第五章 5.5.1 第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)人教A版(2019)高中数学必修第一册

2023新教材高中数学两角和与差的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修第一册

6．证明：sin(α＋β)－2cosαsinβ＝tan(α－β)[2cosαcosβ－cos(α＋β)]．
证明左边＝sin(α＋β)－2cosαsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2cosαsinβ＝ sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)，
右边＝ tan(α － β)[2cosαcosβ － cos(α ＋ β)] ＝ tan(α － β)·(2cosαcosβ － cosαcosβ ＋ sinαsinβ) ＝ tan(α － β)(cosαcosβ ＋ sinαsinβ) ＝ tan(α － β)cos(α － β) ＝ sin(α－β)，
解
(1)因为 tanπ4＋α＝2，所以1t－anπ4ta＋nπ4ttaannαα＝2，
1＋tanα 所以1－tanα＝2，解得
tanα＝13.
sinα＋β－2sinαcosβ (2)2sinαsinβ＋cosα＋β
sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ ＝2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ
11．已知 0＜α＜2π＜β＜π，sinα＝35，sin(α＋β)＝35，则 sinβ＝________.
答案
24 25
解析由 0＜α＜2π＜β＜π，得π2＜α＋β＜32π，又 sinα＝35，sin(α＋β)＝35，
∴cosα＝45，cos(α＋β)＝－45，
∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)·sinα＝35×45－－45 ×35＝2245.
8．已知π2<α<π，tanα＝－43，则 cosα＋34π的值是(
)
2 A. 10
B．－
2 10

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件(人教版)

sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，其中α，β∈R，简记作S(α－β).
注意点：
(1)注意公式的展开形式，两角和与差”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”.
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.
公式巩固
利用两角和与差的正余弦公式，计算下列三角函数的值：
(1) sin15°
(2) cos75°
例2
3
5
已知 sin α＝5，cos β＝－13，且 α 为第一象限角，β 为第二象限角，
求 sin(α＋β)的值.
3
5
因为 α 为第一象限角，β 为第二象限角，sin α＝5，cos β＝－13，
4
12
所以 cos α＝5，sin β＝13，
A. 3
√
3
B. 3
C.3
D.1
1－tan 15° tan 45°－tan 15°
3
＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝ 3 .
1＋tan 15° 1＋tan 45°tan 15°
例2
√
π

3
1

已知 sin α＝5，α∈2，π，tan(π－β)＝2，则 tan(α－β)的值为

3
，(
4
− ) =
12
， (
13
+ ) =
3
− ，
5
跟踪训练 2
已知 ∈
整体法给值求值问题

( , )，(
2
+

)
4
=
3
，则
5
=________.

新教材高中数学两角和与差的正弦余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式pptx课件新人教A版必修第一册

某个三角函数值
• (2)求所求角的______________：根据角的范围选择求哪一
个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在
的象限．
求角
• (3)____：结合三角函数值及角的范围求角．
• [跟进训练]
• 3．已知α，β均为锐角，且cos
[解]
∵α，β均为锐角，cos
∴sin α＝
5
，sin
cos 30°
sin 60°
sin 30°
cos (120°－60°) cos 120°
cos 60°
sin 120°
sin 60°
从中你能发现cos (α－β)与cos α，cos β，sin α，sin β间的内在关系吗？
•
•
•
•
知识点两角差的余弦公式
公式：cos (α－β)＝_____________________．
5
2 5
α＝，cos
5
2 5
α＝，cos
5
β＝
10
，求α－β的值．
10
β＝
10
，
10
3 10
β＝
，
10
∴cos (α－β)＝cos αcos
又sin α<sin β，∴0<
2 5
．
[解]
Hale Waihona Puke 已知sin α＝因为sin
1
2
sin ＝．
7
13
π
(α－β)＝，且0＜β＜α＜，
14
2
π
所以0＜α－β＜，
2
13
14
π
2
(α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小

人教版(新教材)高中数学第一册两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

2．公式 T(α±β)的结构特征和符号规律 (1)结构特征：公式 T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为 tan α 与 tan β 的和或差，分母为 1 与 tan αtan β 的差或和． (2)符号规律：分子同，分母反．
[典例 1] 求值：
sin (1)
47°－sin 17°cos cos 17°
A． 3
B．1＋ 2
C．2
D．2(tan 18°＋tan 27°)
解析：(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°
＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2.
所以原式＝tan 10°·tan 20°＋1－tan 10°·tan 20°＝1.
答案：B
2． 3cos1π2－sin1π2的值为 ( )
A．0
B．－ 2
C． 2
D．2
解析： 3cos1π2－sin1π2
＝2cos6πcos1π2－sinπ6·sin1π2
＝2cos4π＝ 2.
答案：C
3．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是 ( )
两角和的正切 tan(α＋β)＝两角差的正切 tan(α－β)＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
tan α－tan β 1＋tan αtan β
记法 C(α＋β) S(α＋β) S(α－β) T(α＋β) T(α－β)
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)两角和与差的余弦公式中角 α，β 是任意的．( )
)
(6)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( )

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)课件-高一上学期数学人教A版必修第一册

例2：cos175ºcos55º+sin175ºsin55º
解：原式＝cos(175º－55º) ＝cos(120º)
＝- 1 2
知识点:1.根据CCSS识别两角差的余弦公式 2.公式的逆运算应用.
例3：利用公式 C(α-β)证明：
(1) cos( ) sin；
2
(2) cos( ) -cos
1 2
三角函数三角函数值
cos30°
3 2
sin45°
2 2
cos45°
2 2
sin60°
3 2
cos60°
1 2
问题1：如何计算cos15º？
cos15º= cos(45º－30º) = ? cos15º= cos(60º－45º) = ?
问题2：设α,β为两个任意角，那么 cos(α-β) = cosα-cosβ 恒成立吗？
α-β
o
Ax
化简得
cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ
当角α，β终边相同时，上式是否成立？
代入验证：∵角α，β终边相同 ∴α=β+2kπ，k∈Z
∴左式=cos(α-β)=cos2kπ=cos0=1 ∴右式=cos(β+2kπ) cosβ + sin(β+2kπ)sinβ=cos2β+sin2β =1 ∴左式=右式 ∴当角α，β终边相同时，也满足公式
5.5.1两角差的余弦公式
授课老师：某某某
学习目标
重点难点
1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程 2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算
两角差的余弦公式的应用

5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修一

-
方法二:
原式=

+

-
=

-
·
-

-

-

-

·
+
+

=
-

= -
+

=-
.

2.将本例变为“已知 sin
又 sin

又 cos 2x=sin

,∴cos

=2× × = ,
cos

+ =sin
∴原式=

=

.
- =
-
=2sin

.

-

- =

-
=
,0<x<
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式
课标定位
素养阐释
1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出
二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变
换,并能灵活地将公式变形运用.
3.体会类比推理的过程,提升逻辑推理和数学运
算素养.
自主预习·新知导学

二、二倍角公式的变形
1.若将1±sin 2α中的“1”用sin2α+cos2α代换,则1±sin 2α可化为

5.5.1 第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(课件)

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第五章三角函数
解 (1)原式＝sin 13°cos 17 °＋sin(90°－13°)·cos(90°－17°) ＝sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17° ＝sin(13°＋17°) ＝sin 30°＝12. (2)原式＝212sin1π2－ 23cos1π2 ＝2sin1π2cosπ3－cos1π2sinπ3 ＝2sin1π2－π3 ＝－2sinπ4＝－ 2.
解 ∵0<α<π4<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35， ∴cos34π＋α＝－1123，sinπ4－β＝－45.
数学必修第一册 A
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第五章三角函数
∴cos(α＋β)＝sinπ2＋α＋β ＝sin34π＋α－π4－β ＝sin34π＋αcosπ4－β－cos34π＋αsinπ4－β ＝153×35－－1123×－45＝－3635.
答案 (1)× (2)√ (3)√
数学必修第一册 A
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第五章三角函数
2．sin(30°＋45°)＝________.
解析 sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
＝12× 22＋ 23× 22＝
2＋ 4
6 .
答案
2＋ 6 4
数学必修第一册 A
∴cos
α＝2
5
5，sin
β＝3
10 10 .
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝2 5 5×
1100＋
55×3 1010＝

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时课件(人教版)

理一理
两角和与差的余弦公式
cos(–)=cos cos +sin sin cos(+)=cos cos – sin sin
使用条件：α，β都是任意角. 记忆口诀：“余余正正(哭哭丧丧），符号相反”.
也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和.
探究2 前面得到了两角和与差的余弦公式．如何利用两角差
余余正正 (哭哭丧丧）符号相反
正余余正 (丧哭哭丧）符号相同
整一整成竹在胸
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系
-代
π
S(+) 2
C(+)
-代C(-)
π
2
S(-)
相除
相除
S C
T(+)
-代
S C
T(-)
例1.已知 sinα = - 3, 是第四象限角，求
＝sin αcos β－cos αsin β.
简记作Ｓ． (α-β)
理一理
两角和与差的正弦公式
sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin
使用条件：α，β都是任意角. 记忆口诀：“正余余正(丧哭哭丧），符号相同”.
也就是说，和角正弦等于异名积之和，差角正弦等于异名积之差.
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
例2.利用和(差)角公式计算下列各式的值:
(1)sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 (2) cos 20 cos 70 sin 20 sin 70
(3)sin20°cos50°—sin70°cos40°