2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.3.2函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数填一填1.极小值点与极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点；(2)极大值与极小值统称为极值．4．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0.1.2．函数的极大值不一定比极小值大．(√)3．对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．(×) 4．函数y ＝f (x )一定有极大值和极小值．(×)5．函数的极小值就是函数在定义域上的最小的函数值．(×) 6．导数为零的点都是极值点．(×) 7．极值点的导数一定为0.(×)8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3与函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6有相同的极值点．(√)1. 函数在点x ＝a 的函数值比它在点x ＝a 附近的其他点的函数值都小．2．在极小值概念中，f ′(a )等于多少？在点x ＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？ f ′(a )＝0，在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0. 3．在极大值概念中，函数在点x ＝b 处的情况呢？函数在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0.4．三次函数有极值的充要条件是什么？三次函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)有极值⇔导函数f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式Δ＝4b 2－12ac >0.感悟体会1.函数f (x )＝ln x －x A ．－e B ．－1 C ．1－e D ．0解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.故选B.答案：B2．若函数f (x )＝ax －ln x 在x ＝22处取得极值，则实数a 的值为( ) A. 2 B.22 C ．2 D.12解析：f ′(x )＝a －1x ，因为f ′⎝⎛⎭⎫22＝0，即a －122＝0，解得a ＝2，经检验，满足题意．故选A.答案：A3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析：由f (x )＝x 3－3x 2＋1，得f ′(x )＝3x 2－6x ，由f ′(x )>0，得x <0或x >2；由f ′(x )<0，得0<x <2，∴函数f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，减区间为(0,2)，∴x ＝2时，函数f (x )取得极小值．答案：24．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________(填序号)．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由导函数f ′(x )的图象知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以x ＝1时，函数f (x )取得极大值，x ＝2时，函数取得极小值，故只有①的说法不正确．答案：①1.A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小 C ．函数f (x )＝|x |只有一个极小值D ．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上一定存在极值解析：函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，A、B均不正确；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则不存在极值，D不正确，故选C.答案：C2.函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－2)f′(x)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．函数f(x)有极小值f(－2)和极小值f(2)B．函数f(x)有极小值f(－2)和极大值f(1)C．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)D．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2)解析：由函数y＝(x－2)f′(x)的图象知：当x<－2时，x－2<0，且(x－2)f′(x)<0，∴f′(x)>0，∴函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增；当－2<x<1时，x－2<0，且(x－2)f′(x)>0，∴f′(x)<0，∴函数y＝f(x)在(－2,1)上单调递减；当1<x<2时，x－2<0且(x－2)f′(x)<0，∴f′(x)>0，∴函数y＝f(x)在(1,2)上单调递增，当x>2时，x－2>0且(x－2)f′(x)>0，∴f′(x)>0，∴函数y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝－2时，函数f(x)取得极大值，x＝1时，函数f(x)取得极小值，故选C.3.(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.解析：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：Z]Z因此，当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，且f (－2)＝－23－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数f (x )取得极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2＝2(1－x 2)(x 2＋1)2.由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：] Z ]且f (1)＝－4.函数f (x )＝13x 3－12(2b ＋1)x 2＋b (b ＋1)x 在(0,2)内有极小值，则( )A ．0<b <1B ．0<b <2C ．－1<b <1D ．－1<b <2解析：f ′(x )＝x 2－(2b ＋1)x ＋b (b ＋1)＝(x －b )[x －(b ＋1)]，令f ′(x )＝0，则x ＝b 或x ＝b ＋1，∴x ＝b ＋1是函数的极小值点，∴0<b ＋1<2，解得－1<b <1，故选C.答案：C5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1.又f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，所以a ＝3.验证知a ＝3符合题意．答案：6.y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解析：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)或x ∈(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．7．若函数f (x )＝ax 3－bx ＋2，当x ＝1时，函数f (x )取极值0. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．解析：(1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故所求的函数解析式为f (x )＝x 3－3x ＋2. (2)由(1)可知f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)． 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：Z ] Z为(0,4)．一、选择题1．下面说法正确的是( ) A ．可导函数必有极值B ．函数在极值点一定有定义C ．函数的极小值不会超过极大值D ．以上都不正确解析：一次函数可导，但没有极值，A 不正确；B 显然正确；函数的极大值和极小值没有准确的大小关系，C 不正确；D 不正确，故选B.答案：B2．当函数y ＝x ·e x 取极小值时，x ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1解析：y ′＝e x ＋x ·e x ＝e x (x ＋1)，当x ∈(－∞，－1)时，y ′<0，∴函数y ＝x e x 单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，y ′>0，∴函数y ＝x e x 单调递增，∴x ＝－1时，函数y ＝x e x 取极小值，故选D.答案：D3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1C ．a <－1eD ．a >－1e解析：y ′＝e x ＋a ，令y ′＝0，得e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a )， ∵x >0，∴ln(－a )>0，解得a <－1，故选A.答案：A4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值解析：由y ＝x 3－3x 2－9x ，得y ′＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)，由y ′＝0，得x ＝－1或x ＝3，当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，y ′>0；当x ∈(－1,3)时，y ′<0，∴当x ＝－1时，函数有极大值5；而3∉(－2,2)，∴函数无极小值，故选C.答案：C5．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为( ) A ．21 B ．－21 C ．27 D ．－27解析：依题意，x ＝－2与x ＝4是f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，∴⎩⎨⎧－2＋4＝－2a3，－2×4＝b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24，∴a －b ＝(－3)－(－24)＝21，故选A.答案：A6．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝x ·f ′(x )的图象可能是( )解析：∵函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴x <－2时，f ′(x )<0，x >－2时，f ′(x )>0，∴当x <－2时，xf ′(x )>0；当－2<x <0时，xf ′(x )<0；当x >0时，xf ′(x )>0，∴函数y ＝x ·f ′(x )的图象可能是C 选项．答案：C 7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析：∵f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2，∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，等号成立，∴ab 的最大值等于9，故选D.答案：D 二、填空题8．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的极大值点为________． 解析：∵f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，令f ′(x )＝0，得x ＝π6，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π6时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2时，f ′(x )<0，∴x ＝π6时，f (x )取极大值． 答案：π69．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，∵函数f (x )在x ＝－1时有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝0，f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3m －n ＋m 2＝0，3－6m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，当m ＝1，n ＝3时，f (x )＝x 3＋3x 2＋3x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴函数f (x )在R 上单调递增，函数无极值，舍去，∴m ＋n ＝2＋9＝11.答案：1110．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则f (－1)＝________.解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.经检验，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，时，f ′(x )≥0，不符合题意，舍去，∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (－1)＝30.答案：3011．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既无极大值又无极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，因为函数f (x )既无极大值又无极小值，所以Δ＝36a 2－36(a ＋2)≤0，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.答案：[－1,2]12．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 的极值点，则f (x )的极小值为________．解析：∵f (x )＝(x 2＋ax －1)e x ，∴f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x ，∵－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即[4－2(a ＋2)＋a －1]e －2＝0，解得a ＝－1，∴f (x )＝(x 2－x －1)e x ，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x ，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x ∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0，∴x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (1)＝－e.答案：－e 三、解答题13．求出下列函数的极值． (1)f (x )＝x 3－3x 2－2；(2)f (x )＝3x＋3ln x .解析：(1)函数定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： Z ] Z值f (2)＝－6.(2)函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：]Z14．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值． (2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．解析：(1)由已知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0.又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1.所以a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ， 所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)． 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝115.设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0.曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)若a ＝4，过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的几条不同的切线？解析：(1)由f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，又由f ′(0)＝b ，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0.故b ＝0，c ＝1.(2)a ＝4时，f (x )＝13x 3－2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－4x ，点(0,2)不在f (x )的图象上，设切点为(x 0，y 0)，则切线斜率k ＝x 20－4x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－2x 0－0＝x 20－4x 0，y 0＝13x 30－2x 20＋1⇒23x 30－2x 20＋1＝0， 上式有几个解，过(0,2)就能作出f (x )的几条切线．令g (x )＝23x 3－2x 2＋1，则g ′(x )＝2x 2－4x ＝2x (x －2)， g (x )，g ′(x )随x 变化的情况如下：Z ] Zg (x )极大值＝g (0)＝1>0，g (x )极小值＝g (2)＝－53<0， 所以g (x )有三个零点，即过(0,2)可作出f (x )的3条不同的切线．16．已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax ＋32(a ∈R )． 若f (x )恰有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)．(1)求a 的取值范围；(2)求证：f (x 2)<f (x 1)<0.解析：(1)∵f ′(x )＝1x ＋x －a ，x >0，f ′(x )＝1x＋x －a ≥21x ·x －a ＝2－a ， 当a ≤2时，f ′(x )≥2－a ≥0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )无极值，不合题意，舍去．当a >2时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42(0<x 1<x 2)， f ′(x )>0⇔0<x <x 1或x >x 2；f ′(x )<0⇔x 1<x <x 2，∴f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增，∴f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，符合题意，故a 的取值范围是(2，＋∞)．(2)由(1)知f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，∴f (x 2)<f (x 1)，且a ＝1x 1＋x 1， 由f ′(x )＝0得x 2－ax ＋1＝0，∴x 1x 2＝1，又x 1<x 2，∴0<x 1<1，∴f (x 1)＝ln x 1＋12x 21－ax 1＋32＝ln x 1＋12x 21－⎝⎛⎭⎫1x 1＋x 1x 1＋32＝ln x 1－12x 21＋12， 方法一：下面证明ln x <x －1(0<x <1)，令g (x )＝ln x －x ＋1(0<x <1)，g ′(x )＝1x －1＝1－x x>0， ∴g (x )在(0,1)上单调递增，g (x )<g (1)＝0，即ln x <x －1(0<x <1)，∴f (x 1)<x 1－1－12x 21＋12＝－12x 21＋x 1－12＝－12(x 1－1)2<0， 综上f (x 2)<f (x 1)<0，方法二：令g (x )＝ln x －12x 2＋12(0<x <1)，则g ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x>0， ∴g (x )在(0,1)上单调递增，∴g (x )<g (1)＝0，即f (x 1)<0，综上f (x 2)<f (x 1)<0.。