第二章1 离散时间系统1
信号与系统课件：第二章 LTI系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
DTFT [ x ( n )]
)
1 2
[ X (e
j
) X (e
j
j
n
x (n )e
j n
[
n
x (n )e
j n
] [
*
n
x (n )e
j( )n
]
X (e
*
j
)
满足共轭对称性 共轭反对称函数
x a (t ) X a ( s )
§2.1 三大变换之间的关系
即：
X (z)
ze
sT
X (e
sT
ˆ (s) ) X a
取样信号
ˆ (s) ˆ a (t ) X x a
ˆ (s) X a
ˆ a (t )e x
st
dt
st
x ( n ) x a ( nT )
ˆ (s) 1 X a T
§2.1 三大变换之间的关系
k
X a ( s jk s )
令s=jΩ
ˆ ( j ) X ( e X a
j T
)
1 T
k
X a ( j jk s )
X (e
j
)
1 T
k
X a( j
k 2
d
11
X (e
j
)e
j n
d
非周期离散
12
2
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
《数字信号处理》教案
《数字信号处理》教案第一章：绪论1.1 课程介绍理解数字信号处理的基本概念了解数字信号处理的发展历程明确数字信号处理的应用领域1.2 信号的概念与分类定义信号、模拟信号和数字信号掌握信号的分类和特点理解信号的采样与量化过程1.3 数字信号处理的基本算法掌握离散傅里叶变换（DFT）了解快速傅里叶变换（FFT）学习Z变换及其应用第二章：离散时间信号与系统2.1 离散时间信号理解离散时间信号的定义熟悉离散时间信号的表示方法掌握离散时间信号的运算2.2 离散时间系统定义离散时间系统及其特性学习线性时不变（LTI）系统的性质了解离散时间系统的响应2.3 离散时间系统的性质掌握系统的稳定性、因果性和线性学习时域和频域特性分析方法第三章：离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT）推导DFT的数学表达式理解DFT的性质和特点熟悉DFT的应用领域3.2 快速傅里叶变换（FFT）介绍FFT的基本概念掌握FFT的计算步骤学习FFT的应用实例3.3 离散傅里叶变换的局限性探讨DFT在处理非周期信号时的局限性了解基于DFT的信号处理方法第四章：数字滤波器设计4.1 滤波器的基本概念理解滤波器的定义和分类熟悉滤波器的特性指标学习滤波器的设计方法4.2 数字滤波器的设计方法掌握常见数字滤波器的设计算法学习IIR和FIR滤波器的区别与联系了解自适应滤波器的设计方法4.3 数字滤波器的应用探讨数字滤波器在信号处理领域的应用学习滤波器在通信、语音处理等领域的应用实例第五章：数字信号处理实现5.1 数字信号处理器（DSP）概述了解DSP的定义和发展历程熟悉DSP的特点和应用领域5.2 常用DSP芯片介绍学习TMS320系列DSP芯片的结构和性能了解其他常用DSP芯片的特点和应用5.3 DSP编程与实现掌握DSP编程的基本方法学习DSP算法实现和优化技巧探讨DSP在实际应用中的问题与解决方案第六章：数字信号处理的应用领域6.1 通信系统中的应用理解数字信号处理在通信系统中的重要性学习调制解调、信道编码和解码等通信技术探讨数字信号处理在无线通信和光通信中的应用6.2 音频信号处理熟悉音频信号处理的基本概念和算法学习音频压缩、回声消除和噪声抑制等技术了解数字信号处理在音乐合成和音频效果处理中的应用6.3 图像处理与视频压缩掌握数字图像处理的基本原理和方法学习图像滤波、边缘检测和图像压缩等技术探讨数字信号处理在视频处理和多媒体通信中的应用第七章：数字信号处理工具与软件7.1 MATLAB在数字信号处理中的应用学习MATLAB的基本操作和编程方法熟悉MATLAB中的信号处理工具箱和函数掌握利用MATLAB进行数字信号处理实验和分析的方法7.2 其他数字信号处理工具和软件了解常用的数字信号处理工具和软件，如Python、Octave等学习这些工具和软件的特点和应用实例探讨数字信号处理工具和软件的选择与使用第八章：数字信号处理实验与实践8.1 数字信号处理实验概述明确实验目的和要求学习实验原理和方法掌握实验数据的采集和处理8.2 常用数字信号处理实验完成离散信号与系统、离散傅里叶变换、数字滤波器设计等实验8.3 数字信号处理实验设备与工具熟悉实验设备的结构和操作方法学习实验工具的使用技巧和安全注意事项第九章：数字信号处理的发展趋势9.1 与数字信号处理探讨技术在数字信号处理中的应用学习深度学习、神经网络等算法在信号处理领域的应用实例9.2 物联网与数字信号处理理解物联网技术与数字信号处理的关系学习数字信号处理在物联网中的应用，如传感器信号处理、无线通信等9.3 边缘计算与数字信号处理了解边缘计算的概念和应用场景探讨数字信号处理在边缘计算中的作用和挑战10.1 课程回顾梳理本门课程的主要内容和知识点10.2 数字信号处理在未来的发展展望数字信号处理技术在各个领域的应用前景探讨数字信号处理技术的发展趋势和挑战10.3 课程考核与评价明确课程考核方式和评价标准鼓励学生积极参与课堂讨论和实践活动，提高综合素质重点和难点解析重点一：信号的概念与分类信号的定义和分类是理解数字信号处理的基础，需要重点关注。
离散时间信号与系统.ppt
稳定系统
❖ 系统是稳定的，当有界的输入产生有界的输出时 ❖ BIBO：有界输入产生有界输出 ❖ 即：
当对于所有的n，有|x[n]|<Bx, 则对于所有的n，有|y[n]|<By ❖ P61 例2.18 例2.19
无源和无损系统
❖ 无源离散系统：输出序列的能量不能超过输入序列 的能量
线性内插器
❖ 用于估计离散序列中相邻的一对样本值之间的样 本值得大小
❖ 做法：
上抽样 将上抽样的零值处填入线性内插值
❖ 双线性内插
y[n]
x [n]
x [n
1]
2
x [n
1]
❖ 应用：图像放大
中值滤波器
❖ 中值的定义： 在大小为2k+1的数据集合中，存在这样一个 数据，有k个数据大于该数，剩下k个数据小 于该数。
❖ 即：
y[n] 2 xn2
n
n
❖ 无损系统：上式等号成立 ❖ P62 例2.20
冲激和阶跃响应
❖ 单位抽样响应：输入单位抽样序列时数字滤 波器的输出，简称冲激响应——{ h[n] }
❖ 单位阶跃响应：输入单位阶跃序列时数字滤 波器的输出，简称阶跃响应——{ s[n] }
❖ LTI（线性时不变系统）数字滤波器在时域中 可以通过冲激响应或阶跃响应完全描述
第n个样本
冲激响应
❖ 在时域中，用冲激响应{h[n]}可以完全描述LTI 离散时间系统的特性
❖ 可以利用卷积公式计算任何给定输入产生的 输出
❖ 输入序列和冲激响应一般是有限长的 ❖ 当冲激响应是无限序列时，利用等效系统来
分析 ❖ P64 例2.26 例2.27
用matlab计算卷积
数字信号处理 习题+答案
第一章 数字信号处理概述简答题：1． 在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D 变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。
在D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
（ ） 答：错。
需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。
（ ）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。
（a ）如果kHz T rad n h 101,)(=π截止于，求整个系统的截止频率。
（b ）对于kHz 201=，重复（a ）的计算。
解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X T j X T e Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。
第二章离散时间傅立叶变换DTFT
jX I (e j ) FT[xo (n)] xo (n)e jn n
即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解
证明
由：
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
有：
FT [ xe
(n)]
1 2
[X
(e
j
)
X
* (e
j
)]
X
R
(e
j
)
FT[xo (n)]
RN (n)e jn e jn
nn01 e jN 1 Nhomakorabeae je (e jN / 2 jN / 2 e jN / 2 ) e j / 2 (e j / 2 e j / 2 )
e j(N 1) / 2 sin( N / 2) sin( / 2)
| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
n
2
内容：时域、频域能量守恒。 即信号时域的总能量等于频域的总能量。
X (e j ) 2 称为能量谱密度
证明：
2
x(n) x(n)x*(n)
x*(n)[ 1
X (e j )e jnd)]
n
n
n
2
1 X (e j ) x (n)e jnd
2
n
1 X (e j ) X *(e j )d
[x(n)
x(n)]
例 x(n)=anu(n); 0<a<1; 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。
解: 序列x(n)
共轭对称部分xe(n)
共轭反对称部分xo(n)
2.3 周期序列的离散傅立叶级数 及傅立叶变换
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第二章 离散时间系统(2011.10.23)2.1 离散时间系统的基本概念将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算---定义为时域离散系统，记为()[()]y n T x n =式中，T[·]用来表示这种变换关系，如果对变换关系T[·]加上各种约束条件就定义了各类时域离散系统。
本书研究的是“线性移不变”的离散时间系统。
一、线性系统凡是满足均匀性和叠加性的系统称为线性系统，也就是说，若y1(n)和y2(n)分别为输入x1(n)和x ２(n)的输出响应，即11()[()]y n T x n =， 22()[()]y n T x n = 那么当且仅当121212()[()()][()][()]()()y n T ax n bx n aT x n bT x n ay n by n =+=+=+ 时，该系统称为线性系统，其中a, b 为任意常数。
对线性系统若写成N 个输入的一般表达式，则为11[()]()N Ni i i i i i T a x n a y n ===∑∑二、移不变系统如果系统的输出响应随着输入的位移而位移，那么该系统就称为移不变系统，即若输入x(n)产生输出为y(n)，则输入x(n-m)产生输出为 y(n-m)，也就是输入移动任意位，其输出也移动这么多位，且幅值保持不变。
对移不变系统，若()[()]y n T x n = 则()[()]y n m T x n m -=- 其中m 为任意整数。
例：证明y(n)=4x(n)+6是移不变系统． 证： T[x(n-m)]=4x(n-m)+6 y(n-m)=4x(n-m)+6 由于T[x(n-m)]＝y(n-m)，所以y(n)=4x(n)+6是移不变系统． 三、单位抽样响应设线性移不变系统输出y(n)的初始状态为零，当输入x(n)=δ(n)时，其输出定义为系统的单位抽样响应，用h(n)表示，即()[()]h n T n δ=这是由单位抽样信号δ(n)激励系统所产生的响应，h(n)反映了系统的固有特征，他是离散系统的一个重要参数。
对移不变性系统，()[()]h n k T n k δ-=-，因此，从h(n)的行为即可判断所研究的系统是否具有移不变性。
同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变离散时间系统（linear shift invariant ），简称 LSI 系统。
四、因果系统因果系统是指其输出变化不会发生在输入变化之前的一种系统，也就是说，因果系统的n 时刻的输出只取决于n 时刻及n 时刻以前的输入序列，而和n 时刻以后的输入序列无关，因此系统的因果性是指系统的可实现性，如果现在的输出和未来的输入有关，这在时间上违背了因果性，而且系统也无法实时实现，这样的系统就称为非因果系统。
线性移不变系统具有因果性的充分必要条件是：单位抽样信号h(n)在n<0时恒为零。
证明：充分条件若n<0时h(n)=0，根据卷积和公式0000()()()()()m m y n h m x nm h m x n m ∞∞=-∞==-=-∑∑因为式中m ≥0，所以n0-m ≤n0，这就证明了y(n0)的值只取决于x(n)在n ≤n0时的值，因此系统是因果的。
必要条件根据卷积和公式有100000()()()()()()()m mmy n h m x nm h m x n mh m x n m∞-∞=-∞=-∞==-=-+-∑∑∑ 若当m<0时，h(m)≠0，则上式第一项求和式中n0-m>n0，即系统在n0时的输出y(n0)与输入x(n)在n>n0时的值有关，也就是y(n0)值与n0以后的x(n)有关，所以该系统不是因果系统．可见要使y(n0)与n>n0时的x(n)无关，则必须使 0,()0n h n <= 五、稳定系统对每一个有限的输入信号，产生有限输出信号的系统称为稳定系统。
线性移不变系统是稳定系统的充要条件：系统的单位抽样响应绝对可和，即()n h n ∞=-∞<∞∑证明：充分条件 若系统满足条件()n h n ∞=-∞<∞∑且输入x(n)有界，()x n M ≤，对所有n ，其中M 是一个任意大的有限数，此时系统的输出为()()()m y n h m x n m ∞=-∞=-∑两边取绝对值，得()()()()()()m m m y n h m x n m h m x n m Mh m ∞∞∞=-∞=-∞=-∞=-≤-≤<∞∑∑∑即输出y(n)有界，故系统是稳定的。
必要条件 利用反证法，已知系统稳定，假设()n h n ∞=-∞=∞∑，可以找到一个有界的输入,1()0()1()0h n x n h n ≥⎧=⎨-<⎩ 则 (0)()(0)()()m m my x m h m h m h m ∞∞∞=-∞=-∞=-∞=-=-==∞∑∑∑即输出无界，这不符合稳定的假设，因而假设不成立，所以()n h n ∞=-∞<∞∑是稳定的必要条件。
结论：因果稳定的线性移不变系统的单位抽样响应是因果的（单边的），且是绝对可和的，即()()()()n h n h n u n h n ∞=-∞=<∞∑例：设系统输入输出关系为2[()]()sin()53T x n x n n ππ=+判断其线性，移不变性，因果性和稳定性。
解：① 1112()[()]()s i n ()53y n T xn x n n ππ==+ 2222()[()]()sin()53y n T x n x n n ππ==+因而121212122[()()][()()]sin()5322()sin()()sin()()()5353T ax n bx n ax n bx n n ax n n bx n n ay n by n ππππππ+=++=+++=+所以此系统为线性系统．② 2[()]()s i n ()53T x n m x n m n ππ-=-+而2()()sin[()]53y n m x n m n m ππ-=--+因而 [()]()T x nm y n m -≠- 所以此系统不是移不变系统，也就是系统是移变的。
③若x(n)有界，即()x n M ≤，则2()[()]()sin()5322()sin()sin()5353y n T x n x n n x n n M n ππππππ==+≤+≤+而2sin()153n ππ+≤，所以()y n M ≤<∞即有界的输入产生有界的输出，因此系统是稳定的。
④2()[()]()sin()53y n T x n x n n ππ==+只与x(n)的当前值有关，而与未来值无关，所以系统是因果的。
2.2 离散时间系统的输入输出关系设线性移不变系统的输入序列为x(n)，输出序列为y(n)，将x(n)用δ(n)表示，即 ()()()m x n x m nmδ∞=-∞=-∑所以相应的系统输出为：()[()][()()]m y n T x n T x m n m δ∞=-∞==-∑根据线性系统的叠加原理，有()()[()]m y n x m T n m δ∞=-∞=-∑又根据移不变特性，可得()()()()*()m y n x m h n m x n h n ∞=-∞=-=∑一、线性移不变系统的性质 １、交换律由于卷积和与两卷积序列的次序无关，有 y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)也就是说将单位抽样响应h(n)改为输入，而将输入x(n)改作为系统单位抽样响应，则输出y(n)不变．２、结合律x(n)*h1(n)*h2(n)=[x(n)*h1(n)]*h2(n)=x(n)*[h1(n)*h2(n)]=［x(n)*h ２(n)］*h １(n)也就是说两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系统，其单位抽样响应为两系统单位抽样响应的卷积和，且线性移不变系统的单位抽样响应与它们的级联次序无关．３、分配律x(n)*［h1(n)＋h2(n)］=x(n)*h1(n)＋x(n)* h2(n) 证明：12121212()*[()()]()[()()]()()()()()*()()*()m m m x n h n h n x m h n m h n m x m h n m x m h n m x n h n x n h n ∞=-∞∞∞=-∞=-∞+=⋅-+-=⋅-+⋅-=+∑∑∑x(n)h(n)y(n)=h(n)x(n)y(n)x(n) y(n) h 1(n) h 2(n) x(n)y(n) h 2(n)h 1(n)x(n)y(n)h 1(n)*h 2(n)。