[0,2]使得f(s)≥g(t)成立,求a的取值范围．19．已知椭圆C：x2y2+a2b2=1(a＞b＞0)的短轴长为23,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段B N的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF 上．20．对于n维向量A=(a,a,⋯,a),若对任意i∈{1,2,12n,n}均有a=0或a=1,则称A为i ini ii=1（Ⅰ）若A=(1,0,1,0,1)，B=(0,1,1,1,0)，求d(A B的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A,A,A,⋯,若A1=(1,1,1,1,1)且满足：d(A,A+1)=2,i∈N*．求证：1231i i该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0)．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A,A,A,,若A(1,1,,1)且满足：d(A,A)=m,m∈N*,i=1,2,3,,1231i i+112个若存在正整数j使得A(0,0,j12个j北京市东城区2017届高三下学期二模考试（理）数学试卷答案1．A2．B3．C4．B5．D6．A7．C8．C9．(1,2)10．111．1412．2；3-113．2114．①(1,+∞)；②(-4,-2)(2,4)15．解（Ⅰ）因为f(π)=3sin2631+a=2．22故得：a=1．ππ+a cos2=2, 66（Ⅱ）由题意：f(x)=3+a2sin(2x+θ),其中tanθ=a 3 ,∴函数的周期T=π,且7πππ-=, 12122所以当x=π12时,函数f(x)取得最大值,即f(x)maxππ=f()=3+a2sin(+θ)=3+a2,126π∴sin(+θ)=1,6πa∴θ=+2kπ,k∈Z.∴tanθ==3,∴a=3.33因此f(x)的最大值为23．16．解：设A表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1,2, i1根据题意,P(A)=,且事件A与A互斥．i i j ,9)．993 故 X 的期望 E( X ) = 0 ⨯ + 1⨯（Ⅰ）设 B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则 B = AA ．47所以 P(B) = P( A4A ) = P( A ) + P( A ) = 27 4 7． （Ⅱ）由题意,可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,P( X = 0) = P( A 4A71A ) = P( A ) + P( A ) + P( A ) = ,8 4 7 8P( X = 1) = P( A3A 5A6A ) = P( A ) + P( A ) + P( A ) + P( A ) = 9 3 5 6 9 4 9, P( X = 2) = P( A1A ) = P( A ) + P( A ) = 2 1 2 2 9．所以 X 的分布列为X0 1 2P13 4 9 2 91 3 42 8+ 2 ⨯ = ．9 9 9（Ⅲ）从 8 月 16 日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．证明：（Ⅰ） 取CD 中点 N , 连结 M N 、FN ．因为 N , M 分别为 C D, BC 中点, 所以MN ∥BD ．又BD ⊂ 平面BDE, 且MN ⊄ 平面BDE, 所以MN ∥平面BDE ,因为 EF / / AB, AB = 2EF , 所以EF ∥CD, EF = DN ．所以四边形 EFND 为平行四边形．所以 FN ∥ED ． 又 ED ⊂ 平面BDE 且FN ⊄ 平面BDE , 所以 FN ∥平面BDE , 又 FNMN = N , 所以平面MFN ∥平面BDE ．又 FM ⊂ 平面MFN , 所以FM ∥平面BDE ． 解：（Ⅱ） 取AD 中点O , 连结EO, BO ．因为 EA = ED, 所以EO ⊥ AD ．因为平面 ADE ⊥ 平面ABCD, 所以EO ⊥ 平面ABCD, EO ⊥ BO ． 因为 AD = AB, ∠DAB = 60︒, 所以△ADB 为等边三角形．因为 O 为AD 中点, 所以AD ⊥ BO ．因为 EO, BO, AO 两两垂直, 设AB = 4,以 O 为原点, O A, O B, O E 为x, y , z 轴,如图建立空间直角坐标系 O - xyz ．-6-/15⎪ ⎩ ⎩由题意得, A (2,0,0 ), B(0,2 3,0) , C (-4,2 3,0) , D (-2,0,0 ), E (0,0,2 3) , F (-1, 3,2 3) ．CF = (3,- 3,2 3) , CE = (2,0,2 3) , BE = (3,-2 3,2 3) ．设平面 BDE 的法向量为 n =(x, y , z ),⎧n BE = 0 ⎧⎪ y - z = 0 则 ⎨ ,即 ⎨ ,⎪n DE = 0⎪ x + 3z = 0令 z = 1,则y = 1 , x = - 3 ．所以 n = (- 3,1,1) ．设直线 CF 与平面 BDE 成角为 α , sin α =| cos < CF ,n >|= 10 10,所以直线 CF 与平面ADE 所成角的正弦值为 10 10．（Ⅲ）设 G 是CF 上一点,且 CG = λ CF , λ ∈[0,1] ．因此点 G(3λ - 4, - 3λ + 2 3,2 3λ) ．BG = (3λ - 4, - 3λ,2 3λ) ．由 BG DE = 0 ,解得 λ = 49．所以在棱 CF 上存在点G 使得BG ⊥ DE ,此时CG 4= ．CF 9' ' ' ' ' 2] 2] '18．解：（Ⅰ）当 a = 0时,f (x )= x 2e - x ,∴ f (x )=( - x 2 + 2 x )e - x ,∴ f ( - 1)= - 3e ．又∵ f ( - 1)= e ,∴曲线 y = f ( x )在点(-1, f (-1)) 处的切线方程为：y - e = -3e(x + 1),即3ex + y + 2e = 0 ．（Ⅱ）“对任意的 t ∈ [0,2 ], 存在 s ∈ [0, 2]使得 f (s )≥ g (t )成立”,等价于“在区间[0,2 ]上, f (x )的最大值大于或等于g (x )的最大值”．∵ g ( x ) = x 2 - x - 1 = ( x - 1 )2 - 25 4,∴ g (x )在[0,2 ]上的最大值为g (2)= 1 ．f (x )=(2 x + a ) e - x -(x 2 + ax - a ) e - x = -e x [ x 2 +(a - 2)x - 2a] = e - x (x - 2)(x + a ) ,令 f (x )= 0, 得x = 2, 或x = -a ．①当 -a ＜0,即a ＞0时,f (x )＞0在[0，上恒成立 ,f (x )在[0， 上为单调递增函数,f (x )的最大值为f (2)=(4 + a ) 1 e 2,由(4 + a ) 1 e 2≥ 1,得a ≤ e 2 - 4②当 0＜ - a ＜2,即 - 2＜a ＜0 时,当 x ∈(0,- a )时,f (x )＜0, f (x )为单调递减函数,当 x ∈ (-a, -2)时,f '(x)＞0, f ( x ) 为单调递增函数．∴ f ( x )的最大值为f (0) = -a 或f (2) = (4 + a) 1e 2,-8-/15设点 M (x , y ),由 ⎨x 2 y 2 ,整理得(4k 2 + 3)x 2 + 16k 2 x + 16k 2 - 12 = 0 , ⎪ + = 1 ' 2] 2] , 3 + 4k 3 + 4k ①当 MF ⊥ x 轴时, x = 1,此时k = ± ．2 则 M (1,± ), N (2, ±2), E (2, ±1)．时,直线 MF 的斜率为 k=y 16k 2 + (4k 2 - 1)2 =由 -a ≥ 1,得a ≤ -1;由(4 + a)1≥ 1 ,得 a ≤ e 2-4 ．e 2又∵ -2＜a ＜0,∴- 2＜a = 1 ．③当 -a ＞2,即a ＜-2 时,f (x )＜0在[0，上恒成立 ,f (x )在[0， 上为单调递减函数,f (x )的最大值为f (0)= -a ,由 -a ≥ 1, 得a ≤ -1 ,又因为 a ＜-2,所以a ＜-2 ．综上所述,实数 a 的值范围是{x | a ≤ -1或a ≥ e 2 - 4} ．19．解：（Ⅰ）由题意得 2b = 2 3 ,则 b = 3 , c = 1,则a 2 = b 2 + c 2 = 4, 则a = 2 ,x 2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为+= 1；43（Ⅱ）证明：“ 点B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上”等价于 “ E F 平分 ∠MFB ”．设直线 AM 的方程为y = k (x + 2)(k ≠ 0),则N (2,4 k ) E (2,2 k ) ．⎧ y = k ( x + 2)⎪ 0 0⎩ 4 316k 2 - 12 -8k 2 + 6由韦达定理可知 -2 x = ,则 x =0 2 0 2, y = k (x + 2)= 0 0 12k 3 + 4k 2 ,132此时,点 E 在∠BFM 的角平分线所在的直线 y = x - 1或y = - x + 1 ,即 EF 平分∠MFB ．②当 k ≠ 1 4k 0 = ,2 x - 1 1 - 4k 2 0所以直线 MF 的方程为4kx +(4k 2 - 1)y - 4k = 0 ．所以点 E 到直线 MF 的距离d = | 8k + 2k (4k 2 - 1) - 4k | | 4k + 2k (4k 2 - 1)| (4k 2 + 1)2=| 2k(4k 2 + 1)| | 4k 2 + 1| = 2k = BE ．即点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上,20．解：（Ⅰ）由于 A = (1,0,1,0,1) , B = (0,1,1,1,0) ,由定义 d ( A,B) = ∑ | a - b | , i + = 2 ,0) , A 为 12 维 T 向 量 序 列 中 的 项 , 此 时 m综上可知：点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上．n i ii =1可得 d (A, B )= 4 ．（Ⅱ）反证法：若结论不成立,即存在一个含 5 维 T 向量序列, A , A , A ,123, A ,n使得 A = (1,1,1,1,1) A = (0,0,0,0,0,0) ．1m因为向量 A = (1,1,1,1,1)的每一个分量变为 0,都需要奇数次变化,1不妨设 A 的第 (i = 1,2,3,4,5 )个分量1变化了2n -1 次之后变成 0, 1i所以将 A 中所有分量 1 变为 0 共需要:1(2 n - 1) + (2 n - 1) + (2 n - 1) + (2 n - 1) （2n -1） （n + n + n + n + n - 2）-1次,此数为奇数．1234512345又因为 d (A , A )= m , m ∈ N * ,说明 A 中的分量有 2 个数值发生改变,ii +1i进而变化到 A , 所以共需要改变数值 2(m -1)次,此数为偶数,所以矛盾．i +1所以该序列中不存在 5 维 T 向量(0,0,0,0,0 )．（ Ⅲ ） 存 在 正 整 数 j 使 得 A = (0,0,j12个=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．j3．解：作出 x ，y 满足 ⎨ x + y ≤ 0 表示的平面区域,⎪ y ≥ 0 得到如图的三角形及其内部,由 ⎨, x + y = 0 F = ∴ z 最大值 = F (- , ) = (26 - 1)解 析1．解：集合 A = {x | x 2-4＜0} = {x | -2＜x ＜2} ,则 RA = {x | x ≤ -2或x ≥ 2} ．故选：A ．2．解：对于 A 非奇非偶函数,不正确； 对于 B ,计算,正确,对于 C ,非奇非偶函数,不正确； 对于 D ,偶函数,不正确, 故选：B ．⎧ x - y + 1 ≥ 0 ⎪⎩⎧ x - y + 1 = 0 ⎩1 1解得 A (- , ) ,2 2设 z = （x ，y ） x + 2 y ,将直线 l ：z = x + 2 y 进行平移,当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值1 12 2 1 2．故选：C ．4．解：“ | a + b |=| a | + | b | ” “ a, b 共线”,反之不成立,例如 a = -b ≠ 0 ．∴ a , b 是非零向量,则“ a , b 共线”是“ | a + b |=| a | + | b | ”的必要不充分条件．故选：B ．5．解：设递增的等比数列{a1解得 a =, a = 8 ．125n }的公比为 q ,∵ a 1+ a = 5 172 , a a = 4 = a a ,2 4 1 5解得 q = 2 ,1 则 S = 2663= ．2 - 1 2故选：D ．-11-/1512 i 2 i ．2) θ θ 2 0) θn = 5，v = 1，x = 2，i = 4 满足条件 i ≥0,执行循环体,v =3,i =3满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 7，i = 2满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 15，i = 1 满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 31，i = 0 满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 63，i =﹣ 不满足条件 i ≥ 0 ,退出循环,输出 v 的值为 63 ．由于 25+24+23+22+2+1=63．故选：A ．7．解：由题意可知：对于 A 、B ，当P 位于A ，B 图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线, 由此即可排除 A 、B ,对于 D ,其图象变化不会是对称的,由此排除 D , 故选 C ．8．解：若 a = b ，i = 1，， n ,ii则 A < B ，B < A 同时不成立,故选 C ．9．解：复数（﹣）= 2i + 1 在复平面内所对应的点的坐标为（1,2） 故答案为： (1， ．10．解：直线 ρ=2acosθ（a ＞0）化为直角坐标方程： x + 3 y + 1 = 0 ．圆 ρ = 2a cos （a ＞0）即 ρ 2 = 2ρ a cos （a ＞0）, 可 得 直 角 坐 标 方 程 ： x 2 + y 2 = 2ax , 配 方 为 ：（x - a ） + y 2 = a 2 ．可得圆心 (a ，，半径 a ．∵直线 ρcos θ + 3ρsin θ + 1 = 0 与圆 ρ = 2acos （a ＞0）相切,∴ | a + 1|= a ，a ＞0 ,解得 a = 1 ．2故答案为：1．11．解：根据题意,分 2 种情况讨论：①．选择 1 门 B 类课程,需要选择 A 类课程 3 门,则 B 类课程有 C 1 = 2 种选法,A 类课程有 C 3 = 4 种选法,24此时有 2 ⨯ 4 = 8 种选择方法；②．选择 2 门 B 类课程,需要选择 A 类课程 2 门,则 B 类课程有 C 2 = 1 种选法,A 类课程有 C 2 = 6 种选法,24此时有 1×6=6 种选择方法；3 y + 1 ,⎪⎪ y = 3 y + 1 ,解得： ⎨ 3 , , ⎨ 解：① f ( x ) ⎨| x - 3|, x ∈ (2,4] , ⎪| x - 5|, x ∈ (4, +∞) x ⎩2则一共有 8+6=14 种不同的选法；故答案为：14．12．解： △CBD 中,由余弦定理,可得, BD = 1 + 4 - 2 ⨯1⨯ 2 ⨯ 1= 2 ,4△ABD 中,利用正弦定理,可得 AD = 2sin 45︒ sin105︒= 2 3 - 2 ,1 1∴三角形 ABD 的面积为 ⨯ 2 ⨯ (2 3 - 2) ⨯ = 3 - 1,2 2故答案为 2, 3 - 1．13．解：抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 的坐标为（1,0）∵直线 l 过F ,倾斜角为 60︒ ,即斜率 k = tan α = 3 ,∴直线 l 的方程为： y =3( ﹣1) ,即 x =3⎧ 3 ⎧ 2 3⎪ x = ⎧⎪ y = 2 3 ⎨⎪ y 2 = 4 x⎪⎩ x = 3 ⎪ x = 1 ⎪⎩ 3由点 A 在x 轴上方，则A(3， 3) ,则 OA = (3)2 + (2 3) 2 = 21 ,则 OA = 21 ,故答案为： 21 ．14．⎧| x - 1|, x ∈ (0,2]⎪ ⎩作出 f (x) 的函数图象如图所示：f42+4)15．（Ⅰ）根据f()=2，即可求a的值；⎢12,12⎥上单调递减,可得最大值．（29)此时CG1]'=f2]2]f≥g2]f x g g2]由图象可知当a＞1时，f(x)=a只有1解．②∵关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,∴将（x）的图象向左或向右平移T个单位后与原图象有3个交点,∴2＜T＜4,即﹣＜T＜﹣或2＜T＜4．故答案为：①(1，∞)，②(﹣4,-2)(2，．π6（Ⅱ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asinωx+ϕ）的形式,结合三角函数的图象和性质,f(x)在⎡π7π⎤⎣⎦16．设A表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1，，，．根据题意P(A)=i i 且事件A与A互斥．i j 1 9,,（Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则B=A4A．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．7（Ⅱ）由题意,可知X的所有可能取值为0,1,2,结合图象,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出．（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．（Ⅰ）取CD中点N，连结M N、FN，推导出四边形EFND为平行四边形．从而FN//ED．进而FN//平面BDE，由此能证明平面MFN//平面BDE，从而FM//平面BDE．（Ⅱ）取AD中点O，连结EO，BO．以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线CF与平面ADE所成角的正弦值．（Ⅲ）设G是CF上一点,且CG=λCF,λ∈[0，．利用向量法能求出在棱CF上存在点G使得BG⊥DE, 4=．CF918．（Ⅰ）当a=0时，f（x）（-x2+2x）e-x,由此能求出曲线y=（x）在点（-1，f(-1))处的切线方程．（Ⅱ）“对任意的t∈[0，，存在s∈[0，使得（s）（t）成立”,等价于“在区间[0，上，（x）的最大值大于或等于（）的最大值”．求出（x）在[0，上的最大值为g = ' = = ' + (4k - 1) 20．（Ⅰ）由于 A =（10101，），B =（01110，）,由定义 d ( A,B) = ∑ | a - b |,求 d （A ，B ）的值． ，，， ，，，（2） 1．f （x ） e - （x - 2）（x + a ），令f （x ） 0，得x = 2，或x = -a ．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数 a 的值范围．19．（Ⅰ）由题意可知 b = 3，c = 1，a = b + c = 4 ,即可求得椭圆方程；222（Ⅱ）由“点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上”等价于 “ E F 平分∠MFB ”设直线 A M 的方程,代入椭圆方程 , 由 韦 达 定 理 求 得 M 点坐标，分类讨论，当 MF ⊥ x 轴时，求得 k 的 值 , 即 可 求 得N 和E 点坐标，求得点E 在∠BFM 的角平分线所在的直线 y = x - 1或y = - x + 1 ,则 EF 平分∠MFB ,当 k ≠ 12时,即可求得直线 MF 的斜率及方程 ,利用点到直线的距离公式 ,求得 d = | 8k + 2k (4k 2 - 1)- 4k|16k 2 2 2=| BE | ,则点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上．n iii =1（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数 j 使得 A = (0,0,j12个,0) , A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的 m ．j-15-/15。
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2017年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|﹣1≤x＜2}D．{x|﹣1≤x＜1} 2．（5分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2x B．y=sinx C．y=x3 D．y=ln|x|3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S值为，则①处应填写（）A．k＜3 B．k＜4 C．k＜5 D．k＜64．（5分）在△ABC中，已知AB=3，AC=5，A=120°，则=（）A．B．C．D．5．（5分）命题p：数列{a n}的前n项和S n=an2+bn+c（a≠0）；命题q：数列{a n}是等差数列．则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）第五届北京农业嘉年华于2017年3月11日至5月7日在昌平区兴寿镇草莓博览园中举办，设置“三馆两园一带一谷一线”八大功能板块．现安排六名志愿者去其中的“三馆两园”参加志愿者服务工作，若每个“馆”与“园”都至少安排一人，则不同的安排方法种数为（）A．C A B．5C AC．5A D．C A7．（5分）设点A（0，1），B（2，﹣1），点C在双曲线M：﹣y2=1上，则使△ABC的面积为3的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中最多可能出现的平局场数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设a∈R，若（1+i）（a﹣i）=﹣2i，则a=．10．（5分）若实数x，y满足，则2x+y的最小值为．11．（5分）已知=（1，），=（﹣1，0），=（，k），若2﹣与垂直，则k=．12．（5分）在极坐标中，点（，）到直线ρcosθ=2的距离等于．13．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（2，0，0），B（0，2，0），C （0，0，0），P（0，1，），则三棱锥P﹣ABC在坐标平面xOz上的正投影图形的面积为；该三棱锥的最长棱的棱长为．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1），函数g（x）=f（x）﹣k．①若a=，函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为；②若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）=2sinxsin（﹣x）．（Ⅰ）求f（）及f（x）的最小正周期T的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试，获得掷实心球的成绩数据，整理得到数据分组及频率分布表，成绩在11.0米（精确到0.1米）以上（含）的男生为“优秀生”．（Ⅰ）求参加测试的男生中“优秀生”的人数；（Ⅱ）从参加测试男生的成绩中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本，再从该样本中任选2名男生的成绩，求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率；（Ⅲ）若将这次测试的频率作为概率，从该校全体男生中随机抽取3人，记X 表示3人中“优秀生”的人数，求X的分布列及数学期望．17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAD；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CD上是否存在点M，使得AM⊥平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）设函数f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x．（I）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（II）若，求f（x）的单调区间．19．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四边形ABCD 的各顶点均在椭圆E上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，点D（2，1），AC，BD的斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过D作直线l平行于AC．若直线l′平行于BD，且与椭圆E交于不同的两点M．N，与直线l交于点P．（1）证明：直线l与椭圆E有且只有一个公共点；（2）证明：存在常数λ，使得|PD|2=λ|PM|•|PN|，并求出λ的值．20．（13分）设集合U={1，2，…，100}，T⊆U．对数列{a n}（n∈N*），规定：①若T=∅，则S T=0；②若T={n 1，n2，…，n k}，则S T=a+a+…+a．例如：当a n=2n，T={1，3，5}时，S T=a1+a3+a5=2+6+10=18．已知等比数列{a n}（n∈N*），a1=1，且当T={2，3}时，S T=12，求数列{a n}的通项公式．2017年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|﹣1≤x＜2}D．{x|﹣1≤x＜1}【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜1}．故选：B．2．（5分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2x B．y=sinx C．y=x3 D．y=ln|x|【解答】解：对于A，y=2x，是非奇非偶的函数，不满足题意；对于B，y=sinx，是奇函数，但在定义域R上不是增函数，不满足题意；对于C，y=x3，是奇函数，且为定义域R上的增函数，满足题意；对于D，y=ln|x|，是偶函数，不满足题意．故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S值为，则①处应填写（）A．k＜3 B．k＜4 C．k＜5 D．k＜6【解答】解：模拟程序运行过程，知S=S+=S+=S+﹣；k=2时，S=﹣≠，k=3时，S=﹣+﹣=﹣≠，k=4时，S=﹣+﹣=﹣≠，k=5时，S=﹣+﹣=，此时不满足条件①，输出S=；∴①处为“k＜5”．故选：C．4．（5分）在△ABC中，已知AB=3，AC=5，A=120°，则=（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，已知AB=3，AC=5，A=120°，则由余弦定理可得BC===7，再根据正弦定理可得===，故选：B．5．（5分）命题p：数列{a n}的前n项和S n=an2+bn+c（a≠0）；命题q：数列{a n}是等差数列．则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=an2+bn+c﹣[a（n﹣1）2+b（n﹣1）+c]=an2+bn+c ﹣a（n﹣1）2﹣b（n﹣1）﹣c=2an+a+b，当n=1时，a1=S1=a+b+c不满足a n=2an+a+b，则a n=，则数列{a n}不是等差数列，即充分性不成立，若{a n}是等差数列，当d=0时，则S n=na1，不满足S n=an2+bn+c（a≠0），即必要性不成立，即p是q的既不充分也不必要条件，故选：D6．（5分）第五届北京农业嘉年华于2017年3月11日至5月7日在昌平区兴寿镇草莓博览园中举办，设置“三馆两园一带一谷一线”八大功能板块．现安排六名志愿者去其中的“三馆两园”参加志愿者服务工作，若每个“馆”与“园”都至少安排一人，则不同的安排方法种数为（）A．C A B．5C AC．5A D．C A【解答】解：安排六名志愿者去其中的“三馆两园”参加志愿者服务工作，每个“馆”与“园”都至少安排一人，先把6人分成5组，每组至少一人，不同的分组方法有：种，再把这5组安排到“三馆两园”，来同的安排方法有：种，由乘法计数原理，得不同的安排方法种数为：．故选：A．7．（5分）设点A（0，1），B（2，﹣1），点C在双曲线M：﹣y2=1上，则使△ABC的面积为3的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：AB的长度|AB|===2，设C到AB的距离为d，则由S=d=3，得d==，AB的直线方程和为y=kx+1，则由﹣1=2k+1得2k=﹣2，得k=﹣1，即AB的方程为：y=﹣x+1，即x+y﹣1=0，设与直线x+y﹣1=0平行的直线为x+y+c=0，得y=﹣x﹣c代入双曲线M：﹣y2=1得3x2+8cx+4+4c2=0，当直线和双曲线相切时，判别式△=64c2﹣12（4+4c2）=0，即c2=3，得c=±，即相切的直线方程为x+y+=0或x+y﹣=0，直线x+y+=0和x+y﹣1=0的距离d==＜，则此时△ABC 的面积为3的点C有两个，直线x+y﹣=0和x+y﹣1=0的距离d==＜，则此时△ABC 的面积为3的点C有两个，综上△ABC的面积为3的点C有4个，故选：A8．（5分）四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中最多可能出现的平局场数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），共比赛6场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．即每场比赛若不平局，则共产生3×6=18分，每场比赛都平局，则共产生2×6=12分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则各队得分分别为：2，3，4，5；或3，4，5，6．如果是3，4，5，6，则每场产生=3分，没有平局产生，但是不可能产生4，5分，与题意矛盾，舍去．因此各队得分分别为：2，3，4，5．第一名得分5：5=3+1+1，为一胜两平；第二名得分4：4=3+1+0，为一胜一平一负；第三名得分3：根据胜场等于负场，只能为三平；第四名得分2：2=1+1+0，为两平一负．则所有比赛中最多可能出现的平局场数是4．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设a∈R，若（1+i）（a﹣i）=﹣2i，则a=﹣1．【解答】解：（1+i）（a﹣i）=﹣2i，可得（1﹣i）（1+i）（a﹣i）=﹣2i（1﹣i），2（a﹣i）=﹣2i（1﹣i）=﹣2i﹣2，即a﹣i=﹣i﹣1∴a=﹣1．故答案为：﹣1．10．（5分）若实数x，y满足，则2x+y的最小值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣，），此时z=﹣×2+=﹣，故答案为：．11．（5分）已知=（1，），=（﹣1，0），=（，k），若2﹣与垂直，则k=﹣．【解答】解：∵=（1，），=（﹣1，0），=（，k），∴=（2，2）﹣（﹣1，0）=（3，2），∵2﹣与垂直，∴（）•=3+2k=0，解得k=﹣．故答案为：﹣．12．（5分）在极坐标中，点（，）到直线ρcosθ=2的距离等于1．【解答】解：由x=cos=1，y=sin=1，可得点（，）的直角坐标是（1，1），直线ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2．∴点（1，1）到直线x=2的距离d=2﹣1=1，故答案为：1．13．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（2，0，0），B（0，2，0），C （0，0，0），P（0，1，），则三棱锥P﹣ABC在坐标平面xOz上的正投影图形的面积为；该三棱锥的最长棱的棱长为2．【解答】解：如图所示，空间直角坐标系O﹣xyz中，A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），P（0，1，），在平面yOz中过点P作PM⊥z轴，垂足为M，则△ACM是三棱锥P﹣ABC在坐标平面xOz上的正投影图形，=×2×=；其面积为S△ACM三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，AB=2，PB=PC==2，PA==2；∴最长棱的棱长为AB=AP=2．故答案为：；2．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1），函数g（x）=f（x）﹣k．①若a=，函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为[﹣1，1）；②若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是（1，3] ．【解答】解：①a=时，画出函数f（x）的图象，如图所示：，若函数g（x）无零点，则y=k和y=f（x）无交点，结合图象，﹣1≤k＜1；②若0＜a＜1，显然f（x）无最小值，故a＞1，结合log a3=1，解得：a=3，故a∈（1，3]；故答案为：[﹣1，1），（1，3]．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）=2sinxsin（﹣x）．（Ⅰ）求f（）及f（x）的最小正周期T的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinxsin（﹣x）=2sinx•（cosx﹣sinx）=sin2x﹣sin2x=sin2x﹣•=sin2x+cos2x﹣=sin（2x+）﹣，∴f（）=sinπ﹣=﹣，∴T==π．（Ⅱ）在区间[﹣，]上，2x+∈[0，]，∴当2x+=时，函数f（x）取得最大值为1﹣，当2x+=0时，函数f（x）取得最小值为0﹣=﹣．16．（13分）从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试，获得掷实心球的成绩数据，整理得到数据分组及频率分布表，成绩在11.0米（精确到0.1米）以上（含）的男生为“优秀生”．（Ⅰ）求参加测试的男生中“优秀生”的人数；（Ⅱ）从参加测试男生的成绩中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本，再从该样本中任选2名男生的成绩，求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率；（Ⅲ）若将这次测试的频率作为概率，从该校全体男生中随机抽取3人，记X 表示3人中“优秀生”的人数，求X的分布列及数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）第6小组的频率为1﹣（0.10+0.10+0.20+0.40）=0.10，∵第6小组的频数为10，∴总人数为=100（人）．∴第5、6组的学生均为“优秀生”，人数为（0.40+0.10）×100=50（人）．即“优秀生”的人数为50．…（4分）（Ⅱ）根据分层抽样，在各组抽取的人数分别1人，1人，1人，2人，4人，1人．其中成绩不低于13.0米的有1人．设事件A为“至少1名男生成绩不低于13.0米”，则P（A）==．∴选出的2名男生的成绩中至少有1名男生的成绩不低于13.0米的概率为．…（7分）（Ⅲ）从该校全体男生中任选一人，这个人是“优秀生”的概率为．由题意知X的可能取值为0，1，2，3．P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==．所求分布列为：∴EX==．…（13分）17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAD；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CD上是否存在点M，使得AM⊥平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）∵△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD．∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD．∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．∵AB∥CD，AB⊥AD，∴CD⊥AD．∵PE∩AD=E，∴CD⊥平面PAD．∵CD⊂平面ABCD，∴平面PCD⊥平面PAD．…（4分）解：（Ⅱ）在平面ABCD内作直线EF⊥AD．∴EF⊥平面PAD，∴EF⊥PE．以E为原点建立空间直角坐标系E﹣xyz，如图所示．则P（0，0，），A（0，﹣1，0），B（2，﹣1，0），C（4，1，0），D（0，1，0）．=（2，﹣1，﹣），=（4，1，﹣），=（0，1，﹣），设平面PCD的法向量为=（x，y，z）．∴，令z=，则=（0，3，），设直线PB与平面PCD所成的角为α．则sinα=|cos＜＞|=||=．∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．…（9分）（Ⅲ）在棱CD上假设存在点M，使得AM⊥平面PBE．∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AM．要使AM⊥平面PBE成立，只需AM⊥EB成立．设M（x0，y0，z0），．λ∈[0，1]∴，即（x，y﹣1，z）=λ（4，0，0）．∴x=4λ，y=1，z=0．∴M（4λ，1，0）．∵，∴由⊥，得=0，即8λ﹣2=0．解得∈[0，1]．故．…（14分）18．（13分）设函数f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x．（I）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（II ）若，求f（x）的单调区间．【解答】解：（I）因为f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x，所以f'（x）=2a（x﹣1）﹣（e2﹣x﹣xe2﹣x）．因为f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，所以f′（2）=0，所以1+2a=0，所以a=﹣．…（5分）（II）因为f′（x）=（x﹣1）（e2﹣x+2a），（1）当a≥0时，e2﹣x+2a＞0，所以f′（x）＞0，解得：x＞1，f′（x）＜0，解得：x＜1所以函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；（2）当﹣＜a＜0时，令f′（x）=0，得x1=1，x2=2﹣ln（﹣2a），且x2﹣x1=1﹣ln（﹣2a）＞0．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2﹣ln（﹣2a）），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），（2﹣ln（﹣2a），+∞）；综上所述：当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；当﹣＜a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2﹣ln（﹣2a）），函数f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，1），（2﹣ln（﹣2a），+∞）．…（13分）19．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四边形ABCD的各顶点均在椭圆E上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，点D（2，1），AC，BD的斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过D作直线l平行于AC．若直线l′平行于BD，且与椭圆E交于不同的两点M．N，与直线l交于点P．（1）证明：直线l与椭圆E有且只有一个公共点；（2）证明：存在常数λ，使得|PD|2=λ|PM|•|PN|，并求出λ的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得．故椭圆E的方程为；证明：（Ⅱ）（1）由题意，∵，得，则直线l的方程为，联立，化简得x2﹣4x+4=0．∵判别式△=0，∴直线l与椭圆E有且只有一个公共点；（2）设直线l′的方程为y=（m≠0）．联立方程组，解得．故点P坐标为（2﹣m，），．联立方程组，化简得x2+2mx+2m2﹣4=0．设点M（x1，y1），N（x2，y2）．判别式△=4（﹣m2+4）＞0，得﹣2＜m＜2．又．∴|PM|=．同理，．故|PM||PN|===．∵|PD|2=λ|PM|•|PN|，解得λ=1．故存在常数λ为1，使得|PD|2=λ|PM|•|PN|．20．（13分）设集合U={1，2，…，100}，T⊆U．对数列{a n}（n∈N*），规定：①若T=∅，则S T=0；②若T={n 1，n2，…，n k}，则S T=a+a+…+a．例如：当a n=2n，T={1，3，5}时，S T=a1+a3+a5=2+6+10=18．已知等比数列{a n}（n∈N*），a1=1，且当T={2，3}时，S T=12，求数列{a n}的通项公式．【解答】解：∵等比数列{a n}（n∈N*），a1=1，且当T={2，3}时，S T=12，∴a2+a3=12，即q+q2=12，解得q=3或q=﹣4，∴当q=3时，a n=a=3n﹣1，当q=﹣4时，a n=a=（﹣4）n﹣1，∴数列{a n}的通项公式为或．。