专题18 解直角三角形问题(解析版)
解直角三角形大题及答案
解直角三角形大题及答案直角三角形是初中数学中比较基础而重要的知识点，下面给出几道解直角三角形的大题及答案。
大题一已知直角三角形的一条直角边为6cm，另一条直角边为8cm，求斜边长。
解析：根据勾股定理可以求出斜边长，即$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
带入数据得$c=\sqrt{6^2+8^2}=10$，所以斜边长为10cm。
答案：10cm大题二如图，直角边AC长为12cm，BC长为16cm，连接AB并延长线段交CD于点D，且CE垂直于BD，求CE的长。
解析：首先要求出BD的长度。
由$AC^2+BC^2=BD^2$可得$BD=\sqrt{12^2+16^2}=20$。
然后根据相似三角形CC’E、B’BD可以列出比例$\frac{CE}{BD}=\frac{BC}{B'D}$，即$\frac{CE}{20}=\frac{16}{28}$，解之得$CE=\frac{80}{7}$。
答案：$\frac{80}{7}$cm大题三已知一艘轮船从岸边出发，航向为东北偏东，速度为20km/h，船行了300km到达目的地。
试画出向量图，并求出船行的时间。
解析：如图所示，$\vec{v}=(20\cos45\degree,20\sin45\degree)=(10\sqrt{2},10\sqrt{2})$。
由船行了300km可得船行时间为$\frac{300}{\|\vec{v}\|}=\frac{300}{20}=15$小时。
答案：15小时大题四如图，正方形ABCD中，P点在BC边上，$\anglePAD=45\degree$，PD=2，BP=4，则AP长为多少？解析：如图所示，由正方形ABCD的对称性可得$\angle PAD=\angle BCA=45\degree$，则$\triangle PAD$与$\triangle PBC$相似。
设$AP=x$，则$\frac{x}{4}=\frac{2}{x}$，解之得$x=2\sqrt{2}$。
专题18 全等三角形(专项训练)(解析版)
专题18 全等三角形一、单选题1．（2021·湖南怀化·九年级）如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分△EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF【答案】C【详解】由尺规作图的痕迹可得：GH垂直平分线段EF．故选C．2．（2021·江苏南京·九年级）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若△ADE＝m°，则△BAD的度数是（）A．m°B．1902m⎛⎫-⎪⎝⎭°C．（90－m）°D．3902m⎛⎫-⎪⎝⎭°【答案】D【分析】分别过点E、G作EF△CD、DG△AB，证明△CEF△△BDG、△DEF△△ADG，从而证明△CDE△△ADB，得到△EDC=△BAD，再利用等边对等角，用m表示出△AED和△CED，再利用平角的定义即可表示出△BAD的度数．【详解】解：分别过点E、G作EF△CD、DG△AB，垂直分别为F、G，△AB=AC ， △△B =△C ，△EF △CD ，DG △AB ， △△EFC =△DGB =90°， 在△CEF 和△BDG 中△△EFC ＝△DGB ，△C ＝△B ，CE ＝BD ， △△CEF △△DGB （AAS ）， △EF =DG ，在Rt △DEF 和Rt △ADG 中 △DE ＝AD ，EF ＝DG ， △Rt △DEF △Rt △ADG （HL ）， △△CED =△ADB ，△EDC =△DAB ， △AD =ED ，△ADE =m °， △△DEA =180-()2m °△△ADB =△CED =180-(180-)2m°， △△BAD =△EDC =180°-（△ADB +△ADE ）=180°-180-(180-+)2mm ° =3(90-)2m° ， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识，能够根据线段相等等已知条件构造全等三角形是解答此题的关键．3．（2021·江苏九年级）如图，Rt AOB Rt COD △≌△，直角边分别落在x 轴和y 轴上，斜边相交于点E ，且tan 2OAB ∠=．若四边形OAEC 的面积为12，反比例函数(0)ky x x=>的图像经过点E ，则k 的值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【分析】过点E 作EF OA ⊥于F ，EG OC ⊥于G ,连接OE ，证明三角形全等，得对应边相等，用来证明四边形为正方形，再根据tan 2OAB ∠=，建立边与边之间的等量关系，利用两直线平行和四边形的面积，即可求出解． 【详解】解：过点E 作EF OA ⊥于F ，EG OC ⊥于G ,连接OE ,如图：Rt AOB Rt COD △≌△，,,OA OC OB OD ABO CDO ∴==∠=∠，OB OC OD OA ∴-=-，即：BC AD =， 在BCE DAE =中，{ABO CDO BEC DEA BC AD ∠=∠∠=∠=，()BCE DAE AAS ∴≌， EC AE ∴=，在CEO 和AEO △中， OC OA OE OE EC EA =⎧⎪=⎨⎪=⎩()CEO AEO SSS ∴≌，45COE AOE ∴∠=∠=︒，COEAOESS=，,,EG OC EF AO OA OC ⊥⊥⊥，∴四边形OFEG 为正方形，EG EF OG OF ∴===，tan 2,2OBOAB OA∠=∴=， 设OA OC a ==，则2OB OD a ==， 设EG EF x ==，则OG OF x ==，//EG OA ，EG BGOA BO ∴=， 即：22x a x a a-=， 解得：23x a =， 22(,)33E a a ∴，四边形OAEC 的面积为12， 162AEOSS ∴==四边形OAEC， 162OA EF ∴⨯=， 12623a a ∴⨯⨯=， 解得：218a =， 22248339k a a a ∴=⨯==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，待定系数法，三角形全等的判定与性质，正方形的判定与性质，三角形的面积，解直角三角形，解题的关键是：利用点的坐标表示出相应线段的长度．4．（2021·山东九年级）如图，在ABC中，AB AC=，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于12BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若5,1AE BE==，则EC的长度是（）AB．C．9D【答案】A【分析】利用基本作图得到CE△AB，根据线段的和差关系可得AC=AB=6，然后利用勾股定理计算CE的长．【详解】△AE=5，BE=1，△AB=6，由作图可知CM为AB的垂线，即CE△AB，△在△ACE中，AC2=AE2+CE2，△AB=AC，△62=52+CE2，解得：CE（负值舍去），故选：A．【点睛】本题考查了基本作图及勾股定理，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题关键．5．（2021·江苏省天一中学九年级）如图，ABC中，△C=90o，BC＝8，AC＝6，点P在AB上，AP=3.6，点E从点A出发，沿AC运动到点C，连接PE，作射线PF垂直于PE，交直线BC于点F，EF的中点为Q，则在整个运动过程中，线段PQ扫过的面积为（）A．8B．6C．94πD．2516π【答案】B【分析】连接CQ，PQ，证明点Q在CP的垂直平分线上，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，可得PQ扫过的面积为△PMN的面积，证明△ABC△△ACP，得到MN△AB，再证明△CMN△△CBA，得到相似比，求出△CMN的面积即可得解．【详解】解：连接CQ，PQ，△△ACB=90°，PE△PF，Q为EF中点，△PQ=CQ=12EF，△点Q在CP的垂直平分线上，如图，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，△PQ扫过的面积为△PMN的面积，△△ACB=90°，AC=6，BC=8，△AB，△AP=3.6，则35AP ACAC AB==，又△C=△C，△△ABC△△ACP，△△APC =△ACB =90°，即CP △AB ， △MN △CP ， △MN △AB ，△△CMN △△CBA ，又MN 垂直平分CP ， △12CM CN CB CA ==，且△CMN 和△PMN 的面积相等， △S △PMN =S △CMN =14S △ABC =116842⨯⨯⨯=6，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是推出点Q 的路径，得到点Q 在CP 的垂直平分线上．6．（2021·吉林）如图，在ABC 中，90ACB ∠>︒按以下步骤作图：分别以点A 和C 为圆心，大于12AC 的边长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和N ；作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．若5cm AB =，则BC 的长可能是（ ）A ．7cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm【答案】D 【分析】由基本作图得到MN 垂直平分AC ，则DA =DC ，根据三角形三边的关系得到BC ＜CD +DB ，然后对各选项进行判断． 【详解】解：由作法得MN 垂直平分AC ， △DA =DC ，△CD +BD =DA +DB =AB =5， △BC ＜CD +DB ， △BC ＜5． 故选：D ． 【点睛】本题考查了作图-基本作图－作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质．7．（2021·广西柳州·）如图，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，AC =BC ，点M 在AC 边上，且A M=2，M C =6，动点P 在AB 边上，连接PC ，P M ，则PC +P M 的最小值是（ ）A ．B ．8C ．D ．10【答案】A 【分析】首先利用等腰三角形和垂直平分线的性质求出8AC '=和90C AC ∠'=︒，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如解图，过点C 作CO AB ⊥于点O ，延长CO 到点C '，使OC OC '=，连接MC '，交AB 于点P '，此时MC P M P C P M P C '='+''='+'的值最小，连接AC '，,,90CO AB AC BC ACB ⊥=∠=︒，1245ACO ACB ∴∠=∠=︒．,CO OC CO AB ='⊥，268AC CA AM MC ∴'==+=+=， 45OC A OCA ∴∠'=∠=︒， 90C AC ∴∠'=︒， C A AC ∴'⊥，MC ∴'=PC PM ∴+的最小值为故选：A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的应用和勾股定理，找到P 点的位置是关键．8．（2021·湖南长沙·九年级）如图，用直尺和圆规作图，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB ，OA 于点E 、D ，再分别以点E 、D 为圆心，大于12ED 的长为半径画弧，两弧交于点C ，连接OC ，则△ODC △OEC 的理由是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【答案】A 【分析】连接EC 、DC ．根据作图的过程知，OE=OD ，CE=CD ，利用SSS 即可证明△ODC △OEC ． 【详解】如图，连接EC 、DC ．根据作图的过程知，OE=OD ，CE=CD ， 在△EOC 与△DOC 中， OE OD OC OC CE CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， △△EOC △△DOC （SSS ）． 故选A ． 【点睛】本题考查了基本作图及三角形全等的判定方法，根据作图方法确定出三角形全等的条件是解决问题的关键． 9．（2021·四川宜宾市·）如图，在ABC 中，90,16,C AC AB ∠=︒=的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若:3:5CD DB =，则ABC 的面积为（ ）A ．16B ．32C ．48D ．64【答案】D 【分析】由于CD ：DB ＝3：5，可设DC ＝3x ，BD ＝5x ，由于MN 是线段AB 的垂直平分线，故AD ＝DB ，AD ＝5x ，又知AC ＝16，即可据此列方程解答． 【详解】解：△CD ：DB ＝3：5， △设DC ＝3x ，BD ＝5x ，又△MN 是线段AB 的垂直平分线， △AD ＝DB ＝5x ，又△AC＝16cm，△3x＋5x＝16，解得，x＝2，△CD＝6，DB＝10，在Rt△BDC中，CD＝6，DB＝10，BC8=，△△ABC的面积＝12AC×BC＝12×16×8＝64．故选D．10．（2021·河北唐山·）如图，所示的正方形网格中，一条A，B，C三点均在格点上，那么ABC的外接圆圆心是（）A．点E B．点F C．点G D．点H【答案】C【分析】由ABC的外接圆圆心在AB与BC的垂直平分线上，根据网格可知EG所在直线是AB的垂直平分线，BC 的垂直平分线是点G所在直线即可．【详解】解：△A，B，C三点均在格点上，连结BC，△ABC的外接圆圆心在AB与BC的垂直平分线上，由网格可知EG所在直线是AB的垂直平分线，BC的垂直平分线是点G所在直线，△点G是ABC的外接圆圆心．故选择：C．【点睛】本题考查网格三角形，三角形外接圆圆心，线段垂直平分线，掌握网格三角形，三角形外接圆圆心，线段垂直平分线是解题关键．二、填空题11．（2021·建昌县教师进修学校九年级）如图，在ABC中，AC＝4，BC＝8，分别以点A，B为圆心，等长为半径作弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，再以点F为圆心，DE长为半径作弧，交前弧于点G，连接AG并延长交BC于点H．则BH长_____．【答案】6【分析】根据尺规作图可得△CAH=△B，故可得到△ACH△△BCA，得到AC HCBC AC=，故可求出CH，从而求出BH的长．【详解】根据尺规作图可得△CAH=△B，又△C=△C△△ACH△△BCA△AC HC BC AC=△484HC =△HC=2故BH=BC-HC=6故答案为6．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知尺规作角相等的方法及相似三角形的判定定理． 12．（2021·建昌县教师进修学校九年级）如图，E 是正方形ABCD 外一点，连接AE ，BE ，DE ，AP △AE 交DE 于点P ，连接BP ，若AE ＝AP ＝1，PB △EB △ED ；△点B 到直线DE 的距离是1；△APDAPBSS+=；△S 正方形ABCD ．其中正确结论的序号为______．【答案】△△△ 【分析】根据正方形性质可得AD =AB ，△BAD =ADC =90°，再由AP △AE ，易证△ABE △△ADP ，再利用等腰直角三角形性质可得：△AEB =135°，进而可得：EB △ED ；由勾股定理即可求得BE =1，即点B 到直线DE 的距离为1；设正方形ABCD 边长为a ，根据勾股定理可得22212a a ⎛⎛⎫ -+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：22a=+，即可求得：APDAPBS S+=，2正方形2ABCD S a ==+，即可求解．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形， △AD =AB ，△BAD =△ADC =90° △AP △AE ， △△EAP =90°△△BAE +△BAP =△BAP +△DAP =90°， △△BAE =△DAP ， △AE =AP =1，△△ABE △△ADP （SAS ）， △△AEB =△APD ，BE =DP △△AEP 是等腰直角三角形，△△AEP =△APE =45°，EP ===，△△APD =180°-△APE =180°-45°=135°， △△AEB =135°，△△BED =△AEB -△AEP =135°-45°=90°， △EB △ED ，故△正确；△1BE ==，故△正确；过点E 作EF △AB 于点F ，过点P 作PG △AB 于点G ，△AF =BF ，△AFE =△PGA =90°， △△EAF +△P AG =△P AG +△APG =90°， △△EAF =△APG ， △△EAF △△APG （AAS ）， △EF =AG ，AF =PG ，设正方形ABCD 边长为a ，则AB =a ，12AF PG a ==，△AG EF ====，△BG AB AG a =-=-， 在Rt BPG △ 中，由勾股定理得：22212a a ⎛⎛⎫ -+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：22a =+，△()12APDAPBAEBAPBSSSSAB EF PG +=+=+1122a a ⎫⎪=+=⎪⎝⎭，故△正确；△2正方形2ABCD S a ==+，故△错误，故正确的有△△△． 故答案为：△△△． 【点睛】本题主要考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角形面积和正方形面积等；熟练掌握相关知识点是解题的关键．13．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级）如图，OA ＝OB ，AC ＝BC ，△ACO ＝30°，则△ACB ＝__．【答案】60° 【分析】利用SSS 证明△AOC △△BOC 可得△BCO ＝△ACO ＝30°，进而可求解△ACB 的度数． 【详解】解：在△ACO 和△BCO 中， OA OB AC BC OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， △△AOC △△BOC （SSS ）， △△BCO ＝△ACO ＝30°， △△ACB ＝△BCO +△ACO ＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．14．（2021·江苏）如图,在四边形ABCD 中,AB △DC ,过点C 作CE △BC ,交AD 于点E ,连接BE ,△BEC ＝△DEC ,若AB ＝6,则CD ＝___．【答案】3 【分析】延长AD ,BC 交于点P ,先证明BCE PCE ≅△△,可得到PC =BC ,从而得到CD 是ABP △ 的中位线,即可得出答案． 【详解】如图,延长AD ,BC 交于点P , △CE △BC ,△90PCE BCE ∠=∠=︒ , 又△△BEC ＝△DEC ,CE =CE , △()BCE PCE ASA ≅ , △PC =BC , △AB △DC ,△CD 是ABP △ 的中位线, △116322CD AB ==⨯= , 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理和三角形全等,解题的关键是做辅助线构造出三角形,找到三角形的中位线．15．（2021·江苏九年级）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则△1+△2＝___．【答案】135°【分析】直接利用网格证明△ABC△△CDE，得出对应角△1=△3，进而得出答案．【详解】解：如图所示：可知：AB=CD=3，BC=DE=1，△B=△D=90°，△△ABC△△CDE（SAS），△△1=△3，则△1+△2=△2+△3=135°．故答案为：135°．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．三、解答题16．（2021·西安市铁一中学九年级）如图，已知直线l外有一点P，请用尺规作图的方法在直线l上找一点Q，使得Q到P的距离最小（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析．【分析】以点P为圆心，适当长为半径，作弧交直线l于两点，再作以这两点为线段的垂直平分线，交直线于点Q 即可．【详解】解：如图，点Q即是所求作的点．【点睛】本题考查过直线外一点，作直线的垂直平分线，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．17．（2021·建昌县教师进修学校九年级）如图，在ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC＝4，过点C作MN△AB，点P为斜边BC上一点，点Q为直线MN上一点，连接PQ，作PR△PQ交直线AC于点R．（1）当点Q在射线CM上时△如图1，若P是BC的中点，则线段PQ，PR的数量关系为；△如图2，若P不是BC的中点，写出线段CP，CQ，CR之间的数量关系，并证明你的结论；（2）若14CP BC=，3CQ=，请直接写出CR的长．【答案】（1）△PQ＝PR；CQ CR+=，见解析；（2）5或1【分析】（1）△PQ＝PR；连结AP，△BAC＝90°，AB＝AC，可得△ACP=45°，由点P为BC中点，可得AP△BC，AP平分△BAC，可得△APQ+△QPC=90°，△P AC=45°，可求△RAP=135°，△ACP=△P AC=45°，可证△RAP△△QCP （ASA）即可；CQ CR+=．作PE △PC交AC于点E，可得△EPC＝90°，可得△EPQ+△QPC=90°，由PR△PQ，可得△RPE+△EPQ=90°，可得△RPE＝△QPC，再证△PER△△PCQ（ASA），可得ER＝CQ，在Rt△CEP中，利用三角函数可求CE=即可；（2）由△BAC＝90°，AB＝AC＝4，利用勾股定理可求BC=14CP BC=，可14CP BC=Q在MN上位置分两种情况：当点Q在CM上与点Q在CN上时，利用结论可求CR．【详解】（1）△连结AP，△△BAC＝90°，AB＝AC，△△ACP=45°，△点P为BC中点△AP△BC，AP平分△BAC，△△APQ+△QPC=90°，△P AC=45°，△△RAP=180°-△P AC=135°，△ACP=△P AC=45°△AP=CP，△RP△PQ，△△RP A+△APQ=90°，△△RP A=△QOC，△MN∥AB，△△ACQ=△BAC=90°，△△QCP=△ACQ+△PCA=90°+45°=135°=△RAP，在△RAP和△QCP中，RAP QCPAP CPRPA QPC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△RAP△△QCP（ASA），△PR=PQ，故答案为：PQ ＝PR ；CQ CR +=．证明：作PE △PC 交AC 于点E ，则△EPC ＝90°， △△EPQ+△QPC =90° △PR △PQ △△RPQ ＝90°， △△RPE +△EPQ =90°， △△RPE ＝△QPC ，△△BAC ＝90°，AB ＝AC ，MN △AB△△ABC ＝△ACB ＝45°，△ACM ＝△BAC ＝90° △△PEC ＝45°△PE ＝PC ，△PER ＝△PCQ ＝135°， 在△REP 和△QCP 中，REP QCP EP CPRPE QPC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△PER △△PCQ （ASA ）， △ER ＝CQ ，在Rt △CEP 中，cos △PEC ＝PC CE =CE = 又△CE ER CR +=，CQ CR +=．（2）△△BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，△BC = △14CP BC =△1144CP BC ==⨯ 当点Q 在CM 上时CR CQ =+当点Q 在CN 上时证明：作PE △PC 交CN 于点E ， 则△EPC ＝90°， △△EPR+△RPC =90° △PR △PQ △△RPQ ＝90°， △△RPE +△EPQ =90°， △△RPC ＝△QPE ，△△BAC ＝90°，AB ＝AC ，MN △AB△△ABC ＝△ACB ＝45°=△BCQ ，△ACN ＝△ACB +△BCQ =90°=△BAC△△PEC ＝45°△PE ＝PC ，△PEQ ＝△PCR ＝135°， 在△QEP 和△RCP 中，QEP RCP EP CPQPE RPC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△QEP △△RCP （ASA ）， △EQ ＝CR ，在Rt △CEP 中，cos △PEC＝PC CE =CE = 又△CR CE CR -=，△CQ CR =．=3CR CQ =△CR 的长为5或1． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，平行线性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段的和差，锐角三角函数，掌握等腰直角三角形的性质与判定，平行线性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段的和差，锐角三角函数是解题关键．18．（2021·广东广州·铁一中学）如图，90A ∠=︒，//AD BC ，点E 是AB 上的一点，且AE BC =，12∠=∠．求证：ADE BEC △△≌．【答案】见解析 【分析】根据等角对等边可得ED EC =，由此根据HL 证明Rt ADE △和Rt BEC △全等解答即可． 【详解】证明：12∠=∠，ED EC ∴=，△90A ∠=︒，//AD BC ， △18090B A ∠=︒-=︒∠， 在Rt ADE △和Rt BEC △中，AE BC ED EC=⎧⎨=⎩， Rt Rt (HL)ADE BEC ∴△≌△．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．19．（2021·江苏高港区·高港实验学校九年级）如图，在正方形ABCD 中，F 为BC 为边上的定点，E 、G 分别是AB 、CD 边上的动点，AF 和EG 交于点H 且AF △EG ．（1）求证：AF ＝EG ； （2）若AB ＝6，BF ＝2．△若BE ＝3，求AG 的长；△连结AG 、EF ，求AG ＋EF 的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）△【分析】（1）过点G 作GM △AD 交AB 于点M ，则可得AD =MG ，然后证明△GME △△ABF 即可；（2）△过点G 作GM △AD 交AB 于点M ，连接AG ，由（1）可得EM =BF =2，从而可求得AM ，在Rt △AMG 中由勾股定理即可求得AG 的长；△过点F 作FP △EG ，FP =EG ，连接AP ,则易得GP =EF ，当A 、G 、P 三点共线时，AG +EF 最小，在Rt △AFP 中由勾股定理即可求得AP 的长即可． 【详解】（1）过点G 作GM △AD 交AB 于点M △四边形ABCD 是正方形△△BAD =△B =90゜，AB △CD ，AD =AB △△EMG =△BAD =△B =90゜ △AB △CD ，GM △AD△四边形AMGD 是平行四边形 △△BAD =90゜△四边形AMGD 是矩形 △MG =AD △MG =AB △AF △EG△△AEH +△EAH =90゜ △△EAH +△AFB =90゜ △△AEH =△AFB 在△GME 和△ABF 中EMG B AEH AFB MG AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△GME △△ABF (AAS ) △AF =EG（2）△过点G作GM△AD交AB于点M，连接AG，如图由（1）知，△GME△△ABF△EM=BF=2△AB=6，BE=3△AE=AB－BE=3△AM=AE－EM=1在Rt△AMG中，GM=AD=6，由勾股定理得：AG=△过点F作FP△EG，FP=EG，连接AP,如图则四边形EFPG是平行四边形△GP=EF△AG+GP≥GP△当A、G、P三点共线时，AG+EF=AG+GP最小,最小值为线段AP的长△AF△EG，FP△EG△FP△AF在Rt△ABF中，由勾股定理得AF==△AF=EG，EG=FP△FP=AF=在Rt△AFP中，由勾股定理得AP=所以AG+EF的最小值为【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，灵活运用这些知识是解决的关键，确定AG+EF最小值是线段AP的长是难点．20．（2021·杭州市丰潭中学九年级）如图，已知AB是△O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交△O于点D，连接AD．设△B＝α，△ADC＝β．（1）求△BOD的度数（用含α，β的代数式表示）；（2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．（3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OC的长．【答案】（1）△BOD＝2α+2β；（2）AC（3）OC．【分析】（1）作辅助线OA，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可确定△DOB的值；（2）分析△ACD中只有△D可能等于30°，得出△D的对应角为△B，根据相垂径定理可得出AC的长；（3）先根据比例中项得出a和b的关系式，再证明△ACD△△OCA，再得出AD和AC的关系式，两式联立即可求出AC、AD，从而求出OC．【详解】解：（1）连接AO，如图：△OA ＝OD ，OA ＝OB ，△B ＝α，△ADC ＝β， △△OAD ＝△ADC ＝α，△OAB ＝△B ＝β，△△BOD ＝2△DAB ＝2（△OAD +△OAB ）＝2α+2β； （2）△点C 不与A 、B 重合， △△DAC ＞30°，△ACD ＞30°， △△ACD △△OCB ， △△D ＝△B ＝α＝30°，由（1）知△DOB ＝2（30°+30°）＝120°， △△BOC ＝60°， △△OCB ＝90°，根据垂径定理知C 是AB 的中点，△AC ＝BC ＝OB •cos 30°＝1=（3）△α＝β， △△ADO =△ABO ， △OA =OD =OB ，△△ADO =△OAD =△ABO =△OAB ， △△ADO △△ABO ，△OA 是△DAC 的角平分线，设AD ＝a ，AC =b ，AD 、AC 边上的高为h ， 则：112S ah =，212S bh =，3()12S a b h =-，又△S 2是S 1和S 3的比例中项，△2213S S S =•，即211()()1222bh ah a b h =•-，化简得a 2﹣b 2＝ab △，△α＝β， △△DOB ＝4α， △△DCB ＝3α， △△AOC ＝△DAC ＝2α， △△ACO ～△DCA ， △AO COA C A C D A C D ==， △11b OCa OC b+==，整理得：bOC a=，a 2b ＝a +b △， 联立△△得：1a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩△OC=21．（2021·珠海市九洲中学九年级）如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线．（1）利用尺规作出AC 的垂直平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AC 的垂直平分线分别与AB 、AC 、CD 交于点E 、O 、F ，求证：OE OF =． 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解 【分析】（1）如图可得AC 的垂直平分线；（2）由根据作图知，PQ 是AC 的垂直平分线，又由四边形ABCD 是平行四边形，易证得△AOE △△COF ，继而证得结论． 【详解】 解：（1）如图：（2）证明：根据作图知，PQ 是AC 的垂直平分线， △OA ＝OC ，且EF △AC ， △四边形ABCD 是平行四边形， △AB △CD ， △△OAE ＝△OCF ， 在△OAE 和△OCF 中， OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△AOE △△COF （ASA ）， △OE ＝OF ． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质与作法以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．22．（2021·温州绣山中学九年级）如图，在△ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AE △BD ，CF △BD ，垂足分别为E ，F ． （1）求证：EO ＝FO ；（2）若AE ＝EF ＝4，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，△ABE =△CDF ，然后根据题意证明ABE CDF △≌△即可．（2）根据OE =OF =12EF 求出OE 的长度，然后根据勾股定理求出AO 的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出AC 的长度． 【详解】（1）△四边形ABCD 是平行四边形， △AB =CD ，AB △CD ， △△ABE =△CDF ， △AE △ED ，CF △BD ， △△AEB =△CFD =90°， 在△ABE 和△CDF 中，AEB CFD ABE CDF AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()ABE CDF AAS △≌△， △BE =DF ， △OB =OD ， △OB -BE =OD -DF ， △OE =OF ．（2）△AE ＝EF ＝4， △OE =OF ＝122EF =，△在Rt AEO中，AO =△2AC AO == 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理．23．（2021·福建泉州五中）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ，求证：BE DF =．【答案】见解析．【分析】根据平行四边形的性质可得AB ＝CD ，△B ＝△D ，然后利用AAS 定理证明△ABE △△CFD 可得BE ＝DF【详解】 证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，B D ∠=∠，AE BC ⊥，CF AD ⊥，90AEB CFD ∴∠=∠=︒在ABE ∆和CDF ∆中，AEB CFD B DAB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF AAS ∴∆≅∆，BE DF ∴=．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质的作用：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法．。
专题18 三角形(解析版)
专题18三角形【考查题型】【知识要点】知识点一三角形的概念三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形的表示：用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。
三角形的分类：1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形2）三角形按角分类：三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。
三角形三边的关系：1）三角形的任意两边之和大于第三边。
2）三角形的任意两边之差小于第三边。
几何描述：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
3）判断三条线段能否组成三角形，只需判断上述两个条件满足其一即可。
【解题技巧】已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的稳定性:三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了。
【注意事项】1）三角形具有稳定性;2）四边形及多边形不具有稳定性;3）要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
考查题型一三角形的稳定性题型1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D ．【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．题型1-1．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（）A ．平行四边形B ．三角形C ．长方形D ．正方形考查题型二三角形的三边关系题型2．（2022·江苏淮安·中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．3，3，6B ．3，5，10C ．4，6，9D ．4，5，9【答案】C【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【详解】A.∵336+=，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B.∵3510+<，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C.∵469+>，649-<，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；D.∵459+=，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．题型2-1．（2022·浙江衢州·中考真题）线段a b c ，，首尾顺次相接组成三角形，若13a b ==，，则c 的长度可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6题型2-2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a 的值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a ．则底边长为6﹣2a ．题型2-3．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d 的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d 可能是（）A ．1B ．2C ．7D ．8在ABC 中，5115a -<<+，即46a <<，在CDE 中，1111b -<<+，即02b <<，所以48a b <+<，26a b <-<，在ACE △中，a b d a b -<<+，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．题型2-4．（2022·青海西宁·中考真题）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．2B．5C．10D．11【答案】B【分析】根据三角形三边关系定理得出6-4＜a＜6+4，求出a的取值范围，即可求解．【详解】解：由三角形三边关系定理得：6-4<a<6+4，即2<a<10，即符合的整数a的值是5，故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边关系，能根据三角形三边关系定理得出4-3＜a＜4+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．题型2-5．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．知识点二与三角形有关的线段三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
解直角三角形实际问题 (含答案)
解直角三角形实际问题1.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）2.为方便市民通行，某广场计划对坡角为30°,坡长为60米的斜坡AB进行改造,在斜坡中点D处挖去部分坡体（阴影表示）,修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（1）若修建的斜坡BE的坡角为36°,则平台DE的长约为多少米？（2）在距离坡角A点27米远的G处是商场主楼,小明在D点测得主楼顶部H的仰角为30°，那么主楼GH高约为多少米？（结果取整数,参考数据：sin36°=0.6,cos36°=0.8,tan36°=0.7， =1.7）3.如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后.选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度.他们先在斜坡上的D处,测得建筑物顶的仰角为30°.且D离地面的高度DE=5m.坡底EA=10m,然后在A处测得建筑物顶B 的仰角是50°,点E,A,C在同一水平线上,求建筑物BC的高．（结果保留整数）4.如图,在小山的西侧A处有一热气球,以25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为15°的方向升空,40分钟后到达B处,这时热气球上的人发现,在A处的正东方向有一处着火点C,在B处测得着火点C的俯角为30°,求热气球升空点A与着火点C的距离.（结果保留根号）5.如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD,其中AD∥BC,坝顶BC=10米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1:2.5,斜坡CD的坡角为30°．（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）6.某中学广场上有旗杆如图①所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图②，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR 为2米，求旗杆的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08).7.为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下车库的设计示意图（如图），按规定，地下车库坡道口上方要张贴限高标志，以便高职停车人车辆能否安全驶入.（1）图中线段CD 填“是”或“不是”）表示限高的线段，如果不是，请在图中画出表示限高的线段；（2）一辆长×宽×高位3916×1650×1465（单位：mm）的轿车欲进入车库停车，请通过计算，判断该汽车能否进入该车库停车？（本小问中3取1.7，精确到0.1）8.如图，在一次数学室外活动课上，小明和小红合作一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M 的仰角为30°，两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．请求出旗杆MN的高度．（参考数据：≈1.4，，1.7，结果保留整数．）9.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图1），A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图2），点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）10.如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）答案1.解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10（m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．2.解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）为36°，∴∠BEF=36°，∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，∴BF=0.5BD=15，DF=15≈25.98，EF==≈21.43故：DE=DF﹣EF=4（米）；（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DPA中，DP=0.5AD=0.5×30=15，PA=AD•cos30°=×30=15，在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=×（15+27）=15+9，GH=HM+MG=15+15+9≈45米．答：建筑物GH高约为45米．3.解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，如图所示：则四边形DMCN是矩形，DH=EC，DE=HC，设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，在Rt△DHB中，∠BDH=30°，∴DH=（x﹣5），AC=EC﹣EA=（x﹣5）﹣10，在Rt△ACB中，∠BAC=50°，tan∠BAC=，∴x=tan50°•[（x﹣5）]，解得：x≈21，答：建筑物BC的高约为21m．4.解：作AD⊥BC垂足为D，AB=40×25=1000，∵BE∥AC，∴∠C=∠EBC=30°，∠ABD=90°﹣30°﹣15°=45°，在Rt△ABD中，sin∠ABD=，AD=ABsin∠ABD=1000×sin45°=1000×=500，AC=2AD=1000，答：热气球升空点A与着火点C的距离是1000米．5.解：（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，∴EF=BC=10米，∵BE=20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，∴AE=50米，∵CF=20米，斜坡CD的坡角为30°，∴DF==20≈35米，∴AD=AE+EF+FD=95米；（2）建筑这个大坝需要的土石料：×（95+10）×20×100=105000米3．6.解：7.解：8.解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2（m），在Rt△AEM中，∵∠AEM=90°，∠MAE=45°，∴AE=ME．设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28﹣x）m．在Rt△MFC中，∵∠MFC=90°，∠MCF=30°，∴MF=CF•tan∠MCF，∴x+0.2=（28﹣x），解得x≈9.7，∴MN=ME+EN=9.7+1.7≈11米．答：旗杆MN的高度约为11米．9.10.。
中考重难点易错专题18 转化的数学思想在压轴题中的应用(解析版)
专题18转化的数学思想在压轴题中的应用【题型概述】转化思想在数学压轴题中应用比较广泛，例如在几何压轴题中，多应用转化思想，具体表现为利用平移、旋转、翻折、全等等图形变换或者等量变换将未知的问题转化为已知问题，将复杂的问题转化为简单的问题。
【真题精析】例1.(2022·山东烟台·统考中考真题)(1)【问题呈现】如图1，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接BD ，CE ．求证：BD =CE ．(2)【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°．连接BD ，CE ．请直接写出BD CE 的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC 和△ADE 都是直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，且AB BC=AD DE =34．连接BD ，CE ．①求BD CE的值；②延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ．求sin ∠BFC 的值．【思路分析】(1)证明△BAD ≌△CAE ，从而得出结论；(2)证明△BAD ∽△CAE ，进而得出结果；(3)①先证明△ABC ∽△ADE ，再证得△CAE ∽△BAD ，进而得出结果；②在①的基础上得出∠ACE =∠ABD ，进而∠BFC =∠BAC ，进一步得出结果．【答案】(1)见解析(2)22(3)①35；②45【详解】(1)证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AD =AE ，AB =AC ，∠DAE =∠BAC =60°，∴∠DAE -∠BAE =∠BAC -∠BAE ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴BD =CE ；(2)解：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB AE =AB AC =12，∠DAE =∠BAC =45°，∴∠DAE -∠BAE =∠BAC -∠BAE ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD∽△CAE，∴BD CE=ABAC=12=22；(3)解：①ABAC=ADDE=34，∠ABC=∠ADE=90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，ABAC=ADAE=35，∴∠CAE=∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴BD CE=ADAE=35；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE=∠ABD，∵∠AGC=∠BGF，∴∠BFC=∠BAC，∴sin∠BFC=BCAC=4 5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．例2.(2022·山东潍坊·中考真题)【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG,BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE=OF．请你证明：AG=BH．【迁移应用】延长GA分别交HO,HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB,AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【思路分析】证明△BOH≅△AOG，即可得出结论；通过∠BHO=∠AGO，可以求出∠DGH+∠BHO+∠OHG=90°，得出结论AG⊥BH；证明△BOH∽△AOG，得出AGBH=OAOB=33，得出结论；【答案】证明见解析；垂直；BH=3AG【详解】证明：∵AB=AC,AO⊥BC，∴OA=OB,∠AOB=90°，∵∠BOH+∠AOH=90°,∠AOG+∠AOH=90°，∴∠BOH=∠AOG，∵OH=OG，∴△BOH≅△AOG，∴AG=BH；迁移应用：DG⊥BH，证明：∵△BOH≅△AOG，∴∠BHO=∠AGO，∵∠DGH+∠AGO=45°，∴∠DGH+∠BHO=45°，∵∠OHG=45°，∴∠DGH+∠BHO+∠OHG=90°，∴∠HDG=90°，∴DG⊥BH；拓展延伸：BH=3AG，证明：在Rt△AOB中，tan30°=OAOB=33，在Rt△HOG中，tan30°=OGOH=33，∴OA OB=OG OH，由上一问题可知，∠BOH=∠AOG，∴△BOH∽△AOG，∴AG BH=OAOB=33，∴BH=3AG．【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质．例3.(2022·广西贵港·中考真题)已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD在AC的右侧，BD=2AC，AD与BC相交于点O．(1)如图1，若连接CD，则△BCD的形状为，AOAD的值为；(2)若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE．①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若AC =32，求OE 的长；②如图3，当∠ACB =60°时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF ⊥AB ．【思路分析】(1)过点C 作CH ⊥BD 于H ，可得四边形ABHC 是矩形，即可求得AC =BH ，进而可判断△BCD 的形状，AC 、BD 都垂直于l ，可得△AOC ∽△BOD ，根据三角形相似的性质即可求解．(2)①过点E 作EF ⊥AD 于点H ，AC ，BD 均是直线l 的垂线段，可得AC ⎳BD ，根据等边三角形的性质可得∠BAD =30°，再利用勾股定理即可求解．②连接CD ，根据AC ⎳BD ，得∠CBD =∠ACB =60°，即△BCD 是等边三角形，把△ABD 旋转得∠ECD =∠ABD=90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到AF AB =AO AD=13，则可得△AOF ∽△ADB ，根据三角形相似的性质即可求证结论．【答案】(1)等腰三角形，13(2)①OE =27；②见解析【详解】(1)解：过点C 作CH ⊥BD 于H ，如图所示：∵AC ⊥l ，DB ⊥l ，CH ⊥BD ，∴∠CAB =∠ABD =∠CHB =90°，∴四边形ABHC 是矩形，∴AC =BH ，又∵BD =2AC ，∴AC =BH =DH ，且CH ⊥BD ，∴△BCD 的形状为等腰三角形，∵AC 、BD 都垂直于l ，∴AC ⎳BD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AO DO =AC DB =AC 2AC =12，即DO =2AO ，∴AO AD =AO AO +DO =AO 3AO =13，故答案为：等腰三角形，13．(2)①过点E 作EF ⊥AD 于点H ，如图所示：∵AC ，BD 均是直线l 的垂线段，∴AC ⎳BD ，∵△ADE是等边三角形，且AE与AC重合，∴∠EAD=60°，∴∠ADB=∠EAD=60°，∴∠BAD=30°，∴在Rt△ADB中，AD=2BD，AB=3BD，又∵BD=2AC，AC=3 2，∴AD=6,AB=33，∴AH=DH=12AD=3，AE=6在Rt△AEH中，EH=AE2-AH2=62-32=33，又由(1)知AOAD=13，∴AO=13AD=2，则OH=1，∴在Rt△EOH中，由勾股定理得：OE=EH2+OH2=27．②连接CD，如图3所示：∵AC⎳BD，∴∠CBD=∠ACB=60°，∵由(1)知△BCD是等腰三角形，∴△BCD是等边三角形，又∵△ADE是等边三角形，∴△ABD绕点D顺时针旋转60°后与△ECD重合，∴∠ECD=∠ABD=90°，又∵∠BCD=∠ACB=60°，∴∠ACF=∠FCB=∠FBC=30°，∴FC=FB=2AF，∴AF AB=AOAD=13，又∠OAF=∠DAB，∴△AOF∽△ADB，∴∠AFO=∠ABD=90°，∴OF⊥AB．【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．【精练模拟题】例1.(2022·山东济宁·校考二模)如图1，正方形ABCD对角线AC、BD交于点O，E、F分别为正方形ABCD边AB、AD上的点，EF⊥AC交于点M，且ME=MF，N为BF中点．(1)请直接写出ON与OM的数量关系(2)若将△AEF绕点A旋转到图2所示位置时，(1)中的结论是否成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由；(3)若AB=8，E为AB中点，△AEF绕点A旋转过程中，直接写出点M与点C的最大距离．【答案】(1)OM=2ON(2)成立，证明见解析(3)42【思路分析】(1)如图1，连接MN，由正方形的性质可知，O是BD的中点，AB=AD，∠BAD=90°，由ME=MF 可知M为EF的中点，△AEF是等腰直角三角形，则BE=DF，由N为BF中点，可知MN和ON分别为△BEF 和△BDF的中位线，根据中位线的性质可得∠MNO=90°，MN=ON，在Rt△MON中，由勾股定理可求得OM= 2ON；(2)如图2，连接MN，连接BE、DF交于点H，证明△DAF≌△BAE SAS，则，DF=BE∠ADF=∠ABE，在△BDH中，由三角形内角和求得∠BHD=90°，则BE⊥DF，MN和ON分别为△BEF和△BDF的中位线，根据中位线的性质可得∠MNO=90°，MN=ON，在Rt△MON中，由勾股定理可求得OM=2ON；(3)由题意知，AE=12AB=4，AM=AE sin45°=22，可知M在以A为圆心，22为半径的圆上运动，如图3，由题意知，当C、A、M三点共线时，CM取最大与最小值，根据二者的差为⊙A的直径计算求解即可．【详解】(1)解：OM=2ON．如图1，连接MN，由正方形的性质得，O是BD的中点，AB=AD，∠BAD=90°，∵ME=MF，∴M为EF的中点，且EF⊥AC，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=AF，BE=DF，∵N为BF中点，∴MN和ON分别为△BEF和△BDF的中位线，∴MN∥AB，ON∥AD，MN=12BE，ON=12DF，∴∠MNO=90°，MN=ON，在Rt△MON中，由勾股定理得OM=MN2+ON2=2ON，∴OM=2ON．(2)解：成立．证明如下：如图2，连接MN，连接BE、DF交于点H，由(1)知AE=AF，∠EAF=90°，由正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，∵∠DAF=∠DAE+∠EAF，∠BAE=∠BAD+∠DAE，∴∠DAF=∠BAE，在△DAF和△BAE中∵AF=AE∠DAF=∠BAE AD=AB，∴△DAF≌△BAE SAS，∴DF=BE，∠ADF=∠ABE，∴∠BHD=180°-∠ABD-∠ABE-∠ADB+∠ADF=90°，∴BE⊥DF，∵M为EF的中点，N为BF中点，∴MN和ON分别为△BEF和△BDF的中位线，∴MN∥BE，ON∥DF，MN=12BE，ON=12DF，∴∠MNO=90°，MN=ON，在Rt△MON中，由勾股定理得OM=MN2+ON2=2ON，∴OM=2ON．(3)解：由题意知，AE=12AB=4，AM=AE sin45°=22，∴M在以A为圆心，22为半径的圆上运动，如图3，由题意知，当C、A、M三点共线时，CM取最大与最小值，且最大与最小的差为⊙A的直径42，∴点M与点C的最大距离和最小距离的差为42．故答案为∶42例2.(2022·湖北省直辖县级单位·校考一模)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点A作直线MN，使∠CAB=∠CAM，过点B作BN⊥MN于点N，过点C作CM⊥MN于点M．(1)猜想∠ACM与∠BAN的数量关系，并说明理由；(2)求证：AB=AN+2AM；(3)如图2，连接NC交AB于点G，若CG=34NG，CM=6，求AC的长．【答案】(1)∠BAN=2∠ACM，理由见解析(2)证明见解析(3)6305【思路分析】(1)根据直角三角形两锐角互余得到∠CAM=90°-∠ACM，再由平角的定义得到2∠CAM+∠BAN =180°，由此即可推出结论；(2)如图所示，过点C作CD⊥AB于D，证明△CAM≌△CAD，AD=AM，CM=CD，再证明A、C、B、N四点共圆，得到∠ABC=∠ANC，进而证明△CMN≌△CDB，得到BD=MN，由此即可证明结论；(3)如图所示，过点N作NE⊥AB于E，过点C作CH⊥BN于H，则四边形CMNH是矩形，得到NH=CM=6，再由全等三角形的性质和三线合一定理得到，BN=2NH=12，证明△CDG∽△NEG，推出NE=8，利用勾股定理求出BE=45，证明△ABN∽△NBE，求出AB=3655,AN=2455，进而求出AM=655，则AC=AM2+CM2=6305．【详解】(1)解：∠BAN=2∠ACM，理由如下；∵CM⊥MN，即∠M=90°，∴∠ACM+∠CAM=90°，∴∠CAM=90°-∠ACM∵∠CAB=∠CAM，∠CAB+∠CAM+∠BAN=180°，∴2∠CAM+∠BAN=180°，∴180°-2∠ACM+∠BAN=180°，∴∠BAN=2∠ACM；(2)证明：如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∴∠M=∠CDA=90°，又∵∠CAD=∠CAM，CA=CA，∴△CAM≌△CAD AAS，∴AD=AM，CM=CD，∵BN⊥MN，∴∠BNA=∠ACB=90°，∴A、C、B、N四点共圆，∴∠ABC=∠ANC，又∵∠CMN=∠CDB=90°，CM=CD，∴△CMN≌△CDB AAS，∴BD=MN，∴AB=AD+BD=AM+MN=AM+AM+AN=2AM+AN；(3)解：如图所示，过点N作NE⊥AB于E，过点C作CH⊥BN于H，则四边形CMNH是矩形，∴NH=CM=6，∵△CMN≌△CDB，∴CN=CB，∴BN=2NH=12，∵CD⊥AB，NE⊥AB，∴CD∥NE，∴△CDG∽△NEG，∴NE CD=NG CG，∵CG=34NG，∴NE CD=4 3，又∵CD=CM=6，∴NE=8，∴BE=BN2-NE2=45，∵∠NEB=∠ANB，∠NBE=∠ABN，∴△ABN∽△NBE，∴AB NB=ANNE=BNBE，即AB12=AN8=1245，∴AB=3655,AN=245 5，∴AM=AB-AN2=65 5，∴AC=AM2+CM2=6305．例3.(2021·北京·一模)在正方形ABCD中，点E在射线BC上(不与点B、C重合)，连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．(1)如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB=6，EC=2，求BF的长；(2)如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析；②BF=22(2)BF+BD=2BE，证明见解析【思路分析】(1)①根据题意作图即可；②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，证明△DEC≌△EFH得到EC=FH=2，CD=BC=EH=6，则HB=EC=2，在Rt△FHB中，利用勾股定理即可求解；(2)过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，证明△DEC≌△EFH得到EC=FH，CD=BC=EH，则HB= EC=HF，△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可．1)①如图所示，即为所求；【详解】(②如图所示，过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB=6，∠C=90°，∵∠DEF=∠C=90°，∴∠DEC+∠FEH=90°，∠DEC+∠EDC=90°，∴∠FEH=∠EDC，在△DEC和△EFH中，∠H=∠C=90°，∠FEH=∠EDCEF=DE∴△DEC≌△EFH，∴EC =FH =2，CD =BC =EH =6，∴HB =EC =2，∴在Rt △FHB 中，BF =FH 2+BH 2=22+22=22．(2)结论：BF +BD =2BE ，理由如下：过点F 作FH⊥CB ，交CB 的延长线于H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CD =AB ，∠DCE =90°，∵∠DEF =∠DCE =90°，∴∠DEC +∠FEH =90°，∠DEC +∠EDC =90°，∴∠FEH =∠EDC ，在△DEC 和△EFH 中，∠FHE =∠DCE =90°∠FEH =∠EDC EF =DE，∴△DEC ≌△EFH ，∴EC =FH ，CD =BC =EH ，∴HB =EC =HF ，∴△DCB 和△BHF 都是等腰直角三角形，∴BD =BC 2+CD 2=2BC =2EH ，BF =BH 2+HF 2=2BH ，∵EH +BH =BE ，∴BF +BD =2BE ．例4.(2021·安徽·统考三模)已知：在△EFG 中，∠EFG =90°，EF =FG ，且点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，AD 上．(1)如图1，当点G 在CD 上时，求证：△AEF ≌△DFG ；(2)如图2，若F 是AD 的中点，FG 与CD 相交于点N ，连接EN ，求证：EN =AE +DN ；(3)如图3，若AE =AD ，EG ，FG 分别交CD 于点M ，N ，求证：MG 2=MN ⋅MD【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析【思路分析】1 先用同角的余角相等，判断出∠AEF=∠DFG，即可得出结论；2 先判断出△AHF≌△DNF，得出AH=DN，FH=FN，进而判断出EH=EN，即可得出结论；3 先判断出AF=PG，PF=AE，进而判断出PG=PD，得出∠MDG=45°，进而得出∠FGE=∠GDM，判断出△MGN∽△MDG，即可得出结论．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°，∵∠EFG=90°，∴∠AFE+∠DFG=90°，∴∠AEF=∠DFG，∵EF=FG，在△AEF和△DFG中，∠FAE=∠GDF∠AEF=∠DFGEF=FG∴△AEF≌△DFG AAS；(2)证明：如图2，延长NF，EA相交于H，∴∠AFH=∠DFN，由1 知，∠EAF=∠D=90°，∴∠HAF=∠D=90°，∵点F是AD的中点，∴AF=DF，在△AHF和△DNF中，∠HFA=∠NFDAF=DF∠HAF=∠NDF∴△AHF≌△DNF ASA，∴AH=DN，FH=FN，∵∠EFN=90°，∴EH=EN，∵EH=AE+AH=AE+DN，∴EN=AE+DN；(3)证明：如图3，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P=90°，同1 的方法得，△AEF≌△PFG AAS，∴AF=PG，PF=AE，∵AE=AD，∴PF=AD，∴AF=PD，∴PG=PD，∵∠P=90°，∴∠PDG=45°，∴∠MDG=45°，在Rt△EFG中，EF=FG，∴∠FGE=45°，∴∠FGE=∠GDM，∵∠GMN=∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴MG DM=MN MG，∴MG2=MN⋅MD．例5.(2022·江苏扬州·校考三模)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，【问题发现】(1)如图1，E为边DC上的一个点，连接BE，过点C作BE的垂线交AD于点F，试猜想BE与CF的数量关系并说明理由．【类比探究】(2)如图2，G为边AB上的一个点，E为边CD延长线上的一个点，连接GE交AD于点H，过点C作GE的垂线交AD于点F，试猜想GE与CF的数量关系并说明理由．【拓展延伸】(3)如图3，点E从点B出发沿射线BC运动，连接AE，过点B作AE的垂线交射线CD于点F，过点E作BF的平行线，过点F作BC的平行线，两平行线交于点H，连接DH，在点E的运动的路程中，线段DH的长度是否存在最小值？若存在，求出线段DH长度的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)BE=43CF，理由见解析(2)GE=43CF，理由见解析(3)存在，DH长度的最小值为3.6【思路分析】(1)证明△BCE∽△CDF，即可得解；(2)过点G作CD的垂线交CD于点M，证明△GME∽△CDF，即可得解；(3)过点H作HK⊥BC于点K，连接HC,AC，则四边形FCKH是矩形，证明∠AEB∽△BFC，得出CKHK=FH BC=BE FC=34，根据∠HKC=∠ABC=90°，可得△ABC∽△CKH，得出H在HC上运动，当DH⊥HC时，DH最小，进而求得sin∠DCH=35，根据DH=DC×sin∠DCH，即可求解．【详解】(1)解：BE=43CF，理由如下：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=∠CDA=90°,CD=AB=8，∴∠BCF+∠DCF=90°，∵BE⊥CF，∴∠BCF+∠EBC=90°，∴∠DCF=∠EBC，∴△BCE∽△CDF，∴BE CF=BCCD=86=43，∴BE=43CF；(2)解：GE=43CF，理由如下：过点G作CD的垂线交CD于点M，如图所示：则四边形BCGM为矩形，∴GM=BC=8，∵GM⊥CD，∴∠EGM+∠E=90°，∵CF⊥GE，∴∠E+∠ECF=90°，∴∠EGM=∠ECF，∵∠GME=∠CDF=90°，∴△GME∽△CDF，∴GE CF=GMCD=86=43，∴GE =43CF ；(3)存在，理由如下，如图，过点H 作HK ⊥BC 于点K ，连接HC ,AC ，则四边形FCKH 是矩形，∵BE ∥FH ,FH ∥BE∴四边形BEHF 是平行四边形，∴FH =BE =CK ，∵∠ABE =∠FCB =90°，BF ⊥AE ，∴∠FBC +∠AEB =∠FBC +∠BFC =90°，∴∠AEB ∽△BFC ，∴BE FC =AB BC=34，∵FH =BE =CK ，∴CK HK =FH BC =BE FC=34，又∠HKC =∠ABC =90°，∴△ABC ∽△CKH ，∴∠HCK =∠CAB ，∴H 在HC 上运动，∴当DH ⊥HC 时，DH 最小，∵∠HCK =∠CAB ，∴∠CHK =∠ACB ，∵FC ∥HK ，∴∠CHK =∠FCH ，∵AB =6,BC =8，∴AC =10，∴sin ∠ACB =sin ∠CHK =sin ∠DCH =35，∴当DH ⊥HC 时，DH =DC ×sin ∠DCH =6×35=185=3.6，即DH 长度的最小值为3.6．例6.(2022·山东济南·模拟)如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点C 为AB 的中点，点D 在BC 上，连接BD 、CD 、BC 、AD 、BC 与AD 相交于点E ．(1)求证：∠C +∠CBD =∠CBA ；(2)如图2，过点C 作CD 的垂线，分别与AD ，AB ，⊙O 相交于点F 、G 、H ，求证：AF =BD ；(3)如图3，在(2)的条件下，连接BF ，若BF =BC ，△CEF 的面积等于3，求FG 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)FG =22【思路分析】(1)连接AC ，由AC =BC ，推出∠CBA =∠CAB =∠CAD +∠DAB ，由CD =CD ，BD =BD ，推出∠DCB =∠DAB ，∠CBD =∠CAD ，推出∠DCB +∠CBD =∠CAD +∠DAB =∠CAB =∠CBA ；(2)只要证明△ACF ≌△BCD ，即可推出AF =BD ；(3)由△ACK ≌△CBM ，推出AK =CM ，由△ACF ≌△BCD ，推出CF =CD ，△AFK 是等腰直角三角形，推出AK =FK =FM =CM ，在Rt △AKC 中，tan ∠CAK =CK AK =3，作EN ⊥CH 于N ，在Rt △NCE 中，由∠HCB =∠CAK ，推出tan ∠NCE =EN CN=3，设CN =m ，EN =3m =NF ，由S △CEF =12CF ⋅EN =12×m +3m ×3m ，推出m =22，推出CF =4m =22，推出CM =FM =FK =AK =2，AF =2，由DB =DB ，推出∠DCB =∠DAB =∠ACK ，过G 作GQ ⊥AF 于Q ，在Rt △AQG 中，tan ∠FAB =QG AQ=13，设QG =x ，AQ =3x ，FQ =x ，可得4x =2，得x =12，再根据FG =2QG 即可解决问题．【详解】(1)证明：连接AC ，如图所示：在⊙O 中，∵C 为AB 的中点，∴AC =BC∴∠CBA =∠CAB =∠CAD +∠DAB ，∵由CD =CD ，BD =BD，∴∠DCB =∠DAB ，∠CBD =∠CAD ，∴∠DCB +∠CBD =∠CAD +∠DAB =∠CAB =∠CBA ．(2)证明：连接AC ，如图所示：∵AB 是直径，∴∠ACB =90°=∠ACF +∠FCB ，∵CD ⊥CH ，∴∠DCH =90°=∠FCB +∠DCB ，∴∠ACF =∠DCB ，∵AC =BC ，∴AC =BC ，∵在△ACF 和△BCD 中∠ACF =∠DCBAC =BC ∠CAF =∠CBD，∴△ACF ≌△BCD ASA ，∴AF =BD ．(3)解：作BM ⊥CH 于M ，AK ⊥CH 于K ，如图所示：∴∠ACK +∠CAK =90°，∠AKC =∠BMC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACK +∠KCB =90°，∴∠CAK =∠KCB ，∵AC =BC ，∴△ACK ≌△CBM ，∴AK =CM ，∵CB =BF ，BM ⊥CF ，∴CM =FM =AK ，∵△ACF ≌△BCD ，∴CF =CD ，∵∠FCD =90°，∴∠CFD =∠CDF =45°=∠AFK ，∴△AFK 是等腰直角三角形，∴AK =FK =FM =CM ，在Rt △AKC 中，tan ∠CAK =CK AK=3，作EN ⊥CH 于N ，在Rt △NCE 中，∵∠HCB =∠CAK ，∴tan ∠NCE =EN CN=3，设CN =m ，EN =3m =NF ，∴S △CEF =12CF ⋅EN =12×m +3m ×3m =3，∴m =22，∴CF =4m =22，∴CM =FM =FK =AK =2，∴AF =2，∵DB =DB，∴∠DCB =∠DAB =∠ACK ，过G 作GQ ⊥AF 于Q ，在Rt △AQG 中，tan ∠FAB =QG AQ =13，设QG =x ，AQ =3x ，FQ =x ，∴4x =2，∴x =12，∴FG =2QG =22．。
解直角三角形(5种题型)(解析版)
解直角三角形（5种题型）【知识梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A=∠A的对边斜边=ac，cos A=∠A的邻边斜边=bc，tan A=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形1．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD ＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值．【分析】（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB=√2AC，由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣AE，计算即可得出答案；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE=√EF2+CF2，在Rt△ECF中，由cos∠ECB=CFCE 计算即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB=√2AC=6√2，∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，∴AE＝sin45°•AD=√22×4=2√2，∴BE＝AB﹣AE＝6√2−2√2=4√2；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，∵∠B＝45°，∴EF＝BF＝sin45°•BE=√22×4√2=4，∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE=√EF2+CF2=√42+22=2√5，在Rt△ECF中，cos∠ECB=CFCE =2√5=√55．【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性质，应用等腰直角三角形性质进行计算是解决本题的关键．2．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=45．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．【分析】（1）在Rt△BCD中，由已知条件cos∠ABC=BDBC =45，即可算出BC的长，根据勾股定理即可得出答案；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，可得CD∥EF，由E为BC的中点，可得EF是△BCD的中位线，即可算出EF=12CD，DF的长度，即可算出AF＝AD+DF的长度，在Rt△AEF中，根据tan∠EAB=EFAF即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC=BDBC =45，∴4BC =45，∴BC＝5，∴CD=√BC2−BD2=√52−42=3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12CD=12×3=32，DF=12BD=12×4=2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB=EFAF =3210=15．【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．3．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD 的长； （2）求∠EBC 的正切值．【分析】（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图，利用等腰三角形的性质得到AH ＝DH ，再证明∠ACH ＝∠ABC ，则sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13，然后利用正弦的定义求出AH ，从而得到AD 的长；（2）在Rt △ABC 中先求出AB ＝9，则BD ＝7，再证明∠HCD ＝∠EBD ，则sin ∠EBD =DE BD =13，利用正弦的定义求出DE =73，接着利用勾股定理计算出BE ，然后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图， ∵CD ＝CA ， ∴AH ＝DH ，∵∠ABC+∠BCH ＝90°，∠ACH+∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠ABC ， ∴sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13， 在Rt △ACH 中，sin ∠ACH =AH AC =13，∴AD ＝2AH ＝2；（2）在Rt △ABC 中，sin ∠ABC =AC AB=13，∴AB ＝3AC ＝9，∴BD ＝AB ﹣AD ＝9﹣2＝7， ∵∠E ＝90°， 而∠EDB ＝∠HDC ， ∴∠HCD ＝∠EBD ， ∴sin ∠EBD =DE BD =13，∴DE =13BD =73，∴BE =√72−(73)2=14√23，在Rt △EBC 中，tan ∠EBC =EC EB=3+7314√23=4√27．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 二．解直角三角形的应用4．（2022•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【分析】（1）延长光线交CD 于点F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，根据题意可得∠AFG ＝29°，GF ＝BC ＝20米，GB ＝FC ，然后在Rt △AGF 中，利用锐角三角函数的定义求出AG ，从而求出GB 的长，进行比较，即可解答；（2）延长光线交直线BC 于点E ，根据题意可得∠AEB ＝29°，然后在Rt △ABE 中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，即可解答．【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E，则∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE=ABtan29°≈250.55≈45（米），∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．6．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）点在最高位置与最低位置时的高度差．（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？【分析】（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答；（2）先设小杰原计划x小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗﹣原计划每小时的能量消耗＝100，列出方程进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO•cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米；（2）设小杰原计划x小时完成锻炼，由题意得：，解得：，经检验：都是原方程的根，但不符合题意，舍去，答：小杰原计划锻炼1小时完成．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022•宝山区二模）某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）【分析】（1）根据每级台阶高度都是0.25米，然后计算出3个台阶的总高度，即可解答；（2）连接BC，根据题意可得：AB＝DC，AB∥DC，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题8．（2021秋•闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2022春•浦东新区校级期中）工厂的传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴BCAC =12.4，即5AC=12.4，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√122+52=13（米），故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．10．（2022•黄浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：2.4×10＝24，∴物体所经过的路程为：√102+242=26（米），故答案为：26．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．11．（2022•浦东新区二模）如图，一个高BE为√3米的长方体木箱沿坡比为1：√3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为米．【分析】根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．【解答】解：设AB、EF交于点D，∵斜坡的坡比为1：√3，∴tan∠DAF=√3=√33，∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BEDE，∴√3DE =√32，解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12AD＝1（米），∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题12．（2021秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米．A．20cotαB．20tanαC．1.5+20tanαD．1.5+20cotα【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．13．（2022•徐汇区二模）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为米．【分析】根据题意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，tanα＝0.3，∴DE＝AE•tanα＝5×0.3＝1.5（米），∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），∴点D到地面的距离CD的长为3.2米，故答案为：3.2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（2022•青浦区二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为米．【分析】设CD＝x米，用含x的代数式表示出AD和BD的长，再根据AD﹣BD＝100可得x的值．【解答】解：设CD＝x米，在Rt△ACD中，tanα=CDAD，∴AD=xtanα，在Rt△BCD中，tanβ=CDBD，∴BD=xtanβ，∵AD﹣BD＝100，∴xtanα−xtanβ=100，解得x=100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα，故答案为：100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．五．解直角三角形的应用-方向角问题15．（2021秋•黄浦区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长AB交l于D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA•cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．在Rt△ABC中，AB＝．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．理由：延长AB交l于点D．∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．∴△ABC∽△DBO，∴，∴，∴OD＝60（千米）．∵60＞58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．16．（2021秋•嘉定区期末）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．【解答】解：（1）由题意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，在Rt△ACM中，，∴cos60°＝，∴AM＝6，在Rt△BDM中，，∴cos60°＝，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在Rt△ACM中，，∴，∴，在Rt△BDM中，，∴， ∴， ∴，在Rt △BDN 中，，由题意，得∠DBN ＝53°∴， ∴DN ＝4tan53°，∴，设该轮船航行的速度是V 千米/小时，由题意，得，∴V ≈40.7（千米/小时 ），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题 九年级假期作业）已知在ABC 中，【答案】B 【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，根据60A ∠=︒，得出30ACD ∠=︒,进而求得CD ，由已知条件得出CD BD =，进而得出45BCD ∠=︒，即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt ADC 中，60A ∠=︒，∴30ACD ∠=︒, ∴sin ,cos CD AD A A AC AC ==sin 602CD =︒∴⨯=11BD AB AD ∴=−=∴CD BD =，在Rt BCD 中，CD BD =45BCD ∴∠=︒75ACB ACD BCD ∴∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．【答案】D【分析】在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点B ，则可求得α的正余弦、正余切值，从而可得答案．【详解】如图，在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P作x 轴的垂线，垂足为点B则OB=|a|，PB=2|a| 由勾股定理得：|OPa ==在直角△POB 中，sin 5PB OP α==，cos 5OB OP α===， 2tan =2a PB OB a α==，1cot =22a OB PB a α==故选项D 正确故选：D【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，锐角三角函数，关键是画出图形，并在直线任取一点，作x 轴的垂线得到直角三角形．【答案】D【分析】先求出120°的补角为60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，在Rt△ACD中可求出AD与CD的长，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，在Rt△ACD中，AC=2，∴AD=ACcos60°=2×12=1，CD=ACsin60°=2×∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，∴tanB=CD BD=， 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，45ACB ∠=︒，125PRQ ∠=︒，ABC 底边BC 上的高为1h ，PQR 底边QR 上的高为2h ，则有（ ）A ．12h h =B ．12h h <C ．12h h >D ．以上都有可能【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高12,h h∵45,5ACB AC ∠=︒=∴1sin 455sin 45h AC =⨯︒=︒ ∵125,5PRQ PR ∠=︒=∴()2sin 1801255sin55h PR =︒−︒=︒ ∵sin 55sin 45︒︒＞∴21h h ＞ 故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．5．（2023·上海·九年级假期作业）小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰【答案】C 【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，在Rt ACE △中，已知了CE 的长，可利用俯角CAE ∠的正切函数求出AE 的值；进而在Rt ABE △中，利用仰角BAE ∠的正切函数求出BE 的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 是矩形，CE AD h ==．∵在Rt ACE △中，CE h =，60CAE ∠=︒，∴tan 60CE AE ==︒，∵在Rt ABE △中，30BAE ∠=︒，∴1tan 303BE AE h =︒==，∴1433BC BE CE h h h =+=+=． 即旗杆的高度为43h ．故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）【答案】C【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，设BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝1sin sinAEαα=，∴BC＝AB＝1sinα，∴重叠部分的面积是：1sinα×1＝1sinα．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．二、填空题7．（2023·上海·九年级假期作业）小球沿着坡度为1:1.5i=的坡面滚动了13m，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m．【答案】【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =∴水平距离为1.5⨯=故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．【答案】13【分析】根据斜坡AB 的坡度1i =AB 的值先求出AH ，再根据斜坡AC 的坡度21:2.4i =，求得AC ，即可求解．【详解】解：∵1i =∴tan 3ABH ∠==， ∴30ABH ∠=︒，∴152AH AB ==, ∵21:2.4i =，∴1tan 2.4AH ACB CH ∠==，∵5AH =，∴12=CH ，在Rt ACH 中，13AC ==,故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【答案】10【分析】作BH AC ⊥于H ．由四边形ABCD 是矩形，推出OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，由余切函数，可得4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，求出a 即可解决问题．【详解】解：如图，作BH AC ⊥于H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，则10AC a =．∵根据题意得：3cot 4OH BOH BH ∠==， ∴4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，∴1a =，∴10AC =．故答案为10．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 10．（2023·上海·九年级假期作业）已知：在ABC 中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，8AB =．则ABC 的面积为____（结果可保留根号）．【答案】48−【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，利用直角三角形的性质求得CD 的长．已知AB 的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90CDA ∠=︒Q ，∴tan tan 60CD DAC AD =∠=︒=即AD 在Rt BDC 中，45B ∠=︒， 45BCD ∴∠=︒， CD BD ∴=．8AB DB DA CD =+==，12CD ∴=−．118(124822ABC S AB CD ∴=⨯=⨯⨯−=−故答案为：48−【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形的性质及三角形的面积公式，熟练掌握通过作三角形的高，构造直角三角形是解题的关键．分别在DEF 的边，ABE 沿直线 【答案】67【分析】根据题意和翻折的性质可得ABCABE 是等腰直角三角形，ABC 是等腰直角三角形，所以AC BE ∥，得23DA AC DE HE ==，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，所以7FE x =，6DE x =，然后根据锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图所示：90DEF ∠=︒，45EBA ∠=︒，ABE ∴是等腰直角三角形，AE BE ∴=，ABE 沿直线AB 翻折，翻折后的点E 落在DEF 内部的点C ，ABC ∴是等腰直角三角形，∴∥AC BE ，∴23DA AC DE HE ==，FH AD =，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，7FE x ∴=，6DE x =， ∴67DE FE =，6cot 7DE D FE ∴==． 故答案为：67．【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 统考二模）在ABC 中，，那么ABC 的重心到【答案】4【详解】解：如下图所示，设点D 为BC 的中点，点E 为三角形的重心，∵AB AC =，∴AD BC ⊥，∵152BD BC ==，5cos 13B =，cos BD B AB = ∴13AB =，∴12AD ==，∵点E 为三角形的重心，∴21AE ED =， ∴4ED =，∵AD BC ⊥，∴ABC 的重心到底边的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考查解直角三角形、三角形重心的性质和勾股定理，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1． 13．（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点()1,2P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角为α，tan α=________．【答案】2【分析】过点P 作PA x ⊥轴于点A ，由P 点的坐标得PA 、OA 的长，根据正切函数的定义得结论．【详解】解：过点P 作PA x ⊥轴于点A ，如图：∵点PA x ⊥，∴2PA =，1OA =，∴2an 21t PA OA α===．故答案为：2．【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形． 一模）如图，已知在ABC 中， 【答案】95【分析】如图，设AP m =．证明AP MQ m ==，根据3cos cos 5A CMQ =∠=，构建方程求解．。
部编数学八年级下册专题18构造三角形中位线的常用技巧(解析版)含答案
专题18 构造三角形中位线的常用技巧（解析版）专题典例剖析及针对训练类型一 连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6思路指引：连接DE ，过A 作AH ⊥BC 于H ．由于DE 是AB 、AC 的中点，利用三角形中位线定理可得DE ∥BC ，并且可知△ADE 的高等于12AH ，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH ，那么△ADE 的面积就可求．而所求S △FOG +S 四边形ADOE ＝S △ADE +S △DOE +S △FOG ，又因为△DOE 和△FOG 的底相等，高之和等于AH 的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S △FOG +S 四边形ADOE 的面积．解：如图：连接DE ，过A 向BC 作垂线，H 为垂足，∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ，AH 分别是△ABC 的中位线和高，BH ＝CH =12BC =12×6＝3，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，由勾股定理得AH ==4，∴S △ADE =12BC •AH 2=12×3×42=3，设△DOE 的高为a ，△FOG 的高为b ，则a +b =AH 2=2，∴S △DOE +S △FOG =12DE •a +12FG •b =12×3（a +b ）=12×3×2＝3，∴三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是S △ADE +S △DOE +S △FOG ＝3+3＝6．故选：D ．方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF ∥DG 且EF ＝DG ．解：连接ED ，FG .证四边形DEFG 是平行四边形，∴EF ∥DG 且EF ＝DG ．类型二 连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝GH 的最小值为（ ）ABC DGF E DC B AABDE F G思路指引：连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12 AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF==∴GH=即GH故选：D．方法点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变思路指引：连接AR ，根据三角形的中位线定理可得EF =12AR ，根据AR 的变化情况即可判断．解：连接AR ，∵E ，F 分别是AP ，RP 的中点，∴EF =12AR ，∵当点P 在BC 上从点C 向点B 移动，点R 从点D 向点C 移动时，AR 的长度逐渐增大，∴线段EF 的长逐渐增大．S △ABP +S △CRP =12BC •（AB +CR ）．∵CR 随着点R 的运动而减小，∴△ABP 和△CRP 的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A 符合题意．故选：A ．方法点睛：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求∠MPN 的度数．思路指引：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．解：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∵P为AC中点，N为EC中点，AE．∴PN=12DC．同理可得PM=12所以PM＝PN．（2）∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．∵△ABE ≌△DBC ，∴∠QDB ＝∠BAQ ．∴∠DQA ＝∠DBA ＝60°．∴∠MPA +∠NPC ＝60°．∴∠MPN ＝180°﹣60°＝120°．方法点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉手”全等模型．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．解：连接BD ，CE ，易证△ABD ≌△AEC ，∴BD ＝ CE ，易证BD ⊥CE .由中位线性质可得GF ＝GH ，GF ⊥GH .类型三 取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（ ）HG FEDCB AAB CDEFG HA ．163BCD 思路指引：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，根据已知可求出AB =163，先在Rt △ABD 中求出AD ，AH 的长，从而可得△ADH 是等边三角形，进而可得AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，然后利用利用等腰三角形的三线合一性质求出AM 的长，从而求出DM ，DF 的长，最后证明手拉手模型﹣旋转型全等△ADF ≌△HDE ，从而利用全等三角形的性质可得DE ＝DF 进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答．解：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，∵AF ＝2，BF =103，∴AB ＝AF +BF =163，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠A ＝30°，∴AD =12AB =83，∵点H 是AB 的中点，∴AH ＝BH =12AB =83，∴AD ＝AH ，∴△ADH 是等边三角形，∴AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，∴AM＝MH=12AH=43，∴DM=∵AF＝2，∴MF＝AF﹣AM＝2―43=23，∴DF∵点H是AB的中点，点E是BC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH∥AC，∴∠DHE＝∠ADH＝60°，∴∠ADH＝∠A＝60°，∵∠EDF＝∠ADH＝60°，∴∠ADH﹣∠FDH＝∠EDF﹣∠FDH，∴∠ADF＝∠HDE，∴△ADF≌△HDE（ASA），∴DE＝DF=∵∠CDB＝90°，∴BC＝2DE=故选：D．方法点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为 ．思路指引：取AD的中点M，连接FM，EM，构造三角形中位线，利用三角形中位线定理分别求得FM、EM的长度；然后利用勾股定理求得EF的长度．解：如图，取AD的中点M，连接FM，EM，∵点E是CD的中点，∴EM是△ACD的中位线．∴EM∥AC，EM=12AC＝4．同理，FM∥BD，FM=12OD=14BD＝3．在菱形ABCD中，AC⊥BD，则FM⊥ME．故在直角△EFM中，由勾股定理得到：EF5．故答案是：5．方法点睛：本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题过程中，巧妙地作出辅助线，利用三角形中位线定理求得直角三角形的两直角边的长度．（2）连接对角线，再取对角线中点典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC 和EF的关系是（ ）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF思路指引：连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD ，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD ，BC 和EF 的关系．解：如图，取AC 的中点G ，连接EF ，EG ，GF ，∵E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，∴EG ，GF 分别是△ABC 和△ACD 的中位线，∴EG =12BC ，GF =12AD ，在△EGF 中，由三角形三边关系得EG +GF ＞EF ，即12BC +12AD ＞EF ，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．方法点睛：此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系的灵活运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG解：（1）取BE 的中点M ，∵FM ＝21AB ，∴FM //EC ，∴四边形 FMCE 为平行四边形，∴GF ＝GC（2）易证EG ＝MG ，∴EM ＝MB ，∴BG ＝3EG类型四 延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（ ）A B ．2C D 思路指引：延长CF 交BE 于H ，利用已知条件证明△HEF ≌△CEF （ASA ），然后利用全等三角形的性质证明GF =12BH ，最后利用勾股定理即可求解．解：延长CF 交BE 于H ，∵EF 平分∠BEC ，∴∠HEF ＝∠CEF ，∵CF ⊥EF ，∴∠HFE ＝∠CFE ，在△HEF 和△CEF 中，∠HEF =∠CEF EF =EF ∠HFE =∠CFE，∴△HEF ≌△CEF （ASA ），∴HF ＝CF ，EH ＝EC ，而BG ＝CG ，∴GF =12BH ，∵AE ＝3DE ，正方形的边长为4，∴AE ＝3，AB ＝CD ＝4，DE ＝1，在Rt △ABE 中，BE =5，在Rt △CDE 中，CE ＝HE ==∴BH ＝BE ﹣HE ＝5―∴GF =12BH 故选：C ．方法点睛：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形的中位线的性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．针对训练1．（2022•合肥一模）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 中点，AD ⊥BD ，AC ＝7，AB ＝4，则DE 的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．32思路指引：延长BD 交AC 于H ，证明△ADB ≌△ADH ，根据全等三角形的性质得到AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，根据三角形中位线定理计算即可．解：延长BD 交AC 于H ，在△ADB 和△ADH 中，∠BAD =∠HAD AD =AD ∠ADB =∠ADH，∴△ADB ≌△ADH （ASA ）．∴AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，∴HC ＝AC ﹣AH ＝3，∵BD ＝DH ，BE ＝EC ，∴DE =12HC =32，故选：D ．方法点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型五 延长两边构造中位线典例7（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，D 是BC 的中点AE ⊥BE ，AB ＝5，AC ＝3，则DE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52思路指引：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，易证明△ABF 是等腰三角形，则得AF 的长，点E 是BF 的中点，求得CF 的长，从而DE 是中位线，即可求得DE 的长．解：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，如图，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∴∠ABE ＝∠AFE ，∴△ABF 是等腰三角形，∴AF ＝AB ＝5，点E 是BF 的中点，∴CF ＝AF ﹣AC ＝5﹣3＝2，DE 是△BCF 的中位线，∴DE =12CF =1．故选：A ．方法点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长8．延长BD ，CA 交于点E ，易证AE ＝AB ，BD ＝ED ，∵BM ＝CM ，∴DM ＝21CE ＝21(AB ＋AC )＝15.类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ）A．2.5B．3C．4D．5思路指引：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN，∠DNB=∠HNC∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，∴EH=5，∵DM＝ME，DN＝NH，EH＝2.5，∴MN=12故选：A．方法点睛：本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．思路指引：（1）延长AB交CE于G，求出△ACG是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AB＝BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CE、CG，再求出GE，然后求解即可．（1）证明：如图，延长AB交CE于G，∵AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴△ACG也是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AG，∴AB＝BG，∵点F是AE的中点，∴BF是△AGE的中位线，∴BF∥CE；（2）解：∵AB ＝2，DE ＝5，∴CG ＝AC =＝CE =＝∴GE ＝CE ﹣CG ＝=∵BF 是△AGE 的中位线，∴BF =12GE方法点睛：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质与定理并作辅助线构造出以BF 为中位线的三角形是解题的关键。
江苏省高考数学考前压轴冲刺(新高考)-专题18 三角函数问题(解答题)(解析版)
专题18 三角函数问题考点预测三角函数与解三角形是江苏高考必考的题型，主要考察正余弦定理，三角函数的图像与性质在解三角形中的灵活运用，常考的知识点如下：1.在ABC ∆中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,CB CB A tan tan 1tan tan tan -+-=.2.在ABC ∆中，B c C b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=,A b B a c cos cos +=.3.ABC ∆的面积RabcR c ab C ab S 4221sin 21===. 4.C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===.5.222222222cos 2,cos 2,cos 2b c a B ac c b a C ab a c b A bc -+=-+=-+=.典型例题1.在△ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2（B +C ）﹣sin 2B ﹣sin 2C +sin B sin C ＝0，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a 的值； （Ⅱ）△ABC 的面积； 条件①：c ＝4，a +b ＝6+2； 条件②：b ＝6，sin （﹣B ）＝﹣．【分析】若选择条件①：（Ⅰ）由已知利用正弦定理即可求解a 的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理可得cos A的值，结合范围A ∈（0，π），可求A 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选择条件②：（Ⅰ）由正弦定理，余弦定理可得cos A的值，结合A∈（0，π），可求A的值，在根据题中条件利用三角函数恒等变换可求sin B的值，即可根据正弦定理可求a的值；（Ⅱ）利用两角和的正弦公式可求sin C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：若选择条件①：c＝4，a+b＝6+2；（Ⅰ）因为sin2（B+C）﹣sin2B﹣sin2C+sin B sin C＝0，可得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＝bc，则a2＝b2+c2﹣bc＝（6+2﹣a）2+16﹣（6+2﹣a）×4，解得a＝2．（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理可得cos A＝＝，因为A∈（0，π），所以A＝，因为a＝2，a+b＝6+2，所以b＝6，所以S△ABC＝bc sin A＝＝6．若选择条件②：b＝6，sin（﹣B）＝﹣；（Ⅰ）因为sin2（B+C）﹣sin2B﹣sin2C+sin B sin C＝0，可得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＝bc，在由余弦定理可得cos A＝＝，又因为A∈（0，π），所以A＝，因为sin（﹣B）＝﹣cos B＝﹣，即cos B＝，则B∈（0，），所以sin B＝则由正弦定理，及b＝6，可得a＝＝＝4．（Ⅱ）因为A＝，sin B＝，cos B＝，所以sin C＝sin（A+B）＝+＝，所以S△ABC＝ab sin C＝＝．【知识点】正弦定理、余弦定理2.已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，，b＝2，D为线段AC上一点且AD＝3DC．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）求|BD|的最大值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理将已知等式化成边之间的关系，再由余弦定理即可求得cos B的值；（Ⅱ）利用平面向量的线性运算及数量积运算可得＝，由（Ⅰ）中结论及利用基本不等式可得，从而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：，∴∴，（Ⅱ）因为D为线段AC上一点且AD＝3DC，所以＝+＝+＝+（）＝+，所以＝＝＝．由（Ⅰ）知：因为：，（当且仅当a＝c＝时取等号）．所以：，得：所以：故|BD|的最大值为．【知识点】正弦定理、余弦定理专项突破一、解答题（共14小题）1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2C＝sin A sin B，＝，a2+b2＝4ab cos C．（Ⅰ）求证：C＝60°；（Ⅱ）若a＝6，求△ABM的外接圆的面积．（Ⅰ）先利用正弦定理将sin2C＝sin A sin B中的角化边，再结合a2+b2＝4ab cos C和余弦定理求得cos C，【分析】进而得角C；（Ⅱ）先证得△ABC为等边三角形，再由正弦定理求得外接圆半径，进而求出外接圆面积．【解答】（Ⅰ）证明：由正弦定理知，＝＝，∵sin2C＝sin A sin B，∴c2＝ab，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∵a2+b2＝4ab cos C，∴c2＝2ab cos C，∴c2＝2c2cos C，∵c≠0，∴cos C＝，∵C∈（0°，180°），∴C＝60°．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，cos C＝，∴a2+b2＝2ab，即a＝b，∴△ABC为等边三角形，又a＝6，且＝，∴AM＝2，在△ABM中，由余弦定理知，BM2＝AB2+AM2﹣2AB•AM cos A＝36+4﹣2×6×2×cos60°＝28，∴BM＝．设△ABM的外接圆半径为R，∵2R＝＝，∴R＝，∴△ABM的外接圆的面积S＝πR2＝π•＝＝．【知识点】余弦定理、正弦定理2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且a sin（A+B）＝c sin2A．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）若M为AC的中点，并且BM＝3，求△ABC面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，正弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式，结合范围0＜A＜π，0＜C＜π，可求cos A的值，进而可求A的值．（Ⅱ）由题意可得S△ABC＝2S△ABM＝×AB×AM，设∠AMB＝θ，θ∈（0，），则由正弦定理可得AB＝2sinθ，AM＝2sin（θ+），利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC＝3sin（2θ﹣）+，进而根据正弦函数的性质即可求解其取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（A+B）＝sin C，所以a sin（A+B）＝c sin2A＝a sin C，根据正弦定理可得sin A sin C＝sin C sin2A＝2sin C sin A cos A，0＜A＜π，0＜C＜π，所以cos A＝，所以A＝，（Ⅱ）因为点M为AC的中点，因此S△ABC＝2S△ABM＝×AB×AM，在△ABM中，由正弦定理可得＝＝＝2，因此AB＝2sin∠AMB，AM＝2sin∠ABM，设∠AMB＝θ，θ∈（0，），则AB＝2sinθ，AM＝2sin（θ+），从而S△ABC＝6sinθsin（θ+）＝3sin（2θ﹣）+，当θ∈（0，）时，2θ﹣∈（﹣，），所以S△ABC∈（0，]．【知识点】正弦定理、余弦定理3.已知△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a＝c，A＝，____．①a sin B＝3；②当x＝B时，函数f（x）＝cos2x+sin x cos x+2取得最大值．在①②这两个条件中选择一个补充至上述横线上，求解下述问题：若问题中的三角形存在，能否求出边c的值？若能，请求出边c的值；若不能，请说明理由；若问题中的三角形不存在，请说明理由．【分析】由已知结合余弦定理可得b的值，当补充①至条件中时：分类讨论，利用余弦定理可求sin B，进而可求a的值，可求c的值；当补充②至条件中时：分类讨论，利用余弦定理可求cos B，结合分B∈（0，π），可得B＝，化简函数解析式可得f（x）＝cos（2x﹣）+，利用余弦函数的性质即可求解．【解答】解：因为a＝c，结合余弦定理可得cos A＝＝，整理可得b2﹣bc+c2＝0，即（b﹣c）（b﹣c）＝0，解得b＝c，或c，当补充①至条件中时：当b＝c时，由余弦定理可得cos B＝＝，则sin B＝，再由a sin B＝3，可得a＝6，可得c＝6；当b＝c时，由余弦定理可得cos B＝＝0，则sin B＝1，再由a sin B＝3，可得a＝3，可得c＝3，综上可知三角形存在，且可求得c＝6或3．当补充②至条件中时：当b＝c时，由余弦定理可得cos B＝＝，由B∈（0，π），可得B＝；当b＝c时，由余弦定理可得cos B＝＝0，由B∈（0，π），可得B＝；因为f（x）＝cos2x+sin x cos x+2＝+sin2x+2＝cos（2x﹣）+，要使f（x）取得最大值，只需2x﹣＝2kπ，k∈Z，解得x＝kπ+，k∈Z，所以B＝时，满足条件，综上所述，这样的三角形存在，但这样的三角形彼此相似，有无数多个，故无法确定边长c的值．【知识点】两角和与差的三角函数、余弦定理、正弦定理4.在①；②c sin A＝3；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，____．【分析】若选①根据题意，结合正弦定理，可得b＝a，c＝，结合C＝，运用余弦定理即可求得c＝1，进而可求B，A的值；若选②根据题意，△ABC中，c sin A＝a sin C，即可求得a＝6，进而得到b＝2．运用余弦定理即可求得c＝2，即可得解；若选③由已知利用正弦定理可得a＝b，由余弦定理可得c＝b，可得B＝C＝，A＝，可得a＞b＝c，推出矛盾，可得问题中的三角形不存在．【解答】解：若选①ac＝，因为△ABC中，sin A＝sin B，即b＝a，又ac＝，可得c＝，所以cos C＝＝＝，所以a＝，b＝1，c＝1，B＝C＝，A＝．若选②c sin A＝3，因为△ABC中，c sin A＝a sin C＝a sin＝3，解得a＝6，因为sin A＝sin B，即a＝b，解得b＝2．所以cos C＝＝＝，可得c＝2，所以B＝C＝，A＝．若选③，三边成等比数列，因为，，可得a＝b，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（b）2+b2﹣2×b×b×＝b2，可得c＝b，所以B＝C＝，A＝，所以a＞b＝c，与三边成等比数列矛盾，故问题中的三角形不存在．【知识点】三角形中的几何计算5.已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数的值域；（2）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，若，，△ABC 的面积为，b﹣c＝2，求a的值．【分析】（1）由函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．求出ω＝2，从而得到f（x）＝cos2x，g（x）＝2sin（2x﹣），由此能求出函数g（x）的值域．（2）由题意得cos2A＝﹣，推导出A，由△ABC的面积为3，推导出bc，再由b﹣c＝2，利用余弦定理能求出a．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．∴＝π，由ω＞0，得ω＝2，此时f（x）＝cos2x，则g（x）＝2sin（2x﹣），当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，2sin（2x﹣）∈[﹣1m2]，∴函数的值域为[﹣1，2]．（2）由题意得cos2A＝﹣，∵A∈（0，），则得2A∈（0，π），∴2A＝，解得A＝，∵△ABC的面积为3，则得，即＝3，即bc＝12，∵b﹣c＝2，∴由余弦定理得a＝＝＝＝＝4．【知识点】余弦定理、三角函数的周期性6.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[﹣t，t]上单调递增，求实数t的最大值．【分析】（1）由图象的最大值可得A，由f（0）＝1，可得φ，由f（）＝0，可得ω，从而可求得函数f（x）的解析式；（2）由函数的平移变换可得g（x），由正弦函数的性质求得g（x）的单调递增区间，从而可求得t的取值范围，即可求得t的最大值．【解答】解：由题图可知，A＝2，又f（0）＝1，所以2sin（ω•0+φ）＝1，即sinφ＝，又|φ|＜，所以φ|＝，因为f（）＝0，所以2sin（ω•+）＝0，结合题图可知ω•+＝2kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z，又T＞，所以0＜ω＜，所以ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）因为将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，所以g（x）＝2sin（4x+）．令﹣+2kπ≤4x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+≤x≤+，k∈Z，因为g（x）在区间[﹣t，t]上单调递增，所以，解得t≤，所以实数t的最大值为．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换7.在①；②2a cos A＝b cos C+c cos B，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知_______．（1）求角A；（2）设△ABC的面积为S，若，求面积S的最大值．【分析】（1）首先任选择一个条件，然后根据正弦定理进行边角互化，再根据三角恒等变换，化简求值．（2）由（1）得A＝，利用余弦定理和基本不等式求bc的最大值，再求面积的最大值．【解答】解：（1）若选条件①，∵，∴由正弦定理得，∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴＝，，∵sin C≠0，∴，∵0＜A＜π，∴；若选条件②，∵2a cos A＝b cos C+c cos B，∴由正弦定理得2sin A cos A＝sin B cos C+sin C cos B，即2sin A cos A＝sin（B+C）＝sin A，，∵0＜A＜π，∴；若选条件③，∵，∴由正弦定理得，∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴＝sin A cos C+cos A sin C，，∵sin C≠0，∴，∵0＜A＜π，∴；所以不管选择哪个条件，．（2）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，，即b2+c2﹣bc＝3，∵b2+c2≥2bc，∴2bc﹣bc≤3，即bc≤3，当b＝c时等号成立．∴bc的最大值为3，∵，∴．【知识点】正弦定理、两角和与差的三角函数8.已知f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x＝时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）＝f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，求h（x）在[0，]上的值域．【分析】（1）由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由周期求出ω，可得f（x）的解析式，再根据y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式．（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数图象及性质即可得出结论．【解答】解：（1）由题意可得A＝1，由函数过，得，结合范围，由，∵0＜ω＜4，∴可得：ω＝2，可得：，∴．（2）∵，由于，可得：，∴h（x）在上的值域为[﹣1，2]．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的最值9.如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝AB＝1，∠BAD＝θ，且△BCD为等边三角形．（1）将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；（2）求S的最大值及此时θ的值．【分析】（1）在△ABD中，根据余弦定理可表示BD，根据S＝ab sin c可表示出△ABD，△BCD的面积，从而表示出四边形ABCD的面积；（2）由（1）可把四边形面积S化为S＝A sin（ωx+φ）+B形式，根据三角函数的有界性可求其最值．【解答】解：（1）BD＝＝，S△ABD＝×1×1×sinθ＝sinθ，S△BCD＝×BD2＝（2﹣2cosθ）＝﹣cosθ，∴S ABCD＝sinθ﹣cosθ+（0＜θ＜π）．（2）由（1）得S ABCD＝sinθ﹣cosθ+＝sin（θ﹣）+，∵0＜θ＜π，∴﹣＜θ﹣＜，当θ﹣＝时，即θ＝时，S有最大值1+．【知识点】三角函数的最值10.已知函数f（x）＝cos x．（1）若α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝f（2x）﹣3，若对任意x都有g2（x）≤（2+a）g（x）﹣2﹣a恒成立，求实数a的最大值；（3）已知，α，β∈（0，π），求α及β的值．【分析】（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想，可得cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝，代入已知数据计算即可；由于α，β为锐角，所以2α∈（0，π），α+β∈（0，π），再结合同角三角函数的平方关系和商数关系，可依次求得tan2α＝，tan（α+β）＝﹣2，然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知tan（β﹣α）＝tan（α+β﹣2α）＝，代入已得数据进行计算即可；（2）g（x）＝f（2x）﹣3＝cos2x﹣3，原问题可转化为（cos2x﹣4）a≥（cos2x﹣3）2﹣2（co2x﹣3）+2恒成立，设cos2x﹣4＝t，则t∈[﹣5，﹣3]，所以at≥（t+1）2﹣2（t+1）+2＝t2+1，则a≤t+．令y＝t+，结合对勾函数的性质即可得函数y的最小值，从而得解；（3）由题可知，cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝，因为α，β∈（0，π），所以α＝β＝．【解答】解：（1）∵tanα＝，∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝＝＝，∵α，β为锐角，即，∴2α∈（0，π），α+β∈（0，π）．∴sin2α＝＝，∴tan2α＝，∵f（x）＝cos x，∴f（α+β）＝cos（α+β）＝，∴sin（α+β）＝＝，∴tan（α+β）＝＝﹣2，∴tan（β﹣α）＝tan（α+β﹣2α）＝＝＝．综上，cos2α＝，tan（β﹣α）＝．（2）g（x）＝f（2x）﹣3＝cos2x﹣3，∵对任意x都有g2（x）≤（2+a）g（x）﹣2﹣a恒成立，∴（cos2x﹣3）2≤（2+a）（cos2x﹣3）﹣2﹣a恒成立，即（cos2x﹣4）a≥（cos2x﹣3）2﹣2（cos2x﹣3）+2恒成立，设cos2x﹣4＝t，则t∈[﹣5，﹣3]，∴at≥（t+1）2﹣2（t+1）+2＝t2+1，则a≤t+．设y＝t+，由对勾函数的性质可知，函数y在区间[﹣5，﹣3]上为增函数，∴y＝t+≥﹣5﹣＝，∴a≤，故a的最大值为．（3）∵，∴cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝，∵α，β∈（0，π），∴α＝β＝．【知识点】二倍角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的最值11.如图，某校打算在长为1千米的主干道AB一侧的一片区域内临时搭建一个强基计划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域ACB（∠ACB为直角）和以BC为直径的半圆形区域组成，点P（异于B，C）为半圆弧上一点，点H在线段AB上，且满足CH⊥AB．已知∠PBA＝60°，设∠ABC＝θ，且θ∈[，）．初步设想把咨询台安排在线段CH，CP上，把宣传海报悬挂在弧CP和线段CH上．（1）若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省内高校参展，打算让CH+CP最大，求该最大值；（2）若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧CP和线段CH的长度之和最大，求此时的θ的值．【分析】（1）利用直角三角形的边角关系求出BC、CH和CP的表达式，再计算CH+CP的最大值；（2）取线段BC的中点O，连接OP，计算和线段CH的长度之和y，构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求得弧CP和线段CH的长度之和最大时对应θ的值．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，BC＝1×cosθ＝cosθ，在Rt△CBH中，CH＝cosθ×sinθ＝sinθcosθ；在Rt△CBP中，CP＝cosθsin（﹣θ）；所以CH+CP＝sinθcosθ+cosθsin（﹣θ）＝sinθcosθ+cosθ（cosθ﹣sinθ）＝sinθcosθ+cos2θ＝sin2θ+×＝sin（2θ+）+，因为θ∈[，），所以≤2θ+＜π，所以当且仅当2θ+＝，即θ＝时，CH+CP最大，最大值为千米；（2）取线段BC的中点O，连接OP，如图所示，则∠COP＝2∠CBP＝2（﹣θ）＝﹣2θ；由（1）知，CO＝BC＝cosθ，所以的长为cosθ•（﹣2θ）＝cosθ﹣θcosθ；由（1）知，CH＝sinθcosθ，所以和线段CH的长度之和为y＝cosθ﹣θcosθ+sinθcosθ＝cosθ（﹣θ+sinθ），θ∈[，）；设f（θ）＝﹣θ+sinθ，θ∈[，），g（θ）＝cosθ，θ∈[，），则y＝f（θ）g（θ）；因为f′（θ）＝﹣1+cosθ，θ∈[，），所以f′（θ）＝﹣1+cosθ＜0，所以函数f（θ）在区间[，）上单调递减，所以＜f（θ）≤f（），易知函数g（θ）在区间[，）上也是单调递减函数；所以g（θ）≤g（），所以f（θ）g（θ）≤f（）•g（）；所以当且仅当θ＝时，弧CP和线段CH的长度之和最大．【知识点】三角函数模型的应用12.如图，在凸四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC⊥DC，CD＝AC．设∠ABC＝θ．（1）若θ＝30°，求AD的长；（2）当θ变化时，求BD的最大值．【分析】（1）在△ABC中，利用余弦定理可求AC，进而在△ACD中，利用勾股定理可求AD的值．（2）设AC＝x，CD＝x，在△ABC中，利用余弦定理可求x2＝4﹣2cosθ，利用正弦定理可得sin∠ACB＝，进而利用三角函数恒等变换的应用，余弦定理可求BD＝，结合范围θ∈（0，π），利用正弦函数的图象和性质可求BD的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，∴AC2＝1+3﹣2cos30°＝1，∴AC＝1…（2分）在△ACD中，AD2＝AC2+DC2＝4AC2＝4，∴AD＝2．…（4分）（2）设AC＝x，CD＝x，在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，x2＝4﹣2cosθ，…（5分）∵＝，∴sin∠ACB＝．…（7分）在△BCD中，BD＝＝＝＝＝＝，…（10分）∵θ∈（0，π），∴θ﹣∈（﹣，），当θ﹣＝，θ＝时BD取到最大值3．…（12分）【知识点】正弦定理、余弦定理13.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）若b＝，C＝120°，求△ABC的面积S；（2）若b：c＝2：3，求．【分析】（1）由正弦定理化简已知条件，解得a，又知b，C，由三角形面积公式ab sin C可求得面积；（2）由已知条件可得a，b，c的比例关系，由倍角公式和正弦定理，余弦定理化简即可得结果．【解答】解：（1）由正弦定理知，c sin B＝b sin C；由2a sin C＝c sin B，得2a sin C＝b sin C，故2a＝b，∵b＝，∴a＝6；又C＝120°，△ABC的面积S＝＝＝18，故△ABC的面积S为18．（2）由2a＝，b：c＝2：3，∴，∴，＝＝＝2cos A﹣；＝＝；∴2cos A﹣＝1．故．【知识点】解三角形14.已知函数f（x）＝（a sin x+b sin2x）+a cos x﹣b cos2x，a，b∈R．（1）若a＝b＝1，求f（x）的值域；（2）若存在b，使得f（x）+4≥0恒成立，求a的最大值．【分析】（1）利用三角函数的三角变换，将f（x）化简，再利用二次函数的性质，求出f（x）的最值，求出值域；（2）f（x）+4＝2a sin（x+）+2b sin（2x﹣）＝4b sin2（x+）+2a sin（x+）﹣2b＝4b sin2（x+）+2a sin（x+）﹣2b+4≥0恒成立，分b＝0及b≠0分类讨论恒成立的条件来判断a的取值范围，进而求出其最大值．【解答】解：（1）由题设知：f（x）＝a（sin x+cos x）+b（sin2x﹣cos2x）＝2a sin（x+）+2b sin（2x﹣），又a＝b＝1，故f（x）＝2sin（x+）+2sin[2（x+）﹣]＝2sin（x+）﹣2cos[2（x+）]＝2sin（x+）﹣2[1﹣2sin2（x+）]，即f（x）＝4sin2（x+）+2sin（x+）﹣2＝4[sin（x+）+]2﹣，∵令t＝sin（x+）∈[﹣1，1]，∴f（t）＝4（t+）2﹣，抛物线开口向上，对称轴t＝﹣∈[﹣1，1]，因为|1﹣（﹣）|＞|﹣1﹣（﹣）|，所以当t＝﹣时，f（t）最小且为﹣，当t＝1时，f（t）最大且为4（1+）2﹣＝4，所以f（x）∈[﹣，4]．故f（x）的值域为[﹣，4]；（2）由（1）易知：f（x）＝2a sin（x+）+2b sin（2x﹣）＝4b sin2（x+）+2a sin（x+）﹣2b，依题意存在b，使得4b sin2（x+）+2a sin（x+）﹣2b+4≥0恒成立，若b＝0，则2a sin（x+）+4≥0恒成立，∴，解得﹣2≤a≤2若b≠0，则，∴，∴，解得﹣，综上可知a的最大值为．故答案为：（1）[﹣，4]；（2）【知识点】三角函数的最值、两角和与差的三角函数。
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专题18 解直角三角形问题一、勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。
4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5. 直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
6.直角三角形的判定：(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形二、锐角三角函数1.各种锐角三角函数的定义（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边2.特殊值的三角函数：专题知识回顾三、仰角、俯角、坡度概念 1．仰角：视线在水平线上方的角； 2．俯角：视线在水平线下方的角。
3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
四、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系 1cos sin 22=+A A（3）倒数关系 tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcos sin:i h l =hlα【例题1】（2019•湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P 点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．【答案】2或2或2．【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．∵AO＝OB＝2，∴当BP＝2时，∠APB＝90°，当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，∴BP＝＝2，当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB•tan∠1＝2，故答案为：2或2或2．【例题2】（2019•湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【答案】D【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．【例题3】（2019•江苏连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sinB＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D.C.M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出C D．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D.C.M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．专题典型训练题一、选择题1．（2019•渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，6【答案】A．【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．A.12+（）2＝22，故是直角三角形，故此选项正确；B.12+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；C.22+32≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；D.42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项错误．2．（2019•巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（）A．，，B．32，42，52C．D．0.3，0.4，0.5【答案】D．【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．A.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B.（32）2+（42）2≠（52）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D.0.032+0.042＝0.052，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。
3.（2019广西省贵港市）将一条宽度为2cm 的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB ，重叠部分为ABC ∆（图中阴影部分），若45ACB ∠=︒，则重叠部分的面积为( )A ．2B ．2C ．24cmD ．2 【答案】A ．【解析】过B 作BD AC ⊥于D ，则90BDC ∠=︒，依据勾股定理得出BC 的长，进而得到重叠部分的面积． 如图，过B 作BD AC ⊥于D ，则90BDC ∠=︒， 45ACB ∠=︒Q ，45CBD ∴∠=︒，2BD CD cm ∴==，Rt BCD ∴∆中，)BC cm ==，∴重叠部分的面积为12)2cm ⨯=，故选：A ．4.（2019贵州省毕节市） 如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB ＝1，EC ＝2，那么正方形ABCD 的面积为（ ）A B ．3C D ．5【答案】B ．【解析】勾股定理．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．5．（2019•南岸区）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC 于点E，若ED＝3，则AC的长为（）A．3B．3 C．6 D．9【答案】D．【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，DE⊥BC，求出BD＝DC＝2DE＝3，根据直角三角形的性质计算即可．∵DE是线段BC的垂直平分线，∴DC＝DB，DE⊥BC，∵∠C＝30°，∴BD＝DC＝2DE＝3，∴∠DBC＝∠C＝30°，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，∴AD＝BD＝3，∴AC＝DC+AD＝9．6．（2019•西藏）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径OB等于（）A ．1B ．C ．2D ．2【答案】B【解析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB 是等腰直角三角形，进而得出答案． ∵半径OC ⊥弦AB 于点D ， ∴＝，∴∠E ＝∠BOC ＝22.5°， ∴∠BOD ＝45°，∴△ODB 是等腰直角三角形， ∵AB ＝2， ∴DB ＝OD ＝1， 则半径OB 等于：＝．7.（2019•江苏苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是（ ） A ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18m【答案】C【解析】考察30o 角的三角函数值，中等偏易题目 过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，CDE BC ==在Rt ADEV中，tan30AE DE =o18mAE∴==18 1.519.5mAB∴=+=8.（2019•湖南长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【答案】B．【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，CA∴∠ABE＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．二、填空题9.（2019·贵州安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【答案】．【解析】∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA ＝∠DNA ＝∠BAC ＝90°，∴四边形DMAN 是矩形，∴MN ＝AD ，∴当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，此时，△ABC 的面积＝AB ×AC ＝BC ×AD ，∴AD ＝＝，∴MN 的最小值为。