空间向量法在立体几何中的运用

用空间向量法解决立体几何问题对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，首先要从定义入手，抓住实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量与线面关系、线面角、面面角的准确转化；其次要从向量的基本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性.必备方法1．空间角的范围(1)异面直线所成的角(θ)：0＜θ≤π2；例如：(2)直线与平面所成的角(θ)：0≤θ≤π2；例如(3)二面角(θ)：0≤θ≤π. 例如2．用向量法证明平行、垂直问题的步骤(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题； (3)根据运算结果解释相关问题．3．空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系(1)求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦； (2)求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析. 关于这两点，下面会详细谈到。

必备知识一、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)．(1)线面平行 l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0. 操作步骤：(2)线面垂直 l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3. 操作步骤：(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4. 操作步骤：(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.操作步骤：二、空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．操作步骤：(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n| |e||n|.注意：求出直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角．操作步骤：(3)二面角的求法①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角．②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图所示，二面角α-l-β，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面有α-l-β的大小为θ或π-θ.注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量1n 、2n 方向相反时，则二面角的大小等于22<>n ,n ，若两个面的法向量1n 、2n 方向相同时，则二面角大小为22π-<>n ,n ．操作步骤：三、空间距离的计算直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离．点P 到平面α的距离，d ＝|PM →·n ||n |(其中n 为α的法向量，M 为α内任一点)．操作步骤：利用向量法求空间角要破“四关”利用向量法求解空间角，可以避免利用定义法作角、证角、求角中的“一作、二证、三计算”的繁琐过程，利用法向量求解空间角的关键在于“四破”．第一破“建系关”，第二破“求坐标关”；第三破“求法向量关”；第四破“应用公式关”，熟记线面成的角与二面角的公式，即可求出空间角．例1.(2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F - BD - C 的余弦值．(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°， 所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，AD ⊥BD ，又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ， AE ，AD ⊂平面AED ，所以BD ⊥平面AED .(2)解 连接AC ，由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF 两两垂直，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D （ ），F (0,0,1)，因此BD →＝（ ），BF →＝(0，－1,1)． 设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以x ＝3y ＝3z ， 取z ＝1，则m ＝(3，1,1)．由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55，下面说明〈m ，CF →〉是否就是二面角F - BD - C 的平面角：取BD 的中点S 、FC 的中点T，求出ST 的坐标，再分别计算STm 和ST CF →的值，可知两个值异号，从而〈m ，CF →〉就是二面角F - BD - C 的平面角. 所以二面角F - BD - C 的余弦值为55.例 2.如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=，PM ∥BC ，12PM BC ==，，又1AC =，120ACB AB PC ∠=，⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）求二面角M AC B --余弦值的大小．解：（1）∵,,PC AB PC BC ABBC B ⊥⊥= ∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 ∴平面PAC ⊥平面ABC ．（2）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥， 建立空间直角坐标系C xyz -.由题意有1,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >， 则()()000310,1,,,,,0,0,22M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得cos60AM CP AM CP =⋅⋅︒， 即200z z =，解得01z=∴()310,0,1,,02CM CA ⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为n {}111,,x y z =， 则11110102y z y z +=⎧-=，取11x =，得{=n （正方向）， 平面ABC 的法向量取为()0,0,1=m （正方向），∴3cos ,-<>==⋅m n m n m n . 下面验证二面角M AC B --的大小为,<>m n 的补角：取AC 中点S ，取MB 中点T ，计算ST 的坐标，然后计算ST m ，ST n ，可知两个值同号， ∴二面角M AC B --的大小为,<>m n 的补角，故二面角M AC B --评注：如果1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小．何时就是二面角的平面角？何时又是其补角？资料上（包括高考试题的答案上）是这样说的：由图形不难（显然）得出12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小，说的含糊其辞，毫无判断依据，让同学们辨别不清，对结果的处理困惑不解，往往导致错误的结果，走入了解题的一个个误区．为了让同学们思维走入清淅化，能得到一个正确的结果．在此例题1、2介绍了“二面角棱中点向量数量积符号判断法”确定法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系．例 3.如图，是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =． （1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111A B C ；（2）求二面角1B AC A --的大小； 解：（1）以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫⎪⎝⎭，，，1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．易知，n (001)=，，是平面111A B C 的一个法向量． 因为OC 0=n ，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ． （2）(012)AB =--，，，(101)BC =，，， 设m ()x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则则AB 0=m ，BC 0=m 得：200y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)=-，，m （负方向）．显然，l (110)=，，为平面11AAC C 的一个法向量（正方向）．而cos ,22<>===⨯m l m l m l ，故,<>m l =30︒ 下面验证,<>m l 大小即为二面角1B AC A --的大小，取AC 中点S ，取BA 1的中点T ，计算ST 的坐标。

再分别计算ST m 与ST l的值，可知两个值异号， 所以二面角1B AC A --的大小是30︒．向量法证明垂直与平行多以多面体(特别是棱柱、棱锥)为载体，求证线线、线面、面面的平行或垂直，其中逻辑推理和向量计算各有千秋，逻辑推理要书写清晰，“充分”地推出所求证(解)的结论；向量计算要步骤完整，“准确”地算出所要求的结果．111x【例1】► 如图所示，已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .[审题视点] 建系后，(1)在平面ABC 内寻找一向量与DE →共线；(2)在平面AEF 内寻找两个不共线的向量与B 1F →垂直．证明 如图建立空间直角坐标系Axyz ，令AB ＝AA 1＝4， 则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B1(4,0,4)． (1)取AB 中点为N ，连接CN ， 则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)， ∴DE →＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)，∴DE →＝NC →， ∴DE ∥NC ，又∵NC ⊂平面ABC ， DE ⊄平面ABC .故DE ∥平面ABC . (2)B 1F →＝(－2,2，－4)， EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0)． B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩FE ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .(1)要证明线面平行，只需证明DE →与平面ABC 的法向量垂直；另一个思路则是根据共面向量定理证明向量DE →与NC →相等．(2)要证明线面垂直，只要证明B 1F →与平面AEF 的法向量平行即可；也可根据线面垂直的判定定理证明B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →.用向量法求线线角、线面角多以空间几何体、平面图形折叠成的空间几何体为载体，考查线线角、线面角的求法，正确科学地建立空间直角坐标系是解此类题的关键．【例2】如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ； (2)设二面角APBC 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．[审题视点] (1)由PC FC ＝ACEC可得△FCE ∽△PCA ，则∠FEC ＝90°，易得PC ⊥EF 、PC ⊥BD .(2)作AG ⊥PB 于G ，由二面角APBC 为90°， 易得底面ABCD 为正方形，可得AD ∥面PBC ，则点D 到平面PCB 的距离d ＝AG ，找出线面角求解即可．也可利用法向量求解，思路更简单，但计算量比较大．(1)证明 以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .C (22，0,0)，设D (2，b,0)，其中b ＞0，则P (0,0,2)，E （423，0，23），B (2，－b,0)．于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝（23，b ，23），DE →＝（23，－b ，23），从而PC →·BE →＝0，PC →·DE →＝0， 故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE .(2)解 AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP →＝0，m ·AB →＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0， 令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC →＝0，n ·BE →＝0，即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0，令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b ，n ＝（1，－2b，2）.因为面P AB ⊥面PBC ，故m ·n ＝0，即b －2b＝0，故b ＝2，于是n ＝(1，－1，2)，DP →＝(－2，－2，2)．cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，〈n ，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP →〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(2)求直线与平面所成的角θ，主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角α求得，即sin θ＝|cos α|.用向量法求二面角用空间向量法求二面角的大小是高考的热点．考查空间向量的应用以及运算能力，题目难度为中等． 【例3】如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明：PC ⊥AD ；(2)求二面角APCD 的正弦值． [审题视点] 建立空间坐标系，应用向量法求解． 解 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B －12，12，0，P (0,0,2)．(1)证明：易得PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)．于是PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD .(2)二面角APCD 的正弦值为306. 解答如下：借助向量求二面角是解决空间角问题的常用方法．求解过程中应注意以下几个方面：(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求；(2)求平面的法向量的方法：①待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程解之；②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．当平面的垂线较易确定时，常考虑此方法．利用向量法解决立体几何中的探索性问题此类问题命题背景宽，涉及到的知识点多，综合性较强，通常是寻找使结论成立的条件或探索使结论成立的点是否存在等问题，全面考查考生对立体几何基础知识的掌握程度，考生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力．【例4】► 如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在， 求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．[审题视点] 建立以D 为原点的空间直角坐标系，利用向量法求解，第(2)问中设AS →＝λAN →，由ES ⊥平面AMN 可得λ值．解 (1)如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz .依题意，易得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)， E （12，1,0）.∴NE →＝（－12，0，－1），AM →＝(－1,0,1)．∵cos 〈NE →，AM →〉＝NE →·AM →|NE →|·|AM →|＝－1252×2＝－1010，∴异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010.(2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN .空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，因此使用问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．【示例】如图所示，在三棱锥P ABC 中，已知PC ⊥平面ABC ，点C 在平面PBA 内的射影D 在直线PB 上．(1)求证：AB ⊥平面PBC ；(2)设AB ＝BC ，直线P A 与平面ABC 所成的角为45°， 求异面直线AP 与BC 所成的角；(3)在(2)的条件下，求二面角C-P A-B 的余弦值．[满分解答] (1)∵PC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥PC .∵点C 在平面PBA 内的射影D 在直线PB 上，∴CD ⊥平面P AB .又∵AB ⊂平面PBA ，∴AB ⊥CD . 又∵CD ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面PBC .(4分)(2)∵PC ⊥平面ABC ，∴∠P AC 为直线P A 与平面ABC 所成的角． 于是∠P AC ＝45°，设AB ＝BC ＝1，则PC ＝AC ＝2， 以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则B (0,0，0)，A (0,1,0)，C (1,0,0)，P (1,0，2)，AP →＝(1，－1，2)，BC →＝(1,0,0)，∵cos 〈AP →，BC →〉＝AP →·BC →|AP →|·|BC →|＝12，∴异面直线AP 与BC 所成的角为60°.(8分)(3)取AC 的中点E ，连接BE ，则BE →＝12，12，0，∵AB ＝BC ，∴BE ⊥AC .又∵平面PCA ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面P AC .∴BE →是平面P AC 的法向量． 设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴所求二面角的余弦值为33.(12分)评卷老师叮咛：(1)解决此类问题，一定要先分析已知条件中，是否直接说出此三条直线是两两垂直，否则，要先证明以后才能建立坐标系，另外，要在作图时画出每条坐标轴的方向.(2)有的考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.如本例中求得cos BE →＝－33，不少考生回答为：二面角的余弦值为－33，这是错误的，原因是忽视了对二面角CP AB 的大小的判断.【试一试】如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1，D 为AB 的中点．(1)求证：BC 1∥平面DCA 1；(2)求二面角DCA 1C 1的平面角的余弦值．(1)证明 如图所示，以BC 的中点O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ，设AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2. 设n ＝(x ，y ，z )是平面DCA 1的一个法向量，(2)解 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面CA 1C 1的一个法向量，所以所求二面角的余弦值为－155.【试一试】(2014新课标1)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.。