2018年高考数学考点通关练第七章平面解析几何46两条直线的交点与距离公式课件文
年高考数学总复习 第七章第2课时 两直线的位置关系课时闯关(含解析)
（福建专用）2013年高考数学总复习 第七章第2课时 两直线的位置关系课时闯关（含解析）一、选择题1．若直线2ay －1＝0与直线(3a －1)x ＋y －1＝0平行，则实数a 等于( ) A.12 B ．－12C.13 D ．－13 解析：选C.因为直线2ay －1＝0斜率为0，两直线平行，所以3a －1＝0，即a ＝13.故选C.2．(2012·泉州调研)若点P(3,4)和点Q(a ，b)关于直线x －y －1＝0对称，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝4，b ＝3D ．a ＝5，b ＝2解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －3＝－1a ＋32－b ＋42－1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5b ＝2，选D.3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．0或－12 B.12或－6 C ．－12或12 D ．0或12解析：选B.法一：依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1， ∴|3m ＋5|＝|m －7|，∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m.∴m ＝－6或m ＝12.故应选B. 法二：通过直线与AB 平行或过线段AB 中点分类讨论求解．4．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A(3,2)、B(a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B.l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，k AB ＝2－－3－a＝1， ∴a ＝0.由l 1∥l 2，得－2b＝1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－2. 5．已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线被直线AB 反射后，再射到直线OB上，最后经OB 反射后回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析：选A.如图，P 关于直线AB ：x ＋y ＝4的对称点P 1(4,2)，P 关于y 轴的对称点P 2(－2,0)，则|P 1P 2|＝62＋22＝210为所求路程．二、填空题6．点P 为x 轴上一点，P 点到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则P 点坐标为________．解析：设P(a,0)，则有|3a －4×0＋6|32＋－2＝6， 解得a ＝－12或a ＝8.∴P 点坐标为(－12,0)或(8,0)．答案：(－12,0)或(8,0)7．已知直线：l 1：x ＋ysin θ－1＝0，l 2：2xsin θ＋y ＋1＝0，若l 1∥l 2，则θ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，∴1×1＝2sin θ×sin θ，∴sin 2 θ＝12，∴sin θ＝±22， ∴θ＝k π±π4(k ∈Z)． 答案：k π±π4(k ∈Z) 8．(2012·福州调研)若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点________．解析：因为直线l 1与l 2关于点(2,1)对称，且直线l 1过点(4,0)，所以直线l 2必过点(4,0)关于点(2,1)的对称点(0,2)．答案：(0,2)三、解答题9．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， ∴l 1，l 2的交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k(x －1)．即kx －y ＋2－k ＝0，∵P(0,4)到直线的距离为2，∴2＝|－2－k|1＋k 2，解得：k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.10．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a(a －1)＋(－b)·1＝0，即a 2－a －b ＝0.①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a 1－a， 故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋－a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4|a －1a |＝|a 1－a |，∴a ＝2或a ＝23， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.一、选择题1．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A. 5 B.10C ．2 5D ．210解析：选A.x 2＋y 2表示点(x ，y)到原点的距离，根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5.故选A. 2．(2012·三明质检)已知b>0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y ＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3解析：选B.由两条直线垂直的充要条件可得：－b 2＋1a ·1b 2＝－1，解得a ＝b 2＋1b2，所以ab ＝b 2＋1b 2·b＝b 2＋1b ＝b ＋1b .又因为b>0，故b ＋1b ≥2 b·1b ＝2，当且仅当b ＝1b ，即b ＝1时取“＝”．故选B.二、填空题3．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m －n ＋p 的值是________．解析：∵两直线垂直，∴－m 4·25＝－1，解得m ＝10；又垂足为(1，p)，代入直线mx ＋4y －2＝0得p ＝－2；再将(1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12.所以m －n ＋p ＝20.答案：204．设直线系M ：xcos θ＋(y －2)sin θ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题： ①M 中所有直线均经过一个定点；②存在定点P 不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数n(n≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的代号是________(写出所有真命题的编号)．解析：因为xcos θ＋(y －2)sin θ＝1，所以点P(0,2)到M 中每条直线的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1 即M 为圆C ：x 2＋(y －2)2＝1的全体切线组成的集合，从而M 中存在两条平行直线，所以①错误；又因为(0,2)点不存在任何直线上，所以②正确；对任意n≥3，存在正n 边形使其内切圆为圆C ，故③正确；M 中边能组成两个大小不同的正三角形ABC 和AEF ，如图所示．故④错误，故命题中正确的序号是②，③.答案：②③三、解答题5．已知方程(m ＋2)x ＋(m －3)y ＋4＝0 (m ∈R)所表示的直线恒过定点，试求该定点的坐标．解：将直线方程变形为m(x ＋y)＋2x －3y ＋4＝0.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，2x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－45，y ＝45.∴定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，45. 6．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大． 解：如图所示，设点B 关于l 的对称点B′的坐标为(a ，b)则k BB′·k l ＝－1，即3·b －4a ＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为(a 2，b ＋42)，且在直线l 上， ∴3×a 2－b ＋42－1＝0， 即3a －b －6＝0.②解①②，得a ＝3，b ＝3，∴B′(3,3)．于是AB′的方程为y －13－1＝x －43－4， 即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5， 即l 与AB′的交点坐标为P(2,5)．此时点P 到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．。
2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系课件文
2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于 ( ) A. 2 C. 2－1 B．2－ 2 D． 2＋1
|a－2＋3| C [由题意得 ＝1，即|a＋1|＝ 2， 2 又a>0，∴a＝ 2－1.]
3．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．
m＝2， 解得 n＝3.
y－1 x－1 故所求直线的方程为 ＝ ，即2x－y－1＝0.] 3－1 2－1
[思想与方法] 1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合 的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1· k2＝－1.若有一条直线的斜率不存 在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意． 2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称， 利用坐标转移法．
[解] 设点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为A′(a，b)，2分
1＋a 1＋b 则AA′的中点为 ， 2 ，4分 2
1＋b＝2×1＋a＋1， 2 2 所以 b－1×2＝－1， a－1
3 a＝－5， 解得 b＝9， 5
10分
3 9 故点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为－5，5.
抓 基 础 · 自 主 学 习 明 考 向 · 题 型 突 破
第二节
两条直线的位置关系
课 时 分 层 训 练
[考纲传真]
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解
方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的 距离公式，会求两平行直线间的距离．
1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)两条直线垂直
2018年高考数学 考点通关练 第七章 平面解析几何 50 两条直线的交点与距离公式 理
12．经过两条直线 2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0 的交点， 且 与 直 线 x － 3y － 1 ＝ 0 平 行 的 直 线 的 一 般 式 方 程 为 __x_－ __3_y_＝ __0__．
解析 两条直线 2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0 的交点为(－ 3，－1)，所以所求直线为 y＋1＝13(x＋3)，即 x－3y＝0.
解析 设点 A 关于直线 y＝x 的对称点为 B(x1，y1)，依 y1＋1＝x1＋3，
题意可得yx11－ － 2 13＝－21，
解得xy11＝ ＝13， ， 即 B(1,3)，同样可得点 A 关于 y＝0 的对 称点 C(3，－1)，如图所示，则|AM|＋|AN|＋|MN|＝|BM|＋|CN| ＋|MN|≥|BC|，当且仅当 B，M，N，C 共线时，△AMN 的 周长最短，即|BC|＝ 1－32＋3＋12＝2 5.选 B.
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 直线 x＋y＝0 和直线 x－ay＝0 互相垂直⇔1＋ 1×(－a)＝0，所以选 C.
4．已知直线 3x＋y－1＝0 与直线 2
行，则它们之间的距离是(
)
A．1
5 B.4
C．3
D．4
3x＋my＋3＝0 平
解析
∵ 2
33＝m1 ≠－31，∴m＝2，两平行线之间的距离
9．已知直线 l 过点 M(3,4)，且与点 A(－2,2)，B(4，－
2)等距离，则直线 l 的方程为(
)
A．2x＋3y－18＝0
B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0 或 x＋2y＋2＝0
D．2x－y－2＝0 或 2x＋3y－18＝0
2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第二节直线的交点与距离公式学案文
第二节直线的交点与距离公式1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2 .能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3 .掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.主干顾整合01知识点一两条直线平行与垂直的判定1 .两条直线平行对于两条不重合的直线丨1,丨2,其斜率分别为k i, k2,则有11// l 2? ________ .特别地，当直线l 1、I 2的斜率都不存在时，l 1与I 2的关系为__________ .2 .两条直线垂直如果两条直线丨1,丨2斜率存在，设为k1, k2,则丨1丄丨2? ___ .答案1. k1 = k2 平行2. k1 • k2=—1对点快练1.判断正误(1) 当直线11和12的斜率都存在时，一定有k1 = k2? 11 / 12.( )(2) 如果两条直线丨1与丨2垂直，则它们的斜率之积一定等于— 1.( )(3) 已知直线1仁Ax+ By + G = 0, 12：Ax+ By + C2= 0(A, B, C, A, B2, C2为常数)，若直线丨1丄丨2，贝U A1A2 + BR = 0.( )答案：⑴x (2) x (3) V2 .已知直线(k —3)x + (4 —k)y+ 1 = 0 与2( k —3)x—2y+3 = 0 平行，那么k 的值为()A. 1 或3B. 1 或5G. 3 或5 D. 1 或2-2 -条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k丰1,排除A，B，D.解析：法1：把k = 1代入已知两条直线，得—2x+ 3y + 1 = 0与—4x—2y+ 3= 0，此时两［心3,法2：因已知两条直线平行，所以k = 3或$ k -34-k 1解得k = 3或k =〔2 k_3 工 3，5.答案：C知识点二两条直线的交点设两条直线的方程为 11： Ax + B i y + C = 0, 12： Ax + E 2y + C 2= 0，则两条直线的 _________Ax + By + C = 0,就是方程组的解.(A a X + E 2y + C 2= 0(1) 若方程组有唯一解，则两条直线 ________ ，此解就是 ______ ;(2) 若方程组无解，则两条直线 _________ ，此时两条直线 _______ ，反之，亦成立.答案交点坐标 (1)相交 交点的坐标 (2)无公共点 平行对点快练3 .经过两直线 2x + y — 8= 0与x — 2y + 1 = 0的交点，且平行于直线 4x — 3y — 7 = 0的直 线方程为 _________ .答案：4x — 3y — 6 = 04.点(a , b )关于直线x + y + 1= 0的对称点是 _____________ .解析：设对称点的坐标为(x o , y o ),収0= — b — 1, 解之得 即对称点坐标为(—b — 1,— a — 1). |y 0= — a — 1. 答案：(—b — 1, — a — 1) 知识点三两种距离 1.点到直线的距离点 Ri(X 0, y °)到直线 I : Ax + Ey + C = 0 的距离 d = ________________ . 2 .两条平行线间的距离两条平行线 Ax + Ey + C = 0与Ax + Ey + C 2= 0间的距离d = _______________ ,答案「y °— b X 一=1,则a + x °b +y 。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.4两条直线的交点学案苏教版
2.1.4 两条直线的交点1．了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．(重点、难点) 2．会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标．(重点) 3．会利用直线系方程解决相关问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 两直线交点个数 阅读教材P 93，完成下列问题．二元一次方程组解的个数与两直线交点个数的关系1．直线x ＋2y －1＝0与直线x ＋y －5＝0的交点坐标为________.【导学号：41292086】【解析】 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4，所以交点坐标为(9，－4)．【答案】 (9，－4)2．已知直线3x ＋5y ＋m ＝0与直线x －y ＋1＝0交点在x 轴上，则m ＝________. 【解析】 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)，则(－1,0)在直线3x ＋5y ＋m ＝0上，∴3×(－1)＋5×0＋m ＝0，∴m ＝3.【答案】 3教材整理2 直线系方程阅读教材P 94～P 95，完成下列问题．1．平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线：Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )． 2．垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线：Bx －Ay ＋m ＝0(m 为参数)．3．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.(注意：该直线不包括直线l 2)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示．(√)(2)直线上点的坐标都是直线所对应的二元一次方程的解，反之，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上．(√)(3)直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示经过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的所有直线．(×)(4)直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有交点的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.(√)2．过点(1,1)与直线2x ＋y ＝4平行的直线方程为________． 【解析】 设所求直线方程为2x ＋y ＝m ， 将点(1,1)代入方程得m ＝3， ∴所求直线方程为2x ＋y －3＝0. 【答案】 2x ＋y －3＝0[小组合作型]两直线位置关系的判定方法判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：2x －3y ＋5＝0，l 2：4x －6y ＋10＝0.【精彩点拨】 根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断． 【自主解答】 (1)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0， ①2x ＋2y ＋3＝0， ②①×2－②得：1＝0矛盾，∴方程组无解． ∴两直线无公共点，l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋5＝0， ①4x －6y ＋10＝0， ②①×2得4x －6y ＋10＝0， ∴①和②可以化为同一方程， 即l 1与l 2是同一直线，l 1与l 2重合．判定直线的位置关系有以下两种方法： (1)利用方程组解的个数判断．(2)利用直线平行、重合、垂直和相交的条件判断，两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.①当A 1B 2－A 2B 1≠0时，两直线相交；②当A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1＝0(或A 1C 2－A 2C 1＝0)时，两直线重合；③当A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)时，两直线平行；④当A 1A 2＋B 1B 2＝0时，两直线垂直．[再练一题]1．下列各组直线中，其中为相交直线的序号为________．①y ＝x ＋2和y ＝1；②x －y ＋1＝0和y ＝x ＋5；③x ＋my －1＝0(m ≠2)和x ＋2y －1＝0；④2x ＋3y ＋1＝0和4x ＋6y －1＝0.【解析】 ①显然相交；②平行；③直线x ＋my －1＝0过点(1,0)，直线x ＋2y －1＝0过点(1,0)，故两直线相交；④两直线平行．【答案】 ①③2．两条直线2x ＋3y －m ＝0和x －my ＋12＝0的交点在x 轴上，那么m 的值是________.【导学号：41292087】【解析】 在2x ＋3y －m ＝0中，令y ＝0，得x ＝m2；在x －my ＋12＝0中，令y ＝0，得x ＝－12.由题意知m2＝－12，故m ＝－24.【答案】 －24直线交点的应用当k 为何值时，直线l 1：y ＝kx ＋3k －2与直线l 2：x ＋4y －4＝0的交点P 在第一象限？【精彩点拨】 在相交的条件下，联立方程组求交点，根据条件列关于k 的不等式组求解．【自主解答】 当k ＝－14时，l 1与l 2平行，不符合题意．当k ≠－14时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3k －2，x ＋4y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12k 1＋4k ，y ＝7k －21＋4k ，∵点P 在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12－12k1＋4k >0，7k －21＋4k >0，∴27<k <1.已知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或不等式，从而求出参数的值或取值范围．[再练一题]3．如图2－1－11，以Rt △ABC 的两条直角边AB ，BC 向三角形外分别作正方形ABDE 和正方形BCFG .连结EC ，AF ，两直线交于点M .求证：BM ⊥AC .图2－1－11【证明】 以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设正方形ABDE 和正方形BCFG 的边长分别为a ，b ，则A (0，a )，C (b,0)，B (0,0)，E (－a ，a )，F (b ，－b )．直线AF 的方程是y ＋b a ＋b ＝x －b0－b， 即(a ＋b )x ＋by －ab ＝0. 直线EC 的方程是y －0a －0＝x －b－a －b， 即ax ＋(a ＋b )y －ab ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b x ＋by －ab ＝0，ax ＋a ＋b y －ab ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2b a 2＋ab ＋b 2，y ＝ab2a 2＋ab ＋b 2，即M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b a 2＋ab ＋b 2，ab 2a 2＋ab ＋b 2， 故k BM ＝b a ，又k AC ＝0－a b －0＝－a b，所以k BM ·k AC ＝－1. 因此BM ⊥AC .[探究共研型]过两直线交点的直线系方程的应用探究1 过原点(0,0)且过直线x ＋y －2＝0与直线x －y ＋3＝0的交点的直线方程怎样求？有几种方法？【提示】 有两种方法，方法一，先求直线x ＋y －2＝0与直线x －y ＋3＝0的交点，再利用两点式求出方程．方法二，设所求直线为x ＋y －2＋λ(x －y ＋3)＝0， 将点(0,0)代入得3λ－2＝0，∴λ＝23，所求直线为x ＋y －2＋23(x －y ＋3)＝0，即5x ＋y ＝0.探究2 过点M (2,0)，与直线x ＋2y －b ＝0(b ≠2)平行的直线怎样求？【提示】 设所求直线为x ＋2y ＋m ＝0，将点(2,0)代入方程，求出m 的值即可，直线为x ＋2y －2＝0.求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．【精彩点拨】 可先求交点坐标，再利用点斜式求直线方程；或利用过两直线交点的直线系方程求解．【自主解答】 法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)．∵kl 3＝34，且l ⊥l 3，∴k l ＝－43.由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.法二：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0， 解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解．本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直直线求出斜率，由点斜式求解；而解法二则采用了过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件求出待定系数即可．[再练一题]4．求经过两条直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －2y ＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的方程．【解】 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －8＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.由题意可知所求的直线在x 轴，y 轴上的截距都存在且不为零，设所求的直线的方程为x a ＋yb＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧3a＋2b＝1，12|a|·|b|＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧3a＋2b＝1，ab＝1或⎩⎪⎨⎪⎧3a＋2b＝1，ab＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a＝－32，b＝23.所以所求的直线的方程为x1＋y－1＝1或x－32＋y23＝1，即x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.法二：易知直线x－2y＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积S＝12×1×12≠12，所以所求的直线的方程不可能是x－2y＋1＝0.故可设所求的直线的方程为(2x＋y－8)＋λ(x－2y＋1)＝0(λ为任意实数)，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋(λ－8)＝0.由题意得(2＋λ)·(1－2λ)·(λ－8)≠0，令x＝0，得y＝－λ－81－2λ；令y＝0，得x＝－λ－82＋λ.所以所求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－λ－81－2λ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－λ－82＋λ＝12，所以(λ－8)2＝|(1－2λ)(2＋λ)|.解得λ＝3或λ＝－22.当λ＝3时，所求直线的方程为x－y－1＝0；当λ＝－22时，所求直线的方程为4x－9y＋6＝0.故所求直线的方程是x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.1．直线2x＋3y＋8＝0与直线x－y－1＝0的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，∴交点为(－1，－2)． 【答案】 (－1，－2)2．直线l 1：2x －y ＝7与l 2：3x ＋2y －7＝0的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，3x ＋2y －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，∴交点(3，－1)． 【答案】 (3，－1)3．已知直线l ：2x ＋my ＋1＝0与直线y ＝x ＋1相交，则m 的取值范围是________.【导学号：41292088】【解析】 若m ＝0，两直线显然相交； 若m ≠0，则－2m≠1，即m ≠－2.故m 的取值范围为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． 【答案】 (－∞，－2)∪(－2，＋∞)4．过l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0的直线方程为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y －10＝0，x ＋y ＋1＝0，解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫58，－138，故所求直线过点⎝⎛⎭⎪⎫58，－138且与x ＋2y －5＝0平行，可设直线方程为x ＋2y ＋C ＝0，所以58＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＋C ＝0，故C ＝218，所以所求直线方程为x ＋2y ＋218＝0，即为8x ＋16y ＋21＝0.【答案】 8x ＋16y ＋21＝05．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求m 的取值范围．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3m ＝0，2x －y ＋2m －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋13，y ＝8m －13，∴交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m ＋13，8m －13.∵交点M 在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋13>0，8m －13<0，解得－1<m <18，∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，18.。
2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第七章 平面解析几何 46 Word版含答案
考点测试两条直线的交点与距离公式一、基础小题．原点到直线＋－＝的距离为( )．．答案解析由点到直线的距离公式得＝＝.．过点()且与直线－－＝平行的直线方程是( )．－＋＝．－－＝．＋－＝．＋－＝答案解析设直线方程为－＋＝(≠－)，又经过()，故＝－，所求方程为－－＝.．“＝”是“直线＋＝和直线－＝互相垂直”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要条件．充要条件答案解析直线＋＝和直线－＝互相垂直⇔＋×(－)＝，所以选.．已知直线＋－＝与直线＋＋＝平行，则它们之间的距离是( )．．．答案解析∵＝≠，∴＝，两平行线之间的距离＝＝.选.．已知点是直线＋＝上的一个动点，且点(，－)，则的最小值为( )．．．答案解析的最小值即点(，－)到直线＋＝的距离，又＝，故的最小值为.选.．已知点是直线：－－＝与轴的交点，将直线绕点逆时针方向旋转°，得到的直线方程是( )．＋－＝．＋－＝．－－＝．－＋＝答案解析设直线的倾斜角为α，则α＝＝，则′＝＝＝－，对比四个选项可知选.．已知直线的倾斜角为，直线经过点()，(－，)，且与垂直，直线：＋＋＝与直线平行，则＋＝( )．－．－．．答案解析由题知，直线的斜率为，则直线的斜率为－，所以＝－，所以＝－.又∥，所以－＝－，＝，所以＋＝－＋＝－，故选.．已知实数、满足＋＋＝，那么的最小值为( )．．答案解析表示点(，)到原点的距离．根据数形结合得的最小值为原点到直线＋＋＝的距离，即＝＝.．已知直线过点()，且与点(－)，(，－)等距离，则直线的方程为( )．＋－＝．－－＝．－＋＝或＋＋＝．－－＝或＋－＝答案。
高中数学典型例题解析平面解析几何【精选文档】
第七章平面解析几何初步§7。
1直线和圆的方程一、知识导学1．两点间的距离公式：不论A（1,1），B（2,2)在坐标平面上什么位置，都有d=｜AB|=,特别地,与坐标轴平行的线段的长|AB|=｜2－1｜或|AB｜=|2-1|.2．定比分点公式：定比分点公式是解决共线三点A(1，1），B（2，2），P（，)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比。
这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是。
当P点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是。
3．直线的倾斜角和斜率的关系(1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线,其斜率与倾斜角α之间的关系是=tanα.4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。
5．两条直线的夹角.当两直线的斜率，都存在且·≠—1时，tanθ=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6．怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。
(1）斜率存在且不重合的两条直线1∶，2∶，有以下结论：①1∥2=，且ｂ1＝ｂ2②1⊥2·= —1（2）对于直线1∶，2∶，当1，2，1,2都不为零时，有以下结论：①1∥2=≠②1⊥212+12 = 0③1与2相交≠④1与2重合==7．点到直线的距离公式.(1)已知一点P（）及一条直线：,则点P到直线的距离d=；（2）两平行直线1：，2：之间的距离d=.8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。
圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径；(2）圆的一般方程:(＞0），圆心坐标为（-，—），半径为=.二、疑难知识导析1．直线与圆的位置关系的判定方法.(1）方法一直线:；圆：.一元二次方程（2）方法二直线：；圆：，圆心（，b)到直线的距离为d=2．两圆的位置关系的判定方法。
高考数学一轮复习两条直线的交点与距离公式
A．4
B．2
13 13
C．5
13 26
D．7
10 20
解析 由两直线平行，可得 m＝2，直线 3x＋y－3＝0 变形为 6x＋2y
－6＝0，所以两直线间的距离 d＝
|1＋6| ＝7 62＋22
2010。故选
D。
答案 D
二、走近高考
3．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cosθ，sinθ)到直
答案 3x＋19y＝0
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
考点一 两条直线的平行与垂直问题
【例 1】 (1)已知过点 A(－2，m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2x＋y －1＝0 为 l2，直线 x＋ny＋1＝0 为 l3。若 l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m＋n 的值 为( )
A．－10
【变式训练】 (1)已知直线 y＝kx＋2k＋1 与直线 y＝－12x＋2 的交点位 于第一象限，则实数 k 的取值范围是________。
解析 (1)如图，已知直线 y＝－12x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4,0)， B(0,2)。而直线方程 y＝kx＋2k＋1 可变形为 y－1＝k(x＋2)，表示这是一条 过定点 P(－2,1)，斜率为 k 的动直线。因为两直线的交点在第一象限，所以 两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点)，所以动直线的斜率 k 需满足 kPA<k<kPB。因为 kPA＝－16，kPB＝12。所以－16<k<12。
解析 (2)由题意得，点 P 到直线的距离为|4×4－35×a－1|＝|15－5 3a|。 又|15－5 3a|≤3，即|15－3a|≤15，解之得 0≤a≤10，所以 a 的取值范围是 [0,10]。
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16．[2014· 江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x ＋2y－3＝0 被圆(x－2)2 ＋(y＋1)2＝4 截得的弦长为
2 55 5 ________ ．
解析
圆 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 4 的圆心为 C(2，－ 1)，半径
r ＝ 2 ， 圆 心 C 到 直 线 x ＋ 2y － 3 ＝ 0 的 距 离 为 d ＝ |2＋ 2×－ 1－3| 3 ＝ ， 2 2 5 1 ＋2 所求弦长 l＝ 2 r － d ＝ 2
解析
设直线 l：ax＋ by＋ c＝ 0，依题意可得 l1： a(x－
3)＋ b(y－ 5)＋ c＝ 0， 再将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位， 沿 y 轴负方向平移 2 个单位得直线 l： a(x－ 4)＋b(y－ 3)＋ c 3 ＝ 0 ， 故 a ＝ － b ， 则 直 线 l 与 直 线 l1 的 距 离 d ＝ 4 |－ 3a－5b＋ c＋ 4a＋ 3b－ c| |a－ 2b| ＝ 2 2 2 2＝ a ＋b a ＋b
平分线上．由点 M 的横坐标为 3，且直线 MA 的方程为 x － y＋ 1＝ 0，得 M(3,4)．由题意，知直线 MA，MB 关于直线 x＝ 3 对称，故直线 MA 上的点 (0,1)关于直线 x＝ 3 的对称点 (6,1)在直线 MB 上，∴直线 MB 的方程为 x＋ y－ 7＝ 0.选 A. 解法二：由点 M 的横坐标为 3，且直线 MA 的方程为 x － y＋ 1＝ 0，得 M(3,4)，代入四个选项可知只有 3＋ 4－ 7＝ 0 满足题意，选 A.
|a＋ a－2| 3，即 (1，a)到直线 ax＋ y－ 2＝ 0 的距离 d＝ 2 ＝ 3， 1＋ a 即 a2－8a＋ 1＝ 0，可求得 a＝ 4± 15.
三、模拟小题 18．[2016· 河北邯郸质检 ]数学家欧拉在 1765 年提出定 理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重 心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人 称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点 A(2,0)，B(0,4)， 且 AC＝BC，则△ABC 的欧拉线的方程为 ( A． x＋2 y＋3＝0 C．x－2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0 D．2x－ y＋3＝0 )
解析
设 直 线 方 程 为 x － 2y ＋ c ＝ 0(c≠ － 2) ， 又 经 过
(1,0)，故 c＝－ 1，所求方程为 x－ 2y－1＝0.
3．“a＝1”是“直线 x＋ y＝0 和直线 x－ ay＝0 互相垂 直”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 则有
2
3)到直线 x
)
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
若点 (1， 3)到直线 x＋ 3y＋ C＝ 0 的距离为 3，
2
|1＋ 3＋C| 1 ＋ 3
＝ 3，解得 C＝ 2 或 C＝－ 10，故 “C＝ 2”是
“点 (1， 3)到直线 x＋ 3y＋ C＝ 0 的距离为 3”的充分不必 要条件，选 B.
P0(2，－ 3)．由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过 点 P0.故设反射光线为 y＝ k(x－ 2)－ 3，即 kx－ y－ 2k－ 3＝ 0. |－ 3k－ 2－ 2k－ 3| 4 ∴圆心到直线的距离 d＝ ＝ 1， 解得 k＝－ 2 3 1＋ k 3 或 k＝－ . 4
15．[2015· 广东高考]平行于直线 2x＋y＋1＝0 且与圆 x2 ＋y2＝5 相切的直线的方程是 ( B．2x＋y＋ 5＝0 或 2x＋ y－ D．2x－ y＋ 5＝0 或 2x－y－ ) 5＝0 5＝0 A．2 x＋ y＋5＝0 或 2x＋ y－5＝0 C．2x－y＋5＝0 或 2x－ y－5＝0
2－ 1 2 － 1， 所以 ＝－ 1， 所以 a＝－ 4.又 l1∥ l2， 所以－ ＝－1， b 3＋ a b＝ 2，所以 a＋ b＝－4＋2＝－ 2，故选 B.
8．已知实数 x、y 满足 2x＋ y＋5＝0，那么 x2＋ y2 的最 小值为( A. 5 C．2 5
解析 合得 5 d＝ ＝ 5. 5
二、高考小题 13． [2016· 全国卷Ⅱ]圆 x2＋ y2－2 x－8y＋13＝0 的圆心到 直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a＝ ( 4 A．－ 3 C. 3 3 B．－ 4 D．2 )
解析
圆的方程可化为 (x－ 1)2＋ (y－ 4)2＝ 4，则圆心坐
|a＋ 4－1| 标为 (1,4)， 圆心到直线 ax＋ y－ 1＝ 0 的距离为 ＝ 1， 2 a ＋1 4 解得 a＝－ .故选 A. 3
→ → P2 是直线 y＝ kx＋ 1 上不同的两点，则OP1 与 OP2 不平行，因
a1x＋ b1y＝ 1， 此 a1b2－ a2b1≠0，所以二元一次方程组 a2x＋ b2y＝ 1
一
定有唯一解．
20 ． [2016· 韶关模拟 ]“C ＝ 2”是“点 (1 ， ＋ 3y＋C ＝0 的距离为 3”的( A．充要条件 C．必要不充分条件
第一部分 考点通关练 第七章 平面解析几何
考点测试46 两条直线的交点与距离公式
第1步 狂刷小题· 练基础
一、基础小题 1．原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为 ( A．1 C．2 B. 3 D. 5 )
解析
|－ 5| 由点到直线的距离公式得 d＝ 2＝ 5. 1＋ 2
2．过点 (1,0)且与直线 x－2y－2＝0 平行的直线方程是 ( ) A． x－2 y－1＝0 C．2x＋y－2＝0 B．x－2y＋1＝0 D．x＋2 y－1＝0
10．设 A，B 是 x 轴上的两点，点 M 的横坐标为 3，且 |MA|＝ |MB|，若直线 MA 的方程为 x－ y＋ 1＝0，则直线 MB 的方程是 ( ) A． x＋ y－7＝0 B．x－ y＋7＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x＋2 y－1＝0
解析
解法一：由 |MA|＝ |MB|知，点 M 在 A，B 的垂直
a1x＋b1y＝1， a2x＋b2y＝1
的解的情况是 (
)
A．无论 k、 P1、 P2 如何，总是无解 B．无论 k、 P1、 P2 如何，总有唯一解 C．存在 k、 P1、 P2 ，使之恰有两解 D．存在 k、 P1、 P2 ，使之有无穷多解
解析
由题意，直线 y＝ kx＋ 1 一定不过原点 O， P1、
解析
设与直线 2x＋ y＋ 1＝ 0 平行的直线方程为 2x＋ y
＋ m＝0(m≠1)， 因为直线 2x＋ y＋ m＝ 0 与圆 x2＋ y2＝ 5 相切，即点 (0,0) 到直线 2x＋ y＋ m＝ 0 的距离为 5， |m| 所以 ＝ 5， |m|＝ 5. 5 故所求直线的方程为 2x＋ y＋ 5＝ 0 或 2x＋y－ 5＝ 0.
) B. 10 D．2 10
x2＋ y2表示点 (x， y)到原点的距离．根据数形结
x2＋ y2的最小值为原点到直线 2x＋ y＋ 5＝ 0 的距离， 即
9．已知直线 l 过点 M(3,4)，且与点 A(－ 2,2)，B(4，－ 2)等距离，则直线 l 的方程为( A．2 x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0 C．3x－2y＋18＝0 或 x＋2y＋2＝0 D．2x－ y－2＝0 或 2x＋3y－18＝0 )
2 2
9 2 55 4－ ＝ . 5 5
17．[2014· 重庆高考]已知直线 ax＋y－2＝ 0 与圆心为 C 的圆(x－1)2 ＋(y－a)2＝4 相交于 A，B 两点，且△ABC 为等
4± 15 边三角形，则实数 a＝________.
解析 由△ ABC 为等边三角形可得， C 到 AB 的距离为
6．已知点 M 是直线 l：2x－y－4＝0 与 x 轴的交点，将 直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 45° ， 得到的直线方程是( A． x＋ y－3＝0 C．3x－y＋6＝0 B．3x＋y－6＝0 D．x－3 y－2＝0 )
解析
设直线 l 的倾斜角为 α，则 tanα＝ k＝ 2，则 k′＝ B.
解析 直线 x＋ y＝ 0 和直线 x－ ay＝ 0 互相垂直 ⇔1＋
1×(－ a)＝ 0，所以选 C.
4．已知直线 3x＋ y－1＝0 与直线 2 行，则它们之间的距离是( A．1 C．3
解析
3x＋my＋ 3＝0 平
)
5 B. 4 D．4
3 1 －1 ∵ ＝ ≠ ，∴ m＝2，两平行线之间的距离 3 2 3 m
14．[2015· 山东高考]一条光线从点 (－2 ，－3)射出，经 y 轴反射后与圆 (x＋3)2 ＋(y－2)2 ＝1 相切，则反射光线所在直 线的斜率为( ) 3 2 B．－ 或－ 2 3 4 3 D．－ 或－ 3 4 5 3 A．－ 或－ 3 5 5 4 C．－ 或－ 4 5
解析
如图，作出点 P(－ 2，－ 3)关于 y 轴的对称点
11．已知点 A(3,1)，在直线 y＝x 和 y＝0 上分别找一点 M 和 N，使△AMN 的周长最短，则最短周长为( A．4 C．2 3 B．2 5 D．2 2 )
解析
设点 A 关于直线 y＝ x 的对称点为 B(x1，y1)，依
y1＋ 1 x1＋ 3 ＝ ， 2 2 题意可得 y1－ 1 x － 3＝－1， 1 x1＝ 1， 解得 y1＝ 3，
解析
因为 AC＝ BC，所以欧拉线为 AB 的中垂线．又
A(2， 0)， B(0,4)，所以 AB 的中点为 (1,2)， kAB＝－ 2.故 AB 1 的中垂线为 y－ 2＝ (x－ 1)，即 x－ 2y＋ 3＝0，应选 C. 2
19．[2017· 杭州月考]已知 P1(a1，b1 )与 P2 (a2，b2)是直线 y＝ kx＋1(k 为常数)上两个不同的点， 则关于 x 和 y 的方程组