第8章图的应用
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第8章 建筑剖面图的识读
建筑剖面图的识读步骤
•（1）.看图名、比例并与底层平面图对照，明确 剖切位置与投影方向。 •（2）.阅读被剖切到的墙体、楼梯、楼地面、梁 等主要的承重构件的断面，了解整个建筑物的结构 形式、构造作法和各构件之间的相互关系。 •（3）.看标高和尺寸标注。 •（4）.看各层楼地面、墙面、墙裙、踢脚板等构 造作法，详图索引等。
只需注出两端的轴线及编号，有时也 注出中间轴线。剖面图中剖到的墙体 在地面以下用折断线表示。
建筑剖面图的基本内容
•比例 建筑剖面图的比例应与建筑平面图、
正面图一致，通常为1:50、1:100、 1:200等，多用1:100。 •图例
房屋的地面、楼面、屋面等是由不同 材料构成的，因此在剖面图中常用材料 图例。
察看剖切位•标高 建筑剖面图除须注明室内外地面、
楼面、楼梯平台面、屋面、女儿墙压 顶面等的建筑标高，还要注明某些梁， 如圈梁、过梁、楼梯平台等底面的结 构标高。
女儿墙高0.6m
墙体材料为砖砌体 楼板材料为钢筋混凝土
女儿墙做法参照标准图集
室内外高差0.45m 1-1剖面图，比例为1∶100
对剩余部分所作的正投
的重要图样，是施工中的主要依据之一。
影图，称为建筑剖面图，
简称剖面图。
建筑剖面图有横剖面图 和纵剖面图。
横剖面图：沿房屋宽度 方向垂直剖切所得到的 剖面图。
纵剖面图：沿房屋长度 方向垂直剖切所得到的 剖面图。
建筑剖面图的基本内容
•定位轴线 为了与平面图对应，剖面图中一般
江苏省徐州技师学院建筑工程学院
建筑识图与构造
第8章.建筑剖面图的识读
建筑剖面图识读
一、建筑剖面图的形成 二、建筑剖面图的用途
建筑剖面图主要反映房屋内部垂直方向的
第八章地形图及测绘与应用试题
第八章地形图及测绘与应用试题第八章地形图的测绘与应用地形图地物1、相邻等高线之间的水平距离称为等高线平距。
2、地形图的分幅方法有梯形分幅和矩形分幅。
3、山脊的等高线应向下坡方向凸出，山谷的等高线应向上坡方向凸出。
4、在1∶2000地形图上，量得某直线的图上距离为18.17cm，则实地长度为363.4m。
1、下面那种说法是错误的( A )。
A 等高线在任何地方都不会相交 B等高线一定是闭和的连续曲线C 同一等高线上的点的高程相等 D等高线与山脊线、山谷线正交2、等高线有哪些特性？①同一条等高线上高程相等。
②等高线是闭合曲线③等高线只有在陡崖或悬崖处才会重合或相交。
④等高线经过山脊或山谷时改变方向，因此山脊线与山谷线应和改变方向处的等高线的切线垂直相交。
⑤在同一幅地形图内的基本等高距相同，等高线平距大表示地面坡度小；等高线平距小则表示地面坡度大；平距相等则坡度相同。
倾斜平面的等高线是一组间距相等且平行的直线。
6．我国基本比例尺地形图采用什么分幅方法？（）A．正方形 B.矩形C.梯形D.平行四边形9．按1/2基本等高距描绘出的等高线称为（）A．计曲线 B.间曲线C.首曲线D.助曲线14．已知两点间的高差为2米，实地水平距离为50米，则两点间的坡度为________。
1．什么叫地形图的比例尺？什么叫比例尺精度？比例尺精度有何作用?7.在1∶2000地形图上，设等高距为1米，现要设计一条坡度为5%的等坡度路线，则路线上等高线间隔应为( )A.0.1米B.0.1厘米C.1厘米D.5毫米9.下列说法正确的是( )A.等高线平距越大，表示坡度越小B.等高线平距越小，表示坡度越小C.等高距越大，表示坡度越大D.等高距越小，表示坡度越大6.在1∶10000地形图上，得到A、B两点的高差为2m，量得AB图上长度为1.5cm，则直线AB的坡度为___________％。
10.在地形图上，量得A、B点图上距离为0.02m，实地距离为100m，则该地形图的比例尺为___________。
第八章 图论8.4树及其应用.ppt
⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
2017/10/10 82-9
定理4.2.1 分析
直接证明这 6 个命题两两等价工作量太大，一 般采用循环论证的方法，即证明
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。
2017/10/10
证明 TG = <VT, ET> 是 G = <V, E> 的生 分析 必要性：假设 必要性由树的定义即得，充分性利用构造性 成树，由定义 4.2.1 ， TG 是连通的，于是 G 也是连通的。 方法，具体找出一颗生成树即可
充分性：假设G = <V, E>是连通的。如果G中无回 路， G 本身就是生成树。如果 G 中存在回路 C1 ，可删除 C1中一条边得到图G1，它仍连通且与G有相同的结点集。 如果G1中无回路，G1就是生成树。如果G1仍存在回路C2， 可删除 C2 中一条边，如此继续，直到得到一个无回路 的连通图H为止。因此，H是G的生成树。
2017/10/10 82-22
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全图有几棵 生成树？4个顶点的无向完全图又有几棵生成树？n 个顶点的无向完全图又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
2017/10/10
82-23
定理4.2.3
一个图G = <V, E>存在生成树TG = <VT, ET>的充分 必要条件是G是连通的。
由定理4.2.1(4) 在结点给定的无向图中， 由定理4.2.1(5) 树是边数最多的无回路图 树是边数最少的连通图 由此可知，在无向图G = (n, m)中， 若m＜n-1，则G是不连通的 若m＞n-1，则G必含回路
第8章_有向图
图论及其应用
5
8.1 有向图——习题
10.1.1. 一个简单图有多少个定向图？ 10.1.2. 证明： = = 。 10.1.3. 设有向图D中无有向圈，则 d (v ) d (v ) v V v (a) = 0V； (b) 存在一个顶点排序v1，……，v ，使对1 i ，每条 以vi为 头的弧其尾都在{v1，……，vi-1} 中。 10.1.4. 证明：D是双向连通的 D是连通的，且D的每个块 是双向连通的。 10.1.5. D的逆图 是把D中每弧的方向都改为其反向所得的 有向图。试用逆图慨念及习题10.1.3.(a) 来证明： 若有向图D中 无有向圈，则+ = D 。 0 10.1.6. 证明：严格有向图包含长 max{ ，+}的有向路。 10.1.7. 证明：严格有向图中若max{ ，+} = k 1，则 D包含长 k+1 的有向圈。
图论及其应用
第8章 有向图
8.1 有向图
有向图（directed graph；digraph） D =（V，A） V(D) —— 顶点集。 a u v A(D) —— 弧集。 弧a = (u,v)：其头为v，其尾为u； 弧a从u连到(join to)v。 有向子图（subdigraph） 有向图D的基础图（underlying graph） 对应于D的无向图G（称D为G的一个定向 （orientation）图）
8.1 有向图
易见，有向图D = (V, A)中顶点间的双向连通性是V上 的一个等价关系，它的等价类确定了V的一个划分 （V1，……，Vm）， 使顶点u与v双向连通 u与v 同属某等价类Vi 。 称每个导出子图D[V1]，……，D[Vm]为有向图D的一 个双向分支（dicomponent；strong component）。 当D只有一个双向分支时，称D为双向连通的。 易见，D的任二双向分支之间的弧都是同一个方向的。 例
第8章三极管版图
偏置电路及静态工作点
偏置电路
为了使三极管正常工作在放大状态，需要为其设置合适的偏置电路。偏置电路的 主要作用是为三极管的基极提供稳定的直流电压，使其工作在合适的静态工作点 。
静态工作点
静态工作点是指三极管在没有输入信号时的工作状态。在这个状态下，三极管的 基极电流、发射极电流和集电极电流都保持在一个稳定的值。静态工作点的设置 对于三极管的放大性能和稳定性至关重要。
防静电措施
在版图设计中考虑防静电措施，如增加接地引脚、设置静电放电通 路等，以避免静电对三极管的损害。
05
三极管版图仿真与验证
仿真工具介绍及使用方法
仿真工具介绍
目前常用的三极管版图仿真工具有 Cadence、Synopsys和Mentor等公 司的EDA软件，这些软件提供了全面 的电路设计和仿真功能，支持多种工 艺库和器件模型。
电流放大原理
电流放大倍数（β值）
三极管具有电流放大功能，即当基极电流发生变化时，集电极电流会按照一定比例放大。这个比例被 称为三极管的电流放大倍数，用β值表示。
电流放大原理
当基极电流增大时，发射极向基极提供的电子流也相应增大，导致集电极电流增大。由于集电极面积 较大，可以收集更多的电子，因此集电极电流的变化幅度大于基极电流的变化幅度，实现了电流的放 大。
传感器接口电路设计案例
传感器信号放大
信号调理电路
利用三极管构成的放大电路，对传感器输 出的微弱信号进行放大。
采用三极管构成信号调理电路，对放大后 的传感器信号进行进一步的处理和转换。
输出驱动电路
电源与接地处理
利用三极管作为输出驱动电路，将处理后 的传感器信号转换为适合后续电路处理的 信号形式。
在传感器接口电路中，同样需要注意电源 和接地的布局，以降低电源噪声对传感器 信号的影响。
第8章_图_meng
n
,
而 故
偶度点
deg(v ) 为偶数,
j
i
奇度点
deg(v ) 也为偶数；
而奇数个奇数之和为奇数,因此奇度点的个数必然为偶数。
十、握手定理（续）
定理8.2 在有向图G=<V,E>中，结点的出度总和等于结点的入度总和，等 于边的数目，即
deg ( v ) deg (v ) E vV vV
九、度（续）
设D=<V,E>为一个有向图, v∈V, 将所有以v为始点的边数之和称为v的出度, 记作deg+(v) ； 将所有以v为终点的边数之和称为v的入度, 记作deg-(v)； 称 deg+(v)+deg-(v)为v的度数，简称度, 记作deg(v) 。
注意：每个环提供给它的端点2度。其中1个入度，1 个出度。
六、母图、子图、生成子图、导出子图（续）
设G=<V,E>、G1=<V1,E1>是两个图(同为无向图或 同为有向图)。 (1)若V1V并且E1E，则称图G1是图G的子图，G是 G1的母图，记作G1G。
(2)若G1G并且G1G(即V1V或者E1E)，则称G1是 G的真子图，记作G1G。 (3)若G1G并且V1=V(即顶点不减少)，则称G1是G的 生成子图。
证：设G = <V, E>为一个有向图，其中，|V| = n，|E| = m。 在有向图中，每一个有向边分别对出度、入度增加1。所以，必有 根据握手定理知： vV
vV
deg ( v ) deg (v ) vV
2m deg(v) deg (v) deg (v) 2 deg (v) 2 deg (v)
第八章图论
3. 图的结点与边之间的关系 定义 如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。 没有与边关联的结点称为孤立点。 关联于同一结点的相异边称为邻接的。 不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重 图。 最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义 图G中关联于结点vi的边的总数称为 结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数 的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图 的非连通图。 结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了 图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通 的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义 定义 设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中 若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条 不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义 具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集 定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图， 则称S是G的一个边割集。 注：割边是边割集的一个特例。
测量学-第八章地形图的测绘与应用
图8-5 等高线示意图
而且测绘有几种不同比例尺的地形图，
图8-11 视距测量示意图
⎭
⎬⎫
-+==v i D h kn D αα
tan cos 2 ——仪器乘常数，可取k =100
2.大平板仪的构造
大平板仪的构造由照准仪、图板、基座和附件组成。
(1)照准仪：图8-17为西安光学测量仪器厂制造的
竖盘、支柱和直尺所组成，其作用和经纬仪相似。
平板相当于水平度盘，照准目标后用平行尺来画方向线。
竖直度盘分划值为1°，向两个方向依正负每
望远镜水平时读数为0°。
在竖直度盘右侧附有水准管，读数前必须先调整水准管，当气泡居中时才能读取竖直度盘读数，直读到10′估读到1′，读数窗影像如图
′和+6°23′。
图8-23 按制定坡度选线示意图
称之为。
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2008-7-3 第7章 图 Slide 20 of 39
DS
0 4 11 初始： 6 0 2 3 0 B 2 0 4 11 加入V1： 6 0 2 3 7 0 0 4 6 加入V2： 6 0 2 3 7 0 路径： BA CA 路径： BA AB AC BC
AB AC BC
例 A 3
6 4 11 C
DS
8.2.2 从一顶点到其余各顶点的最短路径(Dijkstra)
终 点
V1 V2 V3 V4 Vj
2008-7-3
3 <V0,V1>
从V0到各终点的最短路径及其长度 1
25 15 <V0,V1, V3,V2>
3
0
10 4
30
4
12
8
28 ∞ <V0,V2> <V0,V1,V2> 11 ∞ <V0,V3> <V0,V1,V3>
0 fromvex endvex 0 4
1 1 2
2 1 3
3 2 3
4 1 5
weight
2008-7-3
4
5
8
10 12 15 18 20 23 25
第7章 图 Slide 12 of 39
DS
8.1.3 克鲁斯卡尔算法
算法实现：图用边集数组表示 算法描述 算法评价： 时间复杂度O(n² ) 空间复杂度O(n² )
2008-7-3
第7章 图
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DS
8.1.3 克鲁斯卡尔算法
0 4 25 4 18 23 5 20 12 1 8 3 5 2 10
CT
0
1
2
3
4
fromvex
endvex weight
0
4 4 5 3 5
1
2 5 6 0 1
1
3 8 7 3 4
1
5
0
1
15
12 18 8 0 5 9 4 5
2008-7-3 第7章 图 Slide 7 of 39
DS
8.1.2 普里姆算法 算法思想：设N=(V,{E})是连通网，TE是N上最 小生成树中边的集合 初始令U={u0},(u0V), TE= 在所有uU,vV-U的边(u,v)E中，找一条代价最 小的边(u0,v0) 将(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U 重复上述操作直至U=V为止，则T=(V,{TE})为N的 最小生成树
2008-7-3
第7章 图
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DS
8.3.1 拓扑排序的概念
课程代号 C1 C1 C8 C9 C7 课程名称 高等数学 先修课程 无
C2
C3 C4 C5 C6
程序设计基础
离散数学 数据结构 算法语言 编译技术
无
C1，C2 C3，C5 C2 C4，C5
C3
C4
C2
C5
C6
C7
3 6 15
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DS
8.1.3 克鲁斯卡尔算法
算法思想：设连通网N=(V,{E})，令最小生成树 初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图 T=(V,{})，每个顶点自成一个连通分量 在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T 中不同的连通分量上，则将此边加入到T中；否则， 舍去此边，选取下一条代价最小的边 依此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上 为止
2008-7-3
第7章 图
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DS
8.2.1 最短路径的概念
3
0
20 8
10 4
30
5
1
25
4
12
2
3
V0~V4的路径有： {0，4}：长度为30 {0，1，3，4} ：长度为23 {0，1，2，4}：长度为38
2008-7-3 第7章 图
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4 7
DS
8.1.1 生成树和最小生成树的概念
0
8
最小生成树 3 1 3 15 问题提出 12 10 2 6 7 要在n个城市间建立通信联络网 2 6 9 顶点--表示城市 4 5 权--城市间建立通信线路所需花费的代价 希望找到一棵生成树，它的每条边上的权值之和 （即建立该通信网所需花费的总代价）最小--最小 代价生成树
2008-7-3
2 4 5 5 5
3 3
2
0 1
2
3
5
4
1 4
0
2
3
5
第7章 图 Slide 30 of 39
DS
第8章 图的应用
DS
主要内容
1
图的生成树和最小生成树
2 3
4
最短路径 拓扑排序
关键路径*
2008-7-3
第7章 图
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DS
8.1 图的生成树和最小生成树 8.1.1 生成树和最小生成树的概念 8.1.2 普里姆算法 8.1.2 克鲁斯卡尔算法
2008-7-3
第7章 图
CA CAB
路径： BA AB ABC BC
CA CAB
AB ABC 路径： BCA CA CAB BC
0 4 6 加入V3： 5 0 2 3 7 0
2008-7-3
第7章 图
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DS
8.3 拓扑排序 8.3.1 拓扑排序的概念 8.3.2 拓扑排序算法
2008-7-3
2008-7-3
第7章 图
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DS
8.3.1 拓扑排序的概念 拓扑序列：在AOV网中，若不存在回路，则所有活 动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱 活动都排在该活动的前面，此序列叫做拓扑序列。 拓扑排序：有AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑 排序。该序列不是唯一的。 实现方法： 选择一个入度为0的顶点并输出之 从网中删除此顶点及所有出边 重复上述两步，直至不存在入度为0的顶点为止
郑州
540
徐州 190
720 济南
旅客希望停靠站越少越好，则应选择：
济南——北京——太原——兰州 旅客考虑的是旅程越短越好，则应选择： 济南——徐州——郑州——西安——兰州
2008-7-3 第7章 图 Slide 15 of 39
DS
8.2.1 最短路径的概念 最短路径：从一顶点到另一顶点间路径长度最短 （即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其 路径长度叫做最短路径长度或最短距离。 带权路径长度：在带权图中，把从一个顶点i到图中 其余任一个顶点j的一条路径上所经过边的权值之和 定义为该路径的带权路径长度。路径长度最短（即其 值最小）的那条路径称做最短路径，其权值称做最短 路径长度或最短距离。
2 4 5 5 5
3
2
3
输出 1
4
-1 0 1 1 0 2 -1 0 -1 1 0 2
-1 0 -1 -1 0 1 -1 0 -1 -1 0 -1
0 1 2 3 4 5
2 4 5 5 5
3 3
2
输出 1 4 0 2 3 5
-1 0 -1 -1 0 -1
DS
8.3.2 拓扑排序算法
0 1 2 3 4 5
第7章 图
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DS
8.3.1 拓扑排序的概念
问题提出：学生选修课程问题
课程代号 课程名称 先修课程
顶点--表示课程 有向弧--表示先决条件，若课程 i是课程j的先决条件，则图中有 弧<i,j> 学生应按怎样的顺序学习 这些课程，才能无矛盾、顺利 地完成学业--拓扑础
无
无
C3
C4 C5 C6 C7 C8 C9
离散数学
数据结构 算法语言 编译技术 操作系统 普通物理 计算机原理
C1，C2
C3，C5 C2 C4，C5 C4，C9 C1 C8
2008-7-3
第7章 图
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DS
8.3.1 拓扑排序的概念 AOV网：用顶点表示活动，用弧表示活动间先后关 系的有向图称为顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网 若<vi,vj>是图中有向边，则vi是vj的直接前驱；vj是 vi的直接后继 AOV网中不允许有回路，这意味着某项活动以自 己为先决条件
2008-7-3 第7章 图 Slide 4 of 39
DS
8.1.1 生成树和最小生成树的概念
0 1 3 4 7 连通图 5 2 6 0 深度优先 生成树
1
3
4
7
5
2
6
0
1 3
2008-7-3
广度优先 生成树 5 2 6 1 3
第7章 图
0
4 7 5
任意一颗 生成树
2 6
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0
1 2 3
2 4 5 5 5
^
3 3 ^ ^ ^
2
^
4
5 ^
0 0
2008-7-3
1 0
2 2
3 2
第7章 图
4 1
5 3
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入度表top=-1 -1 0 0 2 2 1 3
-1 0 1 2 1 2 1 0 3
-1 0 1 1 0 3 -1 0 1 1 0 2
0 1 2 3 4 5
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DS
8.1.1 生成树和最小生成树的概念
生成树 定义：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的图叫生 成树 深度优先生成树与广度优先生成树 一个图可以有许多棵不同的生成树 所有生成树具有以下共同特点： 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同 生成树是图的极小连通子图 一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的 在生成树中再加一条边必然形成回路 含n个顶点n-1条边的图不一定是生成树
DS
0 4 11 初始： 6 0 2 3 0 B 2 0 4 11 加入V1： 6 0 2 3 7 0 0 4 6 加入V2： 6 0 2 3 7 0 路径： BA CA 路径： BA AB AC BC
AB AC BC
例 A 3
6 4 11 C
DS
8.2.2 从一顶点到其余各顶点的最短路径(Dijkstra)
终 点
V1 V2 V3 V4 Vj
2008-7-3
3 <V0,V1>
从V0到各终点的最短路径及其长度 1
25 15 <V0,V1, V3,V2>
3
0
10 4
30
4
12
8
28 ∞ <V0,V2> <V0,V1,V2> 11 ∞ <V0,V3> <V0,V1,V3>
0 fromvex endvex 0 4
1 1 2
2 1 3
3 2 3
4 1 5
weight
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4
5
8
10 12 15 18 20 23 25
第7章 图 Slide 12 of 39
DS
8.1.3 克鲁斯卡尔算法
算法实现：图用边集数组表示 算法描述 算法评价： 时间复杂度O(n² ) 空间复杂度O(n² )
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第7章 图
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DS
8.1.3 克鲁斯卡尔算法
0 4 25 4 18 23 5 20 12 1 8 3 5 2 10
CT
0
1
2
3
4
fromvex
endvex weight
0
4 4 5 3 5
1
2 5 6 0 1
1
3 8 7 3 4
1
5
0
1
15
12 18 8 0 5 9 4 5
2008-7-3 第7章 图 Slide 7 of 39
DS
8.1.2 普里姆算法 算法思想：设N=(V,{E})是连通网，TE是N上最 小生成树中边的集合 初始令U={u0},(u0V), TE= 在所有uU,vV-U的边(u,v)E中，找一条代价最 小的边(u0,v0) 将(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U 重复上述操作直至U=V为止，则T=(V,{TE})为N的 最小生成树
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第7章 图
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DS
8.3.1 拓扑排序的概念
课程代号 C1 C1 C8 C9 C7 课程名称 高等数学 先修课程 无
C2
C3 C4 C5 C6
程序设计基础
离散数学 数据结构 算法语言 编译技术
无
C1，C2 C3，C5 C2 C4，C5
C3
C4
C2
C5
C6
C7
3 6 15
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DS
8.1.3 克鲁斯卡尔算法
算法思想：设连通网N=(V,{E})，令最小生成树 初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图 T=(V,{})，每个顶点自成一个连通分量 在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T 中不同的连通分量上，则将此边加入到T中；否则， 舍去此边，选取下一条代价最小的边 依此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上 为止
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第7章 图
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DS
8.2.1 最短路径的概念
3
0
20 8
10 4
30
5
1
25
4
12
2
3
V0~V4的路径有： {0，4}：长度为30 {0，1，3，4} ：长度为23 {0，1，2，4}：长度为38
2008-7-3 第7章 图
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4 7
DS
8.1.1 生成树和最小生成树的概念
0
8
最小生成树 3 1 3 15 问题提出 12 10 2 6 7 要在n个城市间建立通信联络网 2 6 9 顶点--表示城市 4 5 权--城市间建立通信线路所需花费的代价 希望找到一棵生成树，它的每条边上的权值之和 （即建立该通信网所需花费的总代价）最小--最小 代价生成树
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2 4 5 5 5
3 3
2
0 1
2
3
5
4
1 4
0
2
3
5
第7章 图 Slide 30 of 39
DS
第8章 图的应用
DS
主要内容
1
图的生成树和最小生成树
2 3
4
最短路径 拓扑排序
关键路径*
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第7章 图
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DS
8.1 图的生成树和最小生成树 8.1.1 生成树和最小生成树的概念 8.1.2 普里姆算法 8.1.2 克鲁斯卡尔算法
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第7章 图
CA CAB
路径： BA AB ABC BC
CA CAB
AB ABC 路径： BCA CA CAB BC
0 4 6 加入V3： 5 0 2 3 7 0
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第7章 图
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DS
8.3 拓扑排序 8.3.1 拓扑排序的概念 8.3.2 拓扑排序算法
2008-7-3
2008-7-3
第7章 图
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DS
8.3.1 拓扑排序的概念 拓扑序列：在AOV网中，若不存在回路，则所有活 动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱 活动都排在该活动的前面，此序列叫做拓扑序列。 拓扑排序：有AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑 排序。该序列不是唯一的。 实现方法： 选择一个入度为0的顶点并输出之 从网中删除此顶点及所有出边 重复上述两步，直至不存在入度为0的顶点为止
郑州
540
徐州 190
720 济南
旅客希望停靠站越少越好，则应选择：
济南——北京——太原——兰州 旅客考虑的是旅程越短越好，则应选择： 济南——徐州——郑州——西安——兰州
2008-7-3 第7章 图 Slide 15 of 39
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8.2.1 最短路径的概念 最短路径：从一顶点到另一顶点间路径长度最短 （即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其 路径长度叫做最短路径长度或最短距离。 带权路径长度：在带权图中，把从一个顶点i到图中 其余任一个顶点j的一条路径上所经过边的权值之和 定义为该路径的带权路径长度。路径长度最短（即其 值最小）的那条路径称做最短路径，其权值称做最短 路径长度或最短距离。
2 4 5 5 5
3
2
3
输出 1
4
-1 0 1 1 0 2 -1 0 -1 1 0 2
-1 0 -1 -1 0 1 -1 0 -1 -1 0 -1
0 1 2 3 4 5
2 4 5 5 5
3 3
2
输出 1 4 0 2 3 5
-1 0 -1 -1 0 -1
DS
8.3.2 拓扑排序算法
0 1 2 3 4 5
第7章 图
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DS
8.3.1 拓扑排序的概念
问题提出：学生选修课程问题
课程代号 课程名称 先修课程
顶点--表示课程 有向弧--表示先决条件，若课程 i是课程j的先决条件，则图中有 弧<i,j> 学生应按怎样的顺序学习 这些课程，才能无矛盾、顺利 地完成学业--拓扑础
无
无
C3
C4 C5 C6 C7 C8 C9
离散数学
数据结构 算法语言 编译技术 操作系统 普通物理 计算机原理
C1，C2
C3，C5 C2 C4，C5 C4，C9 C1 C8
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第7章 图
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8.3.1 拓扑排序的概念 AOV网：用顶点表示活动，用弧表示活动间先后关 系的有向图称为顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网 若<vi,vj>是图中有向边，则vi是vj的直接前驱；vj是 vi的直接后继 AOV网中不允许有回路，这意味着某项活动以自 己为先决条件
2008-7-3 第7章 图 Slide 4 of 39
DS
8.1.1 生成树和最小生成树的概念
0 1 3 4 7 连通图 5 2 6 0 深度优先 生成树
1
3
4
7
5
2
6
0
1 3
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广度优先 生成树 5 2 6 1 3
第7章 图
0
4 7 5
任意一颗 生成树
2 6
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0
1 2 3
2 4 5 5 5
^
3 3 ^ ^ ^
2
^
4
5 ^
0 0
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1 0
2 2
3 2
第7章 图
4 1
5 3
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入度表top=-1 -1 0 0 2 2 1 3
-1 0 1 2 1 2 1 0 3
-1 0 1 1 0 3 -1 0 1 1 0 2
0 1 2 3 4 5
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DS
8.1.1 生成树和最小生成树的概念
生成树 定义：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的图叫生 成树 深度优先生成树与广度优先生成树 一个图可以有许多棵不同的生成树 所有生成树具有以下共同特点： 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同 生成树是图的极小连通子图 一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的 在生成树中再加一条边必然形成回路 含n个顶点n-1条边的图不一定是生成树