2013年中考数学复习第十二讲-----存在性问题研究
2013年北京中考数学复习专题讲座十二：动点型问题(二)(含答案)
2013年中考数学复习专题讲座十二动点型问题（二）（双动点问题、考点四：因动点产生的最值问题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲考点三：双动点问题动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.（一）以双动点为载体，探求函数图象问题例1（2012•荆门）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（填序号）．思路分析：根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5，∴AD=BE=5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED=2，∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，在Rt△ABE中，AB===4，∴cos∠ABE==，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB==，∴PF=PBsin∠PBF=t，∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确；当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，PQ=CD﹣PD=4﹣=，∵=，==，∴=，又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故答案为：①③④．点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口．（二）以双动点为载体，探求结论开放性问题例2（2012•广元）如图，在矩形ABCD中，AO=3，tan∠ACB=．以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，设D、E分别是线段AC、OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动．设运动时间为t（秒）（1）求直线AC的解析式；（2）用含t的代数式表示点D的坐标；（3）在t为何值时，△ODE为直角三角形？（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式．思路分析：（1）在Rt△AOC中，已知AO的长以及∠ACB的正弦值，能求出OC的长，即可确定点C的坐标，利用待定系数法能求出直线AC的解析式．（2）过D作AO、OC的垂线，通过构建相似三角形来求出点D的坐标．（3）用t表示出OD、DE、OE的长，若△ODE为直角三角形，那么三边符合勾股定理，据此列方程求出对应的t的值．（4）根据（3）的结论能得到t的值，△ODE中，当OD⊥x轴或DE垂直x轴时，都不能确定“一条对称轴平行于y轴的抛物线”，余下的情况都是符合要求的，首先得D、E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式．解：（1）根据题意，得CO=AB=BC•tan∠ACB=4，则A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）；设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，得：4k+3=0，k=﹣∴直线AC：y=﹣x+3．（2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F、H，则有△ADF∽△DCH∽△ACO∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，而AD=3t（其中0≤t≤），OC=AB=4，AC=5，∴FD=AD=，AF=AD=，DH=3﹣，HC=4﹣，∴D（，3﹣）．（3）CE=t，E（4﹣t，0），OE=OC﹣CE=4﹣t，HE=|CH﹣CE|=|（4﹣）﹣t|=|4﹣|则OD2=DH2+OH2=（3﹣）2+（）2=9t2﹣t+9，DE2=DH2+HE2=（3﹣）2+（4﹣）2=t2﹣38t+25，当△ODE为Rt△时，有OD2+DE2=OE2，或OD2+OE2=DE2，或DE2+OE2=OD2，则（9t2﹣t+9）+（t2﹣38t+25）=（4﹣t）2①，或（9t2﹣t+9）+（4﹣t）2=t2﹣38t+25②，或（t2﹣38t+25）+（4﹣t）2=9t2﹣t+9③，上述三个方程在0≤t≤内的所有实数解为：t1=，t2=1，t3=0，t4=．（4）当DO⊥OE，及DE⊥OE时，即t3=0和t4=时，以Rt△ODE的三个顶点不能确定对称轴平行于y轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y轴的抛物线．当t2=1时，D（，），E（3，0），因为抛物线过O（0，0），所以设所求抛物线为y=ax2+bx，将点D、E坐标代入，求得a=﹣，b=，∴所求抛物线为：y=﹣x2+x（当t1=时，所求抛物线为y=﹣x2+x）．点评：本题主要考查了二次函数的应用、相似三角形的性质、勾股定理等重要知识；后面两问的难度较大，注意分类进行讨论．（三）以双动点为载体，探求存在性问题例3（2012•沈阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段0B于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=﹣x2+mx+n 的图象经过A，C两点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求证：∠BEF=∠AOE；（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE 交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用三角形外角性质，易证∠BEF=∠AOE；（3）当△EOF为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解；（4）本问关键是利用已知条件求得点P的纵坐标，要点是将△EPF与△EDG的面积之比转化为线段之比．如图④所示，首先证明点E为DF的中点，然后作x轴的平行线FN，则△EDG≌△EFN，从而将△EPF与△EDG的面积之比转化为PE：NE；过点P作x轴垂线，可依次求出线段PT、PM的长度，从而求得点P的纵坐标；最后解一元二次方程，确定点P 的坐标．解：（1）如图①，∵A（﹣2，0）B（0，2）∴OA=OB=2，∴AB2=OA2+OB2=22+22=8∴AB=2，∵OC=AB∴OC=2，即C（0，2）又∵抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过A、C两点则可得，解得．∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+2．（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，∴∠BEF=∠AOE．（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°在△EOF中，∠EOF=180°﹣∠OEF﹣∠OFE=180°﹣45°﹣45°=90°又∵∠AOB=90°则此时点E于点A重合，不符合题意，此种情况不成立．②如图2，当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°在△EOF中，∠EFO=180°﹣∠OEF﹣∠EOF=180°﹣45°﹣45°=90°∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO，∴∠BEF=∠BAO=45°又∵由（2）可知，∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO，∴BF=EF，EF=BF=OB=×2=1∴E（﹣1，1）③如图③，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H在△AOE和△BEF中，∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF∴△AOE≌△BEF，∴BE=AO=2∵EH⊥OB，∴∠EHB=90°，∴∠AOB=∠EHB∴EH∥AO，∴∠BEH=∠BAO=45°在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°∴EH=BH=BEcos45°=2×=∴OH=OB﹣BH=2﹣∴E（﹣，2﹣）综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为E（﹣1，1）或E（﹣，2﹣）．（4）假设存在这样的点P．当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E（﹣，2﹣）．如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2﹣．由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF，过点F作FN∥x轴，交PG于点N．易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN =S△EDG，依题意，可得S△EPF =（2+1）S△EDG=（2+1）S△EFN，∴PE：NE=2+1．过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2﹣．∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=2+1，∴PT=（2+1）•ST=（2+1）（2﹣）=3﹣2；∴PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2，∴﹣x2﹣x+2=2，解得x1=0，x2=﹣1，∴P点坐标为（0，2）或（﹣1，2）．综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍；点P的坐标为（0，2）或（﹣1，2）．点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形、直角三角形、全等三角形与相似三角形的性质等重要的知识点，难度较大．第（2）问注意分类讨论思想的应用，注意不要漏解；第（3）问中，将三角形面积之比转化为线段之比，这是解题的重要技巧，这是本题的难点．（四）以双动点为载体，探求函数最值问题例4（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=2．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）．（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式．（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易判断出△OAB是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的读数，即可得到D点的坐标，由此得解．（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，进而可得到P到x轴的距离，以OQ为底、P到x 轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值．解：（1）令y=0，即﹣x2+x+2=0；解得x1=﹣，x2=2．∴C（﹣，0）、A（2，0）．令x=0，即y=2，∴B（0，2）．综上，A（2，0）、B（0，2）．（2）令AB方程为y=k1x+2因为点A（2，0）在直线上，∴0=k1•2+2∴k1=﹣∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．（3）由A（2，0）、B（0，2）得：OA=2，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；∵D与O点关于AB对称，∠DOA=60°，∴OD=OA=2∴D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）．因为y=过点D，∴3=，∴k=3．（4）∵AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP•sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=2﹣t；=•（2﹣t）•t=﹣（t﹣2）2+；∴S△OPQ依题意有，解得0＜t≤4．∴当t=2时，S有最大值为．点评：该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围．考点四：因动点产生的最值问题因动点产生的最值问题与一般最值问题一样，一般都归于两类基本模型：1．归于函数模型 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性 确定某范围内函数的最大或最小值2．归于几何模型 这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中 线段最短”。
中考数学：存在性问题复习
初中数学二次函数中的图形构建及存在性问题一、二次函数中有关面积的存在性问题例1（10潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交M ⊙于点N ，连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD 的面积为43，求直线PD 的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.答案：解：（1）因为抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，设抛物线的函数关系式为：()()13y a x x =+-，∵抛物线与y 轴交于点()03C -，， ∴()()30103a -=+-， ∴ 1.a =所以，抛物线的函数关系式为：223y x x =--，又()214y x =--，因此，抛物线的顶点坐标为()14-，．(2）连结EM ，∵EA ED 、是M ⊙，的两条切线， ∴EA ED EA AM ED MN =⊥⊥，，，∴EAM EDM △≌△ 又四边形EAMD 的面积为43，∴23EAM S =△，∴1232AM AE =·，又2AM =，∴2 3.AE =因此，点E 的坐标为()1123E -，或()2123.E --，当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限. 在直角三角形EAM 中，23tan 3EA EMA AM ∠===， ∴60EMA ∠=°，∴60DMB ∠=° 过切点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，∴13MF DF ==， 因此，切点D 的坐标为()23，．设直线PD 的函数关系式为y kx b =+，将()()12323E D -，、，的坐标代入得 3223k b k b⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩解之，得3353k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线PD 的函数关系式为353.33y x =-+当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限.同理可求：切点D 的坐标为()23，-，直线PD 的函数关系式为353.y x =- 因此，直线PD 的函数关系式为35333y x =-+或353.33y x =-(3）若四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积 又22EAM DAN AMD EAMD S S S S ==△△△四边形， ∴AMD EAM S S =△△∴E D 、两点到x 轴的距离相等，∵PD 与M ⊙相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧， ∴切线PD 与x 轴平行，此时切线PD 的函数关系式为2y =或 2.y =-当2y =时，由223y x x =--得，1x =当2y =-时，由223y x x =--得，1x =故满足条件的点P 的位置有4个，分别是()()()1231112P P P -、、、 ()412.P -说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.强化训练★1、（10）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求(2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩，故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -图2(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=︒ 易知BN=MN=1，易求AM BM ==122ABMS=⨯=；设2(,4)P x x -， 依题意有：214422AD x -=⨯，即：2144422x ⨯-=⨯解之得：x =±，0x =，故 符合条件的P 点有三个：123((0,4)P P P --★2、．矩形OBCD 在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O (0，0)、B (0，3)、D (－2，0)，直线AB 交x 轴于点A (1，0)．(1)求直线AB 的解析式；(2)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E 的坐标；(3)过点E 作x 轴的平行线EF 交AB 于点F ．将直线AB 沿轴向右平移2个单位，与x 轴交于点G ，与EF 交于点H ．请问过A 、B 、C 三点的抛物线上是否存在点P ，使得S △PAG ＝ 34S △PEH ．若存在，求点P二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题例2 (）(12分) 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由抛物线与y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c .即抛物线的解析式为32-+=bx ax y ． ………………………1分把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分. （2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分理由如下：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴ 182=BC . (6)分在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ 22=CD . (7)分在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ 202=BD . (8)分∴ 222BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分 （3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为)31,0(1P ． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个：O （0，0），)31,0(1P ，P 2（9，0）.三、二次函数中构建等腰三角形的存在性问题例3（10潼南）如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.答案：解：（1）∵二次函数c bx x y ++=221的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩⎨⎧-==++122c c b解得： b =－21c =－1 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y(2）设点D 的坐标为（m ，0） (0＜m ＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE ∽△AOC 得，OCDEAO AD =∴122DEm =- ∴DE=22m -∴△CDE 的面积=21×22m -×m =242m m +-=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大 ∴点D 的坐标为（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0则1212102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∴ ⎩⎨⎧-==+-1b b k 解得：k =-1 b =-1∴直线BC 的解析式为: y =－x －1在Rt △AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450ABCED xy o题图26①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k, －k －1)过点P 作PH⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210， k 2=－210 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，1210-） ②以A 为顶点，即AC=AP=5设P(k , －k －1)，过点P 作PG ⊥x 轴于GAG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2(2－k )2+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍) ∴P 3(1, －2)③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ，∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形， PQ=CQ=k 由勾股定理知CP=PA=2k ∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜在Rt △PLA 中(2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =25∴P 4(25,－27) 综上所述： 存在四个点：P 1（210，－1210-） P 2（-210，1210-） P 3(1, －2) P 4(25,－27) 三、二次函数中构建四边形的存在性问题（一）二次函数中构建梯形的存在性问题例4 (10）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-21，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ；(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
中考数学：存在性问题复习说课讲解
中考数学：存在性问题复习初中数学二次函数中的图形构建及存在性问题一、二次函数中有关面积的存在性问题例1（10山东潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交M ⊙于点N ，连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD 的面积为43，求直线PD 的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.答案：解：（1）因为抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，设抛物线的函数关系式为：()()13y a x x =+-， ∵抛物线与y 轴交于点()03C -，， ∴()()30103a -=+-，∴ 1.a =所以，抛物线的函数关系式为：223y x x =--，又()214y x =--，因此，抛物线的顶点坐标为()14-，．(2）连结EM ，∵EA ED 、是M ⊙，的两条切线， ∴EA ED EA AM ED MN =⊥⊥，，，∴EAM EDM △≌△ 又四边形EAMD的面积为∴EAM S =△∴12AM AE =· 又2AM =，∴AE =因此，点E的坐标为(11E -或(21.E --，当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限. 在直角三角形EAM中，tan 2EA EMA AM ∠=== ∴60EMA ∠=°，∴60DMB ∠=° 过切点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，∴1MF DF ==，因此，切点D的坐标为(2．设直线PD 的函数关系式为y kx b =+，将((12E D -、的坐标代入得2k b k b=+=-+⎪⎩解之，得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线PD的函数关系式为33y x =-+当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限.同理可求：切点D 的坐标为()23，-，直线PD 的函数关系式为353.33y x =- 因此，直线PD 的函数关系式为35333y x =-+或353.33y x =-(3）若四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积又22EAM DAN AMD EAMD S S S S ==△△△四边形， ∴AMD EAM S S =△△∴E D 、两点到x 轴的距离相等，∵PD 与M ⊙相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧， ∴切线PD 与x 轴平行，此时切线PD 的函数关系式为2y =或 2.y =-当2y =时，由223y x x =--得，16x =±； 当2y =-时，由223y x x =--得，12x =±.故满足条件的点P 的位置有4个，分别是()()()123162162122P P P +-+-，、，、，、 ()4122.P --，说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.强化训练★1、（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求(2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,M -(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，90AMB ∠=︒易知BN=MN=1， 易求AM BM ==122ABMS=⨯=；设2(,4)P x x -， 依题意有：214422AD x -=⨯，即：2144422x ⨯-=⨯解之得：x =±，0x =，故 符合条件的P 点有三个：图2图3123((0,4)P P P --★2、．矩形OBCD 在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O (0，0)、B (0，3)、D (－2，0)，直线AB 交x 轴于点A (1，0)． (1)求直线AB 的解析式；(2)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E 的坐标； (3)过点E 作x 轴的平行线EF 交AB 于点F ．将直线AB 沿轴向右平移2个单位，与x 轴交于点G ，与EF 交于点H 线上是否存在点P ，使得S △PAG ＝ 34S △PEH 不存在，请说明理由．二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题例2 (甘肃）(12分) 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ． （1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由抛物线与y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c . 即抛物线的解析式为32-+=bx ax y ． ………………………1分把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3． ……………………………………………3分∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分.（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分理由如下：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴182=BC . …………………………6分在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴22=CD . …………………………7分在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴202=BD . …………………………8分∴ 222BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分（3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ，求得符合条件的点为)31,0(1P ． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ，求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分∴符合条件的点有三个：O （0，0），)31,0(1P ，P 2（9，0）. 三、二次函数中构建等腰三角形的存在性问题例3（10重庆潼南）如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.答案：解：（1）∵二次函数c x y ++=221的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩⎨⎧-==++1022c c b 解得： b =－21c =－1 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y(2）设点D 的坐标为（m ，0） (0＜m ＜2） ∴ OD =m ∴AD =2-m 由△AD E ∽△AOC 得，OCDEAO AD =∴122DEm =- ∴DE =22m-∴△CDE 的面积=21×22m -×m =242m m +-=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大 ∴点D 的坐标为（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0则1212102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∴ ⎩⎨⎧-==+-10b b k 解得：k =-1 b =-1∴直线BC 的解析式为: y =－x －1 在Rt △AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5ABCED xy o题图26∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k , －k －1) 过点P 作PH ⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210， k 2=－210 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，1210-） ②以A 为顶点，即AC=AP=5设P(k , －k －1)，过点P 作PG ⊥x 轴于G AG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2(2－k )2+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍) ∴P 3(1, －2)③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ，∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形， PQ=CQ=k 由勾股定理知CP=PA=2k∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜ 在Rt △PLA 中(2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =25∴P 4(25,－27) 综上所述： 存在四个点：P 1（210，－1210-） P 2（-210，1210-） P 3(1, －2) P 4(25,－27) 三、二次函数中构建四边形的存在性问题（一）二次函数中构建梯形的存在性问题例4 (10山东临沂）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-21，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ；(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
中考数学专题复习——存在性问题
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图（），当、 分别移动到边、的延 长线上时，连接与， （）中的结论还成立 吗？（直接回答“是” 或“否”，不需要证 明）
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图当、分别 在、的延长线上移 动时，连接与，（） 中的结论还成立吗？ 请你说明理由.
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图，当、分别 在边、上移动时，连 接和交于点，由于点、 的移动，使得点也随 之运动，请你画出点 的运动路径草图.若， 试求出线段的最小值.
小结
说说看：你有哪些收获？
.动态问题通常要设想整个运动过程，找到并记下 每一个特殊的位置；
.注意考察图形运动经过的某些特殊点，图形变化 而成的特殊形状；
A'
活动一：我自信，我能行
.如图，矩形中，点在边上，将矩形沿 直线翻折，点恰好落在边上的点处. 若，，则的长为.
A
D
E
BF
C
活动一：我自信，我能行
、如图，正方形的边长为，点在边上
且超越自我
正方形中，动点、分别从、两点 同时出发，以相同的速度在直线、 上运动.
.把整个运动过程分解成若干个小过程，逐一考察， 最后再综合考虑。
我们一直在努力， 我们会一直努力！
活动一：我自信，我能行
．如图，将周长为的△沿平移一个单 位得到△，则四边形的周长为( )
．
A
D
B
E
C
F
活动一：我自信，我能行
如图，一块含有角的直角三角形，在水平桌面上 饶点按顺时针方向旋转到’’’的位置.若的长为， 那么丁点从开始到结束经过的路径长为( )
2013年全国中考数学(169套)选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题11：其它存在性问题
编辑一、选择题 （无） 二、填空题 （无） 三、解答题1. （2013年湖南怀化10分）如图，矩形ABCD 中，AB=12cm ，AD=16cm ，动点E 、F 分别从A 点、C 点同时出发，均以2cm/s 的速度分别沿AD 向D 点和沿CB 向B 点运动。
（1）经过几秒首次可使EF ⊥AC ？（2）若EF ⊥AC ，在线段AC 上，是否存在一点P ，使EP AE AP 2EF =⋅⋅？若存在，请说明P 点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。
2. （2013年湖南益阳12分）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．3. （2013年湖南张家界12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．4. （2013年湖北恩施12分）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3。
存在性问题
存在性问题所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论．（一）存在性问题的解决策略1、直接求解法存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题．存在性问题探索的方向是明确的．探索的结果有两种：一种是存在：另一种是不存在．直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法.2、假设求解法先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理；若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在.即假设结论存在，根据条件推理、计算，如果求得出一个结果，并根据推理或计算过程每一步的可逆性，证得结论存在；如果推得矛盾的结论或求不出结果，则说明结论不存在．（二）中考数学中的存在性问题的类型（1）肯定型存在性问题解决“肯定型存在性问题”的基本步骤：①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA，CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）.（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由.（2）否定型存在性问题例2如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t=s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）讨论型存在性问题将问题看成求解题，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决讨论型存在性问题的主要方法.另外，先猜出对象可能存在或不存在，从而将讨论型存在性问题转化为肯定型或否定型处理，是解决讨论型存在性问题的又一重要方法.例3、如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设动动的时间为t秒(t≥0)．(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；(2)在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．2、定量分类1、（数值存在性问题）如图所示，直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折点A 落到点C ，抛物线过点B 、C 和D （3，0）．（1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2、（定值存在性问题）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90DAB ∠=︒，24AD DC ==，6AB =．动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与线段CD 的交点为E ，与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）．（1）当0.5t =时，求线段QM 的长；（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；（3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQ RQ 是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．3、（极值存在性问题）如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y 轴交于点C （0，2），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP+CP 的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB 为直径的⊙M 相切于点E ，CE 交x 轴于点D ，求直线CE 的解析式． B C D （备用图1） BC D （备用图2） Q A B CD l M P E4、（点存在性问题）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点A （6，0），B （0.8），点C 的坐标为（0，m ），过点C 作CE ⊥AB 于点E ，点D 为x 轴上的一动点，连接CD ，DE ，以CD ，DE 为边作▱CDEF ．（1）当0＜m ＜8时，求CE 的长（用含m 的代数式表示）；（2）当m=3时，是否存在点D ，使▱CDEF 的顶点F 恰好落在y 轴上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D 在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得▱CDEF 为矩形，请求出所有满足条件的m 的值．5.（直角三角形存在性问题）如图，在平面直角坐标系中，顶点为()3,4的抛物线交y 轴与A 点，交x 轴与B C 、两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为()0,5-．（１）求此抛物线的解析式；（２）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线与点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C 的位置关系，并给出证明．（３）在抛物线上是否存在一点P ，使ACP ∆是以AC 为直角边的直角三角形．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
存在性问题
问题探索的方向是明确的．探索的结果有两种：一种是存在： 另一种是不存在．直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步 试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法。
2、假设求解法 先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出
存在性问题
存在性问题是试题中突出考查学生能力 的典型代表，由于这类问题大多以函数图象 为载体，来研究事物的存在性，理解起来比 较抽象，涉及面较广，技巧性和综合性也较 强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移 能力、灵活运用能力和分析问题的能力要求 又高，所以一直是各地中考数学试题的压轴 型题目常见题型。
（3）讨论型存在性问题 将问题看成求解题，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这 是解决讨论型存在性问题的主要方法。另外，先猜出对象可能存在或不存在，从 而将讨论型存在性问题转化为肯定型或否定型处理，是解决讨论型存在性问题的 又一重要方法。
2、定量分类
（1）数值存在性问题 （2）定值存在性问题 （3）极值存在性问题 （4）点存在性问题 （5）直线存在性问题 （6）三角形存在性问题 （7）平行四边形存在性问题 （8）圆存在性问题 （9）时间存在性问题 （10）位置存在性问题 （11）变化存在性问题 （12）关联存在性问题
一、存在性问题的内涵
所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究 是否存在符合要求的结论．存在性问题可抽象为“已知 事项M，是否存在具有某种性质的对象Q。”解题时要 说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说 明Q不存在，可先假设存在Q，然后由此出发进行推论， 并导致矛盾，从而否定Q的存在。此类问题的叙述一般 是“是否存在……，如果存在，请求出……（或请证 明）；如果不存在，请说明理由．”
中考数学存在性问题的经典方法总结
中考数学存在性问题的经典方法总结存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。
函数综合题中，存在性问题是各地中考的热点。
这类题目中图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，且有一定的难度。
本节介绍几种存在性问题的经典方法，为以后二次函数中的存在性问题的解决提供帮助。
一、等腰三角形存在性问题解决等腰三角形存在性问题一般有几何法和代数法两种方法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。
1、代数法（盲解盲算法）如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．代数法的一般步骤：罗列三边长（的平方），分类列方程，解方程并检验．2、几何法（“两圆一线”法）如图，已知线段AB，在平面内找一点C，使得△ABC为等腰三角形，满足条件的点C的集合如下图所示（在以点A，B为圆心，AB长为半径的圆和线段AB的垂直平分线上，除了与AB在同一直线上的点外的所有点）二、直角三角形存在性问题解决直角三角形存在性问题一般有几何法和代数法两种方法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。
1、代数法（盲解盲算法）如果△ABC是直角三角形，那么存在①∠A为直角，②∠B为直角，③∠C为直角三种情况．代数法的一般步骤：罗列三边长（的平方），分类列方程，解方程并检验．2、几何法（“两线一圆”法）如果已知两个定点A、B，在平面内求找一点C，使得△ABC为直角三角形：分别过已知线段AB的两个端点作线段AB的垂线，再以已知线段AB为直径作圆，这两条直线和这个圆上（除了和A、B在同一直线上）的所有点均满足条件，如下图所示：。
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2013年中考数学复习
第十二讲-----存在性问题研究
1、【专题精讲】
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
2、【典例精析】
例1.如图，在平面直角坐标系O—XY中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y 轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和B，且12a+5c=0。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A沿AB边以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q
由点B开始沿BC边以1cm/秒的速度向点C移动，那么：
①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关
系式，并写出t的取值范围；
②当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，
请说明理由。
例2如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），
B（0，）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若S梯形OBCD=
，求点C的坐标；
3
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例3、如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x
的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？
若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成
1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理
由．
例4、矩形O A B C 在平面直角坐标系中位置如图13所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，
(03)C -，，直线34
y x =-
与B C
边相交于D 点．
（1）求点D 的坐标； （2）若抛物线2
94
y ax x =-
经过点A
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线O D 交于点M ， 点
P 为对称轴上一动点，以P O M 、、为顶点的三角形 与O C D △相似，求符合条件的点P 的坐标．
例5、已知：在平面直角坐标系中，抛物线32+-=x ax y （0≠a ）交x 轴于 A 、B 两点，交y 轴于点C ，且对称轴为直线2x =-． （1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）若点P （0，t ）是y 轴上的一个动点，请进行如下探究： 探究一：如图1，设△PAD 的面积为S ，令W ＝t ·S ，当0＜t ＜4时， W 是否有最大值？如果有，求出W 的最大值和此时t 的值； 如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P 、A 、D 为顶点的三角形与Rt △AOC 相似？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． （参考资料：抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 对称轴是直线x =2b a
-）
图1
例6、如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．
(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．
例7、如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。