直线与平面、平面与平面
直线与平面、平面与平面
日常生活中的应用
家具制作
家具的外观和结构都离不开直线和平面的应用，如床架、桌面的平 面度和垂直度等，都需要通过精确的直线和平面关系来保证。
包装设计
包装设计中也广泛应用了直线和平面的知识，如纸盒的折痕、瓶盖 的平面等，都涉及到直线和平面的关系。
交通工具
无论是汽车、火车还是地铁，它们的外观和内部结构都离不开直线和 平面的应用，以保证乘客的安全和舒适。
感谢观看
工程设计中的应用
机械零件设计
在机械零件设计中，直线和平面是构成零件形状和尺寸的 基础要素，通过精确的直线和平面关系，保证机械零件的 互换性和精度。
船舶制造
船舶制造中需要大量应用直线和平面的知识，如船体的线 型、甲板和船舱的平面等，以确保船舶的航行性能和安全 性。
航空航天设计
在航空航天设计中，直线和平面的应用尤为关键，如飞机 和火箭的整体结构、机翼和平尾的平面形状等，都涉及到 精确的直线和平面关系。
性质
垂直的平面具有不同的方向和相同的距离。
应用
在建筑、工程和几何学中，垂直平面常常被用来描述物体的形状 和结构。
平面与平面相交
定义
两个平面有且仅有一个公共点。
性质
相交的平面具有不同的方向和不同的距离。
应用
在几何学中，相交的平面常常被用来描述物体的形状和结构。
03
直线与平面的应用
建筑学中的应用
1 2 3
应用
03
在几何学中，相交关系是研究直线和平面位置关系的重要一环。
02
平面与平面的关系
平面与平面平行ຫໍສະໝຸດ 定义两个平面没有公共点，且在同一个平面上。
性质
平行的平面具有相同的方向和相同的距离。
工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行
直线与平面、平面与平面平行的判定
D M
N
MN ∥ CE
B
E
所以(suǒyǐ)： MN ∥ C 面BCE
第二十页，共36页。
1．证明直线(zhíxiàn)与平面平行的方法：
（1）利用(lìyòng)定直义线；与平面没有公共点
（2）利用(lìyòng)判定定
理． 线线平行
线面平行
2、证明平面与平面平行的方法：
①定义
20.若 a b=P 时 ， β 与 α 平 则行 吗
b
Pa
第二十五页，共36页。
两个平面(píngmià n)平行的判定 定理:
一个平面内两条相交(xiāngjiāo)直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行．
符号语言：
P
a
b ab
P
//
a //
b //
第二十六页，共36页。
第二页，共36页。
怎样判定直线(zhíxiàn)与平面平行呢？ 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与 平面有没有公共点．但是，直线无限延长(yáncháng)， 平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？
a
第三页，共36页。
实例(shílì)感 受在生活中，注意到门扇的两边是平行的．当门扇绕着
（1）已知平面 , 和直线m , n ，
若 m ,n ,m / /,n / / ，则 // 错误
（2）一个平面 内 两条不平行(píngxíng)的直线都平行
(píngxíng )于另一平//面 ，则
正确
b
a
m n
P
第三十二页，共36页。
定理(dìnglǐ)的理解:
2、平面和平面平行的条件可以(kěyǐ)是D（,F,G ）
直线与平面、平面与平面之间的位置关系
2．直线 a 在平面 γ 外，则( A．a∥γ B．a 与 γ 至少有一个公共点 C．a∩γ＝A D．a 与 γ 至多有一个公共点
【答案】 D
)
(
3．直线 a∥直线 b，b⊂平面 α，则 a 与 α 的位置关系是 ) A．a∥α B．a⊂α C．a∥α 或 a⊂α D．a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交
思考讨论 分别指出下列各图中直线与平面的关系，并总结它们的 特点，用符号表示出来．
提示：(1)直线在平面内——有无数个公共点，符号表示 为：a⊂α； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点，符号表示 为：a∩α＝A； (3)直线与平面平行——没有公共点，符号表示为：a∥α.
课前预习 1.直线与平面平行是指( ) A．直线与平面内的无数条直线都无公共点 B．直线上两点到平面的距离相等 C．直线与平面无公共点 D．直线不在平面内
【分析】 由题目可获取以下主要信息：本题主要考查 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．解答本 题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义，结合空 间想象能力作出判断．
【解析】 由公理 4 知①正确；由直线与平面平行的位 置关系知⑤正确．从而选 A.其中②是错误的，因为平行于 同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异 面．③是错误的，因为当 a∥c，c∥α 时，可能 a∥α，也可能 a⊂α.对于④，α，β 可能平行，也可能相交． 【答案】 A
公共点情况 符号语言 ②有无数个 ③a⊂α 公共点 ⑤有且只有 ⑥a∩α＝ 一个公共点 A ⑧没有公共 ⑨a∥α 点
2.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 3．平面与平面的位置关系 位置 图形语言 公共点情况 符号语言 关系 两平 ②无数个， 面相 ① 构成一条直 ③α∩β＝a 交 线 两平 面平 ⑤无公共点 ⑥α∥β 行 ④
4-2直线与平面、平面与平面相交
侧垂面的迹线表示法
Z S SH W X
O
V
β
SH α
Y
H
Y
4-2 相交问题
一、直线与特殊位置平面相交 二、一般位置平面与特殊位置平面相交 三、直线与一般位置平面相交 四、两一般位置平面相交
一、直线与特殊位置平面相交
b′ V N B P A PH a b k M c K a C H m k b c n m′ c′ a′ k′ n′
三、一般位置线面相交——以正垂面为辅助平面求交点 f′ c′ Q
V
1′
b′ k′
步骤： 1、 过EF作正 垂平面Q。
2′
e′ f b k a′ a
2、求Q平面与 ∆ABC的交线 ⅠⅡ。 3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
2
1
c e
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。 f′
( 2′ ) b′ c′ 1′ k′
三、一般位置线面相交——以正垂面为辅助平面求交点 f′ c′ Q
V
1′
b′ k′
步骤： 1、 过EF作正 垂平面Q。
2′
e′ f b k a′ a
2、求Q平面与 ∆ABC的交线 ⅠⅡ。 3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
2
1
c e
以正垂面为辅助平面求线面交点示意图
A
M
K
C
B N 过MN作平面Q垂直于V投影面
K N
C
四、两一般位置平面相交
两一般 位置平面相 交，求交线 步骤： 1、用直线与 平面求交点 的方法求出 两平面的两 个共有点K、 E。 2、连接两个 共有点，画 出交线KE。
PV n′ b′
2′
c′
1′
直线与平面平面与平面位置关系
05 空间几何中的位置关系的 习题和解析
直线与平面的位置关系的习题和解析
• 题目：已知直线$l$平行于平面 $\alpha$，过直线$l$作平面 $\beta$，使 $\alpha/\backslash/\beta$， 这样的$\beta$()
直线与平面的位置关系的习题和解析
答案：D
C.不存在 D.至多可以作一 个
电子工程
在电子工程中，直线与平面、平面与平面的位置关系对于确定电 路板的设计和电子元件的布局至关重要。
航空航天中的应用
飞机设计
在飞机设计中，直线与平面、平面与平面的位置关系对于确定机翼、 机身和尾翼的位置和形状至关重要。
航天器设计
在航天器设计中，直线与平面、平面与平面的位置关系对于确定太 阳能电ห้องสมุดไป่ตู้板、天线和其他设备的布局和稳定性至关重要。
性质
02
重合的平面具有相同的方向和距离。
判定定理
03
如果一个平面内的所有直线都与另一个平面重合，则这两个平
面重合。
03 空间几何中的位置关系的 应用
建筑学中的应用
建筑设计
建筑师在设计中需要考虑直线与平面、平面与平面的位置关系， 以确保建筑结构的稳定性和功能性。
空间规划
通过合理安排直线与平面、平面与平面的位置关系，建筑师可以创 造出舒适、美观的空间布局。
直线与平面、平面与平面的位置关 系
contents
目录
• 直线与平面的位置关系 • 平面与平面的位置关系 • 空间几何中的位置关系的应用 • 空间几何中的位置关系的性质和定理 • 空间几何中的位置关系的习题和解析
01 直线与平面的位置关系
直线在平面内
1 2
定义
直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质(总9页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B AC内找到一条直线AC与平1面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】2过 程行为 行为 意图 间 *创设情境 兴趣导入【知识回顾】如果空间两条直线所成的角是90º，那么称这两条直线互相垂直，直线a 和b 互相垂直，记作a ⊥b ． 【想一想】演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置关系，并回答问题：经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线，能作几条？质疑 引导 分析 思考启发 学生思考5 *巩固知识 典型例题【知识巩固】例1 如图9-43，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，判断直线AB 和DD 1是否垂直．解 AB 和DD 1是异面直线，而BB 1∥DD 1，AB ⊥BB 1，根据异面直线所成的角的定义，可知AB 与DD 1成直角．因此1AB DD .图9-43说明 强调 引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会10 *运用知识 强化练习1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 2．在图9−43所示的正方体中，找出与直线AB 垂直的棱，并指出它们与直线1AA 的位置关系． 提问 指导 思考 解答了解 知识 掌握 情况14 *创设情境 兴趣导入【问题】 前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？【观察】我们来看看实践中工人师傅是如何做的．质疑思考带领 学生 分析图9−44图9−45A1B1C1D1中，侧面ABB⊥AD．且AB和AD是平面交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线图9−46在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．4如果只给一个卷尺，你能否判断操场中立的旗杆与底面垂直吗？56过 程行为 行为 意图 间图9−48解 因为AB ⊥α，CD ⊥α，所以 AB ∥CD ．因为BD 在平面α内，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ．设AB 与CD 确定平面β，在平面β内，过点A 作AE ∥BD ，直线AE 与CD 交于点E ．在直角三角形ACE 中，因为AE ＝BD ＝5 cm ， CE ＝CD ＋DE ＝CD ＋AB ＝8 + 4 =12（cm ）， 所以 AC ＝ 22AE CE + ＝ 22512+ ＝13（cm ）．强调 引领 讲解 说明思考 主动 求解 进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 37*运用知识 强化练习1．一根旗杆AB 高8 m ，它的顶端A 挂两条10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的C 、D 两点，并使点C 、D 与旗杆脚B 不共线，如果C 、D 与B 的距离都是6 m ，那么是否可以判定旗杆AB 与地面垂直，为什么？2．如图所示，ABC ∆在平面α内，90BAC ∠=︒，且PA α⊥于A ，那么AC与PB 是否垂直？为什么？提问 巡视 指导思考 解答及时 了解 学生 知识 掌握 情况42 *创设情境 兴趣导入【知识回顾】两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作βα⊥．画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图9−49（1）），也可以把直立的平面画成平行四边形（图9−49（2））．质疑观察7过 程行为 行为 意图 间【做一做】 请动手画出图9−50中的两个图形． [实例]建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁面上（图9−50），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地面垂直．图 9−50引导 分析思考带领 学生 分析48 *动脑思考 探索新知【新知识】这种做法的依据是平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．如图9−51所示，如果AB β⊥，AB 在α内，那么αβ⊥．讲解 说明 引领 分析理解带领 学生 分析52 *巩固知识 典型例题β（2）α图9−49图9−51图9−52A1B1C1D1中，B1B⊥平面中，BD⊥AC，因此AC 内，所以平面B1AC与平面8图9−54内，连结AD．又由于BD⊥AB，所以在直角三角形2222AB BD，3425+=+=（cm）．10过 程行为 行为 意图 间 面有 个，与平面1AB 垂直的棱有 条．2．如图所示，检查工件相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边卡在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了，为什么？提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况78 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：直线与平面垂直的判定与性质？ 平面与平面垂直的判断与性质？结论：直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行．平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 质疑 归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况82 *归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何一根旗杆AB 高8 m ，它的顶端A 挂两条10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的C 、D 两点，并使点C 、D 与旗杆脚B 不共线，如果C 、D 与B 的距离都是6 m ，那么是否可以判定旗杆AB 与地面垂直，为什么？提问巡视反思 动手检验 学生 学习 效果A B C D DA B C 第1题第2题图【教师教学后记】11。
高中数学- 直线与平面平行、平面与平面平行的判定
∴AM∥平面BDFE，又∵AM∩MN=M, 故平面MAN∥平面EFDB.
返回
1.如何理解线面平行的判定定理？
直线和平面平行的判定和性质是本学案的一个重点，判定 定理使我们可以通过直线间平行推证直线与平面平行.其
线面平行.在运用时，应注意“内”
（平面内的直线）、“外”（平面外的直线）二字；直线 与平面平行的性质定理可简记为“线面平行，则线线平 行”.它告诉我们： （1）在平面内作一直线与平面外直线平行，可通过作过 平面外一直线的平面，与已知平面相交得到交线； （2）判定平面外一直线与平面内一直线平行的方法.有了 此定理，我们便可以根据直线与平面平行来解决直线间的 平行问题，但要防止误认为“一条直线平行于一个平面， 则此直线就平行于此平面内的任一直线”.
返回
如图2-2-4所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为DD1 的中点,试判断BD1与平面AEC的位置关系,并证明. BD1∥平面AEC. 证明如下:
如图所示,连接BD交AC于O,连EO,
∵E是DD1的中点,∴EO∥BD1,
又EO AEC,BD1 AEC,
∴BD1∥面AEC.
图2-2-4
返回
返回
返回
学点一 线面平行的证明 已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E， F，G分别是AB,BC,CD的中点.求证:平面EFG和AC平 行,也和BD平行.
【分析】欲证明AC∥平面 EFG,根据直线和平面平行 的判定定理只需证明AC平 行于平面EFG内的一条直线, 由图可知,只需证明AC∥EF.
言表示为 aβ,b β,a∩b=P, ,
a∥α,b∥α β∥α
.
用图形表示为
返回
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
M
C
B N
过MN作平面Q垂直于V投影面
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。
c
f ( 2 ) 1
4
k
利
b
用
3
重
a
影
e
点
判
f
2
a
别
可
见
b
性
k
（3）
4
1
c
e
直线EF与平面Δ ABC相交，判别可见性示意图
f
V
c
1 (2)
b
k F
a e
Ⅱ
Ⅰ
C
Ⅲ
B f
K
Ⅳ
A a
b
k3 E
c (4) e
H
四、两一般位置平面相交
线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直
于该平面。
n
V
f
c
C
A
a
k b
E
B d
f
k
D
a
d
c
H
b
n
例题7：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。
n f
c
a
k b
d
a d
f
k
c
b n
例题8：试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV
SV
h
k
h
k
k
k
h
k
h QH
hk
例题9：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直 于定平面。
mn
|zM-zN|
二、两平面垂直 几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面 都垂直于该平面。
A
Ⅱ
D
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点 向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
A
Ⅰ Ⅱ
D
两平面垂直
A
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面不垂直
例题11 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
4-1 平行问题
一．直线与平面平行
几何条件：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该 直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直 线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
例题1 例题2
二．平面与平面平行
几何条件：若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二 直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。
a
n
h
2、过直线EF作正垂
e 平面P。
b
3、求平面P与平面
KMN的交线ⅠⅡ。
a
he
4、求交线ⅠⅡ 与
b
f
EF的交点H。
n2
5、连接KH，KH即
为所求。
c
k
m1
4-3 垂直问题
一、直线与平面垂直 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 例题10
二、两平面垂直 几何条件 例题11 例题12 例题13
直线与平面垂直的几何条件：直线与平面上的两条相 交直线均垂直。
V
C A
E B
D
H
定理1：若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属于
该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面
的正平线的正面投影。
n
k
c
V
a
e
b
d
C A
E
B
a
D
kd
ec
b
n H
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影，直
求。
A
E
K
F
1 e
e
1
作图过程
2 f
a
1
e
PV
e
2
a
f
f 2 k
a
2
k
a f
1
试过点K作一平面平行于已知平面 。
a
s
d
f
k
e
m
n
b
c
r
c
b m
r n
d
f
a
e k
s
例题5
s e
试判断两平面是否平行。
a d f
r
b c
es
SH d a
f r PH
结论：两平面平行
c b
4-2 相交问题
一、直线与特殊位置平面相交 二、一般位置平面与特殊位置平面相交 三、直线与一般位置平面相交 四、两一般位置平面相交
VM B
m C c
K
L F
N ka
f
l
n
m
c
f
b
k l
a n
m
kb a
f
l
c
H
n
三、一般位置线面相交——以正垂面为辅助平面求交点
QV f
1
b
f
c
步骤：
1、 过EF作正
垂平面Q。
k
2、求Q平面与
2
a e
ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3、求交线
ⅠⅡ与EF的交
2
a 点K。
b k
1
c
e
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
a
c
m
e
f
b
d
n
b
a
m
e
d
c
n
f
例题10 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 °， 与H面的夹角为45 °。
n
n
分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角
C A
E
B
D
H
|zM-zN| mn
|yM-yN|
m
m
作图过程
k
h n
n k
h
mn
|yM-yN|
直径任取
30° 45° NM
m
a
b2
m
e
3 (4 )
k
a l
c
1
n
例题
试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交 。
c
k
f
a
b
e
e
a
b
f
c
k
分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；
连接KH，KH即为所求。
K
F C
H
A
E
B
作图步骤
c
PV f1
m
2
k
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。
两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一 点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面 的投影。
例题3 例题4 例题5
一、直线与平面平行
P
C
A
D
B
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
例题1
试判断直线AB是否平行于定平面
c
b
g
d
f
a
e
e f
d a
g
b
c
结论：直线AB不平行于定平面
例题2 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
c
f
e b k a
d
d f c
e
a
k
b
二、两平面平行
P E
S B
A D
F
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行
例题3 试判断两平面是否平行
a
f
s
b
n
r
e
m c
c m
d
n a d
e s
r
f
b
结论：两平面平行
例题4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。
一、直线与特殊位置平面相交
V B
A
K
PH a bk
M
b n
N
a
k
P
C c
m
c
n a
kb
Hm
c
判断直线的可见性
V B
A
K
PH a bk
M
b n
N
a
k
m
P
c
n a
C
kb
c
Hm
c
二、一般位置平面与特殊位置平面相交
V M
b
m
k
P
c
f
l
B
K
m C
c PH
F Nk
fb n
L
a l
a
n
m
kb a
f
l
c
H
n
判断平面的可见性
两一般
位置平面相
c
交，求交线
k 1
步骤：
1、用直线与mBiblioteka 平面求交点的方法求出
m
两平面的两
个共有点K、
E。
k
2、连接两个
共有点，画
1
出交线KE。
c
b PV n 2 l
QV e
a b2
e a l
n
两一般位置平面相交求交线的方法
B M
K A L
F N
C
两平面相交，判别可见性
b n
3
1 (2 )
c
k
l
4
e
h
f
c
g
k