(完整版)用空间向量解立体几何问题方法归纳

用空间向量解立体几何题型与方法

平行垂直问题基础知识

(1) 线面平行： l ∥α? a ⊥u? a ·u ＝0? a 1a 3＋ b 1b 3＋c 1c 3＝ 0 (2) 线面垂直： l ⊥α? a ∥u? a ＝ku? a 1＝ka 3，b 1＝ kb 3，c 1＝kc 3 (3) 面面平行： α∥β? u ∥v? u ＝kv? a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4) 面面垂直： α⊥β? u ⊥v? u ·v ＝ 0? a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0

例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥底面

ABCD ， 的中点， PA ＝AB ＝1， BC ＝2.

(1) 求证： EF ∥平面 PAB ； (2) 求证：平面 PAD ⊥平面 PDC.

［证明］ 以 A 为原点， AB ，AD ，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立

空

A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)， D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E 12，1，12 ，

uuur uuur uuur

1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，

uuur

∥AB ，即 EF ∥AB.

又 AB? 平面 PAB ， EF? 平面 PAB ，所以 EF ∥平面 PAB.

uuur uuur uuur uuur

(2)因为 AP ·DC ＝(0,0,1) (1,0·,0)＝ 0， AD ·DC ＝(0,2,0) (1,0·,0)＝0， uuur uuur uuur uuur 所以 AP ⊥ DC ， AD ⊥ DC ，即 AP ⊥DC ，AD ⊥DC.

又 AP ∩ AD ＝ A ，AP? 平面 PAD ，AD? 平面 PAD ，所以 DC ⊥平面 PAD.因为 DC? 平面 PDC ，

直线 l 的方向向量为 a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面 α， β的法向量 u ＝ (a 3，b 3，c 3)， v ＝(a 4，b 4，c 4)

1 uuur 1

uuur F 0 ， 1，

2 ，EF ＝ －2， 0， 0 ，PB ＝

(1,0， uuur

uuur

E ，

F 分别是 PC ，

PD

间直角坐标系如图所示，则

DC ＝(1,0,0)， AB ＝(1,0,0)．

uuur 1uuur uuur

(1)因为 EF ＝－ 2AB ，所以 EF

所以平面PAD⊥平面PDC.

使用空间向量方法证明线面平行时， 既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向 量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行， 也可以证明直线的方向向量与平面的法向 量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直， 然后使用判定定理进行判定， 也可以证明两个平面 的法向量垂直 .

例 2、在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点 E 在线段 BB 1上，

且 EB 1＝1，D ，F ，G 分别为 CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证： (1)B 1D ⊥平面 ABD ；

(2)平面 EGF ∥平面 ABD.

证明： (1)以B 为坐标原点， BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角

坐标系，如图所示，则 B(0,0,0)， D(0,2,2)，B 1(0,0,4)，设 BA ＝a ，则 A(a,0,0)，

uuur uuur uuuur 所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)， B 1D ＝(0,2，－2)，

uuuur uuur uuuur uuur

B 1D ·BA ＝0， B 1D ·BD ＝0＋4－4＝0，即 B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD.

又 BA ∩BD ＝B ，因此 B 1D ⊥平面 ABD.

a uuur a

(2)由(1)知， E(0,0,3)，G 2，1，4 ，F(0,1,4)，则 EG ＝ 2，1，1 ， uuuur uuur uuuur uuur

B 1D ·EG ＝0＋2－2＝0， B 1D ·EF ＝0＋2－2＝0，即 B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF.

又 EG ∩EF ＝E ，因此 B 1D ⊥平面 EGF. 结合 (1)可知平面 EGF ∥平面 ABD. 利用空间向量求空间角基础知识

(1) 向量法求异面直线所成的角：若异面直线 a ，b 的方向向量分别为 a ，b ，异面直线所成的

角为

uuur

EF ＝(0,1,1)，

|a ·b|. |a||b|.

θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝

(2) 向量法求线面所成的角：求出平面的法向量 n ，直线的方向向量 a ，设线面所成的角为 θ，

则

|n ·a|

sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n||a|. (3) 向量法求二面角：求出二

面角

θ为锐角，则 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝||n n 11|·|n n 22|

|； θ为钝角，则 cos θ＝－|cos 〈 n 1，n 2〉|＝－ ||n n 11|·|n n 22||. 例 1、如图，在直三棱柱 A 1B 1C 1-ABC 中， AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝

2，A 1A ＝ 4， 点D 是BC 的中点．

(1) 求异面直线 A 1B 与 C 1D 所成角的余弦值； (2) 求平面 ADC 1与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值． uuur

(2)设平面 ADC 1 的法向量为 n 1＝(x ，y ，z)，因为 AD ＝

(1,1,0)， uuuur

n 1·AC 1 ＝0，即 x ＋y ＝ 0 且 y ＋2z ＝0，取 z ＝1，得 x ＝ 2，y ＝－ 2，所以， n 1＝ (2，－

2,1)是平面 ADC 1 的一个法向量．取平面 ABA 1 的一个法向量为 n 2＝(0,1,0)．设平面 ADC 1 与平面 ABA 1 所

成

面角的大小为 θ.

n 1·n 2

2 2 5

由|cos θ|＝

|n 1||n 2| ＝

9×

1

＝3

，得 sin θ＝

3 .

5

因此，平面 ADC 1 与平面 ABA 1所成二面角的正弦值为 3 .

α－l －β的两个半平面 α与 β的法向量 n 1， n 2，

若二面角 α－l － β所成的角

若二面角 α－l － β所成的角

［解］ (1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标

系 uuuur C(0,2,0)， D (1,1,0)，A 1(0，0,4)， A-xyz ，则 A(0,0,0)，

B(2,0,0)， uuuur

C

1(0,2,4)，所以 A 1B ＝(2,0，－4)，C 1D (1，－1， －4)．

uuuur uuuur 因为 cos

〈 A 1B ， C 1D 〉

uuuur uuuur A 1B ·C 1D uuuur uuuur ＝ ＝

| A 1B ||C 1D | 20× 18

18

3 10 10 所以异面直线 A 1B 与 C 1D 所成角的余弦值为

31010

.

uuu

ur AC

uuur ＝ (0,2,4)，所以 n 1·AD ＝