圆周运动,航空天体运动专题教案讲义

图 3－5 A．若 hA＝hB≥2R，则两小球都能沿轨道运动到最高点 3R 3R B．若 hA＝hB＝ ，由于机械能守恒，两个小球沿轨道上升的最大高度均为 2 2 C．适当调整 hA 和 hB，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处 5R D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A 小球的最小高度为 ，B 小球在 hB>2R 2 的任何高度均可
图 3－4 (2)周期(T)一定 ①同步卫星的运行方向与地球自转的方向一致． ②同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同，即 T＝24 h． (3)角速度(ω)一定 φ 2π 由公式 ω＝ 知，地球同步卫星的角速度 ω＝ ，因为 T 恒定，π 为常数，故 ω 也一定． t T (4)向心加速度(a)的大小一定 地球同步卫星的向心加速度为 a，则由牛顿第二定律和万有引力定律得： Mm GM G ． 2＝ma，a＝ (R＋h) (R＋h)2 (5)距离地球表面的高度(h)一定 由于万有引力提供向心力，则在 ω 一定的条件下，同步卫星的高度不具有任意性，而 是唯一确定的． Mm 根据 G ＝mω2(R＋h)得： (R＋h)2 h＝ 3 GM 3 －R＝ ω2 GM －R≈36000 km． 2π ( )2 T GM ＝ r R2g ＝ R＋h
[答案]
4π2r3 T2G
经典考题
1．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的 4.7 倍，质量是 － 地球的 25 倍．已知某一近地卫星绕地球运行的周期约为 1.4 小时，引力常量 G＝6.67×10 11 N· m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为[2009 年高考· 全国理综卷Ⅰ]( ) A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3 C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3 [答案] D 2．2009 年 2 月 11 日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯 利亚上空约 805 km 处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程 中产生的大量碎片可能会影响太空环境． 假定有甲、 乙两块碎片， 绕地球运行的轨道都是圆， 甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是[2009 年高考· 安徽理综卷Ⅰ]( ) A．甲的运行周期一定比乙的长 B．甲距地面的高度一定比乙的高 C．甲的向心力一定比乙的小 D．甲的加速度一定比乙的大 ． [答案] D 3.1990 年 4 月 25 日， 科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约 600 km 的高空， 使得 人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展． 假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行． 已 6 7 知地球半径为 6.4×10 m， 利用地球同步卫星与地球表面的距离为 3.6×10 m 这一事实可得 到哈勃望远镜绕地球运行的周期．以下数据中，最接近其运行周期的是[2008 年高考· 四川理 综卷]( ) A．0.6 小时 B．1.6 小时 C．4.0 小时 D．24 小时 [答案] B 4．我国发射的嫦娥一号探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行．为了获得月球表面全 貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化，卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球．设地球 和月球的质量分别为 M 和 m，地球和月球的半径分别为 R 和 R1，月球绕地球的轨道半径和 卫星绕月球的轨道半径分别为 r 和 r1，月球绕地球转动的周期为 T．假定在卫星绕月运行的 一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面， 求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡 而不能到达地球的时间．(用 M、m、R、R1、r、r1 和 T 表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时 间的影响)．[2008 年高考· 全国理综卷Ⅱ]
Mm F 万＝G 2 ＝F 向 r
1 mvr →v＝ GM →v∝ r r ＝ GM 1 mω r→ω＝ →ω∝ r r 4π r →T∝ r . m T r→T＝ 4π GM
2 2 3 3 2 2 3 2 3
GM 1 ma→a＝ 2 →a∝ 2 r r
3．宇宙速度 (1)第一宇宙速度(环绕速度)：v＝ gR＝7.9_km/s，是卫星发射的最小速度，也是卫星环
图 3－3 (3)骑自行车在水平路面上转弯时，向心力由静摩擦力提供，但车身的倾斜角仍为 θ＝ v2 arctan ． rg 二、航天与星体问题 1．天体运动的两个基本规律 (1)万有引力提供向心力 v2 Mm 4π2 行星卫星模型：F＝G 2 ＝m ＝mrω2＝m 2 r r r T m1m2 2 2 双星模型：G 2 ＝m1ω r1＝m2ω (L－r1) L － 其中，G＝6.67×10 11 N· m2/kg2 2．万有引力等于重力 Mm G 2 ＝mg(物体在地球表面且忽略地球自转效应)； R Mm G ＝mg′(在离地面高 h 处，忽略地球自转效应完全相等，g′为该处的重力加速 (R＋h)2 度) 2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系
★同类拓展 1 我国探月的嫦娥工程已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月 球．假如宇航员在月球上测得摆长为 l 的单摆做小振幅振动的周期为 T，将月球视为密度均 匀、半径为 r 的球体，则月球的密度为( ) 3π 3πl 16πl 3πl A． 2 B． C． D． 2 2 GT GrT 3GrT 16GrT2 三、行星、卫星的动力学问题 不同轨道的行星(卫星)的速度、周期、角速度的关系在“要点归纳”中已有总结，关于
要点归纳
一、圆周运动 1．描述匀速圆周运动的相关物理量及其关系 (1)物理量：线速度 v、角速度 ω、周期 T、频率 f、转速 n、向心加速度 a 等等．
v2 2πr 4π2 (2)关系：v＝ ＝ωr＝2πrf，a＝ ＝ω2r＝ 2 r＝4π2f2r． T r T 2．匀速圆周运动的向心力 (1)向心力的来源：向心力是由效果命名的力，它可以由重力、弹力、摩擦力等力来充 当，也可以是由这些力的合力或它们的分力来提供，即任何力都可能提供向心力，向心力的 作用是只改变线速度的方向，不改变线速度的大小． v2 4π2 (2)大小：F 向＝ma＝m ＝mω2r＝m 2 r r T 2 2 ＝4mπ f r (牛顿第二定律) 3．圆周运动的临界问题 分析圆周运动的临界问题时，一般应从与研究对象相联系的物体(如：绳、杆、轨道等) 的力学特征着手． (1)如图 3－1 所示，绳系小球在竖直平面内做圆周运动及小球沿竖直圆轨道的内侧面做 圆周运动过最高点的临界问题(小球只受重力、绳或轨道的弹力)．
当 v＝0 时，F＝mg，方向向上； 当 0＜v＜ gr 时，F 随 v 的增大而减小，方向向上； 当 v＝ gr 时，F＝0； 当 v＞ gr 时，F 为负值，表示方向向下，且 F 随 v 的增大而增大． 4．弯道问题 (1)火车的弯道、公路的弯道都向内侧倾斜，若弯道半径为 r，车辆通过速度为 v0，则弯 道的倾角应为： v02 θ＝ arctan ． rg (2)飞机、鸟在空中盘旋时受力与火车以“v0”过弯道相同，故机翼、翅膀的倾角 θ＝ v2 arctan ． rg
这类问题还需特别注意分析清楚卫星的变轨过程及变轨前后的速度、 周期及向心加速度的关 系． ★例 3 为纪念伽利略将望远镜用于天文观测 400 周年， 2009 年被定为以“探索我的宇 宙”为主题的国际天文年． 我国发射的嫦娥一号卫星绕月球经过一年多的运行， 完成了既定 任务，于 2009 年 3 月 1 日 16 日 13 分成功撞月．图示为嫦娥一号卫星撞月的模拟图，卫星 在控制点 1 开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为 R，周期为 T，引 力常量为 G．根据题中信息( )
知识网络
考点预测
本专题包含两类问题或者说两大题型， 无论是星体问题还是其他圆周运动的问题， 往往 都要运用牛顿运动定律和功能关系进行求解， 但由于在高考中地位重要， 因而单独作为一个 专题进行总结、分类和强化训练． 航天与星体问题是近几年各地高考卷中的必考题型． 由于对这个小模块每年都考， 各类 题型都有，考得很细，所以历年高考试题往往与近期天文的新发现或航天的新成就、新事件 结合， 我们在平时学习的过程中应多思考这类天文新发现和航天新事件中可能用于命题的要 素． 在高考卷中， 关于航天及星体问题的大部分试题的解题思路明确， 即向心力由万有引力 提供，设问的难度不大，但也可能出现设问新颖、综合性强、难度大的试题．如 2008 年高 考全国理综卷Ⅱ中第 25 题，2009 年高考全国理综卷Ⅱ第 26 题．
Байду номын сангаас
图 3－2 分析小球在最高点的受力情况：小球受重力 mg、杆或轨道对小球的力 F． 小球在最高点的动力学方程为： v2 mg＋F＝m ． r 由于小球运动到圆轨迹的最高点时，杆或轨道对小球的作用力可以向下，可以向上，也 可以为零；以向下的方向为正方向，设小球在最高点时杆或轨道对它的作用力大小为 F，方 向向上，速度大小为 v，则有： v2 mg－F＝m r
二、天体质量、密度及表面重力加速度的计算 M 1．星体表面的重力加速度：g＝G 2 R rv2 4π2r3 2．天体质量常用的计算公式：M＝ ＝ 2 G GT ●例 2 假设某个国家发射了一颗绕火星做圆周运动的卫星．已知该卫星贴着火星表面 运动，把火星视为均匀球体，如果知道该卫星的运行周期为 T，引力常量为 G，那么( ) A．可以计算火星的质量 B．可以计算火星表面的引力加速度 C．可以计算火星的密度 D．可以计算火星的半径
绕地球运行的最大速度． (2)第二宇宙速度：v＝11.2 km/s (3)第三宇宙速度：v＝16.7 km/s 注意：①三个宇宙速度的大小都是取地球中心为参照系； ②以上数据是地球上的宇宙速度， 其他星球上都有各自的宇宙速度， 计算方法与地球相 同． 4．关于地球同步卫星 地球同步卫星是指与地球自转同步的卫星， 它相对于地球表面是静止的， 广泛应用于通 信领域，又叫做同步通信卫星．其特点可概括为六个“一定”： (1)位置一定(必须位于地球赤道的上空) 地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定与地球的赤道面重合． 假设同步卫星的轨道平面与赤道平面不重合，而与某一纬线所在的平面重合，如图 3－ 4 所示．同步卫星由于受到地球指向地心的万有引力 F 的作用，绕地轴做圆周运动，F 的一 个分力 F1 提供向心力，而另一个分力 F2 将使同步卫星不断地移向赤道面，最终直至与赤道 面重合为止(此时万有引力 F 全部提供向心力)．