甘肃省天水市高一数学下学期入学考试试题(2021年整理)

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甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高一数学下学期第二学段考试试题

甘肃省天水市第一中学20212021学年高一数学下学期第二学段考试试题数学试题（满分：100分时刻：90分钟）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．阅读如图所示的程序框图，则输出的值是A. B. C. D.2．要得到的图像, 需要将函数的图像( )A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位3．在（0，2π）内，使tan x>1成立的x的取值范畴为A. （，）B. （π，π）C. （，）∩（π，π）D. （，）∪（π，π）4．函数（)的图象如图所示，则的值为（）A． B． C． D．5．如图，在中，是边的中线，是边的中点，若,则=（）A. B. C. D.6．将函数的图像向左平移个单位长度后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是A. B. C. D.7．在函数①，②，③,④中，最小正周期为的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8．函数的大致图象为A. B.C. D.9．设，，，则（）A. B. C. D.10．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范畴是（）A、 B、 C、 D、二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11．已知向量，，若在方向上的投影为，，则__________．12．若函数，则f（x）的值域为___________．13.已知，则__________．14．若函数的最大值和最小值分别为、，则函数+m=_______．三.解答题：本大题共4小题，共44分.解承诺写出必要的文字说明.15．（本小题10分）已知(1)求的值； (2)求的值.16.（本小题10分）设A,B,C,D为平面内的四点，且A（1,3），B(2,-2)，C(4,1).（1）若，求D点的坐标；（2）设向量，若向量平行，求实数k的值.17．（本小题12分）对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下.（1）求，并依照图中的数据，用分层抽样的方法抽取个元件，元件寿命落在之间的应抽取几个？（2）从（1）中抽出的寿命落在之间的元件中任取个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在之间，一个元件寿命落在之间”的概率.18.（本小题12分）已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是.若将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数.（1）求的解析式；（2）求的对称轴及单调增区间；（3）若对任意恒成立，求实数m 的取值范畴.数学参考答案1．B 2．D 3．D 4．D 5．B 6．B 7．A 8．B 9．B 10．D 试题分析：第一做()012sin <-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y π关于y 轴的对称图形，只要x y a log =与对称图形至少有3个交点，那么就满足题意，因此如图当5=x 时2log 25log -=->a a a ，因为10<<a ，因此52>-a ，解得550<<a ．11．6 12．[，1]． 13.32-. 14．415．(1)；(2)4. 16.(1)D(5,-4) (2)k=3117．（1）0.0015；5；（2）（1）依照题意：,解得设在寿命落在之间的应抽取个，依照分层抽样有：4分解得：,因此寿命落在之间的元件应抽取个（2）记“恰好有一个寿命落在之间，一个寿命为之间”为事件，易知，寿命落在之间的元件有个，分别记，落在之间的元件有个，分别记为：，从中任取个元件，有如下差不多事件：，，共有个差不多事件.事件“恰好有一个寿命落在之间，一个寿命为之间”有：，，共有个差不多事件 ∴∴事件“恰好有一个寿命落在之间，一个寿命为之间”的概率为考点：频率分布直方图与古典概型． 18.。

2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高一下学期第一次学业水平检测化学试题

天水一中2021级学业水平考试第一次检测试题化学本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．满分100分，考试时间为60分钟．可能用到的相对原子质量：H —1第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本题包括20小题，每小题2．5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．2020年10月，我国大飞机C919亮相飞行大会。

C919飞机所用的材料中，主要成分属于金属材料的是（）A ．风挡——玻璃B ．轮胎——橡胶C ．尾翼主盒——碳纤维D ．座椅滑轨——铝锂合金2．胶体区别于其他分散系的本质特征是（）A ．在一定条件下能稳定存在B ．分散质粒子直径在1nm ~100nm 之间C ．产生丁达尔效应D ．胶体的分散质能通过滤纸空隙，而浊液的分散质不能3．要得到单质钠应该采用（）A ．电解法B ．热分解法C ．热还原法D ．物理提取法4．化学反应中常伴随能量变化．下列属于吸热反应的是（）A ．煅烧石灰石生产生石灰B ．食物因氧化而腐败C ．锌与盐酸反应制取氢气D ．酸与碱的中和反应5．下列做法不提倡的是（）A ．推广电动汽车，践行绿色交通B ．改变生活方式，减少废物生成C ．回收电子垃圾，集中填埋处理D ．弘扬生态文化，建设绿水青山6．下列各组物质按氧化物、单质、混合物的顺序排列的是（）A ．烧碱、液态氧、碘酒B ．生石灰、白磷、胆矾C ．干冰、铁、氯化氢D ．水、硫黄、漂白粉7．下列反应中，属于加成反应的是（）A ．22222CH CH 3O 2CO 2H O −−−→=++点燃B ．323222CH CH OH 2Na 2CH CH ONa H +−−→+↑ C ．22222CH CH Br CH BrCH Br −−→=+ D ．423CH Cl CH Cl HCl −−−→++光照8．下列实验操作正确的是（）点燃酒精灯向容量瓶中转移溶液读取量筒中液体体积收集氢气9．在2442Zn H SO ZnSO H ++↑反应中，2分钟内硫酸浓度由11.5mol L -⋅降至11.1mol L -⋅，则2分钟内用硫酸表示的平均反应速率为（）A ．110.1mol L min --⋅⋅B ．110.2mol L min --⋅⋅C ．110.3mol L min --⋅⋅D ．110.4mol L min --⋅⋅10．水是宝贵的自然资源．下列说法错误的是（）A ．矿泉水是混合物B ．2H O 属于共价化合物C ．2H O 的结构式为H O H --D ．2H O 与2D O 互为同素异形体11．如图是氢气在氯气中燃烧的示意图．有关该实验的说法错误的是（）A ．集气瓶中氯气呈黄绿色B ．氢气在氯气中燃烧火焰呈淡蓝色C ．燃烧过程中集气瓶口会产生大量白雾D ．该实验能充分说明燃烧不一定有氧气参加12．下列现象能说明2SO 只有漂白性的是（）①2SO 通入品红溶液中，溶液褪色；②2SO 通入滴有酚酞的NaOH 溶液中，溶液褪色．A ．只有①B ．只有②C ．①和②都能D ．①和②都不能13．一定条件下，在一密闭容器中进行的反成2233H (g)N (()g)g 2NH +高温高压催化剂达到最大限度时，下列说法正确的是（）A ．反应已经停止B ．2H 和2N 已经全部转化成3NHC ．正反应速率和逆反应速率不相等D ．反应混合物中各组分的浓度不再变化14．实验室现有已经配好的43NH Cl AlCl 、和24Na SO 三种无色溶液，因为没有及时贴上标签而无法使用，现在需要进行鉴别．下列试剂能将以上三种溶液一次性鉴别出来的是（）A ．NaOHB ．24H SOC ．3AgNOD ．2BaCl15．海洋占据地球面积的5/6，拥有丰富的资源，从海洋中可以提取钠、镁、溴、碘等物质．提取的过程有一步反应的离子方程式为：3225Br BrO 6H3Br 3H O --++++．下列叙述错误的是（）A ．Br -为还原剂B ．H +既不是氧化剂，又不是还原剂C ．生成23molBr 转移5mol 电子D ．2Br 仅为氧化产物16．我国科研团队借助一种固体催化剂（LDH ），在常温常压和可见光条件下合成了氨，其过程如图所示．下列说法中，不正确的是（）A ．该过程实现了常温下氮的固定B 该过程实现了化学能向太阳能的转化C ．该反应属于氧化还原反应D ．该反应化学方程式为332LDH5Br BrO NH 3O --++−−−→+光照 17．下列物质之间反应离子方程式可用2322CO 2H4H O CO -++=+↑表示的是（） A ．3CaCO 与足量稀盐酸 B ．23Na CO 溶液与足量稀硫酸C ．23Na CO 溶液与足量稀醋酸D ．3NaHCO 溶液与足量稀硝酸18．乙烯分子的球棍模型如图所示．下列关于乙烯分子的说法中，不正确的是（）A ．分子式为24C HB ．含有碳碳双键C ．空间结构是正四面体形D ．结构式为19．在给定的四种溶液中，加入以下几种离子，各离子能在原溶液中共存的是（） A ．所含溶质为4NaHSO 的溶液：加入233K CO NO Na +--+、、、B ．滴加酚酞变红的溶液：加入224SO Cu K Cl -++-、、、C ．含有大量24SO -的溶液：加入23K Cu Cl NO ++--、、、D ．常温下，加入铁粉能生成2H 的溶液：加入23Na Ca Cl HCO ++--、、、20．工业制备硝酸的反应之一为：2233NO H O2HNO NO ++．用A N 表示阿伏加德罗常数，下列说法正确的是（）A ．室温下，222.4LNO 中所含原子总数为A 3NB ．236gH O 中含有共价键的总数为A 2NC ．标准状况下，11.2LNO 中所含电子总数为A 5ND ．上述反应，生成31molHNO 转移电子的数目为A N 二、填空与简答题（本题包括4小题，共50分）21．（12分）下图是元素周期表的一部分，针对表中①~⑦元素，填写下列空白：（1）⑥表示的元素是_____________（填元素符号）．（2）②和⑥两种元素的原子半径大小为：②_____________⑥（填“<”或“>”）．（3）①②③三种元素对应的简单氢化物中最稳定的是_____________（填化学式）．（4）元素④与⑦形成的化合物属于_____________（填“共价”或“离子”）化合物．（5）写出元素⑤的氧化物与氢氧化钠溶液反应的离子方程式__________________________．22．（13分）以乙烯为主要原料，可以合成A 、C 、E 等物质，其合成路线如图所示（部分反应条件、原料、产物已略去）．请回答下列问题：（1）A 的结构简式为_____________，B 中含有的官能团的名称是_____________．（2）反应③的化学反应类型为_____________．（3）反应④和⑤的化学方程式分别为④：_____________．（12分）已知反应：24422Cu 2H SO )Cu (SO SO 2H O ∆++↑+浓，某化学兴趣小组用如图所示装置制取2SO ，并进行相关性质实验．请回答下列问题：（1）仪器a 的名称是_____________；（2）B 中品红溶液褪色，说明2SO 具有_____________（填“漂白性”或“还原性”）； C 中石蕊溶液变为_____________（填“蓝色”或“红色”）；（4）为防止2SO 污染环境，D 中可选用_____________（填“NaOH ”或“24H SO ”）溶液；（5）酸性条件下，2SO 与4KMnO 发生如下反应：2425SO 2KMnO 2H O ++24424K SO 2MnSO 2H SO ++，使溶液褪色．当20.5molSO 参加反应时，转移电子的物质的量是_____________mol ．24．（13分）镁及其合金是一种用途很广的金属材料，目前世界上60%的镁是从海水中提取的．主要步骤如下：（1）为了使4MgSO 转化为2Mg(OH)，试剂①可以选用_____________（填化学式）．（2）加入试剂①后，能够分离得到2Mg(OH)沉淀的方法是_____________．（3）试剂②可以选用_____________（填化学式）．（4）2MgCl 的电子式为__________________________，无水2MgCl 在熔融状态下，通电后会产生Mg 和2Cl ，该反应的化学方程式为__________________________．参考答案1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B 10．D 11．B12．A 13．D 14．A 15．D 16．B 17．B 18．C 19．C 20．D21．①P （2分） ②<（2分） ③HF （3分） ④离子（2分） ⑤2322Al O 2OH 2AlO H O --++（3分）22．（1）（3分）羟基（2分）（2）氧化反应（2分）（3）3253252CH COOH HOC H CH COOC H H O ∆++浓硫酸（3分）22222CH CH Br CH BrCH Br −−→=+（3分）23．（1）酒精灯（2分）（2）漂白性（2分）（3）红色（2分）（4）NaOH （3分）（5）1（3分）24．（1）2Ca(OH)（3分）（2）过滤（2分）（3）HCl （2分）（4）2:Cl :l :M :C g-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22MgCl Mg Cl +↑通电（3分）。

甘肃省天水市第一中学2021-2022高一数学下学期第三学段考试试题理(含解析).doc

甘肃省天水市第一中学2021-2022高一数学下学期第三学段考试试题理（含解析）一、选择题（每题只有一个选项正确，请你将所选选项涂在答题卡相应位置，每题3分共36分）1.()sin 585-°=（）A. 22-B.22C.3 D. 3-【答案】B 【解析】【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．【详解】由题意，可得()sin 585sin585sin(360225)sin 225-=-=-=-+2sin(18045)sin 45=-==+．故选B ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，其中解答中熟练掌握诱导公式是解本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.已知α是第一象限角，那么2α是（） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角【答案】D 【解析】试题分析：∵α的取值范围22?2k k πππ+（，）（k∈Z）∴2α的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时2α的取值范围是5224n n ππππ++（，）即2α属于第三象限角．②当k=2n （其中n∈Z）时2α的取值范围是22?4n n πππ+（，）即2α属于第一象限角．故答案为：D ．考点：象限角、轴线角．3.下列说法正确的是（）A. 锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;B. 如果向量a 0b ⋅=，则a b ⊥；C. 在ABC △中，记AB a =，AC b =，则向量a b +与a b -可以作为平面ABC 内的一组基底；D. 若a ，b 都是单位向量，则a b =. 【答案】C 【解析】【分析】可举390的角在第一象限，但不是锐角，可判断A ；考虑两向量是否为零向量，可判断B ；由,a b 不共线，推得a b +与a b -不共线，可判断C ；考虑两向量的方向可判断D ，得到答案．【详解】对于A ，锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定为锐角，比如390的角在第一象限，但不是锐角，故A 错误；对于B ，如果两个非零向量,a b 满足0a b ⋅=，则a b ⊥，若存在零向量，结论不一定成立，故B 错误；对于C ，在ABC ∆中，记,AB a AC b ==，可得a b +与a b -不共线，则向量a b +与a b -可以作为平面ABC 内的一组基底，故C 正确；对于D ，若,a b 都是单位向量，且方向相同时，a b =；若方向不相同，结论不成立，所以D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，主要是向量共线和垂直的条件，着重考查了判断能力和分析能力，属于基础题．4.角α的终边经过点(,4)P b -且3cos 5α=-，则b 的值为（） A. -3 B. 3C. 3±D. 5【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的定义，建立方程关系，即可求解．【详解】由题意，角α的终边经过点(,4)P b -且3cos5α=-，则3cos 5α==-，又由3cos 05α=-<，所以0b >，则2291625b b =+，解得3b =或3b =-（舍去），故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.设(2,1)a =，(3,2)b =，(5,4)c =，若c a b λμ=+则λ，μ的值是（） A. 3λ=-，2μ= B. 2λ=-，3μ= C. 2λ=，3μ= D. 3λ=，2μ=【答案】B 【解析】【分析】由向量相等的充要条件可得：(5,4)(23,2)λμλμ=++，列出方程组，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量(2,1)a =，(3,2)b =，(5,4)c =，又因为c a b λμ=+，所以(5,4)(23,2)λμλμ=++，所以23524λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得23λμ=-⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数乘运算及向量相等的充要条件，其中解答中熟记向量的共线条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.已知向量(3,1)a =-，(3,1)b =，则a 在b 方向上的投影为（） A.15B.14C.13D. 1【答案】D 【解析】【分析】直接利用向量的数量积和向量的投影的定义，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量(3,1)a =-，(3,1)b =，则a 在b 方向上的投影为：3112a b b⋅-==．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7.已知实数59a =°，实数sin15cos15b =+°°，实数31cos31c =°°，则实数a 、c b 、的大小关系是（） A. a c b << B. a b c << C. a c b D. a b c【答案】B 【解析】【分析】将,b c 转化成具体的正弦函数，利用正弦函数单调性，进行比较，即可得到答案．【详解】由题意，得sin15cos152sin(1545)2sin 60b =+=+=，31cos 2sin 6231c ==，由正弦函数的单调性可得sin 59sin 60sin 62<<，所以a b c <<，【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及正弦函数的单调性的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC △的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅，所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=，所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=，所以三角形是等腰或直角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．9.为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（） A. 向左平移724π B. 向右平移724π C. 向左平移712πD. 向右平移712π【答案】B【分析】利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，即可求解，得出结论．【详解】由题意，函数2sin(2)2sin[2()]36y x x ππ=-=-，2sin(2)2sin[2()]48y x x ππ=+=+，又由7()8624πππ--=，故把函数2sin[2()]8y x π=+的图象上所有的点，向右平移724π个单位长度，可得72sin[2()]2sin(2)2443y x x πππ=-+=-的图象，故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心和一条对称轴可以是（）A. 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π= B. 5,512π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π= C. 2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π=D. 2,53π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π=【答案】B 【解析】【分析】直接利用余弦型函数的性质求出函数的对称轴和对称中心，即可得到答案．【详解】由题意，函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的性质，令2,3x k k Z ππ-=∈，解得,26k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23x π=，即函数一条对称轴的方程为23x π=，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,212k x k Z ππ=+∈，当0k =时，512x π=，即函数的一个对称中心为5(,5)12π，故选：B ．【点睛】本题主要考查了余弦型函数的性质对称轴和对称中心的应用，着重考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222a b c bc =+-，则角A =（） A.6πB.4π C.3π D.512π 【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理求三角形的一个内角A 的余弦值，可得A 的值，得到答案．【详解】在ABC ∆ 中，因为222a b c bc =+-，即222b c a bc +-=，利用余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，又由(0,)A π∈,所以3A π=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件，合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.已知1sin cos 5αα-=，0απ，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）【答案】C 【解析】分析】首先利用同角三角函数关系式的变换，求出sin 2α的值，进一步求sin cos αα+的值，最后利用差角公式的应用求出结果．【详解】由题意，知1sin cos 5αα-=，0απ，所以221sin cos 2sin cos 25αααα+-=，解得242sin cos 025αα=>，所以02πα，所以7sin cos 5αα+===，又由7cos 2(cos sin )(cos sin )25ααααα=+-=-，则247sin(2)2cos 242222522550πααα-=-=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数关系式的变换，以及二倍角公式的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力，属于基础题．二、填空题（将你所做答案写在答题卡相应位置上，每小题3分，共12分）13.11sin(2)cos()cos cos 229cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭________.【答案】tan α- 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式，进行化简，即可求解，得到答案．【详解】由题意，原式sin (cos )(sin )(sin )tan (cos )sin sin cos ααααααααα----==--，故答案为：tan α-【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的应用，关键在于熟练掌握诱导公式，考查学生记忆公式与应用公式的能力，属于基础题．14.已知(1,1)a =-，(,1)b λ=，a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________.【答案】(,1)(1,1)-∞--【解析】【分析】根据,a b的夹角为钝角，得出1010λλ-<⎧⎨+≠⎩，即可求得λ的范围．【详解】由题意，向量a与b的夹角为钝角，所以0a b⋅<，且,a b不共线，则1010λλ-<⎧⎨+≠⎩，解得1λ<，且1λ≠-，所以实数λ的范围(,1)(1,1)-∞--．故答案为：(,1)(1,1)-∞--．【点睛】本题主要考查了向量数量积的计算公式，向量数量积的坐标运算的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.计算：tan20tan40tan120tan20tan40++=_______________.【答案】3-【解析】试题分析：tan20tan40tan120 tan20tan40++考点：两角和的正切公式点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.16.若两个向量a与b的夹角为θ，则称向量“a b⨯”为向量的“外积”，其长度为sina b a bθ⨯=.若已知1a=，5b=，4a b⋅=-，则a b⨯= .【答案】3【解析】44155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯＝＝＝＝33[0sin |15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯，），＝＝＝故答案为3.【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，三、解答题（将必要解题过程和推演步骤写在答题卡相应位置上，6小题共52分） 17.已知tan 2α=，求（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+（2）22sin sin cos cos αααα++ 【答案】（1）611（2）75【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可求解（1）（2）的值，得到答案．【详解】（1）由题意，知tan 2α=，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+4tan 2422653tan 53211αα-⨯-===++⨯；（2）由22sin sin cos cos αααα++2222sin sin cos cos sin cos αααααα++=+＝22tan tan 1tan 1ααα+++＝75．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m 22⎛=- ⎝⎭ ，n ＝(sin x ，cos x)，x∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）若m ⊥n ，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．【答案】（1）1；（2）512π 【解析】试题分析：（1）本题考察的是两向量的垂直问题，若两向量垂直，则数量积为0，m n ⊥，则0m n ⋅=，结合三角函数的关系式即可求出tan x 的值。

2021-2021学年甘肃省天水市第一中学高一下学期第二学段考试(期末)数学试题(解析版)

2021-2021学年甘肃省天水市第一中学高一下学期第二学段考试（期末）数学试题一、单选题1．已知角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2），则sin sin cos θθθ+的值为（）A ．13- B ．13C ．23-D ．23【答案】D【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【详解】∵角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2）， ∴tan θ＝2，则sin tan 22sin cos tan 1213θθθθθ===+++.故选：D 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式，属于基础题． 2．sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（）A ．BC ．12-D ．12【答案】D【解析】运用诱导公式和逆用正弦的和角公式可得选项. 【详解】sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒ sin 20cos10cos20sin10=︒︒+︒︒ sin30=︒12=. 故选：D . 【点睛】本题考查诱导公式以及两角和的正弦公式，直接运用公式即可求值，属于基础题. 3．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（）A ．223+B ．31+C ．232-D ．31-【答案】B【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以【考点】1．正弦定理；2．面积公式．4．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】运用正弦定理以及化切为弦，将已知等式化为sin 2sin 2A B =，结合角的范围，即可得出结论. 【详解】22tan tan a B b A =化为22sin sin sin sin cos cos A B B AB A⋅⋅=， ,(0,),sin 0,sin 0A B A B π∈∴>>， sin cos sin cos ,sin 2sin 2A A B B A B ⋅=⋅=，,A B 至少有一个是锐角，sin 2sin 20,2,2(0,)A B A B π=>∈，22A B =或22A B π+=， A B ∴=或2A B π+=,所以ABC ∆是等腰三角形或直角三角形. 故选:D. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化，以及三角恒等变换判定三角形形状，由三角函数值确定角要注意角的范围，属于中档题. 5．已知()3sin 30,601505αα︒︒︒+=<<，则cos α为（） A 310B ．310C 433- D 343-【答案】D【解析】先求出()cos 30α︒+的值，再把cos α变形为()cos 3030α︒︒⎡⎤+-⎣⎦，再利用差角的余弦公式展开化简即得cos α的值. 【详解】∵60150α︒<<︒， ∴90°＜30α︒+＜180°， ∴()4cos 305α︒+=-， ∴()cos cos 3030αα=︒+-︒⎡⎤⎣⎦()()cos 30cos30sin 30sin30αα=︒+︒+︒+︒4313525210-=-⨯+⨯=，故选：D. 【点睛】三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，()3030αα︒︒=+-，把未知的角向已知的角转化，从而完成解题目标. 6．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC=+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 7．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且8sin 3cos25αα-=，则cos α=（） A ．53B ．23C ．13D ．59【答案】A【解析】把已知等式利用倍角公式变形，求解sin α，再由同角三角函数基本关系式求解cos α．【详解】解：由8sin 3cos25αα-=，得28sin 3(12sin )50αα---=，即23sin 4sin 40αα+-=，解得sin 2α=-（舍)或2sin 3α=． (0,)2πα∈，25cos 1sin αα∴=-．故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，属于基础题．8．已知函数()sin()2(0)3f x x πωω=++>的图象向右平移3π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（） A ．6 B ．3C ．83D ．43【答案】A【解析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．【详解】函数()sin()2(0)3f x x πωω=++>的图象向右平移3π个单位后得到的函数解析式为sin 2sin 23333y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，平移后与原图象重合，故23k ωππ-=，解得()60,k w k Z ω=->∈，所以ω的最小值为6. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．9．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（） A ．103B ．103-C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据题意得出()12BD BA BC =+，13AE BC BA =-，运用数量积求解即可．【详解】解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ．本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题． 10．已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=，则a b c +-的取值范围是（）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦【答案】A【解析】因为0a b ⋅=，所以222||22a b a a b b +=+⋅+=，所以||2a b +=，所以2||a b c +-＝22222()a b c a b a b c +++⋅-+⋅＝32()a b c -+⋅，则当c 与()a b +同向时()a b c +⋅最大，2||a b c +-最小，此时()cos0a b c a b c +⋅=+︒=2||322a b c +-=-，所以min ||a b c +-1；当c 与()a b +反向时()a b c+⋅最小，2||a b c +-最大，此时()a b c +⋅ ＝cos a b c π+=，2||322a b c +-=+max ||21a b c +-=+，所以a b c +-的取值范围为1]，故选A ．二、填空题11．已知()2,a x =，()11b =-,，且满足a b ⊥，则实数x =________. 【答案】2【解析】利用两个向量垂直的条件直接计算即可. 【详解】()2,a x =，()11b =-,，若a b ⊥，则()2110x ⨯-+⨯=，解得2x =故答案为：2 【点睛】本题考查两个向量垂直的条件的应用，属于简单题.12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6A π=，1a =，b =则B = ______. 【答案】3π或23π. 【解析】利用正弦定理列出关系式，将a ，sin A ，b 的值代入求出sin B 的值，即可确定出B 的度数．解：在ABC ∆中，6A π=，1a =，b =∴由正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 1b A B a === a b <，A B ∴<， 3B π∴=或23π．故答案为：3π或23π．【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．13．已知1sin cos 5αα-=，0απ≤≤，则sin(2)4απ-=__________；【答案】50【解析】由题意和同角三角函数基本关系可得sin α和cos α，进而由二倍角公式可得sin 2α和cos2α，代入两角差的正弦公式计算可得．【详解】221sin cos ,sin cos 15αααα-=+= 又0απ≤≤，sin 0α∴≥，故解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，24sin 22sin cos 25ααα∴==， 227cos 2cos sin 25ααα=-=-，sin(2)sin 22422πααα∴-=-247()22525=+312 50=.故答案为：312 50.【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属中档题．14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．【答案】5【解析】在ACD中，由正弦定理求得AC；在BCD中，由正弦定理求得BC；再在ABC中，由余弦定理求得AB.【详解】由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝80sin150sin15︒︒62-＝62．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理sin CDCBD∠＝sinBCBDC∠，得BC＝sinsinCD BDCCBD∠∠＝80sin1512︒⨯＝160sin 15°＝62)．在ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋3＋1 600×(8－3＋2×1 600×62)×62)×1 2＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，解得AB ＝805．故图中海洋蓝洞的口径为805．故答案为：805. 【点睛】本题考查利用正余弦定理求解距离问题，属综合基础题.三、解答题15．新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制.为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有120000人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100人的成绩进行统计，其中成绩分组区间为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求m 的值；（2）成绩不低于90分的人就能获得积分奖励，求所有参赛者中获得奖励的人数；（3）根据频率分布直方图，估计这次知识竞赛成绩的平均分. 【答案】（1）0.03；（2）6000人；（3）76分. 【解析】（1）由频率分布直方图的性质能求出m ．（2）成绩在[90，100]之间的距离为0.05，由此能求出所有参赛者中获得奖励的人数．（3）由频率分布直方图的性质能求出平均数的估计值．【详解】解：（1）由()100.0050.020.040.0051m ⨯++++=，解得0.03m =. （2）成绩在[]90,100之间的频率为0.05.故可估计所有参赛者中获得奖励的人数约为1200000.056000⨯=人.（3）平均分的估计值为：550.05650.2750.4850.3950.0576⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分. 【点睛】本题考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC 的面积为求b c 、【答案】：（1）1cos 3A =（2）3{2b c == 或23b c =⎧⎨=⎩ 【解析】：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=-即1cos()3B C +=-从而cos A 1cos()3B C =-+=（2）由于0,A π<<1cos 3A = ，所以sin A 又ABC S =，即1sin 2bc A =，解得6bc = 由余弦定理2222cos a b c bc A =+- ，得2213b c +=解方程组2213{6b c bc +== ，得3{2b c == 或23b c =⎧⎨=⎩17．已知向量()2sin ,cos a x x =，()3cos ,2cos b x x =，定义函数()1f x a b =⋅-.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间.（2）求使不等式()f x ≥x 的取值集合；（3）先将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短到原来的4；再向右平移6π个单位，得到函数()h x 的图象，若不等式()21cos 03h x x m +->在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）π；()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）,124xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（3）13m ≤. 【解析】（1）化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，即得函数的最小正周期，解不等式3222262k x k πππππ+≤+≤+即得函数的单调递减区间；（2）解不等式sin 26x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即得解集；（3）先求出()sin 2h x x =，再转化得到原不等式等价于2111232t t m -++>在0,1上恒成立，求得()()113g t g >=，即得解. 【详解】()212cos 2cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅-=+-=+=+ ⎪⎝⎭ （1）所以函数的最小正周期22T ππ==，令3222262k x k πππππ+≤+≤+，则()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()f x 的单调递减区间为，()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题得sin 26x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭22+22+363k x k k Z πππππ≤+≤∈，，所以,124k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以不等式的解集为,124x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）先将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，纵坐标缩短到原来的4得到y 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；再向右平移6π个单位，得到函数()2h x x =的图象， ∴()222111111cos sin cos cos cos 323232h x x x x x x +=+=++ 设cos t x =，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得()0,1t ∈则原不等式等价于2111232t t m -++>在0,1上恒成立. 设()2111232g t t t =-++，()0,1t ∈，则()()113g t g >=，所以13m ≤. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的图象变换和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ΔABC 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，C ），点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥.已知90ACB ∠=︒，1dm AB =，设ABC θ∠=.（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大.当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；【答案】（1）π6θ=（2）当π12θ=，CH CP +23+ 【解析】（1）设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ΔABC 中，sin AC θ=，cos BC θ=，计算得到2sin sin 1AC CP θθ+=-++，计算最值得到答案.（2）计算sin cos CH θθ=⋅，得到π3sin 232CH CP θ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，得的最值. 【详解】（1）设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ΔABC 中，sin AC θ=，cos BC θ=. 在直角ΔPBC 中，2cos cos cos cos PC BC θθθθ=⋅=⋅=， sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ=⋅=⋅=.22sin cos sin 1sin AC CP θθθθ+=+=+-2sin sin 1θθ=-++，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1sin 2θ=，即π6θ=，AC CP +的最大值为54. （2）在直角ΔABC 中，由1122ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅，可得sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅. 在直角ΔPBC 中，πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，所以1sin cos cos cos sin 22CH CP θθθθθ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以211sin 2sin cos 222CH CP θθθθ+=+-11πsin 2cos 2sin 2444243θθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，所以当π12θ=，CH CP +. 【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.。

2023-2024学年天水市一中高一数学下学期开学检测试卷附答案解析

2023-2024学年天水市一中高一数学下学期开学检测试卷（满分：100分时间：60分钟）2024.02一、单选题（每题5分，共30分）1．440︒角的终边落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知x ∈R ，则“3x ≤-”是“(2)(3)0x x +-≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列命题中的真命题是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若,a b c d >>，则a c b d ->-C ．若a b >，则1>a bD ．若22a b c c <，则a b <4．已知函数()()ln 1xf x x x=+-，则()f x 的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．5．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%．经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%y ，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数()120.05e ty λλ-=+∈R 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：ln3 1.1≈）（）A ．10分钟B ．14分钟C ．15分钟D ．20分钟6．已知函数()2,0,2,0 2.x x x f x x +≤⎧=⎨<<⎩以下关于()f x 的结论正确的是（）A ．若()2f x =，则0x =B ．()f x 的值域为(),4-∞C ．()f x 在(),2-∞上单调递增D ．()2f x <的解集为()0,1二、多选题（每题6分，共12分）7．下列函数是奇函数的是（）A ．()sin f x x=B ．()2f x x x=+C ．()332x xf x --=D ．()2log 1f x x=+8．下列选项中的图象变换，能得到函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的是（）A ．先将cos y x =的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移3π8个单位长度B ．先将sin y x =的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π8个单位长度C ．先将sin y x =的图象向右平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的12D ．先将cos y x =的图象向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的12三、填空题（每题5分，共10分）9．三个数0.540.54,0.5,log 4a b c ===的大小关系为．10．已知()0,πα∈，且7sin cos 13αα+=，则sin cos αα-=．四、解答题（每题16分，共48分）11．已知3tan 2α=-，求下列各式的值.(1)()()()()πsin 2πcos πcos 23πcos πsin πsin 2αααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；(2)222sin 3cos 1αα-+.12．已知函数π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期以及对称轴方程；(2)设函数()312g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.13．已知函数()2log 1a x f x x-=+为奇函数，()2421x x g x m +=⋅-+.(1)求实数a 的值；(2)[]10,1x ∀∈，[)20,1x ∃∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围.【分析】由于44036080︒=︒+︒，所以由终边相同的定义可得结论【详解】因为44036080︒=︒+︒，所以440︒角的终边与80︒角的终边相同，所以440︒角的终边落在第一象限角．故选：A ．2．A【分析】先判断“3x ≤-”成立时，“(2)(3)0x x +-≥”是否成立，反之，再看“(2)(3)0x x +-≥”成立，能否推出“3x ≤-”，即可得答案.【详解】“3x ≤-”成立时，20,30x x +<-<，故“(2)(3)0x x +-≥”成立，即“3x ≤-”是“(2)(3)0x x +-≥”的充分条件；“(2)(3)0x x +-≥”成立时，2x ≤-或3x ≥，此时推不出“3x ≤-”成立，故“3x ≤-”不是“(2)(3)0x x +-≥”的必要条件，故选：A.3．D【分析】利用不等式的基本性质及特殊值法逐项判断，即可求解.【详解】对A ：若a b >，当0c =时，ac bc =，故A 错误；对B ：若a b >，c d >，设2a =，0b =，1c =，4d =-，则14a c b d -=<-=，故B 错误；对C ：若a b >，当0a b >>时，0ab<，故C 错误；对D ：若22a b c c <，则得a b <，故D 正确.故选：D.4．B【分析】计算1(1),()2f f -的值即可判断得解.【详解】解：由题得()1110ln 21ln 2ln ef ==<--，所以排除选项A,D.1112201112ln ln 2222f --⎛⎫-==> ⎪⎝⎭+-+,所以排除选项C.故选：B【分析】由0=t 时，0.2y =，代入()120.05e t y λλ-=+∈R 求得λ，再由0.1y ≤求解.【详解】解：由题意得：当0=t 时，0.2y =，即020.050.e λ+=，解得0.15λ=，所以120.50.0e 15ty -+=，由题意得12100.0515.e 0.t-≤+，即121e3t -≤，两边取对数得n 312l t ≤--，所以12ln 313.2t ≥≈，所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟，故选：B 6．B【分析】A 选项逐段代入求自变量的值可判断;B 选项分别求各段函数的值域再求并集可判断;C 选项取特值比较大小可判断不单调递增;D 选项分别求各段范围下的不等式的解集求并集即可判断.【详解】解:A 选项:当0x ≤时,若()2f x =,则0x =;当02x <<时,若()2f x =,则1x =,故A 错误;B 选项:当0x ≤时,()2f x ≤;当02x <<时,()14f x <<,故()f x 的值城为(),4-∞,B 正确;C 选项:当0x =时,()2f x =,当1x =时,()2f x =,()f x 在(),2-∞上不单调递增,故C 错误;D 选项:当0x ≤时,若()2f x <,则0x <;当02x <<时,若()2f x <,则01x <<,故()2f x <的解集为()0,1(),0⋃-∞,故D 错误;故选:B.7．AC【分析】由奇函数的定义结合正弦函数、指数函数以及对数函数的概念逐一验证即可.【详解】对A ，函数的定义域为R ，关于(0,0)对称，且()()()sin sin f x x x f x -=-=-=-，故函数为奇函数，符合题意；对B ，函数的定义域为R ，关于(0,0)对称，且()()2f x x f x x -=-±≠，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；对C ，函数的定义域为R ，关于(0,0)对称，且()()332x x f x f x ---==-，故函数为奇函数，符合题意；对D ，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于(0,0)对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；故选：AC.8．ABC【分析】根据三角函数图象变换的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，将πcos sin 2y x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小为原来的12得πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移3π8个单位长度得3πππsin 2sin 2824y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，A 选项正确.B 选项，将sin y x =的图象上各点的横坐标缩小为原来的12得sin 2y x =，再向右平移π8个单位长度得ππsin 2sin 284y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 选项正确.C 选项，将sin y x =的图象向右平移π4个单位长度得πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将各点的横坐标缩小为原来的12得πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，C 选项正确.D 选项，将πcos sin 2y x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度得ππ3πsin sin 424y x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将各点的横坐标缩小为原来的12得3πππsin 2sin 2πsin 2444y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项错误.故选：ABC 9．a b c>>【分析】根据函数单调性得到()1,0,1,0a b c >∈<，比较出大小关系.【详解】由于4x y =在R 上单调递增，500.414a >==，0.5x y =在R 上单调递减，()()04,0,10.500.5b ==∈，0.5log y x =在()0,∞+上单调递减，故0.50.5log 4log 10c ==<，故a b c >>.故答案为：a b c >>10．1713##4113【分析】利用同角三角函数的平方关系计算即可.【详解】由()0,πα∈可知sin 0α>，又()2227sin cos sin cos sin 2sin cos cos 13αααααααα+=⇒+=++4912sin cos 169αα=+=，即491202sin cos 1169169αα=-=-，则cos 0sin cos 0ααα<⇒->，所以()222289sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 169αααααααα-=-+=-=，故17sin cos 13αα-=.故答案为：1713.11．(1)32(2)1913【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可；（2）根据2222222sin 3cos 2sin 3cos 11sin cos αααααα--+=++，结合同角三角函数的关系求解即可.【详解】（1）()()()()()()()()()πsin 2πcos πcos sin cos sin 32tan 3πcos sin cos 2cos πsin πsin 2ααααααααααααα⎛⎫-+- ⎪-⋅-⋅⎝⎭==-=-⋅-⋅-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.（2）222222222sin 3cos 2tan 32sin 3cos 111sin cos tan 1αααααααα---+=+=+++923194191314⨯-=+=+.12．(1)最小正周期为π，对称轴为ππ()212k x k =+∈Z (2)3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据三角函数的最小正周期、对称轴的求法求得正确答案.（2）先求得()g x ，然后根据三角函数值域的求法求得正确答案.【详解】（1）因为π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.令ππ2π()32x k k +=+∈Z ，得对称轴方程为ππ()212k x k =+∈Z .（2）由题意可知πππ()3sin 23sin 21236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()332g x -≤≤，即()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.13．(1)1(2)7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由奇函数的性质得恒等式，解出参数并检验即可得解.（2）首先得M N ⊆，(],0N =-∞，进一步通过换元，并对m 进行分类讨论即可得解.【详解】（1）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，即22log log 011a x a xx x+-+=-+，整理得2221a x x -=-.所以21a =.解得1a =±，当1a =-时，101a xx-=-<+，舍去，当1a =时，函数()f x 的定义域为()1,1-，符合题意.所以1a =.（2）设()[]{}()[){}11220,1,0,1M g x x N f x x =∈=∈，根据题意可得，M N ⊆.由（1）知()2212log log 111x f x x x -⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭，当[)0,1x ∈时，(]210,11x-+∈+，故(],0N =-∞.()()224212421x x x x g x m m +=⋅-+=⋅-⋅+，设2x t =，函数()241h t mt t =-+，[]1,2t ∈.①当0m =时，()41h t t =-+，可得()()max 130h t h ==-≤⎡⎤⎣⎦，符合题意；②当0m ≠时，()2241h t m t m m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，()h t 图象的对称轴为2t m =.（i ）当0m <时，对称轴20t m=<，所以()h t 在区间[]1,2上单调递减，故()()max 13h t h m ==-⎡⎤⎣⎦，由M N ⊆，得30m -≤，即3m ≤，所以0m <；（ii ）当0m >时，若232m ≤，即43m ≥时，()()max 247h t h m ==-⎡⎤⎣⎦，由M N ⊆，得470m -≤，所以4734m ≤≤；若232m >，即403m <<时，()()max 13h t h m ==-⎡⎤⎣⎦，由M N ⊆，得30m -≤，所以403m <<；综上所述，m 的取值范围是7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。

2021学年甘肃省天水市高一(下)期中考试数学试卷(有答案)

2021学年甘肃省天水市高一（下）期中考试数学试卷一、选择题1. 如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）A.4B.4√3C.9D.182. 数列{a n}的通项为a n=2n−1，n∈N∗，其前n项和为S n，则使S n>48成立的n的最小值为（）A.7B.8C.9D.103. 若不等式|8x+9|<7和不等式ax2+bx−2>0的解集相同，则a、b的值为（）A.a=−8，b=−10B.a=−4，b=−9C.a=−1，b=9D.a=−1，b=24. △ABC中，若c=2a cos B，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三角形5. 在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近1的项是（）A.第三项B.第四项C.第五项D.第六项6. 在等比数列{a n}中，a7⋅a11=6，a4+a14=5，则a20a10等于( )A.2 3B.32C.32或23D.−23或−327. △ABC中，已知(a+b+c)(b+c−a)=bc，则A的度数等于（）A.120∘B.60∘C.150∘D.30∘8. 执行如图所示的程序框图，如果输出s=3，那么判断框内应填入的条件是（）A.k ≤6B.k ≤7C.k ≤8D.k ≤99. 某人向正东走xkm 后，右转150∘，又走了3km ，此时距离出发点√3km ，则x =（） A.√3 B.2√3 C.√3或 2√3 D.310. 两等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n=2n+33n+1，则a7b 7=( )A.3346B.1722C.2940D.314311. 数列{a n }中，a 1=15，3a n+1=3a n −2(n ∈N ∗)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（） A.a 21a 22 B.a 22a 23 C.a 23a 24 D.a 24a 2512. 数列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+⋯+n 的前n 项和为( ) A.2n2n+1 B.2nn+1C.n+2n+1D.n2n+1二、填空题不等式(m −1)x 2+2(m −1)x +m >0对任意实数x 都成立，则m 的取值范围是________．三、解答题已知等差数列{a n}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．(1)求通项公式a n；(2)设b n=2a n，求数列b n的前n项和S n．求1sin2θ+3cos2θ+3的最小值．△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且cos Bcos C =−b2a+c.(1)求∠B的大小；(2)若a=4，S=5√3，求b的值．一辆货车的最大载重量为30吨，要装载A，B两种不同的货物，已知装载A货物每吨收入40元，装载B货物每吨收入30元，且要求装载的B货物不少于A货物的一半．请问A，B两种不同的货物分别装载多少吨时，载货得到的收入最大？并求出这个最大值．设a1=2，a2=4，数列{b n}满足：b n=a n+1−a n，b n+1=2b n+2，(1)求证：数列{b n+2}是等比数列（要指出首项与公比）；(2)求数列{a n}的通项公式．解关于x的不等式ax2−(a+1)x+1<0．参考答案与试题解析2021学年甘肃省天水市高一（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用对数的运算性质【解析】由m，n>0，log3m+log3n≥4，可得mn≥34=81．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵m，n>0，log3m+log3n=4，∴mn=34=81．∴m+n≥2√mn=18，当且仅当m=n=9时取等号．∴m+n的最小值是18．故选D．2.【答案】A【考点】等差数列的前n项和【解析】由a n=2n−1可得数列{a n}为等差数列，然后根据等差数列的求和公式求出S n，结合不等式可求n的值．【解答】解：由a n=2n−1可得数列{a n}为等差数列，∴a1=1，∴S n=1+2n−12⋅n=n2>48.∵n∈N∗∴使S n>48成立的n的最小值为n=7.故选A．3.【答案】B【考点】根与系数的关系绝对值不等式的解法与证明一元二次不等式的解法【解析】可求得|8x+9|<7的解集，从而利用韦达定理可求得a、b的值．解：∵ |8x +9|<7， ∴ −7<8x +9<7， ∴ −2<x <−14．依题意，不等式ax 2+bx −2>0的解集为{x|−2<x <−14}， ∴ −2与−14是方程ax 2+bx −2=0的两根， ∴ 由韦达定理得：−2×(−14)=−2a，∴ a =−4．又−2−14=−ba=b4，∴ b =−9．综上所述，a =−4，b =−9．故选B ． 4.【答案】 B【考点】余弦定理三角形的形状判断【解析】首先利用余弦定理代入已知条件，再根据化简的最终形式，判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC 中，由余弦定理：cos B =a 2+c 2−b 22ac，得c =2a cos B =a 2+c 2−b 2c解得a =b ，所以△ABC 的形状为等腰三角形. 故选B . 5.【答案】 C【考点】等比数列的通项公式【解析】只要先求出等比数列的通项，然后结合选项求出几项，即可比较. 【解答】解：由等比数列的通项公式可得，a n =212n−1， ∴ a 3=214，a 4=218，a 5=2116≈1.31，a 6=2132≈0.66， ∴ a 5=2116≈1.31与1最接近.6.【答案】 C【考点】等比数列的性质【解析】根据等比中项的性质可知a 7⋅a 11=a 4⋅a 14求得a 4⋅a 14的值，进而根据韦达定理判断出a 4和a 14为方程x 2−5x +6=0的两个根，求得a 4和a 14，则a 20a 10可求．【解答】解：由题意得a 7⋅a 11=a 4⋅a 14=6，则{a 4+a 14=5,a 4⋅a 14=6,解得{a 4=2，a 14=3，或{a 4=3，a 14=2，所以a 20a 10=q 10=a 14a 4=32或23.故选C . 7. 【答案】 A【考点】余弦定理【解析】由条件可得b 2+c 2−a 2=−bc ，再由余弦定理可得cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，以及0∘<A <180∘，可得A 的值．【解答】解：∵ △ABC 中，已知(a +b +c)(b +c −a)=bc ， ∴ 整理可得：b 2+c 2−a 2=−bc ．再由余弦定理可得cos A =b 2+c 2−a 22bc=−bc 2bc=−12，又0∘<A <180∘，可得A =120∘. 故选A ． 8.【答案】 B【考点】程序框图【解析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S ＝3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：第一次循环s=log23 ，k=3，第二次循环s=log23⋅log34 ，k=4，第三次循环s=log23⋅log34⋅log45 ，k=5，第四次循环s=log23⋅log34⋅log45⋅log56 ，k=6，第五次循环s=log23⋅log34⋅log45⋅log56⋅log67 ，k=7，第六次循环s=log23⋅log34⋅log45⋅log56⋅log67⋅log78=log28=3，k=8，故如果输出s=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选B.9.【答案】C【考点】余弦定理的应用【解析】根据题意画出图形，如图所示，在三角形ABC中，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示:在△ABC中，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC cos B，即3=9+x2−2×3x×√32，解得：x=√3或2√3．故选C．10.【答案】C【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质【解析】由等差数列的性质和求和公式可得a7b7=a1+a13b1+b13=S13T13，代入已知计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a7b7=2a72b7=a1+a13b1+b13=13(a 1+a 13)213(b 1+b 13)2=S 13T 13=2×13+33×13+1=2940.故选C. 11.【答案】 C【考点】数列递推式等差数列的通项公式【解析】通过对3a n+1=3a n −2(n ∈N ∗)变形，结合a 1=15可知a n =−23n +473，进而可得结论．【解答】解：∵ 3a n+1=3a n −2(n ∈N ∗)， ∴ a n+1−a n =−23(n ∈N ∗)， ∴ 数列{a n }是递减数列，又∵ a 1=15，∴ a n =15−23(n −1)=−23n +473，令a n =0，即−23n +473=0，解得：n =472=23.5，∴ a 23a 24<0，故选C ． 12.【答案】 B【考点】数列的求和【解析】求出通项公式的分母，利用裂项消项法求解数列的和即可．【解答】解：11+2+3+⋯+n =1n(n+1)2=2n(n+1)=2(1n−1n+1)．数列1，11+2，11+2+3，…，11+2+⋯+n 的前n 项和为：数列1+11+2+11+2+3+⋯+11+2+⋯+n =2(1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n +1)=2(1−1n+1)=2nn+1．故选B.二、填空题【答案】m≥1【考点】函数恒成立问题二次函数的性质【解析】分类讨论，利用判别式，即可得到结论．【解答】解：当m−1=0，即m=1时，1>0，恒成立；当m−1≠0时，{m−1>0,Δ=4(m−1)2−4m(m−1)<0⇒m>1，综上，m的取值范围是m≥1，故答案为：m≥1．三、解答题【答案】解：(1)由题意知：{4a1+6d=10(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d)，⇒{a1=−2d=3或{a1=52d=0，所以a n=3n−5或a n=52.(2)当a n=3n−5时，数列{b n}是首项为14，公比为8的等比数列，所以S n=14(1−8n)1−8=8n−128，当a n=52时，b n=252所以S n=n⋅252，综上，所以S n=8n−128或S n=n⋅252.【考点】数列的求和等比数列的性质等差数列的通项公式【解析】（1）利用等差数列的通项公式分别表示出前四项和与a2，a3，a7等比数列关系组成方程组求得a1和d，最后根据等差数列的通项公式求得a n．（2）把（1）中求得的a n代入b n=2a n中，可知数列{b n}为等比数列，进而根据等比数列的求和公式求得答案．【解答】解：(1)由题意知：{4a1+6d=10(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d)，⇒{a1=−2d=3或{a1=52d=0，所以a n=3n−5或a n=52.(2)当a n=3n−5时，数列{b n}是首项为14，公比为8的等比数列，所以S n=14(1−8n)1−8=8n−128，当a n=52时，b n=252所以S n=n⋅252，综上，所以S n=8n−128或S n=n⋅252. 【答案】解：1sin2θ+3cos2θ+3=sin2θ+cos2θsin2θ+3sin2θ+3cos2θcos2θ+3=7+1tan2θ+3tan2θ≥7+2√3，当且仅当|1tanθ|=√3|tanθ|时，取等号，所求原式的最小值为7+2√3．【考点】基本不等式在最值问题中的应用同角三角函数间的基本关系【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式为y=4+cot2θ+3tan2θ，再利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：1sin2θ+3cos2θ+3=sin2θ+cos2θsin2θ+3sin2θ+3cos2θcos2θ+3=7+1tan2θ+3tan2θ≥7+2√3，当且仅当|1tanθ|=√3|tanθ|时，取等号，所求原式的最小值为7+2√3．【答案】解：(1)由正弦定理得：asin A =bsin B=csin C=2R，∴a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，代入已知的等式得：cos Bcos C =−sin B2sin A+sin C，化简得：2sin A cos B+sin C cos B+cos C sin B =2sin A cos B+sin(C+B)=2sin A cos B+sin A=sin A(2cos B+1)=0，又A为三角形的内角，得出sin A≠0，∴2cos B+1=0，即cos B=−12，∵B为三角形的内角，∴∠B=2π3；(2)∵a=4，sin B=√32，S=5√3，∴S=12ac sin B=12×4c×√32=5√3，解得c=5，又cos B=−12，a=4，根据余弦定理得：b2=a2+c2−2ac⋅cos B=16+25+20=61，解得b=√61．【考点】余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，提取sin A，可得sin A与1+2sin B至少有一个为0，又A为三角形的内角，故sin A不可能为0，进而求出sin B的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）由第一问求出的B的度数求出sin B和cos B的值，再由a的值及S的值，代入三角形的面积公式求出c的值，然后再由cos B的值，以及a与c的值，利用余弦定理即可求出b 的值．【解答】解：(1)由正弦定理得：asin A =bsin B=csin C=2R，∴a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，代入已知的等式得：cos Bcos C =−sin B2sin A+sin C，化简得：2sin A cos B+sin C cos B+cos C sin B =2sin A cos B+sin(C+B)=2sin A cos B+sin A=sin A(2cos B+1)=0，又A为三角形的内角，得出sin A≠0，∴2cos B+1=0，即cos B=−12，∵B为三角形的内角，∴∠B=2π3；(2)∵a=4，sin B=√32，S=5√3，∴S=12ac sin B=12×4c×√32=5√3，解得c=5，又cos B=−12，a=4，根据余弦定理得：b2=a2+c2−2ac⋅cos B=16+25+20=61，解得b=√61．【答案】解：设货车装A货物x吨，则B货物最多装(30−x)吨，且30−x≥x2，即x≤20，载货得到的收入为y元，则y=40x+30(30−x)=10x+900，当x=20时，即装A货物20吨，B货物10吨时，载货得到的收入最大，y max=10×20+900=1100元.【考点】函数模型的选择与应用函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设货车装A货物x吨，则B货物最多装(30−x)吨，且30−x≥x2，即x≤20，载货得到的收入为y元，则y=40x+30(30−x)=10x+900，当x=20时，即装A货物20吨，B货物10吨时，载货得到的收入最大，y max=10×20+900=1100元.【答案】(1)证明：b n+1=2b n+2⇒b n+1+2=2(b n+2)，∴b n+1+2b n+2=2，又b1+2=a2−a1+2=4，∴数列{b n+2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)可知b n+2=4⋅2n−1=2n+1．∴b n=2n+1−2，则a n+1−a n=2n+1−2令n=1，2，…n−1，则a2−a1=22−2，a3−a2=23−2，…，a n−a n−1=2n−2，各式相加得a n=(2+22+23+...+2n)−2(n−1)=2n+1−2−2n+2=2n+1−2n．∴a n=2n+1−2n．【考点】数列的求和数列递推式等比关系的确定【解析】（1）利用b n+1=2b n+2，构造数列{b n+2}，通过等比数列的定义，证明数列是等比数列；（2）利用（1）求出数列b n=2n+1−2．通过b n=a n+1−a n，推出数列a n的递推关系式，利用累加法求出数列的通项公式即可．【解答】(1)证明：b n+1=2b n+2⇒b n+1+2=2(b n+2)，∴b n+1+2=2，b n+2又b1+2=a2−a1+2=4，∴数列{b n+2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)可知b n+2=4⋅2n−1=2n+1．∴b n=2n+1−2，则a n+1−a n=2n+1−2令n=1，2，…n−1，则a2−a1=22−2，a3−a2=23−2，…，a n−a n−1=2n−2，各式相加得a n=(2+22+23+...+2n)−2(n−1)=2n+1−2−2n+2=2n+1−2n．∴a n=2n+1−2n．【答案】解：ax2−(a+1)x+1<0⇔(ax−1)(x−1)<0．若a=0，原不等式变形为−(x−1)<0，解得，x>1；若a≠0，当a>0时，原不等式⇔(x−1a)(x−1)<0．当a=1时，(x−1)2<0⇒无解；当0<a<1时，得1<x<1a；当a>1时，1a<x<1；当a<0时，(x−1a )(x−1)<0得x<1a或x>1．综上，当a<0时，不等式的解集为{x|x>1，或x<1a}；当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，不等式的解集为{x|1<x<1a}；当a=1时，不等式的解集为空集；当a>1时，不等式的解集为{x|1a<x<1}.【考点】一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：ax2−(a+1)x+1<0⇔(ax−1)(x−1)<0．若a=0，原不等式变形为−(x−1)<0，解得，x>1；若a≠0，当a>0时，原不等式⇔(x−1a)(x−1)<0．当a=1时，(x−1)2<0⇒无解；当0<a<1时，得1<x<1a；当a>1时，1a<x<1；当a<0时，(x−1a )(x−1)<0得x<1a或x>1．综上，当a<0时，不等式的解集为{x|x>1，或x<1a}；当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，不等式的解集为{x|1<x<1a}；当a=1时，不等式的解集为空集；当a>1时，不等式的解集为{x|1a<x<1}.。

甘肃省天水一中高二数学下学期第一学段考试试题文

天水一中2021级2021——2021学年度第二学期第一学段考试数学试题（文科）一、选择题（此题共10小题，每题4分，共40分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.）1. 设集合{}03x 2≤-=x x M ，那么以下关系式正确的选项是（）A . M ⊆2B .M ∉2C . M ∈2D .M ∈}2{2. 以下四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是 ( ) 3．已知⎩⎨⎧<+>=,0,2,0,ln )(x x x x x f 则((1))f f -=（）A ．1B ．0C ．-1D ．e 4. 函数log (2)1a y x =++的图象过定点（） A.（1，2） B.（2，1）C.（-2，1）D.（-1，1）5. 已知概念在R 上的函数)(x f 的图象是持续不断的，且有如下对应值表：那么函数)(x f 必然存在零点的区间是（）A. (-∞，1)B. (1，2)C. (2，3)D. (3，+∞)6.设,,a b R a b ∈>，那么以下不等式必然成立的是（） (A) 22a b (B)11a b(C) 2a ab (D) 22a b7.假设直线l 与平面α不平行，那么以下结论正确的选项是（）（A ）α内的所有直线都与直线l 异面（B ）α内不存在与l 平行的直线（C ）α内的直线与l 都相交（D ）直线l 与平面α有公共点 8.若是直线210ax y ++=与直线20x y +-=相互垂直，那么 a 的值等于（）A ．1B ．13-C ．23- D ． -2 9.如右以下图，是一个空间几何体的三视图，那么那个几何体的外接球的表面积是（）x 1 2 3 f (x )6.12.9-3.5（A ）256cm π （B ）277cm π （C ）22cm π （D ）2852cm π10. 已知函数,2)(,log )(22+-==x x g x x f 则)()(x g x f ⋅的图象为（）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分） 11. 假设0x >，那么2x x+的最小值为． 12. 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于． 13．不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为． 14.假设实数,m n 知足4310m n -=，那么22m n +的最小值为____.三、解答题（本大题共4小题，共44分. 解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.） 15.（此题总分值10分）计算以下各式的值，写出计算进程（1）)6()3(43221314141----÷-y xyx x（2）(lg 5)2＋lg 50·lg 2；16. （此题总分值10分）某公司在统计2021年的经营状况时发觉，假设不考虑其他因素，该公司每一个月取得的利润y （万元）与月份之间知足函数关系式：（Ⅰ）求该公司5月份取得的利润为多少万元？（Ⅱ）2021年该公司哪个月的月利润最大？最大值是多少万元？ 17.（本小题总分值12分）如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点，求证：（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ．18.（此题总分值12分）已知圆C 通过A （1，1-），B （5，3），而且被直线m ：Dxyo Cx yo Bx yo Axyo30x y -=平分圆的面积.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）假设过点D （0，1-），且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的公共点，求实数k 的取值范围. 天水一中2021级2021——2021学年度第二学期第一学段考试数学试题（文科）一、选择题1——5 C CBDC 6——10 DDDBC 二、填空题11.22 12. 90°13．{x |x ＜5}．14.4 三、解答题15.（此题总分值10分）（1）3132213141412)6()3(4xy yxyx x =-÷----(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5) ＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1.16. （此题总分值10分）（1）88万元; (2)7月，102万元. 17. （本小题总分值12分）解：证明 (1)取AB 的中点M,连FM,MC, ∵ F、M 别离是BE 、BA 的中点, ∴ FM∥EA, FM=12EA ∵ EA、CD 都垂直于平面ABC , ∴ CD∥EA∴ CD∥FM ,又 DC=a,∴FM=DC∴四边形FMCD 是平行四边形∴ FD∥MC ∴ FD∥平面ABC…6分（2）因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，因此CM⊥AB ,又CM⊥AE,因此CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF, 因F 是BE 的中点, EA=AB 因此AF⊥面EBD .…12分 18. （本小题总分值12分）解：（Ⅰ）线段AB 的中点E （3，1），3(1)151AB k --==- 故线段AB 中垂线的方程为1(3)y x -=--，即40x y +-= ……2分由圆C 通过A 、B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上又直线30x y -=平分圆的面积，因此直线m 通过圆心由4030x y x y +-=⎧⎨-=⎩ 解得 13x y =⎧⎨=⎩即圆心的坐标为C(1，3), ……4分而圆的半径r =4=故圆C 的方程为22(1)(3)16x y -+-= ……6分（Ⅱ）由直线l 的斜率为k ，故可设其方程为1y kx =- ……8分由221(1)(3)16y kx x y =-⎧⎨-+-=⎩ 消去y 得22(1)(82)10k x k x +-++= 由已知直线l 与圆C 有两个不同的公共点故 22(82)4(1)0k k ∆=+-+>，即21580k k +> 解得：815k <-或0k > ……12分。

2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高一下学期第一阶段考试数学试题(解析版)

2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高一下学期第一阶段考试数学试题一、单选题1．在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠===，则AB BC ⋅=（） A ．30 B ．30-C ．15-D ．15【答案】C【分析】根据向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠===，可得cos()65cos6015AB BC AB BC B π⋅=⋅-=-⨯=-. 故选：C.2．从某中学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位cm ）绘制成频率分布直方图，若要从身高在[)150,160，[)160,170，[]170,180三组内的学生中，用分层抽样的方法选取16人参加一次活动.则从身高在[]170,180内的学生中选取的人数应为（）A ．3B ．4C ．5D ．7【答案】B【分析】先求得a 的值，然后结合分层抽样的知识计算出正确答案. 【详解】依题意()0.0050.0150.0350.02101a ++++⨯=，解得0.025a =，身高在[)150,160，[)160,170，[]170,180三组内的学生比例为0.025:0.035:0.025:7:4=，用分层抽样的方法选取16人参加一次活动,则从身高在[]170,180内的学生中选取的人数应为4人故选：B3．若0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，cos2sin 0αα+=，则sin α=（）A 3B 2C ．12D ．1【答案】D【分析】根据余弦的二倍角公式，可得212sin sin 0αα-+=，解方程，再根据0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，即可求出结果.【详解】因为cos2sin 0αα+=，所以212sin sin 0αα-+=，所以()()2sin 1sin 10αα+-=，所以1sin 2α=-或sin 1α=，又0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以sin 1α=.故选：D.4．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若(,)EF mAB nAD m n R =+∈，则mn的值为（） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-【答案】B【分析】根据题意得13EF EB =，再利用平面向量基本定理求解即可.【详解】画出如下示意图：因为//AD BC ，所以~AEF CBF △△，因为点E 是AD 的中点，所以12EF AE FB BC ==，所以13EF EB =，因为12EB EA AB AD AB =+=-+，所以1163EF AD AB =-+，因为(,)EF mAB nAD m n R =+∈，所以13m =，16n =-，所以2mn=-．故选：B ．5．在矩形ABCD 中，||2AB =，||4BC =，则向量AB AD AC ++的长度为（） A ．25B ．45C ．12D ．6【答案】B【分析】结合向量运算求得正确答案. 【详解】因为AB AD AC +=，所以AB AD AC ++的长度为AC 的模的2倍．又22||4225AC =+=，所以向量AB AD AC ++的长度为4 5. 故选：B6．已知函数2()sin 3cos ,f x x x x x =-∈R ，则()f x 的最大值为（） A ．32B ．1C ．12D ．12-【答案】A【分析】利用降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，然后结合函数的图象与性质可知当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()f x 取得最大值，进而求出结果.【详解】()2131()sin 3cos 1cos 22sin 2262f x x x x x x x ⎛⎫==-=-++ ⎪⎝⎭π，当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()max 13()122f x =--+=，故选：A.7．在ABC 中，如果45A =︒，6c =，4a =，则此三角形有（） A ．无解 B ．一解 C ．两解 D ．无穷多解【答案】A【分析】利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】由余弦定理可知：2222222cos 1636262200a b c bc A b b b b =+-⋅⇒=+-⋅⇒-+=，该一元二次方程根的判别式2(2)42080∆=--⨯=-<，所以该一元二次方程没有实数根，故选：A8．若在△ABC 中，AB a =，BC b =，且1a b ==，2a b +=，则△ABC 的形状是（） A ．正三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形D ．等腰直角三角形【分析】直接求出2AC AB BC a b =+=+=，即可判断.【详解】由于1AB a ==，1BC b ==|，2AC AB BC a b =+=+=，所以△ABC 为等腰直角三角形．故选：D. 二、多选题9．在下列向量组中，可以把向量()3,2a →=表示出来的是（） A ．()()120,0,1,2e e →→== B ．()()121,2,5,2e e →→=-=- C ．()()123,5,6,10e e →→== D ．()()122,3,2,3e e →→=-=【答案】BD【分析】根据12a e e λμ→→→=+，选项A ：无解，故选项A 不能；选项B ：解得2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：无解，故选项C 不能．选项D ：解得513==1212λμ，，故选项D 能．【详解】解：根据12a e e λμ→→→=+，选项A ：(3，2)(0λ=，0)(1μ+，2)，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项B ：(3，2)(1λ=-，2)(5μ+，2)-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：(3，2)(3λ=，5)(6μ+，10)，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项D ：(3，2)(2λ=，3)(2μ-+，3)，则322λμ=+，233λμ=-+，解得513==1212λμ，，故选项D 能．故选：BD10．下列说法正确的是（） A ．21cos 2cos 2αα+=B ．21sin sin cos 22ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C ．1sin sin 26πααα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1tan151tan15-︒+︒【分析】对A ，B ，根据二倍角的余弦，正弦公式即可判断；对C ，利用辅助角公式即可判断；对D 根据两角差的正切公式，即可求解. 【详解】解：对A ，2cos 22cos 1αα=-， 21cos 2cos 2αα+∴=，故A 正确；对B ，2221sin sin cos 2sin cos sin cos 222222ααααααα⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭，故B 正确；对C ，1sin sin 32πααα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故C 错误；对D ，()1tan15tan 45tan153tan 4515tan 301tan151tan 45tan153--==-==++⋅，故D 错误. 故选：AB. 三、填空题11．设1e 与2e 是不共线的向量，若124ke e +与12e ke +共线且方向相反，则k 的值是______．【答案】2-【分析】根据124ke e +与12e ke +共线且方向相反列方程，从而求得k 的值. 【详解】依题意1e 与2e 是不共线的向量， 124ke e +与12e ke +共线且方向相反，所以0241k k k k <⎧⇒=-⎨⨯=⨯⎩. 故答案为：2-12．已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 【答案】23.【分析】根据2||c 结合向量夹角公式求出||c ，进一步求出结果. 【详解】因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．13．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin :sin :sin 7:5:4A B C =，则最大角的余弦值是_________. 【答案】15-0.2- 【分析】由正弦定理以及三角形的性质，可得::7:5:4a b c =，并可判断最大角为A ，再由余弦定理即可求出结果.【详解】因为sin :sin :sin 7:5:4A B C =，由正弦定理可得，::7:5:4a b c =，所以a b c >>，即角A 最大，设7,5,4a m b m c m ===，其中0m >，所以22222222516491cos 22205b c a m m m A bc m +-+-===-⨯. 故答案为：15-.14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了50个样本，若样本数据1250,,,x x x 的方差为8，则数据125031,31,,31x x x ---的方差为___________.【答案】72【分析】根据方差的性质可得答案. 【详解】样本数据1250,,,x x x 的方差为8，所以数据125031,31,,31x x x ---的方差为23872⨯=.故答案为：72. 四、解答题15．已知不共线的向量a ，b 满足3a =，2b =，()()23220a b a b -⋅+=． (1)求a b ⋅；(2)是否存在实数λ，使得a b λ+与2a b -共线？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．(3)若()()2ka b a kb +⊥-，求实数k 的值．【答案】(1)1 (2)存在实数12λ=-(3)1k =-或2k =【分析】（1）根据平面向量数量积运算求解即可. （2）根据平面向量共线定理求解即可.（3）根据题意得到()()20ka b a kb +⋅-=，再计算求解即可. 【详解】(1)由题知3a =，2b =，∴()()22222324434343220a b a b a a b b a b -⋅+=-⋅-=⨯-⋅-⨯=， ∴1a b ⋅=．(2)存在．理由如下：假设存在实数λ，使得a b λ+与2a b -共线，则()2a b t a b λ+=-，R t ∈，即()()21t a t b λ-=--，∵a ，b 不共线，∴0210t t λ-=⎧⎨--=⎩，解得1212t λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即存在实数12λ=-，使得a b λ+与2a b -共线．(3)∵()()2ka b a kb +⊥-，∴()()20ka b a kb +⋅-=，即()222220ka k a b kb +-⋅-=．由（1）知1a b ⋅=，∴()2222229280ka k a b kb k k k +-⋅-=+--=，即220--=k k ，解得1k =-或2k =．16．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos sin C c B =+． (1)求角B 的值；(2)若ABC外接圆的半径R =ABC 面积的最大值．【答案】(1)3B π=(2)【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式可求得tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）求出b 的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得ac 的最大值，再结合三角形的面积公式可求得ABC 面积的最大值．【详解】(1)cos sin C c B =+及正弦定理可得cos sin sin B C C B A +=，()cos sin sin cos sin B C C B B C B C B C ++=，因为()0,C π∈，则sin 0C >，所以，sin 3cos B B =，则tan 3B =，()0,B π∈，因此，3B π=.(2)解：由正弦定理可得2sin 6b R B ==，由余弦定理可得22222262cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=，即36ac ≤，当且仅当6a c ==时，等号成立，故ABC 面积的最大值为136sin 9323π⨯⨯=.17．某学校对高一某班的同学进行了身高（单位：cm ）调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中m 的值； (2)估计全班同学身高的中位数；(3)估计全班同学身高的平均数及方差．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【答案】(1)0.025m = (2)中位数为171.25 (3)平均数为170；方差150【分析】（1）根据所有矩形面积之和即频率之和为1，求得答案；（2）根据中位数的求解方法列出方程，求得答案; （3）分别利用平均数以及方差的计算方法，求得结果.【详解】(1)由图可得(0.0050.0100.0200.040)101m ++++⨯=，解得0.025m =． (2)设全班同学身高的中位数为x ，可知[165,175)x ∈，得0.200.05(165)0.040.5x ++-⨯=，解得171.25x =，故估计全班同学身高的中位数为171.25． (3)估计全班同学身高的平均数为1500.201600.051700.401800.251900.10170⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，估计全班同学身高的方差为222(150170)0.20(160170)0.0500.40(180170)0.25-⨯+-⨯+⨯+-⨯+ 2(190170)0.10150-⨯=．18．甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A 时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东60︒方向的点P 处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B ，测得乙船P 在其南偏东30方向，（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B 与点P 之间的距离．（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B 走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．【答案】（1）点B 与点P 之间的距离为203海里，（2）38. 【分析】（1）画出图形，利用余弦定理求解即可；（2）利用向量的加法的平行四边形法则画出图形，然后利用正弦定理求解即可. 【详解】（1）两船的位置图如下：由图可得，120,30PAB APB ∠=︒∠=︒，所以400.520AB AP ==⨯=所以由余弦定理可得222cos 400400200203PB AB AP AB AP PAB +-⋅⋅∠++ 所以点B 与点P 之间的距离为3（2）如图，BC 的方向为水流的方向，BD 的方向为船头的方向，BP 的方向为实际行进的方向，其中4,60BD BC CBP BPD =∠=∠=︒ 在BPD △中，由正弦定理可得sin sin PD BDPBD BPD=∠∠所以133sin sin 4PD PBD BPD BD ∠=∠==3。

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甘肃省天水市2017-2018学年高一数学下学期入学考试试题
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甘肃省天水一中2017—2018学年高一数学下学期入学考试试题
一、选择题（每题5分，共70分)
1。

己知函数()()log 6a f x ax =-在()3,2-上是减函数，则实数a 的取值范围是( ）
A. ()1,+∞ B 。

(]1,3 C. ()1,3 D 。

[)3,+∞
2。

若当0a 时，函数()x f x a =始终满足()01f x <≤，则函数1log a y x
=的图象大致为（） A 。

B 。

C. D 。

3。

函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是 A. []2,2- B 。

[]1,1- C. []0,4 D 。

[]1,3
4。

若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C 。

D. 5. 方程31log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的解的个数是（ ) A 。

0 B 。

1 C 。

2 D. 3
6.函数()2ln 2f x x x =-+与()4g x x =,两函数图象所有点的横坐标之和为( ）
A. 0
B. 2 C 。

4 D 。

8
7。

设a=lo 12g 3，b=0.213⎛⎫ ⎪⎝⎭,c=1
32,则 ( ） A 。

a 〈b<c B 。

c 〈b<a C. c 〈a<b D 。

b<a<c
8. 若不等式230x a x log -<对任意10,3x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围为( ） A. [1,127） B 。

1,127⎛⎫ ⎪⎝⎭ C 。

10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 10,27⎛⎤ ⎥⎝⎦
9. 与直线2x ＋y －3＝0平行，且距离为5的直线方程是( ）
A 。

2x ＋y ＋2＝0
B 。

2x ＋y －8＝0
C 。

2x ＋y ＋2＝0或2x ＋y －8＝0
D 。

2x ＋y －2＝0或2x ＋y ＋8＝0
10。

光线沿着直线3y x b =-+射到直线0x y +=上，经反射后沿着直线3y ax =-+射出,则由（）
A. 13a =， 9b =-
B. 13
a =-， 9
b = C. 3a =, 19b =- D. 3a =-, 19
b = 11。

当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()30Q ，的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是
( )
A 。

()2234x y ++= B. ()222341x y -+=
C 。

()2231x y -+= D. ()222341x y ++=
12. 某四棱锥的三视图如上右图所示，则该四棱锥的最长棱
的长度为
（）
A 。

23 B. 32 C. 22 D 。

2
13. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成一个四面体ABCD ，当该四面体的体积最大时,直线AB 与CD 所成的角为（） A. 090 B. 060 C 。

045 D 。

030
的动点，则下列14。

如图，在正方体1111ABCD A B C D -中, P 为线段1BC 上
判断错误的是（）
A 。

1D
B ⊥平面1ACD B. 1//B
C 平面1ACD
有关
C 。

11BC DB ⊥ D. 三棱锥1P AC
D -的体积与P 点位置
二、解答题（每小题15分，共30分）
1。

已知圆C ： ()2215x y +-=，直线:10.l mx y m -+-=
(1）求证：对m R ∈,直线l 与圆C 总有两个不同的交点；
(2)设直线l 与圆C 交于,A B 两点,若17AB =,求直线l 的方程.
2．如图，点P 是菱形ABCD 所在平面外一点, 60BAD ∠=︒， PCD 是等边三角形， 2AB =， 22PA =， M 是PC 的中点。

（Ⅰ）求证: PA 平面BDM ；（Ⅱ)求证:平面PAC ⊥平面BDM ;
（Ⅲ)求直线BC 与平面BDM 的所成角的大小.
假期作业检测答案
一、选择题 BBDCC CAACA BABD
二、解答题
1．解析：(1）见解析(2）
或解析：（证明:直线
，经过定点，,定点在圆内,故对,
直线与圆总有两个不同的交点。

(由圆心到直线的距离,而圆的弦长
，即
,，,解得,故所求
的直线方程为或
2．解析：(Ⅰ）证明:连接。

在菱形中，为中点,且点为中点,
所以，
又平面, 平面。

所以平面
（Ⅱ)证明：在等边三角形中，
，是的中点,所以.
在菱形中，，，
所以.
又,所以，所以.
在菱形中，.
又,所以平面。

又平面，
所以平面平面.
(Ⅲ)因为平面，平面,所以
又因为, 为中点，所以
又，所以平面,则为直线在平面内的射影，所以平面为直线与平面的所成角
因为，所以，
在中, ，所以
所以直线与平面的所成角为.。