陕西省西安市第一中学2012届高三上学期期中试题(数学文)

第 1 页 共 10 页西安市第一中学2011-2012学年度第一学期期中高三年级数学（文科）试题一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知R 为实数集，}02|{2<-=x x x M ，},011|{≥-+=x x x N 则=)(N C M R（ ）A ．}10|{<<x xB ．}21|{<≤x xC ．}10|{≤<x xD ．}21|{<<x x2．设a 、b 都是非零向量，则“||||b a b a ⋅±=∙”是“a 、b 共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，公差2-=d ，若1110S S =，则=1a ( )A ．18B ．20C ．22D ．244．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[5．函数233x x y +-=在点（1,2）处的切线方程为（ ）A ．13-=x yB ．53+-=x yC ．53+=x yD ．x y 2= 6．设x x x f ln )(=，若2)(0='x f ，则=0x （ ）A ．2eB ．eC ．22ln D ．2ln7．如果函数)2sin(ϕ+=x y 的图像关于点)0,3(π中心对称，那么ϕ的值可以是（ ）第 2 页 共 10 页A ．3π-B ．6π-C ．6πD ．3π8．设长方体的长、宽、高分别为a 2、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．23a πB ．26a πC ．212a πD ．224a π9．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得（ ）A ．αα⊂⊂b a ,B ．b a ,α⊂∥αC ．αα⊥⊥b a ,D ．αα⊥⊂b a ,10．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为( )A ．12B ．32C ．1D ．13二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知a 、b 、c 、d 成等比数列，曲线322+-=x x y 的顶点是),(c b ，则ad 等于 ．12．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥043,041y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_______．13．若)2,0(πα∈，且412cos sin 2=+αα，则=αtan ________．14．若存在]3,1[∈a ，使得不等式02)2(2>--+x a ax 成立，则实数x 的取值范围为__________． 15．定义一种运算42414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f cos 1sin 3)(=的图像向左平移)0(>n n 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为______ ．三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）如图所示的长方体1111ABC D A B C D -中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，第 3 页 共 10 页1BB =M 是线段11B D 的中点．（1）求证：//BM 平面1D A C ； （2）求三棱锥11D AB C -的体积．17．（12分） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为180002cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？18．（12分）已知)1cos ,cos 3(-=x x a ，)1cos ,(sin +=x x b ，函数)(21)(R x b a x f ∈+∙=（1）求函数)(x f 的周期；（2）函数)(x f 的图像可由函数x y sin =的图像经过怎样的变换得到？19．（13分）如图，在四棱锥ABCD S -中，2==SB SA，SB SD ==，底面A B C D是菱形，且60A B C ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）求四棱锥SA B C D-的体积；第 4 页 共 10 页（2）侧棱SB 上是否存在点F ，使得//C F平面SA E ？并证明你的结论．20.（13分）已知a 为实数，函数)()(23R x ax x x f ∈-=．（1）若5)1(='f ，求a 的值及曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程； （2）求)(x f 在区间]2,0[上的最大值．21.（13分）已知等差数列{}n a 中，公差0d >，其前n 项和为n S ，且满足2345a a ⋅=，1414a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n a b 2=（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T ； （3）设n n n F 2)54(⋅-=，试比较n F 与n T 的大小．第 5 页 共 10 页西安市第一中学2011-2012学年度第一学期期中高三年级 数学（文科）试题参考答案及评分标准1. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1-5 CCBDA 6-10 BDBBA二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 2 12．4 13.314．),2()1,(+∞--∞ 15.65π三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．解：（1）连结1D O ，如图，∵O 、M 分别是B D 、11B D 的中点，11BD D B 是矩形， ∴四边形1D O BM 是平行四边形， ∴1//D O BM ． --------2分 ∵1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ， ∴//BM 平面1D AC ．-------------------6分（2）解法1 连结1O B ，∵正方形ABCD 的边长为2，1BB =11B D =12O B =，12D O =，则2221111O B D O B D +=，∴11O B D O ⊥． --------------------------------------------------------8分第 6 页 共 10 页又∵在长方体1111ABC D A B C D -中，AC BD ⊥，1AC D D ⊥，且1BD D D D = ， ∴AC ⊥平面11BD D B ，又1D O ⊂平面11BD D B ， ∴1AC D O ⊥，又1AC O B O = ，∴1D O ⊥平面1A B C ，即1D O 为三棱锥11D AB C -的高．--------------10分∵1111222A B C S A C O B ∆=⋅⋅=⨯=12D O =∴111111233D A B C A B C V S D O -∆=⋅⋅=⨯=--------------------------------12分解法2 三棱锥11D AB C -是长方体1111ABC D A B C D -割去三棱锥DAC D -1、三棱锥B A C B -1、三棱锥111D B A A -、三棱锥111D B C C -后所得，而三棱锥DA C D -1、BAC B -1、111D B A A -、111D B C C -是等底等高，故其体积相等．BAC B D C B A ABCDC ABD V V V ----=∴111111143242222213142222=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=．17．解：设矩形广告的高为xcm ，宽为ycm ，则其面积为2xycm ．………（1分) 由题意得18000)25)(20(=--y x （25,20>>y x ） ………………(3分）y x xy 202517500++=∴xy y x y x ⋅=⋅≥+520202522025 （当且仅当y x 2025=即y x 45=时取等号）xy xy ⋅+≥∴52017500 ………………………………（7分）017500520)(2≥-⋅-∴xy xy0)570)(550(≥-+∴xy xy 0550>+xy0570≥-∴xy24500≥∴xy …………………………………（9分）由⎩⎨⎧=--=18000)25)(20(45y x yx 解得⎩⎨⎧==175140y x ………………………………（11分）第 7 页 共 10 页答：矩形广告的高为cm 140，宽为cm 175时，矩形广告的面积最小，为224500cm．………………………（12分）18．（1）由已知可得21)1)(cos 1(cos sin cos 3)(++-+⋅=x x x x x f ………（2分）211c o s s i n c o s 32+-+⋅=x x x2122c o s 12s i n 23-++=xx ………………（4分）)62s i n (2c o s 212s i n 23π+=+=x x x ………………（6分）所以函数)(x f 的最小正周期为π．……………………………（8分） （2)把x y sin =的图像上所有的点向左平移6π个单位，得到函数)6sin(π+=x y 的图像，再把)6sin(π+=x y 的图像上所有的点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)62sin(π+=x y 的图像．……………………………（12分）或：把x y sin =的图像上所有的点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），得到函数x y 2sin =的图像．再把x y 2sin =的图像上所有的点向左平移12π个单位，得到得到函数)62sin(π+=x y 的图像．……………………………（12分）19．解:（1）,2===AD AB SA 22==SD SB ， 则有222AB SA SB +=，222AD SA SD +=，ABSA ⊥∴，AD SA ⊥ 又A AD AB =⊥∴SA 底面ABCD ，………………………(2分) 13S A B C D A B C D V S SA-=⨯四边形122sin 60233=⨯⨯⨯⨯=……………(5分)（2）F 为侧棱SB 的中点时，//CF 平面SAE ． (7))第 8 页 共 10 页证法一：设N 为SA 的中点，连FC NE NF ,,，则NF 是SAB ∆的中位线，ABNF //∴且AB NF 21=，又//CE 且AB CE 21=，NF CE //∴且NF CE =，∴四边形CENF 为平行四边形，NECF //∴，⊂NE 平面SAE ，⊄CF 平面SAE ，//CF ∴平面SAE ． ………………(13分)证法二：设M 为AB 的中点，连FC MC MF ,,，则MF 是SAB ∆的中位线，SAMF //∴，⊂SA 平面SAE ，⊄MF 平面SAE ，//MF ∴平面SAE ．同理，由AE CM //，得//CM 平面SAE ．又M MC MF = ，∴平面//FMC 平面SAE ，又⊂CF 平面FMC ，//CF ∴平面SAE ． …………………(13分) 20．解：(1) 23)(ax x x f -=则ax x x f 23)(2-=' 523)1(=-='a f ， 1-=∴a又当1-=a 时，23)(x x x f +=，2)1(=f ， 所以，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(52-=-x y即35-=x y ．…………………………………………（5分）A. ········································································································································令023)(2=-='ax x x f ，解得01=x ，322a x =，当032≤a ，即0≤a 时，在)2,0(上0)(>'x f ，)(x f 在]2,0[上为增函数，af x f 48)2()(max -==∴当232≥a ，即3≥a 时，在)2,0(上0)(<'x f ，)(x f 在]2,0[上为减函数，0)0()(max ==∴f x f当2320<<a ，即30<<a 时，在)32,0(a 上0)(<'x f ，在)2,32(a 上0)(>'x f ，第 9 页 共 10 页故)(x f 在]32,0[a 上为减函数，在]2,32[a 上为增函数，故当)0()2(f f ≥即048≥-a 即20≤<a 时，a f x f 48)2()(max -== 当)0()2(f f <即048<-a 即32<<a 时，0)0()(max ==f x f综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=23,023,48)(a a a x f ………………………………（13分）21．解：（1）由已知可得⎩⎨⎧=+=++143245)2)((111d a d a d a （0>d ） 解得⎩⎨⎧==411d a34)1(41-=-+=∴n n a n…………………………………………（4分）或：由}{n a 为等差数列得：144132=+=+a a a a ，又4532=a a ， 故2a 、3a 可以看作方程045142=+-x x 的两根，由0>d 得23a a >5,923==∴a a 故1,42123=-==-=d a a a a d 34)1(41-=-+=∴n n a n………………………………（4分）（2) n n n n n a b 2)34(2⋅-==n n n n n T 2)34(2)74(2925211321⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴- ① =n T 2 14322)34(2)74(292521+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅n n n n ② ①-②得：1322)34()222(42+⋅--++++=-n n n n T 122)34(2122242+⋅---⋅-⋅+=n nn112)34(16242++⋅---⋅+=n n n 142)74(1-⋅--=+n n142)74(1+⋅-=∴+n n n T ………………………（9分）（3）142142)74(2)54(211-=-⋅--⋅-=-+++n n n n n n n T F∴当2≥n 时，14162242>=≥+n ，即01421>-+n 故n n T F >第 10 页 共 10 页当1=n 时，1482232<==+n ，即01421<-+n 故n n T F <综上可得，当1=n 时，n n T F <；当2≥n 时，n n T F >．………（13分）。