高一数学(三角函数的诱导公式 2)
高中数学三角函数的诱导公式(2) 例题解析
三角函数的诱导公式（2） 例题解析一、重点、难点剖析公式五的推导也体现了对称思想。
正确运用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并能解决有关三角函数求值、化简和恒等证明问题，初步掌握从未知到已知、复杂到简单的转化过程。
二、典型例题例1、若α是第二象限角，且54)540sin(0-=+α，求)180tan()]360cos()180[sin(0200ααα+-+- 的值． 解： 34tan ,53cos ,54sin ,54)540sin(0-=-==∴-=+ααααΘ， ()100334251tan cos sin )180tan()]360cos()180[sin(20200-=-=+=+-+-∴αααααα。
说明：熟练掌握诱导公式及同角三角函数间的关系式．例2、求证ααααα3tan )360sin()540sin(1)180cos()cos(1=-︒+-︒+︒+- 证明：左边＝ααααααααsin sin 1cos cos 1sin )180sin(1cos cos 1--=--︒- ＝αααααααα2222cos cos sin sin sin sin 1cos cos 1=--＝tan 3α＝右边，所以，原式成立． 说明：例2是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性．尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左边三角式的化简．例3、已知)32tan()0()3cos(326αππαπαπ-≠=+<<，求，m m 的值． 解：因为）（332παπαπ+-=-， 所以：)]3(cos[)32cos(παπαπ+-=-=)3cos(πα+-＝－m 由于，326παπ<<所以，2320παπ<-< 于是：)32(cos 1)32sin(2απαπ--=-=21m -，所以：tan()32cos()32sin()32(απαπαπ--=-=m m 21-- 说明：通过观察，获得角3πα+与角απ-32之间的关系式απ-32=π-（3πα+），为顺利利用诱导公式求cos(απ-32)的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于观察并充分挖掘隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，它对于培养我们的思维能力、创新意识，训练素质有着很好的作用．例4、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。
三角函数的诱导公式知识点
三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式知识点数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
下面是店铺整理的三角函数的诱导公式知识点，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
三角函数的诱导公式诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
高二数学三角函数的诱导公式2
讲授新课
思考下列问题三： 对于任意角 ，sin与 sin(
2
)
的关系如何呢？
讲授新课
5. 诱导公式 (六)
sin(
2
) cos
cos( ) sin 2
讲授新课
6. 诱导公式(六)的结构特征
① 函数正变余，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 实现三角函数正弦与余弦间的转化.
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
讲授新课
思考下列问题一：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？ [P' (x,－y)]
1. 熟记诱导公式五、六； 2. 公式一至四记忆口诀：函数名不变，
正负看象限；
3. 运用诱导公式可以将任意角三角函数
转化为锐角三角函数．
课后作业
1. 阅读教材P.23-P.27；
三角函数的诱导公式(2)
利用诱导公式进行化简， 主要是进行角的转化， 最终
给定一个角 ，终边与角 的终边关于直线 y x 对 称的角与角 有什么关系？它们的三角函数之间又有 什么关系？能否说明？
sin(
2
) cos
2
O
公式 五
如何求 的三角函数值？ 2
2
)]
( cos )sin( )[ sin( )]sin[4 ( sin cos [ cos( )] 2
2
2
)]
( cos )sin [( sin )]sin(
sin tan . cos
sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα
诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 概括如下： 2k k Z , , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面
加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
口诀: “函数名不变，符号看象限”．
例2
sin α＋3πcosα＋π 化简： . 3 tanα＋πcos －α－π
2 2
2
sin α· －cos α －sin α· cos α 解 原式＝ ＝ 3 3 tan α· cos α＋π －tan α· cos α sin2α· cos α sin2αcos α sin α ＝ sin α ＝sin αcos2α＝cos α＝tan α. 3 · cos α cos α
cos( ) sin 2
cos( ) sin 2
高中数学三角函数的诱导公式(2) 例题解析
三角函数的诱导公式（2） 例题解析一、重点、难点剖析公式五的推导也体现了对称思想。
正确运用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并能解决有关三角函数求值、化简和恒等证明问题，初步掌握从未知到已知、复杂到简单的转化过程。
二、典型例题例1、若α是第二象限角，且54)540sin(0-=+α，求)180tan()]360cos()180[sin(0200ααα+-+- 的值． 解： 34tan ,53cos ,54sin ,54)540sin(0-=-==∴-=+ααααΘ， ()100334251tan cos sin )180tan()]360cos()180[sin(20200-=-=+=+-+-∴αααααα。
说明：熟练掌握诱导公式及同角三角函数间的关系式．例2、求证ααααα3tan )360sin()540sin(1)180cos()cos(1=-︒+-︒+︒+- 证明：左边＝ααααααααsin sin 1cos cos 1sin )180sin(1cos cos 1--=--︒- ＝αααααααα2222cos cos sin sin sin sin 1cos cos 1=--＝tan 3α＝右边，所以，原式成立． 说明：例2是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性．尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左边三角式的化简．例3、已知)32tan()0()3cos(326αππαπαπ-≠=+<<，求，m m 的值． 解：因为）（332παπαπ+-=-， 所以：)]3(cos[)32cos(παπαπ+-=-=)3cos(πα+-＝－m 由于，326παπ<<所以，2320παπ<-< 于是：)32(cos 1)32sin(2απαπ--=-=21m -，所以：tan()32cos()32sin()32(απαπαπ--=-=m m 21-- 说明：通过观察，获得角3πα+与角απ-32之间的关系式απ-32=π-（3πα+），为顺利利用诱导公式求cos(απ-32)的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于观察并充分挖掘隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，它对于培养我们的思维能力、创新意识，训练素质有着很好的作用．例4、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。
高中数学三角函数诱导公式
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα（以上k∈Z）注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α（k∈Z）的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
第一章 1.3(二) 三角函数的诱导公式(二)
§1.3 三角函数的诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题. 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．知识点一 诱导公式五 诱导公式五知识点二 诱导公式六 诱导公式六知识点三 诱导公式的推广与规律1．sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α. 2．诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．1．诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( × ) 提示 诱导公式五、六中的角α是任意角．2．诱导公式五、六与诱导公式一～四的主要区别在于函数名称要改变．( √ ) 提示 由诱导公式一～六可知其正确． 3．sin ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝±cos α.( × )提示 当k ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝sin(π－α)＝sin α.4．口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．( × ) 提示 应看原三角函数值的符号.题型一 利用诱导公式求值例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 反思感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．跟踪训练1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值等于( ) A.23 B ．－23 C.53 D ．±53 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 A解析 因为⎝⎛⎭⎫α＋π4＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23. 题型二 利用诱导公式证明三角恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明证明 ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α ＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．反思感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)整合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．跟踪训练2 证明：sin (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αcos (π－α)tan (α－3π)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫7π6－2α＝－cos α. 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明证明 因为左边＝sin (－α)cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α(－cos α)tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝sin αcos αcos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αsin αcos αcos α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos α＝右边，所以等式成立．诱导公式的综合应用典例 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简与求值 解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.[素养评析] (1)解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．(2)掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果，通过运算促进数学思维的发展，提升数学运算的数学核心素养.1．已知sin α＝513，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α等于( ) A.513 B.1213 C ．－513 D ．－1213 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－513. 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α等于( ) A ．－13 B.13 C.233 D ．－233考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 B解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13. 3．(2018·泰安高一检测)若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 A4．(2018·江西赣州联考)设tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－1 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 答案 B 解析sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝－tan α－11－tan α＝－3－11－3＝2.5．求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ).考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、证明 证明 右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边， 所以原等式成立．1．诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成⎝⎛⎭⎫0，π2内的三角函数值”这种方式求解． 用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：一、选择题1．已知cos α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2等于( ) A.14 B ．－14 C.154 D ．－154 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝14. 2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A.15B ．－15C ．－265D.265.考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 答案 B解析 cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的结果是( ) A ．1 B ．sin 2α C ．－cos 2α D ．－1 考点 异名诱导公式的综合 题点 异名诱导公式的综合应用 答案 C解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α， cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α， tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α， 所以原式＝cos α(－sin α)cos αsin α＝－cos 2α，故选C.4．已知sin(π＋α)＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫α－32π的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－22考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 A解析 由sin(π＋α)＝12，得sin α＝－12，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α＝12. 故选A.5．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α等于( ) A.355B.377C.31010D.13考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又α为锐角，sin 2α＋cos 2α＝1， 可得sin α＝31010.6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cosA ＋C2＝sin B D ．sinB ＋C 2＝cos A2考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明 答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 项正确． 7．计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°等于( ) A ．89 B ．90 C.892D ．45考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 C解析 ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，…，∴sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝44＋12＝892.二、填空题8．(2018·锦州高一检测)已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝ . 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 －223解析 因为－π<α<－π2，所以－7π12<5π12＋α<－π12.又cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13>0. 所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 由⎝⎛⎭⎫π12－α＋⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 9．(2018·吉林长春外国语学校)化简sin (－x )cos (π－x )sin (π＋x )cos (2π－x )－sin (π－x )cos (π＋x )cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos (－x )＝ .考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简 答案 0 解析sin (－x )cos (π－x )sin (π＋x )cos (2π－x )－sin (π－x )cos (π＋x )cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos (－x )＝(－sin x )(－cos x )(－sin x )cos x －sin x (－cos x )sin x cos x＝－1＋1＝0.10．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝ . 考点 题点答案 1解析 原式＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin (45°－θ)cos (45°－θ)＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]cos[90°－(45°＋θ)]＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)cos (45°＋θ)sin (45°＋θ)＝1.11．给出下列三个结论，其中正确结论的序号是 ． ①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角； ②若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13；③若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－1tan α. 考点 综合应用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明 答案 ③解析 由诱导公式二，知α∈R 时，sin(π＋α)＝－sin α，所以①错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos [(2k ＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以②错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α－sin α＝－1tan α，所以③正确．三、解答题12．(2018·银川高一检测)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35， 求⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫α＋32π·sin ⎝⎛⎭⎫32π－α·tan 2()2π－α·tan ()π－α÷⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值． 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 解 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35， 所以cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝(－cos α)(－cos α)tan 2α(－tan α)sin α(－sin α)＝tan α＝±34. 13．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 考点 综合运用诱导公式化简与求值题点 综合运用诱导公式求值解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α，∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.14．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)等于() A ．2 B ．－2 C ．0 D.23考点题点答案 B15．(2018·湖北孝感八校联考)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－sin (－α)的值． 考点 综合运用诱导公式化简与求值题点 综合运用诱导公式化简、求值解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α，且cos α≠0.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.。
高中数学三角函数诱导公式
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα（以上k∈Z）注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α（k∈Z）的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3p 3p sin( - a ), cos( - a ), 2 2 3p 3π sin( + a ), cos( +α) 2 2
公式五： 公式五：
sin (
π
2
−α) = cosα −α) = sin α
cos(
π
2
sin(
π
2
+α) = cosα +α) = −sin α
公式六： 公式六：
cos(
π
2
形成结论
kπ 所有诱导公式可统一为 ±α(k ∈Z) 2 的三角函数与α的三角函数之间的关系 的三角函数之间的关系. 的三角函数与 的三角函数之间的关系
它们之间的关系归纳为： 它们之间的关系归纳为：
奇变偶不变，符号看象限. 奇变偶不变，符号看象限.
典例讲解
化简： 例1 化简：
11 π sin(2π -α)cos(π +α)cos( +α)cos( -α) 2 2 9π cos(π -α)sin(3π -α)sin(- π -α)sin( +α) 2
y
π
2 −α 的终边
π
y=x
α的终边
O
x
y
π
2
−α 的终边
(y， P2(y，x) α的终边
O
P1(x ，y) x
），则关 设角α的终边上有一点P1（x，y），则关 π 于直线y=x y=x对称的角 的终边上的点P 于直线y=x对称的角 −α 的终边上的点P2的 2 坐标如何？ 坐标如何？
形成结论
2
cos(180 +α) ⋅ sin(α + 360 ) 2. o o sin(-α-180 ) ⋅ cos(-180 -α)
o o
cos190 ⋅ sin(−210 ) 3. o o cos(-350 ) ⋅ tan585
o o
1.3
三角函数的诱导公式
异名三角函数的诱导公式
知识探究
若α为一个任意给定的角，那么 2 −α 为一个任意给定的角， 的终边与角α的终边有什么对称关系？ 的终边与角α的终边有什么对称关系？
sin(
公式五： 公式五：
π
2
−α) = 知识探究
探究1 有什么内在联系？ 探究1： +α 与 −α 有什么内在联系？ 2 2 π π +α = π − ( −α)
2 2
π
π
探究2：根据相关诱导公式推导， sin( +α)， 2 π cos( +α)分别等于什么？
高一数学必修4 高一数学必修4第一章
同名三角函数的诱导公式
知识回顾
公式一： 公式一： sin(α + 2kπ ) = sinα
cos(α + 2kπ ) = cosα
tan(α + 2kπ ) = tanα
k ∈Z
sin( π +α) = −sin α 公式二： 公式二： cos(π +α) = −cosα tan(π +α) = tanα
π
典例讲解
例2 已知
的值. 的值.
2 cos( −α) = 6 3
π
，求
2π sin (α − ) 3
2 变式： 变式：已知 cos( −α) = 6 3
π
的值. 的值.
5π ，求 cos(α + ) 6
思维拓展
3 例 已知：f (cos x) = cos(17x), 求证：f (sin x) = sin(17x).
公式三： 公式三：
sin(−α) = −sinα cos(−α) = cosα tan(−α) = − tanα
sin(π −α) = sinα 公式四： 公式四： cos(π −α) = −cosα tan(π −α) = − tanα
计算： 计算：
sin(π − α ) cos(π + α ) 1.sin (4π + α ) − 0 tan(360 + α )
思维拓展
nπ 例 已 ： (n) = sin 4 知 f , n ∈Z. 4 (1 求 ： ) 证 f (1) + f (2) +⋅⋅⋅+ f (8) = f (9) + f (10) +⋅⋅⋅+ f (16); (2) f (1) + f (2) +⋅⋅⋅+ f (2009).
课堂小结
1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数 1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数 之间的相互关系，并具有一定的规律性， 之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变 偶不变，符号看象限” 偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效 方法. 方法. 2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α 2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可 诱导公式是三角变换的基本公式 以是一个单角，也可以是一个复角， 以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注 意整体把握、灵活变通. 意整体把握、灵活变通.
布置作业
1.P29 A组3、4 组 、 B组1、2； 组 、 ； 2.学海第 课时。 学海第7课时 学海第 课时。
2
π
形成结论
公式六： 公式六：
sin(
π
2
+α) = cosα
cos( +α) = −sin α 2
π
形成结论
探究3 探究3：tan(
π
2
+α) 与 tanα有什么关系？ 有什么关系？
tan( + α ) = − cot α 2
π
思考题
根据相关诱导公式推导， 根据相关诱导公式推导，
分别等于什么？ 分别等于什么？