【精准解析】江苏省南京师大附中2020届高三下学期6月模拟考试数学试题

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2020届江苏省南京师大附中高三年级模拟数学试题(解析版)

点 N 在线段 OA 的延长线上，设 N (a, 2a), a 1 ，
当 a = 4 时， N (4,8), S = 16 ，
当 a 1，且 a 4 时，直线 MN 方程为
y − 2 = 2a − 2 (x − 4) ，令 y = 0, x = 4 − a − 4 = 3 + 3 ，
a−4
a −1 a −1
an = 3n−1, S3 = 1+ 3 + 9 = 13 .
故答案为:13. 【点睛】
本题考查等比数列通项基本量的运算，数基础题.
9．已知 F1, F2
是椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的左，右焦点， A
是C
的左顶点，点 P
在过 A 且斜率为 3 的直线上，PF1F2 为等腰三角形，F1F2 P = 1200 ，则 C 的离心 6
____________. 【答ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】12
【解析】求出直线 OA 方程，设点 N 坐标，求出直线 MN 的方程，进而求出直线 MN 与 x 轴交点的坐标，将所求三角形的面积 S 表示成 N 点坐标的函数，根据函数特征，利
用基本不等式求出最小值. 【详解】
点 A(1, 2) ，直线 OA 方程为 y = 2x ，
所以 sin C 的最大值为 34 . 6
故答案为: 34 . 6
【点睛】
本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于
中档题.
4x −1 , x 1
14．已知函数
f
(x)
=
6
，若方程 f ( f ( x)) = a 恰有 5 个不同的实数根，

2020届江苏省南京师大附中高三下学期6月模拟考试数学试卷及解析

2020届江苏省南京师大附中高三下学期6月模拟考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)（满分160分,考试时间120分钟）参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋯的方差()2211n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑. 锥体的体积13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 球体的表面积24S r π=,其中r 是球体的半径.一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}1,A x x x Z =≤∈,{}1,0,1,6|B x =-,则A B =________.【答案】{}1,0,1-【解析】根据绝对值不等式的解法求得集合A ,再根据交集定义可求得结果. 【详解】{}{}11,1,0,1A x x x Z =-≤≤∈=-,{}1,0,1A B ∴=-. 故答案为：{}1,0,1-.2.已知复数()()12z i a i =-+,其中i 是虚数单位.若z 的实部为0,则实数a 的值为________.【答案】2-【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0得a 的值.【详解】∵()()()()12212z i a i a a i =-+=++-,且z 的实部为0,∴20a +=,即2a =-,故答案为：2-.3.样本数据6,7,10,14,8,9的方差是________.【答案】203 【解析】先求平均数,再代入方差公式即可.【详解】解：6710148996x +++++==, ()()()()()()22222226979109149+89992063s -+-+-+---==, 故答案为：203. 4.下图是一个算法流程图,若输入的x 的值为1,则输出S 的值为________.【答案】100【解析】根据题意,将x 代入,按照程序框图计算即可得到结果.【详解】模拟程序如下：输入1x =,0S =；1S =,不满足78S ≥；2x =,189S =+=,不满足78S ≥；3x =,92736S =+=,不满足78S ≥；4x =,3664100S =+=,满足78S ≥；输出100；故答案为：100.。

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测试题数学试题(含附加题) Word版含答案

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知{}231,x A x xR +=≥∈，211,3x B x x R x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =I __________．2．复数(1)z i i =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限． 3．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为__________．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是__________．5．抛物线28y x =的焦点坐标为__________．（第4题）（第13题）6．若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从1，2两个数中任取的一个数，则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是__________．7．已知某圆锥底面圆的半径1r =，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为__________． 8．已知等差数列{}n a 中，3421a a -=-，30a =，则{}n a 的前10项和是__________．9．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为__________．10．已知点A （0，3），直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，且圆心C 在直线l 上．若圆C 上存在点M ，使得|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为__________． 11．已知不等式2121xx ->-的解集为A ，不等式()22100x x m m ++-≤>的解集为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 12．已知0a >，0b >，且31126a b a b++≤+，则3ab a b +的最大值为__________．13．如图，已知AB AC ⊥，3AB =，AC =A 是以A 为圆心半径为1的圆，圆B是以B 为圆心的圆．设点P ，Q 分别为圆A ，圆B 上的动点，且12AP BQ =u u u r u u u r ，则CP CQ⋅u u u r u u u r的取值范围是__________．14．若1x ，2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-，m R ∈的两个极值点，且12x x <，则()12f x x 的取值范围为__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边，且满足a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C ．（1）求证：A ＝C ；（2）若b ＝2，BA →·BC →＝1，求sin B 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊥DB ．求证：（1）BC ∥平面ADD 1A 1；（2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．17．（本小题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在O e 上，,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．（第16题）BACDD 1B 1A 1C 1（第17题）18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－12，求k 的值；（3）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝32，求M 的坐标．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ln x ＋ax＋1，a ∈R ．（1）若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；（2）记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；（第18题）（3）若当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．20．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111λ+++-=-n n n n n na S a S a a 对一切*n ∈N 都成立．（1）当λ＝1时， ①求数列{}n a 的通项公式；②若,)1(n n a n b +=求数列{}n b 的前n 项的和T n ；（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列．如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题第Ⅱ卷（选做题，40分）21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤2 1 1 2．（1）求M 2；（2）求矩阵M 的特征值和特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系() (02π)ρθθ<≤, 中，求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)及点M(2，0)，动直线l过点M 交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．23．（本小题满分10分）对于给定正整数n ，设nnnx a x a x a a x ++++=-Λ2210)1(，记01nn kk S a ==∑．（1）计算1234S S S S ，，，的值；（2）求n S ．南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．[]2,4- 2．二 3．6 4．55．()2,0 6．58 7．38．2529．12 10．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．[)4,+∞ 12．19 13．[]1,11- 14．3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）解：（1）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C ，得 (sin A cos B ＋sin B cos A ) cos C ＝sin C cos A ，…………2分即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos C ＝sin C cos A ，…………4分因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ．又因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C ．…………6分（2）由（1）知，因为A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a 2．…………8分因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．…………10分所以cos B ＝13．…………12分因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223．…………14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC ，所以AD ∥BC ．…………4分又因为BC ⊄平面ADD 1A 1，AD ⊂平面ADD 1A 1，所以BC ∥平面ADD 1A 1．…………6分（2）由（1）知AD ∥BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，…………8分在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1⊥平面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以DD 1⊥BC ，…………10分又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1，DB ⊂平面BDD 1B 1，DD 1∩DB ＝D ，所以BC ⊥平面BDD 1B 1，…………12分因为BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．…………14分 17．（本小题满分14分）解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米，所以10OA OB AB ===，则3AOB π∠=，所以»103AB π=，…………2分所以广场的面积为2211050(1010)10100233ππ⋅⋅+=+-答：广场的面积为501003π+-6分（2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=，则2220sin AD DG OK α===，…………8分由余弦定理得2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥o ，…………12分所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=o时取等号，所以201)OA OB OC OD +++≤+=因此求4条小路的总长度的最小值为答：4条小路的总长度的最小值为14分 18．（本小题满分14分）解：（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0)．依题意，c a ＝12，且a 2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．…………4分（2）设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以14＋13·k ·(－12)＝0，得k ＝32． …………8分（3）由题意，S 1S 2＝32，即12·|AF |·|y 1| 12·|BF |·|y 2|＝32，整理可得|y 1||y 2|＝12，…………10分所以→NF ＝2→FM ．代入坐标，可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1y 2＝－2y 1．…………12分又点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 124＋y 123＝1 (3－2x 1)24＋(－2y 1)23＝1，解得⎩⎨⎧x 1＝74y ＝38 5．所以M 的坐标为(74，358)．…………16分19．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2，则f ′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1x ＋1，此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b ＝－2，所以a ＝－1，b ＝－2．…………2分（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2．①当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间(0，12)上为增函数，则g (x )在区间(0，12)上无最小值．…………4分②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2．设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0)，（i ）若a ＞0，若x 2∈(0，12) ，则m (0)＝－a ＜0 ，m (12)＝a 4＋12－a ＞0 ，解得0＜a ＜23．此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＜0，则g (x )递减；x ∈(x 2，12)时，m (x )＞0，则g (x )递增，当x ＝x 2时，g (x )取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈(0，12)，m (x )＜0，g (x )在(0，12)单调减，无最小值．…………6分（ii ）若a ＜0，此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＞0，则g (x )递增；x ∈(x 2，＋∞)时，m (x )＜0，则g (x )递减，在区间(0，12)上，g (x )不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g (x )在区间(0，12)上有最小值．…………8分（3）当a ＝0时，由方程f (x )＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0，记h (x )＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x．①当b ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上为增函数，则函数h (x )至多只有一个零点，即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根，所以b ≤0不符合题意．…………10分 ②当b ＞0时，当x ∈(0，12b)时，h ′(x )＞0，所以函数h (x )递增；当x ∈(12b，＋∞)时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )递减，则h (x )max ＝h (12b)＝ln 12b ＋12．要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，则h (12b)＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e2．…………12分（i ）当0＜b ＜e 2时，h (1e )＝－be2＜0．又(1e )2－(12b )2＝2b －e 22b e 2＜0，则1e ＜12b，所以存在唯一的x 1∈(1e ，12b)，使得h (x 1)＝0．…………14分（ii ）h (1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k (b )＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e2，因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k (b )在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k (b )max ＝k (1)＝0，则h (1b )≤0．又(1b)2－(12b )2＝2－b 2b 2＞0，即1b＞12b，所以存在唯一的x 2∈(12b ，1b]，使得h (x 2)＝0，综上，当0＜b ＜e2时，方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根．…………16分20．（本小题满分16分）解：（1）①若1λ=，因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，则()()1111n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵0n a >，0n S >，∴1111n n n nS a S a +++=+，∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，化简，得1112n n S a +++=．① ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②②－①，得12n n a a +=，即()122n na n a +=≥． ∵当1n =时，22a =，1n =时上式也成立，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -=．…………4分②因为()1n n b n a =+，∴()112n n b n -=+⋅．所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，所以1212222(1)2n nn T n --=++++-+⨯L 12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-，所以2nn T n =⋅．…………8分（2）令1n =，得21a λ=+．令2n =，得()231a λ=+．要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=．当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．…………10分当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=．…………14分综上所述，()*1Nn a n =∈，所以0λ=时，数列{}n a 是等差数列．…………16分第Ⅱ卷（选做题，40分）21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1） M 2＝⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ＝⎣⎡⎦⎤5445 ．…………4分（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－1)(λ－3)．令f (λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3．…………6分 ①当λ＝1时，⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x y ，得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0．令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1．…………8分②当λ＝3时，⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝3⎣⎡⎦⎤xy ，得⎩⎨⎧x －y ＝0，x －y ＝0．令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤11．因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1，⎣⎡⎦⎤11．…………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：分别化为普通方程得直线1x =与圆22(1)1x y +-=，…………4分易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1，，…………6分所以交点Q 的极坐标是)π4，．…………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为l 过M (2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4，所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1．…………2分（2）设直线l 方程为：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －2)，消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4．…………4分因为C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1方程为：y ＝1k．…………6分因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则l 2方程为：y ＝－1k (x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝1k，y ＝－1k(x －2)，…………8分解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1k ，即P (1，1k)，所以，点P 在定直线x ＝1上．…………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）0111111101=-=+=a a S ；231121111112102=+-=++=a a a S ；011313111111132103=-+-=+++=a a a a S ；35114161411111111432104=+-+-=++++=a a a a a S ．…………4分（2）由二项式定理得，(1),,k kk na k n k =-∈C N ≤，因为!()!1!C k nk n k n -=)!1(])!(!)][1()1[(21+-+++-⋅++=n k n k k k n n n )!1()!()!1()!1(!21+-+++-⋅++=n k n k k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-⋅++=)!1()!()!1()!1()!1(!21n k n k n k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++=+++111C 1C 121k n k n n n ，…………8分所以∑==nk k n a S 01011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()n n n )1(121-+⋅++=．…………10分。

2020年江苏省南京师大附中高考数学押题试卷（6月份）（含答案解析）

2020年江苏省南京师大附中高考数学押题试卷（6月份）一、填空题（本大题共U小题，共70.0分）1.己知集合A={12，9},B={L7},则Ar\B=・2.设i为虚数单位，则+1）=.3.已知祥本数据为7,8,10,12,13,则其方差的值为.4.如图所示流程图中，若输入'的值为-4,则输出。

的值为/输出/5.将一枚质地均匀的股子（各个而上分别标有1, 2. 3.4. 5.6的正方形玩具）先后连续抛掷两次.则这两次向上的点数之积为奇数的概率6.己知f（x）=2si/i（x+9（x€R）,函龄=，（乂+伊）（切IM：）的图象关于直线x=0对称，则@的值为_______7.正四棱^P-ABC D中，P4=4B=2,则该四棱锥外接球的表面枳为.8.抛物线尹=8%的焦点到双曲线丈一《=1渐近线的距离为______.1699.已知函=sinx+3x.如果，（1一。

）+了（1一。

2）vO,则a的取值范围______.10.已知&是等差数列{%}的前，项和，若。

3+%+。

12=9.则S】3=-11.己知圆x2+y2-2%=0的圆心为C,直线x+y-2=0与该圆相交于A,8两点，则AHBC的面枳为.12.已知4ABC是边长为2的等边三角形，点Q、£•分别是边AB、8C的中点，点F为。

£•中点，则AF-BC=------•!x+2-°，若关于x的方程f（x）=kx+2有且只有4个不同的解，\lnx\9x>0则实数A的取值集合为14.己知f（x）=Jl一％，若cosa=:,则f{cos2a）=:当x€乌?）时，尸（sin2x）-r（-sin2x）=.二、解答题(本大题共11小题，共142.0分)15.已知△/4BC中，(sin/1—sinB)(sinA+sinB)=sinAsinC—sin'C.(1) 求sin8的值:(2) 若△砧C的面枳S mbc=20V5・I1AB+BC=13v2,求AC的值.16.如图，在三如柱ABC-AWi中,AA1=BC f D.E分别是AC,■的中点.R(1) 求证：DE〃平面BCC1B1(2) 若4BJ.DE,求证：平面ABCx1平面BCCiB\・17.己知函(x)=thx-Inx-l(m为常数).(1) 若函数fix)恰有I个零点，求实数的取值范围；(2) 若不等式mx-e^<f(x)+a对正数x恒成立，求实数。

江苏省南京师大附中2020届高三数学下学期模拟考试试题2含解析

（1)当立柱和立柱高度相同时，求两立柱的总造价;
(2）求立柱和立柱总造价的最小值．
【答案】（1）万元；（2) 万元．
【解析】
【分析】
设两立柱的总造价为y万元．
（1）过C作的垂线分别交，于，，根据题中数据,求出，即可得出结果；
（2）过B作的垂线，垂足为F，过C作的垂线，垂足为G，设，
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可知与共线反向，令 ,然后由和列方程求解即可。
【详解】解：因为平面向量与的夹角是 ,
所以设，即，
因为，所以 ,得 ,
因为，所以 ,
所以 ,
故答案为：
【点睛】此题考查共线向量,向量的模,向量的坐标运算，属于基础题.
10. 已知是椭圆的长轴的两个端点，是椭圆上的动点,且的最大值为，则椭圆的离心率为______．
试题解析：（1）在直三棱柱中， , ，所以 ,因为，所以 ,又，所以，因为，所以，因为在平面中，，所以四边形为正方形，因为点分别为的中点，所以 ∽ ，所以，所以，即，又因为，所以。
（2）连接交于点 ,连接交于点，连接，
在正方形中利用及平面几何知识可得，在正方形中利用 ∥ 且可得，所以在中, ，所以，又平面，平面，所以平面．
12. 在△ABC中,角A，B,C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是．
【答案】2
【解析】
试题分析:由正弦定理得: 又即．
又 ∴ ，，
由余弦定理得，
当且仅当时，等号成立；
所以，

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期六月押题数学试卷含附加题

江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷(2020．6)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n (x i －x)2，其中x ＝1nx i .锥体的体积V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．球体的表面积S ＝4πr 2，其中r 是球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，B ＝{x|－1，0，1，6}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝(1－2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部为0，则实数a 的值为________．3. 样本数据6，7，10，14，8，9的方差是________．4. 右图是一个算法流程图，若输入的x 的值为1，则输出S 的值为________．5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛郑2次，则出现向上的点数之和为6的倍数的概率是________．6. 已知函数y ＝sin(2x ＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于点(2π3，0)对称，则φ的值是________．7. 已知PABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16 π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，则该三棱锥的体积为________．8. 若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则抛物线y ＝14x 2的焦点到双曲线C 的渐近线距离为________．9. 已知函数f(x)＝sin x ＋2x ＋x 3.若f(a －6)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＋a 2＋a 5＝47，a 3＋a 4＝28.若存在正整数k ，使得对任意的n ∈N *都有S n ≤ S k 恒成立，则k 的值为________．11. 已知圆O ：x 2＋y 2＝m(m ＞0)，直线l ：x ＋2y ＝10与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．若圆O 上存在点P 使得△PAB 的面积为252，则实数m 的最小值为________．12. 已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若AB →·GD →＝6，AC →·GF →＝32，则BC →·GE →＝________．13. 已知函数f(x)＝a |x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－x ＋116，x ≤0.若关于x 的方程f(x)＝g(x)有3个不同的实数根，则实数a 的取值集合为________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知cos 2B ＋cos 2Asin 2B ＝4cos 2Acos 2B ，则sin 2Asin 2B4cos 2C ＋2sin 2Asin 2B的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，已知sin 2A －2sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C)－sin 2C.(1) 求cos(B ＋π3)的值；(2) 若D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．16.(本小题满分14分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为菱形，且AB ＝BC 1，点E ，F 分别为BB 1，A 1C 1的中点．求证：(1) 平面AA 1C 1C ⊥平面A 1BC ； (2) EF ∥平面A 1BC.某处有一块闲置用地，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧AB ︵和两条线段AC ，BC构成．已知圆心O 在线段AC 上，现测得圆O 半径为2百米，∠AOB ＝2π3，BC ⊥AC.现规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设，该梯形区域的下底为AC ，上底为MN ，点M 在圆弧AD ︵(点D 在圆弧AB ︵上，且OD ⊥OA)上，点N 在圆弧BD ︵上或线段BC 上．设∠AOM ＝θ.(1) 将梯形ACNM 的面积表示为θ的函数；(2) 当θ为何值时，梯形ACNM 的面积最大？求出最大面积．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其右焦点F 到其右准线的距离为1，离心率为22，A ，B 分别为椭圆Γ的上、下顶点，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆Γ交于C ，D 两点，与y 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q.(1) 求椭圆Γ的标准方程；(2) 当CD ＝852时，求直线l 的方程；(3) 求证：OP →·OQ →为定值．设f(x)＝a(x －1)2－e x ＋ex ，g(x)＝e x (x －1)＋12ax 2－(a ＋e)x ，a ∈R ，其中e 为自然对数的底数(e ＝2.718 2…)．(1) 当a ＝e 时，求g(x)在(1，g(1))处的切线方程； (2) 设F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间； (3) 当≥1时，f(x)≤0恒成立，求a 的取值范围．已知{a n}是各项均为正数的无穷数列，且满足a1＝a，a n＋1－a n＝d（a n＋1＋a n）.(1) 若d＝1，a3＝6，求a的值；(2) 设数列{b n}满足b n＝a n＋1－a n，其前n项的和为S n.①求证：{b n}是等差数列；②若对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得S n＝b m成立．求证：S n≤(2n－1)b1.江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2b ，点P(3，－1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(3，5)． (1) 求a 和b 的值；(2) 求矩阵A 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin(θ－π6)＝a ，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ.若直线l与曲线C 相切，求实数a 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋2ca ＋b的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某校举办的体育节设有投篮项目．该项目规定：每位同学仅有三次投篮机会，其中前两次投篮每投中一次得1分，第三次投篮投中得2分，若不中不得分，投完三次后累计总分．(1) 若甲同学每次投篮命中的概率为25，且相互不影响，记甲同学投完三次后的总分为X ，求随机变量X 的概率分布列；(2) 若(1)中的甲同学邀请乙同学一起参加投篮项目，已知乙同学每次投篮命中的概率为12，且相互不影响，甲、乙两人之间互不干扰．求甲同学的总分低于乙同学的总分的概率．23.在空间直角坐标系中，有一只电子蜜蜂从坐标原点O 出发，规定电子蜜蜂只能沿着坐标轴方向或与坐标轴平行的方向行进，每一步只能行进1个单位长度，若设定该电子蜜蜂从坐标原点O 出发行进到点P(x ，y ，z)(x ，y ，z ∈N )经过最短路径的不同走法的总数为f(x ，y ，z)．(1) 求f(1，1，1)，f(2，2，2)和f(n ，n ，n)(n ∈N *)；(2) 当n ∈N *，试比较f(n ，n ，n)与（4n ＋1）2n4n ·（n ！）2的大小，并说明理由．江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷数学参考答案及评分标准1. {－1，0，1}2. －23. 2034. 1005. 166. －π37. 9438. 139. ⎣⎡⎦⎤－2，32 10. 1011. 5 12. －92 13. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2e 14. [613，12)15. 解：(1) 因为A ＋B ＋C ＝π，sin 2A －2sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C)－sin 2C ，所以由正弦定理可知BC 2－2BC ·AB ＝AC 2－AB 2，BC 2＋AB 2－AC 2＝2BC ·AB ，(2分)cos B ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB＝22.因为在△ABC 中，B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(5分)所以cos(B ＋π3)＝cos Bcos π3－sin Bsin π3＝22×12－22×32＝2－64.(7分)(2) 由余弦定理可知，在△ACD 中，cos C ＝DC 2＋AC 2－AD 22AC ·DC ＝32＋72－522×7×3＝114，(9分)因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，sin C ＝1－cos 2C ＝1－（114）2＝5314.(11分)由正弦定理可知，在△ABC 中，AB sin C ＝AC sin B ，所以AB 5314＝722，所以AB ＝562.(14分)16. 证明：(1) 连结AC 1交A 1C 于O 点，连结BO. 在△ABC 1中，因为AB ＝BC 1，所以BO ⊥AC 1.(2分) 因为侧面AA 1C 1C 为菱形，所以对角线A 1C ⊥AC 1.(4分)因为BO ∩A 1C ＝O ，BO ，A 1C ⊂平面A 1BC ，所以AC 1⊥平面A 1BC.(6分) 因为AC 1⊂平面AA 1C 1C ，所以平面AA 1C 1C ⊥平面A 1BC.(7分)(2) 连结FO ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，所以对角线互相平分，点O 为A 1C 的中点．因为点F 为A 1C 1的中点，所以在△A 1CC 1中，FO ∥CC 1，FO 綊12CC 1，(9分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱BB 1綊CC 1，又点E 为BB 1的中点，所以BE 綊12CC 1.又FO 綊12CC 1，所以BE 綊FO ，四边形BEFO 是平行四边形，(12分)所以EF ∥BO.因为EF ⊄平面A 1BC ，BO ⊂平面A 1BC ，所以EF ∥平面A 1BC.(14分)17. 解：(1) 因为点M 在圆弧AD ︵上，OD ⊥OA ，当点M 分别与点A ，D 重合时，梯形不存在，所以θ∈(0，π2)．过点B 作BB′∥CA ，且BB′交圆弧AD ︵于点B′，连结B′O ，因为OD ⊥OA ，所以BB′⊥OD. 由垂径定理可知OD 垂直平分BB′，因此∠B′OD ＝∠BOD ＝∠AOB －∠AOD ＝2π3－π2＝π6，∠AOB ′＝∠AOD －∠B′OD＝π2－π6＝π3，因此，当θ∈(π3，π2)时，点N 在圆弧BD ︵上，当θ∈(0，π3]上时，点N 在线段BC 上．设OD ∩MN ＝H ，① 当θ∈(π3，π2)时，因为MN ∥CA ，所以∠HMO ＝∠AOM ＝θ.又OD ⊥OA ，所以MN ⊥OD.由垂径定理可知HM ＝HN ，在Rt △OHM 中，HM ＝OMcos ∠OMH ＝2cos θ， HO ＝OMsin ∠OMH ＝2sin θ，BC ⊥AC ，所以在Rt △OBC 中，∠COB ＝π－∠AOB ＝π－2π3＝π3，CO ＝OBcos ∠BOC ＝2cosπ3＝1，所以梯形ACNM 的面积S(θ)＝12OH ·(MN ＋AC)＝12OH ·(2MH ＋AO ＋OC)＝sin θ(4cos θ＋3)，(4分)② 当θ∈(0，π3]时，因为BC ⊥AC ，OD ⊥OC ，MN ⊥OD ，所以四边形OCNH 为矩形，故NH ＝OC ＝1，所以梯形ACNM 的面积S(θ)＝12OH ·(MN ＋AC)＝12OH ·(MH ＋NH ＋AO ＋OC)＝2sin θ(cos θ＋2)．(6分)综上，S(θ)＝⎩⎨⎧2sin θ（cos θ＋2），θ∈（0，π3]，sin θ（4cos θ＋3），θ∈（π3，π2）.(7分)(2) ① 当θ∈(π3，π2)时，S(θ)＝sin θ(4cos θ＋3)，S ′(θ)＝cos θ(4cos θ＋3)＋sin θ(－4sin θ)＝8cos 2θ＋3cos θ－4.因为θ∈(π3，π2)时，cos θ∈(0，12)，cos 2θ＜14，所以S′(θ)＝8cos 2θ＋3cos θ－4＜8×14＋3×12－4＝－12＜0，故S(θ)在(π3，π2)上单调递减，S(θ)＜S(π3)＝sin π3·(4cos π3＋3)＝532.(10分)② 当θ∈(0，π3]时，S(θ)＝2sin θ(cos θ＋2)，S ′(θ)＝2cos θ(cos θ＋2)＋2sin θ(－sin θ)＝4cos 2θ＋4cos θ－2.因为θ∈(0，π3]时，cos θ∈[12，1)，cos 2θ≥14，。

南师附中2020届高三年级模拟考试答案

t 1 et
t2 et
，即
3 e
t2
t et
1（*），
原命题等价于存在正数 t 使得方程（*）成立.
……11 分
记
g(t)
t2
t et
1
，则
g ' (t )
(2t
1)
(t 2 et
t
1)
t(t 1) et
，
令 g' (t) 0 ，则 t 1，
因此当 0 t 1 时 g' (t) 0 ， g(t) 单调递增， g(t) g(1) 3 ； e
……4 分 ……6 分
（2）连结 C1A、C1B，因为 ABC A1B1C1 是三棱柱
所以 AA1 // CC1 ， AA1 CC1 ，所以四边形 AA1C1C 是平行四边形
……8 分
1
点 E 为 A1C 的中点，故 A1C AC1 E ，所以点 E 为 AC1 的中点，
又点 D 为 AB 的中点，所以在△ABC1 中，有 DE // BC1
ρ2＝4ρcosθ，圆 C 的直角坐标方程是 x2 y2 4x (x 2)2 y2 4
……2 分 ……4 分
圆心为(2,0)，半径为 2，所以圆心到直线 l 的距离为 d 2 0 4 2 11
所以弦长为 l 2 r 2 d 2 2 4 2 2 2
……10 分
22.解：因为侧面 PAD⊥底面 ABCD，PO⊥AD， PO 平面PAD
数学附加题参考答案及评分标准
21.A.选修 4-2：矩阵变换
解：设直线 x－y－1＝0 上一点 P(x, y) 在变换 TA 作用下得到点 P'(x', y') ，
x'

2020届江苏省南京市高三下学期6月第三次模拟考试数学试题(解析版)

2020届江苏省南京市高三下学期6月第三次模拟考试数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A U B ＝_______．【答案】(1，4)【解析】利用并集的定义直接得解. 【详解】∵集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，∴A U B ＝(1，4)．故答案为：(1，4) 【点睛】本题考查了集合的基本运算，并集的定义的理解，属于基础题. 2．若1az i i=++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为_______．【答案】2【解析】根据复数的运算法则化简z ，由虚部为0得到a 的值. 【详解】 ∵()()()()121112a i a a i az i i i i i -+-=+=+=++-是实数， ∴20a -=，即2a =， ∴实数a 的值为2．故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，已知复数的类型求参数的值，属于基础题. 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为_______．【答案】60【解析】根据分层抽样的方法求出抽取的比例,再乘以男生人数求解即可. 【详解】12512006030012001000⨯=++．故答案为：60 【点睛】本题主要考查了分层抽样的方法,属于基础题.4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】10【解析】模拟执行伪代码，可知该伪代码的功能是计算并输出1234S =+++的值. 【详解】第一步：1i =，011S =+=；第一步：2i =，123S =+=；第一步：3i =，336S =+=；第一步：4i =，6410S =+=；故输出的结果为10．故答案为：10 【点睛】本题主要考查循环结构的伪代码，是基础题．对于For 循环语句关键是要读懂语句的功能，同时要注意循环的初值、终值、步长．5．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 _________ ．【答案】【解析】记甲、乙两人相邻而站为事件A 甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，则甲、乙两人相邻而站的战法有=4种站法∴=6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为____．3【解析】由图象求出周期，可求ω.把图象最高点的坐标代入解析式，结合ϕ的取值范围，可求ϕ，即可求出()f x 的解析式，即求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】由图象可得2222,133ππππωω⎡⎤⎛⎫=--=∴= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 又222,2,332f k k Z πππϕπ⎛⎫=∴+=+∈⎪⎝⎭. 2,6k k Z πϕπ∴=-+∈，k Z ∈.∵22ππϕ-<≤，∴6πϕ=-.()2sin 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.2sin 3226f πππ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3【点睛】本题考查三角函数图象的应用，属于基础题.7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为_____．【答案】122n +-【解析】根据1a ，2a ，32a -成等差数列，由22a ＝1a ＋32a -＝3a ，解得q ＝2，再代入等比数列求和公式求解. 【详解】∵1a ，2a ，32a -成等差数列，∴22a ＝1a ＋32a -＝3a ，故q ＝2，∴12(21)2221n n n S +-==--故答案为：122n +- 【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为_______．【答案】2【解析】设双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，求得圆心到渐近线的距离，利用AB ＝2b ，得到a =，代入e ＝ca求解．【详解】设双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，圆心到渐近线的距离为bcd b c==，因为AB ＝2b ，所以a =，则=c ，所以离心率e ＝2c a ==．故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为_______．【答案】83【解析】三棱锥A —B 1CD 1是以求出棱锥的高和底面积后可得体积．【详解】可知三棱锥A —B 1CD 1是以22为棱长的正四面体，122AB =，设O 是11B CD V 的中心，则AO ⊥平面11B CD ，1232622323B O =⨯⨯=， 222643(22)()3AO =-=，1121(22)sin 60232B CD S =⨯⨯︒=△， 14382333V =⨯⨯=．故答案为：83.【点睛】本题考查求正四面体的体积，掌握棱锥体积公式是解题基础．实际上正四面体棱长为a ，则其体积为32V a =． 10．已知函数2,0()(),0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为_____．【答案】[2，4]【解析】求出()f x 的表达式，求出(1)(3)g x f x -=-，由()1f x ≥得11x -≤≤，然后解不等式131x -≤-≤即得．【详解】首先2,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，由()(2)g x f x =-知(1)(3)g x f x -=-，当()1f x ≥，由210x x +≥⎧⎨≤⎩得10x -≤≤，由210x x -+≥⎧⎨>⎩得01x <≤，∴11x -≤≤，故(1)(3)1g x f x -=-≥，得131x -≤-≤， ∴24x ≤≤，故实数x 的取值范围为[2，4]．故答案为：[2，4]．【点睛】本题考查分段函数的解析式，考查解函数不等式，掌握整体思想在解题中的应用是解题关键．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA u u u r ⊥OB uuu r，若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为_______．【答案】6 【解析】取AB 中点D ，设D 到直线l 的距离为d ，则有d 1＋d 2＝2d ，由OA u u u r ⊥OB uuu r得1OD =，得D 点轨迹是圆，d 的最大值就是此圆圆心到直线的距离加上半径，由此可得结论．【详解】取AB 中点D ，设D 到直线l 的距离为d ，易知：d 1＋d 2＝2dOA u u u r ⊥OB ⇒u u u r ||2AB ==，所以112OD AB ==，所以D 轨迹方程为：221x y +=，∴max 13d =+=，∴d 1＋d 2的最大值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查圆上的点到直线距离的最大值问题，求出圆心到直线的距离加上半径即为最大值，解题关键是取AB 中点D ，得出D 点轨迹是圆．本题考查了学生的运算求解能力，转化与化归能力．12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式e ax b x +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为_______．【答案】[﹣2，+∞)【解析】分类讨论，0x ≤时不等式恒成立，b R ∈，0x >时，题意可转化为ln ()b x ex f x ≥-=恒成立，这样只要用导数求得()ln f x x ex =-的最大值即可得．【详解】当0x ≤时，显然成立，b R ∈；当0x >时，[,)a e ∀∈+∞，ln ln +≤⇒≤+⇒≥-ax b x e x ax b b x ex 令()=ln -f x x ex ，则1()exf x x-'=，易知：当10x e<<时，()0f x '>，()f x 递增，当1x e>时，()0f x '<，()f x 递减， ∴max 1()()2f x f e==-，故2b ≥-；综上，实数b 的取值范围为[﹣2，+∞)．故答案为：[﹣2，+∞)．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是问题的转化，转化为ln b x ex ≥-恒成立，属中档题.13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为_______．【答案】94-【解析】不妨令3AP mAD =u u u r u u u r ，由2BD DC =u u u r u u u r可得1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，可用AB u u u r 、ACu u u r 表示AP u u u r ，由平面向量基本定理可列出方程组求得λ、μ，进而用AB u u u r 、AC u u u r表示PB u u u r，按向量数量积的运算律求解即可. 【详解】A ，P ，D 共线，不妨令3AP mAD =u u u r u u u r ，又2BD DC =u u u r u u u r ，22BA AD AD AC ∴+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r 即1233AD AB AC =+u u ur u u u r u u u r ，又13AP AD m=u u ur u u u r ，2AP mAB mAC AB AC λμ∴=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此121182311844AP AB AC λμλλμμ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒=+⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩u u u v u u u v u u u v ，则7184PB AB AP AB AC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故1171()()8484PA PB AB AC AB AC ⋅=-+⋅-u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r 2273173119[]=16161664161664162164AB AB AC AC =-+⋅--⨯-⨯⨯+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r ．故答案为：94-.【点睛】本题考查平面向量基本定理、线性运算、数量积运算，属于中档题. 14．在△ABC 中，3A π=，D 是BC 的中点．若AD 2≤BC ，则sin sin B C 的最大值为 _______．【答案】38【解析】由3A π=可得222a b c bc =+-，由D 是BC 的中点，cos cos ADB ADC ∠=-∠可得222222a AD b c =+-，然后可得2222a AD bc =+，然后结合AD 2≤BC 可得22a bc ≤，即21sin sin sin 2B C A ≤【详解】因为3A π=，所以由余弦定理得222a b c bc =+-①因为D 是BC 的中点，cos cos ADB ADC ∠=-∠所以由余弦定理可得222222222222a a AD c ADb a a AD AD ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅⋅化简可得：222222a ADbc =+-②由①②可得2222a AD bc =+因为AD 2222BC a ≤=，所以22222a AD bc a =+≤ 所以22a bc ≤，所以213sin sin sin 28B C A ≤=故答案为：38【点睛】本题考查了余弦定理和利用正弦定理进行边角互化，考查了学生对问题的处理与转化能力.二、解答题15．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF //平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，推导出//FG PC ，//EG DC ，从而平面//EFG 平面PCD ，由此能得出结论；（2）推导出CD AD ⊥，从而CD ⊥平面P AD ，即得CD PA ⊥，结合PA PD ⊥得出PA ⊥平面PCD ，由此能证明结论成立.【详解】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，∵E ，F 分别是AD ，PB 的中点， ∴//FG PC ，//EG DC ，∴//FG 面PCD ，//EG 面PCD ，∵FG EG G =I ，∴平面//EFG 平面PCD ， ∵EF ⊂平面EFG ，∴//EF 平面PCD .（2）因为底面ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ．因为PA ⊂平面P AD ，所以CD PA ⊥.又因为PA PD ⊥， PD CD D ⋂=，所以PA ⊥平面PCD ．因为PA ⊂平面P AB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.16．已知向量m u r ＝(cos x ，sin x )，n r＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，72sin =β，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．【答案】（1）－23（2）74π【解析】（1）由向量m u r ＝(cosx ，sinx )，n r ＝(cosx ，－sinx )，利用数量积运算得到f (x )＝cos2x ＋12，根据f (2x )＝1，求得cosx ＝12，得到x ＝3π，然后利用两角和的正切公式求解.（2）由f (α)＝－110，得到cos 2α＝－35，进而得到sin 2α＝－45，再由sinβ＝210，得到 cosβ2，然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】（1）因为向量m u r ＝(cosx ，sinx )，n r＝(cosx ，－sinx )，所以f (x )＝m u r ·n r＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12．因为f (2x)＝1，所以cosx ＋12＝1，即cosx ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝3π，所以tan (x ＋4π)＝tan (3π＋4π)＝tantan341tan tan 34ππππ+-＝－2（2）若f (α)＝－110，则cos 2α＋12＝－110，即cos 2α＝－35．因为α∈(2π，34π)，所以2α∈(π，32π)，所以sin 2α45．因为sinβ＝10，β∈(0，2π)，所以cosβ10，所以cos (2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝(－35－(－45．又因为2α∈(π，32π)，β∈(0，2π)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为74π．【点睛】本题主要考查三角恒等变换与平面向量，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17．如图,港口A 在港口O 的正东100海里处,在北偏东方向有条直线航道OD ,航道和正东方向之间有一片以B 为圆心,半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险）,其中OB＝2013海里,tan∠AOB＝23,cos∠AOD＝5,现一艘科考船以105海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶,经过2个小时后,一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发,并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇.（1）若快艇立即出发,判断快艇是否有触礁的危险,并说明理由；（2）在无触礁危险的情况下,若快艇再等x小时出发,求x的最小值.【答案】（1）快艇立即出发有触礁的危险,见解析；（2）35【解析】(1)以O为原点,正东方向为x轴,正北方向为y轴,建立直角坐标系xOy.再设设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C,根据余弦定理可解得2t ,继而得出直线AC的方程,判断出圆心到直线AC的距离小于半径,即可知有危险.(2)设快艇所走的直线AE与圆B相切,且与科考船相遇于点E.根据圆心B到直线AC的距离为85可求得直线OD的方程为y＝2x.进而联立方程可求得E(50,100),再计算两船的时间差即可得x的最小值.【详解】如图,以O为原点,正东方向为x轴,正北方向为y轴,建立直角坐标系xOy.因为OB＝13tan∠AOB＝23,OA＝100,所以点B(60,40),且A(100,0).（1）设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C,则OC＝5t＋2),AC＝50t.因为OA＝100,cos∠AOD 5,所以AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOD,即(50t)2＝1002＋5t＋2)]2－2×100×5t＋2)×5.化得t2＝4,解得t1＝2,t2＝－2（舍去）,所以OC＝5因为cos∠AOD 5,所以sin∠AOD25,所以C(40,80),所以直线AC的方程为y＝－43(x－100),即4x＋3y－400＝0.因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝2243+＝8,而圆B 的半径r ＝85,所以d ＜r ,此时直线AC 与圆B 相交,所以快艇有触礁的危险. 答：若快艇立即出发有触礁的危险.（2）设快艇所走的直线AE 与圆B 相切,且与科考船相遇于点E . 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100),即kx －y －100k ＝0. 因为直线AE 与圆B 相切,所以圆心B 到直线AC 的距离d 221k +＝85,即2k 2＋5k ＋2＝0,解得k ＝－2或k ＝－12. 由（1）可知k ＝－12舍去. 因为cos ∠AOD 5,所以tan ∠AOD ＝2,所以直线OD 的方程为y ＝2x . 由22(100)y x y x =⎧⎨=--⎩解得50100x y =⎧⎨=⎩所以E (50,100), 所以AE ＝5OE ＝5505105505＝55所以x ≥552＝35x 的最小值为35-. 【点睛】本题主要考查了建立直角坐标系求解三角形的问题,需要根据直线与圆的位置关系求出对应的量,并数形结合求解临界条件分析.属于中档题.18．如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2,0)和3⎛ ⎝⎭,椭圆C 上三点A ,M ,B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO .（1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点,求点M 的坐标；（3）若A ,M ,B ,O 四点共圆,求直线AB 的斜率.【答案】（1）24x ＋y 2＝1；（2）M (－1,±3；（3）±112 【解析】(1)将点()2,0-和3⎛ ⎝⎭代入椭圆22xa ＋22yb ＝1求解即可.(2)根据平行四边形AMBO 可知AM ∥BO ,且AM ＝BO ＝2.再设点M (x 0,y 0),则A (x 0＋2,y 0),代入椭圆C 求解即可.(3) 因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB ,再联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理代入OA u u u r ·OB uuu r＝x 1x 2＋y 1y 2＝0求解即可. 【详解】（1）因为椭圆22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)过点()2,0-和3⎛ ⎝⎭,所以a ＝2,21a ＋234b ＝1,解得b 2＝1,所以椭圆C 的方程为24x ＋y 2＝1.（2）因为B 为左顶点,所以B (－2,0).因为四边形AMBO 为平行四边形,所以AM ∥BO ,且AM ＝BO ＝2. 设点M (x 0,y 0),则A (x 0＋2,y 0).因为点M ,A 在椭圆C 上,所以()2200202014214x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩解得00132x y =-⎧⎪⎨=±⎪⎩所以M (－1,±32). （3）因为直线AB 的斜率存在,所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0,则有x 1＋x 2＝2814km k -+,x 1x 2＝224414m k-+. 因为平行四边形AMBO ,所以OM u u u u r ＝OA u u u r ＋OB uuu r＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2).因为x 1＋x 2＝2814km k -+,所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·2814km k -+＋2m ＝2214mk +,所以M (2814km k -+,2214m k+). 因为点M 在椭圆C 上,所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程,化得4m 2＝4k 2＋1.① 因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB ,所以OA u u u r ·OB uuu r ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝222414m k k -+,所以x 1x 2＋y 1y 2＝224414m k-+＋222414m k k -+＝0,化得5m 2＝4k 2＋4.②由①②解得k 2＝114,m 2＝3,此时△＞0,因此k ＝±2.所以所求直线AB 的斜率为±2. 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的基本求法,同时也考查了联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法,进而代入求解的问题.属于难题.19．已知函数()2xe f x x ax a=-+(a ∈R )，其中e 为自然对数的底数．（1）若1a =，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且()()2f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意()2,4a ∈，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．【答案】（1）()1,2；（2）()2,4；（3）见解析.【解析】（1）当1a =时，()21x e f x x x =-+，定义域为R .求出()'f x ，令()'0f x <，即得()f x 的单调减区间；（2）由函数()f x 的定义域为R ，得20x ax a -+≠恒成立，故240a a -<，得04a <<.分2,02,24a a a =<<<<三种情况讨论，即得a 的取值范围；（3）设切点为()()00,x f x ，求出()'0fx ，写出切线方程.把点()0,0代入，化简得()32000330x a x ax a -++-=.令()()()3233,2,4h x x a x ax a a =-++-∈，求出()'h x ，判断()h x 的单调性，结合零点存在定理，即可证明.【详解】（1）当1a =时，()21x e f x x x =-+，定义域为R..()()'22(1)(2)1x e x x fx xx --∴=-+．令()'0fx <，得12x <<，∴函数()f x 的单调减区间为()1,2．（2）由函数()f x 的定义域为R ，得20x ax a -+≠恒成立，240,04a a a ∴-<∴<<．由()2xe f x x ax a =-+，得()()'22()(2)x e x a x f x x ax a --=-+．当2a =时，()()2f f a =，不符合题意．当02a <<时，Q 当2a x <<时，()'0fx <，()f x ∴在(),2a 上单调递减，()()2f a f ∴>，不符题意．当24a <<时，Q 当2x a <<时，()'0fx <，()f x ∴在()2,a 上单调递减，()()2f f a ∴>，满足题意．综上，a 的取值范围为()2,4．（3）证明：设切点为()()00,x f x ，则()()0'000220()(2)x e x a x fx xax a --=-+，∴切线方程为()()()()0000022200002x x e x x a e y x x x ax a x ax a---=⨯--+-+．由()()()()000002220000200x x e x x a e x x ax a x ax a---=⨯--+-+，化简得()32000330x a x ax a -++-=．设()()()3233,2,4h x x a x ax a a =-++-∈，则只需证明函数()h x 有且仅有三个不同的零点．由(2)可知()2,4a ∈时，函数()h x 的定义域为R ，()()'23233h x x a x a =-++．()223433642702a a a ⎛⎫∆=+-=-+> ⎪⎝⎭Q 恒成立，()'0h x ∴=有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨12x x <．可得下表：所以函数h (x )最多有三个零点．()2,4a ∈Q ，()()()()00,120,240,550110h a h a h a h a ∴=-<=->=-<=->， ()()()()()()010,120,250h h h h h h ∴<<<．Q 函数()h x 的图象不间断，∴函数()h x 在()()()0,1,1,2,2,5上分别至少有一个零点．综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点，即对任意()2,4a ∈，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．【点睛】本题考查函数与方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20．若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”．（1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式；（2）若3()0n a n k k +-=＞，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围；（3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S ，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论．【答案】（1）(1)22n n n a -=；（2）(1，＋∞)；（3）存在满足条件的等差数列{}n c ，见解析【解析】（1）由题意知112n n n a a +=即12n n na a +=，利用累乘法即可求得通项公式；（2）由0n a ≠可得1k ≠，设1n n n ab a +=，根据题意{b n }为递增数列，只需12n k +-－11n k +-＞0恒成立即可求得满足题意的k 值；（3）根据{}n a 的通项公式求出n S ，利用放缩法及等比数列的前n 项和公式可得11(1)n n n n S p p p p <<+-，再次利用111(1)n p p p-<放缩可得1n n n S p p +<<，设n nc p=，易证其为等差数列，结论成立. 【详解】（1）由题意知，112n n n a a +=即12nn na a +=，所以(1)121123(1)1221121222122n n n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==L L L ，即数列{}n a 的通项公式为(1)22n n na -=.（2）因为3()0n a n k k +-=＞，且n ≥2，n ∈N 时，0n a ≠，所以1k ≠，设1n n n a b a +=，n ∈N ，所以3(1)3n n k b n k +-++-==1－12n k +-．因为{b n }为递增数列，所以10n n b b ->＋对n ∈N 恒成立，即12n k +-－11n k +-＞0对*n N ∈恒成立．因为12n k +-－11n k +-＝1(2)(1)n k n k +-+-，所以12n k +-－11n k +-＞0等价于()()210n k n k -+->+．当0＜k ≤1时，因为n ＝1时，()()210n k n k -+-<+，不符合题意．当k ＞1时，120n k n k +->+->，所以()()210n k n k -+->+，综上，k 的取值范围是(1)+∞，．（3）存在满足条件的等差数列{}n c ，证明如下：因为11111111k kkkk a p p a p p p -+-+==+++，k N *∈，所以2111111(1)()1111n n n n S p p p p p p-=+-++++++++L ，又因为1p >，所以110p->，所以2111111(1)()n n n n n S p p p p p p p-<<+-++++L ，即11(1)n n n n S p p p p <<+-，因为111(1)n p p p -<，所以1n n n S p p+<<，设n n c p=，则111n n n n c c p p p ++-=-=，且1n n n c S c +<<，所以存在等差数列{}n c 满足题意．【点睛】本题考查数列与不等式的综合问题，涉及累乘法求数列通项公式、等比数列的前n 项和性质、放缩法证明不等式、不等式的性质，属于较难题.21．已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，﹣2)．（1）求矩阵A ；（2）求点Q (0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q ′的坐标．【答案】（1）A ＝1120-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）(－3，6) 【解析】(1)根据点P 在矩阵A 变换下得到点(0,2)P '-，写出题目的关系式，列出关于a 的方程，即可求解；(2)先求出2A ，再按照点Q 关于矩阵2A 的变化，写出关系式后，即可求得点Q '的坐标.【详解】（1）110a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．因为点P 在矩阵A 变换下得到点(0,2)P '-，所以2a =-，所以A =1120-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．（2）因为A =1120-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以2=A 1120-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 1120-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=3122-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以2A 031322-⎡⎤=⎢⎥⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎦⎣0336-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，点Q ′的坐标为(－3，6)．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．【解析】消去参数，将曲线C 和直线l 的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离d ，加半径后即为结果. 【详解】曲线()2211C x y +-=：，直线l：0x =圆心()10C ，到l的距离设为12d += 故曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为112++，即32+. 【点睛】本题主要考查了将参数方程化为普通方程，圆上的点到直线距离的最值问题，属于基础题.23．已知为a ，b非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．【答案】见解析【解析】作差后因式分解，对,a b 大小分类讨论，即可确定因式分解后式子值得符号，从而证出不等式. 【详解】因为a ，b 为非负实数，所以3322()a b ab a b +-+ 3322a b a ab b ab =+--3232a a ab b b ab =-+-22()()a a a b b b b a =-+-55()[()()]a b a b =--，若a b ≥时，a b ≥，从而55()()a b ≥，得55()[()()]0a b a b --≥，若a b <时，a b <，从而55()()a b <，得55()[()()]0a b a b -->，综上，3322()a b ab a b +≥+．【点睛】本题主要考查作差法证明不等式，同时考查分类讨论的思想方法，属于基础题. 24．如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1．（1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线P C 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．【答案】（1）4；（2）不存在符合题意的点P ，理由见解析【解析】（1）根据直三棱柱，得到AA 1⊥平面ABC ，又AB ⊥AC ，以A 为原点，{AB u u u r ，AC u u u r ，1AA u u u r }为正交基底建立空间直角坐标系，设AA 1＝a ＞0，利用B 1C ⊥AC 1，由11=0B C AC ⋅u u u r u u u u r 求解.（2）假设存在，设1BP BB λ==u u u r u u u r (0，0，4λ)，(0,1)λ∈，得到CP u u u r ＝(3，﹣4，4λ)，由AB ⊥平面AA 1C 1C ，得到平面AA 1C 1C 的法向量为AB u u u r＝(3，0，0)，设PC 与平面AA 1C 1C所成角为α，代入sin cos ,CP AB α=<>u u u r u u u r 求解，再求得平面BA 1C 的一个法向量，设二面角B —A 1C —A 的大小为β，则cos cos ,n AB β=<>r u u u r ，然后根据αβ=，由22sin cos 1αβ+=求解.【详解】（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，又AB ，AC ⊂平面ABC ，故AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，又AB ⊥AC ，故以A 为原点，{AB u u u r ，AC u u u r ，1AA u u u r }为正交基底建立空间直角坐标系：设AA 1＝a ＞0，则A 1(0，0，a )，C (0，4，0)，B 1(3，0，a )，C 1(0，4，a )， 1B C u u u r ＝(﹣3，4，﹣a )，1AC uuu r ＝(0，4，a )，因为B 1C ⊥AC 1，故11=0B C AC ⋅u u u r u u u u r ，即2160a -=，又a ＞0，故a ＝4，即AA 1的长为4；（2）由（1）知：B (3，0，0)，B 1(3，0，4)，假设存在，设1BP BB λ==u u u r u u u r (0，0，4λ)，(0,1)λ∈，则P (3，0，4λ)，则CP u u u r ＝(3，﹣4，4λ)，因为AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，又AC I AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，所以AB ⊥平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C 的法向量为AB u u u r＝(3，0，0)，设PC 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则sin cos,CP ABCP ABCP ABα⋅=<>===⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r，设平面BA1C的一个法向量为nr＝(x，y，z)，平面AA1C的一个法向量为ABu u u r＝(3，0，0)，由（1）知：1ACu u u r＝(0，4，﹣4)，BCuuu r＝(﹣3，4，0)，ACu u u r＝(0，4，0)，则1340440n BC x yn AC y z⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u vvu u u vv，令3y=，则nr＝(4，3，3)设二面角B—A1C—A的大小为β，则cos cos,n ABn ABn ABβ⋅=<>===⋅r u u u rr u u u rr u u u r，因为αβ=，则22298sin cos1162517αβλ+=+=+，无解，故侧棱BB1上不存在符合题意的点P．【点睛】本题主要考查空间向量与两点间的距离，线面角，面面角的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.25．口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n N*∈)次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P．（1）求1P；（2）证明：1n nP P+<．【答案】（1）44125；（2）见解析【解析】（1）分别求出每次取出的球是白球和黑球的概率，由题意知最多抽3次，获奖即连续两次为白球或者前两次中有一次是白球第三次也是白球，求出其概率和即可；（2）依据取出白球次数是1n+，可分为以下情况：前n次取出n次白球，第n +1次取出的是白球，前n+1次取出n次白球，第n +2次取出的是白球，L L L L，前2n次取出n次白球，第2n +1次取出的是白球，分别求出对应的概率，相加可得n P，通过作差结合组合数性质即可得结果.【详解】（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35，所以1212222344()5555125P C =⨯+⨯⨯=；（2）证明：累计取出白球次数是 1n +的情况有：前n 次取出n 次白球，第n +1次取出的是白球，概率为12()5n n n C +⨯前n +1次取出n 次白球，第n +2次取出的是白球，概率为1123()55n n n C ++⨯⨯ L L L L前2n ﹣1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为112123()()55n n n n C +--⨯⨯ 前2n 次取出n 次白球，第2n +1次取出的是白球，概率为1223()()55n n n n C +⨯⨯ 则111112122323()()()()55555n n n n n n n n n n n P C C C +++-+-=⨯+⨯⨯++⨯⨯+L 11011121212232333()()()[()()]555555n n n n n n n n n n n n n C C C C C ++--+-⨯⨯=⨯+⨯++⨯+⨯L 因此2011111221222333()[()()]5555n n n n n n n n n n n P P C C C C ++++++++-=⨯+⨯++⨯+⨯L 1011112122333()[()()]5555n n n n n n n n n C C C C +--+--⨯+⨯++⨯+⨯L 101111221222333(){[()()]5555n n n n n n n n n C C C C +++++++=⨯+⨯++⨯+⨯L 01+1+1+222+12+12+23333[()()+()]}5555n n n n n n n n n n n C C C C C +-+⨯++⨯+⨯⨯L 则11111212221222333()[()()()]5555n n n n n n n n n n n n P P C C C ++++++++++-=⨯⨯-⨯-⨯ 1111222122233()()()555n n n n n n n n C C C +++++++=⨯--11112122233()()()555n n n n n n C C ++++++=⨯- 因为11111212221212121212133231()55555n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C +++++++++++++-=-+=-=-，所以11121231()()()0555n n n n n n P P C ++++-=⨯⨯-<，因此1n n P P +<．【点睛】本题主要考查了相互独立事件概率的计算，考查了组合数的性质，计算量较大，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于难题.。

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6
【点睛】本题主要考查的知识点是古典概型概率计算公式，属于基础题.
6.已知函数
y
sin
2x
2
2
的图像关于点
2 3
,
0
对称，则
的值是
________.
【答案】 3
【解析】
【分析】
将对称中心点的坐标代入函数中可求出的值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【详解】解：因为函数
y
sin 2x
2
2
的图像关于点
2 3
1
故答案为：．
3
1 1. 18 3
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算
能力，属于基础题．
9.已知函数 f x sin x 2x x3 .若 f a 6 f 2a2 0 ，则实数 a 的取值范围是
________.
【答案】
2,
3 2
【解析】【分析】
,
0
对称，
所以 0
sin
2
2 3
，解得
k
4 3
(k Z) ，
因为，所以
2
2
3
-3-
故答案为： 3
【点睛】此题考查正弦函数的对称性，对称中心性质的应用是关键，属于基础题.
7.已知 P ABC 是正三棱锥，其外接球 O 的表面积为16 ，且
APO BPO CPO 30 ，则该三棱锥的体积为________.
1
【答案】
3
【解析】
【分析】
求出焦点，由离心率求出斜率，表示出渐近线方程，用点到直线距离公式即可.
【详解】解： y 1 x2 的焦点 0，1 ，
4
双曲线的离心率等于
3，即
c a
3
，
c
2
=a
2
+b
2，c2 a2
1
b a
2
,
b a
2
2
则双曲线的渐近线方程为 y 2 2x ，
焦点 0，1 到双曲线的渐近线距离等于 d
先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性，从而脱去 f 解不等式即可.
【详解】由 f x sin x 2x x3 sin x 2x x3 f x 可知，
函数 f x 为奇函数，
f x cos x 2 3x2 0 在 R 上恒成立，所以 f x 为增函数，
由 f a 6 f 2a2 0 得 f a 6 f 2a2 ，即 f a 6 f 2a2 ，
1
【答案】
6
【解析】【分析】分别求出基本事件数，“点数之和为 6 的倍数”的种数，再根据概率公式解答即可.
【详解】基本事件共 6 6 36 个，
点数和为 6 的倍数的有 1,5 ， 2, 4 ， 3,3 ， 4, 2 ， 5,1 ， 6, 6 共 6 个，
故P 6 1， 36 6 1
故答案为： .
4.下图是一个算法流程图，若输入的 x 的值为 1，则输出 S 的值为________.
【答案】100 【解析】【分析】
根据题意，将 x 代入，按照程序框图计算即可得到结果. 【详解】模拟程序如下：输入 x 1 ， S 0 ； S 1，不满足 S 78； x 2 ， S 1 8 9 ，不满足 S 78； x 3 ， S 9 27 36 ，不满足 S 78； x 4 ， S 36 64 100 ，满足 S 78；
【详解】 A x 1 x 1, x Z 1, 0,1 ， A B 1, 0,1 .
故答案为：1, 0,1 .
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到绝对值不等式的求解，属于基础题.
2.已知复数 z 1 2ia i ，其中 i 是虚数单位.若 z 的实部为 0，则实数 a 的值为________.
【答案】 2 【解析】【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 得 a 的值.
【详解】∵ z 1 2ia i a 2 1 2ai ，且 z 的实部为 0，
∴ a 2 0 ，即 a 2 ，
故答案为： 2 . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题. 3.样本数据 6，7，10，14，8，9 的方差是________.
江苏省南师附中 2020 届高三模拟考试试卷（2020.6）数学
（满分 160 分，考试时间 120 分钟）参考公式：
样本数据 x1, x2 ,, xn 的方差 s2
1 n
n i 1
xi x
2 ，其中 x 1 n
n
xi .
i 1
锥体的体积V 1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 3
-2-
输出 100；故答案为：100. 【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于基础题. 5.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛郑 2 次，则出现向上的点数之和为 6 的倍数的概率是________.
球体的表面积 S 4 r2 ，其中 r 是球体的半径.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.
1.已知集合 A x x 1, x Z ， B x | 1, 0,1, 6 ，则 A B ________.
【答案】 1, 0,1
【解析】【分析】
根据绝对值不等式的解法求得集合 A ，再根据交集定义可求得结果.
V
1 3
S
ABC
PM
1 3
3 32 3 4
9 3， 4
故答案为： 9 3 ． 4
【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题，几何体的体积计算，属于中档题.．
-4-
8.若双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1
a 0,b 0
的离心率为 3，则抛物线 y 1 x2 的焦点到双曲线 C 4
的渐近线距离为________.
-1-
20
【答案】
3
【解析】
【分析】
先求平均数，再代入方差公式即可.
【详解】解： x 6 7 10 14 8 9 9 ， 6
s2 6 92 7 92 10 9 2 14 9 2 + 8 9 2 9 9 2 20 ，
6
3
20
故答案为： .
3
【点睛】考查方差的计算和运算求解能力，基础题.
9
【答案】
3
4
【解析】
【分析】
由球 O 的表面积求得半径，结合 30°及等腰三角形求得测棱长，进一步求得高和底面边长，得
解．
【详解】解：
如图，由 4 R2 16 ，可得 R 2 ，即 OP OA 2 ，
又 APO 30 PAO ，
AP 2 3 ，
AM 3 ， PM 3 ，
AB 3 ，