函数概念及表示与函数的单调性.pdf

新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时函数的单调性课件(48张)

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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相反．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
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答案
金版点睛定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代：
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．

函数的表示法和函数的性质(单调性)

函数的表示法课前预习：函数的表示法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式。

归纳总结：解析法有两个有点：一是简明，全面的概括了变量间的变化规律，二是可以通过解析法求出任意一个自变量所对应的函数值。

缺点是并不是任意的函数都可以用解析法表示，仅当两个变量有变化规律时，才能用解析法表示。

（2）图像法：以自变量x 的取值为横坐标，对应的函数y 值为纵坐标，在平面内描出个这些点构成了函数的图像，这种用图像表示两个变量的方法叫图像法。

归纳总结：图像法可以直观的表示函数局部变化规律，进而可以预测他的整体趋势，比如心电图等，图像可以是有限几个点，也可以试一段或几段直线或曲线。

在直角坐标系中，如果图像满足：垂直于ｘ轴的直线与其至多有一个交点，那么这个图形一定是某函数的图像。

函数定义域的几何意义是函数图像上所有点纵坐标的取值范围。

（3）列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格表示两个变量的对应关系叫列表法。

归纳总结：列表法不必通过计算就知道两个变量之间的对应关系，比较直观但他只能表示有限个元素之间的函数关系。

自我测评例一：垂直于x 轴的直线与函数xx y 1+=的图像的交点至多有（）Ａ１Ｂ２Ｃ３Ｄ４提示：根据函数的性质：一对一或者一对多。

例二：已知一次函数ｆ（ｘ）满足ｆ（２）＝１，ｆ（３）＝－５，求解析式。

典题精讲题型一：求函数的解析式例一已知ｆ（ｘ）是一次函数，且()[]{}78+=x x f f f ，求ｆ（ｘ）的解析式分析：解答本题可利用待定系数法，设()()0≠+=a b ax x f ，再根据题设条件列方程求解待定系数ｋ、ｂ。

反思：本题以()x f 为一次函数作为切入点，运用待定系数法，构建所设参数的方程组从而解决问题，这是一种常用的解题方法，已知函数类型求函数解析式常用此方法。

高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第二节函数的基本性质课件(理)

奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，偶函数都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以用逗号或 “ 和 ”] 函数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增

人教高中数学必修一B版《函数的单调性》函数的概念与性质说课复习(函数的单调性及函数的平均变化率)

3．y＝f(x)在 I 上是增函数(减函数)的充要条件
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一般地，若 I 是函数 y＝f(x)的定义域的子集，对任意 x1，x2∈I
且
x1 ≠ x2 ，记
y1
＝
f(x1)
，
y2
＝
f(x2)
，
Δy Δx
＝
y2－y1 x2－x1
栏目导引
因为 x2＞x1＞－1，所以 x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，因此 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，所以 f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
第三章函数
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的所有单调递减区间为( )
A．[－4，－2]
B．[1，4]
C．[－4，－2]和[1，4]
D．[－4，－2]∪[1，4] 解析：选 C.由题干图可得，f(x)在[－4，－2]上递减，在[－2，
栏目导引
第三章函数
＝(x1－x2)＋4(xx21－x2x1)
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函数的概念与基本性质

函数的概念与基本性质函数是数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中都有广泛的应用。

本文将介绍函数的概念以及其基本性质，包括定义域、值域、对应关系、单调性等。

一、函数的概念函数是两个集合之间的一种特殊关系，一般表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。

函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，而值域则是函数在定义域内可以取得的所有因变量的值的集合。

函数在定义域内的每个自变量都对应一个唯一的因变量。

二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。

定义域决定了函数的有效输入范围，而值域则表示函数可能的输出范围。

在函数中，定义域和值域可以是有限的集合，也可以是无限的区间。

2. 对应关系：函数的一个重要性质是具有确定的对应关系。

即在定义域内的每个自变量都对应唯一的因变量。

这种一一对应的关系使得函数具有明确的输入和输出。

3. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量变化时的趋势。

如果函数在定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2 满足 x1 < x2，则有 f(x1) <f(x2)，则称该函数是单调递增的。

反之，如果 f(x1) > f(x2)，则称该函数是单调递减的。

4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。

如果对于定义域内的任意自变量 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。

而如果有 f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。

5. 周期性：函数的周期性表示在一定范围内，函数的图像会随着自变量的周期性变化而重复出现。

如果存在一个正数 T，使得对于定义域内的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期 T。

三、函数的应用函数的概念和性质在数学和其他领域中都有广泛的应用。

在数学中，函数被用于解决各种数学问题，包括方程求解、函数图像绘制和曲线分析等。

在物理、经济学和工程学等应用领域，函数被用于建立模型和描述现象，帮助我们理解和解释自然界中的规律。

函数的概念与图象,函数的表示方法,函数的单调性(一) (学案)机构绝密资料

精锐教育学科教师辅导学案学员编号：年级：高一课时数： 3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型 T 函数的概念与图象（4） T函数的表示方法T函数的单调性（一）授课日期及时段教学内容函数的概念与图象（4）[学习目标]1．会运用描点法作出一些简单函数的图象，从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解；2．通过对函数图象的描绘和研究，培养数形结合的意识，提高运用数形结合的思想方法解决数学问题的能力． [知识要点]1．函数图象的概念将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值()0f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点()()0,0x f x ．当自变量取遍函数定义域Ａ中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合（点集）为()(){},,x f x x A ∈即()(){},,x y y f x x A =∈，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．2．函数图象的画法画函数的图象，常用描点法，其基本步骤是：⑴列表；⑵描点；⑶连线．在画图过程中，一定要注意函数的定义域和值域．3．会作图，会读（用）图[例题讲解]例1．画出下列函数的图象，并求值域：(1)y =13-x ，∈x [1，2]； (2)y = (1-)x,∈x {0,1,2,3}； (3)y =x ；变题：1y x =-； (4)y =2x 22--x例2．直线y =3与函数y =|x 2-6x |图象的交点个数为（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个例3.下图中的A. B. C. D 四个图象中，用哪三个分别描述下列三件事最合适，并请你为剩下的一个图象写出一件事。

离开家的距离(m) 离开家的距离(m)时间（min ）时间（min ） A B离开家的距离(m) 离开家的距离(m)时间（min ）时间（min ）C D(1) 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，停下来想了一会还是返回家取了作业本再上学； (2) 我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3) 我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间加快了速度。

函数的单调性

－x－3，x≤1，
(2)作出函数 f(x)＝
的图象，并指出函数 f(x)的单调区间.
x－22＋3，x>1
解 f(x)＝－ x－x－232＋，3x≤，1x>，1 的图象如图所示，由图可知，函数 f(x)＝－ x－x－232＋，3x≤，1x>，1 的单调递减区间为 (－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞).
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5.已知函数 f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足 f(x)<f 12的实数 x 的取值范围为__－__1_，__12___.
－1≤x≤1，解析由题设得x<12，解得－1≤x<12.
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函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调
性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的
任意子集上也是单调的.
3.函数 y＝6x的减区间是
A.[0，＋∞)
√C.(－∞，0)，(0，＋∞)
三、导学指导与检测
知识点1 增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1) 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就称函数 f(x) 在区间D 上 _单__调__ 递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数 . (2) 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就称函数 f(x) 在区间D 上 __单__调_ 递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数.

函数的概念及其表示课件

复合函数及其运算
复合函数的概念
复合函数是由两个或多个基本函数通过嵌套方式组合而成的新函数。内部函数的值作为外部函数的自变量，形成一个新的函数关系。
复合函数的运算
对复合函数进行运算时，需要遵循从内到外的顺序，先计算内部函数的值，再将结果代入外部函数进行计算。
函数在实际问题中的应用举例
01
经济学领域应用
函数的性质
包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。这些性质帮助我们更深入地理解函数
的行为和特征。
02
函数的表示方法
表格法
定义
通过列表格的方式来表示函数关系，列出输入值与对应输出值的
一种表示方法。
优点
表格法简单明了，能够直观地展示函数输入输出之间的关系，方便查找特定输入值对应的输出值。
函数关于y轴对称。
函数的奇偶性是函数的另一种重要性质，它与函数的对称性有关，可以帮助我们更好地理解函数
的图像和性质。
04
函数的运算与应用
函数的加减乘除运算
函数加减运算
当两个函数的定义域相同时，可以进行加减运算，将对应自变量上的函数值相加或相减得到新的函数。
函数乘除运算
函数乘除运算也是基于相同的定义域进行的，将对应自变量上的函数值相乘或相除得到新的函数。需要注意的是，函数除法运算中，除数函数不能为0。
在生物学研究中，函数可以描述生物种群数量随时间的变化关系，通过函数的建模和分析，可以揭示生态系统中种群的动态平衡规律，为生态保护提供科学依据。
Tห้องสมุดไป่ตู้ANK YOU
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图象法
定义
通过画图的方式来表示函数关系，将函数的输入值作为自变量，输出值作为因变量，在坐标系中描点并连成曲线表示函数关系的方法。