导数图像与单调性

内容要求层次重难点导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C 【定理】设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导．（1）如果在(,)a b 内'()0f x >，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加；（2）如果在(,)a b 内'()0f x <，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少．【解读】设函数在某区间内可导，'()0()f x f x ⇒≥在该区间上单调递增；'()0()f x f x ≤⇒在该区间上单调递减．反之，若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有'()0f x ≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有'()0f x ≤恒成立（但不恒等于0）．求可导函数单调区间的一般步骤和方法1)确定函数的()f x 的定义区间；2)求'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；3)把函数()f x 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；4)确定'()f x 在各个区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间内的增减性．一、函数的单调性【例1】（重庆2010理）已知函数1()ln(1)x f x x x a -=+++，其中实数1a ≠-．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极值，试讨论()f x 的单调性．导数的图像与函数单调性【例2】（2010丰台一模）设()323()1312f x x a x ax =-+++．（1）若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围；（2）若函数()f x x a =在处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．【例3】（2010宣武一模）已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R （1）若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；（2）若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；（3）当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围．【例4】（2010东城一模）已知函数ln ()()x a f x a x+=∈R ，（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y --=平行，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间和极值；（3）当1a =，且1x ≥时，证明：()1f x ≤．【例5】（重庆2009理科）设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数()()xe g xf x =，讨论()g x 的单调性．【例6】已知函数2()(2ln ),0f x x a x a x=-+->讨论()f x 的单调性．【例7】（2010石景山一模）已知函数()2ln p f x px x x=--．（1）若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；（3）设函数2()e g x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围．【例8】（2011年东城一模）已知函数32()f x x ax x c =+-+，且2'()3a f =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）设函数x e x x f x g ⋅-=])([)(3，若函数)(x g 在]2,3[-∈x 上单调递增，求实数c 的取值范围．【例9】（2011年怀柔一模）已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）．（Ⅰ）若1,1a b ==-，求)(x f 在1=x 处的切线方程；（Ⅱ）若2a b =--，讨论函数()f x 的单调性．【例10】（辽宁2010理）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a ．如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围．（全国二卷2009）设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()21224In f x ->（课标2010理）设函数2()1x f x e x ax =---．（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．【例11】（江苏2011）已知,a b 是实数，函数3()f x x ax =+，2()g x x bx =+，)(x f '和)(x g '是()f x 和()g x 的导函数．若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致．（1）设0>a ，若)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致，求实数b 的取值范围；（2）设0a <且b a ≠，若)(x f 和)(x g 在以,a b 为端点的开区间上单调性一致，求||a b -的最大值．【例12】（辽宁2009理科）已知函数21().(1)ln ,12f x x a x a x a =-+->（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意()12,0x x ∈+，∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--．【例13】（山东2010理）已知函数1()11()a f x nx ax a R x -=---∈．（Ⅰ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,2]x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围．1.【易错点总结】容易把'()0f x >(或'()0f x <)看成()f x 为增函数（或减函数）的充要条件，从而求错参数的取值范围．利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意'()0f x >(或'()0f x <)仅是()f x 在某个区间上为增函数（或减函数）的充要条件，在(,)a b 内可导的函数()f x 在(,)a b 上递增（或递减）的充要条件应是'()0f x ≥（或'()0,(,)f x x a b ≤∈)恒成立，且'()f x 在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数()f x 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有0'()0,f x =甚至可以在无穷多个点处0'()0,f x =只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间即可．因此，在已知函数()f x 是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0f x ≥（或'()0f x ≤）恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使'()f x 恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去，若'()f x 不恒为0，则由'()0f x ≥（或'()0f x ≤）恒成立解出的参数的取值范围确定．2.分类讨论思想在导数中的应用，利用分类讨论思想解题一般分为四个步骤：1）明确讨论现象，即对哪个参数进行讨论；2）对所讨论的对象进行合理的分类；3）逐次讨论；4）归纳总结．【导函数二次函数型讨论步骤】1）讨论二次函数的二次项系数a ，分为0,0,0a a a =><三种情况；2）讨论 值，分为0,0,0=<> 三种情况，一般情况下0,0=< 是可以合并的，原函数都是单调的；3）在0 ≥的情况下讨论两根12,x x ，分为1212,x x x x ><两种情况；4）讨论两根与定义域范围，分为在定义域内和在定义域外两种情况．【习题1】（安徽2008理）设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知12ax x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围．【习题2】（广东2008理）设k ∈R，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．【习题3】（江苏2010理）设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f ．如果存在实数a和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P ．(1)设函数)(x f )1(12)(>+++=x x b x h ，其中b 为实数①求证：函数)(x f 具有性质)(b P ②求函数)(x f 的单调区间(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围．。