九章算术(教师版)

九章算术与高考数学创新题1．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．1.【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9，且数列{an}为等差数列．a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a5－10d ＝3， ①3a5＋9d ＝4， ② 联立①②解得a5＝6766. 2.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸2. [解析] 连接OA 、OB ，OD ，设⊙Ο的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513. ∴∠AOD ＝22.5°，即 ∠AOB ＝45°.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △OAB ＝45π×132360－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB×100≈633立方寸．选D.3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石3.【解析】依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B ． 考点：用样本估计总体．4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n .①第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则a1a2＋a2a3＋…＋an －1an 等于( )A ．n2B ．(n －1)2C ．n(n －1)D ．n(n ＋1)4.【解析】 a1a2＋a2a3＋…＋an －1an ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n2[11·2＋12·3＋…＋1（n －1）n] ＝n2[1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ]＝n2·n －1n ＝n(n －1)．5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为________．5. [解析] 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成：(5.4－x)×3×1＋π·(12)2x ＝12.6，解得x ＝1.6. 6．中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸” 是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐．问水深葭长各几何”意为：今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD ，芦苇根部O 为AB 的中点，顶端为P(注芦苇与水面垂直)．在牵引顶端P 向水岸边中点D 的过程中，当芦苇经过DF 的中点E 时，芦苇的顶端离水面的距离约为________尺．(注：1丈＝10尺，601≈24.5)6. [解析] 设水深为x ，则x2＋52＝(x ＋1)2，解得：x ＝12.∴水深12尺，芦苇长13尺，以AB 所在的直线为x 轴，芦苇所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P 的轨迹是以O 为圆心，半径为13的圆，其方程为x2＋y2＝169，(－5≤x≤5，12≤y≤13)，①E 点的坐标为(－52，12)，∴OE 所在的直线方程为y ＝－245x ，②由①②联解得y ＝169×576601≈13×2424.5＝62449.则此时芦苇的顶端到水面的距离为62449－12＝3649.7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，AC ⊥BC.(1)求证：四棱锥B-A1ACC1为阳马，并判断四面体A1CBC1是否为鳖臑，若是写出各个面的直角(只写出结论)．(2)若A1A ＝AB ＝2，当阳马B-A1ACC1体积最大时．①求堑堵ABC-A1B1C1的体积；②求C 到平面A1BC1的距离．7. [解] (1)证明：由堑堵ABC-A1B1C1的性质知：四边形A1ACC1为矩形．∵A1A ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥A1A ，又BC ⊥AC ，A1A∩AC ＝A. A1A ，AC ⊂平面A1ACC1.∴BC ⊥平面A1ACC1，∴四棱锥B-A1ACC1为阳马，且四面体A1CBC1为鳖臑，四个面的直角分别是∠A1CB ，∠A1C1C ，∠BCC1，∠A1C1B.(2)∵A1A ＝AB ＝2.由(1)知阳马B-A1ACC1的体积V ＝13S 矩形A1ACC1·BC ＝13×A1A×AC×BC ＝23AC×BC≤13(AC2＋BC2)＝13×AB2＝43.当且仅当AC ＝BC ＝2时， Vmax ＝43，此时 ①堑堵ABC-A1B1C1的体积V′＝S △ABC·AA1＝12×2×2×2＝2. ②由题意与题图知， V 三棱锥B-A1AC ＝V 三棱锥B-A1C1C ＝12V 阳马B-A1ACC1＝23.又A1C1＝2，BC1＝BC2＋C1C2＝6，设C 到平面A1BC1的距离为d. 则13S △A1BC1·d ＝23.即13·122×6·d ＝23， ∴d ＝42×6＝23 3.8．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是 （ ） A ．3169d V ≈ B ．32d V ≈ C ．3300157d V ≈ D ．32111d V ≈ 8.【解析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为a ：b ，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．由3346()32d V V d ππ=∴= 设选项中的常数为a b，则可知6b a π=，选项A 代入得69 3.37516π⨯==，选项B 代入得π=62=3，选项C 代入可知6157 3.14300π⨯==，选项D 代入可知611 3.14285721π⨯==，故D 的值接近真实的值，故选D.9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2，在鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE ⊥ PB 于E 、 AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是A ．2B ．2C ．3D ．3 （ ） 9.【解】显然BC PAB ⊥平面，则BC AE ⊥，又PB AE ⊥，则AE PBC ⊥平面，故AE EF ⊥，AE PC ⊥且，结合条件AF PC ⊥得PC AEF ⊥平面，所以AEF △、PEF △均为直角三角形，由已知得22AF =，而2221111()()2448AEF S AE EF AE EF AF =+==△≤，当且仅当AE EF =时，取“=”，所以，当12AE EF ==时，AEF △的面积最大，此时122tan 2EF BPC PF ∠===，故选B ．10．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．A ．12B ．815C ．1631D ．162910.【解析】由题可知每天的织布量构成首项是5，公差为d 的等差数列，且前30项和为390．根据等差数列前n 项和公式，有d 22930530390⨯+⨯=，解得2916=d ，故选D ．11．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10,…，记其前n 项和为Sn ，则S19等于 （ ）A ．129B ．172C ．228D ．28311.【解】选D ．杨辉三角形的生成过程，n 为偶数时，42n n a +=， n 为奇数时，a1=1．a3=3，an+2=an+an-1=an+32n +， ∴a3-a2=2， a5-a3=3，…an -an-2=12n +，an=2438n n ++， ∴S19=a1+a3+…+a19+（a2+a4+…a18）=（1+3+6+…55）+（3+4+5+…+11）=220+63=283. ，12．公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即3V kD =，欧几里得未给出k 的值．17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3V kD =中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式3V kD =求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、等边圆柱（底面圆的直径为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为1k 、2k 、3k ，那么123::k k k （ ）A ．111::46πB ．::264ππC ．2:3:2πD ．::164ππ 12.【解析】选D ．333114433266a V R a k ππππ⎛⎫===∴= ⎪⎝⎭ 22321244a V R a a a k ππππ⎛⎫===∴= ⎪⎝⎭， 3331V a k =∴= 123::::164k k k ππ=。