10年数学中考图形变换

图形变换（10湖州）24．（本小题12分）如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）连结EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值．（10金华）24如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，3.动点P 从A点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1 2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线 AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动．请解答下列问题：（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合；（3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为菱形，则t 的值是多少？② 当t ﹦2时，是否存在着点QQ 的坐标；若不存在，请说明理由．（10台州）23．如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB =∠F =90°，∠A =∠E =30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转， DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ．（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF =0° 或60°时，AM +CK _______MK (填“>”，“<”或“=”)．②如图4，当∠CDF =30° 时，AM +CK ___MK (只填“>”或“<”)．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM +CK _______MK ，证明你所得到的结论． （3）如果222AMCKMK =+，请直接写出∠CDF 的度数和AMMK 的值．……………………………2分（10温州）24．(本题l4分)如图，在RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BBl ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒． (1)当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度； (2)当△DEG 与△AC B 相似时，求t 的值；(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′． ①当t>53时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；②当线段A ′C ′与射线BB ，有公共点时，求t 的取值范围(写出答案即可)．图1图2图3（第23题）EEE图4A（10义乌）23．如图1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP =BA 时，∠EBF = ▲ °，猜想∠QFC = ▲ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB =32，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．（10义乌）24．如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）．用含S 的代数式表示2x －1x ，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 坐标为（1，3），动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1图2AE QP F C 图1ACB E QF P 图2（10衢州）24. (本题12分)△ABC 中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点B在第一象限，纵坐标是2时，求点B 的横坐标； (2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：①当4a =，12b =-，5c =时，A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；② 设b=-2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．（10衢州）20. (本题8分)如图，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，且与半径OC 垂直， 垂足为H ，已知AB=16厘米，4cos 5OBH ∠=．(1) 求⊙O 的半径； (2) 如果要将直线l 向下平移到与⊙O 相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．得 分 评卷人ABO H Cl得 分 评卷人（10年宁波）（10金华） (本题12分)解：（1）333+-=x y ；………4分 （2）（0,3），29=t ；……4分（各2分）（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒又∵tFG OE 33==,∠=A 60°,∴FG AG60tan 0==而t AP =，∴t OP -=3,tAG AP PG 32=-=由t t 323=-得 59=t ； (1)分当点P 在线段OB 当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M ∵tOE 33=,∴tBE 3333-=,∴360tan 0BE EF ==∴6921t EF EH MP -===， 又∵)6(2-=t BP在Rt △BMP 中，MP BP =⋅060cos 即6921)6(2t t -=⋅-，解得745=t ． (1)分②存在﹒理由如下：∵2=t ，∴332=OE ,2=AP ，1=OP将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△EC B '（如图3）∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上，C 点坐标为（332，332－1）过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q ,则△FEQ ∽△EC B ' 由3=='=QECE FEE B FEBE ，可得Q 的坐标为（－32，33） (1)分(图1)(图3)根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－32，3）也符合条件． (1)10台州23．（12分）（1）① = ………………………………………………………………………2分② ＞ …………………………………………………………………………………2分 （2）＞………………………………………………………………………………………2分 证明：作点C 关于FD 的对称点G ， 连接GK ，GM ，GD ，则CD =GD ，GK = CK ，∠GDK =∠CDK ， ∵D 是AB 的中点，∴AD =CD =GD ． ∵=∠A 30°，∴∠CDA =120°，∵∠EDF =60°，∴∠GDM +∠GDK =60°，∠ADM +∠CDK =60°．∴∠ADM =∠GDM ，………………………………………………………………………3分 ∵DM =DM ，∴△ADM ≌△GDM ，∴GM =AM ．∵GM +GK ＞MK ，∴AM +CK ＞MK ．……………………………………………………1分（3）∠CDF =15°，23=AMMK．……………………………（10义乌）23．解: （1）=∠EBF 30°...............................1分 Q F C ∠= 60°..................................2分 （2）QFC ∠=60°.....................................1分不妨设BPB , 如图1所示∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP∴∠BAP=∠EAQ ..........................................2分在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE ，∠BAP=∠EAQ ， AP=AQ ∴△ABP ≌△AEQ （SAS ）.........................3分 ∴∠AEQ=∠ABP=90°...............................4分∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∴QFC ∠=EBF BEF ∠+∠=3030︒+︒=60°…………………………............5分(事实上当BP B 时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3)在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G∵△ABE 是等边三角形 ∴BE=AB=32，由（1）得=∠EBF 30° 在Rt △BGF 中，2B E B G ==∴BF=2cos 30B G =︒∴EF =2 (1)分∵△ABP ≌△AEQ ∴QE=BP=x ∴QF =QE ＋图2A BEQ P F GHEF 2x =+................2分过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H在Rt △QHF中，sin 602)2y Q H Q F x ==︒=+ （x ＞0）即y 关于x的函数关系式是：2y x =+分（10义乌）24．解：（1）对称轴：直线1x =……………………………………………………..… 1分解析式：21184y x x =-或211(1)88y x =-- (2)分顶点坐标：M （1，18-） (3)分（2）由题意得 213y y -=2221221111118484y y x x x x -=--+=3……………………………………..1分得：212111()[()]384x x x x -+-=① (2)分12122(11)3()62x x s x x -+-⨯3==+-得：1223s x x +=+ ② (3)分把②代入①并整理得：2172x x s-=(S ＞0) (事实上，更确切为S ＞66)4分当36s =时，2121142x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得：1268x x =⎧⎨=⎩(注：S ＞0或S ＞66不写不扣分) 把16x =代入抛物线解析式得13y = ∴点A 1（6，3） (5)分（3）存在 (1)分解法一：易知直线AB 的解析式为3342y x =-，可得直线AB 与对称轴的交点E 的坐标为31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭∴BD =5，DE =154，DP =5－t ，DQ = t当PQ ∥A B 时，D Q D P D ED B=51554t t -=得 157t =………2分下面分两种情况讨论: 设直线PQ 与直线AB 、x 轴的交点分别为点F 、G ①当0<157t <时，如图1-1 ∵△FQE ∽△FAG ∴∠FGA ＝∠FEQ∴∠DPQ ＝∠DEB 易得△DPQ ∽△DEB ∴D Q D P D BD E=∴51554t t -= 得201577t =>∴207t =(舍去)…………………………3分② 当157<18t <3时，如图1-2∵△FQE ∽△FAG ∴∠FAG ＝∠FQE∵∠DQP ＝∠FQE ∠F AG ＝∠EBD∴∠DQP ＝∠DBE 易得△DPQ ∽△DEB∴D Q D P D BD E=∴51554t t -=， ∴207t =∴当207t =秒时，使直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分(注:未求出157t =能得到正确答案不扣分)解法二：可将284xx y =-向左平移一个单位得到2188xy =-,再用解法一类似的方法可求得2172x x S''-= , 1(5,3)A ', 207t =∴2172x x S-=1(6,3)A , 207t =.图1-1（10温州）（10衢州）24. (本题12分)解：(1)∵点O是AB的中点，∴12OB AB==……1分设点B的横坐标是x(x>0)，则2222x+=，……1分解得12x=，22x=-(舍去)．∴点B的横坐标是2．……2分(2)①当4a=，12b=-，5c=时，得21425y x=--……(＊)24520y x=--．……1分以下分两种情况讨论．情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为5，tan3013O C O B=⨯︒==．……1分由此，可求得点C的坐标为(5，5)，……1分点A的坐标为(5，5)，∵A，B两点关于原点对称，∴点B的坐标为(5，5)．将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得5，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得5，即等于点B的纵坐标．∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．……2分(甲)情况2：设点C 在第四象限(如图乙)，则点C 的坐标为(5，-5)，点A 的坐标为(5，5)，点B 的坐标为(5，5-)． 经计算，A ，B 两点都不在这条抛物线上．……1分(情况2另解：经判断，如果A ，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A ，B 两点不可能都在这条抛物线上) ② 存在．m 的值是1或-1． ……2分(22()y a x m am c=--+，因为这条抛物线的对称轴经过点C ，所以-1≤m ≤1．当m=±1时，点C 在x 轴上，此时A ，B 两点都在y 轴上．因此当m=±1时，A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上) （10年宁波）。