高中数学复习：概率与统计

《概率与统计》测试及答案(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测.若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为( )附：第1行至第2行的随机数表34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 0784 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 3812 23 43 56 77 35 78 90 56 42A.25B.23C.12D.07解析从随机数表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次两位两位地读取，依次抽取的零件编号分别为07，04，08，23，12，因此抽取的第5个零件编号为12.故选C.答案 C2.某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量(m3)，其频率分布表和频率分布直方图如下，则图中t的值为( )[4，4.5]20.02合计100 1.00A.0.15B.0.075C.0.3D.15解析由表格数据可得t＝15÷100÷0.5＝0.3.故选C.答案 C3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从这五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为( )A.15B.14C.13D.12解析从金、木、水、火、土五类元素中任取两类，共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，10种结果，其中两类元素相生的有木火、火土、水木、金水、土金，共5种结果，所以两类元素相生的概率为510＝12.故选D.答案 D4.山东烟台的苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台的苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在(75，90]内的概率为( )[附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4]A.0.682 6B.0.841 3C.0.818 5D.0.954 4解析 由题意，知μ＝80，σ＝5，则P (75<X ≤85)＝0.682 6，P (70<X ≤90)＝0.954 4，∴P (85<X ≤90)＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，∴P (75<X ≤90)＝0.682 6＋0.135 9＝0.8185.故直径在(75，90]内的概率为0.818 5.故选C. 答案 C5.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34B.23C.57D.512解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝512，故选D.答案 D6.已知随机变量ξ的分布列如下：则D (ξ)的最大值为( ) A.14B.12C.1D.不是定值解析 由题意得b －a ＋b ＋a ＝1，解得b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫0<a <12，则E (ξ2)＝12＋4a ，[E (ξ)]2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2a 2＝14＋2a ＋4a 2，则D (ξ)＝E (ξ2)－[E (ξ)]2＝－4a 2＋2a ＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫0<a <12，则当a ＝14时，D (ξ)的最大值为12，故选B.答案 B7.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的钉子，钉子之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层钉子碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为( )A.332B.1564C.532D.516解析 由题意知小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，所以p 左＝p 右＝12.若小球最终落入③号球槽，则小球经历了5次选择，其中向左下落3次，向右下落2次，所以小球最终落入③号球槽的概率p ＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝516.故选D.答案 D8.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁四人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为( )A.13B.712C.512 D.12解析 依题意，所有的扮演情况有A 44＝24种，其中甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况有A 33＋2A 22A 22＝14种，故所求概率p ＝1424＝712.故选B.答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设同时抛掷两个质地均匀且四个面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件A ＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B ＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C ＝{两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数}.则下列说法正确的有( ) A.P (A )＝P (B )＝P (C ) B.P (AB )＝P (AC )＝P (BC ) C.P (ABC )＝18D.P (A )P (B )P (C )＝18解析 由题意可知P (A )＝12，P (B )＝12，P (C )＝84×4＝12，故A ，D 正确；P (AB )＝2×24×4＝14，P (AC )＝2×24×4＝14，P (BC )＝2×24×4＝14，故B 正确；因为互斥事件不可能同时发生，所以P (ABC )＝0，故C 错误.故选ABD. 答案 ABD10.在统计中，由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么下面说法正确的是( )A.直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个B.直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x －，y －)C.直线y ^＝b ^x ＋a ^表示接近y 与x 之间真实关系的一条直线D.|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大；|r |越接近于0，相关程度越小解析 回归直线y ^＝b ^x ＋a ^是由许多样本点拟合而成的，它可以不经过任何样本点，故A 错误；回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心，即点(x －，y －)，故B 正确；回归直线的方程y ^＝b ^x ＋a ^是采用最小二乘法求出的直线方程，接近真实关系，故C 正确；相关系数r 的绝对值越接近于1，相关程度越大，越接近于0，相关程度越小，故D 正确.选BCD. 答案 BCD11.小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表：下列说法正确的是( )A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D.若小张上下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04解析 “所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A 错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分)，所以线路一比线路二更节省时间，B 正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路二，C 错误；若上下班走不同线路，且所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二所需时间可以为(50，60)，(60，50)，(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D 正确.故选BD. 答案 BD12.如图的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是( )A.1月31日陕西省累计确诊病例中西安市占比超过了13B.1月25日至2月12日陕西省及西安市累计确诊病例都呈递增趋势C.2月2日后到2月10日陕西省累计确诊病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率 解析 1月31日陕西省累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为3287>13，故A 正确.由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确.2月2日后到2月10日陕西省累计确诊病例增加了213－116＝97(例)，故C 正确.2月8日到2月10日西安市累计确诊病例增长率98－8888＝544，2月6日到2月8日西安市累计确诊病例增长率88－7474＝737，显然737>544，故D 错误.故选ABC.答案 ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某市A 社区36岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人.为了解该社区36岁到65岁居民的身体健康状况，社会负责人采用分层抽样的方法抽取若干人进行体检调查.若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，则这次抽样调查抽取的人数是________.解析 抽取比例为750÷50＝15，则抽取总人数为(450＋750＋900)÷15＝2 100÷15＝140. 答案 14014.下表是某工厂1～4月份的用水量(单位：百吨).月份x 1 2 3 4 用水量y5.543.53由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程为y ^＝－0.4x ＋b ，则b ＝________.解析 根据表中数据得x －＝14×(1＋2＋3＋4)＝2.5，y －＝14×(5.5＋4＋3.5＋3)＝4，点(x －，y －)在直线y ＝－0.4x ＋b 上，代入得4＝－0.4×2.5＋b ，解得b ＝5. 答案 515.已知某同学投篮投中的概率为23，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中2次的概率为________；记X 为该同学在这3次投篮中投中的次数，则随机变量X 的数学期望为______.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 由题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以恰好投中2次的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49，E (X )＝3×23＝2. 答案 49216.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为________.解析 观察八卦图可知，含三根阴线的共有一卦，含有三根阳线的共有一卦，含有两根阴线一根阳线的共有三卦，含有一根阴线两根阳线的共有三卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰好有两根阳线，四根阴线的概率为C 13C 11＋C 23C 28＝314. 答案314四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品，B 级品，C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解 (1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为40100＝0.4；乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为28100＝0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润 65 25 －5 －75 频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 65×40＋25×20－5×20－75×20100＝15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润 70 30 0 －70 频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 70×28＋30×17＋0×34－70×21100＝10.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.18.(本小题满分12分)下面给出了根据我国2012～2018年水果人均占有量y (单位：kg)和年份代码x 绘制的散点图和线性回归方程的残差图.(2012～2018年的年份代码x 分别为1～7)(1)根据散点图分析y 与x 之间的相关关系；(2)根据散点图相应数据计算得∑7i ＝1y i ＝1 074，∑7i ＝1x i y i ＝4 517，求y 关于x 的线性回归方程； (3)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.(精确到0.01)附：回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2＝∑n i ＝1x i y i －nx － y－∑ni ＝1x 2i －nx－2，a ^＝y －－b ^x －.解 (1)从散点图可以看出，这些点的分布整体上在一条直线附近，且当x 由小变大时，y 也由小变大，所以y 与x 之间具有线性相关关系，且是正相关.(2)由题意可知，x －＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋77＝4，y －＝17∑7i ＝1y i ＝1 0747， ∑7i ＝1x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140， ∴b ^＝∑7i ＝1x i y i －7x － y －∑7i ＝1x 2i －7x －2＝4 517－7×4×1 0747140－7×42＝22128≈7.89， ∴a ^＝y －－b ^x －＝1 0747－22128×4≈121.86，∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝7.89x ＋121.86.(3)由残差图可以看出，图中各点比较均匀地分布在数值0所在直线附近，带状区域很窄，说明对应的回归直线拟合效果较好.19.(本小题满分12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），解 (1)由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 1100(100×20＋300×35＋500×45)＝350. (3)根据所给数据，可得2×2列联表：根据列联表得K 2的观测值k ＝100×（33×8－22×37）255×45×70×30≈5.820.由于5.820>3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.20.(本小题满分12分)在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲、乙两队进行排球比赛：(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率；(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局比赛.在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了x (x ≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x 的取值及相应的概率P (x ).解 (1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第4局赢或第4局输第5局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为12＋12×12＝34.(2)在决胜局(第5局)中，因为甲、乙两队各得14分，两队打了x (x ≤4)个球后，若甲赢得比赛，则有两种情况：①x ＝2，即甲发球且甲赢，甲得1分，甲再发球且甲赢，甲又得1分，结束比赛，概率为25×25＝425，所以两队打了2个球后甲赢得整场比赛的概率为425. ②x ＝4，即甲发球且甲赢，甲得1分，甲再发球且甲输，乙得1分，乙发球甲赢，甲得1分，甲发球且甲赢，甲又得1分，结束比赛，概率为25×35×35×25＝36625；或甲发球且甲输，乙得1分，乙发球甲赢，甲得1分，甲发球且甲赢，甲得1分，甲再发球且甲赢，甲又得1分，结束比赛，概率为35×35×25×25＝36625.所以两队打了4个球后甲赢得整场比赛的概率为36625＋36625＝72625.21.(本小题满分12分)推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取 1 000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制成频数分布表，如下：(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率； (2)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同n (n ∈N *)名男性调查员一起组成3个环保宣传队.若从这(n ＋10)人中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数ξ的期望不小于2，求n 的最小值. 解 (1)由题表，得问卷得分不低于60分的频率为130＋110＋110＋100＋60＋40＋30＋201 000＝0.6，故从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其得分不低于60分的概率为0.6. (2)由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女生4人. 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，其中P (ξ＝0)＝C 0n ＋6C 34C 3n ＋10，P (ξ＝1)＝C 1n ＋6C 24C 3n ＋10，P (ξ＝2)＝C 2n ＋6C 14C 3n ＋10，P (ξ＝3)＝C 3n ＋6C 04C 3n ＋10，所以随机变量ξ的分布列为因为E (ξ)＝C n ＋6C 4C 3n ＋10×0＋C n ＋6C 4C 3n ＋10×1＋C n ＋6C 4C 3n ＋10×2＋C n ＋6C 4C 3n ＋10×3≥2，所以C 1n ＋6C 24×1＋C 2n ＋6C 14×2＋C 3n ＋6C 04×3≥2C 3n ＋10. 由此可得，6(n ＋6)＋4(n ＋6)(n ＋5)＋12(n ＋6)(n ＋5)(n ＋4)≥13(n ＋10)(n ＋9)(n ＋8)， 即3(n ＋6)(n 2＋17n ＋72)≥2(n ＋10)(n ＋9)(n ＋8)， 即3(n ＋6)≥2(n ＋10)， 解得n ≥2.所以n 的最小值为2.22.(本小题满分12分)水污染现状与工业废水排放密切相关.某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水(A 级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p (0<p <1).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进入B 系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时， 既可以逐个化验，又可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放. 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验.若化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若p ＝223，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率；(2)①若p ＝223，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”？②若“方案三”比“方案四”更“优”，求p 的取值范围. 解 (1)因为该混合样本达标的概率是⎝⎛⎭⎪⎫2232＝89， 所以根据对立事件可知，混合样本化验结果不达标的概率为1－89＝19.(2)①方案一：逐个化验，化验次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本化验时，若达标则化验次数为1，概率为89；若不达标则化验次数为3，概率为19.故将方案二的化验次数记为ξ2，ξ2的所有可能取值为2，4，6.P (ξ2＝2)＝89×89＝6481，P (ξ2＝4)＝C 12×89×19＝1681，P (ξ2＝6)＝19×19＝181，其分布列如下：所以方案二的期望E (ξ2)＝2×6481＋4×1681＋6×181＝19881＝229.方案四：混在一起化验，记化验次数为ξ4，P (ξ4＝1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2234＝6481，P (ξ4＝5)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2234＝1781，ξ4的所有可能取值为1，5.其分布列如下： 所以方案四的期望E (ξ4)＝1×6481＋5×1781＝14981.比较可得E (ξ4)<E (ξ2)<4，故方案四最“优”.②方案三：设化验次数为η3，η3的所有可能取值为2，5. 其分布列如下：E (η3)＝2p 3＋5(1－p 3)＝5－3p 3.方案四：设化验次数为η4，η4的所有可能取值为1，5， 其分布列如下：E (η4)＝p 4＋5(1－p 4)＝5－4p 4.由题意得E (η3)<E (η4)，所以5－3p 3<5－4p 4， 所以p <34.故所求p 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34.。