8 影响线

RB 的影响线
0.1 2 1 0.2 2 1 2.4 0.5 0.5 1.2 0.2 0.6 0.4 1 0.2 1 0.8 0.1 1 1.2 0.6 0.4
FRG 的影响线
Mc的影响线(单位：m) M F 的影响线(单位：m)
(e) 0.6 0.5 (f) (g) (h)
FQC的影响线 FQF的影响线 F
8.2 静定梁的影响线
机动法作结构的影响线以虚位移原理为依据,其步骤 如下:
撤除结构中与 Z相应的约束，将结构转化为具有一 个运动自由度的机构；
使该机构在 Z的正方向上发生单位虚位移，则相应 的机构位移在荷载方向上的投影图就是Z的影响线； 机动法的符号规定:
机构位移的分量与荷载的正方向相反者为正。 对梁而言，竖向荷载以向下为正，所以机构位移以 向上为正。
bx / l MC a(l x) / l
FQC x / l (l x) / l
(0 x a ) (a x l )
(0 x a ) (a x l )
(8.2)
(8.3)
根据以上两式做MC 和FQC的影
8.2 静定梁的影响线
响线，分别见图8.5c、d。MC 和FQC的影响线也可以直接利用 式(b) 、 (c)和已知的反力FRA和FRB的影响线(图8.2)来作. 下面讨论用机动法作MC 和FQC的影响线. 为做MC的影响线：
1
FP1 A FRA (a)
y2
FP2 B
y 1
(b)FRA的影响线
FRA FP1 y1 FP 2 y2
图 8.3
8.2 静定梁的影响线
本节及后两节主要讨论静定结构反力和内力影响线 的作法问题,有两种方法：静力法和机动法 静力法作结构某一反力或内力的影响线步骤如下:
将单位荷载作用于结构上任意位置，并建立适当坐 标系，以坐标变量x表示荷载的位置； 用隔离体平衡法，将Z 的影响系数 Z 表达为x的函数 作该函数的图形，就得到 Z 的影响线
离体平衡法，容易求得
FRA FP (l x) / l , FRB FP x / l
(a)
显然，两个支座反力不仅与荷载 FP大小有关，也与其作用
位置有关；若荷载大小不变，反力就只与其作用位置有关.
X FP lX A FRA C l (a) B FRB
FRA

X FP =1

图 8.1
l (b)
表8.1
8.2 静定梁的影响线
MC的影响线(图8.7b)
M图(8.7d)
固定荷载(作用于 C点) 各个截面的弯矩 单位荷载作用于C 点时 M D bx / l 单位荷载作用于C 点时 M A 0
荷载类型 图形表示的内力 一般点(D)纵标 的含义 A点纵标为零的 含义
移动荷载 固定截面(C)的弯矩 单位荷载作用于D点 时 M C bx / l 单位荷载作用于A点 时 MC 0
FRB

8.1 影响线的概念
我们将图8.1a中的荷载FP换成一个单位荷载 FP =1，
设相应的支座反力分别为 FRA 和 FRB ，如图8.1b所示；将 式(a)中的两个式子两边都除以FP ，得
其中
FRA (l x) / l , FRB x / l FRA FRA / FP , FRB FRB / FP
8.3 其他静定结构的影响线
由图8.10b可见，结点 a F N1 和 e 只有水平位移，竖向位 移分量等于0；结点c、d、e 属于同一刚片，因此机构位 移后仍共线。 ∴ FN1的影响线由三段直线组成，其中 a 和 e 的位置 已定，只需要再补充结点 b 和 c 的纵标。 将单位荷载分别作用于原结构的结点 b 和 c ，用截面 法很容易求得相应的 F N1 分别等于 d / (2h) 和 d / h。这一 计算结果表明，机构位移后结点a、b、c 也共线。据此可 以定量地画出图8.10c 所示的影响线。
例8-1 用机动法作图8.9a所示多跨静定梁的下列物理量
R 的影响线:FRB、FRG、MC、MF、FQC、FQF 、FQG ， 其
中 表示支座G右侧截面的剪力.
解：所求的影响线见图8.9
(单位：m) (a) A B C D E
8.2 静定梁的影响线
GH I J
8 4
F
4 6
4 4 1.5 1
(b) (c) (d)
例如弯矩的量纲为[力×长度]，所以弯矩影响线的量纲为 [力×长度]/[力]=[长度].
8.1 影响线的概念
根据影响线可以求得结构在 一般荷载作用下相应物理量的 值，称为该物理量的影响量。
如图 8.3, 反力影响线中与集 中力作用点相应的纵坐标分别 是 y1 和 y2 ，由叠加原理，简支 梁的反力FRA为
首先，将简支梁中相应于MC的约束去掉，即将截面C处的 刚性连接换成一个铰，如图8.6a；
其次，使所得机构在MC的方向上发生单位虚位移,即使得 铰C两侧的截面发生微小的单位相对转角“1”，相应的机构位
移如图8.6b所示。
由图中的几何关系可知，左右两个支座处用虚线表示的竖 标分别为a和b，这与图8.5c所示的MC的影响线是一致的。
(8.1)
（b）
在这里, FRA 和 FRB 更准确地应该分别称为荷载对反力FRA
和 FRB 的影响系数。 式 (8.1) 表明：简支梁反力影响系数
是表示荷载作用位置变量 x 的线性函数，该函数关系用 图形表示出来，就称为相应反力的影响线，如图8.2所示.
影响线直观地反映了单位荷载 在结构上移动时，结构中某一物理 量随荷载位置变化的规律。
M C FRB b M C FRA a
(0 x a)，FQC FRB (a x l )，FQC FRA
(0 x a) (a x l )
(b)
(c)
对于第二种情况,取截面C的左边即梁的AC段为隔离体,可得
将式(8.1)代入(b) 、(c)并重新整理,得
位移； 其次，使所得机构在FQC的方向上发生单位虚位移，即使
得铰C的左侧向下、右侧向上发生微小的相对竖向位移 “1”,相应的机构位移如图8.6d所示；
由于截面C处定向约束的关系,左右两段梁在发生机构位移 后应保持平行,这与图8.5d所示的FQC的影响线也是一致的.
下表对MC的影响线和单位荷载作用于C点时梁的弯矩图 作了比较，这对于进一步理解影响线的概念是有帮助的.
(d) M 图
伸臂梁的影响线
8.2 静定梁的影响线
图8.8a为一伸臂梁，荷载在梁上从左端D移动到右端
E，采用机动法作下列影响线. (a) FRB的影响线。撤出支座处的支杆，使所得机构
沿FRB的正方向发生单位位移。如图8.8b. (b) MC的影响线。与MC相应的机构及MC的影响线
(机构位移图)见图8.8c。
第 8章
影响线
东南大学-结构力学课程组制作
8.1 影响线的概念
根据荷载在结构上的作用位置变化与否可以将荷 载分为移动荷载和固定荷载。影响线是研究移动荷 载对结构影响的重要工具。本章讨论结构的反力和
内力影响线的作法和应用的问题.
8.1 影响线的概念
图 8.1a所示的简支梁受一个集中荷载 FP 的作用，荷载的作 用点 C与左支座 A的距离为 x，求支座反力 FRA和 FRB 。 利用隔
x a b 1 c 2 5 4 A
F RA FP F 1 N1 I
d
e
动，得图 8.10b 所示机构，
B
3
I 4×d
C
D
E
F RB
h
8.3 其他静定结构的影响线
使被截断的杆 1 在 FN1的 正方向上发生单位位移（缩
F N1
短 “ 1 ”），机构位移见图 上弦位移的竖向分量就 是 FN1 的影响线。 机构位移后，各杆轴线 仍为直线，杆 1 仅轴向长度 有变化，因此， 桁架的影响线在各结点间为直线。 d/h 这一结论具有普遍性。 FN1 的影响线 ∴ 作桁架的影响线的步骤： 求控制点（结点）的纵标，一般用静力法 在相邻控制点之间连以直线
8.1 影响线的概念
1
(a) FRA 的影响线
关于影响系数和影响线的量纲讨 论如下：
由式(b)可见，FRA和FRB的影响系 数 FRA 和 FRB 的量纲都是[力]/[力]=[1]. 其他物理量的影响线的情况与此类
1
(b) FRB 的影响线
似，它们的量纲分别等于物理量的
量纲除以[力]。
图 8.2
8.3 其他静定结构的影响线
梁式桁架及组合结构的影响线 梁式桁架——在竖向荷载下只产生竖向反力
拱式桁架——在竖向荷载下同时产生水平反力（推） 索式桁架——在竖向荷载下同时产生水平反力（拉）
图8.10a，试作 FN1的影响线。 截断杆1，杆件截断后 的两段只能作相对轴向移
由两个刚片组成。
C
b
1 B

D
c
A
a
F BE
e d
l (a)
c l
D A
(b) FRB 的影响线
E
l +d l
FRB
FQB B E
L
D
bc l

A
(c) Mc 的影响线
(d) F
L QB的影响线
1
D A
B
(e) M F的影响线
F M
Fe
E
D A B
F
图 8.8
(f)
FQF 的影响线

E FQF
1
C CM
规定荷载以向下为正，反力
1
(b)
图 8.4
以向上为正，则由虚功原理: FRA 1 1 y( x) 0